Cap.7 – Análise Dimensional e semelhança 7.1 - Introdução 7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham...
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Cap.7 – Análise Dimensional e semelhança
7.1 - Introdução
7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham
7.3 – Determinação dos grupos Pi
7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos
7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos
7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional
7.1 – Introdução
Problema típico em mecânica dos fluidos :Diminuir arrasto aerodinâmico em veículos
Equações Fundamentais
Soluções Analíticas
Soluções Numéricas
Métodos Experimentais
Protótipos em escala 1:1
Testes em modelos
Análise Dimensional
A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos são caracterizados por parâmetros geométricos do escoamento e por grandezas mensuráveis do escoamento, tais como pressão, velocidade e por características físicas dos fluidos
FV
),,D,V(fF
VD
fDV
F22
VD
fDV
F22
Parâmetros adimensionais FV
LtM
LtL
LM
f
LtL
LM
tML
3
22
2
3
2
Sistema M,L,t(massa, comprimento e tempo) ][f][
ReVD
)/(
VDVD
Número de Reynolds(parâmetro adimensional)
000000 tLMftLM
7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham
Considerando um problema no qual um parâmetro é dependente de n-1 parâmetros independentes, pode-se escrever a função :
)q,...,q,q,q(fq n4321
Matematicamente, expressa-se a relação acima de forma equivalente :
0)q,...,q,q,q,q(g n4321
O teorema dos PI de Buckingham:
Dada uma relação entre n parâmetros do tipo , então os n parâmetros poderão ser agrupados em (n-m) razões independentes adimensionais, os parâmetros , que podem ser expressos por uma função :
0)q,...,q,q,q,q(g n4321
0),...,,(G mn21
),,D,V(fF
0),,D,V,F(g
0VD
fDV
F22
0),,D,V,F(g
Análise Dimensional
0VD
fDV
F22
0)q,q,q,q,q(g 54321 0),(G 21
Resultados experimentais
7.3 – Determinação dos grupos Pi
Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo
5n,,D,V,F
Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t)
3mt,L,M
Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais :
Lt
M
L
ML
t
L
t
ML
DVF
32
Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias :
3L
ML
t
L
DV
Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :
000cba1 tLMFDV
000fed2 tLMDV
Exemplo 7.1 - Força de arrasto sobre esfera lisa
0002
c
3
ba
1 tLMt
ML
L
ML
t
L
000f
3
ed
2 tLMLt
M
L
ML
t
L
0002a1c3ba1c1 tLMtLM
0001d1f3ed1f2 tLMtLM
02a01c3ba01c 01d01f3ed01f
1c 1f
2a 2b013b2 1d 1e013e1
22122cba
1 DV
FFDVFDV
Re
1
VDDVDV 111fed
2
Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo 7ne,,,D,V,L,p
Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou F,L,t)
3mt,L,M
Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros dimensionais : L
Lt
M
L
ML
t
LL
Lt
M
eDVLp
32
Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados devem possuir todas as dimensões primárias :
3L
ML
t
L
DV
Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros :
000cba1 tLMpDV
000fed2 tLMLDV
Exemplo 7.2 - Queda de pressão no escoamento em um tubo
000ihg3 tLMDV
000lkj4 tLMeDV
7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos
Forças viscosas = VLLL
VA
dy
duA 2
Forças de pressão = 2L)p(A)p(
Forças de gravidade = 3Lgmg
Forças de tensão superficial = L
Forças de compressibilidade = 2vv LEAE
Forças de inércia = 22LV
Forças de inérciaForças viscosas
ReVLVL
VL
LV 22
Número de Reynolds :
Forças de pressão Forças de inércia 2
2122
2
V
p
LV
L)p(
Número de Euler :
22
1
v
V
ppCa
Índice de cavitação:
Forças de inérciaForças gravitacionais
22
3
22
FrgL
V
gL
LV
Número de Froude :gL
VFr
Forças de inérciaForças de compressibilidade
22
2
v
2
2v
22
Mc
V
/E
V
LE
LV
Número de Mach :c
VMaM
7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos
Semelhança de escoamentos:
1 - Semelhança geométrica
Escala entre modelo e protótipo
2 - Semelhança dinâmica
PM
PM
VLVLReRe
Parâmetros adimensionais iguais entre modelo e protótipo
Túnel de vento
Tanque de simulação marítima
PMPM
VLVLReRe
Túnel de vento
Velocidade do protótipo = 100 km/h
Escala entre modelo e protótipo = 1-10
PPMM
PM
LVLVReRe
PPMM LVLV M
P
P
M
V
V
L
L
M
P
V
V
10
1 PM V10V
]h/km[000.1100x10VM
7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional
0y
v
x
u
Conservação da massa (bidimensional):
2
2
2
2
x y
u
x
u
x
pg
y
uv
x
uu
2
2
2
2
y y
v
x
v
y
pg
y
vv
x
vu
Navier- Stokes bidimensional (Conservação da Quant. de Movimento):
2V
pp
V
vv
V
uu
L
yy
L
xx
Parâmetros adimensionais :
2VppVvvVuuLyyLxx
Substituindo nas equações fundamentais:
0Ly
Vv
Lx
Vu
0y
v
x
u
Conservação da massa (adimensional):
2
2
2
2
2x
y
u
x
u
LVx
p
V
Lg
y
uv
x
uu
2
2
2
2
2
y
y
v
x
v
LVy
p
V
Lg
y
vv
x
vu
Conservação da Quant. de Movimento (adimensional)