Aula-02-Análise Combinatória

CONTEÚDO Prof. Gabriel

Hans

INTRODUÇÃO. Análise Combinatória é o ramo da matemática que se preocupa em estabelecer métodos de contagem.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC).

É um princípio matemático que nos auxiliará a desenvolver métodos de contagem e cujo enunciado é: “Se um experimento A pode ocorrer de m maneiras distintas e um outro B, de n maneiras distintas, então o evento composto por A e B, nessa ordem, pode ocorrer de m.n maneiras distintas.” Exemplos: 1º) Quantos são os resultados possíveis para o lançamento de uma moeda três vezes? 2º) Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos do sistema decimal? 3º) De quantas maneiras dois casais podem se sentar em dois degraus de uma escada para tirar uma fotografia, se em cada degrau deve ficar um casal? 4º) Quantos são os números pares com três algarismos distintos que podemos formar com algarismos do sistema decimal? 5) Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6 e 7? 6) Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6 e 7?

NOTAÇÃO FATORIAL No estudo de problemas de análise combinatória, frequentemente nos deparamos com produtos em que os termos são números naturais consecutivos. Para facilitar a representação desses produtos, foi criada a notação fatorial. Assim, define-se:

PRINCÍPIO ADITIVO DA CONTAGEM (PAC). Este princípio é fundamental na resolução de problemas formados pela união (ou) ou intersecção (e) de dois experimentos compostos. Seja um experimento M formado

pelos experimentos A ou B,. ou seja, MA B e para calcular o número de resultados que satisfaz este experimento, fazemos:

Onde:

n(M) ou n(A B) é o número total de elementos do experimento A ou B; n(A) é o número de elementos do experimento A; n(B) é o número de elementos do

experimento B; n(A B) é o número de elementos que os experimentos A e B têm em comum.

Exemplo: 7) No lançamento de um dado, quantos são os resultados pares ou menores que 5?

ARRANJOS SIMPLES. (A ordem importa) Arranjo simples é todo agrupamento ordenado de elementos distintos. Tais agrupamentos são conhecidos também por seqüências.

COMBINAÇÃO SIMPLES. (A ordem não importa) É todo agrupamento não ordenado de elementos distintos. Tais agrupamentos são conhecidos também por conjuntos.

PERMUTAÇÃO SIMPLES (a ordem importa) . Chama-se permutação simples de n elementos qualquer o arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

Pn = n! OBSERVAÇÃO: Anagrama é qualquer palavra, com significado ou não, que se pode formar com as letras de uma palavra.

Exemplo

Determinar o número de anagramas obtidos a partir das letras da

palavra DOCE.

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Chamamos de Permutação com repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, de modo

que n1+ n2+ +nk=n e aiaj se ij. Esta permutação será determinada pela expressão:

Pn

n n nn

n n n

k

k1 2

1 2

, ,...,

!

!

! !....

Quantos são os anagramas da palavra BATATA? Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no exemplo acima:

PC nn 1 !.

01- (UEPA) Um profissional de design de interiores precisa planejar as cores que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede, é: a) 24 b) 30 c) 120 d) 360 e) 400

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

02-(ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos — uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formadoscom essas espécies para esse estudo é igual a

A) 1.320. B) 2.090. C) 5.845.

D) 6.600. E) 7.245. 03-(ENEM–2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. D) duas combinações. E) dois arranjos. 04-(ENEM/2012) -O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 05- (ENEM) Joao mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possivel pode ser representado por uma sequencia

de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saira da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Alem disso, o numero indicado entre as letras informa o custo do deslo camento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Como Joao quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequencias, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA tem o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequencia e descartar sua simetrica, con - forme apresentado. O tempo minimo necessario para Joao verificar todas as sequencias possiveis no problema e de a) 60 min. b) 90 min. c) 120 min. d) 180 min. e) 360 min. 06-(UEPA) No Concurso da Quina da Caixa Econômica Federal pode-se fazer aposta de 5, 6, 7 e 8 números. Preenchendo um cartão com 8 números o apostador concorrerá ao prêmio com: a) 52 quinas b) 53 quinas c) 54 quinas d) 55 quinas e) 56 quinas 07-(UEPA) A graviola é uma fruta que possui diversos nutrientes, como as Vitaminas C, B1 e B2 e os Sais Minerais: Cálcio, Fósforo, Ferro, Potássio e Sódio. Uma indústria química deseja fabricar um produto a partir da combinação de 4 daqueles nutrientes, entre vitaminas ou sais minerais, encontrados na graviola. A quantidade de produtos que poderá ser fabricada, se forem utilizados no máximo 2 tipos de vitaminas, será de: a) 65 b) 60 c) 32 d) 30 e) 26 08-(UEPA) na floresta amazônica, há vários animais em processo de extinção e, dentre eles, vários mamíferos. O peixe-boi é um deles. O processo de extinção esta ligado, principalmente a pesca predatória. Se decidirmos pela procriação do peixe-boi em cativeiro, num lago especialmente preparado para isso e tivermos 10 desses animais sendo 6 machos e 4 femeas, a quantidade de maneiras distintas de um casal para ocupar o lago será de : a) 10 b) 24 c) 40 d) 48 e) 60