ANÁLISE DE METODOS DE TRACING FLOW EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE...
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CARLOS EDUARDO FORTUNA ANÁLISE DE METODOS DE TRACING FLOW EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA CURITIBA 2010
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CARLOS EDUARDO FORTUNA
ANÁLISE DE METODOS DE TRACING FLOW EM SISTEMAS
ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
CURITIBA
2010
CARLOS EDUARDO FORTUNA
ANÁLISE DE MÉTODOS DE TRACING FLOW EM
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como requisito parcial para
obtenção do título de Engenheiro
Eletricista no curso de Engenharia
Elétrica, na Universidade Federal do
Paraná.
Orientador: Prof. M. Sc. Odilon
Luiz Tortelli
CURITIBA
2010
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
CARLOS EDUARDO FORTUNA
ANÁLISE DE MÉTODOS DE TRACING FLOW EM
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial à obtenção do
título de “Engenheiro Eletricista” do Curso de Engenharia Elétrica, na Universidade
Federal do Paraná.
_____________________________________________
Professor M. Sc. Odilon Luís Tortelli
_______________________________
Nota
CURITIBA
2010
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos professores que me orientaram durante sua execução e aos
amigos e familiares, pelo apoio e compreensão pela minha ausência.
AGRADECIMENTO
Agradeço, novamente, a todos os professores desta grande instituição de ensino pela
instrução fornecida ao longo desses anos. Em especial gostaria de agradecer ao
professor Odilon pela disponibilidade em me orientar na execução deste trabalho.
Também gostaria de realizar um agradecimento especial a professora Elizete que
gentilmente me concedeu um espaço no laboratório de microcomputadores dos
estudantes do mestrado, um espaço essencial aonde eu pude começar a desenvolver esse
projeto.
RESUMO
FORTUNA, C. E.. Análise de métodos de tracing flow em sistemas elétricos de
potência. 2010. 89 f. TCC – Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Paraná,
Curitiba, 2010.
Orientador: Odilon Luíz Tortelli
Defesa: 15/12/2010.
Este trabalho apresenta um estudo condensado a respeito de alguns métodos
de traceamento que vem sendo empregados na análise de sistemas elétricos de
potência. Nesse trabalho serão abordadas as caracterizações básicas tanto do método
matricial como também do método que utiliza a teoria de grafos, ambos
desenvolvidos com a finalidade do traceamento em vista. O foco desse trabalho está
no fluxo de potência ativa através de uma rede mas nada impede que os modelos que
serão demonstrados aqui também possam ser utilizados na análise da circulação de
corrente elétrica ou até mesmo como um parâmetro inicial para se desenvolver
abordagens semelhantes para serem aplicadas na circulação de fluxo de potência
reativa. O objetivo maior desse trabalho é proporcionar uma introdução ao assunto e
aos métodos do traceamento, de uma forma facilitada. Além de apresentar uma
construção solida dos principais fundamentos da teoria de cada método, também é
apresentado aqui algumas simulações computacionais utilizando a ferramenta de
traceamento em alguns sistemas didáticos.
Palavras-chave: tracing; traking; traceamento; proporcionalidade; inflow; outflow;
montante; jusante.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Circuito DC ............................................................................................... 16
FIGURA 2 – Corrente em um Nó .................................................................................. 18
FIGURA 3 – Nó Simplificado ........................................................................................ 19
FIGURA 4 – Correntes de entrada e de saida de um Nó ................................................ 20
FIGURA 5 – Circuito Elétrico equivalente (caso particular) ......................................... 20
FIGURA 6 – Análise de superposição (IA).................................................................... 21
FIGURA 7 – Análise de superposição (IB) .................................................................... 21
FIGURA 8 – Circuito com R cargas em paralelo ........................................................... 23
FIGURA 9 – Grafo Generico ......................................................................................... 34
FIGURA 10 – Rede generica de um S.E.P. .................................................................... 35
FIGURA 11 – Rede representada em forma de grafo .................................................... 36
FIGURA 12 – Direção dos fluxos em grafos ................................................................. 37
FIGURA 13 – Grafo de um sistema com dois geradores ............................................... 38
FIGURA 14 – Fluxos a jusante de GA ........................................................................... 38
FIGURA 15 – Fluxos a jusante de GB ........................................................................... 39
FIGURA 16 – Análise de dominios e agrupamentos em comum .................................. 40
FIGURA 17 – Arranjos em comum explicitados no grafo ............................................. 41
FIGURA 18 – Exemplo .................................................................................................. 42
FIGURA 19 – Ramos ..................................................................................................... 43
FIGURA 20 – Grafo simplificado .................................................................................. 43
FIGURA 21 – Grafo simplificado (caso alternativo) ..................................................... 44
FIGURA 22 – Rede convencional de um S.E.P. ............................................................ 45
FIGURA 23 – Rede alterada .......................................................................................... 46
FIGURA 24 – Grafo inicial da rede proposta................................................................. 47
FIGURA 25 – Conjuntos do exemplo proposto ............................................................. 48
FIGURA 26 – Representação com arranjos e perdas ..................................................... 48
FIGURA 27 – Grafo simplificado (análise de traceamento) .......................................... 49
FIGURA 28 – Fluxo de potência de K para M (caso 1) ................................................. 56
FIGURA 29 – Fluxo de potência de K para M (caso 2) ................................................. 56
FIGURA 30 – Análise de cargas .................................................................................... 60
FIGURA 31 – Análise dos Geradores ............................................................................ 61
FIGURA 32 – Perda nos ramos ...................................................................................... 62
FIGURA 33 – Resumo ................................................................................................... 63
FIGURA 34 – Sistema simétrico .................................................................................... 64
FIGURA 35 – Configuração A ....................................................................................... 66
FIGURA 36 – Configuração B ....................................................................................... 67
FIGURA 37 – Caso distinto ........................................................................................... 67
FIGURA 38 – Perda total do sistema X Injeção na barra de geração: caso simetrico
(MW X MW) .................................................................................................................. 68
FIGURA 39 – Comparação entre demandas e perdas no sistema sob responsabilidade de
GG X Injeção na barra de geração: caso simetrico (MW X MW) ................................. 68
FIGURA 40 – Sistema assimetrico (assimetria em cargas) ........................................... 69
FIGURA 41 – Configuração C ....................................................................................... 70
FIGURA 42 – Perda total do sistema X Injeção na barra de geração: assimetria nas
cargas (MW X MW) ....................................................................................................... 71
FIGURA 43 – Comparação entre demandas e perdas no sistema sob responsabilidade de
GG X Injeção na barra de geração: assimetria nas cargas (MW X MW) ...................... 71
FIGURA 44 – Sistema assimetrico (assimetria nas linhas) ............................................ 72
FIGURA 45 – Configuração D ....................................................................................... 73
FIGURA 46 – Perda total do sistema X Injeção na barra de geração: assimetria nas
linhas (MW X MW) ....................................................................................................... 74
FIGURA 47 – Comparação entre demandas e perdas no sistema sob responsabilidade de
GG X Injeção na barra de geração: assimetria nas linhas (MW X MW) ....................... 74
FIGURA 48 – Sistema IEEE 14 barras .......................................................................... 76
FIGURA 49 – Sistema IEEE 14 barras (modificado) .................................................... 76
FIGURA 50 – Responsabilidade de G1 e G2 em relação as demandas do sistema em
função da injeção de G2 (MW X MW) .......................................................................... 79
FIGURA 51 – Responsabilidade de G3, G6 e G8 em relação as demandas do sistema
em função da injeção de G2 (MW X MW) .................................................................... 79
FIGURA 52 – Responsabilidade de G1 e G2 em relação às cargas do sistema em função
da injeção de G2 (MW X MW) ...................................................................................... 80
FIGURA 53 – Responsabilidade de G3, G6 e G8 em relação às cargas do sistema em
função da injeção de G2 (MW X MW) .......................................................................... 81
FIGURA 54 – Representatividade de G2 em relação às cargas e a representatividade de
G2 em relação às perdas em função da injeção de G2 (MW X MW) ............................ 81
FIGURA 55 – Representatividade de G1 em relação às cargas e a representatividade de
G1 em relação às perdas em função da injeção de G2 (MW X MW) ............................ 82
FIGURA 56 – Representatividade de G3 em relação às cargas e a representatividade de
G3 em relação às perdas em função da injeção de G2 (MW X MW) ............................ 82
FIGURA 57 – Representatividade de G6 em relação às cargas e a representatividade de
G6 em relação às perdas em função da injeção de G2 (MW X MW) ............................ 83
FIGURA 58 – Representatividade de G8 em relação às cargas e a representatividade de
G8 em relação às perdas em função da injeção de G2 (MW X MW) ............................ 83
FIGURA 59 – Configurações do sistema ....................................................................... 84
FIGURA 60 – Comparação entre injeção de G2 e as perdas no sistema (MW X MW) 84
LISTA DE TABELAS
TABELA 1 – Sistema simétrico ..................................................................................... 65
TABELA 2 – Sistema assimetrico (cargas) .................................................................... 70
TABELA 3 – Sistema assimetrico (linhas) .................................................................... 73
TABELA 4 – Traceamento das cargas ........................................................................... 78
TABELA 5 – Traceamento das perdas ........................................................................... 80
Sumário
1 - Introdução: ................................................................................................................ 13
1.1 – Justificativa: ....................................................................................................... 14
1.2 – Objetivo Geral: .................................................................................................. 14
1.3 – Metodologia: ...................................................................................................... 14
2 - Tracing Flow – Principio fundamental: .................................................................... 15
2.1 - Principio da Proporcionalidade (Distribuição Proporcional): ............................ 15
2.2 - Representação de um sistema nodal genérico: .................................................. 18
2.3 - Prova matemática do principio da distribuição para um caso particular: ......... 19
2.3.1 - Circuito Referente a fonte IA: ..................................................................... 21
2.3.2 - Circuito Referente a fonte IB: ..................................................................... 21
2.4 - Tracing segundo um tratamento matricial:......................................................... 24
2.4.1 - Algumas das alternativas propostas para realizar essa alteração são: ......... 24
2.4.2 - Abordagem a Montante: .............................................................................. 25
2.4.3 - Abordagem a Jusante: ................................................................................. 28
2.4.4 - Informações gerais a respeito das abordagens disponíveis: ........................ 30
2.4.5 - Para estimar as perdas no sistema: .............................................................. 31
2.5 - Método de traceamento utilizando Grafos: ........................................................ 34
2.5.1 - Generalidades sobre Grafos: ....................................................................... 34
2.5.2 - Obtenção do Domínio dos Geradores: ........................................................ 36
2.5.3 - Agrupamentos em Comum: ........................................................................ 39
2.5.4 - Conexões e ramos: ...................................................................................... 42
2.5.5 - Grau de cada arranjo: .................................................................................. 44
2.5.6 - Utilizando o traceamento: ........................................................................... 45
2.5.7 - Calculo do traceamento nos fluxos pelas barras: ........................................ 51
2.5.8 - Comentários finais a respeito dos métodos de traceamento propostos nesse
trabalho: .................................................................................................................. 52
3 - Simulação Computacional: ....................................................................................... 54
3.1 – O Objetivo: ........................................................................................................ 54
3.1.1 – Por que simular: .......................................................................................... 54
3.2 – Forma de Simulação: ......................................................................................... 54
3.2.1 - 1º Estágio - Análise de fluxo de Potência: .................................................. 55
3.2.2 - 2º Estágio – Análise de traceamento de Potência: ...................................... 55
3.3 – Dados de Entrada: .............................................................................................. 57
3.3.1 – Dimensão e Ordenação do Sistema: ........................................................... 57
3.3.2 – Os parâmetros Elétricos do Sistema: .......................................................... 58
3.3.3 – Os parâmetros das Linhas de Transmissão: ................................................ 59
3.4 – O relatório de Saída: .......................................................................................... 59
3.4.1 – Análise das Cargas do sistema: .................................................................. 60
3.4.2 – Análise dos Geradores: ............................................................................... 61
3.4.3 – Perdas nos Ramos: ...................................................................................... 62
3.4.4 – Resumo: ...................................................................................................... 63
3.5 – Simulações em Sistemas de Pequeno Porte: ..................................................... 63
3.5.1 – Sistema Simétrico: ...................................................................................... 64
3.5.2 – Sistema com cargas Assimétricas: .............................................................. 69
3.5.3 – Sistema com linhas Assimétricas: .............................................................. 72
3.5.4 – Análise geral dos resultados obtidos: ......................................................... 75
3.6 – Simulação em um sistema teste: ........................................................................ 76
3.6.1 - Conclusões e comentários finais sobre a simulação: ...................................... 85
4 – Considerações Finais: ............................................................................................... 87
4.1 – Sugestões de Outros Estudos Correlacionados:................................................. 87
4.2 – Conclusão: ......................................................................................................... 88
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 89
13
1 - Introdução:
A análise de fluxo de potência em um sistema elétrico já é uma ferramenta
consagrada e amplamente utilizada como forma de se obter estimativas operacionais
de um sistema, no entanto não é possível conceber certas questões de interesse
particular utilizando-se apenas essa abordagem tradicional de fluxos de potência.
Como advento da idéia da desregulamentação do setor elétrico tomando força em
vários países, questões que anteriormente recebiam menor atenção começaram a ser
discutidas com maior vigor e uma série de métodos analíticos começaram a ser
elaborados para obter estimativas e essas questões de interesse. Em suma, as questões
que precisavam ser abordadas eram:
a-) De quantas maneira diferentes unidades geradoras, funcionando em conjunto,
utilizam uma linha de transmissão comunitária?
b-) Qual é a percentagem de carregamento da linha devido a cada uma dessas
unidades geradoras?
c-) A quais unidades geradoras deveria ser atribuída qual parcela de
representabilidade em relação as perdas ativas que ocorrem nas resistências elétricas
das linhas de transmissão durante o transporte de energia?
Essas questões poderiam parecer sem sentido e sem praticidade, além do próprio
valor teórico, em um sistema vertical mas com o processo da desregulamentação e a
introdução da competição e da privatização, essas questões passaram a ter grande
importância devido ao interesse econômico que representavam.
Devido a essa necessidade foi desenvolvido o conceito de tracear o sistema elétrico e
representá-lo através de uma nova perspectiva onde tais questões pudessem ser
abordadas e respondidas, já que por definição a corrente elétrica é indistinguível e
portanto, na visão tradicional, uma corrente nunca poderia ser discriminada em
parcelas diferentes referenciadas as unidades de geração presentes no sistema. Tendo
isso em mente alguns métodos analíticos foram tomando forma e os aspectos teóricos
foram sendo melhor caracterizados, tais metodologias poderiam dar estimativas de
possíveis resultados as questões de interesse abordadas, como também poderiam
fornecer possíveis estimativas a outras questões correlacionadas, como:
d-) Qual é a contribuição de cada fonte de geração em relação as demandas de carga
do sistema e vice-versa?
e-) Qual é o total de perdas que cada unidade geradora impõem ao sistema em uma
determinada configuração do sistema?
Conforme esses métodos foram sendo integrados e ganhando algum espaço em
artigos publicados a alcunha na língua inglesa de tracing-flow e tracking-flow
também foi sendo estabelecida como denominação para os métodos que se
concentravam nesse tipo de abordagem. É importante salientar que os resultados
fornecidos pelos métodos que serão desenvolvidos ao longo desse trabalho são
apenas estimativas que podem ser traçadas quando encaramos o efeito da distribuição
das correntes nas linhas através do método da distribuição proporcional, que será
14
abordado adiante. Essas estimativas são resultados reais mas não podem ser taxados
de absolutos. Outros métodos desenvolvidos em torno de outras características podem
resultar em estimativas diferentes para o mesmo problema.
1.1 – Justificativa:
Os primeiros artigos a tratar diretamente do problema de traceamento aplicado a
redes de energia elétrica foram publicados a mais de uma década atrás e até os dias de
hoje ainda são publicados artigos que tratam de aspectos do tema, mas ainda feitos de
maneira muito tímida, o assunto continua, de uma maneira geral, sendo relativamente
desconhecido e restrito a ambientes acadêmicos de pós-graduação ou a restritas
aplicações praticas. Por enquanto a literatura que se destina a apresentar e explicar
alguns desses métodos ainda é rara e essa carência de literatura é uma das principais
forças motrizes por trás da execução desse projeto.
1.2 – Objetivo Geral:
O objetivo principal desse trabalho é realizar um estudo a respeito dos dois métodos
correntemente mais difundidos na aplicação de problemas de traceamento em
sistemas de potência. Apesar de ambos os métodos possuírem embasamentos teóricos
completamente diferentes, recorrendo a ferramentas matemáticas diferentes para
resolver o mesmo problema, os dois possuem uma seqüência bem definida de
características as quais serão explanadas ao longo desse trabalho. Esse trabalho se
destina a apresentar, de maneira consistente, o embasamento teórico essencial sobre o
qual os dois métodos são formulados e capacitar outras pessoas a entender e executar
essas ferramentas. O trabalho irá ser focado somente nos fluxos de potência ativa que
circulam em uma rede de potência, o método de traceamento em fluxos reativos
encontra-se fora do escopo desse projeto.
1.3 – Metodologia:
O trabalho será composto de duas partes distintas:
1-) Um estudo detalhado da teoria e da forma de aplicação dos métodos de
traceamento.
2-) Algumas simulações utilizando o software MATLAB, executando o traceamento
de alguns exemplos de sistemas elétricos simples, onde é possível observar e tirar
conclusões a respeito dos dados obtidos.
15
2 - Tracing Flow – Principio fundamental:
No tratamento de dados convencional de sistemas de potência, temos como objetivo
obter os fluxos de potência ativa e reativa nos diversos ramos desse sistema em uma
determinada configuração física. Esse tratamento clássico não disponibiliza um
método de análise capaz de determinar quais são as parcelas de cada um desses
fluxos, referenciadas a cada uma das fontes de injeção de potência que fazem parte
desse sistema ou seja, é impossível atribuir uma quantidade – uma percentagem do
valor total – especifica de fluxo de potência referenciado a determinada fonte em
particular. Se de alguma forma, for de interesse obter algum dado a esse respeito é
necessário realizar uma nova abordagem sobre o problema, uma que permita fazer
essa alusão entre os fluxos, demandas e perdas no sistema em função da contribuição
que cada uma das fontes disponíveis introduzem a rede. O objetivo básico da análise
conhecida como tracing flow é exatamente este, o de fornecer uma estimativa de
quanto cada fonte é responsável por cada fluxo de potência do sistema e suas cargas.
Embora existam diversas abordagens para obter os resultados do tracing, o coração,
por assim dizer, do método reside no mesmo principio básico que é o principio da
proporcionalidade.
O método de tracing é essencialmente uma análise de topológia, que trata o problema
da distribuição de cargas em um sistema de potência de maneira similar ao raciocínio
que um problema de transporte convencional utiliza.
A rede que representa esse sistema de potência é constituida por uma série de nós e
interconexões, que representam as barras do sistema e as linhas de
transmissão/distribuição , respectivamente. As barras podem ser pontos onde a
potência é introduzida no sistema através de geradores ou mesmo barras de carga,
que “escoam” a potência para fora do sistema – que de fato é dissipação de potência
no caso da potência ativa - e representam as cargas do sistema. A análise de fluxo de
potência resultante dessa conjunto topografico de barras de geração e de carga e das
linhas que interconectam essas barras, define um estado do sistema onde as direções
de fluxo são conhecidas. É importante salientar isso, póis a representação desse
sistema de uma maneira mais abstrata pode ser considerado como um digrafo – um
grafo direcional, onde os sentidos dos fluxos entre os nós são definidos e fixos – que
define o estado estático do sistema para as configurações apresentadas. Em um
resumo grosseiro, o sistema pode ser representado por uma série de N nós e M
interconexões.
2.1 - Principio da Proporcionalidade (Distribuição Proporcional):
O princípio central do tracing em sistemas elétricos é calcado no ideal da partilha
proporcional da corrente elétrica que flui por um nó. Ou seja o método pressupõem
que a mesma parcela de contribuição que cada corrente de entrada do nó em relação a
corrente total que adentra o nó, se mantem em cada uma das correntes de saída desse
mesmo nó. Dessa forma, cada uma das correntes de saída do nó pode ser subdividida
em R parcelas distintas, onde R representa o número de correntes de entrada do nó.
Apesar de matematicamente esse principio não poder ser provado ou desprovado para
qualquer tipo de circuito, essa relação natural de distribuição atende a lei das
correntes de Kirchhoff e pode ser provada matematicamente segundo as equações de
circuito para um caso muito particular de configuração, o qual será visto brevemente
mais adiante.
16
Segundo um dos primeiros artigos que tratam do metodo do traceamento em sistemas
elétricos de potência [1], o seguinte trecho é retirado:
“O principio da distribuição proporcional basicamente assume que os nós da rede
são misturadores perfeitos dos fluxos de entrada, de tal forma que é impossível dizer
qual será o ramo por onde sairá cada eletron que foi injetado nesse nó. Sendo assim
isso parece concordar com o senso comum de aceitação geral que a eletricidade é
indistinguivel.
Como é impossível tingir os fluxos de entrada e posteriormente checar as cores dos
fluxos de saída, o principio da proporcionalidade não pode provado ou desprovado
[...]”
Fisicamente sabemos que a corrente elétrica que circula por uma impedância elétrica
é um resultado direto entre a diferença de potencial entre os terminais desse elemento
e a própria magnitude da impedância em si. São esses diferentes parametros que
definem qual será a corrente circulante em um determinado ramo. No sistema abaixo
pode-se exemplificar esse conceito trivial, mas não por isso menos importante, da
análise de circuitos elétricos.
FIGURA 1 – CIRCUITO DC
Nesse circuito DC puramente resistivo o nó central serve como o foco de análise.
Segundo a lei de Kirchhoff das correntes em um nó é possivel afirmar que:
(2.1)
Nessa forma a equação expressa que o somatorio das correntes que entram no nó
central é igual a zero. Nessa forma para que a equação seja satisfeita, temos o inverso
das correntes reais Ic e Id sendo representadas.
Nesse exemplo em particular são conhecidas as correntes que de fato entram no nó,
onde Ia = 5 [A] e Ib = 8 [A]. Reescrevendo a equação acima podemos concluir que:
17
(2.2)
Que de forma geral, valida para qualquer nó independente do número de conexões de
entrada ou de saída, seria melhor explicitada pela equação.
(2.3)
Como nesse caso em particular se conhece de antemão as correntes de entrada do nó,
também é conhecida a contribuição total de corrente que flui por esse nó. Nesse caso
essa contribuição total é de 5 [A] + 8 [A] = 13 [A].
Dessa forma é possível fazer a seguinte afirmação sobre as correntes da saída do nó:
Com duas incognitas e apenas uma equação é impossível conhecer os valores das
correntes Ic e Id a parte. Apesar de ser conhecida, sem sombra de duvida, a corrente
total de saída desse nó, utilizando-se apenas da lei das correntes de Kirchhoff não se
possui os meios necessárias para discriminar com clareza quais são de fato as
correntes Ic e Id. Para identificar esses valores de corrente seria necessário conhecer
os parametros de circuito envolvidos nos ramos por onde circulam as correntes. Os
ramos em questão nesse exemplo são os ramos que interpõem o nó central e o ponto
de terra, então seria necessário conhecer a magnitude das resistências elétricas
indicadas por R1 e R2 e além disso seria necessário conhecer também a diferença de
potencial sobre esses dois elementos para ser habil de calcular as correntes Ic e Id que
circulam através desses ramos.
(OBS: No caso especifico desse exemplo a tensão sobre os dois elementos resistivos
é a mesma, pois os elementos formam uma ligação paralela, mas isso é uma
particularidade desse exemplo e não necessariamente uma generalidade)
O objetivo em ressaltar esses conceitos é o de simplesmente deixar claro que a
corrente elétrica é o resultado de um conjunto de fatores fisicos que definem o
circuito. Mesmo se esses fatores fossem de fato conhecidos e as correntes individuais
Ic e Id pudessem ser discriminadas separadamente, mesmo assim segundo o
conhecimento tradicional de circuitos seria impossível conhecer as parcelas de
contribuição que Ia e Ib fornecem para a formação da corrente Ic ou para a corrente
Id. Utilizando o método de traceamento em relação as correntes que fluem em um nó,
se terá uma visão impar sobre essa questão que a análise tradicional não pode prover.
Mas para isso será necessário pressupor um conceito novo, que vincula a magnitude
das correntes de saída e de entrada de um nó. Esse conceito, como já explicado
anteriormente, é o conceito da distribuição proporcional que poderia ser sintetizado
na seguinte equação:
(2.4)
(2.5)
18
Onde Iout representa uma das correntes de saída do nó. Para cada uma das correntes
de saída desse mesmo nó, teremos uma equação equivalente. É importante resalientar
que a corrente de saída é representada como uma série de R parcelas, onde R
representa o número de correntes de entrada que suprem esse nó. Cada uma das
parcelas em questão é o resultado da multiplicação da própria corrente de saída por
um fator que é necessariamente menor do que um, sendo assim o resultado indicado
por cada parcela é de fato uma parte da corrente de saída Iout.
2.2 - Representação de um sistema nodal genérico:
De forma a facilitar o entendimento da demonstração matematica que se encontra na
sequência, um circuito nodal qualquer será representado com quatro conexões que
interligam esse nó em questão com outros nós. O nó que é a fonte da análise será
denominado como nó A. Nesse exemplo em questão temos duas correntes de entrada
no nó A e duas correntes de saída. Por correntes de entrada e de saída, entenda-se:
Correntes de Entrada: correntes que são injetadas no nó A oriundas de outros
nós ou de fontes externas a esse sistema nodal.
Correntes de Saída: Correntes que fluem para fora do nó A em direção a
outros nós não indicados aqui.
FIGURA 2 – CORRENTE EM UM NÓ
As correntes I1 e I2 representam as duas correntes que entram no nó A e as correntes
I3 e I4 representam as duas correntes que saem do nó. Do ponto de vista do fluxo de
correntes elétricas que circulam através do nó A, pode-se encarar o circuito de forma
simplificada:
19
FIGURA 3 – NÓ SIMPLIFICADO
Sendo assim temos:
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Utilizando a proposta da distribuição proporcional teremos:
(2.10)
De tal forma que é possível observar que a lei das correntes de Kirchhoff também é
analiticamente comprovada, mesmo trabalhando com as parcelas de cada corrente da
saída em função das correntes de entrada. Finalmente temos:
(2.11)
(2.12)
2.3 - Prova matemática do principio da distribuição para um caso particular:
Como já foi frisado anteriormente e mais uma vez retorno a essa idéia aqui, não há
como provar ou desprovar o método em linhas gerais para todos os casos. Mas
conforme a configuração da rede se encontre em uma forma bem particular é possível
provar analiticamente que a distribuição proporcional é um fato em tal configuração,
essa realização pode ser observada com mais detalhes em [3] e [4].
O objetivo a seguir é fornecer um caminho lógico a partir dos princípios
fundamentais de circuitos elétricos até a equação fundamental que define que,
20
intrinsecamente ao desenvolvimento da teoria de circuitos, existe um vinculo de
proporcionalidade entre as correntes de entrada e saída através dos nós do sistema,
para esse caso especifico de configuração da rede. Essa dedução será conduzida
através de um exemplo genérico onde será possível desenvolver o equacionamento
algébrico necessário sobre o qual serão feitas certas afirmações e generalizações.
O primeiro passo para compreender esse detalhamento matemático, está em colocar
um circuito nodal qualquer na forma de um circuito elétrico genérico. Uma vez que o
interesse dessa análise está nas correntes de entrada e de saída desse nó de análise, é
possível “converter” esse circuito nodal na forma de um circuito elétrico
convencional, onde as fontes de corrente independente representam as correntes de
entrada do nó e os ramos de saída serão representados da forma mais simples
possível, através de uma resistência elétrica.
FIGURA 4 – CORRENTES DE ENTRADA E DE SAIDA DE UM NÓ
As correntes de entrada estão representadas genericamente como Ia e Ib e as
correntes que saem do nó são representadas por Iout1 e Iout2. Considerando que os
nós para onde fluem as correntes tem o mesmo potencial, a rede pode ser sintetizada
na forma do seguinte circuito.
FIGURA 5 – CIRCUITO ELÉTRICO EQUIVALENTE (CASO PARTICULAR)
Através de uma análise de superposição é possível calcular as contribuições
individuais de cada fonte de corrente em relação às correntes que circulam nos ramos
resistivos. Lembrando que as fontes de corrente, aqui representadas, são de fato as
correntes que entram no nó e as correntes nos ramos resistivos são as correntes de
saída do nó.
Também é valido ressaltar que os valores das correntes de entrada ou das resistências
dos ramos são mantidos em aberto, pois estes serão irrelevantes na dedução final.
21
Colocando em prática a análise de superposição, se obterá dois circuitos distintos a
serem analisados.
2.3.1 - Circuito Referente a fonte IA:
FIGURA 6 – ANÁLISE DE SUPERPOSIÇÃO (IA)
Como os ramos estão em paralelo é possível a aplicação da análise de um divisor de
corrente simples. Dessa forma temos que:
(2.13)
(2.14)
Onde G1 e G2 representam a condutância de cada um dos ramos, onde G1 é o inverso
da resistência elétrica do ramo representado pela resistência R1 e G2 é o inverso da
resistência elétrica do ramo representado pela resistência R2.
2.3.2 - Circuito Referente a fonte IB:
FIGURA 7 – ANÁLISE DE SUPERPOSIÇÃO (IB)
Utilizando o mesmo raciocínio podemos obter as equações do divisor de correntes a
partir da fonte Ib.
(2.15)
(2.16)
Uma vez onde são conhecidas as correntes que circulam em cada um dos ramos e que
provem de cada uma das fontes distintas, basta utilizar a equação que resume o
22
método da superposição para obter as correntes reais que circulam em cada um dos
ramos.
(2.17)
(2.18)
As equações acima fornecem a corrente real que circula em cada um dos ramos.
Nessa forma a distribuição proporcional das correntes de entrada do nó ainda não está
explicita, é necessário fazer uma pequena transformação para que essa característica
venha à tona. Para isso é necessário obter a relação entre a contribuição de cada fonte,
em cada ramo, e a corrente total que circula no determinado ramo.
(2.19)
(2.20)
Rearranjando as equações acima, podemos facilmente obter:
(2.21)
(2.22)
Retornando mais uma vez a expressão do método da superposição:
(2.23)
Quando posta nessa forma, a distribuição proporcional das correntes fica evidente. A
corrente representada como Iout1 é a corrente real que circula pelo ramo um,
composto pela resistência R1. Essa corrente é composta por duas parcelas que
remetem as contribuições das duas fontes envolvidas nesse exemplo.
Da mesma forma a mesma descrição pode ser realizada para a corrente no segundo
ramo:
(2.24)
(2.25)
23
Reescrevendo:
(2.26)
(2.27)
Resultando em:
(2.28)
Esse exemplo demonstra claramente que a distribuição proporcional de corrente é um
fato quando os ramos de saída de um circuito elétrico qualquer estão submetidos à
mesma diferença de potencial ou seja, quando os ramos fazem parte de uma conexão
em paralelo.
Na análise de sistemas elétricos de potência, um caso prático que ilustra essa situação
é a de um barramento de cargas, onde todas as cargas estão submetidas a mesma
diferença de potencial.
FIGURA 8 – CIRCUITO COM R CARGAS EM PARALELO
O exemplo utilizado para demonstrar matematicamente a veracidade da distribuição
proporcional, nessa configuração particular, também pode ser generalizado para um
número qualquer de ramos de saída e dessa forma encontramos a expressão que havia
sido apenas proposta anteriormente.
Lembrando mais uma vez que a distribuição proporcional será assumida como
verdadeira em todos os ramos do sistema, independente da configuração dos ramos
24
de entrada e de saída de cada nó. O diferencial está no fato de nesse caso particular de
configuração dos ramos de saída, a prova matemática poder ser concretizada.
A seguir iremos tratar de algumas abordagens diferentes de aplicação do método de
traceamento, mas independente das peculiaridades de cada uma em abordar o
assunto, ambas são pautadas no principio da proporcionalidade que foi discutido até
aqui.
2.4 - Tracing segundo um tratamento matricial:
Uma das formas mais tradicionais de se abordar problemas que envolvem a
realização de traceamento em linhas de potência, foi proposto inicialmente por Janus
Bialek no artigo [1]. O método em si utiliza o principio da proporcionalidade da
distribuição de fluxos de potência mas em um contexto matricial, onde o
equacionamento chave e o tratamento dos dados são modelados na forma de matrizes.
Para que a topologia de um sistema elétrico possa ser convertida na forma de uma
matriz é necessário adotar a existência de apenas um fluxo útil por toda extensão da
linha, isso implica que será necessário fazer algumas transformações no resultado que
obtivermos da análise de fluxo de potência que utilizaremos para fazer a análise de
traceamento segundo o método matricial.
2.4.1 - Algumas das alternativas propostas para realizar essa alteração são:
- Utilização dos fluxos médios de circulação: Essa opção implica em realizar uma
média aritmética simples entre as magnitudes dos fluxos de potência que se
encontram em cada uma das extremidades da linha em questão.
- Utilização dos fluxos brutos injetados em cada linha: Essa opção implica em
analisar um sistema elétrico ideal, sem perdas, onde as cargas seriam atendidas de
pronto pelos gerados do sistema não levando em questão as perdas que ocorrem nos
elementos da rede durante o transporte de potência. Essa análise da prioridade ao
ponto de vista da geração do sistema e por isso mesmo pode fornecer indicativos das
perdas que o conjunto de geração do sistema sofre para alimentar cada uma das
cargas presentes na rede. Apesar de modelagem inicial desconsiderar as perdas,
outros parâmetros são alterados de forma a se obter resultados que informem essa
relação de perdas.
- Utilização dos fluxos líquidos de entrega de cada linha: Nesse caso a análise
também é realizada tendo em vista uma rede ideal e sem perdas mas essa alternativa
de análise da preferência ao ponto de vista das cargas do sistema. Da mesma maneira,
e com uma abordagem bem próxima a realizada com fluxos brutos, é possível obter
estimativas sobre as perdas totais do sistema e qual é a perda do conjunto de geração
para transportar potência até cada uma das cargas.
Em cada uma dessas opções de análise contaremos com um único fluxo em cada uma
das linhas do sistema e portanto iremos assumir que o fluxo que é injetado na linha e
o fluxo que escoa da linha para a rede, são o mesmo fluxo. Apresentando assim um
sistema aparentemente sem perdas nos elementos séries da linha. Como a análise irá
fazer uma distinção entre os fluxos que entram em um determinado barramento e os
fluxos que saem desse barramento é importante deixar claro a relação que estará
25
sendo empregada com apenas um fluxo em cada conexão entre duas barras, sendo
assim:
(2.29)
Mas em relação as magnitudes:
(2.30)
Do ponto de vista de cada barra, determinado fluxo pode ser uma parcela de injeção
na barra (que seria o equivalente a estar fluindo da linha para a rede/barra) ou mesmo
uma parcela que é descarregada da barra e injetada na linha.
Dependendo da abordagem escolhida pode ser mais conveniente utilizar abordagens
matriciais diferentes que priorizam outros dados da rede que está sendo analisada.
Basicamente foram desenvolvidas duas metodologias, uma centrada nos fluxos de
entrada de uma determinada barra e outra nos fluxos de saída de barra.
Já o fluxo passante de cada barra do sistema pode ser definido tanto pelos fluxos de
saída como pelos fluxos de entrada da barra, sendo assim o fluxo que atravessa cada
barra é matematicamente definido como:
(2.31)
2.4.2 - Abordagem a Montante:
Nessa abordagem o fluxo que atravessa cada barra é definido somente pelas parcelas
de inflow de cada uma delas. A potência que flui através de um nó qualquer pode ser
definida como o somatório de todas as correntes de inflow que são injetadas nessa
barra através de linhas, em conjunto com a geração própria daquela barra; caso haja
alguma. Dessa maneira temos a equação básica definindo o inicio do modelo:
Pji = Fluxos de injeção na barra i. Fluxos que partem de outra barra, direcionados a
barra i.
(2.32)
O somatório engloba todos os fluxos que provem de linhas que se interligam a barra
de análise e que necessariamente apresentam um sentido de fluxo que flui do sistema
para a barra, objetivando assim o nome dessa abordagem já que os fluxos provem de
outros pontos do sistema que estão mais a montante em relação a esta barra. O sub-
índice do somatório faz referencia ao grupo de fluxos que se integram a essa
descrição.
Cada um desses fluxos que são injetados nessa barra são uma parcela do fluxo total
que atravessa a barra logo a montante dessa, ou seja, Pji é uma parte do fluxo
passante na barra j e sendo assim:
(2.33)
26
(2.34)
Onde necessariamente o fator multiplicativo se encontra no intervalo:
(2.35)
De forma algébrica a equação que determina os fluxos passantes pelas barras do
sistema, poderia ser reescrita da seguinte forma:
(2.36)
Essa formula faz uma conexão entre a potência de geração própria de cada uma das
barras em relação ao fluxo de passagem das mesmas e da contribuição de inflows que
provem de barras a montante desta. Cada barra teria uma equação similar a essa, com
parâmetros referentes à barra. Essa formulação poderia ser aplicada em um calculo
matricial onde cada elemento resultante seria equivalente ao calculo de cada uma das
barras presente no sistema.
De maneira genérica teríamos:
(2.37)
Onde PG representa o vetor coluna das gerações diretamente conectadas a cada barra,
P representa o vetor coluna de mesma dimensão que denota o fluxo passante, baseado
nos fluxos de inflow, em cada uma das barras e finalmente temos a matriz quadrada
AM que é chamada de matriz de distribuição a montante.
A regra de formação dos elementos dessa matriz de distribuição é tal que:
(2.38)
- Para os elementos da matriz com coordenadas i = j temos: aij = 1
- Para os elementos que satisfazem ao domínio D injeção: aij = - kji
- Para os outros elementos da matriz: aij = 0
Todos os elementos da diagonal principal da matriz de distribuição a montante são
compostos por elementos de valor um.
Na prática como o resultado direto dos cálculos matriciais teríamos uma série de
equações na seguinte forma:
(2.39)
27
Uma vez que os fluxos de potência através da rede e até mesmo a contribuição da
demanda exigida pelas cargas, são de fato parcelas dos fluxos passantes das barras
onde estão acopladas, é mais interessante obter essa relação matricial em função do
fluxo de potência passante ao invés da potência de geração de cada barra.
Manipulando a equação matricial é direto definir que:
(2.40)
Supondo que a inversa da matriz de distribuição a montante seja dada na forma:
(2.41)
Utilizando o principio da distribuição proporcional sendo empregado em relação aos
fluxos de potência de cada barra, é seguro afirmar que cada fluxo de potência de
saída ou de entrada é de fato uma parcela do fluxo passante por aquela barra. Como
na abordagem a montante o fluxo passante foi definido em função dos fluxos de
inflow, agora é possível afirmar que cada um dos fluxos de outflow serão calculados
em função do fluxo passante:
(2.42)
O número de fluxos de saída de cada uma das barras é desconhecido mas
considerando de forma genérica que cada um dos fluxos escoa da barra de análise
para uma, ou varias, outra(s) barra(s) que serão representadas pela letra m.
(2.43)
Da mesma maneira é possível definir a demanda de cargas conectadas a cada uma das
barras, utilizando a mesma metodologia.
(2.44)
28
Tanto para o caso de Pn-m ou para PLn os resultados são apresentados na forma de um
somatório de parcelas. Os termos que apresentam vinculo com a potência de geração
de barra, são de fato a quantidade de contribuição que aquela fonte de geração está
contribuindo para suprir determinado fluxo ou carga.
2.4.3 - Abordagem a Jusante:
Diferentemente da abordagem anterior, nessa formulação haverá uma abordagem que
se aproxima do ponto de vista das cargas do sistema. A potência passante pelas barras
do sistema será definida pelo total de fluxos de outflow que cada barra fornece a rede
ou cargas. Apesar dessa diferença fundamental, o raciocínio lógico por trás da
formulação dessa abordagem é o mesmo utilizado na abordagem anterior, resultando
assim em equações com a mesma regra de formação mas com parâmetros diferentes.
Como ocorreu anteriormente será realizado o equacionamento básico que define o
fluxo passante por uma barra qualquer da rede. Esse fluxo será o somatório de todos
os fluxos que saem dessa barra indo em direção a outras barras através de linhas de
transmissão ou mesmo diretamente para suprir cargas que estejam conectadas a barra.
Sendo assim:
Pij = Fluxo de Saída. Fluxo que parte da barra i direcionado para outras barras da
rede.
(2.45)
Seguindo os mesmos preceitos utilizados na abordagem à montante, nesse caso
também podemos concluir que:
(2.46)
Nesse caso a constante de proporcionalidade é definida como:
(2.47)
(2.48)
Os limites do somatório são definidos por um domínio formado por todas as
conexões que interceptam a barra e que, além disso, possuem fluxos saindo da barra
em direção a rede.
Nesse caso essa relação também será expressa através de matrizes, sendo assim a
equação matricial da abordagem a jusante pode ser definida como:
(2.49)
29
A matriz de distribuição a jusante é não simétrica e esparsa, assim como também era
a matriz de distribuição a montante, pode ser escrita genericamente na forma:
(2.50)
E a regra de formação da matriz de distribuição a jusante é:
- Para os elementos da matriz com coordenadas i = j temos: cij = 1
- Para os elementos que satisfazem ao domínio D saída: cij = - kij
- Para os outros elementos da matriz: cij = 0
É importante deixar claro que apesar da grande similaridade que existe na regra de
formação das matrizes de distribuição é importante notar que os domínios de injeção
e de saída de cada barra, não possuem qualquer similaridade. Os elementos dessas
duas matrizes são diferentes entre si. A similaridade dos elementos dessas matrizes
ocorre obrigatoriamente apenas na diagonal principal.
Realizando um arranjo nos membros da equação matricial, obtém-se uma equação
dependente da matriz inversa da matriz de distribuição a jusante.
(2.51)
Onde a matriz em questão pode ser expressa na seguinte forma:
(2.52)
A potência passante pela barra pode ser então expressa já como o resultado matricial
desse sistema linear.
(2.53)
Uma vez definida a potência passante em função da potência que fluía para fora da
barra, a caminho de outras barras mais a jusante desta, agora os fluxos de entrada da
barra serão definidos em função dessa potência passante. Assim como a potência que
é injetada nessa barra via fontes de geração conectadas diretamente nesse elemento.
(2.54)
30
De maneira muito similar, a potência injetada em cada uma das barras também pode
ser representada dessa forma.
(2.55)
Com esse conjunto de equações é possível realizar o traceamento de potência em
qualquer ponto da rede, adotando-se cada uma das abordagens quando necessária
para obter os dados de interesse que fazem parte da proposta .
Com a abordagem a montante é possível estimar a demanda em cada barra de carga
do sistema, fornecendo as parcelas de potência demandada que são fornecidas por
diferentes fontes de geração. Na abordagem a jusante ocorrerá o raciocínio inverso,
onde podemos estimar as injeções de potência na rede para satisfazer as expectativas
de demanda das cargas.
2.4.4 - Informações gerais a respeito das abordagens disponíveis:
É importante deixar claro as diferenças entre os resultados de traceamento obtidos
quando aplicamos as duas abordagens sobre uma mesma rede, para tanto é necessário
explicitar os pontos de interesse de cada abordagem pra poder traçar as suas
diferenças.
Abordagem a Montante:
- É formulada analisando os fluxos de inflow de todas as barras do sistema.
- Monta-se a matriz de distribuição a montante conhecendo esses fluxos de inflow.
- Inverte-se a matriz de distribuição a montante.
- Com o auxilio da matriz inversa calcula-se a contribuição de todos os fluxos de
outflow das barras do sistema.
- Também se calcula as contribuições de cada carga do sistema.
Os resultados calculados fornecem parcelas de contribuição indicando qual é a
participação de cada fonte de geração do sistema em cada um dos fluxos como
também em cada uma das cargas. Ou seja, quando utilizamos à abordagem a
montante todos os resultados são referidos diretamente as fontes de injeção de
potência da rede.
(2.56)
Supondo PKM como um fluxo genérico que circula na rede, sendo esse um fluxo de
outflow que sai da barra K e se dirige a barra M e portanto foi calculado através da
abordagem a montante. O numero de parcelas que constitui esse fluxo é igual ao
numero de fontes de geração que existem no sistema, onde o numero máximo é de N
parcelas, contando que todas as barras do sistema teriam fontes de injeção de
31
potência acopladas. Os indicativos G1, G2 e etc, seriam formas de representar
geradores conectados a barra 1, barra 2 e etc, respectivamente.
De maneira muito similar a participação em cada carga do sistema também seria
expressa por uma série de contribuições referentes as fontes ativas da rede.
(2.57)
Onde PLOAD N representa uma carga qualquer do sistema, acoplada na enésima barra
do sistema. Igualmente ao fluxo, ela é composta de parcelas que discriminam as
contribuições dos geradores envolvidos na rede. Essa abordagem fornece um
resultado que traz a perspectiva das fontes de geração do sistema em relação ao
fluxos calculados.
Abordagem a Jusante:
- É formulada analisando os fluxos de outflow de todas as barras do sistema.
- Monta-se a matriz de distribuição a jusante conhecendo esses fluxos de outflow.
- Inverte-se a matriz de distribuição a jusante.
- Com o auxilio da matriz inversa calcula-se a contribuição de todos os fluxos de
inflow das barras do sistema.
- Também se calcula as contribuições de cada gerador do sistema.
Os resultados dessa abordagem trazem informações correlacionadas as cargas do
sistema, identificando a parcela de um determinado fluxo que ira alimentar
determinada carga.
(2.58)
O fluxo é determinado por uma série de parcelas que informam as parcelas que estão
sendo desiguinadas a cada uma das cargas espalhadas pela malha. Da mesma forma a
potência de injeção dos geradores do sistema, é fornecida através de parcelas que
indicam o compromisso com as cargas da rede.
(2.59)
Essa abordagem fornece um resultado que traz a perspectiva das cargas do sistema
em relação ao fluxos calculados.
Dependendo da abordagem escolhida teremos o mesmo fluxo de potência sendo
representando por parcelas diferentes que possuem um significado também diferente.
O tipo da abordagem a ser escolhida deve levar em conta quais os dados que se
deseja obter no traceamento do sistema.
2.4.5 - Para estimar as perdas no sistema:
Como já foi discutido anteriormente é necessário que trabalhemos com apenas um
fluxo em cada ramo da rede, de forma a podermos representá-lo dentro da perspectiva
32
matricial e algumas alternativas foram propostas anteriormente para enquadrar a rede
nessa condição. Como é importante conhecer a relação das perdas que ocorrem no
sistema quando a distribuição de potência ocorra em determinada configuração, na
seqüência serão feitas algumas sugestões de análise sobre qual alternativa optar e
sobre qual abordagem utilizar para poder conhecer esses dados de perda do sistema.
Supondo que a alternativa de adotar os fluxos brutos seja escolhida, os fluxos reais
injetados em cada ramo de entrada das linhas, como sendo os fluxos que circulam
pela rede elétrica. Nessa configuração o fluxo de saída de cada barra, seria o fluxo
representado em cada ramo. Esse arranjo estaria representado um sistema ideal onde
não ocorre perdas séries nas linhas de transmissão já que a magnitude da potência
injetada em um dos lados da linha é a mesma recolhida no outro lado. Considerando
que as fontes não sejam alteradas, para que haja um balanço de potência entre a
potência injetada e retirada do sistema, as demandas nas cargas sofrerão um
acréscimo. Como mantivemos as fontes como referencia do sistema, já que não
alteramos os seus valores para realizar o fechamento de potência, é aconselhável
utilizar à abordagem a montante para a análise.
Com os fluxos na rede definidos e escolhendo a abordagem a montante, basta
calcularmos a matriz de distribuição a montante e obtermos a equação matricial.
(2.60)
Percebe-se que nessa configuração formada apenas pelos fluxos brutos em cada linha
irá resultar em um fluxo diferente em cada uma das barras. O valor desses novos
fluxos passantes podem ser calculados por essa equação linear, já que a matriz de
distribuição a montante é constituída através da mesma regra de formação vista
anteriormente, como também o vetor das fontes de geração da rede que foi mantida
intocada sem alterações.
Nessa configuração os fluxos de outflow, podem ser calculados como:
(2.61)
Mas ao aplicarmos o traceamento em relação as cargas do sistema, utilizamos a
potência de passagem real do sistema, calculada na rede real anteriormente a
simplificação dos fluxos na malha pelos fluxos brutos.
Os elementos da matriz distribuição a montante obtida com a circulação dos fluxos
brutos nos ramos do sistema, irá ser um fator relevante na obtenção das perdas do
sistema, visto que:
(2.62)
Nesse caso, para o fechamento de potência no sistema, os valores das perdas são
numericamente apresentados nas demandas das cargas. As perdas que o sistema
impõe para que a carga n possa ser alimentada é igual a:
(2.63)
33
A informação das perdas não indica qual gerador em especifico é responsável por
determinada perda mas sim quanta perda ocorre no sistema em geral para que a carga
n possa ser alimentada nessa configuração de fluxos.
Outra maneira de se obter as perdas no sistema seria realizar uma análise através dos
fluxos líquidos do sistema, como são esses os fluxos que realmente chegam a cada
barra do sistema e suprem as cargas, seria interessante analisar o sistema através da
abordagem a jusante que traz uma visão das cargas do sistema. Nesse caso o sistema
matricial de interesse seria formado por:
(2.64)
Nesse caso mantendo as configurações das cargas na rede inalteradas. A matriz de
distribuição a jusante é obtida facilmente segundo a regra de formação já vista mas
mais uma vez o vetor das potencias passantes precisa ser calculado através desse
sistema linear. Uma vez que esse esses valores sejam conhecidos, qualquer fluxo
pode ser expresso na forma:
(2.65)
Nessa interpretação do sistema a diferença referente as perdas surge nas barras de
geração do sistema, já que seria necessária uma injeção de potência menor para
alimentar as mesmas cargas, supondo que só os fluxos líquidos circulem pela rede
mais uma vez considerando um sistema ideal. Sendo assim:
(2.66)
As perdas são expressas devida a essa diferença e como são conhecidas quais são as
perdas ao longo dos ramos do sistema que servem como conduite para alimentar a
carga n.
(2.67)
34
2.5 - Método de traceamento utilizando Grafos:
Na análise que foi desenvolvida até aqui, toda a estrutura lógica que fornecia a base
matemática para a realização do traceamento em uma rede elétrica era baseado
exclusivamente sobre sistemas matriciais, mas essa não é a única estrutura que pode
ser utilizada como meio para a aplicação do tracing. Outra técnica que pode ser
empregada é calcada na teoria de grafos, demonstrada em [2], que compreende um
estado de distribuição de fluxos de potência do sistema na forma de um grafo
direcionado, também conhecido como dígrafo. Essa forma analítica de modelar o
sistema é uma opção ao modelo de enfoque matricial, possuindo peculiaridades
diferentes do modelo visto anteriormente.
2.5.1 - Generalidades sobre Grafos:
Não faz parte do escopo desse trabalho realizar uma excursão profunda dentro da
teoria dos Grafos, já que esse é um ramo amplo e com vários desdobramentos, o
objetivo aqui é apenas tratar o assunto de uma forma generalista e relativamente
superficial, servindo apenas de apoio inicial ao desenvolvimento do método de
traceamento que utiliza essa ferramenta. Nenhuma definição rigorosa a respeito de
grafos, suas aplicações e limitações será vista aqui, tendo isso em vista é possível
realizar uma explicação em linhas gerais do que vem a ser um grafo.
Grafos são estruturas lógicas formadas por vértices e arestas que, de forma bem geral,
representam uma análise topográfica de um problema qualquer. Uma vez que o grafo
em questão possui arestas que indicam a circulação de um único sentido entre os
vértices da estrutura, temos um grafo direcionado que também é conhecido como
dígrafo. Em um grafo direcionado as arestas representam caminhos que delimitam
conexões entre os pontos, para esse caso particular de grafos as arestas recebem uma
outra definição: arcos.
O layout de distribuição de fluxos de potência em um sistema qualquer, já delimita
por si só um grafo de estados. Com as barras fazendo o papel dos vértices e as linhas
de transmissão fazendo o papel dos arcos, supondo é claro que a direção do fluxo de
potência é conhecido. Visualmente a representação de um grafo direcionado é da
seguinte forma:
FIGURA 9 – GRAFO GENERICO
35
Um sistema elétrico pode ser representado na forma de um grafo, indicando os
geradores do sistema e as barras na forma de vértices e as linhas de transmissão que
interligam as barras fazendo o papel dos arcos, onde a direção de cada arco esta em
conformidade com a direção do fluxo de potência que circula naquela linha. O
sistema abaixo demonstra como um sistema elétrico de potência pode ser
representado na forma de um grafo.
FIGURA 10 – REDE GENERICA DE UM S.E.P.
Esse sistema é composto por duas fontes de geração, três linhas de transmissão, três
barras ou subestações e finalmente duas cargas independentes acopladas a barra 02 e
a barra 03. As setas indicam qual é a direção real de fluxo de potência que circula
através das linhas de transmissão. Esse circuito pode ser abstraído para a forma
regular de um grafo direcional que será representado na seguinte forma.
36
FIGURA 11 – REDE REPRESENTADA EM FORMA DE GRAFO
Durante a abordagem via grafo, teremos necessidade de apenas explicitar os fluxos
que circulam na parte interna da rede, ou melhor, nos fluxos que circulam entre as
barras. As informações de injeção de potência via geradores ou mesmo de consumo
via cargas, são redundantes na análise da rede. Diferentemente da abordagem
matricial onde era necessário conhecer o fluxo passante dos nós do sistema, o que
dependia dos geradores como inflow e das cargas como outflow, nessa configuração
via grafos essa informação tem um peso menor e não é fundamental para a execução
do traceamento.
Como ocorria na análise matricial para que o traceamento de um sistema possa ser
obtido é necessário que uma análise prévia de fluxos de potência seja fornecida.
2.5.2 - Obtenção do Domínio dos Geradores:
O primeiro passo necessário para se compor o traceamento de um sistema, através da
análise de grafos é determinar quais são os domínios de cada gerador do sistema.
Supondo que um sistema de potência qualquer já possua uma análise de fluxo de
potência calculada para uma determinada configuração de interesse daquele sistema,
é certo que teremos conhecimento da direção dos fluxos de potência que circulam
através de todos os ramos da rede, sendo assim é possível definir o domínio do
gerador como sendo o conjunto de barras, ais quais alguma parcela de potência
introduzida, pelo gerador, é transferida com sucesso até determinada barra, seguindo
a direção de fluxos conhecidos através da rede.
37
O domínio do gerador é formado pela barra a qual está diretamente conectado e a
partir desta barra, qualquer outra barra subseqüente que esteja diretamente conectada
a primeira mas desde que apresente um fluxo de potência descendente (montante para
jusante) no ramo que conecta as barras; e a partir da barra subseqüente vale a mesma
análise em relação a outras barras. Portanto o domínio de cada gerador nunca será
um elemento vazio já que no mínimo é formado pela própria barra a que está
diretamente acoplado. Se o gerador em questão possui uma conexão física com mais
de uma única barra, então haverá um número mínimo de elementos que pertencem ao
domínio da barra sendo maior ou igual ao número de barras que fazem contato direto
com o gerador.
O mesmo raciocínio pode ser aplicado a cargas conectadas a uma barra qualquer do
sistema, dessa maneira também seria possível determinar um domínio de cargas
formado por todas as barras que injetam potência em barras subseqüentes até que a
própria carga seja alcançada pelo fluxo mas do ponto de vista da carga, essa trajetória
seria afluente (jusante para montante) até encontrar todas as fontes que fornecem
indiretamente potência a carga.
O domínio de cada gerador pode conter barras que também fazem parte do domínio
de outros geradores da mesma rede.
FIGURA 12 – DIREÇÃO DOS FLUXOS EM GRAFOS
Esse conjunto de barras e apenas um gerador representa uma parte de um sistema
elétrico qualquer, que foi transcrito na forma de grafo. Supondo a titulo de exemplo
que esse conjunto de elementos defina toda a área de alcance aonde a potência
injetada em B1, pelo gerador, se alastra. O domínio do gerador é definido através de
inspeção em todas as barras, seguindo o fluxo de potência descendente. Nesse
exemplo teríamos que o domínio do gerador G é dado por:
As setas marcadas em vermelho no grafo apresentam os arcos que não apresentam
um sentido de fluxo decrescente por aquele caminho, ou seja não recebem potência
do gerador G e sendo assim não fazem parte do domínio do mesmo.
Quando o sistema tem mais de uma fonte de injeção de potência deve-se executar o
38
mesmo processo, realizando a excursão através da rede sempre seguindo o sentindo
de fluxo descendente do ponto de vista do gerador que sofre a análise de domínio.
FIGURA 13 – GRAFO DE UM SISTEMA COM DOIS GERADORES
O grafo acima é a representação de um outro sistema qualquer em uma determinada
configuração de geração e cargas que acaba resultando numa distribuição de fluxos
como mostrada na figura acima. Do ponto de vista do gerador A teríamos a seguinte
configuração para a definição do seu domínio.
FIGURA 14 – FLUXOS A JUSANTE DE GA
O mesmo modelo de excursão é executado como se o gerador B de fato não existisse.
Do ponto de vista do gerador B, seguindo um caminho diferente de fluxo
descendente, temos outra configuração para denominação do seu domínio.
39
FIGURA 15 – FLUXOS A JUSANTE DE GB
É importante trazer átona uma característica a respeito da configuração descendente
dos fluxos a partir do gerador B. A partir da barra B5 existem duas barras
subseqüentes que recebem alguma contribuição de potência do que foi injetado no
sistema via GB e portanto essas duas barras já fazem parte do domínio do gerador
mas subseqüente a essas duas barras há outra barra que é a barra B2. Do ponto de
vista a partir da barra B3, a barra B2 não deveria fazer parte do domínio do gerador B
mas do ponto de vista da barra B5 a barra B2 se comporta como uma barra coletora
do fluxo descendente,que saí de B5 em direção a B2, e dessa forma comprova-se que
a barra B2 recebe alguma contribuição do gerador B e conseqüentemente essa barra
deve ser incluída no domínio do gerador B. Se a linha de transmissão que conecta as
barras B5 e B2 não existisse ou mesmo se o sistema se encontrasse em um estado
estático diferente onde a direção do fluxo de potência naquele ramo em particular
fosse inversa, então nesses casos B2 não faria parte do domínio do gerador B. Mas na
configuração atual temos o domínio do gerador B formado por:
Nesse caso varias barras do sistema fazem parte de ambos os domínios, ou seja são
barras que servem como pontos de distribuição de potência tanto da injeção realizada
pelo gerador A como também da injeção realizada pelo gerador B.
Para facilitar a resolução do futuro problema de traceamento é necessário que as
barras do sistema sejam divididas e classificadas dentro de grupos que são obtidos
através dos domínios dos geradores.
2.5.3 - Agrupamentos em Comum:
Uma vez que tenhamos encontrado o domínio de todos os geradores da rede, é
necessário realizar uma análise de subconjuntos para determinar os agrupamentos em
comum a qual cada barra pertence. O que irá definir a qual agrupamento a barra
pertence é o fato de a barra pertencer a qual, ou quais, caminhos descendentes a partir
dos geradores da rede. Se a barra faz parte do caminho delimitado pelo domínio do
gerador A, então essa barra pertence a um agrupamento em especifico, caso a barra
40
pertença ao caminho do domínio de outro gerador então ela pertence a um
agrupamento diferente e no caso da barra pertencer ao caminho de ambos os
geradores então ela faz parte de um outro agrupamento. Esses agrupamentos podem
ser melhor visualizados quando utilizamos a teoria de conjuntos e sub-conjuntos para
justificar a qual desses agrupamentos cada uma delas está inserida. Também é
importante deixar claro que cada uma das barras só irá participar de um agrupamento,
o que irá ser conveniente para a execução do traceamento da rede.
Nesse caso especifico do exemplo temos apenas dois geradores alimentando a rede,
por conta disso há apenas uma região de intersecção possível na análise conjuntos.
Quanto maior for o número de geradores ativos contribuindo para a injeção de
potência na rede maior é a complexidade em definir o agrupamento comum a qual
cada uma das barras está inserida. Para o exemplo em questão teríamos:
FIGURA 16 – ANÁLISE DE DOMINIOS E AGRUPAMENTOS EM COMUM
Nesse caso existe três agrupamentos em comum:
- 1º Agrupamento: Composto pelas barras que recebem contribuição apenas pelo
gerador A.
- 2º Agrupamento: Composto pelas barras que recebem contribuição tanto do gerador
A como do gerador B.
- 3º Agrupamento: Composto pelas barras que recebem contribuição apenas do
gerador B.
A configuração em conjuntos e sub-conjuntos pode conter elementos nulos nas suas
regiões de interseções, caso não haja elementos que pertençam a determinada
interseção. Não necessariamente todas as sub-regiões que podem ser definidas
possuem barras que satisfazem a condição de cada sub-conjunto, em sistema com um
grau de complexidade maior, formado por um numero maior de geradores e barras,
41
existe uma gama muito grande de possíveis agrupamentos em comum. Cada sub-
conjunto não nulo representa um agrupamento comum e são eles os conjuntos de
interesse para o traceamento.
O mesmo raciocínio aplicado aos geradores também poderia ser aplicado as cargas do
sistema, uma vez que o domínio das cargas fosse traçado a mesma análise de sub-
conjuntos poderia ser desenvolvida para determinar os agrupamentos em comum em
relação a cada uma das cargas do sistema.
FIGURA 17 – ARRANJOS EM COMUM EXPLICITADOS NO GRAFO
O grafo de estados, que era uma representação do sistema de potência, pode ser
simplificado em um grafo mais fundamental aonde serão realizadas as análises de
traceamento, mas antes que isso possa ser realizado é necessário que seja feita uma
análise de todos os ramos do grafo, determinando o que será útil na nova
representação. Cada agrupamento em comum é, como o nome já diz, apenas um
agrupamento de barras do sistema que apresentam uma característica em comum do
ponto de vista das injeções de potência do sistema. Todas as barras têm a mesma
característica por assim dizer. Também é importante deixar claro que as fontes de
geração não fazem parte desses agrupamentos e nem os ramos que interconectam
barra e gerador, apenas as barras e os ramos entre barras são inseridos no
agrupamento.
Para que possamos utilizar essas informações para realizar o traceamento da rede,
ainda é necessário realizar uma análise dos ramos que interconectam as barras e
também atribuir um ranqueamento em graus aos agrupamentos que fazem parte do
sistema.
42
2.5.4 - Conexões e ramos:
Apesar da representação na forma de grafos ser uma abstração de um sistema físico
real que representa um sistema elétrico de potência com distribuição de fluxos através
da rede, é importante ter em mente que a ligação que existe entre os elementos do
grafo são de fato as linhas que interligam as barras do sistema e por onde circulam os
fluxos. Para a análise posterior algumas dessas ligações serão relevantes e outras não,
sendo completamente suprimidas. Dessa forma a próxima representação em forma de
grafo será completamente abstrata ao sistema elétrico inicial que deu origem a essa
modelagem. Para proceder com a análise necessário fazer uma distinção entre os
ramos internos e externos dos grafos e conseqüentemente a definição da conexão
entre os agrupamentos em comum, delimitando assim um segundo grafo aonde será
realizada finalmente a análise de traceamento.
- Ramo Interno: São ramos que interligam barras que pertencem ao mesmo
agrupamento comum.
- Ramo externo: São ramos que interligam barras que pertencem a agrupamentos
diferentes.
- Conexões: São formadas por um ou mais ramos externos, que interligam os dois
mesmos agrupamentos.
Uma vez que esses elementos sejam localizados no grafo original, os agrupamentos
serão representados como os elementos unitários de um novo grafo e apenas as
conexões entre os elementos serão representadas. Esse sistema simplificado será onde
o método da distribuição proporcional será aplicado. O exemplo a seguir irá
esclarecer melhor como reconhecer esses elementos e transformar o grafo original
nessa nova representação simplificada.
Um sistema genérico de cinco barras e com duas fontes de injeção de potência é
representado na forma de um grafo, com os sentidos de circulação de fluxo de
potência indicados. Determinando o domínio de cada um dos geradores chegamos ao
seguinte resultado:
FIGURA 18 – EXEMPLO
43
Os arranjos em comum são definidos pelos subconjuntos:
FIGURA 19 – RAMOS
Nesse caso existe apenas um ramo externo, formando uma conexão, entre o arranjo
C1 e o arranjo C2. Se houvesse mais ramos externos entre C1 e C2, mesmo assim
ainda haveria somente uma conexão entre esses dois arranjos. Nesse caso em
particular não existe nenhum ramo interconectando o arranjo C3 com o resto do
sistema. Nesse caso necessariamente B5 é uma barra de carga, alimentada somente
pelo gerador G2 que a ela está diretamente conectado. Para analisar um sistema com
uma carga isolada, seria necessário modificar o sistema, de tal forma a obter um
gerador fictício que representa o que de fato G2 injeta na rede.
FIGURA 20 – GRAFO SIMPLIFICADO
44
No grafo simplificado cada um dos agrupamentos de interesse do sistema, retirando-
se as cargas isoladas, se transforma em um elemento de grafo. Nessa configuração, se
representam todas as perdas internas do agrupamento como também as cargas das
barras desse agrupamento, conectadas diretamente aos elementos do grafo.
Como se dará o tratamento matemático dos fluxos que circulam pelas conexões, as
perdas e as cargas desse novo grafo, serão vistas mais adiante.
Se o sistema tivesse uma linha a mais conectando a barra B2 a barra B4, com um
sentido de fluxo real de B2 para B4, então se mais uma vez calculássemos os
domínios dos geradores e subseqüentemente os arranjos em comum, teríamos um
sistema definido pelos mesmos domínios de geradores e os arranjos também seriam
os mesmos com o único agravante a mais de haver uma ligação física que antes não
havia.
FIGURA 21 – GRAFO SIMPLIFICADO (CASO ALTERNATIVO)
Apesar de fisicamente haver um caminho a mais para circular potência no sistema, o
grafo resultante continua sendo o mesmo. Só existe uma conexão entre cada um dos
arranjos propostos, independente de quantas linhas de transmissão conectem
diferentes barras entre esses diferentes arranjos. Um aspecto curioso é que os sentidos
dos fluxos que circulam de um arranjo para outro através de linhas diferentes sempre
apresentam o mesmo sentido de circulação. A direção de circulação do fluxo de
potência através dos ramos externos que interligam os mesmos arranjos são sempre
os mesmos. Esse será também o sentido do fluxo que circula de um elemento a outro
no grafo simplificado.
2.5.5 - Grau de cada arranjo:
O grau é uma indicação numérica que pode ser atribuída a cada um dos arranjos do
sistema. Se um arranjo é formado por barras que são supridas apenas por um gerador,
então indica-se que o grau da barra é “1”. Se o agrupamento é formado por um
conjunto de barras que recebem contribuição de potência de dois geradores, então o
arranjo é considerado de grau “2” e assim por diante. Quanto menor é o grau do
arranjo mais próximo da geração ele se encontra e o inverso também é verdade. Os
fluxos que se distribuem pelo sistema, sempre se deslocam de um arranjo que possui
um grau menor em direção ao arranjo de grau maior.
45
2.5.6 - Utilizando o traceamento:
Uma vez que um sistema de potência tenha sido convertido com sucesso para a forma
de um grafo de estados, os domínios de todos os geradores tenham sido calculados,
seus arranjos comuns tenham sido encontrados e a simplificação final tenha sido
executada, deixando o sistema na forma de um grafo composto por arranjos e
conexões, só a partir desse ponto é possivel obter o traceamento de potência através
do circuito.
Cada elemento do grafo simplificado é conectado a entradas de injeção de potência,
que podem ser geradores conectados as barras que fazem parte daquele agrupamento
ou ainda uma conexão com outro agrupamento por onde recebe potência. Além disso,
cada elemento também possui pontos de saída que representam, cada uma, as perdas
nos ramos que fazem parte do arranjo, as cargas propriamente ditas que estão
conectadas as barras que compõem o arranjo e também os ramos que representam
conexões que interligam os elementos do grafo, transportando a potência na forma de
outflow para outros arranjos do sistema.
As perdas séries que ocorrem nas linhas de transmissão do sistema são modeladas
como cargas nos barramentos de envio de potência. Dessa forma o fluxo que circula
pelos ramos é o fluxo liquido entre barras. O fluxo que circula pelas conexões é
calculado pelo somatório dos fluxos líquidos que circulam nos ramos externos,
conectando o mesmo par de arranjos.
As equações básicas serão obtidas com o auxilio de um exemplo numérico e então
generalizadas para atender a qualquer sistema.
FIGURA 22 – REDE CONVENCIONAL DE UM S.E.P.
O exemplo acima representa um sistema de potência simples composto por quatro
barras e cinco linhas. A potência é injetada no sistema através das barras BR-1 e BR-
2 e fluem através do sistema em direção as cargas que estão acopladas as barras BR-3
e BR-4.
46
Os dados indicados acima representam um resultado de uma análise de sistemas de
potência, onde a magnitude das potências ativas que circulam por cada um dos ramos
está representada, assim como o sentido real de circulação dos fluxos através das
linhas.
A diferença da magnitude do fluxo na entrada e na saída de cada ramo, representam a
perda por efeito joule causada pela resistência elétrica da linha.
Para que o sistema possa ser representado na forma de um grafo deve haver apenas
um fluxo representado em cada ramo do sistema, para não desprezar as perdas do
sistema, elas serão consideradas como pequenas cargas acopladas a barra de onde
parte cada fluxo. Como exemplo é possível analisar o fluxo que circula na linha 1-2,
nesse caso ocorre uma perda de 1 [MW] com um fluxo que flui de BR-1 para BR-2,
ou seja esse fluxo parte da barra BR-1 para a barra BR-2 e dessa forma a perda será
inserida na BR-1. Ao analisar cada um dos fluxos é possivel recompor o sistema na
forma.
FIGURA 23 – REDE ALTERADA
Nessa forma todos os valores de fluxo são os valores líquidos já que as perdas
adicionais em cada barra foram consideradas de forma similar as cargas do sistema.
Dessa forma a transição para a forma de grafo de estados é direta.
47
FIGURA 24 – GRAFO INICIAL DA REDE PROPOSTA
É importante deixar claro mais uma vez que os únicos ramos de interesse para
realizar a simplificação no sistema são os ramos que ligam barras a outras barras. As
ligações de barra a gerador e de barra a carga não fazem parte da análise de ramos
internos e externos e por isso são suprimidos ou tratados como inertes no sistema. Por
uma questão de funcionalidade a representação das cargas é completamente
suprimida mas a representação do gerador é mantida no grafo, apenas para indicar a
localização do gerador já que a análise de traceamento empregada aqui trata o sistema
pela perspectiva dos geradores.
O domínio dos geradores é dado por:
A análise de subconjuntos revela quais são os arranjos comuns desse sistema. Em
sistemas com poucos geradores é relativamente simples utilizar a teoria de conjuntos
para auxiliar no processo de determinação dos arranjos mas para um sistema mais
complexo com um número maior de geradores envolvidos, muito provavelmente
algum tipo de análise computacional seja necessária já que o tratamento pelo modelo
de conjuntos se torna muito trabalhoso e pouco prático mas nesse caso como temos
apenas dois geradores fornecendo potência para a rede, à análise pode ser feita
facilmente.
48
FIGURA 25 – CONJUNTOS DO EXEMPLO PROPOSTO
Analisando as áreas internas não vazias dos conjuntos, define-se que os arranjos
comuns existentes nesse caso são apenas dois.
Além de conhecer as barras que fazem parte de cada arranjo, também é de interesse
conhecer o grau de cada arranjo. Todo o fluxo passante que atravessa a barra B1, a
única barra do arranjo C1, é proveniente de G1, ou seja existe apenas um gerador que
injeta potência nessa barra. Já no conjunto de barras que compõem o arranjo C2
existe contribuição de ambos os geradores que alimentam o sistema. Sendo assim:
A definição do grau do sistema serve apenas como uma forma de controle para
verificar a direção dos fluxos que estarão circulando no grafo simplificado.
FIGURA 26 – REPRESENTAÇÃO COM ARRANJOS E PERDAS
49
Nesse caso existem três linhas de transmissão que interligam a barra do arranjo C1
até as barras do arranjo C2. Isso significa que temos três ramos externos, todos eles
interligando a mesma dupla de arranjos; C1 e C2. Esses três ramos externos serão
sintetizados em um único caminho para distribuição de fluxo de potência, esse será a
conexão entre os arranjos C1 e C2. Na figura acima é importante visualizar que o G1
se encontra conectado diretamente ao arranjo C1 e o G2 está por sua vez conectado
diretamente ao arranjo C2, assim como ambas as cargas também estão conectadas a
C2.
FIGURA 27 – GRAFO SIMPLIFICADO (ANÁLISE DE TRACEAMENTO)
O fluxo sempre é direcionado do arranjo de grau inferior em direção a outro arranjo
de necessariamente grau superior. O fluxo que circula pela conexão entre C1 e C2 é a
soma de todos os fluxos líquidos nos ramos externos que interligam os dois arranjos.
Sendo assim:
(2.59)
O fluxo que percorre a conexão é um outflow do arranjo C1 mais é um inflow do
arranjo C2. É importante perceber isso, já que o principio da distribuição
proporcional é empregado tendo em vista que cada fluxo de saída é composto por
uma série de parcelas que é igual ao número de fluxos de entrada que um nó possui.
Desde já é possível visualizar que as perdas e outflows do arranjo C1 terão apenas
uma parcela de contribuição e as cargas e perdas do arranjo C2 terão duas parcelas de
contribuição. Com o grafo simplificado basta aplicar a equação do principio da
proporcionalidade considerando que cada elemento do grafo representa um nó.
50
Calculo do traceamento nas perdas do arranjo C1:
A única injeção que ocorre no arranjo C1 é via o gerador G1. O gerador G1 é
responsável por 100% das perdas que ocorrem nas linhas LT 1-2, LT 1-3 e LT 1-4.
Calculo do traceamento no outflow do arranjo C1:
Da mesma forma, o gerador G1 é responsável pela totalidade do fluxo de potência
que circula na conexão que interconecta C1 e C2.
Agora no arranjo C2 haverá duas contribuições distintas de inflow no arranjo: uma
direta através do gerador G2 que está conectado ao arranjo e outra recebida pela
conexão com o arranjo C1.
Calculo do traceamento nas perdas no arranjo C2:
Para que não haja confusão a respeito do significado dos dados é necessário analisar
o que significam esses valores. A primeira parcela disponibiliza o compromisso da
potência despachada através da conexão entre C1 e C2 em relação as perdas joule na
LT2-4, essa informação ainda não é suficiente para concluir a geração responsável
por essa parcela de perda, já a segunda parcela de fato demonstra o compromisso do
gerador G2 em relação as perdas que ocorreram na LT2-4. Para obter a relação de
qual é o compromisso dos geradores do sistema em relação a cada uma das perdas,
cargas ou fluxos é necessário aplicar o principio da proporcionalidade mais uma vez
mas em relação a parcela que representa o inflow vindo de outro arranjo, nesse
exemplo seria a primeira parcela.
(2.68)
Onde G’, G’’ e todos os outros geradores que se encontram nos arranjos de grau
inferior e mais próximo a raiz do grafo. Nesse caso em especifico o único gerador
que satisfaz a essa relação é o gerador G1 no arranjo C1.
51
Como todo o outflow de C1 depende de G1, não há uma alteração nos valores
numéricos mas isso é uma particularidade desse exercício. É necessário sempre se
lembrar de executar a distribuição proporcional sobre a parcela que provem de algum
outro arranjo comum.
A primeira parcela dessa equação é o compromisso do gerador G1 em relação as
perdas na linha LT2-4 e a segunda representa o compromisso do gerador G2 nas
perdas na mesma linha.
As demais perdas são calculadas da mesma forma.
Calculo do traceamento nas cargas no arranjo C2:
2.5.7 - Calculo do traceamento nos fluxos pelas barras:
Todos os fluxos que circulam pelo sistema ou estão contidos dentro de um arranjo, os
fluxos estão circulando entre duas barras que fazem parte do mesmo arranjo, ou os
fluxos estão circulando através dos ramos externos que determinam a conexão entre
os arranjos. Se o fluxo for interno ao arranjo todas as entradas de injeção de potência
do arranjo estarão contribuindo para a formação do fluxo, sendo assim ele será
composto em um número de parcelas igual ao número de entradas de injeção. Já no
caso dos fluxos que estão presentes nos ramos externos, as fontes de contribuição que
ativamente tem algum compromisso com esse fluxo de potência são as fontes que
estão a montante desses fluxos. Não apenas as fontes de geração que se encontram no
arranjo de onde se origina esse fluxo mas também a todas as outras fontes que estão a
montante desse arranjo origem. No caso do exemplo proposto temos cinco fluxos
diferentes circulando através do sistema, três deles são fluxos que circulam através
dos ramos externos e dois deles estão circulando nos ramos internos, entre barras de
um mesmo arranjo. Nesse caso a análise dos fluxos será feita da seguinte forma.
52
Nesses casos toda a contribuição é proveniente das injeções que ocorrem no arranjo
C1. Como o arranjo C1 é a raiz do grafo a única injeção que faz parte de C1 é a
injeção direta do gerador G1 que se encontra na barra B1 que faz parte de C1, dessa
maneira o único membro envolvido no fluxo de potência que circula nesses ramos
externos é o gerador G1.
Já o traceamento dos fluxos que circulam entre as barras do arranjo C2 possuem
parcelas de contribuição tanto do gerador G2 conectado a barra B2 que pertence ao
arranjo C2 como também existe uma contribuição proveniente do gerador G1
localizado no arranjo C1.
2.5.8 - Comentários finais a respeito dos métodos de traceamento propostos
nesse trabalho:
As duas metodologias tratadas nesse documento não são as únicas formas de se
determinar o traceamento de um sistema de potência mas são, sem duvida, os
métodos que ganharam uma maior visibilidade em artigos técnicos que tratam do
problema de tracing.
Os métodos possuem diferenças significativas entre si e por isso mesmo resultam em
resultados numéricos diferentes do traceamento dos fluxos, cargas e das perdas do
sistema. Cada um dos métodos apresentam características positivas e negativas em
comparação mas não necessariamente um é superior ao outro. São apenas formas
diferentes de se abordar o mesmo problema e tratar os empecilhos que cada método
traz a tona durante a execução.
Algumas comparações podem ser traçadas daquilo que foi tratado ao logo desse
trabalho:
53
2.5.8.1 - Método Matricial:
É um método complexo que, para ser aplicado com sucesso, depende de uma
série de detalhes que devem ser seguidos com rigor, tanto das alternativas que o
método predispõem como a abordagem correta para se obter os resultados de
traceamento.
Na abordagem a montante, as estimadas de calculo nos informam apenas o
conteúdo global do traceamento frente as cargas do sistema: a demanda que todo
o conjunto de geradores assume em relação a uma das cargas do sistema. A
informação não é discreta, de cada gerador do sistema em relação a cada carga
no sistema. O inverso também pode ser descrito quando a abordagem é feita a
jusante.
O método modela todo o sistema envolvido na forma de matrizes, aonde a
resolução da aplicação da inversão de matrizes se faz necessária. Isso pode ser
muito trabalhoso de uma perspectiva humana mas pode trazer grandes vantagens
computacionais.
2.5.8.2 - Método de Grafo de estados:
O método é de forma geral mais extenso e se desenvolve como um seqüência de
passos que indiretamente nos conduzem ao traceamento do sistema.
Os passos intermediários que surgem ao decorrer da execução do método, apesar
de não fornecerem informações de traceamento, são fontes de informações uteis
a respeito do estado e da configuração da rede.
Todo o embasamento lógico utilizado é extremamente simples, o que permite
uma seqüência de eventos diretos e facilmente analisados através de inspeção,
não necessitando de uma abordagem matemática complexa.
Provavelmente a lógica computacional que deve ser desenvolvida para o
tratamento dessas aplicações é mais sofisticada e menos intuitiva, envolvendo
recursividade na construção de algoritmos.
54
3 - Simulação Computacional:
3.1 – O Objetivo:
Por mais bem detalhado e lógicos que sejam os artifícios utilizados para desenvolver
uma técnica analítica, que sirva com uma ferramenta para a resolução de algum
problema, o simples bom senso e o fundamento lógico não são suficientes para
suportar e dar credito a determinado método. É necessário testar e colocar a prova o
método, na tentativa de assegurá-lo, descartá-lo ou até mesmo analisar suas falhas e
reconstruí-lo. Independente do fato que se segue após testá-lo é importante colocar a
prova a forma de análise e se possível obter dados empíricos que possam ser
analisados posteriormente.
3.1.1 – Por que simular:
Há duas razões distintas para que utilizemos uma fonte de dados computados para
avaliar o comportamento das abordagens de traceamento e supostamente o seu valor
como fonte de análise; um deles diz respeito ao simples fato do estudo envolver redes
de sistemas elétricos de potência, onde os modelos matemáticos utilizados espelham
com relativa precisão o processo de distribuição de potência ao longo das redes e dos
elementos que constituem essa rede, tais modelos podem ser utilizados para essas
análises a um custo muito inferior em relação a alternativa que seria realizar testes
físicos em unidades verídicas de uma rede elétrica real mas o motivo mais importante
pelo qual é necessário avaliar os métodos de traceamento utilizando-se de simulações
computacionais é o fato de que avaliações empíricas, através de medições em campo,
não podem ser realizadas já que a corrente elétrica é indistinguível. Nesse caso a
simulação serve como uma forma de observação, onde podemos aplicar o método de
traceamento sobre um sistema qualquer e observá-lo através dessa perspectiva
diferente assumida pelo tracing. Em [8] algumas simulações também são realizados,
utilizando-se de ambos os métodos abordados no documento.
3.2 – Forma de Simulação:
As simulações foram realizadas utilizando o software MATLAB versão 7.10.0
(R2010a) utilizando um código que fora desenvolvido previamente pela equipe
responsável por [6]. Como já foi tratado no capitulo anterior, para que a investigação
do traceamento possa ser realizada, uma análise previa de fluxos de potência deve ser
realizada. A análise de fluxo de potência na rede é um pré-requisito para que a análise
de tracing flow possa ser empregada. Para cada conjunto de parâmetros da rede
(injeção de potência, cargas, componentes de transmissão e etc.) obtém-se um
resultado instantâneo do fluxo de potência entre as barras do sistema, conforme
qualquer variação ocorra nos parâmetros que definem esse sistema, então uma nova
configuração de fluxos na rede será definida e conseqüentemente uma diferente
configuração de traceamento. Do ponto de vista computacional isso tem uma
implicação bem simples: os dados resultantes da análise de fluxo de potência na rede
são os dados de entrada do código que executara o traceamento. Como a operação de
traceamento é dependente da operação de análise de fluxo, então o código foi
55
construído de maneira a já incorporar outro código que também já realizasse a análise
de fluxos de potência, dessa forma o código utilizado é composto de dois estágios:
3.2.1 - 1º Estágio - Análise de fluxo de Potência:
Através de uma série de dados que informam os parâmetros do sistema elétrico, é
possível simular a rede e realizar uma série de interações a fim de descobrir as
tensões fasoriais (módulo e ângulo) em todas as barras do sistema, uma vez que esses
dados sejam calculados e os parâmetros físicos das linhas de transmissão sejam
conhecidos é possível calcular o fluxo de potência ativa através da equação.
(3.1)
Onde a constante representada por A é dada por:
(3.2)
Onde os fasores VK e VM representam as tensões em cada um dos barramentos
localizados nas extremidades da linha que conectam as barras K e M.
Os ângulos indicados na equação também representam a característica angular de
cada um dos fasores de tensão, ambos podem ser descritos como.
(3.3)
Já as incógnitas representadas por RKM e XKM representam os parâmetros físicos da
impedância da linha que interconecta as duas barras, sua parte resistiva e sua parte
reativa respectivamente.
O fluxo de potência ativa que flui de uma barra genérica K em direção a outra barra
genérica M é dependente das variáveis da linha, como também da diferença fasorial
de tensão elétrica entre as duas barras.
Essa primeira etapa também realiza os cálculos de potência reativa que circulam
através das barras mas como o interesse nesse trabalho é apenas a aplicação de
tracing em fluxos de potência ativa, o equacionamento a respeito da potência reativa
não será elaborado.
3.2.2 - 2º Estágio – Análise de traceamento de Potência:
O resultado do primeiro estágio é o calculo de uma série de fluxos de potência, se os
dados convergirem, indicando quais são os fluxos de potência que circulam em todos
os ramos do sistema. Esse resultado parcial informa dois conjuntos de fluxos de
potência, o primeiro diz respeito ao fluxo PKM e o outro ao fluxo PMK já que o código
foi construído de tal forma que os fluxos em ambas as extremidades da linha são
calculados, o que nos permite estimar as perdas que ocorreram durante o transporte
de potência, mas a referência de cada um dos fluxos é sempre indicada como um
outflow da barra mais próxima.
56
A titulo de exemplo, supõe-se que o fluxo real calculado pelo programa seja o de um
fluxo que de fato flui da direção da barra K para a barra M.
FIGURA 28 – FLUXO DE POTÊNCIA DE K PARA M (CASO 1)
Nesse caso é possível inferir que:
(3.4)
(3.5)
Onde PPERDAS representa as perdas na linha de transmissão. Potência ativa dissipada e
transformada em calor pelo efeito Joule. O código contabiliza esse mesmo sistema,
nessa mesma situação da seguinte forma.
FIGURA 29 – FLUXO DE POTÊNCIA DE K PARA M (CASO 2)
Nessa configuração o sentido real de circulação do fluxo de potência que fluiria para
a barra M está representado com se este fosse um fluxo de saída a partir da barra M
ou seja, o referencial está invertido em relação ao sentido real.
(3.6)
Além disso, supondo que a direção indicada é direção real de circulação, em um
sistema com perdas é possível afirmar que:
(3.7)
Na pratica é possível que o sentido real de circulação do fluxo de potência ativa
sejam duas injeções na linha, cada uma via uma das barras das extremidades da linha
57
mas esse é um caso bem particular onde toda a potência ativa injetada está sendo
consumida na resistência série da linha, o código utilizado para a análise de
traceamento não foi implementado de tal forma a comportar esse tipo de
acontecimento numérico.
Uma vez que todos os fluxos de potência do sistema são conhecidos o traceamento é
feito diretamente, utilizando-se somente o principio da proporcionalidade em cada
uma das barras do sistema. O código não foi construído com a intenção de executar o
método matricial ou mesmo o método de grafo de estados mas foi desenvolvido sobre
o mesmo principio fundamental em que esses dois métodos também tem suas origens
que é o principio da distribuição proporcional.
Cada um dos fluxos de saída das barras é calculado em função da quantidade e das
magnitudes dos fluxos de injeção daquela barra.
(3.8)
Apesar do código não ter sido baseado no método de tracing que utiliza a teoria de
grafos, aonde era necessário determinar o domínio de cada um dos geradores que
fazem parte do sistema sendo analisado, o código também possui a particularidade de
determinar os domínios dos geradores mas não determina os arranjos comuns da rede.
3.3 – Dados de Entrada:
Os dados que devem ser fornecidos para que o programa possa ser executado com
sucesso, são efetivamente os dados de entrada necessários para a realização da análise
de fluxo de potência que é o que delimita o primeiro estágio do código. Esses dados
são fornecidos através de vetores, no arquivo de leitura de dados do programa.
Vetores são apenas matrizes unidimensionais e a grande maioria dos códigos
construídos para serem executados no MATLAB são construídos utilizando essa
lógica matricial já que o próprio software foi constituído com o intuito de trabalhar
mais eficientemente com essa lógica. O nome MATLAB é de fato a contração das
palavras Matrix e Laboratory (Laboratório de Matrizes).
3.3.1 – Dimensão e Ordenação do Sistema:
Os únicos dados escalares que devem ser fornecidos na entrada de dados, são os
dimensões efetivas do sistema. A variável nb define o número de barras que fazem
parte do sistema que deve ser modelado e a variável nr informa o número de ramos,
conexões entre as barras, da rede. Apenas essas informações não são suficientes para
determinar o layout do sistema, ainda é necessário indicar as barras nas extremidades
de cada um dos ramos, essa informação é fornecida através dos vetores coluna
denominados como from e to. Esses dois vetores em conjunto indicam apenas entre
quais barras ocorre cada uma das conexões, não existe prioridade ou indicativo de
direção nesse caso.
58
A dimensão de cada um desses vetores é dada pelo número de ramos do sistema e
cada um dos elementos desses vetores são valores numéricos que indicam uma barra
em particular, os pares f1-t1, f2-t2 até fnr-tnr indicam as barras que se localizam nas
extremidades de um dos ramos.
Outra informação muito importante que deve ser fornecida vem na forma do vetor
que enquadra cada uma das barras em uma determinada categoria. Esse vetor coluna
identifica se cada uma das barras do sistema é uma: barra de geração, barra de folga
ou barra de carga. A legenda utilizada para sinalizar cada uma dessas categorias será:
Barra de Folga = 0
Barra de Geração = 1
Barra de Carga = 2
Cada elemento do vetor tipo será composto de uma das três formas indicadas acima,
onde a posição do elemento indica qual barra possui a categoria indicada pela
sinalização proposta. O vetor tem a forma geral.
Todas as barras classificadas como “Barra de Folga” se tornarão a referência angular
do sistema. Os ângulos das tensões elétricas nas outras barras são referenciadas ou
atrasadas em relação a tensão dessas barras.
3.3.2 – Os parâmetros Elétricos do Sistema:
Também são fornecidos através de vetores e constituem informações das
características elétricas de cada uma das barras do sistema. A posição de cada um dos
elementos dentro do vetor indica a qual barra aquela informação está relacionada. As
informações que devem ser fornecidas dizem respeito aos valores de injeção de
potência, ativa e reativa, existentes em cada uma das barras como também a
demandas de carga, ativas e reativas, que estejam conectadas as barras.
Injeção (geração):
Demanda (cargas):
Cada um dos elementos desses vetores são fornecidos em PU. Onde para qualquer
nível de tensão do sistema temos:
59
Outra informação que deve ser fornecida é a respeito das tensões nas barras. Como já
foi mencionado anteriormente o calculo de fluxo de potência depende do calculo das
tensões fasoriais de cada uma das barras do sistema, ou seja as tensões são incógnitas
de interesse que de fato devem ser obtidas através de cálculos e esses cálculos são
realizados utilizando iterações e correções. Os valores indicados nesse vetor
representam apenas o valor inicial da iteração que será realizada em cada uma das
barras para determinar os seus valores reais de tensão. Como os dados do vetor são
fornecidos em PU é comum que o vetor de tensão possua todos os elementos
unitários. Nenhum dos resultados gerados pelo programa irá fazer referencia a níveis
de tensão, então não é necessário fornecer as supostas tensões de base para os níveis
de tensão da rede.
3.3.3 – Os parâmetros das Linhas de Transmissão:
Os parâmetros físicos que definem as características de cada uma das linhas de
transmissão do sistema também devem ser indicados. A resistência elétrica de cada
um desses ramos, assim como a reatância indutiva, devem ser fornecidas. Os vetores
que irão conter os dados de cada uma das linhas possuem a mesma orientação dos
vetores from e to. Cada um dos elementos desses vetores está alinhado com os pares
fn-tn definidos pelos vetores from e to.
O efeito capacitivo entre a linha e solo, fruto da diferença de potencial entre o
barramento energizado e um ponto de referência neutro, também pode ser informado
se for necessário a simulação. Esse vetor determina o elemento shunt de cada uma
das linhas, o alinhamento desse vetor é idêntico ao dos vetores dos elementos série.
3.4 – O relatório de Saída:
Uma vez que a entrada de dados tenha sido preenchida com os dados relevantes que
modelam o sistema que se deseja estudar, o programa pode ser executado através do
prompt de comandos do MATLAB. O programa irá executar uma análise de fluxo de
potência e em seguida tracear o sistema, nessa ordem. O relatório de saída exprime os
dados finais referentes a análise de traceamento da rede. O relatório é subdividido em
quatro partes que expressão diferentes dados a respeito do traceamento. O relatório de
saída é impresso virtualmente na forma de um documento de texto (txt).
60
3.4.1 – Análise das Cargas do sistema:
A primeira parte do relatório analisa cada uma das cargas ativas acopladas as barras
do sistema, essas cargas haviam sido indicadas na entrada de dados a partir do vetor
PD. O relatório apresenta a carga em questão mas dessa vez expressa na unidade de
interesse, [MW] e revela a percentagem de contribuição que cada um dos geradores
do sistema contribuíram na entrega da demanda solicitada pela carga. O aspecto
visual pode ser conferido na figura a baixo, onde as numerações são apenas
indicativos de um exemplo qualquer de uma rede que foi analisada.
FIGURA 30 – ANÁLISE DE CARGAS
Esses resultados denotam um exemplo de um sistema que possuía apenas duas cargas
ativas no sistema, ambas de 50 [MW], acopladas respectivamente na barra 3
(indicado no relatório através de CARGA 3) e na barra 4 (indicado no relatório
através da CARGA 4). Essa rede possui dois geradores em operação, um deles
acoplado na barra 1 (indicado no relatório através de Ger 1) e outro acoplado a barra
2 (indicado no relatório através de Ger 2). É importante observar que o fato de
existirem dois geradores contribuindo com injeções de potência para o sistema, não
necessariamente implica que as duas barras onde estes geradores estão acoplados
sejam de fato barras de geração, para que o balanço de potência seja alcançado no
sistema as barras de folga podem possuir um comportamento de geração ou mesmo
demandarem potência como uma carga, sendo assim não é possível afirmar se a barra
1 ou a barra 2 são barras de geração pura ou se uma delas é apenas uma barra de
folga, contribuindo com determinada injeção de potência para que o balanço seja
estabelecido. O código foi construído de tal maneira a não considerar nas suas
análises a suposta carga de uma barra de folga, dessa maneira é possível garantir que
as barras 3 e 4 são de fato barras de carga. Se houver uma barra de folga se
comportando como uma carga, ela não irá constar nesse relatório, devido a ser um
caso não usual.
61
3.4.2 – Análise dos Geradores:
O segundo condensado de dados que aparecem no relatório diz respeito aos
resultados de traceamento do ponto de vista do gerador. Ele informa qual foi a
contribuição bruta de cada um dos geradores do sistema, também informa o domínio
de cada um dos geradores da rede e os caminhos possíveis que interconectam a barra
que contem o gerador até a barra que contem as cargas.
Outra informação é a percentagem do total de injeção que aquele gerador fornece ao
sistema em relação ao que é demandado por cada uma das cargas em especifico.
A figura abaixo demonstra um exemplo, dessa parte do relatório. Mais uma vez os
dados são exemplos de uma simulação qualquer realizada.
FIGURA 31 – ANÁLISE DOS GERADORES
Existe dois subespaços, cada um com os dados relevantes a um dos geradores do
sistema, com dois geradores e duas cargas. Esse relatório informa que a carga 3, de
62
50 [MW] (18,51 + 31,49 = 50) recebe contribuição dos dois geradores. Dessa
contribuição 18,51 [MW] é fornecida pelo gerador 1 e 31,49 [MW] é fornecido pelo
gerador 2. A contribuição que o gerador 1 oferece a carga 3 é 90,74% de toda a
contribuição que o gerador 1 oferece ao sistema. A mesma interpretação dos dados
pode ser aplicada para analisar o gerador 2 e compreender o que são as informações
obtidas através do relatório.
3.4.3 – Perdas nos Ramos:
O terceiro conjunto de dados fornece uma análise da contribuição dos geradores nas
perdas que ocorrem durante o transporte de potência das fontes até as cargas. Ou seja,
as perdas ativas que são dissipadas ao longo das linhas de transmissão. A cada ramo,
a cada linha, há uma parcela de potência dissipada que é indicada na seguinte
configuração.
FIGURA 32 – PERDA NOS RAMOS
As estimativas de perdas aparecem ordenadas em N colunas, dependendo do número
de geradores ativos que estiverem alimentando o sistema. A primeira coluna apenas
indica os ramos aonde se constatou as perdas, da segunda em diante são informadas
as parcelas de potência ativa dissipada fornecida por uma das fontes em especifico. A
última coluna informa o total de potência dissipada em cada ramo.
Após a apresentação dessas estimativas os dados são apresentados mais uma vez mas
desta vez em taxas percentuais, onde cada parcela de contribuição na perda, vinda de
um gerador em especifico, foi normalizada pelas perdas totais e apresentada em
forma percentual.
63
3.4.4 – Resumo:
O ultimo apanhado de dados que o relatório fornece dizem respeito ao panorama
geral da rede. O total de perdas no sistema, em todos os ramos, causados por todos os
geradores como também a responsabilidade que cada uma das fontes de geração tem
com a demanda geral que o sistema solicita e com as perdas totais causadas no
transporte de potência.
FIGURA 33 – RESUMO
Como a carga total do sistema é de 100 [MW] (50 da carga 3 e 50 da carga 4) e o
gerador 1 é responsável por 18,51 [MW] da carga 3 bem como por 18,51 [MW] da
carga 4, totalizando uma contribuição de 37,02 [MW] (18,51 + 18,51 = 37,02). Esse
quantitativo de potência é 37,02% dos 100 [MW].
3.5 – Simulações em Sistemas de Pequeno Porte:
Como já foi discutido anteriormente, o estudo do traceamento está vinculado a um
estado estático do sistema. Uma vez que alterações sejam feitas no sistema
eventualmente haverá alterações, mesmo que mínimas, no despacho de potência
através da rede e conseqüentemente uma nova análise de traceamento deve ser
realizada. O passo seguinte é realizar simulações com configurações diferentes do
sistema e observar os dados de saída da aplicação do tracing em cada configuração de
potência. O sistema que será analisado é um sistema compacto, onde se espera
observar os resultados obtidos com maior clareza e facilidade de interpretação. O
sistema será composto de quatro barras e quatro linhas de transmissão, onde duas
barras são de carga, uma barra é de geração e uma barra é de folga; onde a barra de
folga estará sempre realizando o balanço de potência no sistema na forma de uma
fonte de injeção (gerador). Em suma, um sistema simples com dois geradores, duas
cargas e quatro ramos de ligação entre eles. Outro fato particular que deve ser
ressaltado nas simulações é o alto valor dos parâmetros de linha fornecidos, em
comparação a valores mais usuais, o objetivo em realizar as simulações com tais
valores é o de ressaltar as perdas do sistema que serão parte fundamental das análises
a seguir.
64
3.5.1 – Sistema Simétrico:
FIGURA 34 – SISTEMA SIMÉTRICO
Esse sistema é perfeitamente simétrico em todos os aspectos, possuindo impedâncias
idênticas em cada um dos seus ramos, além de uma distribuição balanceada das
cargas da rede. As cargas possuem demandas iguais e um mesmo número de
conexões com barras a montante. Como o único foco de interesse desse trabalho é o
traceamento da potência ativa através da rede, as parcelas reativas de cada uma das
cargas poderiam ser a principio desconsideradas mas essas parcelas foram mantidas
apenas para explicitar que até mesmo cada uma das cargas encontra-se em perfeita
simetria entre suas componentes ativas e reativas.
Os dados de entrada iniciais que modelam esse sistema são:
Dimensão e Ordenamento:
nb = 4;
nr = 4;
from = [1 1 2 3];
to = [2 3 4 4];
tipo = [0 1 2 2];
Parâmetros Elétricos:
PD = [0 0 0.5 0.5];
QD = [0 0 0.5 0.5];
PG = [0 1 0 0];
QG = [0 0 0 0];
V = [1 1 1 1];
65
Parâmetros das Linhas de Tranmissão:
x = [0.3 0.3 0.3 0.3];
r = [0.1 0.1 0.1 0.1];
bsh = [0 0 0 0];
Cada uma das duas cargas do sistema apresenta uma demanda de 0.5 PU de potência
ativa, o que equivale a 50 [MW] cada. A demanda do sistema é de 100 [MW] que é o
resultado direto da soma das demandas das duas cargas. A potência injetada no
sistema através de GG, que está conectado a barra 2, é de 1 PU o que equivale a 100
[MW]. Em uma primeira análise é possível concluir, erroneamente, que o sistema
esteja balanceado em relação ao quantitativo de potência envolvida na injeção e na
demanda através das cargas, mas é necessário atentarmos ao fato que estamos
utilizando um modelo que leva em consideração as perdas que ocorrem no sistema
durante o transporte de potência, dessa forma existe um adicional de perdas ativas
que não são consumidos pelas cargas mas sim representam o consumo na forma de
perdas que ocorrem nas linhas. Sendo assim a injeção de 100 [MW] fornecida pelo
gerador GG não será suficiente para manter o sistema operando nessas condições,
necessariamente o gerador GF na barra de folga estará realizando alguma
contribuição para suprir esse excesso que ocorre devido às perdas. O quantitativo de
potência que será injetado no sistema via GF só será conhecido após a análise de
fluxo de potência do sistema estiver completa.
O parâmetro que será variável ao longo de cada uma das simulações a seguir será a
injeção fornecida pelo gerador GG ao sistema. A demanda das cargas irá permanecer
constante assim como os parâmetros construtivos das linhas. Conforme a capacidade
de injeção de GG for sendo alterada, necessariamente, como conseqüência, haverá
uma alteração na potência que GA irá precisar fornecer ao sistema de maneira a
fechar o balanço de potência ao longo da rede e além disso, conforme se varia a
quantidade de injeção fornecida pelo gerador GG o layout de distribuição de fluxos
ao longo da rede também se altera, seja em relação a intensidade do fluxo ou mesmo
em relação a direção dos fluxos. O quadro abaixo apresenta o comportamento do
sistema, a variações incrementais de 0,1 PU ( = 10 [MW] ).
TABELA 1 – SISTEMA SIMÉTRICO
Na tabela estão representados os dados colhidos de cada uma das simulações
realizadas. O ponto inicial da experiência foi quando o gerador GG contribuía com
uma injeção de 100 [MW], dali em diante houve algumas simulações com um
66
aumento da contribuição do gerador GG para o sistema e outras, a maioria,
analisando os casos onde ocorre um decréscimo da potência fornecida por GG. O
limite superior das simulações, indicado pela injeção de 120 [MW] por parte do
gerador GG, é o ponto máximo até onde o código utilizado ainda nos fornece dados
relevantes, desse ponto em diante a barra de folga já não mais se comporta como um
gerador e sim como uma carga, consumindo potência de forma a realizar o balanço de
potência no sistema.
O ponto indicado em amarelo representa o ponto onde ocorrem as menores perdas no
sistema, durante o transporte de potência. Nesse sistema elétrico puramente simétrico,
o ponto ótimo se encontra na exata situação onde a contribuição de ambos os
geradores, GG e GF, são responsáveis por 50% da demanda de cada uma das cargas
assim como 50% das perdas ativas do sistema. Nas proximidades desse ponto os
domínios dos geradores estão prestes a se alterar de maneira drástica.
FIGURA 35 – CONFIGURAÇÃO A
A configuração A indicada na tabela diz respeito à maneira que os domínios de cada
gerador se encontram em uma determinada gama de simulações. No caso da
configuração A os domínios de cada gerador seriam indicados por.
67
FIGURA 36 – CONFIGURAÇÃO B
A configuração B demonstra um conjunto diferente do fornecimento de potência pela
rede, com o gerador GF assumindo um domínio majoritário em relação ao sistema.
A uma distancia incremental bem inferior aos passos padrões de 10 [MW], o sistema
sofre uma alteração na sua configuração de distribuição de fluxos de potência ao
longo da rede, passando da configuração A para a B ou vice-versa. A partir desse
ponto as perdas começam a crescer novamente. O que é interessante é que para um
conjunto de dados bem específicos, muito próximos a configuração de dados desse
ponto, o sistema pode se encontrar desacoplado na forma de dois mini-sistemas
independentes.
FIGURA 37 – CASO DISTINTO
Em uma situação especial como essa a configuração é diferente de A e de B.
68
Esse ponto singular é, ao menos no sistema simétrico analisado, o ponto ótimo na
relação de perdas no sistema para realizar o suprimento de cargas necessário. É
possível realizar uma análise correlacionando a variável de interesse, a injeção de
potência do gerador GG, e as perdas totais no sistema.
FIGURA 38 – PERDA TOTAL DO SISTEMA X INJEÇÃO NA BARRA DE
GERAÇÃO: CASO SIMETRICO (MW X MW)
No ponto ótimo a contribuição do gerador GG é de 60 [MW] para o sistema, 50
[MW] destinada às cargas e 10 [MW] é a parcela atribuída ao gerador pelas perdas no
sistema. A parcela de contribuição de cada gerador em relação às perdas e as cargas
do sistema, também pode ser analisada.
FIGURA 39 – COMPARAÇÃO ENTRE DEMANDAS E PERDAS NO SISTEMA
SOB RESPONSABILIDADE DE GG X INJEÇÃO NA BARRA DE GERAÇÃO:
CASO SIMETRICO (MW X MW)
69
Na curva em vermelho temos a variação das perdas do sistema que são atribuídas a
GG comparadas a contribuição que o gerador fornece ao sistema, já na curva em azul
apresenta-se a plotagem da carga do sistema que é atribuída a GG em relação à
contribuição do gerador ao sistema. Ambas possuem uma característica não-linear,
apesar de aparentemente apresentarem uma curvatura pouco acentuada.
3.5.2 – Sistema com cargas Assimétricas:
FIGURA 40 – SISTEMA ASSIMETRICO (ASSIMETRIA EM CARGAS)
Diferentemente do primeiro sistema analisado, esse sistema apresenta uma assimetria
na sua distribuição de cargas. A carga ativa do sistema continua sendo um montante
de 100 [MW] que devem ser supridas pelos geradores do sistema, mas agora a
distribuição de cargas não é simétrica. Os outros elementos do sistema continuam
inalterados e portanto todas as linhas de entradas de dados continuam inalteradas com
exceção dos vetores PD e QD.
PD = [0 0 0.75 0.25];
QD = [0 0 0.75 0.25];
Apesar da assimetria entre as cargas, cada uma das cargas ainda permanece sendo
simétrica em relação às componentes ativas e reativas. A mesma seqüência de
eventos é realizada nessa nova configuração, nesse caso o limite superior é diferente
do que foi observado no caso anterior, mas da mesma maneira o fator determinante é
o mesmo; a partir do momento que a barra de folga toma características de carga e
não de geração, esse estado não é computado com as simulações validas.
70
TABELA 2 – SISTEMA ASSIMETRICO (CARGAS)
Da mesma maneira como ocorreu no caso com o sistema simétrico, uma série de
simulações foram realizadas com um incremento de 10 [MW] entre cada nova
simulação. Nesse caso foram realizadas algumas simulações a mais, próximas ao
ponto onde ocorre as menores perdas no sistema. Mais uma vez o ponto ótimo em
relação às perdas se encontra nas proximidades de uma alteração da configuração de
fluxos do sistema que do ponto de vista do traceamento sugere uma mudança drástica
do papel de cada gerador no sistema. A configuração A é a mesma configuração já
demonstrada na figura 35 do item 3.5.1. A configuração C está indicada abaixo.
FIGURA 41 – CONFIGURAÇÃO C
71
FIGURA 42 – PERDA TOTAL DO SISTEMA X INJEÇÃO NA BARRA DE
GERAÇÃO: ASSIMETRIA NAS CARGAS (MW X MW)
Em um sistema sem simetria a relação do ponto ótimo em relação à injeção de
potência no sistema não se mantém simétrica como no caso anterior, mesmo com a
demanda de carga total sendo exatamente a mesma do caso simétrico.
FIGURA 43 – COMPARAÇÃO ENTRE DEMANDAS E PERDAS NO SISTEMA
SOB RESPONSABILIDADE DE GG X INJEÇÃO NA BARRA DE GERAÇÃO:
ASSIMETRIA NAS CARGAS (MW X MW)
A curva vermelha mais uma vez representa as perdas nas linhas do sistema que são
atribuídas somente à participação do gerador GG e a curva azul é representa a
contribuição do gerador GG a todas as cargas do sistema.
72
3.5.3 – Sistema com linhas Assimétricas:
Outro caso possível de análise seria analisar o mesmo sistema simulando uma
assimetria na estrutura das linhas do conjunto e não nas cargas. Dessa maneira as
cargas voltam a estar distribuídas igualmente, mas os dados de entrada de uma das
linhas é alterado, de forma a gerar essa assimetria.
FIGURA 44 – SISTEMA ASSIMETRICO (ASSIMETRIA NAS LINHAS)
A carga total do sistema continua sendo uma demanda de 100 [MW]. Já a impedância
da linha que conecta as barras 1 e 3 foi atenuada pela metade. Da mesma forma que
foi realizada na análise das cargas assimétricas, a parcela resistiva como a reativa das
linhas continuam sendo simétricas entre si. Os vetores na entrada de dados devem ser
alterados como segue.
PD = [0 0 0.5 0.5];
QD = [0 0 0.5 0.5];
x = [0.3 0.15 0.3 0.3];
r = [0.1 0.05 0.1 0.1];
Assim como nos casos anteriores, na proximidade do ponto ótimo ocorre uma
variação da configuração do sistema, mas diferentemente dos outros casos, esta série
de simulações apresenta três diferentes configurações.
73
TABELA 3 – SISTEMA ASSIMETRICO (LINHAS)
No ponto limite que separa os dados que pertencem a configuração A e a
configuração D, como no ponto limite que separa a configuração D e a configuração
B (que também é o ponto ótimo em relação a perdas) os domínios são indefinidos.
As configurações A e B já ocorreram nos casos anteriores mas a configuração D é
demonstrada na figura a baixo.
FIGURA 45 – CONFIGURAÇÃO D
74
FIGURA 46 – PERDA TOTAL DO SISTEMA X INJEÇÃO NA BARRA DE
GERAÇÃO: ASSIMETRIA NAS LINHAS (MW X MW)
Da mesma forma como ocorreu na análise das cargas assimétricas, o caso ótimo não
ocorre em um ponto graficamente simétrico. Nesse caso em particular foi obtida a
menor perda no sistema até agora com essa configuração assimétrica nas linhas mas
essa constatação não garante causalidade e portanto não pode ser generalizado para
outros casos.
FIGURA 47 – COMPARAÇÃO ENTRE DEMANDAS E PERDAS NO SISTEMA
SOB RESPONSABILIDADE DE GG X INJEÇÃO NA BARRA DE GERAÇÃO:
ASSIMETRIA NAS LINHAS (MW X MW)
A curva vermelha apresenta a configuração de perdas atribuídas ao gerador GG em
função da contribuição do próprio para o sistema, já a curva azul apresenta a
demanda atribuída ao gerador GG em função da injeção.
75
3.5.4 – Análise geral dos resultados obtidos:
A simulação realizada nos sistemas triviais apresentados até agora faziam parte de
uma tentativa de identificar alguma característica peculiar na análise de traceamento
de sistemas com cargas assimétricas e com linhas assimétricas, já que os sistemas
convencionais são complexos e de grande porte e por isso raramente possuirão
características simétricas em relação ao número das linhas, impedâncias e etc. No
entanto essa tentativa apenas revelou que quando trabalhamos com sistemas
assimétricos, seja essa assimetria relacionada a distribuição das suas cargas na rede
ou mesmo de linhas com diferentes dimensões, as causas da assimetria parecem ser
irrelevantes já que o comportamento do traceamento observado não revela alguma
forte indicação que possa ser generalizada. A única comprovação relevante seria a
que ocorre em um sistema perfeitamente simétrico, onde como consequência disso os
geradores também devem fornecer potência ao sistema em níveis simétricos para
obter o menor percentual de perdas através do sistema e, além disso, a própria
absorção de potência pelas cargas e pelos ramos de distribuição, na forma de perdas,
também ocorre simetricamente.
Apesar disso, alguns pontos devem ser reforçados:
Nos três casos analisados, a carga não sofreu alterações durante a excursão
das simulações realizadas. A variação introduzida no sistema sempre foi a
capacidade de injeção de potência via o gerador GG na barra de geração.
Obviamente, conforme a contribuição de injeção de potência do gerador GG
aumentava, também aumentava a responsabilidade do gerador GG em relação
as perdas do sistema e também em relação as cargas do sistema mas essa
responsabilidade não aumentavam na mesma ordem, como demonstram as
figuras 39, 43 e 47.
Em um sistema simples como esse também se verificou que em relação a cada
uma das cargas do sistema, a participação do gerador GG aumentando na
contribuição de carga conforme o mesmo expandia a sua capacidade de
geração. Tal fato porém não pode ser taxado como regra, já que nem um
indicativo analítico apontasse para isso.
As relações entre “contribuição total da maquina X compromisso da maquina
frente as perdas do sistema” ou “contribuição total da maquina X
compromisso da maquina frente as perdas do sistema” apresentam variações
não lineares já que não é possível definir uma equação de reta que satisfaça a
todos os pontos obtidos. Claramente a variação não é linear mas essa não-
linearidade é pouco acentuada e não tão expressiva assim ao analisar apenas o
comportamento gráfico obtido.
76
3.6 – Simulação em um sistema teste:
Os casos mostrados no item anterior são exemplos que estão muito distantes da
realidade dos sistemas de potência que existem na prática, para tentar obter
simulações com características mais próximas do real, será realizada uma série de
simulações em um sistema contendo 14 barras.
FIGURA 48 – SISTEMA IEEE 14 BARRAS
Esse sistema representa uma parte do sistema do meio-oeste norte americano no ano
1962. O sistema apresenta alguns geradores e compensadores síncronos conectados
ao sistema, porem na análise que iremos realizar cada uma das fontes que estão
representadas como um condensador síncrono estarão trabalhando de fato como um
gerador síncrono convencional, devido ao interesse em analisar o traceamento dos
fluxos de potência ativa na rede. Executando essa alteração, teremos assim.
FIGURA 49 – SISTEMA IEEE 14 BARRAS (MODIFICADO)
77
Para todos os efeitos práticos teremos apenas geradores síncronos conectados a rede,
fornecendo potência ao sistema e por sua vez, aonde somente a potência ativa é de
nosso interesse para as analises que serão realizadas. Os valores da entrada de dados
para definir esse sistema são como se segue.
Dimensão e Ordenamento:
nb = 14;
nr = 20;
from = [1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 6 6 6 7 7 9 9 10 12 13];
to = [2 5 3 4 5 4 5 7 9 6 11 12 13 8 9 10 14 11 13 14];
tipo = [0 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2];
Parâmetros Elétricos:
PD = [0 0 0 0.478 0.076 0 0 0 0.295 0.09 0.035 0.061 0.135 0.149];
QD = [0 0 0 -0.039 0.016 0 0 0 0.166 0.058 0.018 0.016 0.058 0.050];
PG = [0 0.4 0.2 0 0 0.3 0 0.2 0 0 0 0 0 0];
QG = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
V = [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];
Parâmetros das Linhas de Transmissão:
r = [0.01938 0.05403 0.04699 0.05811 0.05695 0.06701 0.01335 0 0 0 0.09498
0.12291 0.06615 0 0 0.03181 0.12711 0.08205 0.22092 0.17093];
x = [0.05917 0.22304 0.19797 0.17632 0.17388 0.17103 0.042110.20912 0.55618
0.25202 0.1989 0.25581 0.13027 0.17615 0.11001 0.08450 0.27038 0.19207 0.19988
0.34802 ];
bsh = [0.0528 0.0492 0.0438 0.0340 0.0346 0.0128 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
Esses são os dados iniciais da simulação. As possíveis simulações que poderiam ser
realizadas com esse conjunto de dados são imensas, visto que seria possivel variar
injeções de potência nos geradores do sistema ou até mesmo alterar as demandas de
cargas acopladas nas barras. Até mesmo os parâmetros de linha poderiam ser
alterados mas tendo em vista que esses parâmetros construtivos são fixos a partir do
momento que a linha já está construída, faz mais sentido variar os parâmetros
elétricos disponíveis. Devido a esse grande número de possibilidades disponíveis, é
necessário escolher alguma maneira de proceder a experiência, a titulo de exemplo a
variável externa a ser modificada ao longo das simulações será a contribuição do
gerador conectado a barra 2, que segundo os dados iniciais da modelagem é a barra
predominante na geração de potência ativa para o sistema. A única barra de folga do
sistema é a barra 1, as variações de potência requeridas pelo sistema naturalmente
irão se manifestar nessa barra. Mais uma vez é importante deixar claro que o limite
superior da simulação será definido pelo ponto em que a barra de folga começar a se
comportar como uma carga, a partir desse ponto em diante o programa é ineficaz em
estimar o traceamento da rede.
Outra informação importante nessa série de simulações é que os domínios dos
geradores, determinando a configuração do sistema, serão informados com ajuda do
software devido à dimensão do sistema.
78
A primeira tabela expressa os dados do sistema, referentes ao total de cargas do
sistema.
TABELA 4 – TRACEAMENTO DAS CARGAS
As áreas sombreadas pela coloração azul demonstram os dados correlacionados a
fonte de injeção localizada na barra dois, recebendo a denominação de G2, que é a
nossa variável dinâmica ao longo da simulação. Conforme a injeção de potência
nessa barra se altera a responsabilidade dos geradores do sistema frente ao total de
cargas também se altera, em algumas cargas as alterações da responsabilidade de
geração são mais exacerbadas do que em outras. A área sombreada em laranja
demonstra o comportamento do gerador localizado na barra 1 e por isso denominado
de G1 que representa a barra de folga de sistema, tanto a injeção de G1 quanto a sua
representatividade frente as cargas do sistema estão indicadas nessas colunas. Já as
linhas sombreadas em cor amarela tem a finalidade em chamar a atenção para o ponto
de transição do sistema, que surpreendentemente nesse caso teve apenas uma
transição de configuração, que ocorre devidamente no seu ponto ótimo em relação as
perdas do sistema. Nas análises iniciais simuladas o incremento era na faixa de 10
[MW], representando apenas 0,1 pu mas no limiar do ponto de transição esse
incremento foi radicalmente atenuado para apenas 0,01 [MW], representando 0,0001
pu, e mesmo assim não foi possível localizar com exatidão o ponto de transição onde
a configuração do sistema não é nenhuma das duas configurações. O ponto dessa
transição está entre os dois pontos simulados.
Algumas análises gráficas podem ser retiradas dessa tabela, representando as
variações ao longo da injeção na barra dois.
79
FIGURA 50 – RESPONSABILIDADE DE G1 E G2 EM RELAÇÃO AS
DEMANDAS DO SISTEMA EM FUNÇÃO DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
Na curva em azul está representada a variação que a representatividade que o G2 inflige
as cargas do sistema, conforme a sua capacidade de geração vai se alterando. Quanto
maior é a injeção de potência fornecida, maior é a representatividade fundamentando
assim uma relação direta e proporcional. Já a curva em verde representa a
representatividade do gerador da barra de folga G1 com a variação da potência
fornecida por G2. Conforme um dos geradores toma uma expressão majoritária no
fornecimento de potência ao sistema, a sua responsabilidade frente às cargas também
aumenta.
FIGURA 51 – RESPONSABILIDADE DE G3, G6 E G8 EM RELAÇÃO AS
DEMANDAS DO SISTEMA EM FUNÇÃO DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
De maneira inesperada, as outras fontes do sistema se mantiveram quase que inalteradas
no que diz respeito à representatividade que cada uma delas apresenta as cargas do
sistema. A representação em nenhum dos casos é constante e nem linear, mas são
variações muito suaves o que aparenta certa linearidade visual.
80
As fontes de geração também possuem, cada uma delas, uma parcela de suas
contribuições destinadas as perdas que ocorrem no sistema. A responsabilidade frente as
perdas ao longo das simulações são apresentadas a baixo.
TABELA 5 – TRACEAMENTO DAS PERDAS
De maneira semelhante ao que ocorre nas cargas, cada uma das fontes ativas do sistema
também possuem uma responsabilidade em relação às perdas que ocorrem no transporte
de potência. As relações gráficas das perdas em relação a variação de injeção pela
variável G2 são apresentadas abaixo.
FIGURA 522 – RESPONSABILIDADE DE G1 E G2 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS
DO SISTEMA EM FUNÇÃO DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
A curva em azul representa a representatividade de G2 frente as perdas do sistema,
conforme a injeção em seus terminais varia, já a curva verde mostra a variação da
representatividade do G1, conectado a barra de folga, conforme a configuração de
fluxos do sistema se altera devido a variação da injeção de potência no sistema via G2.
81
FIGURA 533 – RESPONSABILIDADE DE G3, G6 E G8 EM RELAÇÃO ÀS
CARGAS DO SISTEMA EM FUNÇÃO DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
Nesse caso a representativida de G3 é apresentada pela curva azul, a representatividade
de G6 pela curva verde e a representatividade de G8 através da curva vermelha. Tanto
G3 como G8 apresentam uma relação diretamente proporcional a injeção de potência
fornecida por G2 mas o inverso ocorre com a responsabilidade de G6 . Essas variações
são muito tímidas e melhor observáveis através dos valores fornecidos nas tabelas com
um numero maior de dígitos.
Em todos os casos apresentados, a responsabilidade em relação as cargas do sistema e
em relação as perdas do sistema possuem diferentes taxas de variação.
A representatividade que cada um deles possui em relação as cargas não é a mesma em
relação a representação das perdas. Isso pode ser observado nas figuras abaixo.
FIGURA 544 – REPRESENTATIVIDADE DE G2 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS E
A REPRESENTATIVIDADE DE G2 EM RELAÇÃO ÀS PERDAS EM FUNÇÃO
DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
82
FIGURA 555 – REPRESENTATIVIDADE DE G1 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS E
A REPRESENTATIVIDADE DE G1 EM RELAÇÃO ÀS PERDAS EM FUNÇÃO
DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
FIGURA 566 – REPRESENTATIVIDADE DE G3 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS E
A REPRESENTATIVIDADE DE G3 EM RELAÇÃO ÀS PERDAS EM FUNÇÃO
DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
83
FIGURA 577 – REPRESENTATIVIDADE DE G6 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS E
A REPRESENTATIVIDADE DE G6 EM RELAÇÃO ÀS PERDAS EM FUNÇÃO
DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
FIGURA 588 – REPRESENTATIVIDADE DE G8 EM RELAÇÃO ÀS CARGAS E
A REPRESENTATIVIDADE DE G8 EM RELAÇÃO ÀS PERDAS EM FUNÇÃO
DA INJEÇÃO DE G2 (MW X MW)
Em todos os casos mostrados acima, as curvas em azul representam a representatividade
do gerador em questão em relação as cargas do sistema, conforme a alteração da injeção
de potência em G2 e as curvas em verde apresentam a representatividade do mesmo
gerador em relação as perdas do sistema, conforme a potência de injeção em G2 é
alterada. Em todos os casos a relação de representatividade de perdas e cargas seguem
uma mesma tendência em ser diretamente ou inversamente proporcional em relação a
injeção fornecida por G2 mas a taxa de cada uma dessas tendências não são
necessariamente iguais.
84
Em relação ao ponto ótimo de perdas no sistema, esse ponto serve como um divisor
entre duas configurações distintas do sistema. Cada configuração é um conjunto
formado por todos os domínios dos geradores envolvidos no sistema, sendo assim se o
domínio de apenas um desses geradores for alterado mesmo que levemente conforme
ocorra uma variação no estado do sistema, conseqüentemente teremos uma nova
configuração. Na análise desse exemplo, com um total de seis geradores contribuindo,
era de se esperar que varias configurações brotassem durante a análise mas
surpreendentemente apenas duas configurações surgiram durante todo a extensão da
simulação. A análise dos domínios e conseqüentemente das configurações foi feita com
o auxilio do relatório de saída do código. As configurações foram denominadas de A e
B.
FIGURA 5959 – CONFIGURAÇÕES DO SISTEMA
Nesse conjunto de simulações os domínios dos geradores G3, G6 e G8 se mantiveram
constante durante todo o espectro de variações de injeção em G2. Os pontos
discrepantes, nessas duas configurações se encontram apenas no domínio do G1
(gerador da barra de folga) e G2 (com geração variável a cada simulação). O ponto
ótimo é um divisor entre o conjunto de dados que resultavam em um sistema
pertencente a uma configuração ou outra.
FIGURA 600 – COMPARAÇÃO ENTRE INJEÇÃO DE G2 E AS PERDAS NO
SISTEMA (MW X MW)
85
O ponto ótimo representa o patamar mais baixo, onde o total das perdas acarretadas no
sistema é a menor possível. Todos os pontos que estão a direita do ponto mais profundo
do vale da curva, pertencem a configuração B já os pontos a esquerda do mesmo ponto
pertencem a configuração A.
3.6.1 - Conclusões e comentários finais sobre a simulação:
No decorrer das simulações foi possível constatar o comportamento dos compromissos
das fontes de geração em relação aos elementos do sistema conforme uma das variáveis
envolvidas se altera, traçando a cada mudança uma nova situação para o sistema. Em
cada uma dessas situações o traceamento do sistema obteve resultados que sugerem
algumas possíveis conclusões a respeito do traceamento em sistemas de potência.
O comportamento da responsabilidade de cada uma das fontes parece se espelhar
da mesma forma para as cargas do sistema como também para as perdas nas
linhas de transmissão. Se com as mudanças dos parâmetros de entrada um
gerador tende a tomar maior responsabilidade pelo conjunto de cargas do
sistema, aparentemente parece ser razoável afirmar que o mesmo acontece em
relação às perdas. Se um comportamento é diretamente proporcional o outro
também tende a ser e o mesmo vale para o comportamento inversamente
proporcional.
As taxas em que as responsabilidades do gerador crescem ou decrescem, as
taxas de variação entre a responsabilidade sobre as cargas e sobre as perdas
parecem ser descorrelacionadas ou não evidentes. Isso não é suficiente para
afirmar que a esse comportamento é mantido para a análise de todo e qualquer
sistema que venha a ser estudado através do uso das ferramentas de
traceamento.
As variações não são lineares em natureza mas talvez possam ser linearizadas
com sucesso, já que nos casos vistos aqui a não linearidade das curvas não eram
tão acentuadas.
Um sistema com mais de um gerador ativo apresenta necessariamente mais de
uma configuração para os domínios de seus geradores. Um sistema com dois
geradores ativos terá necessariamente duas configurações diferentes que
englobam os domínios de seus geradores, em um sistema com N geradores
ativos o número de configurações pode ser superior a duas mas nunca irá
possuir uma única configuração. Existe no mínimo um ponto de transição entre
as configurações.
Se o sistema apresenta apenas duas configurações disponíveis, necessariamente
o ponto de transição entre uma e outra representa o ponto ótimo do sistema onde
temos o menor percentual de potência dissipada no processo de transporte de
potência.
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Todas essas conclusões devem ser tratadas com receio e cautela uma vez que os
níveis de complexidade de diferentes sistemas podem ser radicalmente diferentes e
cada caso particular deve ser estudado e analisado com atenção. O sistema estudado
nesse documento possui cinco fontes de geração independentes, uma fonte de geração
dependente na barra de folga e oito cargas ativas independentes espalhadas ao longo
da rede. Nas simulações aqui executadas apenas um desses parâmetros foi alterado
mas em um sistema real, as variações nas injeções de potência como as variações nas
demandas das cargas são usuais. Seguindo esse raciocínio poderíamos definir um
número gigantesco de variações possíveis. Mesmo um sistema relativamente pequeno
como este teria diversas combinações que poderiam ser analisadas e talvez
chegassem a conclusões diferentes. Nesse caso em especifico com cinco fontes
independentes e oito cargas dependentes teríamos o somatório de combinações.
P = 5 + 8 = 13
(3.9)
Algo que pode, ou não, ter uma influência direta sobre como o sistema irá se
comportar quando variamos um ou mais dos seus elementos, é a própria localização
dos elementos envolvidos. Nesse caso em particular a variável de análise foi
escolhida como sendo o gerador G2 que se encontrava na “vizinhança” do gerador da
barra de folga G1. Durante as variações propostas nas simulações, houve uma grande
variação nas responsabilidades de G1 e G2 mas o mesmo não ocorreu em outras
“vizinhanças” do sistema. Talvez a proximidade, do ponto de vista elétrico, tenha
algum papel nesse comportamento do sistema.
87
4 – Considerações Finais:
4.1 – Sugestões de Outros Estudos Correlacionados:
Ao termino desse trabalho, algumas sugestões podem ser elaboradas para estudos
posteriores que de alguma maneira podem tirar proveito desse documento e que de
alguma forma, estejam relacionados com o aspecto de traceamento de redes elétricas.
Seguem aqui, algumas possíveis sugestões para o desenvolvimento de futuros
projetos.
Análise com enfoque nas cargas: Ao longo desse documento foi trabalhado os
fundamentos dos métodos de tracing flow baseados na abordagem matricial e na
abordagem de grafos de estados, em ambos os casos foram fornecidas algumas
ferramentas analíticas para que se pudesse obter resultados que revelam
especificidades do comportamento do sistema em termos de traceamento, apesar
disso o enfoque maior desse documento foi sempre mantido com maior
intensidade em cima da análise do sistema do ponto de vista das fontes de
geração do mesmo. Talvez fosse interessante realizar um estudo diferenciado,
utilizando os mesmos métodos mas com um enfoque que prioriza o ponto de
vista das cargas do sistema.
Estudo Econômico: Como até os dias de hoje, a principal contribuição dos
métodos de traceamento é estimar uma suposta solução, para indicar a
responsabilidade de unidades geradoras frente a determinadas perdas do sistema,
realizando assim um rateio mais justo das perdas intrínsecas ao processo de
transmissão de energia, talvez fosse interessante fazer um estudo de uma
situação simulada, quantificando esses dados em forma monetária. Fazendo uma
aplicação direta dos métodos abordados aqui na tentativa de tirar conclusões a
respeito de situações mais favoráveis as unidades geradoras e até mesmo os
consumidores (cargas) do sistema.
Comparação com outros métodos: Existem outros métodos para se obter
estimativas de traceamento em redes elétricas, os métodos demonstrados nesse
trabalho não são a única forma de se realizar estimativas a esse respeito. Um
método que não foi investigado nesse trabalho e que também serve para realizar
o traceamento em sistemas de potência é conhecido como “Distance DC
Method” . Talvez fosse interessante realizar um estudo aprofundado desse
método e traçar comparações com os métodos já descritos nesse trabalho.
88
4.2 – Conclusão:
Os métodos de traceamento de sistemas de potência são ferramentas que nos
permitem tirar conclusões únicas a respeito dos encargos dos elementos que fazem
parte da rede, devido ao seu modo particular em conceber a forma de distribuição dos
fluxos através das linhas. Essas conclusões são estimativas que agregam um
conhecimento especifico a respeito do estado da rede em determinada configuração.
Tendo em vista o continuo processo de desregulamentação dos setores elétricos ao
redor do mundo, essa ferramenta, que já é utilizada com sucesso para tratar
problemas desse nível, pode vir a ser mais necessária em um futuro próximo, além do
fato das ferramentas de tracing já possuírem outras aplicações práticas além desta.
Dessa forma espero que esse documento sirva como uma potencial referencia a
outros interessados que necessitem da ferramenta para alguma aplicação. A todo
momento, ao longo da construção desse trabalho, o foco sempre foi didático na
apresentação dos métodos abordados e na execução de alguns exemplos numéricos
que fazem parte do corpo desse documento.
89
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Pesquisa Operacional. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Cientificas, 1980.
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<http://www.ee.washington.edu/research/pstca/pf14/pg_tca14bus.htm>. Ultimo
acesso em: 05/12/2010.
