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ANLISE DIMENSIONAL E SEMELHANA Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. Fenmenos de Transporte

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Anlise Dimensional e Semelhana A maioria dos problemas na mecnica dos fluidos no podem ser resolvidos com procedimentos analticos, apenas utilizando procedimentos experimentais; Muitos problemas so resolvidos utilizando abordagem experimental e analtica; Um objetivo de qualquer experimento obter resultados amplamente aplicveis (medidas obtidas num sistema em laboratrio podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar); Para isso necessrio estabelecer a relao que existe entre o modelo de laboratrio e o outro sistema.

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Anlise Dimensional e Semelhana Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo uso do princpio de homogeneidade dimensional, aplicado s equaes e leis de conservao. O desenvolvimento da Mecnica dos Fluidos depende de : anlise terica resultados experimentais (numricos e/ou de laboratrio) Em certas situaes so conhecidas as variveis envolvidas no fenmeno fsico, mas no a relao funcional entre elas. A anlise dimensional permite associar variveis em grupos adimensionais. Quando o teste experimental em um prottipo em tamanho real impossvel ou caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.

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Pelo procedimento chamado anlise dimensional, o fenmeno pode ser formulado como uma relao entre um conjunto de grupos adimensionais das variveis. Quando se realiza um trabalho de laboratrio, desejamos : o maior nmero de informaes o menor nmero de ensaios Anlise dimensional Parmetros adimensionais (apresentao resumida em grficos) Os fenmenos em Mecnica dos Fluidos dependem : parmetros geomtricos parmetros do escoamento

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Exemplo : Fora de arraste F sobre uma esfera lisa, de dimetro D, estacionria, imersa em um escoamento uniforme de velocidade V. Que experincias sero necessrias para determinar a fora de arraste F sobre a esfera ? Sabemos que F = f(D, V, , )desconsiderando a rugosidade superficial. [mas, esta hiptese razovel?] Formulao do problema por grandezas controladas e medidas em laboratrio. Depois de construda a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada varivel: Curva F vs. V com parmetros D, , 10 ensaios Curva F vs. D com parmetros V, , 10 ensaios Curva F vs. com parmetros D, V, 10 ensaios TOTAL : 10 4 ensaios Se cada ensaio leva 0,5 hora 8 horas/dia 2,5 anos para completar o trabalho ! ! Existir uma enorme dificuldade na apresentao dos resultados.

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Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressvel de um fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Que experincias sero necessrias para determinar a diferena de presso por unidade de comprimento do tubo p1? Sabemos que p1 = f(D, V, , )desconsiderando a rugosidade superficial. Formulao do problema por grandezas controladas e medidas em laboratrio. Depois de construda a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada varivel: Curva p1 vs. V com parmetros D, , 5 ensaios Curva p1 vs. D com parmetros V, , 5 ensaios Curva p1 vs. com parmetros D, V, 5 ensaios TOTAL : 10 4 ensaios.

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v p1 D

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Podemos agrupar as variveis em duas combinaes adimensionais (denominados grupos adimensionais) de modo que: Assim ns podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de trabalhar com 5 variveis.

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Instrumentos da Anlise Dimensional Para prever as relaes entre grandezas em um dado fenmeno, temos: o teorema de Bridgman o teorema de Buckingham Teorema de Bridgman O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundria ou dependente pode ser expressa por um produto de grandezas primrias. Exemplo: E = f(m, V) E = C m V 2, onde C = cte. Teorema de Buckingham O teorema dos de Buckingham fornece as relaes entre os parmetros dimensionais, para obter os parmetros adimensionais.

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Teorema dos de Buckingham Dado um problema fsico onde a varivel dependente funo de n-1 variveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relao do tipo : q 1 = f(q 2, q 3,... q n ) ou tambm: g (q 1, q 2, q 3,... q n ) = 0. O teorema estabelece que : variveis independentes varivel dependente relao funcional (desconhecida) Dada uma relao entre n variveis da forma g (q 1, q 2, q 3,... q n ) = 0 estas n variveis podem ser agrupadas em n-m razes adimensionais independentes, ou parmetros expressados sob a forma funcional : G ( 1, n-m ) = 0 ou n-m ) O nmero m usualmente igual ao menor nmero de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessrias para especificar as dimenses das variveis q 1, q 2, q 3,... q n. NOTA : O teorema no prev a forma funcional de G ou H. Ela pode ser determinada experimentalmente.

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Determinao dos grupos passos 1 Passo Liste todos os parmetros envolvidos Se nem todos os parmetros pertinentes forem includos, uma relao ser obtidas, mas no fornecer a histria completa. 2 Passo Selecione um conjunto de dimenses fundamentais (primrias) P.ex. M, L, t 3 Passo Liste as dimenses de todos os parmetros os parmetros em termos das dimenses primrias 4 Passo Selecione da lista um nmero de parmetros que se repetem, igual ao nmero de dimenses primrias, e incluindo todas as dimenses primrias 5 Passo Estabelea equaes dimensionais combinando os parmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haver n-m equaes) 6 Passo Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido adimensional.

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Smbolos e Dimenses em Mec. Flu. QuantidadeSmboloDimenses ComprimentolL TempotT MassamM ForaFML/T 2 VelocidadeVL/T AceleraoaL/T 2 Freqncia T -1 GravidadegL/T 2 reaAL2L2

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Smbolos e Dimenses em Mec. Flu. QuantidadeSmboloDimenses VazoQL 3 /T Fluxo de massaM/T PressopM/LT 2 Tenso M/LT 2 Massa especfica M/L 3 Peso especfico M/L 2 T 2 Viscosidade M/LT Viscosidade cinemtica L 2 /T

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Smbolos e Dimenses em Mec. Flu. QuantidadeSmboloDimenses TrabalhoWML 2 /T 2 Potencia, fluxo de calorML 2 /T 3 Tenso superficial M/T 2 Mdulo da elasticidade volumtrica M/LT 2

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Fora de arrasto Fora de arrasto a fora que faz resistncia ao movimento de um objeto slido atravs de um fluido (um lquido ou gs). O arrasto feito de foras de frico (atrito), que agem em direo paralela superfcie do objeto (primariamente pelos seus lados, j que as foras de frico da frente e de trs se anulam), e de foras de presso, que atuam em uma direo perpendicular superfcie do objeto (primariamente na frente e atrs, j que as foras de presso se cancelam nas laterais do objeto).

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A fora de arrasto velocidade Varrasto F a = densidade do meio A = rea frontal C a = coeficiente de arrasto

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O coeficiente de arrasto AV 2 tem dimenso de fora C a = F a / ( AV 2 ) adimensional C a s pode depender de quantidades sem dimenso Em um fluido incompressvel (V

Significado Fsico Compressibilidade importante V >0,3c Componente no permanente se repete periodicamente A tenso superficial influencia o escoamento

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Escoamentos Semelhantes Estudos em Modelos Para que haja similaridade entre o prottipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condies Semelhana geomtrica Semelhana cinemtica Semelhana dinmica

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Semelhana Semelhana geomtrica

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Semelhana Semelhana cinemtica

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Semelhana dinmica Semelhana