Algumas Aplicações das Funções Exponenciais

1) Geradas por fatores de aumento

2) Geradas por fatores de redução

1) Função Exponencial gerada por fatores de aumento fixos

Sempre que uma série de valores varia sob uma taxa percentual fixa de aumento, a variável em questão gera uma função exponencial crescente.

Exemplo 1:

a. Vamos supor que uma pessoa tenha tomado emprestado uma quantia de R$ 10 000,00 e que a dívida é corrigida, mês a mês, em 5% sobre o montante do mês anterior.

b. É claro que se a pessoa liquidar a dívida um mês após a sua contratação, o montante devido será de 10 000 + 500 (5% de 10 000), que é igual a 10 500 reais. Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10 000 por 1,05 (100% + 5%).

c. Se a pessoa pagar a dívida 2 meses depois de sua contratação, o montante devido será de 10 500 + 525 (5% de 10 500), que é igual a 11 025. Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10 000 por 1,052.

d. Podemos generalizar e dizer que o montante M, dessa dívida, n meses após a sua contratação, será igual a M = 10 000 x 1,05n. O 1,05 é chamado de fator de aumento para uma taxa de 5%.

A função que fica caracterizada nesses casos é o que denominamos função exponencial. Quando a base for superior a 1, teremos uma função crescente, como no caso do nosso exemplo. O gráfico dessa função terá a seguinte configuração:

a) Qual seria o valor aproximado da dívida, 10 meses após a sua contratação?

Resposta: R$ 16 289,00

b) Após quantos meses a dívida atinge um montante de R$ 43 219,00?

Resposta: Após 30 meses

c) Qual o montante de dívida após dois anos de sua contratação?

Resposta: 10 000 x (1,05)24 = R$ 32 251,00

Exemplo 2: Vamos imaginar agora que uma cidade tinha uma população de 20 000 habitantes e que, a partir de um determinado ano, ela passou a crescer (vertiginosamente) na base de 12% ao ano. Como no exemplo anterior, a função que permite calcular a população n anos após o momento inicial será dada pela sentença: P = 20 000 x 1,12n. O gráfico dessa função exponencial crescente terá a seguinte configuração:

a) Qual seria o valor aproximado da população, 10 anos após o momento inicial?

Resposta: 67 117 habitantes

b) Após quantos anos a população terá atingido 192 926 habitantes.

Resposta: Após 20 anos

c) Qual a população aproximada, após 12 anos?

Resposta: 20 000 x (1,12)12 = 77 920 habitantes

2) Função Exponencial gerada por fatores de redução fixos

Sempre que uma série de valores varia sob uma taxa percentual fixa de redução (ou depreciação), a variável em questão gera uma função exponencial decrescente.

Exemplo 1:

a. Vamos supor agora uma máquina, com valor inicial de R$ 240 000,00 e que se deprecia sob taxa fixa de 15% ao ano.

b. Um ano depois a máquina estará valendo 240 000 – 36 000 (15% de 240 000) = 204 000. Isso é o mesmo que calcular 240 000 x 0,85 (100 % - 15%).

c. Dois anos depois a máquina estará valendo 204 000 – 30 600 (15% de 204 000) = 173 400. Isso é o mesmo que calcular 204 000 x 0,85 ou 240 000 x (0,852).

d. Podemos generalizar e dizer que o valor V, dessa máquina, n anos após a data inicial, será igual a V = 240 000 x 0,85n. O 0,85 é chamado de fator de redução ou depreciação para uma taxa de 15%.

A função exponencial para tais casos, com base menor do que 1 (e maior que zero) será uma função decrescente, como no caso do nosso exemplo. O gráfico dessa função terá a seguinte configuração:

a) Qual seria o valor aproximado da máquina, 3 anos após o momento inicial?

Resposta: R$ 147 390,00

b) Após quantos anos a máquina estará valendo R$ 55 588,00?

Resposta: Após 9 anos

c) Qual o valor aproximado da máquina, após 10 anos da compra?

Resposta: 240 000 x (0,85)10 = R$ 47 250,00

E quando precisamos calcular o expoente?

Para isso existem os logaritmos !

Vejamos um exemplo simples, para relembrar:

Sabemos que 26 = 64. Isso equivale a dizer que 6 é o logaritmo de 64 na base 2 ou 6 64log 2

Acontece que nem sempre a coisa é tão simples. No nosso exemplo foi fácil pois 64 é uma potência de 2 e o resultado foi um número inteiro. Mas o que podemos fazer quando isso não ocorre (o que é o mais comum).

Uma das formas usadas (que já quase não se usa mais) é consultar uma tabela denominada tábua de logaritmos.

Atualmente consultamos as calculadoras científicas. Mas como normalmente as máquinas não apresentam todas as bases (apresentam os logaritmos decimais – base 10), usamos uma fórmula para mudança de bases.

A fórmula para a mudança de bases é a seguinte:Blog

A log A log

k

kB

IMPORTANTE !

Se a nova base for a base 10 (k = 10), fica convencionado que ela não precisa ser escrita e a nossa fórmula ficaria assim:

B log

A log A logB

Se voltarmos ao nosso exemplo inicial, só para confirmação da fórmula, teríamos:

60,30103

1,80618

2 log

64 log 64log2

Qual a vantagem do que acabamos de aprender (ou lembrar)....?

É que agora podemos voltar aos problemas que recaem em função exponencial e determinar o valor do expoente, quando for necessário. Vejamos um exemplo:

Exemplo:

A população de um certo país está crescendo sob taxa fixa de 2% ao ano. Se há alguns anos essa população era de 2 000 000 de habitantes e hoje ela é de aproximadamente 2 437 989 habitantes, determine o número de anos que foram decorridos para esse crescimento.

SOLUÇÃO:

Pelo que já estudamos antes, sabemos que o fator de aumento, para esse caso, será igual a 1,02, concorda?

Assim sendo, temos que resolver a seguinte equação exponencial:

1,21868 (1,02)

aindaou 000 000 2

959 437 2 (1,02)

959 437 2 (1,02) x 000 000 2

n

n

n

Aplicando log 10 0,0086

0,08589

1,02 log

1,21868 log n

RESPOSTA:

A população do país cresceu de 2 000 000 de habitantes para 2 437 989 habitantes em, aproximadamente, 10 anos.

Um segundo exemplo:

Um veículo, comprado por R$ 50 000,00, sofre uma desvalorização fixa de 10% ao ano. Após quantos anos, aproximadamente, ele estará valendo R$ 21 523,36

SOLUÇÃO:

Pelo que já estudamos antes, sabemos que o fator de redução, para esse caso, será igual a 0,9, lembra?

Assim sendo, temos que resolver a seguinte equação exponencial:

0,4304672 (0,9)

aindaou 000 50

523,36 21 (0,9)

ou 523,36 21 (0,9) x 000 50

n

n

n

Aplicando log 8 0,046-

0,3661 -

0,9 log

0,4304672 log n

RESPOSTA:

O veículo, comprado por R$ 50 000,00 e que se desvaloriza 10% ao ano, estará valendo R$ 21 523,36, após 8 anos de uso.

Voltando agora ao exemplo anterior, da máquina que desvalorizava 15% ao ano e que tinha o valor inicial de R$ 240 000,00. Quanto tempo levaria para ela ficar valendo R$ 12 875,14?

12875,14 ?

0,05365 (0,85)

aindaou 000 240

875,14 12 (0,85)

ou 875,14 12 (0,85) x 000 240

n

n

n

18 0,07-

1,27 -

0,85 log

0,05365 log n

Resposta: 18 anos