UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANCENTRO DE ENGENHARIAS E CINCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICACURSO DE ENGENHARIA QUMICA

ANLISE DIMENSIONAL E O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

TOLEDO/PR5

2014UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANCENTRO DE ENGENHARIAS E CINCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUMICACURSO DE ENGENHARIA QUMICA

MATHEUS ALLAN MAIORMATHEUS PIASECKI

ANLISE DIMENSIONAL E O TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

Trabalho entregue como requisito parcial de avaliao da disciplina de Fenmenos de Transporte I do curso de Engenharia Qumica da Universidade Estadual do Oeste do Paran Campus Toledo.

Prof. Me. Fabiano Bisinella Scheufele.

TOLEDO/PR20141. INTRODUO

Muitas vezes, na modelagem matemtica ou no tratamento algbrico de um sistema, pode-se encontrar algum parmetro cujas dimenses no so conhecidas, ou no se sabe sobre sua dependncia em relao a outras variveis, ou ainda no se tem conhecimento fsico sobre o mesmo. Nessas situaes, faz-se necessria a aplicao de uma anlise dimensional, equacionando o parmetro a ser analisado com outras grandezas fundamentais, determinando-se assim a integridade, a homogeneidade e a validade fsica de tal parmetro. Os dois principais teoremas a respeito da anlise dimensional so os teoremas de Buckingham e de Bridgman.

2. ANLISE DIMENSIONAL

Anlise dimensional consiste na previso, verificao e resoluo de equaes que relacionam grandezas fsicas, de forma a garantir a validade fsica das mesmas. A fim de proporcionar homogeneidade nas anlises, trata-se as grandezas fsicas de modo algbrico, e emprega-se unidades de medida arbitrrias, impedindo erros de converso ou medidas sem sentido fsico (MARTINS, 2008).No sistema internacional, so sete as grandezas, ou dimenses, fundamentais: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente eltrica, temperatura absoluta, intensidade luminosa e quantidade de matria. A partir delas, grandezas mais complexas podem ser expressas (HALLIDAY et al., 1996). Alguns exemplos so a vazo mssica, que pode ser descrita em funo da massa e do tempo, e a acelerao, descrita em funo do comprimento e do tempo.

H vrios jeitos de se representar as grandezas fundamentais, como o Sistema Internacional (SI), o sistema ingls, entre outros. A fim de se utilizar uma representao mais genrica, o sistema MLT muito empregado na anlise dimensional (HALLIDAY et al., 1996).

3. EQUAES DIMENSIONAIS

Para fazer-se uma anlise dimensional, faz-se necessrio determinar as equaes dimensionais para a grandeza a ser analisada. Uma equao dimensional, tambm chamada de funo dimensional ou identidade dimensional, uma funo binria que associa uma certa grandeza sua dimenso (ou unidade de medida) a partir de uma operao matemtica. Elas so o instrumento mais empregado na anlise dimensional, permitindo verificar-se a consistncia e a homogeneidade das dimenses de uma certa grandeza (MARTINS, 2008).As equaes dimensionais apresentam quatro propriedades importantes na sua aplicao em uma anlise dimensional. So elas o fechamento, onde todas as grandezas definidas no sistema de unidades adotado pertencem ao sistema analisado; a consistncia, onde o sistema de unidades adotado sempre consistente internamente em relao s grandezas; a neutralidade, propriedade de uma grandeza que apresente dimenso unitria; e a assimetria, na qual se duas grandezas apresentem as mesmas dimenses analticas, no necessariamente as duas grandezas so iguais (p.e. energia e torque) (GASPAR, 2003).

4. SISTEMAS DE TIPOLOGIA

Para simplificar o estudo de sistemas particulares, tais como a mecnica ou a eletrosttica, que no envolvem todas as sete grandezas fundamentais, define-se sistemas de tipologia menores. Os mais comuns so os sistemas ternrios. Nele, escolhe-se trs grandezas primordiais, escrevendo-se todas as outras em funo destas (SALMERON, 1963). Um exemplo o estudo da mecnica, que envolve trs grandezas primordiais: massa, comprimento e tempo (HALLIDAY et al., 1996). Assim, para analisar-se grandezas mecnicas, define-se o sistema ternrio LMT (juno das trs letras que representam as grandezas primordiais).Assim, uma grandeza [G] analisada em um sistema ternrio genrico ABC, deve ser descrita como

onde , e so as dimenses das grandezas fundamentais em [G].Sistemas quaternrios, envolvendo comprimento, massa, tempo e carga eltrica (ou corrente eltrica) tambm tem boa aplicao na anlise dimensional.

5. TEOREMA DE BUCKINGHAM

O teorema de Buckingham um dos teoremas centrais dentro da anlise dimensional (MARTINS, 2008). Quando a grandeza possui um nmero muito grande de variveis, aplica-se a anlise dimensional a um grupo de variveis auxiliares, simplificando a resoluo.O teorema de Buckingham enuncia que, em vez de fazer-se a anlise dimensional de uma grandeza que funo f de n variveis, aplica-se a tcnica a uma funo g de n k variveis auxiliares, aonde k o nmero de grandezas fundamentais do sistema. Essas variveis auxiliares so chamadas de grupos adimensionais ou nmeros (BARBOSA, 2014).Assim, quanto maior o nmero de grandezas fundamentais envolvidas, mais simples a resoluo do sistema por meio do teorema . Reitera-se que os grupos adimensionais encontrados no so nicos para uma grandeza, mas existem conjuntos diferentes de grupos que podem ser obtidos (BARBOSA, 2014).A aplicao do teorema de Buckingham segue seis passos simples, descritos abaixo:1) Listar-se todas as n variveis que influenciam a grandeza a ser analisada;2) Selecionar-se o conjunto mnimo de k grandezas fundamentais necessrio;3) Escrever-se as variveis anteriores em funo das grandezas fundamentais escolhidas;4) Selecionar-se k das n variveis, de forma que todas as grandezas fundamentais estejam representadas. Nessa etapa, no seleciona-se variveis cuja dimenso potncia de outra (tal como rea e volume), nem a prpria grandeza analisada. D-se preferncia a grandezas que possam ser facilmente medidas experimentalmente;5) Para as demais variveis, tomar-se grupos conforme o passo anterior, elevando-se as variveis escolhidas anteriormente a um expoente incgnita;6) Resolver-se as equaes dimensionais resultantes e determinar-se os expoentes incgnitas definidas no passo anterior.

Os nmeros obtidos no teorema de Buckingham podem ou no ter sentido fsico. Muitos dos nmeros adimensionais empregados na engenharia foram obtidos de anlises dimensionais (INCROPERA e DEWITT, 1998).

6. APLICAO DO TEOREMA DE BUCKINGHAM

Exemplo 1) Faz-se a aplicao do teorema de Buckingham para analisar-se a tenso de cisalhamento em um escoamento em duto circular, para obter-se uma expresso a partir das variveis. Sabe-se que a tenso de cisalhamento depende da densidade do fluido em escoamento, da ao da gravidade sobre o mesmo, da diferena de altura manomtrica medida, do dimetro da tubulao e da largura total do duto. Assim, tem-se(1)

As grandezas analisadas tem as seguintes dimenses: Tenso de cisalhamento [ML-1T-2] Densidade () [ML] Acelerao da gravidade (g) [LT-2] Dimetro da tubulao (D) [L] Largura da tubulao (L) [L] Altura manomtrica (h) [L]

Observando-se as dimenses das variveis, define-se o sistema ternrio MLT como o sistema de grandezas fundamentais. Assim, k = 3. Reescreve-se a equao (1):(2)

Escolhe-se a densidade, a gravidade e a largura da tubulao como grupo de parmetros. Define-se, ento, trs grupos para anlise:

(3a)

(3b)

(3c)

Ento, faz-se a anlise dimensional das trs equaes anteriores, chegando-se s equaes 4a, 4b e 4c.

(4a)

(4b)

(4c)

Assim, para cada equao, faz-se a anlise de cada grandeza fundamental separadamente, chegando-se a 3 equaes para cada equao anterior:(5a)

(5b)

(5c)

(6a)

(6b)

(6c)

(7a)

(7b)

(7c)

Resolvendo-se as nove equaes, encontra-se: a = 1, b = 1 e c = 1 d = 0, e = 0, f = 1 g = 0, h= 0, i = 1

Isolando-se as dimenses de tenso de cisalhamento na equao (4), e retornando-se na equao (1), tem-se que

(8)

Assim, sabe-se que a tenso de cisalhamento linearmente dependente de todas as variveis analisadas, sendo inversamente proporcional ao comprimento da tubulao, e diretamente proporcional s demais variveis. Vale notar que a tenso de cisalhamento pode no ser numericamente igual expresso do lado direito da equao, por isso coloca-se a notao de funo.Nota-se tambm que os nmeros so parmetros adimensionais que podem (ou no) ter sentido fsico.

Exemplo 2) Procura-se determinar os nmeros para a velocidade de escoamento de um fluido em um duto circular. Sabe-se que a velocidade depende da densidade do fluido, da viscosidade do mesmo e do dimetro do tubo. Assim,(1)

(2)

Analisando-se as dimenses das variveis da equao (2): Velocidade de escoamento (v) [LT-1] Densidade () [ML-3] Viscosidade dinmica () [ML-1T-1] Dimetro de tubulao (D) [L]

A partir das unidades, percebe-se que o sistema de grandezas fundamentais necessrio o sistema MLT, um sistema ternrio. Como a velocidade, funo a ser analisada, no pode ser escolhida, monta-se o grupo de parmetros base com a densidade, a viscosidade e o dimetro. Assim:

(3)

(4)

Resolvendo-se a equao 4, tem-se que a = 1, b = 1 e c = 1. Dessa forma, define-se o nmero como sendo

(5)

Analisando-se fisicamente o nmero , percebe-se que ele a razo entre foras inerciais (v) e foras viscosas (/D). Esse nmero chamado de nmero de Reynolds (Re) e empregado na determinao de regimes de escoamento (LIVI, 2004).

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BARBOSA, M.P. Mecnica de fluidos Anlise dimensional. Disponvel em . Acesso em 25 out 2014.

GASPAR, A. Fsica, volume 3. 1 edio, Editora tica, 2003.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Fsica I. 4 edio, Editora LTC, 1996.

INCROPERA, F.P.; DEWITT, D.P. Fundamentos de transferncia de calor e de massa. 4 edio, Editora LTC, 1998.

LIVI, C.P. Fundamentos de fenmenos de transporte. 1 edio, Editora LTC, 2004.

MARTINS, R.A. A busca da cincia a priori no final do sculo XVIII e a origem da Anlise dimensional. 2 edio, Editora UNICAMP, 2008.

SALMERON, R.A. Introduo eletricidade e ao magnetismo. 4 edio, Editora So Paulo, 1963.