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$: VIBRAÇÕES MECÂNICAS - DIVISÃO DE ENGENHARIA …arfaria/MPD42_07.pdf · Método de Rayleigh-Ritz A solução de [k]{ a}= Λ[m]{ a} fornece n autovalores Λr e autovetores {a}r$
Instituto Tecnológico de Aeronáutica

MPD-42 1

VIBRAÇÕES MECÂNICAS


MPD-42 2

SISTEMAS CONTÍNUOS: SOLUÇÕES

APROXIMADAS


MPD-42 3

Sistemas contínuos: soluções aproximadas Introdução

Na prática, sistemas contínuos não admitem solução analítica devido à não -uniformidade

na distribuição de massa e rigidez.

Sistemas contínuos são então aproximados por sistemas discretos.


MPD-42 4

Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh

A freqüência fundamental de vibração estimada para um sistema conservativo tem um valor

estacionário na vizinhança do modo fundamental.

}]{[}{

}]{[}{2

umu

ukuT

T

=ω


MPD-42 5


Vibração axial de uma barra

)( )(0)0(

)()(

)( )(

2

LkUdx

dUxEAU

xUxmxd

xUdxEA

xd

d

Lx

−==

=

−

=

ω

)()(),(

),()(

),()(

2

2

tFxUtxu

t

txuxm

x

txuxEA

x

=∂

∂=

∂∂

∂∂

L

u(x,t)EA(x), m(x)

k


MPD-42 6


)()(

)( )(

2 xUxm

xd

xUdxEA

xd

djj

j ω=

−

)()()(

)( )(

)(

0

2

0∫∫ =

−

L

jij

Lj

i dxxUxUxmdxxd

xUdxEA

xd

dxU ω

Vibração axial de uma barra


MPD-42 7


Integração por partes

L

ji

Lji

Lj

i

L

jij

xd

xUdxUxEAdx

xd

xUd

xd

xUdxEA

dxxd

xUdxEA

xd

dxUdxxUxUxm

00

00

2

)( )()(

)(

)( )(

)( )(

)()()()(

−

=

−=

∫

∫∫ω


MPD-42 8


Aplicação das condições de contorno

∫

∫+= L

ji

Lji

ji

j

dxxUxUxm

dxxd

xUd

xd

xUdxEALULkU

0

02

)()()(

)(

)(

)( )()(

ω

∫

∫+==

L

L

dxxUxUxm

dxxd

xUd

xd

xUdxEALkU

UR

0

0

2

2

)()()(

)(

)(

)( )(

)(ω


MPD-42 9


Escolher funções teste U(x) de tal forma a obter uma estimativa de ω1.

∫

∫+==

L

L

dxxUxUxm

dxxd

xUd

xd

xUdxEALkU

UR

0

0

2

2

)()()(

)(

)(

)( )(

)(ω


MPD-42 10


Pelo m étodo de Rayleigh obtém-se apenas uma aproximação muito imprecisa somente da freqüência fundamental.

Duas formas do quociente de Rayleigh:

1) funções teste U(x) escolhidas devem satisfazer somenteas condições de contorno geom étricas do sistema.

2) Uma vez que as condições de contorno não foram explicitamente impostas, as funções teste U(x)escolhidas devem satisfazer todas essas condições de contorno do sistema (geom étricas e naturais)


MPD-42 11


∫

∫+=

L

L

dxxUxUxm

dxxd

xUd

xd

xUdxEALkU

UR

0

0

2

)()()(

)(

)(

)( )(

)(

∫

∫

−=

L

L

dxxUxUxm

dxxd

xUdxEA

xd

dxU

UR

0

0

)()()(

)(

)(

)(

)(

Forma 1

Forma 2


MPD-42 12

Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh: exemplo

Primeira freqüência natural de uma barra não uniforme fixada em x = 0 e livre em x = L.

)2/(sin )(2

11

5

6)(

2

11

5

6)(

22

LxxUL

xEAxEA

L

xmxm π=

−=

−=

2

0

22

2

0

22

2

2 1504.3

)2/(sin 21

14

)2/( cos21

1

mL

EA

dxLxL

xmL

dxLxL

xEA

L

L

=

−

−=

∫

∫

π

ππω


MPD-42 13

Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de Rayleigh -Ritz

Todas as freq üências naturais são pontos estacion ários do quociente de Rayleigh. Assim, extremização desse quociente deve levar às freq üências naturais.

Logo, para se resolver numericamente o problema de auto -valor pode-se: (i) trabalhar com fun ções teste e a equação diferencial ou (ii) trabalhar com fun ções teste e o quociente de Rayleigh.


MPD-42 14


Considere a forma 1 do quociente de Rayleigh e escreva uma solu ção aproximada do problema de auto -valor como sendo:

∑=

=n

iii xaxu

1

)()( φ

onde ai são coeficientes a serem determinados e φi(x) são fun ções teste que devem satisfazer somente as condições geom étricas.


MPD-42 15


Condição de estacionariedade

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ===n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

T

T

c

c

c

c

umu

ukuuR

1

2

1

2

1

2

1

22

}]{[}{

}]{[}{})({

λω ∑=

=n

iii ucu

1

}{}{

2ii ωλ =


MPD-42 16


Assumir {u} ligeiramente diferente de {u}r

∑∑+=

−

=

++=n

riiirr

r

iii ucucucu

1

1

1

}{}{}{}{rii cc ε=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

+=

−

=

+=

−

=

+=

−

=

+=

−

=

++

++=

++

++=

n

rii

r

ii

n

riiir

r

iii

n

ririr

r

iri

n

riirirr

r

iiri

ccc

ccc

uR

1

21

1

2

1

21

1

2

1

2221

1

22

1

2221

1

22

1

})({

εε

λελλε

εε

λελλε

pequeno εi


MPD-42 17


Expansão por série de Taylor em torno de εi = 0

∑∑∑

∑∑

=

+=

−

=

+=

−

= −+≈++

++=

n

iirirn

rii

r

ii

n

riiir

r

iii

uR1

2

1

21

1

2

1

21

1

2

)(

1

})({ ελλλεε

λελλε

Perturbações de primeira ordem em {u} levam a perturbações de segunda ordem em R({u})


MPD-42 18


Condição de estacionariedade

0...21

=∂∂==

∂∂=

∂∂

na

R

a

R

a

R

0

2=

∂∂−

∂∂

=∂∂

D

a

DN

a

ND

a

R rr

rD

NR=


MPD-42 19


Se Λ for o valor estacion ário do coeficiente de Rayleight então:

0=∂∂−

∂∂

rr a

DΛ

a

N


MPD-42 20


N e D são fun ções quadráticas e sim étricas em relação a u. Logo,

∑∑∑∑= == =

==n

i

n

jjiij

n

i

n

jjiij aamDaakN

1 11 1

jiijjiij mmkk ==


MPD-42 21


∑

∑∑∑∑∑

=

==== =

=∂∂

=+=

∂∂

+∂∂=

∂∂

n

jjrj

r

n

jjrj

n

iiir

n

jjrj

n

i

n

j r

jij

r

iij

r

ama

D

akakaka

aaa

a

ak

a

N

1

1111 1

2

2

}]{[ }]{[ amΛak =


MPD-42 22


Cálculo dos coeficientes kij e mij:

∫ ∑∑∫

=

===

L n

j

jj

n

i

ii

L

dxdx

xda

dx

xdaxEAdx

dx

xduxEAN

0 110

2 )(

)()(

)()(

φφ

∑∑ ∫= =

=n

i

n

j

Lji

ji dxdx

xd

dx

xdxEAaaN

1 1 0

)()()(

φφ

∫=L

jiij dx

dx

xd

dx

xdxEAk

0

)()()(

φφ∫=L

jiij dxxxxmm0

)()()( φφ


MPD-42 23


A solu ção de [k]{a}=Λ[m]{a} fornece nautovalores Λr e autovetores {a}r

Λr são aproximações dos autovalores reais do problema e {a}r fornecem aproximações para as autofun ções.


MPD-42 24


O método de Rayleigh -Ritz envolve solu ção de uma seq üência de problemas fazendo -se r =1,2,3,... até que uma determinada precisão seja atingida.

Os autovalores computados Λr são maiores que os autovalores reais λr

A qualidade das aproximações depende de r e da forma das fun ções teste escolhidas.


MPD-42 25


Considere a vibração axial de uma barra fina não uniforme fixada em x = 0 e livre em x = L e obtenha estimativas para os autovalores. A rigidez e a massa distribu ídas são:

−=

−=22

2

11

5

6)(

2

11

5

6)(

L

xmxm

L

xEAxEA


MPD-42 26


Utilizar as autofun ções para a barra uniforme:

L

xixi 2

)12(sin )(πφ −=

∫−−

−−−=L

ij dxL

xj

L

xi

L

x

L

j

L

iEAk

0

2

2

)12(cos

2

)12(cos

2

11

2

)12(

2

)12(

5

6 ππππ

∫−−

−=L

ij dxL

xj

L

xi

L

xmm

0

2

2

)12(sin

2

)12(sin

2

11

5

6 ππ


MPD-42 27


Para n = 1

)65(10

1)65(

402

2112

11 −=+= ππ

π mLmL

EAk

2 11

111 1504.3

mL

EA

m

kΛ ==


MPD-42 28


Para n = 2

−−

=

++

=3/255.7

5.765

10][

6452/27

2/2765

40][

2

2

22

2

ππ

πππ mL

mL

EAk

−

==

−==

9871.0

1598.0}{ 2840.23

0101.0

9999.0}{ 1482.3

22 2

12 1

amL

EAΛ

amL

EAΛ


MPD-42 29


Para n = 3

{ }

{ }

{ } 0.9913 0.1131- 0.0674}{ 9118 . 62

0.0275- 0.9866 0.1610-}{ 2532 . 23

0.0019 0.0105- 9999.0}{ 1480.3

32 3

22 2

12 1

==

==

==

T

T

T

amL

EAΛ

amL

EAΛ

amL

EAΛ


MPD-42 30


As aproximações se tornam melhores à medida que n cresce.

As autofun ções são obtidas através dos vetores {a}.

Como regra geral deve-se usar pelo menos duas vezes mais fun ções teste que o n úmero de autovalores a serem obtidos com precisão.


MPD-42 31

Sistemas contínuos: soluções aproximadas Método de modos assumidos

Método que leva a resultados semelhantes ao método de Rayleigh -Ritz.

Solu ção através das equações de Lagrange.

Equação dinâmica obtida.


MPD-42 32


Solu ção da forma:

∑=

=n

iii tqxtxu

1

)()(),( φ

Energia cin ética e potencial:

∑∑= =

=n

i

n

jjiij tqtqmtT

1 1

)()(2

1)( && ∑∑

= =

=n

i

n

jjiij tqtqktV

1 1

)()(2

1)(


MPD-42 33


As condições de contorno naturais são levadas em conta nas expressões da energia cin ética e da energia potencial. Assim, as fun ções teste têm que satisfazer apenas as condições de contorno geom étricas.


MPD-42 34


Equação de Lagrange para sistemas conservativos:

0 =∂∂+

∂∂−

∂∂

rrr q

V

q

T

q

T

dt

d&

0)()(11

=+∑∑==

n

jjrj

n

jjrj tqktqm && }0{)}(]{[)}(]{[ =+ tqktqm &&


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Solu ções síncronas:

) cos(}{)}({ φω −= tatq

}]{[ }]{[ amΛak =Mesmo resultado

obtido via Rayleigh -Ritz


MPD-42 36


Resposta dinâmica para um sistema com forças não conservativas

rrrr

Qq

V

q

T

q

T

dt

d =∂∂+

∂∂−

∂∂

&

onde Qr são forças não conservativas.


MPD-42 37


Trabalho virtual das forças não conservativas:

∑∑ ∑∫

∫ ∑∑

∫ ∑

== =

==

=

=

+

=

−+

=

−+=

n

rrr

n

rr

l

jjrj

L

r

L

r

n

rr

l

jjj

L l

jjj

tqtQtqxtFdxxtxf

dxtqxxxtFtxf

dxtxuxxtFtxfW

11 10

0 11

0 1

)()()()()()(),(

)()()()(),(

),()()(),(

δδφφ

δφδ

δδδ


MPD-42 38


Equação dinâmica:

)}({)}(]{[)}(]{[ tQtqktqm =+&&

Métodos de solu ção:

Análise modal

Integração num érica direta (Wilson -θ, Newmark)

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