Análise do comportamento global plano e espacial de pórticos metálicos utilizando a teoria...

7/25/2019 Anlise do comportamento global plano e espacial de prticos metlicos utilizando a teoria generalizada de vigas

1/36

Anlise do comportamento global plano e espacial de prticos metlicos utilizando...

Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural, Passo Fundo, v. 4, n. 1, p. 9-44, jan./abril 2007

99

Anlise do comportamento global plano e

espacial de prticos metlicos utilizando ateoria generalizada de vigas

Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural

1 Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura, ICIST/IST, Instituto Superior Tcnico, Universidade Tcnica de

Lisboa, Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal.

E-mails: * [email protected]

** [email protected]

*** [email protected]

Resumo

Abordam-se a formulao e implementao computacional de elementos finitos de barrabaseados na teoria generalizada de vigas (GBT Generalised Beam Theory), que permi-tem analisar o comportamento global plano e espacial de estruturas porticadas metlicasa trabalhar em regime elstico. Para isso, torna-se indispensvel estabelecer relaescinemticas que permitam assegurar a compatibilidade entre deslocamentos e rotaesnas ligaes que unem duas ou mais barras com orientaes distintas (principalmente noque respeita aos deslocamentos de empenamento). Aps uma breve reviso dos conceitosfundamentais envolvidos numa anlise estrutural baseada na GBT, apresentam-se emdetalhes a formulao e implementao numrica de elementos finitos baseados na GBTque incluem apenas os quatro modos de deformao de corpo rgido em particular, des-crevem-se os procedimentos envolvidos na determinao das matrizes de rigidez, linear egeomtrica, do elemento finito e do prtico (as ltimas devem incorporar a influncia dasligaes e condies de apoio do prtico). Em seguida, abordam-se os modelos cinemticospara simular a transmisso do empenamento em ligaes de prticos que unem duas oumais barras com seco em U ou I e exibem trs configuraes diferentes: continuidadeda alma e continuidade dos banzos com reforo em diagonal ou em caixa. Finalmente,com o objectivo de ilustrar a aplicao e o potencial dos elementos finitos desenvolvidos,apresentam-se e discutem-se resultados numricos relativos ao comportamento linearde um prtico simples (com apenas duas barras ortogonais) e estabilidade de prticosde edifcios industriais com travessas inclinadas validam-se alguns desses resultadospela sua comparao com valores fornecidos por anlises de elementos finitos de barra ou

casca (convencionais) efectuadas no programa ANSYS.Palavras-chave: Prticos metlicos. Perfis com seco de parede fina. Teoria generalizada

de vigas (GBT). Mtodo dos elementos finitos (casca e barra). Comporta-mento geometricamente linear. Estabilidade elstica plana e espacial.

Trabalho recebido em 15/11/2006 e aprovado para publicao em 09/04/2007.

Cilmar Basaglia1*, Dinar Camotim1**, Nuno Silvestre1***


2/36


10

1. Introduo

Nos ltimos anos, tem se assistido a um considervel aumento da utilizao deperfis metlicos (e.g., perfis de ao enformados a frio) na construo de prticos destinadosa edifcios industriais ou a edifcios de habitao de pequeno porte. Este facto deve-se

cada vez maior resistncia exibida pelos aos de fabrico corrente, a qual torna possvel aadopo de elementos estruturais de elevada esbelteza e, por consequncia, a obtenode solues muito econmicas. Por outro lado, o comportamento deste tipo de estruturas bastante complexo, na medida em que so constitudas por perfis com seco de paredeaberta muito fina, os quais possuem baixa rigidez de toro e exibem uma grande suscep-tibilidade ao empenamento e s deformaes locais.

A maior dificuldade associada avaliao do comportamento global espacial de pr-

ticos formadosporperfis esbeltosadvm da necessidadedemodelarcomprecisoacompa-tibilidade entre os deslocamentos de empenamento (devidos a toro) nas ligaes entre

barras com orientaes distintas esses deslocamentos provocam o acoplamento entre

extenso axial, flexo e toro nas seces transversais extremas unidas pelas liga-es do prtico. No contexto das anlises numricas tradicionais, tais como as baseadas

no mtodo dos elementos finitos (MEF), esta tarefa s pode se realizar de forma exacta

recorrendo-se a elementos finitos de casca e adoptando-se malhas refinadas para discretizar

os perfis esta abordagem conduz a um elevado esforo computacional, proibitivo na esma-

gadora maioria das aplicaes correntes (embora os notveis avanos que se tm observado

recentemente em termos de capacidade de clculo). Assim, no surpreende a atenoque a comunidade cientfica ligada estruturas de ao dedica ainda aodesenvolvimentodemetodologias baseadas em elementos finitos unidimensionais que permitam efectuar uma

avaliao rigorosa da resposta estrutural de prticos metlicos. De modo geral, pode-se

afirmar que a principal dificuldade na formulao de elementos finitos de barra para anali-sar o comportamento estrutural de estuturas porticadas formadas por barras com seco de

paredefinaabertaresidenofactodeserindipensvelmodelaroempenamentodevido tor-o estatarefahabitualmenterealizadapela considerao de um grau de liberdade es-pecfico por n, para alm dos seis que que se consideram em elementos de barra com seces

no susceptveis de empenar (e.g., seces tubulares): trs deslocamentos e trs rotaes.

Enquanto a compatibilidade entre estes ltimos graus de liberdade assegurada trivialmen-

te, o mesmo no se passa com o grau de liberdade associado ao empenamentona realidade,quantificaratransmissodo empenamento em ligaes que unem dois ou mais perfis noalinhados constitui uma tarefa bastante complexa, a qual depende de vrios factores, tais

como a geometria da seco transversal dos perfis e a configurao da ligao.

Com o objectivo de superar as dificuldades referidas no pargrafo anterior, vriosautores tm realizado investigao no domnio da anliseglobalplana eespacial(tridi-mensional) de prticos de ao destacam-se aqui os trabalhos devidos a Vacharajitti-phan e Trahair (1974),Sharman(1985), Krenk(1990),Krenk e Damkilde (1991), Morrelletal. (1996) e Tong et al. (2005), nos quais so abordados vrios aspectos relacionados coma cinemtica das ligaes entre barras cujos eixos tm orientaes distintas, um tpico ab-


3/36



11

solutamente essencial para estudar e quantificar a transmisso do empenamento devido toro nos ns de um prtico. No que diz respeito a este tpico, Sharman (1985) obteverelaes que modelam a transferncia da toro em ligaes entre barras com seco em U eem I; Krenk e Damkilde (1991) analisaram o mesmo fenmeno em vrios tipos de ligaesunindo barras com seco em I e, muito recentemente, Tong et al.(2005) desenvolve-

ram um modelo para analisar a transmisso do empenamento em ligaes reforadas de duas barras com seco em I. Para alm disso, merecem ainda destaque as publicaesde Masarira (2002) e MacPhedran e Grondin (2005), relativas estabilidade de prticossimples com diferentes ligaes coluna-viga (ambas formadas por perfis com seco em I).Finalmente, no que respeita especificamente ao comportamento estrutural de prticoscom travessas inclinadas, Baigent e Hancock (1982) formularam um elemento finito tridi-mensional de barra para efectuar anlises lineares e Silvestre e Camotim (2007) estudaramcom bastante profundidade a estabilidade e o comportamento de ps-encurvadura (noplano do prtico).

A maioria dos estudos mencionados no pargrafo anterior foram efectuados atravs de

anlises por elementos finitos (de casca ou de barra, baseados na teoria de Vlasov 1958) para alm disso, todos esses trabalhos envolveram unicamente prticos com ligaesunindo apenas duas barras. Uma metodologia alternativa e muito promissora consiste nautilizao de elementos finito de barra baseados na teoria generalizada de vigas (GBT Ge-neralised Beam Theory), originalmente formulada por Schardt (1989) e consideravelmentedesenvolvida nos ltimos cinco-seis anos na Universidade Tcnica de Lisboa (Camotim etal. 2004, 2006) novas formulaes (e.g., Silvestre e Camotim 2002a,b ou Dinis et al. 2006)e implementaes numricas (e.g., Silvestre e Camotim 2003), bem como o alargamentodo seu domnio de aplicao a diversos tipos de anlise (e.g., Silvestre e Camotim 2003b,2006b,c) e leis constitutivas (e.g., Gonalves e Camotim 2004, 2006). No entanto, todos

esses desenvolvimentos da GBT decorreram exclusivamente no mbito da anlise debarras isoladas (e.g., colunas, vigas ou vigas-coluna).

O objectivo deste trabalho consiste em (i) apresentar a formulao e a implemen-tao computacional e (ii) ilustrar a aplicao e as potencialidades de elementos finitos debarra baseados na GBT que permitem analisar o comportamento global espacial deprticos metlicos. Aps uma breve descrio dos fundamentos da GBT, descrevem-se osprocedimentos que conduzem obteno das matrizes de rigidez (linearmaisgeomtrica)dos referidos elementos finitos de barra e da correspondente matriz de rigidez total da es-trutura, a qual incorpora a influncia das ligaes e condies de apoio do prtico. No querespeita s ligaes do prtico, d-se uma ateno especial (i) quantificao da transmis-so do empenamento, (ii) ao efeito das propriedades de simetria das seces transversaisdas barras unidas e (iii) caracterizao do elemento de n que exprime as grandezas daGBT em termos de deslocamentos generalizados (e.g., deslocamentostransversais,rotaesde flexo, ouderivadas de rotaes de toro). Em seguida, descrevem-se as relaes ci-nemticas que asseguram a compatibilidade e a transmisso do empenamento de toro emligaes entre duas ou mais barras (seco em U ou I) com orientaes distintas em parti-


4/36


212

cular, abordam-se ligaes no reforadas e ligaes com reforo em diagonal ou em caixa.Finalmente, ilustra-se a aplicao da metodologia proposta (i) anlise linear elstica deum prtico simples, formado por duas barras ortogonais dispostas em L e (ii) anlise daestabilidade de prticos de travessas inclinadas validam-se alguns desses resultados pelasua comparao com valores fornecidos por anlises de elementos finitos (de barra ou casca)

efectuadas no programa ANSYS (SAS 2004).

2. Breve descrio dos fundamentos da GBT

Considere-se um perfil com a seco transversal de parede fina aberta arbitrria (npa-redes) representada na Figura 1, onde se indicam tambm o sistema de coordenadas global(X, Y, Z) e os sistemas de coordenadas locais (x,s,z) adoptados em cada parede. Com basenos procedimentos habitualmente utilizados nas anlises baseadas na GBT (Schardt 1989,Silvestre e Camotim 2002a), os deslocamentos num ponto da superfcie mdia do perfilso dados por

(1)

onde (i) (.),x

d(.)/dx; (ii) as funes uk(s), v

k(s)e w

k(s)so os campos de deslocamentos

associados ao modo de deformaok; (iii) k(x) a funo que fornece a variao longi-

tudinal da amplitude desse mesmo modo de deformao e (iv) se aplica a conveno dasoma ao ndicek.

Ao exprimir o campo de deslocamentos da seco como uma combinao linear de mo-dos de deformao, a GBT conduz a sistemas de equaes diferenciais de equilbrio da barraescritos de forma modal, o que extremamente conveniente e proporciona uma melhor

compreenso dos vrios aspectos envolvidos num determinado comportamento estru-tural assim, os sistemas de equaes relativos s anlises linear (de 1 ordem) e deestabilidade escrevem-se na forma

Figura 1: Geometria, campo de deslocamentos e sistemas de eixos glo-bais e locais de uma seco arbitrria.


5/36



313

(2)

As componentes dos tensores de segunda ordem que figuram nessas equaes re-sultam da integrao dos deslocamentos wke u

k, e suas derivadas, ao longo da linha

mdia da seco, ao passo que (i) o tensorDikdiz respeito rigidez da seco rotao de

toro; (ii) o tensor Cikest relacionado com a rigidez da seco em relao aos deslocamen-

tos axiais das suas paredes (e.g., o empenamento das suas paredes). Quanto ao tensorBik,

no utilizado neste trabalho, est associado rigidezdasecosdeformaeslocais.Porfim,refira-seque (i)X

jikso as componentes da matriz geomtrica relativas ao modoke que

(ii) W0j so os esforos de pr-encurvadura actuantes na barra.Nas seces de parede fina aberta, todos os modos de deformao da GBT satisfazem

s hipteses de Vlasov distores e extenses transversais de membrana nulas na

linha mdia da seco ( Mxs=Mss=0). No que respeita aos modos globais, representadosna Figura 2 (para a seco em U) e os nicos considerados neste trabalho, caracterizam-se(i) por uma variao linear dos deslocamentos axiais (de empenamento) em cada paredee (ii) pela ausncia de deformao da seco no seu prprio plano (modos de corpo r-gido) na terminologia da GBT, designam-se esses modos por modo 1 (extenso axialC

11EA a rigidez axial), modos 2 e 3 (flexes rectas principais C

22EI

Ie C

33EI

IIso

as correspondentes rigidezes de flexo) e modo 4 (toro C44EI

w a rigidez de empe-

namento eD44GJ a rigidez de toro de Saint-Venant).

Figura 2: Deslocamentos transversais e axiais associados aos modos globais da seco em U.

3. Formulao de elementos finitos baseados na GBT

Para obter a soluo dos sistemas de equaes da GBT definidos em (2), utiliza-seo mtodo dos elementos finitos e adoptam-se elementos de barra semelhantes ao de-senvolvido por Silvestre e Camotim (2003a), no contexto da anlise de estabilidade deperfis compsitos: elementos com dois ns e dois graus de liberdade por modo de defor-mao em cada n assim, cada elemento finito possui 4ngraus de liberdade, sendo n


6/36


414

o nmero de modos de deformao includos na anlise. No caso particular de se consi-derarem unicamente os modos globais nas anlises, a formulao dos elementos finitosbaseados na GBT envolve as seguintes etapas:

(i) Reescrever o sistema de equaes diferenciais de equilbrio (2), sem a matrizBik,

na forma variacional do tipo (Le

o comprimento do elemento finito)

(3) =++Le

xixkjik

0

jixixkikxxixxkik 0dxXWqDC )~~~~~~~~~~(

,,,,,,

(ii) Aproximar as funes de amplitude k(x)de cada modo de deformao por meio de

expresses da forma

(4)4k43k32k21k1k QxQxQxQxx )()()()()( =

onde Q1=

kx(0), Q

2=

k(0), Q

3=

kx(L

e) eQ

4=

k(L

e) e as funes

i(x)so os polinmios

cbicos de Hermite, definidos por (=x/Le)

(5))()( += 23e1 2L 132

232 += )(

)()( 23

e3 L = )()( 32

4 23 =

(iii) Substituir (4) em (3) e efectuar a integrao em 0 1,o que permite obter aequao matricial que traduz o equilbrio do elemento finito (discretizado),

(6)}{}]){[]([ eeee fdGK =

onde [Ke] e [Ge] so as matrizes de rigidez linear e geomtrica e {de} e {fe} so osvectores de deslocamentos e foras aplicadas generalizados, de dimenso 16 eescritos na forma

=

][.

][][

][][][

][][][][

][

44

33

22

11

e

Ksim

0K

00K

000K

K +=e eL L

xrxpikxxrxxpik

pr

ik dxDdxCK ,,,, (7)

=

][.

][][

][][][

][][][][

][

44

3433

2422

e

Gsim

GG

G0G

0000

G =eL

xrxpjik

0

j

pr

ik dxXWG ,, (8)


7/36



515

(9)}}{}{}{}{{}{ T4T

3T

2T

1e ddddd = rkr Qd =

(10)}}{}{}{}{{}{ T4T

3

T

2

T

1e fffff = =eL

rkkr dxqf

onde os ndices inferiores i e k identificam os modos de deformao associados acada sub-matriz, os ndices superioresp, r=14dizem respeito aos graus de li-berdade envolvidos e o ndice inferiorjidentifica o esforo generalizado associadoao modo de deformaoj.

A Figura 3 permite visualizar os graus de liberdade associados a cada um dos quatromodos de deformao globais (ver Fig. 2) note-se que (i) os deslocamentos transversais eas rotaes de flexo relativas aos modos 2e 3so v

a(d

22e d

32) e

a(d

21e d

31), paraX=0, e v

b

(d24

e d34

) eb(d

23e d

33), paraX=L

e, e que (ii) a rotao de toro associada ao modo 4e sua

derivada (responsvel pelo empenamento) se designam por a

(d42

) e a

(d41

), paraX=0, epor

b(d

44) e

b(d

43), paraX=L

e. Para o modo 1(extenso axial) tem-se u

a(d

12) e u

a(d

11),

emX=0e ub(d

14) e u

b(d

13), emX=L

e1.

Figura 3: Graus de liberdade nodais associados a cada modo de deformao.

Como se sabe, a determinao da matriz de rigidez total de um sistema estruturalrequer que se combinem as matrizes dos elementos finitos que a constituem por meiodo conceito de matriz de incidncia. Muito embora esse procedimento seja trivial no

caso de apenas existirem elementos co-lineares (i.e., se se analisar uma barra isolada),a sua extenso ao caso de estruturas reticuladas apresenta vrias dificuldades. Na re-alidade, o facto de os eixos das barras possurem orientaes distintas faz com que sejanecessrio contabilizar os efeitos devidos compatibilidade entre os graus de liberdadedos elementos finitos que convergem num mesmo n da estrutura estes efeitos resul-tam de (i) a matriz de rigidez elementar pressupor que os graus de liberdade relativos flexo e toro esto ambos referidos ao centro de corte (s assim os respectivos com-


8/36


616

portamentos so desacoplados2) e de (ii) a compatibilidade num n de uma estruturareticulada apenas poder envolver um ponto da seco de cada uma das barras que neleconvergem. Para resolver os problemas colocados por essas questes, possvel adoptaruma das duas seguintes abordagens:

(i) referir os graus de liberdade relativos flexo e toro a um mesmo ponto ao longo

de todo o comprimento de cada barra, i.e., a um eixo (longitudinal) de refernciadessa barraa escolha dos eixos de referncia pode ser condicionada pelas carac-tersticas da ligao no n (se no houver qualquer indicao em contrrio, escolhasbvias so os eixos dos centros de corte ou de gravidade, na medida em que algunsgraus de liberdade permanecem inalterados). Assim, assegura-se a compatibilidadeno ponto de interseco dos eixos de referncia, mas o comportamento de cada bar-ra passa a exibir acoplamentos flexo/toro como bvio, necessrio incorporarna matriz de rigidez elementar as excentricidades do eixo de referncia em relaoao eixo dos centros de corte. As Figuras 4(a) e 4(b) ilustram esta abordagem, a qualfoi adoptada, por exemplo, por Baigent e Hancock (1982);

(ii) manter os graus de liberdade relativos flexo e toro referidos aos eixos dos cen-

tros de gravidade e de corte das barras (i.e., sem recorrer a qualquer eixo de refern-

cia) e tratar a compatibilidade apenas num ponto do n de ligao como esse ponto

corresponde interseco dos eixos de referncia descritos na abordagem anterior,

a sua escolha obedece a condicionalismos anlogos. Assim, o comportamento de cada

barra no exibe acoplamento entre flexo e toro, o que significa que a matriz de

rigidez elementar no precisa incorporar os efeitos da excentricidade entre os eixos

mencionados atrs, e toda a problemtica relativa compatibilidade transferida

para um elemento de n como bvio, nesse elemento so incorporados os efeitos

da excentricidade3, atravs de deslocamentos generalizados referidos ao sistema decoordenas ZYX (ver Fig. 4(c)). Esta abordagem ser adoptada neste trabalho, pois a nica que permite tirar partido das caractersticas modais da GBT.

Figura 4: Graus de liberdade de flexo, toro e extenso axial referidos (a) aos eixos doscentros de corte e de gravidade, (b) a um eixo de referncia e (c) ao elementode n e correspondente sistema de coordenadas.


9/36



717

Em seguida, descrevem-se os procedimentos envolvidos na obteno da matriz derigidez total de uma estrutura reticulada a partir de matrizes de rigidez elementaresbaseadas na GBT:

(i) Uma vez discretizada a estrutura, necessrio tratar separadamente os ns in-teriores das barras e os ns de ligao da estrutura (onde convergem elementos

finitos no co-lineares)ver Figs. 5(a) e 5(b). Nos ns interiores, a compatibili-zao dos graus de liberdade associados aos modos de deformao da GBT nooferece qualquer dificuldade ver, por exemplo, o trabalho de Silvestre e Camotim(2003a). No entanto, o mesmo no sucede nos ns de extremidade correspondentess ligaes do prtico (e.g., os ns bre ar+1mostrados na Fig. 5(b)), onde os graus deliberdade devem ser transferidos para um elemento de n (ver Fig. 5(c)).

Figura 5: (a) N de ligao de uma estrutura reticulada, (b) discretizao das barras que nele conver-gem e (c) conceito de elemento de n.

(ii) Num elemento de n, os graus de liberdade da GBT dos elementos finitos quenele convergem no so directamente compatibilizveis em virtude de estaremreferidos a sistemas de eixos (locais) distintos. Por esse motivo, indispensvel

comear por transformar esses graus de liberdade em deslocamentos genera-lizados (referidos ao sistema ZYX ) do ponto onde se admite materializadaa ligao, aqui designado por O, o qual corresponde interseco dos eixos dereferncia (arbitrrios) das vrias barras ligadas (e.g., o eixo X nas Figs. 6(a)-(b)).Para isso, utiliza-se a matriz de transformao T, definida por

Figure 6: Sistemas de coordenadas (a) global (elemento de n) e (b) local da barra.


10/36


818

(11)

(12)

[ ]

T

XZYXZYX UUU '}{ = [ ]

T

ZYXZY vvud '}{ = ,

onde o vector dos deslocamentos generalizados (referido aos eixos ZYX ); ascomponentes do vector so os graus de liberdade da GBT; a matriz descrevea transformao associada a duas rotaes sucessivas, a primeira em torno do eixoe a segunda em torno do eixo , definida pelas matrizes e (ver Fig. 6(a));

a matriz de transformao associada rotao em torno do eixo X da barra (verFig. 6(b)) e [L] a matriz de translao que contabiliza os efeitos da transferncia dosdeslocamentos generalizados dos eixos dos centros de gravidade (G) e dos centros decorte (S) para um ponto comum (ver Fig. 6(b)). As componentes das matrizes ,

e [L] so dadas por

(13)

=

+

++

]'[

]'[][

ZY

ZY

ZY

R

RR

==+100

0cossen

0sencos

cos0sen

010

sen0cos

RRRZZ

ZZ

YY

YY

ZYZY

.]']'.[[]'[

(14)

=

]'[

]'[][

X

X

X

R

RR

=

XX

XXX

cossen0

sencos0

001

R

]'[

(15)

=

1C

1C

1SS

1

1

1

L

Y

Z

YZ][


11/36



919

Finalmente, note-se que as componentes do vector tm origem nos graus deliberdade da GBT e so obtidas por meio de uma seqncia de rotaes: a primeiraem torno do eixoXda barra, a segunda em torno do eixo global e a ltima em tornodo eixo global a alterao da ordem dessas rotaes pode conduzir a resultadosincorrectos.

(iii) Com a utilizao da matriz de transformao definida em (11), obtm-se, no casomais geral, sete graus de liberdade em cada uma das extremidades de barracorrespondentes ao n de ligao. Esses dois conjuntos de graus de liberdadessatisfazem as relaes

(16){ } { } 1rr a6x6

b

I+

=

][

onde [I] a matriz identidade e a constante relaciona as derivadas da rotao detoro (i.e., quantifica a transmisso do empenamento aborda-se esse conceito naseco 4).

(iv) Utilizando (11) e (16), chega-se com relativa facilidade matriz de rigidez totalda estrutura (K

p

G), a qual (iv1) inclui os efeitos da compatibilizao dos graus deliberdade em todos os seus ns e (iv

2) est associada a graus de liberdade mis-

tos graus da GBT (dki

) nos ns interiores das barras e graus convencionaisnos ns de ligao entre elas.

Uma vez determinada a matriz de rigidez total, est-se em condies de efectuar a an-lise do sistema estrutural (prtico), a qual consiste na resoluo de

(17)fKG =0 ou 0KG =)(1

consoante se trate de uma anlise de primeira ordem (sistema de equaes algbricaslineares) ou de estabilidade (problema de valores e vectores prprios) (i)fe so osvectores das foras aplicadas e dos deslocamentos generalizados e (ii) o parmetrode carga cujo valor crtico se procura. Como as componentes de so mistas e sepretendem representaes modais das configuraes deformadas das barras, torna-seindispensvel voltar a transformar os deslocamentos generalizados relativos aos nsda estrutura em graus de liberdade da GBT nas extremidades dos elementos finitosque lhes correspondem (d

bre d

ar+1). Para isso, utiliza-se a relao

(18)

a qual traduz precisamente a execuo da operao inversa daquela que se efectuou atra-vs de (11).

Finalmente, conhecidos os valores dos graus de liberdade da GBT em todos os ns (i.e.,os valoresded

kiemtodososelementosfinitos ver (4)), torna-se possvel representar a


12/36


220

configurao deformadadaestruturareticuladadeumaformamodal,identificandoequan-tificandoseparadamente as contribuies dos modos de deformao das vrias barras quea constituem.

4.Transmisso do empenamento

A teoria clssica de Vlasov (1961) estabelece que o empenamento num ponto Q, si-tuado sobrealinha mdia de uma seco de parede fina aberta actuada por um momentotorsor, dado por

(19)

onde Q a rea sectorial associada ao ponto Qe X a taxa de variao do ngulo de

toro. Por essemotivo,em seces formadaspor apenas trs paredes (no convergentes) possvel definir uma superfcie de empenamento , a qual contm as posies deformadasde todos os ns naturais da seco (extremidades de paredes) a Figura 7(a) mostra essassuperfcies nos casos das seces em I e U. Para alm disso, a relao entre os deslocamen-tos de empenamento nas extremidades de um banzo (de seces em I ou U) conduz, atravsde relaes de ndole geomtrica, ao valor da rotao da superfcie de empenamento (Fig.7(b)), dado por

(20)

onde h a largura da alma da seco.

Figura 7: (a) Superfcies de empenamento das sees em I e em U, e(b) conceito de rotao dasuperfcie de empenamento.

Em virtude da existncia da referida superfcie de empenamento, pode demonstrar-seque existe sempre transmisso completa de empenamento num n de ligao entreduas barras com seco em I ou U (independentemente das inclinaes dos eixos dessas


13/36



221

barras), desde que a configuraodaligaoimpea a flexo transversal da alma. Dessaforma, o conceito de transmisso completa de empenamento traduz o facto de as taxas devariao do ngulo de toro das seces de ligao entre duas barras terem o mesmo valorabsoluto consoante os deslocamentos axiais das seces extremas das duas barras tenhamou no o mesmo sinal (i.e., correspondam a sentidos de circulao idnticos ou opostos),

a transmisso de empenamento designa-se por completa directa ou completa inversa. Poroutro lado, no caso de existir flexo transversal da alma, a transmisso do empenamentodevido toro incompleta para alm dos deslocamentos de empenamento, a compati-bilidade envolve tambm os deslocamentos provocados pela flexo transversal das paredes.Como auxliodasFiguras8(a)-(b),onde semostram duaspossveisligaesentreperfiscomsecoemI (perfisAeB)comosbanzos ou a alma no mesmo plano,torna-se possvelcompreender melhor a diferena entre os dois tipos de transmisso de empenamento com-pleta. Designando por u

Ae u

Bos deslocamentos de empenamentos nos pontos homlogos

QAe Q

Bdas seces ligadas, as Figuras 8(a) e 8(b) ilustram uma transmisso directa e uma

transmisso inversa, respectivamente.

Figura 8: Conceito de transmisso de empenamento (a) completa directa e (b) completa inversa.

No caso da Figura 9(a) os banzos homlogos dos dois perfis idnticos esto no mes-

mo plano, sendo lcito admitir que existe continuidade entre eles, i.e., que trabalham

conjuntamente. Tudo se passa como se as duas seces ligadas fossem as faces de uma

mesma seco, o que significa que o empenamento igual em ambas, tanto em valor

como em sinal (i.e.,uA=uB). Desse modo, a transmisso do empenamento completadirecta, o que equivale a dizer que se tem BA = . A Figura 9(b) mostra o mecanismocinemtico de transmisso do empenamento devido toro numa ligao deste tipo

entre perfis com seco em I as superfcies de empenamento das seces ligadas rela-cionam-se atravs de uma rotao em torno do eixo paralelo a Y

AeY

Bque passa no pontoR.

O mecanismo semelhante se os perfis tiverem seco em U ver Figura 9(a).


14/36


2222

Figura 9: (a) Ligao com transmisso completa directa do empenamento envolvendo perfis em U e I, e(b) mecanismo cinemtico de transmisso do empenamento devido toro (perfis em I).

Por outro lado, no caso de as almas dos perfis (com seco em I ou U) estaremsituadas no mesmo plano (i.e., continuidade da alma na ligao), a transmisso doempenamento devido toro envolve, no caso geral, deformaes locais nas almas dasseces ligadas o que se passa com a ligao simples (no reforada) que se mostrana Figura 10(a). Assim, pode afirmar-se que a transmisso completa do empenamentoapenas possvel se a ligao entre as duas barras possuir chapas de reforo que im-

peam por completo as deformaes locais provocadas nas almas pela toro esse ocaso das ligaes reforadas representadas nas Figuras 10(b)-(c): ligaes entre perfiscom seco em U com reforo em diagonale reforo em caixa (prolongamentos dosbanzos inferiores dos perfis ligados), respectivamente.

Figura 10: Ligaes entre barras com seco em U ortogonais com as almas no mesmo plano: (a) liga-o simples e ligaes reforadas com reforo (b)em diagonale (c)em caixa.

Em face do que foi exposto atrs, sempre que o reforo impede as deformaes locaisdas almas (dos perfis com seco em I ou U) possvel interpretar a transmisso completado empenamento (directa ou inversa) utilizando um raciocnio que se baseie apenas noconceito da rotao da superfcie de empenamento. Em seguida, aplica-seesseraciocnioaocasodaligao entre dois perfiscomreforoemdiagonal(verFig.11(a)): pretende-seavaliar a forma como a rotao de empenamento da seco de ligao da barra A(

A=

Ah/2) se transmite para a sua congnere da barra B, atravs da ligao onde existea chapa de reforo C1i.e., pretende-se conhecer

B=

Bh/2(ver Fig. 11(b)). Para isso,

utiliza-se o facto de se admitir que a chapa de reforo se deforma solidariamente com as


15/36



2323

seces extremas das duas barras, o que implica que a configurao deformada da chapa(aps a rotao) coincide com as configuraes deformadas de ambas as seces de ligao.Uma vez que as alturas das barras se relacionam atravs de

(21)B

B

A

A

cos

h

cos

h

=

e a rigidez de flexo da chapa de reforo C1no seu prprio plano muito superior rigidez deempenamento das barras ligadas, conclui-se que BA = por meio das relaes

(22)A

AA

A

A

1Ccos2

h

cos

B1C

BB

B cos

2

h

Figura 11: Ligao com reforo em diagonal: (a) configurao da ligao e (b) rotaes de empenamento.

Relativamente ligao com reforo em caixa, representada nas Figuras 10(c) e

12(a)-(b), a transmisso do empenamento entre as seces extremas dos perfis envolve a

toro das paredes laterais da caixa formada (i) pelas duas chapas de reforo das almas,

as quais prolongam os banzos inferiores dos perfis, e (ii) pelas zonas extremas dos ban-

zos superiores desses mesmos perfis. Admitindo que as quatro paredes da caixa perma-

necem indeformadas nos seus prprios planos (sofrem apenas rotaes de corpo rgido),

a Figura 12(a) mostra com grande clareza que a compatibilidade de deslocamento nas

arestas da caixa (larguras dos banzos) obriga a que as rotaes das chapas de reforodas almas dos perfis (chapas C1-C3 e C2-C4 ver Figs. 12(a)-(b)) tenham sentidos opostos

(observadas a partir do interior da caixa). Utilizando um raciocnio anlogo ao adoptado

no caso do reforo em diagonal, possvel quantificar a transmisso do empenamento

devido toro entre as seces extremas das barras A, B, C e D para isso, recorre-se ao

procedimento esquematizado nas Figuras 12(b)-(c), o qual envolve a utilizao sequencial

das expresses (note-se que estas relacionam as rotaes da superfcie de empenamento)


16/36


2424

(23)

e conduz obteno das seguintes relaes entre as taxas de variao do ngulo de toro

(24)

importante notar que a transmisso do empenamento (i) completa inversa en-tre as barras adjacentes (A-B, B-C, C-DouA-D) e (ii) completa directa entre as barrasopostas (A-CouB-D).

h

1

2

h

Barra A

Barra

D

Barra C Barra

B

C1

C3

C2

C4

Y

X

Z

C1

C2

C3

C4

D

B

C

P3

P1

P2

P4

P3

C

h1 A12A

=P4

P2

DA

P1

= 221 h BB

(a) (b) (c)

Figura 12: Ligao com reforo em caixa: (a) configurao da ligao, (b) compatibilidade dos desloca-mentos (=90) e (c) transmisso do empenamento.

A transmisso de empenamento devido toro numa ligao entre duas ou mais bar-ras podetambmseranalisadapor meiodeumaabordagemque envolve a modelao da liga-o por meio de elementos finitos de casca e est ilustrada na Figura 13 em cada modelo, (i)uma das barras est submetida a um binrio aplicado na sua extremidade (pontos Ae A)e (ii) todas as barras tm os deslocamentos impedidos e as rotaes livres nas suas extre-

midades no ligadas (pontos B). No caso da ligao que une duas barras (ver Figs. 13(a) e13(b)), necessrio evitar a interferncia dos deslocamentos proveniente da flexo assim,restringem-se os deslocamentos segundoyem dois pontos da ligao (pontosC). Para alm deos valores numricos obtidos confirmarem plenamente a ocorrncia de transmisso completa doempenamento (inversa ou directa), as Figuras 13(a)-(c) permitem ainda visualizar com clarezao efeito que a configurao da ligao exerce no sentido da rotao de toro: esta (i) perma-nece inalterada (sentido anti-horrio) no caso da transmisso inversa e (ii) muda de sentido(de anti-horrio para horrio) se a transmisso for directa.


17/36



2525

Figura 13: Modelao das ligaes por elementos finitos de casca: (a) duas barras com os banzos no mes-mo plano, (b) duas barras com reforo em diagonal e (c) trs barras com reforo em caixa.

5. Exemplos ilustrativos

Com o objectivo de validar e ilustrar a aplicao e as potencialidades dos elementosfinitos baseados na GBT formulados nas seces anteriores, apresentam-se e discutem-se em seguida resultados numricos relativos anlise linear elstica (primeira ordem)de um prtico metlico simples (duas barras ortogonais em forma de L) e anlise deestabilidade de um prtico metlico simtrico com travessas inclinadasambos os prticosanalisados so constitudos por perfis de ao (E=205 GPae v=0.3) com seco em U. Noque respeita validao, comparam-se alguns destes resultados com valores fornecidospor anlises efectuadas no programa ANSYS (SAS 2004) e adoptando discretizaes dasbarras em malhas refinadas de elementos finitos de casca ou barra.

5.1 Prtico simples (em forma de L) anlise de primeira ordem

Efectua-se uma anlise elstica linear (de primeira ordem) do prtico biencastra-do representado na Figura 14(a), o qual formado por duas barras ortogonais (AeB)de comprimento LA=LB=220 cm, com a seco em U apresentada na Figura 14(b) eligadas entre si de modo a que os banzos fiquem no mesmo plano (ver Fig. 9(a)). Paraalm disso, a Figura 14(c) mostra os graus de liberdade d

ki, relativos s seces dos

elementos finitos unidas no n de ligao recorde-se que estes graus de liberdadeso transformados em deslocamentos generalizados, referidos a um sistema de eixoscentrado no ponto de interseco dos eixos baricntricos das duas barras (s

y=0 + s

z=

3.984 cm). Enquanto nas anlises baseadas na GBT se discretizou o prtico em oitoelementos finitos (quatro por barra), os resultados do ANSYS foram obtidos por meiode uma modelao por elementos finitos de casca Shell63 elementos com quatro nse seis graus de liberdade por n (trs translaes e trs rotaes), o que conduz a umaanlise que envolve mais de 7000 graus de liberdade.


18/36


2626

Figura 14: (a) Geometria do prtico simples em forma de L, (b) dimenses da seco das barras (emU) e (c) graus de liberdade d

kinas seces das barras adjacentes ao n de ligao.

As Figuras 15(a) e 15(b) mostram o carregamento considerado nas anlises de primei-

ra ordem e a localizao das seces relativas aos resultados apresentados (S1e S2meiodo vo das barras), tais como (i) a configurao deformada e (ii) o diagrama de tensesnormais. A Figura 16 diz respeito ao prtico submetido apenas ao momento torsor(10 kN.cm) e mostra a decomposio modal da variao do deslocamento transversal daextremidade livre do banzo inferior (w) ao longo do comprimento das barrasAeB. Com oobjectivo de avaliar a preciso dos resultados fornecidos pela GBT, apresentam-se tambmos valores fornecidos pelo ANSYS. Observa-se que:

(i) os valores dos deslocamentos obtidos atravs da GBT e do ANSYS praticamentecoincidem;

(ii) contribuemparaodeslocamentotransversalemanliseosmodos 2 e 4 da GBT (verFig. 2). Note-se que a participao do modo 2, devida ao acoplamento flexo-torono n de ligao, pouco significativa no caso da barraA, as contribuies dosmodos 2 e 4 opem-se.

Figura 15: Prtico simples em forma de L: (a) carregamento e (b) localizao das seces estudadas.


19/36



2727

Figura 16: Decomposio modal da variao do deslocamento transversal w ao longo das barras A e B.

Considere-seagoraoprticosubmetidoaomomentotorsores foras transversaisigualmente indicadas na Figura 15(a). Tirando partido da natureza modal da GBT, mos-tram-se na Figura 17(b) as configuraes deformadas das duas barras. A visualizao einterpretao dessas configuraesconsideravelmentefacilitadaeclarificadapelain-cluso, na Figura 17(a), das respectivas decomposies modais i.e., os andamentos dasfunes de amplitude dos quatro modos de deformao em cada uma das barras.

Na Figura 18(a) representam-se as configuraes deformadas obtidas pelas anlises

efectuadas por meio da GBT (i.e., a soma da participao de todos os modos de deformao)4e utilizandoo programa ANSYS5a Figura 18(b)mostraos valores dos deslocamentos nasseces S

1e S

2(meio vo das barras).

Relativamente aos resultados apresentados nas Figuras 17(a)-(b) e 18(a)-(b), refi-ra-se que:

(i) apesarde se consideraremapenasoito elementos finitosde barrana anlisebaseada na GBT, os resultados obtidos praticamente coincidem com os fornecidospelo programaANSYS;

(ii) o momento torsor aplicado a meia altura da barraA o nico responsvel pelas flexoem torno do eixo de maior inrcia (modo 2) e toro (modo 4) que ocorrem nas barras

AeBa toro na barraBe a flexo na barraAso devidas, respectivamente, transmisso do empenamento e ao deslocamento do n do prtico para fora do seu plano.Na barraA, o modo 4 tem maior expresso junto da seco onde o momento torsor aplicado e a sua relevncia vai-se esbatendo medida que nos aproximamos das sec-es extremas. No n do prtico ocorre uma troca do sinal de

4, o que corresponde a uma

inverso do sentido da rotao na barraB. Logicamente, a contribuio do modo 2 crescedo encastramento para o n em ambas as barras;


20/36


2828

Figura 17: (a) Funes de amplitude dos modos de deformao das barras A e B e (b) decomposiomodal da configurao deformada dessas barras.

Figura 18: Comparao entre os resultados obtidos atravs da GBT e do ANSYS: (a) vista geral da configu-rao deformada do prtico e (b) configuraes deformadas das seces S1 e S2 (meio vo).


21/36



2929

(iii) as cargas concentradas aplicadas a meio vo das duas barras (no plano do prtico) pro-

vocam apenas flexo em torno do eixo de menor inrcia (modo 3) e extenso axial (modo

1) em qualquer das barras i.e., um comportamento plano do prtico. Constata-se

ainda que, como seria de esperar, a funo 3 aquela que exibe amplitudes mais

elevadas e a participao do modo 1 extremamente pequena (desprezvel).

A concluir, os diagramas apresentados na Figura 19(a) mostram a variao dastenses normais de membrana que o carregamento indicado na Figura 15(a) provocaao longo da superfcie mdia (planificada) das barrasAeB. Essas tenses so obtidasa partir das relaes da GBT

xxkk

M

xx Eu , = (25)

Figura 19: Prtico simples em forma de L: (a) diagramas das tenses normaisM

xx

(x,s) instaladasnas superfcies mdias das barras A e B e (b) valores das tenses normais nas seces S1

e S2(momento + foras).

o que significa que, tal como sucede no caso dos deslocamentos, as tenses tambm sepodem decompor de forma modal. A Figura 19(b) mostra as tenses normais instaladasnas seces S1e S2e associadas deformaode cada modo as somas destas contribuiesmodais so comparadas com os valores fornecidos pelo ANSYS, observando-se, uma vezmais, que a preciso dos resultados obtidos por meio da GBT notvel (chega quase aser surpreendente).


22/36


330

5.2 Prtico de travessas inclinadas anlise de estabilidade

Apresenta-se agora a anlise da estabilidade de um prtico metlico simtrico coma geometria indicada na Figura 20(a) o prtico formado por duas colunas (AeD) encas-tradas na base e duas travessas inclinadas (Be C), formadas por perfis de ao com a seco

em U apresentada na Figura 20(b). As barras esto ligadas entre si de forma a que as almasdos perfis fiquem situadas no mesmo plano e o carregamento que actua no prtico constitudo unicamente por esforos de compresso uniformes simtricos aplicados nascolunas (N

c) e travessas (N

t), cujos valores se relacionam atravs do parmetro =N

t /Nc

toma-seNc=Pe faz-se variar continuamente entre 0e 1. Analisam-se a estabilidade plana

e espacial do prtico, consistindo os resultados obtidos nos valores dePb, os quais definem

os carregamentos de bifurcao do prtico, e nas configuraes dos correspondentes modosde instabilidade. Alguns desses resultados so novamente comparados com valores for-necidos por anlises efectuadas no ANSYS, sendo o prtico agora discretizado por meio de

elementos finitos de barra Beam189 elementos com trs ns e sete graus de liberdade porn (trs translaes, trs rotaes e empenamento)6. Enquanto nas anlises baseadasna GBT se discretizou o prtico em 16 elementos finitos (quatro por barra), os resultados doANSYS foram obtidos considerando seis elementos por barra em ambos os casos, essasdiscretizaes asseguram que existe convergncia dos resultados. Chama-se a atenopara o facto de a modelao por meio de elementos finitos de barra do ANSYS incorporartambm, nas ligaes do prtico, a cinemtica da transmisso do empenamento que foidescrita na seco 4.

Figura 20: Prtico de travessas inclinadas: (a) Geometria e carregamento e (b) dimenses da secotransversal comum a todas as barras (em U).

Com o objectivo de tornar a exposio to clara quanto possvel, comea-se por apre-sentar os resultados da anlise mais simples: uma anlise plana que inclui apenas osmodos 1e 2. Enquanto as Figuras 21(a)-(b) mostram as configuraes dos dois primeirosmodos de instabilidade do prtico (um anti-simtrico e o outro simtrico MAS ou MS), ascurvas presentes na Figura 21(c) fornecem a variao dos valores deP

bassociados a cada


23/36



331

um desses modos de instabilidade com o parmetro (alguns valores foram calculadosatravs da GBT e do ANSYS) note-se queP

cr, valor que define o carregamento crtico

do prtico, o menor dos dois valores dePb. Por outro lado, a Figura 22 mostra a variao

da configurao do modo crtico de instabilidade do prtico (MAS ou MS) com o valor derecorde-se que esta configurao dada directamente pelo andamento das funes

de amplitude dos modos um e dois (os nicos includos nas anlises). A observao dosresultados apresentados nas Figuras 21(c) e 22 conduz aos seguintes comentrios:

(i) antes de mais, refira-se que os resultados obtidos confirmam as concluses dotrabalho de Silvestre e Camotim (2007), nomeadamente, que, dependendo do va-lor da relao entre os esforos de compresso actuantes nas travessas e colunas,a configurao do modo crtico de instabilidade pode ser anti-simtrica (0.73) para =0.73, tem-seP

b=543.5kN,valorquecorresponde

ocorrnciasimultneadosdoistiposdemodos de

Figura 21: Estabilidade plana de prticos de travessas inclinadas: configurao dos modos de instabilidade (a)anti-simtrico (MAS) e (b) simtrico (MS), e (c) variao das respectivas cargas de bifurcao com .

instabilidade, i.e., tanto o MAS como o MS so modos crticos. A Figura 22 mostra clara-mente a mudana da natureza do modo crtico de instabilidade enquanto no MAS tanto astravessas como as colunas exibem deformaes significativas, no MS a deformao ocorresobretudo nas travessas (as colunas praticamente no se deformam):

(ii) as maiores deformaes ocorrem nos ns coluna-travessa, no caso do MAS, e juntodo vrtice do prtico, no caso do MS;

(iii) para 0.73, a configurao do modo crtico deinstabilidade (MS) permanece virtualmente inalterada;

(iv) existe uma coincidncia praticamente perfeita entre os valores das cargas de bifur-caoP

bobtidos atravs da GBT e do programa ANSYS as diferenas so sempre

inferiores a 0.5%.


24/36


3232

Figura 22: Variao do modo de instabilidade crtico do prtico (estabilidade plana) com .

Estuda-se em seguida a estabilidade espacial do prtico descrito anteriormente,com a geometria e o carregamento representados nas Figuras 20(a)-(b). Admite-se que(i) as bases das colunas esto encastradas nos dois planos e que (ii) os deslocamentostransversais perpendiculares ao plano do prtico esto impedidos nos ns coluna-tra-vessa e no vrtice do prtico (mais precisamente, nas interseces dos eixos baricntri-cos das barras que convergem nesses ns ver Fig. 23(a)). Como as barras se podem

agora deformar para fora do plano do prtico, torna-se necessrio incluir nas anlisesos modos 3 e 4 (para alm dos modos 1 e 2). Analisam-se prticos em que as ligaesentre as barras so todas do mesmo tipo e possuem chapas de reforo em diagonal (verFig. 10(b) ou em caixa (ver Fig. 10(c)).

As curvas apresentadas na Figura 23(b) traduzem a variao da carga crtica Pcrcom o valor do parmetro , para ligaes com chapas de reforo em diagonal e emcaixa. Em qualquer dos casos, o modo crtico de instabilidade por flexo-toro nocaso geral, este modo de instabilidade envolve flexo oblqua e toro (ver Fig. 24). Osresultados apresentados na Figura 23(b) permitem extrair as seguintes concluses:

(i) Uma vez mais, os resultados fornecidos pelas duas anlises (GBT e ANSYS) pra-

ticamente coincidem diferenas continuam a nunca exceder 0.5%;(ii) Para =0 (esforos axiais apenas nas colunas), a influncia da configurao das liga-

es (reforo em diagonal ou em caixa) no valor de Pcr virtualmente nula (diferenade 0.3%). medida que se aumenta o valor de (i.e., passa a existir compresso nastravessas), essa influncia vai-se fazendo sentir um pouco mais, apesar de nunca sermuito significativa a diferena mxima ocorre para =1.0 e vale cerca de 9% (asligaes com reforo em diagonal conduzem a uma maior carga crtica).


25/36



3333

Figura 23: Estabilidade espacial: (a) condies de apoio e (b) variao da carga crtica com .

Consideram-se agora prticos em que apenas as colunas esto comprimidas (=0) asFiguras 24 e 25 mostram os andamentos das funes de amplitude modal

k(x)relativas

aos modos crticos de instabilidade dos prticos com ligaes reforadas em diagonal eem caixa. A observao desses resultados sugere os seguintes comentrios:

Figura 24: Estabilidade espacial: modo de instabilidade crtico (= 0) com reforos em diagonal.


26/36


3434

Figura 25: Estabilidade espacial: modo de instabilidade espacial (=0) com reforos em caixa.

(i) apesar de a configurao das ligaes no afectar o valor dePcr, o mesmo no se pas-

sa no que respeita formadomodocrtico de instabilidade (bastante diferente nosdois prticos) recorde-se que, consoante a transmisso do empenamento seja directa ouinversa, o sentido da rotao de toro muda ou permanece inalterado nas ligaes;

(ii) no caso das ligaes reforadas em diagonal, o modo crtico de instabilidade do pr-tico anti-simtrico. A maior contribuio pertence ao modo 2 e ocorre nos topos dascolunas; por outro lado, a participao do modo 4 nula em todas as ligaes doprtico;

(iii) quando os reforos das ligaes do prtico so em caixa, o modo crtico de instabi-lidade simtrico. A maior contribuio pertence agora ao modo 3 e ocorre na vizi-nhana das seces de meio vo das travessas (um pouco mais prximo do vrtice).Refira-se ainda que existe uma pequena participao do modo 4 no n de ligaoentre as travessas.

6. Concluso

Neste trabalho comeou-se por apresentar a formulao e a implementao computa-cional de elementos finitos de barra baseados na GBT que permitem analisar o compor-tamento global espacial de prticos metlicos, em regime elstico anlises de primeiraordem e anlises de estabilidade. Aps uma breve descrio dos fundamentos da GBT,


27/36



3535

descreveram-se com algum detalhe os conceitos e procedimentos que conduzem obten-o das matrizes de rigidez (linear+geomtrica) dos referidos elementos finitos de barrae da correspondente matriz de rigidez total da estrutura, a qual incorpora a influnciadas ligaes e condies de apoio do prtico. No que respeita ao tratamentodasligaesdoprtico,deu-seumaateno especial(i)quantificao da transmisso do empenamento,

(ii) ao efeito das propriedades de simetria das seces transversais das barras unidas e(iii)caracterizaodo elemento de n que permite exprimir as grandezas da GBT em termosde deslocamentos generalizados (e.g., deslocamentostransversais, rotaes de flexo, ouderivadas de rotaes de toro). Em seguida, descreveram-se e comentaram-se as rela-es cinemticas que asseguram a compatibilidade e a transmisso do empenamento detoro em ligaes entre duas ou mais barras com seco em U ou I e orientaes distintasem particular, abordaram-se ligaes no reforadas e ligaes com reforo em diagonalou em caixa. Finalmente, ilustra-se a aplicao e as potencialidades da metodologia pro-posta para este efeito, apresentaram-se e discutiram-se resultados numricos relativos(i) anlise linear de um prtico simples, formado por duas barras ortogonais em forma de

L) e (ii) anlise de estabilidade de prticos com travessas inclinadas. Determinaram-se (i) configuraes deformadas e tenses normais ou (ii) cargas de bifurcao e modosde instabilidade dos prticos referidos tirando partido das caractersticas modais da GBT,exprimiram-se vrios modos de instabilidade, configuraes deformadas e distribuiesde tenses normais em termos das funes de amplitude dos modos de deformao (dia-gramas de decomposio modal). Alguns dos resultados fornecidos pelas anlises baseadasna GBT foram validados pela comparao com valores obtidos por meio de anlises deelementos finitos convencionais (de barra ou casca) efectuadas no programa ANSYS apesar de o nmero de graus de liberdade envolvidos nas aplicaes da GBT ser muitomenor que os requeridos pelas anlises do ANSYS (sobretudo no caso das discretizaes

em elementos de casca), obtiveram-se sempre resultados praticamente coincidentes (asdiferenas nunca excederam os2%).

Agradecimentos

O primeiro autor agradece o apoio financeiro do Programa Alan programa de bolsasde alto nvel da Unio Europia para a Amrica Latina (bolsa n E04D029316BR).

Notas

1 Para uniformizar o grau de todas as equaes de (2), a primeira delas, relativa o modo 1, trans-formada numa equao de 4 grau (note-se que, em rigor, ela de 2 grau) assim, podem aproxi-mar-se todas as funes de amplitude modal por polinmios cbicos de Hermite. Este procedimentoenvolve a definio de um novo grau de liberdade por n, associado funo

1=ue sem significado

fsico bvio o deslocamento axial a derivada desta nova funo (1,x

=u).2 Recorde-se que os esforos transversos tm de ser aplicados no centro de corte para que no haja

toro (apesar de as flexes correspondentes ocorrerem em torno dos eixos principais centrais deinrcia) e note-se que os graus de liberdade relativos extenso axial podem ser referidos a qualquerponto (o procedimento mais habitual referi-los ao centro de gravidade ver Fig. 4(a)).


28/36


3636

3 Neste trabalho, posiciona-se o elemento de n no ponto da ligao definido pela interseco dos ei-xos dos centros de gravidade das barras que nela convergem. Nesse ponto, adopta-se um sistemade eixos de referncia.

4 Trata-se de uma representao tridimensional de resultados obtidos atravs de uma anlisebaseada numa modelao unidimensional elementos finitos de barra baseados na GBT. J arepresentao fornecida pelo programa ANSYS genuinamente tridimensional baseia-se em

resultados obtidos com uma modelao por elementos finitos de casca.5 Para permitir uma melhor compreenso da configurao deformada fornecida pelo ANSYS, omi-

tem-se as linhas que definem a malha de elementos finitos de casca adoptada na anlise.6 Remete-se o leitor interessado na comparao entre os valores obtidos atravs da GBT e for-

necidos por anlises efectuadas com elementos finitos de casca para o trabalho recente deCamotim et al. (2006).

Referncias

Baigent A. e Hancock G. (1982). Structural analysis of assemblages of thin-walled members.

Engineering Structures, 4(7), 207-216.Camotim D., Silvestre N., Gonalves R. e Dinis P.B. (2004). GBT analysis of thin-walled members:new formulations and applications, Thin-Walled Structures: Recent Advances and Future Trends inThin-Walled Structures Technology, (International Workshop Loughborough, 25/6), J. Loughlan(ed.), Canopus Publishing Ltd., Bath, 137-168.

Camotim D., Silvestre N., Dinis P.B., Bebiano R. and Basaglia C. (2006). Recent progress onthe numerical analysis of thin-walled steel members and frames,Proceedings of the InternationalSymposium on Innovative Design of Steel Structures(Hong Kong, 10/11), B. Young (ed.), 63-104.

Camotim D., Silvestre N., Gonalves R. e Dinis P.B. (2006). GBT-based structural analysis ofthin-walled members: overview, recent progress and future developments,Advances in Engineering

Structures, Mechanics & Construction(SMCD2006 Waterloo, 14-17/5), M. Pandey, W. Xie, L. Xu(eds.), Springer, 187-204.

Dinis P.B., Camotim D. e Silvestre N. (2006). GBT formulation to analyse the buckling behaviour of thin-walled members with arbitrarily branched open cross-sections, Thin-Walled Structures, 44(1), 20-38.

Gonalves R. e Camotim D. (2004). GBT local and global buckling analysis of aluminium andstainless steel columns, Computers & Structures, 82(17-19), 1473-1484.

Gonalves R. e Camotim D. (2006). Thin-walled member plastic bifurcation analysis usinggeneralised beam theory, Computers & Structures, aceite para publicao.

Krenk S. (1990). Constrained lateral buckling of I-beam gable frames. Journal of StructuralEngineering(ASCE), 116(12), 3268-3284.

Krenk S. e Damkilde L. (1991). Warping of joints in I-beam assemblages, Journal of EngineeringMechanics(ASCE), 117(11), 2457-2474.

MacPhedran I. e Grondin G. (2005). Warping restraint and steel frame instability.Proceedings of StructuralStability Research Council (SSRC) Annual Stability Conference(Montreal, April 6-9), 205-224.

Masarira A. (2002). The effect of joints on the stability behaviour of steel frame beams, Journal ofConstructional Steel Research, 58(10), 1375-1390.


29/36



3737

Morrell P., Riddington J., Ali F. e Hamid H. (1996). Influence of joint detail on the flexural-torsional interaction of thin-walled structures, Thin-Walled Structures, 24(2), 97-111.

SAS Swanson Analysis Systems Inc. (2004).ANSYS Reference Manual(Version 8.1).

Schardt R. (1989). Verallgemeinerte Technische Biegetheorie, Springer Verlag, Berlin.

Silvestre N. e Camotim D. (2002a). First-order generalised beam theory for arbitrary orthotropicmaterials, Thin-Walled Structures, 40(9), 755-789.

Silvestre N. e Camotim D. (2002b). Second-order generalised beam theory for arbitrary orthotropicmaterials, Thin-Walled Structures, 40(9), 791-820.

Silvestre N. and Camotim D. (2003a). GBT buckling analysis of pultruded FRP lipped channelmembers, Computers & Structures, 81(18-19), 1889-1904.

Silvestre N. and Camotim D. (2003b). Non-linear generalised beam theory for cold-formed steelmembers,International Journal of Structural Stability and Dynamics, 3(4), 461-490.

Silvestre N e Camotim D. (2007). Elastic buckling and second-order behaviour of pitched-roofsteel frames,Journal of Constructional Steel Research, 63(08), 804-818.

Silvestre N. e Camotim D. (2006b). Vibration behaviour of axially compressed cold-formed steelmembers, Steel and Composite Structures, 6(3), 221-236.

Silvestre N. e Camotim D. (2006c). GBT-based local and global vibration analysis of loadedcomposite open-section thin-walled members, International Journal of Structural Stability andDynamics, 6(1), 1-29.

Tong G., Yan X. e Zhang L. (2005). Warping and bimoment transmission through diagonallystiffened beam-to-column joints.Journal of Constructional Steel Research, 61(6), 749-763.

Vacharajittiphan P. e Trahair N. (1974). Warping and distortion at I-section joints.Journal of theStructural Division(ASCE), 100(3), 547-564.

Vlasov V.Z. (1958). Thin-Walled Elastic Bars. Fizmatgiz, Moscow. (Russian English translation:Israel Program for Scientific Translation, Jerusalm, 1961)


30/36


3838


31/36



3939

Plane and spatial analysis of the globalbehaviour of thin-walled steel frames using

generalised beam theory

Abstract

This paper presents the formulation and numerical implementation of beam finiteelements based on Generalised Beam Theory (GBT), which are intended to analyse theplane and spatial global structural behaviour of thin-walled steel frames, in the elasticrange. In order to achieve this goal, it is indispensable to establish kinematic rela-tionships making it possible to ensure displacement and rotation compatibility at thejoints connecting non-aligned members particular attention is paid to the warpingdisplacement compatibility, a very important aspect. After briefly reviewing the mainconcepts and procedures involved in the performance of a GBT analysis, one presentsin detail the formulation and numerical implementation of GBT-based beam finite el-ements that include only the four rigid-body deformation modes in particular, onedescribes the procedures leading to the determination of the finite element and framelinear and geometric stiffness matrices (the latter must include the influence of theframe joints and end support conditions). Next, one addresses kinematic models aimedat simulating the warping transmission at frame joints connecting two or more U andI-section members and exhibiting three different configurations: web-continuity and

flange-continuity with either diagonal or box-stiffening. Finally, in order to illustratethe application and capabilities of the developed GBT-based beam finite elements, onepresents and discusses numerical results concerning the first-order behaviour of asimple L-shaped frame and the buckling behaviour of industrial building pitched-roofframes some of these results were validated through the comparison with valuesyielded by (conventional) ANSYS beam or shell finite element analyses.

Keywords: Thin-walled steel frames. Generalised Beam Theory (GBT). Finite elementmethod (shell and beam). Geometrically linear analysis. Plane bucklinganalysis. Spatial buckling analysis.

Introduction

In recent years, cold-formed steel profiles have been increasingly used in the construc-tion industry, namely to build the structural framing of either industrial (predominantly)or residential buildings this is mostly due to their high structural efficiency (largestrength-to-weight ratio), remarkable fabrication versatility and progressively low fabrica-


32/36


440

tion and erection costs. However, the rigorousanalysisof thistypeof frames,by means ofbeam(one-dimensional) models, still remains a rather open problem that attracts consid-erable attention from the technical/scientific community. This is due to the fact that mostcold-formed steel profiles have thin-walled open cross-sections, which means that they ex-hibit a small torsional stiffness and are very susceptible to warping deformations, and

the mechanics of the warping transmission at joints connecting non-aligned membersconstitute a very complex (and not yet fully understood) phenomenon to make mattersworse, these mechanics are strongly dependent on the particular joint configuration).

In the context of the global structural behaviour of thin-walled frames, a fair num-ber of researchers have investigated the torsion rotation compatibility and warpingtransmission at the frame joints (e.g., Masarira 2002 or Tong et al. 2005). However,virtually all these studies were carried out by means finite element analyses, adoptingdiscretisations in either (i) shell elements or (ii) beam elements based on Vlasovs theoryin the latter case, modelling the warping transmission at the joints is no straight-forward task. One very promising alternative to the above approaches is the use of

a one-dimensional model (beam finite element) based on Generalised Beam Theory(GBT), a beam theory that incorporates genuine folded-plate concepts, was originallyformulated by Schardt (1989) and has experienced substantial new developments inthe last few years (e.g., Camotim et al., 2004, 2006). Since all these developments tookplace solely for isolated members, an important gap still needs to be bridged before theGBT approach can be applied to thin-walled frames: one must be able to handle jointsconnecting members with different orientations, i.e., to express the corresponding de-grees of freedom in a modal language.

The aim of this work is to present the formulation and numerical implementationof GBT-based beam finite elements, intended to assess the plane and spatial global

structural behaviour of thin-walled steel frames, and also to illustrate its applicationand potential. The numerical results displayed and discussed concern the first-orderbehaviour of a simple L-shaped frame and the buckling behaviour of pitched-roofframes for validation purposes, the GBT-based results are compared with valuesyielded by ANSYS shell or (conventional) beam finite element analyses.

Brief review of the GBT fundamentals

this section includes a brief overview of the most important concepts involved in the

performance of a GBT cross-section analysis: (i) identification of the deformation modesand (ii) evaluation of the corresponding modal mechanical properties (see Fig. 2). Oncethis knowledge is acquired, it becomes possible to establish the GBT system of equilibriumequations (see Eq. (2)) note that the components of tensors (matrices) Cik, Dikand Bikare cross-section modal mechanical properties concerning the cross-section wall warpingdisplacements ([Cik]), torsional rotations ([Dik]) and transverse bending ([Bik]). Because thiswork deals exclusively with the frame global behaviour, (i) only the four rigid-body modes


33/36



441

are included in the beam finite element formulations and (ii) matrix [Bik] is obviously null(only tensors [Cik] and [Dik] have to be dealt with).

Formulation of GBT-based beam finite elements

this section addresses the procedures involved in the determination of the frameoverall linear and geometric stiffness matrices (on the basis of the corresponding GBT-based element matrices) the main aspects concerning these procedures may be brieflydescribed as follows:

(i) After discretising the frame, one must handle separately the degrees of freedomassociated with the member internal nodes and the member end nodes corre-sponding to frame joints (connecting two or more differently oriented memberssee Fig. 5). In the former, one always deals with GBT degrees of freedom andcompatibility is straightforwardly ensured (Silvestre and Camotim 2003a). The

same does not occur in the joint nodes, as it is no easy task to express the com-patibility conditions in terms of the GBT degrees of freedom of the convergingfinite elements this is due to their modal nature and also to the fact that theyare referred to different coordinate systems. Then, one must transform thesemodal degrees of freedom into nodal ones before addressing their compatibility(see eqs. (11)-(12)) this is done by resorting to a joint element concept, whichmakes it possible to take care of all the joint compatibility issues.

(ii) In a joint element one transforms the GBT modal degrees of freedom of allthe converging finite elements into nodal generalised displacements of the pointwhere the connection is deemed to be materialised usually, the intersection of

the centroidal axes of at least two of the various connected members (see Fig. 6).Particular attention must be paid to the quantification of the warping transmis-sion between the members (finite elements) connected at the joint see Eq. (16),where is a constant relating the member end torsional rotation derivatives.

(iii) Once all joint compatibility issues are dealt with, one readily obtains the frameoverall total stiffness matrix (sum of linear and geometric terms), which relatesmixed degrees of freedom (GBT modal ones in all member internal nodes andconventional generalised displacements in the joints connecting those mem-bers) to the corresponding generalised forces.

After determining the frame overall total stiffness matrix, the performance ofits structural analysis consists of solving the matrix equations presented in Eq. (17),which concern either a first-order or a buckling analysis. However, since the (mixed)eigenvectors combine joint nodal generalised displacements and member GBT degreesof freedom and one wishes to have a modal representation of the frame buckling modes,it is indispensable to transform back the nodal degrees of freedom into modal (GBT)ones associated with the end section of each converging finite element (member) end


34/36


4242

see Eq. (18). Finally, with all the member GBT degrees of freedom known, one readilyobtains the modal representation of the frame buckling modes, thus making it possibleto identify and quantify the individual contributions of the various member deforma-tion modes this feature provides fresh insight and a in-depth understanding aboutthe mechanics of the frame global (first-order or buckling) behaviour.

Warping transmission

This section reports the kinematic models adopted to simulate the warping trans-mission at frame joints connecting two or more non-aligned U and I-section membersthis transmission depends on the joint configuration and its quantitative assessmentrequires the performance and interpretation of careful shell finite element analyses.Next, one briefly addresses the warping transmission mechanisms associated with thejoint configurations considered in this work:

(i) In the joint shown in Figure 9, the flanges of the two connected members lie inthe same planes, which means that it is logical to assume continuity betweenthem. Then, the two connected member cross-sections may be viewed as the fac-es of a single cross-section, which readily implies that they exhibit exactly thesame warping displacement values and signs therefore, the warping transmis-sion is said to be complete and direct.

(ii) When the (U or I-section) connected member webs have lie in the same plane (i.e.,there is web continuity), the warping transmission at the joint involves, in thegeneral case, distortion (i.e., local deformations stemming from wall transversebending), a fact automatically implying an incomplete warping transmission this is the case, for instance, of the plain (unstiffened) joint depicted in Figure10(a). Therefore, a complete warping transmission in joints with web continu-ity can only be achieved by stiffening the joint, i.e., by adding plates to preventdistortion this is the case of the joints shown in Figures 10(b) and 10(c), con-necting U-section members and stiffened by means of either a diagonally placedplate (diagonal-stiffened joint) or the extension of the connected member flanges(box-stiffened joint).

Illustrative Examples

In order to validate and illustrate the application and capabilities of the derivedGBT-based beam finite elements, in this section one presents and discusses numericalresults concerning the (i) spatial first-order behaviour of a simple L-shaped frame and(ii) plane and spatial buckling behaviour of an industrial building pitched-roof frame.


35/36



4343

Simple L-shaped frame first-order analysis

This subsection deals with the first-order behaviour of a simple L-shaped frame,formed by two fixed-end equal-length (L=220 cm) orthogonal U-section members (seeFig. 14(b)) connected at the joint with flange continuity (see Fig. 9(a)) its geometryand loading are shown in Figure 15(a). Taking advantage of the GBT modal nature, one

determines (i) the variation of the transversal displacements along the member axes(see Fig. 16), (ii) the modal amplitude functions and frame deformed configurations(see Fig. 17) and (iii) the two member mid-span cross-section deformed configurationsand normal stress distributions (see Figs. 18(b) and 19(a)) the proposed GBT-basedbeam finite element was found to provide very clear insight on the mechanics of theframe structural behaviour. In order to validate the GBT-based results, some of themare compared with values yielded by shell finite element analyses carried out in thecommercial code ANSYS (SAS 2004) and adopting member discretisations into shell63elements (ANSYS terminology) a practical coincidence was found in all cases (all er-rors always below 2.0% the overwhelming majority below 0.5%).

Pitched-roof plane frame buckling analysis

Next, one presents and discusses numerical results concerning the in-plane andspatial global buckling behaviour of the symmetrical fixed-base pitched-roof frameshown in Figure 20(a), which is formed by columns and rafters with the same U-section(displayed in Fig. 20(b)), connected by either diagonal-stiffened or box-stiffened jointswith web continuity (see Figs. 10(b) and 10(c)) and subjected to a purely axial loadingdefined by the ratio=N

r/ N

c, whereN

candN

rare the column and rafter axial forces

(see Fig. 20(a)). The numerical results dealing with the frame in-plane buckling behav-iour consist of the variation, with the loading parameter ratio , of the frame first twobuckling load values, associated with symmetric and anti-symmetric buckling modes(see Fig. 21(a)-(c)), and critical buckling mode shapes, which are either symmetric oranti-symmetric (see Fig. 22). Next, one investigates the spatial buckling behaviour ofthe same pitched-roof plane frame, now assumed to have the columns fixed in bothplanes and the out-of-plane transverse displacements fully restrained at the three jointlocations (see Fig. 23(a)). The results presented concern both diagonal and box-stiffenedjoints and comprise the variation of the frame critical buckling load with (see Fig.23(b)), and, for =0 (only the column are axially loaded), the modal representation ofthe frame critical spatial buckling mode (see Figs. 24 and 25). For validation purposes,some GBT-based in-plane and spatial buckling results are compared with values yield-ed by conventional beam finite element analyses again performed in the code ANSYS,now adopting member discretisations into beam189 elements once more, an excellentagreement was found (the errors remain always below 0.5%).


36/36

Conclusion

Besides going quickly over the content of the whole paper, one underlines the veryhigh numerical efficiency of the proposed GBT-based beam finite elements. Indeed,virtually exact results (the maximum difference between the GBT-based and ANSYS

values never exceeded 2.0%, with the vast majority of them below 0.5%) were obtainedwith rather small numbers of degrees of freedom orders of magnitude below the onesrequired to perform equally accurate ANSYS analyses.

Análise do comportamento global plano e espacial de pórticos metálicos utilizando a teoria...

Documents

Transcript of Análise do comportamento global plano e espacial de pórticos metálicos utilizando a teoria...