UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIOGRANDE DO NORTE CCET – DEP. DE MATEMÁTICA

Professor Neto

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Encontre autovalores e autovetores e as bases para os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:

(a) (3 24 1

) (b) (6 −43 −1

) (c) (3 −11 1

) (d) (3 −82 3

) (e) (1 1

−2 3)

(f) (1 1 10 2 10 0 1

) (g) (1 2 10 3 10 5 −1

) (h) (4 −5 11 0 −10 1 −1

)

2. Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:

(a) (2, −1)𝑇 para 𝐴 = (2 21 3

) (b) (−2,1,3)𝑇 para 𝐴 = (1 −1 02 3 21 2 1

)

3. Seja A uma matriz 2 × 2. Se tr(A) = 8 e det(A) = 12, quais são os autovalores de A?

4. Os vetores (1,1)𝑇 e (2, −1)𝑇 são autovetores de um operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 associados aos autovalores 𝜆1 = 5 e 𝜆2 = 3, respectivamente. Determinar 𝑇((4,1)𝑇). 5. Determinar o operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 cujos autovalores são 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 3 associados aos autoespaços 𝑁(𝐴 −𝜆1𝐼) = {(−𝑥2, 𝑥2)𝑇| 𝑥2 ∈ 𝑅} e 𝑁(𝐴 − 𝜆2𝐼) = {(0, 𝑥2)𝑇| 𝑥2 ∈ 𝑅}. 6. Seja 𝐱 = (𝑥1, 𝑥2)𝑇, determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no 𝑅2. (a) 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 2𝑥2, −𝑥1 + 4𝑥2)𝑇 (b) 𝑇(𝐱) = (𝑥1, −𝑥2)𝑇 7. Dado o operador linear 𝑇 no 𝑅2 tal que 𝑇(𝐱) = (3𝑥1 − 5𝑥2, 2𝑥2)𝑇 , encontrar uma base de autovetores. 8. Verificar se existe uma base de autovetores para as seguintes transformações 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3:

(a) 𝑇(𝐱) = [

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3

2𝑥2 + 𝑥3

2𝑥2 + 3𝑥3

] (b) 𝑇(𝐱) = [

𝑥1

−2𝑥1 − 𝑥2

2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3

] (c) 𝑇(𝐱) = [

𝑥1

−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3

−4𝑥2 + 3𝑥3

]

9. Dois tanques contém cada um 100 litros de uma mistura. Inicialmente a mistura no tanque 𝑨 contém 40 gramas de sal enquanto a mistura no tanque 𝑩 contém 20 gramas de sal. O líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como mostrado na figura a seguir. Determine a quantidade de sal em cada tanque no instante 𝒕.

Respostas

1. (a) 𝜆1 = 5 e {(1,1)𝑇}, 𝜆2 = −1 e {(1, −2)𝑇} (b) 𝜆1 = 3 e {(4,3)𝑇}, 𝜆2 = 2 e {(1,1)𝑇} (c) 𝜆1 = 𝜆2 = 2 e {(1,1)𝑇} (d) 𝜆1 = 3 + 4𝑖 e {(2𝑖, 1)𝑇}, 𝜆2 = 3 − 4𝑖 e {(−2𝑖, 1)𝑇} (e) 𝜆1 = 2 + 𝑖 e {(1,1 + 𝑖)𝑇}, 𝜆2 = 2 − 𝑖 e {(1,1 − 𝑖)𝑇} (f) 𝜆1 = 2 e {(1,1,0)𝑇}, 𝜆2 = 𝜆3 = 1 e {(1,0,0)𝑇 , (0,1, −1)𝑇} (g) 𝜆1 = 1 e {(1,0,0)𝑇}, 𝜆2 = 4 e {(1,1,1)𝑇}, 𝜆3 = −2 e {(−1, −1,5)𝑇} (h) 𝜆1 = 2 e {(7,3,1)𝑇}, 𝜆2 = 1 e {(3,2,1)𝑇}, 𝜆3 = 0 e

{(1,1,1)𝑇}

2. λ1 = 6 e λ2 = 2

3. (a) Sim (b) Não

4. 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 4𝑥2, 2𝑥1 + 3𝑥2)𝑇 e 𝑇((4,1)𝑇) = (8,11)𝑇 .

5. 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 2𝑥1 + 3𝑥2)𝑇.

6. (a) autovalores: 2 e 3 (b) não possui autovalores reais

7. {(1, −1)𝑇 , (1,0)𝑇}.

8. (a) Sim (b) Sim (c) Não

9. 𝑦1(𝑡) = 15𝑒−0,24𝑡 + 25𝑒−0,08𝑡 𝑦2(𝑡) = −30𝑒−0,24𝑡 + 50𝑒−0,08𝑡