INSTITUO FEDERAL DO PARANÁ

NICOLAS CARDOSO MACHADO

PESQUISA: Análise Combinatória

Paranaguá- PR

2014

Sumário

1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM .................................................... 3

1.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM NO COTIDIANO .................. 3

2 FATORIAL ............................................................................................................ 3

2.1 APLICAÇÕES ................................................................................................ 3

3 PERMUTAÇÕES .................................................................................................. 4

3.1 APLICAÇÕES DE PERMUTAÇÕES .............................................................. 4

4 ARRANJOS .......................................................................................................... 5

4.1 NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES ............................................................ 5

4.2 APLICAÇÕES DE ARRANJOS SIMPLES ..................................................... 5

5 COMBINAÇÕES ................................................................................................... 6

5.1 NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES ..................................................... 6

5.2 APLICAÇÕES DE COMBINAÇÕES SIMPLES .............................................. 6

6 BINÔMIO DE NEWTON ....................................................................................... 7

6.1 TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON ............................................... 8

6.2 APLICAÇÃO DO BINÔMIO DE NEWTON ..................................................... 8

7 REFERÊNCIAS .................................................................................................... 8

3

1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …, 𝐴𝑛 puderem ocorrer de, respectivamente, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑛

maneiras e se 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …, 𝐴𝑛 forem todos eventos independentes entre si, então a

quantidade de maneiras distintas em que os 𝑛 eventos ocorrem simultaneamente, isto

é, ao mesmo tempo, é dada pelo produto 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎𝑛.

1.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM NO COTIDIANO

Exemplo 1:

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades

em uma e 6 em outra, totalizando 2 ∙ 6 = 12 possibilidades.

Exemplo 2:

Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E

de algarismos distintos?

Podemos escrever 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27 números de 3 algarismos.

Três algarismos distintos: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

2 FATORIAL

O fatorial de um número natural 𝑛 é representado por 𝑛! (lemos: “ n fatorial”) e definido

por:

1) 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ 2 ∙ 1, para 𝑛 ≥ 2

2) 1! = 1

3) 0! = 1

2.1 APLICAÇÕES

4

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem 𝑛!

caminhos diferentes de arranjar 𝑛 objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são

chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado

pelo coeficiente binomial.

(𝑛

𝑘) =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Os fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que

expressa a função 𝑓(𝑥) como uma série de série de potências em 𝑥. A razão principal

é que o 𝑛 derivativo de 𝑥𝑛 é 𝑛!. Os fatoriais também são usados extensamente na

teoria da probabilidade.

Os fatoriais são também frequentemente utilizados como exemplos simplificados de

recursividade, em ciência da computação, porque satisfazem as seguintes relações

recursivas: (se 𝑛 ≥ 1):

𝑛! = 𝑛(𝑘 − 1)!

3 PERMUTAÇÕES

Permutações simples são definidas como maneiras de organizarmos 𝑛 objetos

distintos em uma fila. O número total de permutações simples é denotado 𝑃𝑛 e é

verificada a igualdade 𝑃𝑛 = 𝑛!.

3.1 APLICAÇÕES DE PERMUTAÇÕES

Exemplo 1:

De quantas maneiras diferentes podemos organizar um número com 4 algarismos

(sem repeti-los) utilizando os algarismos 6, 7, 8, 9?

Veja que há 4 possibilidades para dispor os números e 4 números para organizar.

Com isso, podemos afirmar que estamos utilizando todos os elementos disponíveis.

De tal modo que teremos 4 possibilidades para o primeiro algarismo do número, 3

possibilidades para o segundo algarismo, 2 possibilidades para o terceiro e 1

possibilidade para o quarto.

5

Ao multiplicarmos estas possibilidades, obtemos a seguinte expressão:

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! (Este resultado nos dará a quantidade de possibilidades que temos

para formar um número com 4 algarismos utilizando os números 6, 7, 8, 9)

Exemplo 2:

Determine o número de anagramas formados a partir da palavra ESCOLA.

Note que não temos nenhuma letra repetida, afinal, na permutação todos os

elementos do conjunto devem ser distintos.

Com isso, o conjunto a ser permutado é o seguinte: {E,S,C,O,L,A}. 6 elementos que

devem ser permutados entre si.

𝑃𝑛 = 𝑛! → 𝑃6 = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 possibilidades

4 ARRANJOS

Dado um conjunto com 𝑛 elementos, chama-se arranjo simples dos 𝑛 elementos,

tomados 𝑝 a 𝑝, qualquer agrupamento ordenado (sequência) de 𝑝 elementos distintos,

escolhidos entre os 𝑛 possíveis.

4.1 NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES

𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!

4.2 APLICAÇÕES DE ARRANJOS SIMPLES

Exemplo 1:

Em um colégio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e

vice-presidente do grêmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poderá

ser feita?

6

Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a

dois.

𝐴𝑛,𝑝 =𝑛!

(𝑛 − 𝑝)!→ 𝐴10,2 =

10!

(10 − 2)!→ 𝐴10,2 =

10 ∙ 9 ∙ 8!

8!→ 𝐴10,2 = 10 ∙ 9 = 90

Exemplo 2

Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos

são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?

Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador

dos agrupamentos. Como temos 7 corredores e queremos saber o número de

possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos calcular 𝐴7,3:

𝐴7,3 =7!

(7 − 3)!→ 𝐴7,3 =

7!

4!→ 𝐴7,3 =

7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4!

4!→ 𝐴7,3 = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210

5 COMBINAÇÕES

Dado um conjunto de 𝑛 elementos , chama-se combinação simples dos 𝑛 elementos,

tomados 𝑝 a 𝑝, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de 𝑝 elementos

escolhidos entre os 𝑛 possíveis.

5.1 NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES

𝑐𝑛,𝑝 =𝑛!

𝑝! ∙ (𝑛 − 𝑝)!

5.2 APLICAÇÕES DE COMBINAÇÕES SIMPLES

Exemplo 1:

Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De

quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?

7

Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.

𝑐𝑛,𝑝 =𝑛!

𝑝! ∙ (𝑛 − 𝑝)!→ 𝑐9,4 =

9!

4! ∙ (9 − 4)!→ 𝑐9,4 =

9!

4! ∙ 5!→ 𝑐9,4 =

3024

24= 126

Exemplo 2:

As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas

arrecadem prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras

as crianças poderão ser agrupadas?

Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das

crianças é irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos

distintos. Vamos calcular 𝐶14,5.

𝑐14,5 =14!

5! ∙ (14 − 5)!→ 𝑐14,5 =

14!

4! ∙ 9!→ 𝑐14,5 = 2002

6 BINÔMIO DE NEWTON

Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo

veio para complementar o estudo de produto notável.

Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do

primeiro monômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo monômio mais o

quadrado do segundo monômio.

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Essa forma só é válida se o binômio for elevado ao quadrado (potência 2), se ele

estiver elevado à potência 3, devemos fazer o seguinte:

(𝑎 + 𝑏)3 é o mesmo que (𝑎 + 𝑏)2 . (𝑎 + 𝑏), como sabemos que

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 ,basta substituirmos:

(𝑎 + 𝑏)3 =

(𝑎 + 𝑏)2 . (𝑎 + 𝑏) =

(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) . (𝑎 + 𝑏) =

8

𝑎 3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

E se for elevado à quarta, à quinta, à sexta potência, devemos utilizar sempre o

binômio elevado à potência anterior para resolver.

O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a

enésima potência de um binômio.

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = (𝑛

0) ∙ 𝑥𝑛 ∙ 𝑦0 + (

𝑛

1) ∙ 𝑥𝑛−1 ∙ 𝑦1 + ⋯ + (

𝑛

𝑛 − 1) ∙ 𝑥1 ∙ 𝑦𝑛−1 + (

𝑛

𝑛) ∙ 𝑥0 ∙ 𝑦𝑛

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ (𝑛

𝑘)

𝑛

𝑘=0

∙ 𝑥𝑛−𝑘 ∙ 𝑦𝑘

6.1 TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON

𝑇𝑘+1 = (𝑛

𝑘) ∙ 𝑥𝑛−𝑘 ∙ 𝑦𝑘

com 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

6.2 APLICAÇÃO DO BINÔMIO DE NEWTON

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões

matemáticas, através da escolha adequada de 𝑥 e 𝑦.

7 REFERÊNCIAS

<pt.wikipedia.org>

<www.brasilescola.com>

<www.somatematica.com.br>

<clubes.obmep.org.br>

<www.matematicadidatica.com.br>

<www.alunosonline.com.br>

9

CONEXÕES COM A MATEMÁTICA vol.2, Barroso Juliane Matsubara, Editora

Saraiva.