ESCUELA:

NOMBRES:

ÁLGEBRA

FECHA:

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

ABRIL /AGOSTO 2009

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CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE)

1. Conceptos fundamentales del Álgebra.2. Ecuaciones y desigualdades.3. Funciones y gráficas.4. Funciones polinomiales y racionales.5. Funciones exponenciales y logarítmicas.

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1. Conceptos fundamentales del ÁlgebraNumeros complejo

s

Números reales

Números racionale

s

Enteros

Negativos 0 Positivos

Números irracionales

R

C

Q Q΄

Z

Z- Z⁺

Números reales

Recta de números reales

4

0 1⁄2 1-1-1 2 3∏

R- R⁺

Notación científicaa= c x 10n , donde 1<=c<10 y n es un entero

412 en notación científica es 4.12 X 102

0.000000098 en notación científica es 9.8 X 10-8

Ejemplo:

Exponentes

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Leyes

a0 = 1 (a/b)n = an /bn a-n = 1/an am/an = a m-n aman = a m+n am/an = 1/a n-m (am)n = a mn a-m/b-n = bn/am (ab)n = anbn (a/b)-n = (b/a)n

Radicales

5

Leyesn√a.b = n√a n√b n√ (a/b) = n√a / n√bm√n√a = mn√a

Exponentes racionales

a1/n = n√ a

am/n = (n√a)m = n√ am

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Expresiones algebraicas

Monomio axn

Polinomio anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0

Operaciones:

•Suma•Resta•Multiplicación•División

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Fórmulas de Productos

(x + y)(x – y) = (x2-y2)

(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2)

(x ± y)3

=(x3±3x2y+3xy2±y3)

Fórmulas de factorización

( x2- y2) =(x + y)(x – y)

(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2)

(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2)

Expresiones fraccionarias Cociente El denominador es

cero si:Dominio

6x2- 5x + 4 x2 - 9

x = ±3 Toda x ≠ ±3

x3 – 3x2y + 4y2

y – x3y = x3 Toda x y y tales

que y ≠ x3

Ecuaciones Ecuaciones Lineales: son de la forma ax

+ b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol. Ecuaciones Cuadráticas: su forma:

ax2+bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante:Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.

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2. Ecuaciones y desigualdades

Otro tipo de ecuaciones como son:

Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por

agrupación. Ecuaciones con exponentes

racionales Ecuaciones con radicales

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Desigualdades (Inecuaciones)

Infinito número de soluciones.

Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas

Desigualdad con valor absolutoPropiedades|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b o a > b

12w

3. Funciones y gráficasSistema de coordenadas rectangulares

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2 M= x2+x1 , y2+y1

2 2

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Gráfica de ecuacionesIntersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0

Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

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Rectas• La ecuación de la recta tiene la forma

ax + by = c

• La pendiente de la recta es M = (y2-y1) / (x2-x1)

Circunferencias:

La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2

Definición de funciónUna función es una relación en la que

se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.

Variables:x se denomina variable independiente.Y se denomina variable dependiente.

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Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(b) > f(a) siempre que b > a en el intervalo I.

f es decreciente en I si f(b) < f(a) siempre que b < a en el intervalo I.

f es constante en I si f(b) = f(a) siempre que b = a en el intervalo I.

Función creciente, decreciente o constante

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Gráficas de Funciones

Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

Al reemplazar la variable x por –x:Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical ySi f es impar entonces es simétrica respecto al origen

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Paridad de una función

Operaciones con funcionesSuma, resta, multiplicación y división función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))

4. Funciones polinomiales y racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2.Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto an

son cero entonces: f(x)=axn en donde a=an≠0

Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen

Si n es par es una función par por tanto simétrica respecto a y

19Guía para trazar la gráfica de una función polinomial revise pág49 de la guía didáctica

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Tienen la forma f(x) = g(x) donde h(x) ≠ 0 h(x)

Teorema asíntotas horizontales:R(x)= amxm+.......+a1x+a0 bnxn+.......+b1x+b0 donde am,bn≠0

1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=ambn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

Funciones racionales.

Guía para trazar la gráfica de una función racional, pág. 295, texto base

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5. Funciones exponenciales y logarítmicasFunción exponencial

Tienen la forma f(x)=ax

En donde x es cualquier número real. Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales.

Función exponencial naturalLa base e.- el número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=ex

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Función logarítmicaLa inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga Sus valores se representan como loga(x) o como logax, puesto que: f−1(x) sí y solo sí x=f(y)La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:

y=loga(x) sí y solo sí x=ay

Ecuaciones exponenciales y logarítmicaPara resolver este tipo de ecuaciones se usan las propiedades y leyes de los logaritmos

Desarrollo de cada uno de los temas con ejercicios que se desarrollaran en la tutoría virtual

Ing. Ricardo BlacioDocente – UTPLCorreo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec

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