BETO ARMADO E PRFOLHAS DE APOIO S AULASVERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORO AXIAL DESPREZVEL BETO ARMADO E PR-ESFORADO I FOLHAS DE APOIO S AULAS MDULO 2 VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORO AXIAL DESPREZVEL Jlio Appleton & al. Ano Lectivo 2010/2011 ESFORADO I VERIFICAO DA SEGURANA AOS ESTADOS LIMITES LTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORO AXIAL DESPREZVEL NDICE 1. IDEALIZAO DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................... 21 1.1. RELAES TENSO-EXTENSO PARA VERIFICAO DA SEGURANA AOS E.L. LTIMOS .......... 21 1.1.1. Beto ......................................................................................................................... 21 1.1.2. Ao ............................................................................................................................. 21 2. FLEXO SIMPLES ...................................................... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 2.1. ANLISE DA SECO ........................................................................................................... 22 2.2. MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR ................................................................................. 22 2.2.1. Clculo de MRd ........................................................................................................... 23 2.2.2. Dimensionamento das armaduras............................................................................. 25 2.3. DIAGRAMAS DE ROTURA POSSVEIS DE UMA SECO SUJEITA FLEXO SIMPLES .................... 31 2.4. DIMENSIONAMENTO FLEXO SIMPLES GRANDEZAS ADIMENSIONAIS ................................. 33 2.4.1. Mtodo Geral ............................................................................................................. 33 2.4.2. Mtodo do Diagrama Rectangular Simplificado ........................................................ 35 2.4.3. Utilizao de Tabelas ................................................................................................ 35 2.5. ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE ............................................................................... 37 2.6. PARMETROS QUE INFLUENCIAM O VALOR DO MOMENTO RESISTENTE ................................... 39 2.7. DISPOSIES CONSTRUTIVAS GERAIS ................................................................................. 40 2.7.1. Recobrimento das armaduras ................................................................................... 40 2.7.2. Distncia livre mnima entre armaduras (s) ............................................................... 41 2.7.3. Agrupamentos de armaduras .................................................................................... 41 2.7.4. Dobragem de vares ................................................................................................. 42 2.7.5. Posicionamento das armaduras ................................................................................ 42 2.7.6. Princpios a ter em ateno na pormenorizao das armaduras .............................. 43 2.8. DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXO ................ 43 2.8.1. Quantidades mnima e mxima de armadura ........................................................... 43 2.8.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade ..................................... 44 2.9. DIMENSIONAMENTO DE SECES EM T .............................................................................. 44 2.9.1. Largura efectiva ......................................................................................................... 44 2.9.2. Dimensionamento de seces em T por tabelas .................................................... 45 2.9.3. Simplificao de seces para efeitos de dimensionamento flexo simples ......... 48 3. ESFORO TRANSVERSO ..................................................................................................... 53 3.1. COMPORTAMENTO ELSTICO ............................................................................................... 53 3.2. COMPORTAMENTO APS FENDILHAO ................................................................................ 53 3.3. MODELO DE TRANSMISSO DE CARGAS PARA O APOIO ........................................................... 54 3.4. POSSVEIS MODOS DE ROTURA ............................................................................................ 55 3.5. AVALIAO DAS TENSES / FORAS NOS DIFERENTES ELEMENTOS DA TRELIA ...................... 55 3.5.1. Traces nos estribos ............................................................................................... 56 3.5.2. Compresso na alma ................................................................................................ 57 3.5.3. Influncia do esforo transverso nas compresses e traces paralelas ao eixo .... 58 3.6. DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ............................................................................... 60 3.6.1. Quantidade mnima de armadura transversal ........................................................... 60 3.6.2. Espaamento entre estribos ...................................................................................... 61 3.6.3. Armadura mnima longitudinal nos apoios de extremidade ...................................... 61 3.7. AMARRAO DE ARMADURAS .............................................................................................. 64 3.7.1. Comprimento de amarrao ...................................................................................... 64 3.7.2. Comprimento de emenda .......................................................................................... 67 3.8. ARMADURA DE LIGAO BANZO-ALMA ................................................................................. 77 3.9. ARMADURA DE SUSPENSO ................................................................................................. 78 3.9.1. Apoios indirectos ....................................................................................................... 78 3.9.2. Cargas suspensas ..................................................................................................... 79 3.10. SECES COM LARGURA VARIVEL ................................................................................... 84 3.11. ARMADURA INCLINADA....................................................................................................... 84 3.12. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO ......................................................................... 85 3.12.1. Regras de dimensionamento ................................................................................... 85 3.13. FORAS DE DESVIO .......................................................................................................... 89 3.13.1. Disposio da armadura ordinria por forma a evitar o destacamento do beto devido s foras de desvio ............................................................................................................................. 89 3.13.2. Foras de desvio de compresso............................................................................ 89 4. TORO ................................................................................................................................. 90 4.1. DEFINIES ........................................................................................................................ 90 4.1.1. Toro de equilbrio ................................................................................................... 90 4.1.2. Toro de compatibilidade ........................................................................................ 90 4.2. TORO ANALISADA COMO ESFORO TRANSVERSO NA LARGURA EFECTIVA DE HEF .................. 90 4.3. DIMENSIONAMENTO DAS PAREDES SUJEITAS A UM ESFORO TRANSVERSO ............................. 92 4.3.1. Compresso .............................................................................................................. 92 4.3.2. Armadura transversal de toro ................................................................................ 92 4.3.3. Armadura longitudinal de toro................................................................................ 93 4.4. EFEITO CONJUNTOTORO / ESFORO TRANSVERSO ........................................................... 95 4.5. DISPOSIES CONSTRUTIVAS RELATIVAS A ARMADURAS DE TORO ..................................... 96 4.5.1. Armadura transversal ................................................................................................ 96 4.5.2. Armadura longitudinal ................................................................................................ 96 4.6. DIMENSIONAMENTO CONJUNTO DA SECO ......................................................................... 96 Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 211. Idealizao das propriedades dos materiais 1.1. RELAES TENSO-EXTENSO PARA VERIFICAO DA SEGURANA AOS E.L. LTIMOS 1.1.1. Beto (Diagrama parbola rectngulo) fcd = fck c , c = 1.50.8 1.0 c = fcd

((1 - \

|||1 - cc2n para 0 c c2 c = fcd para c2 c cu2 Para as classes de resistncia at C50/60, c2 []cu2 []n 2.03.52.0 Nota: De acordo com o REBAP, a tenso mxima no beto est limitada a 0.85 fcd por forma a teremconsideraoapossveldiminuiodatensoderoturadobetoquandoesteest sujeitoatenseselevadasdelongadurao.Noentanto,aversofinaldoEC-2prope,em geral, 1.0 fcd, que deve ser adoptado na disciplina, apesar de se referir, nestas folhas, 0.85 fcd. 1.1.2. Ao Para a verificao da segurana aos E.L. ltimos pode ser considerada uma das duas relaes constitutivas indicadas pelo EC-2: fyd = fyk s , s = 1.15 ud = 0.9 uk Classe fyk [MPa] fyd [MPa] yd [10-3] A235 A400 A500 235 400 500 205 348 43 1.025 1.74 2.175 Os valores de k e uk a considerar dependem da classe de ductilidade das armaduras e so indicadas na tabela seguinte. ccfcdc2fckcu2fydssEs = 200 GPaydfykud ukk fykk fyd12Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 22 Classe de ductilidade ABC k 1.051.08 1.15 0 o beto no resiste traco Equaes de Equilbrio Equilbrio axial: Fs = Fc Equilbrio de momentos: MRd = Fs z 1.3. MTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR Estemtodopermitesimular,deformasimples,aresultantedastensesde compresso no beto. LNFszMRdFcx(+)(-)c 3.5s 10Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 23 Deste modo, 1.3.1. Clculo de MRd Dados: geometria da seco, quantidade de armadura, fcd, fyd i) Admitir que s = fyd (s yd), ou seja, que as armaduras esto em cedncia ii) Determinar posio da linha neutra Por equilbrio axial, Fc = Fs 0.85 fcd Ac (x) = As fyd x = ? iii) Calcular o momento resistente Por equilbrio de momentos, MRd = As fyd (d 0.4x) iv) Verificar hiptese inicialmente admitida: s yd Rotura convencional: c = 3.5ous = 10 A partir da posio da linha neutra anteriormente calculada, e admitindo que a rotura se d pelo beto, obtm-se a extenso ao nvel da armadura. Se s yd a hiptese considerada inicialmente est correcta Se s < yd Fs < As fyd (ao contrrio do que foi admitido), pelo que a posio da LN no est correcta. Esta situao no desejvel e, caso se verifique, devero adoptar-seprocedimentosqueconduzamaqueasarmadurasestejamem cedncia (s yd). Este assunto ser retomado posteriormente. cx(-)0.85 fcd 0.85 fcd0.8x 0.85 fcdc3.5c 0.7scFsz = d - 0.4xx(-)(+)FcLNd0.85 fcd0.8x0.4xc = 3.5(+)(-)sxBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 24Atravsdaposiodalinhaneutrapossvelsabersearoturaconvencionalsed pelo beto ou pela armadura: Posio da LN para c = 3.5es = 10 x 3.5 = d 13.5 x = 0.26 d (esta situao corresponde ao mximo aproveitamento da capacidade dos materiais) Deste modo, se x < 0.26 dc < 3.5s = 10(rotura pela armadura) se x > 0.26 dc = 3.5s < 10(rotura pelo beto) Posio da LN para c = 3.5 e s = yd (incio da cedncia do ao) A400: yd = 1.74 x3.5 = d3.5 + 1.74 x = 0.67 dA500: yd = 2.175 x 3.5 = d 3.5 + 2.175 x = 0.62 d Deste modo, se x 0.67 d no caso de se utilizar ao A400, ou se x 0.62 d no caso de se utilizar ao A500 o ao est em cedncia Devergarantir-sequeasarmadurasseencontramemcedncianasituaode rotura, por duas razes fundamentais. Aprimeirapodeconsiderar-secomosendoessencialmentedeordemeconmica:a armadurautilizadadeveserintegralmenteaproveitadae,portanto,mobilizada integralmente a sua capacidade resistente. Poroutrolado,apeadeveapresentarductilidadedisponvelemsituaoderotura: devepoderevidenciardeformaesapreciveisporcednciadasarmaduras,sem perda de capacidade resistente. xc = 3.5(-)(+)s=10ddxs=yd(+)(-)c = 3.5Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 25 1 R = - cx x

Para garantir um nvel mnimo de ductilidade disponvel deve procurar garantir-se que, pelo menos, x 0.5 d, portanto com x inferior ao critrio de incio da cedncia. Dimensionamento das armaduras Dados: geometria da seco, fcd, fyd, Msd i) Admitir que s = fyd (s yd), ou seja, que as armaduras esto em cedncia ii) Determinar posio da linha neutra Por equilbrio de momentos, Msd = Fc z = 0.85 fcd b 0.8x (d - 0.4x) x = ... Fc = ... iii) Calcular a rea de armadura necessria Por equilbrio axial, Fc = Fs 0.85 fcd b 0.8x = As fyd As = ? iv) Verificar hiptese inicialmente admitida: s yd MRdy() R / 1(1)As1 (x1;s1;maior ductilidade)As2 (x2;s2)u1/R ()R / 1As3 (x3;s3)As4 (x4;s4;menor ductilidade)s=yd(2)(1)(2)Rotura da seco por esmagamento do beto comprimido (c 3.5) ou deformao da armadura (s 10)(+)(-)xcx = -3.5sAs1R0.8x0.85 fcddLNFcxzFsMsdAsbBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 26EXERCCIO 2.1 Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5 Materiais:C25/30 (fcd = 16.7MPa) A400(fyd = 348MPa) Calcule a mxima sobrecarga q que pode actuar com segurana sobre a viga. q5.000.550.30320Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 27Resoluo do Exerccio 2.1 Mtodo do diagrama rectangular simplificado 1. Clculo do MRd Equaes de equilbrio (flexo simples) F = 0 Fc = Fs(1) M = 0 MRd = Fs z = Fs (d - 0.4x)(2) Fc = 0.8x b 0.85 fcd = 0.8x 0.30 0.85 16.7103 = 3406.8x Fs = Asfyd = 9.4210-4348103 = 327.8kN(As(320)=9.42cm2) (1) Fc = Fs x = 327.83406.8 = 0.096m z = d 0.4x = 0.55 0.4 0.096 = 0.51m (2) MRd = Fs z = 327.8 0.51 = 167.2kNm Verificao da hiptese de cedncia do ao (s yd) s 0.454 = 3.5 0.096 s = 16.6 Como mxs = 10 s = 10 e c < 3.5 10 0.454 = c 0.096 c = 2.11 Comportamento dctil: s > yd (critrio mnimo; desejvel que s > 4 a 5 ) yd = fyd s = 348 200103 = 1.74 xd = 0.0960.55 = 0.175 < 0.26 c < 3.5s = 10 rotura pela armadura 0.4x0.8x0.85 fcddLNFcxzFsMRd0.454s(+)(-)c = 3.50.0960.55Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 283. Clculo da sobrecarga mxima (Msd MRd) Msd = psd L2 8 167.7kNm psd 8 167.7 52 = 53.7kN/m psd = 1.5 (g + q)q = 53.7 1.5 - 0.30 0.60 25 = 31.3kN/m Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 29EXERCCIO 2.2 Considere a estrutura da figura seguinte: Materiais: C25/30, A400 Aces:Peso prprioRevestimento=2.0kN/m2 Sobrecarga = 3.0kN/m2 Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5 Coeficientes de combinao:1 = 0.4 ; 2 = 0.2 Seco da viga: 0.300.85m2 Espessura da laje: 0.15m a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexo da viga (Seces S1 e S2) a.1) utilizando o mtodo do diagrama rectangular simplificado a.2) Fs z a.3) com recurso a tabelas a.4) pormenorize as armaduras de flexo 4.00 4.00 4.00 4.0010.003.00S2S1Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 30RESOLUO DO EXERCCIO 2.2 ALNEA A) 1. Modelo de clculo: 2. Envolvente do diagrama de esforos ALNEA A.1) Seco S2 (M+sd = 660.2 kNm) Fc = 0.85 fcd 0.8x b = 0.85 16.7103 0.8x 0.3 = 3406.8xFs = As fyd = As 348103 Equilbrio de momentos: MAS = Msd 3406.8x (0.8 0.4x) = 660.2 x = 0.282 m Fc = 3406.8 0.282 = 960.7 kN Equilbrio de foras Fs = Fc As 348103 = 960.7 As = 960.7348103 104 = 27.6cm2 10.00 3.00S2 S1g, q0.850.30660.2(+) DMF[kNm](-)272.0S2S10.30AsMsdFszFc0.85 fcd0.8xLNx0.80Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 31Verificao da hiptese de cedncia do ao Admitindo que c = 3.5 c = 3.5s = 0.2820.518 s = 6.43 > yd = 1.74 A armadura est em cedncia (a seco tem comportamento dctil) Seco S1 (M-sd = 272.0 kNm) Equilbrio de momentos: MAS=Msd 3406.8x (0.80.4x) = 272.0 x=0.105m Fc=357.7kN Equilbrio de foras Fs = Fc As 348 103 = 357.7 As = 357.7348103 104 = 10.28cm2 Verificao da hiptese de cedncia do ao Admitindo que c = 3.5, s3.5 = 0.6950.105 s = 23.2 > 10 s = 10 c = 1.51 1.4. DIAGRAMAS DE ROTURA POSSVEIS DE UMA SECO SUJEITA FLEXO SIMPLES Nafiguraseguinteapresentam-seosdiagramasdedeformaodeumasecode beto armado, para quatro reas de armadura distintas (rea de armadura crescente). 0.2820.518sc = 3.5(-)(+)Msd0.8xFcFsAs0.300.80xLN0.85 fcdzBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 32 Apresentam-se em seguida as relaes constitutivas do ao e do beto, com indicao qualitativa das tenses e extenses dos dois materiais para os casos acima indicados. Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos nveis de armadura, existe proporcionalidadeentreareadearmaduraeomomentoresistentedaseco. medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relao passa a ser no linear, ouseja,oaumentodaarmaduratraduz-seemacrscimoscadavezmenoresde momento resistente. Este comportamento deve-se sucessiva diminuio do brao do binrio (z) com o aumento da rea de armadura. x1MRdAss(+)(-)cMRd,1(As muito pequeno) (As maior)x2MRd,2c(-)(+)s< 0.26ds0.15,zzAs1As2Fs2FcFc>zFszAs FsMRdAsBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 40Classe do beto A influncia do aumento da classe do beto no valor do momento resistente, apenas importanteparaesforoselevados.Paraonveldeesforosusuais,emque geralmente a rea comprimida pequena, a variao pouco significativa. 1.8. DISPOSIES CONSTRUTIVAS GERAIS Armadurasprincipais:Asseguramaresistnciadoelementoestruturalrelativamente aos esforos de dimensionamento. Armaduras secundrias: Tm como funo: -Garantir o bom funcionamento das armaduras principais; -Ajudam a rigidificar as malhas de armaduras; -Controlam a fendilhao localizada; -Asseguramaligaoentrepartesdeelementosquetmtendnciaa destacar-se. est = 6 ou 8 mm (para vigas pequenas) 10 a 12 mm (para vigas maiores) long = 12 a 16 mm (para vigas pequenas) = 20 a 25 mm (para vigas maiores) c recobrimento Altura til: d = h - c - est - long2 1.8.1. Recobrimento das armaduras O recobrimento das armaduras desempenha as seguintes funes: FcMRdFs Fs Asz>zFcAsdbhs cBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 41(i)mecnica:Destina-seagarantirquehbetosuficienteaenvolveraarmadura,e assim garantir a sua aderncia por forma a que se verifique uma eficiente transmisso de foras entre o beto e o ao (c ou eq) (ii)protecocontraaentradadosagentesagressivoseconsequentemente contra a corrosodasarmaduras(recobrimentodefinidoemfunodaagressividadedo ambiente de exposio) (consultar Volume 4 Apontamentos Complementares) 1.8.2. Distncia livre mnima entre armaduras (s) Adistncialivreentrearmadurasdevesersuficienteparapermitirrealizara betonagem em boas condies, assegurando-lhes um bom envolvimento pelo beto e as necessrias condies de aderncia e proteco. No caso de armaduras para beto armado, smin = { } maior, eq maior, (dg + 5 mm), 2 cm onde dg representa a mxima dimenso dos inertes. Adistncialivreentrearmaduraslongitudinaisnumavigapodesercalculadapela expresso, s = b - 2c - 2est - n long n - 1 , n nmero de vares necessriocompatibilizaradistnciaentrevarescomoespaonecessriopara introduo do vibrador (aconselhvel: 4 a 5 cm junto face inferior e 7 a 10 cm junto face superior) 1.8.3. Agrupamentos de armaduras Osagrupamentosdearmadurasdevemserevitadossempre quepossvel,dadoque prejudicam a aderncia ao/beto. Os vares a agrupar devem ser do mesmo tipo de ao. possvel agrupar vares com dimetros diferentes, desde que o quociente dos dimetros no exceda o valor 1.7. Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 42Relativamente ao nmero mximo de vares que possvel agrupar, -paraocasodearmadurasverticaiscomprimidasounumazonadeemendade vares, n 4 -em todos os restantes casos, n 3 (Em qualquer direco no pode haver mais que 2 vares em contacto) Odimetroequivalentedeumagrupamentopodesercalculadopelaexpresso eq =2i 55mm Exemplos: (mais indicado) (aceitvel) (desaconselhvel) 1.8.4. Dobragem de vares Condies a satisfazer: -No afectar a resistncia do ao; -Noprovocaroesmagamentooufendilhaodobetoquandoaarmadurafor traccionada. O dimetro mnimo de dobragem depende do tipo de ao, do dimetro do varo e do tipo de armadura (armaduras em geral, estribos, cintas, ganchos, etc.). 1.8.5. Posicionamento das armaduras O posicionamento das armaduras, antes da betonagem, assegurado pelos seguintes elementos: Espaadores garantem o recobrimento das armaduras cBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 43Cavaletes garantem o correcto posicionamento das armaduras superiores nas lajes Varesconstrutivos(armadurassecundrias)garantemoespaamentovertical entre vares longitudinais 1.8.6. Princpios a ter em ateno na pormenorizao das armaduras Aescolhadotipodepormenorizaonoquerespeitaaonmerodevarese dimetros a adoptar deve ter em ateno os seguintes factores: -custo da mo de obra menor nmero de vares -facilidade de betonagem menor nmero de vares -liberdade de dispensa maior nmero de vares -menos problemas de fendilhao maior nmero de vares - 1.9. DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS ARMADURAS LONGITUDINAIS DE FLEXO 1.9.1. Quantidades mnima e mxima de armadura Aquantidademnimadearmaduraaadoptarnumaviga,podesercalculadaatravs da expresso seguinte:As,min = 0.26 fctmfyk bt d onde bt representa a largura mdia da zona traccionada em flexo. A quantidade mxima de armadura a adoptar, fora das seces de emenda, dada por: As,mx = 0.04 Ac onde Ac representa a rea da seco de beto. hBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 44 importante referir que questes como a garantia de ductilidade, atrs discutida, e de pormenorizao, tornam este limite muito superior ao que razovel, e de boa prtica, ter. 1.9.2. Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade Semprequeexistirligaomonolticaentreumavigaeumpilardeextremidade,e caso esta ligao no tenha sido considerada no modelo de clculo, dever adoptar-se uma armadura superior dimensionada, pelo menos, para um momento flector igual a 15% do momento flector mximo no vo. Deste modo, As,apoio = mx { } As,min, 0.15 As,vo+ 1.10. DIMENSIONAMENTO DE SECES EM T 1.10.1. Largura efectiva 1.10.1.1. Definio Nodimensionamentodevigascombanzosoucomligaoalajes,podetirar-se partidodaexistnciadesteselementos,principalmentesesesituaremnazona comprimida da seco. Nestecaso,adistribuiodetensesnobanzonouniforme:aszonaslaterais deformam-semenosqueazonacentraldaalma(devidodeformaoporcorte) efeito de shear lag, tal como se pode observar na planta ilustrada em seguida. Simplificadamente,considera-seumalarguraefectiva(bef)ondeseadmitequea distribuio de tenses uniforme b1 b2 bwhfd0FcBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 45 1.10.1.2. Clculo da largura efectiva (i) Banzo comprimido Para o caso genrico apresentado na figura anterior, a largura efectiva pode ser obtida atravs da expresso: bef = befi + bw b onde, befi = 0.2 bi + 0.1 L0 0.2 L0, com befi bi L0 representa a distncia entre pontos de momento flector nulo Determinao de L0 (ii) Banzo traccionado No caso de se tratar de um banzo traccionado, dL 4hf (hf espessura do banzo) 1.10.2. Dimensionamento de seces em T por tabelas Exemplo: Mx,maxbefbwhfbefbef1 bef2b1 b1 b2 b2b0.7 L2L2L0 L1+0.15L2L1 L30.15(L2+L3) 0.85 L3Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 46 b bw = 5; hf d = 0.125 b bw = 4hf/d = 0.101 )` a

)` hf/d = 0.152 b bw = 6hf/d = 0.103 )` b hf/d = 0.154 Casos particulares:Dado que se considera que o beto no resiste traco, o dimensionamento de uma secoemTpodeserefectuadocomoseestasetratassedeumaseco rectangular nos seguintes casos: (i)sealinhaneutraestivernobanzo,casoesteestejacomprimido(acontecena generalidade dos casos) seco rectangular de largura bef; (ii)sealinhaneutraestivernaalmaeobanzoestivertraccionadoseco rectangular de largura bw befbwLNAsMFsFcAsLNbefMFcFsMAsLNbwbefFcFsFcbwFsLNAsMBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 47RESOLUO DO EXERCCIO 2.2 (CONT.) ALNEA B) Dimensionamento das armaduras considerando a contribuio da laje Viga em T hf = 0.15 mh = 0.85mbw = 0.30m bef = befi + bw = 1.22 2 + 0.30 = 2.74 m bef1 = 0.2 b1 + 0.1 L0 = 0.2 3.72 + 0.1 0.85 10 = 1.22 m 1.7m 0.2 L0 = 0.2 0.85 10 = 1.7 m Hipteses para o dimensionamento da seco: (i) Se a L.N. estiver no banzo da seco, o dimensionamento pode ser efectuado como se a seco fosse rectangular, de largura bef. (ii) Se a L.N. estiver na alma da seco, o dimensionamento ter de ser efectuado com base em tabelas de seco em T (ou recorrendo ao mtodo do diagrama rectangular simplificado). Para verificar se a L.N. est no banzo, MSd = 660.2kNm = 660.22.740.8216.7103 = 0.023 k = 0.076 x = k d = 0.076 0.8 = 0.06 m < 0.15 m a LN est no banzo = 0.023 = 0.024 As = b d fcdfyd = 0.0242.740.8 16.7348 104 = 24.77cm2 bwbefhfhBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 481.10.3. Simplificao de seces para efeitos de dimensionamento flexo simples 1) Seco real 2) Seco real 3) Seco real Seces a considerar no dimensionamento flexo 1) (se a LN estiver no banzo)(se a LN estiver no banzo) Nota:SeaLNestivernaalmadaseco,odimensionamentopoderserefectuado combasenumasecoemT(considerandoaexistnciadobanzoqueestiver comprimido, e desprezando o banzo traccionado) bb'bwbb'2bwbwbb2bwbwbbwbb'b2bwM Mb b'Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 492) e 3) (se a LN estiver na alma) (se a LN estiver no banzo) bwbbwMbMBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 50EXERCCIO 2.3 Considere a estrutura da figura seguinte: Materiais: C20/25, A400 Aces: pp + revest. = 20.0 kN/m sobrecarga= 40.0 kN/m Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5 a) Determine as armaduras necessrias para garantir o Estado Limite ltimo de flexo da viga (seces S1 e S2) b) Pormenorize as armaduras de flexo. S1 S210.00 3.50cp3.50sc1.001.000.20 0.200.15Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 51RESOLUO DO EXERCCIO 2.3 ALNEA A) 1. Esforos de dimensionamento psd = 1.5 (20 + 40) = 90 kN/m MsdS1 = - psd L12 2 = - 90 3.52 2 = -551.3 kNm MsdS2 = psd L22 8 - MsdS1 = 90 102 8 - 551.3 = 573.8 kNm 2. Determinao das armaduras (E.L.U. flexo)Seco S2 (M+sd = 573.8 kNm) = Msd bd2 fcd = 573.8 0.40 0.952 13.3103 = 0.120 = 0.131 As = bd fcd fyd = 0.131 0.40 0.95 13.3 348.0 104 = 19.03 cm2 10.00 3.50 3.50psd DMF[kNm](+)(-) (-)551.3573.8551.30.20 0.201.00MsdLN LN1.000.40Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 52Seco S1 (M-sd = 551.3 kNm) Hiptese: a LN encontra-se no banzo da seco = Msd bd2 fcd = 551.3 1.0 0.952 13.3103 = 0.046 k = 0.112 k = x d x = k d = 0.112 0.95 = 0.106 LN est no banzo = 0.046 w = 0.048 As = bd fcd fyd = 0.048 1. 0 0.95 13.3 348.0 104 = 17.42cm2 Msd1.001.00LN LN1.00Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 532. Esforo Transverso 2.1. COMPORTAMENTO ELSTICO Numa viga de beto no fendilhada (comportamento elstico) definem-se as seguintes trajectrias principais de tenso: Elemento A Quando t = fct, inicia-se a fendilhao por esforo transverso 2.2. COMPORTAMENTO APS FENDILHAO A fendilhao tende a ser perpendicular direco das tenses principais de traco. +trajectrias das compresses principaistrajectrias das traces principaisActFlexo Flexo + Esforo transversoFlexo + Esforo transversoBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 542.3. MODELO DE TRANSMISSO DE CARGAS PARA O APOIO Estemodelopoderassemelhar-seaumatrelia,ondeasarmadurastransversaise longitudinaisfuncionamcomotirantes,eobetocomprimidoentrefendascomuma resultante assimilvel a uma escora ou biela comprimida. Assim,nestemodelodetrelia,cadabarrarepresenta(ouaresultantede)um campo de tenses: (1) Campo de traces verticais estribos verticais (ou inclinados) (2) Campo de compresses inclinadas bielas inclinadas zz cotg z cotg bielas comprimidas (resultante da zona de compresses correspondente)tirantes (resultante das foras de traco nos estribos no comprimentoz cotg)z cotg z cotg Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 55(1)Campo de traces e compresses paralelas ao eixo banzo comprimido; armadura longitudinal assimpossvelrelacionarosesforos(MeV)comastensesnosdiferentes elementos: armaduras transversais, armaduras longitudinais e bielas comprimidas. 2.4. POSSVEIS MODOS DE ROTURA (i)Rotura dos estribos (ii) Rotura por esmagamento do beto (nas bielas comprimidas) (iii) Rotura por arrancamento da armadura inferior do apoio (amarrao insuficiente) ou rotura da armadura (armadura insuficiente) 2.5. AVALIAO DAS TENSES / FORAS NOS DIFERENTES ELEMENTOS DA TRELIA (admitindo uma inclinao para as bielas comprimidas na alma) compressotracoBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 562.5.1. Traces nos estribos Fs Vsd Asw fyd Vsd (x) Asws fyd Vsd (x)z cotg Asws Vsd (x)z cotg fyd x = b 2 + z cotg ; z 0.9d Asws - rea de ao por unidade de comprimento (armadura distribuda por m). Vsd (x)z cotg - fora vertical por unidade de comprimento. Osestribostmqueserprolongadosataoapoioporformatransmitirparaazona superior da viga as foras devidas s escoras assinaladas na figura. EUROCDIGO 2: O valor do esforo transverso resistente dado pelo menor valor entre (1) e (2), VRd,s = Asw s z fywd cotg Asw s Vsd z cotg fywd (1) ondefywdrepresentaovalordeclculodatensodecednciadaarmaduradeesforo transverso. zz cotg bxVsd(x)Vsd(x)bxz cotg DEVsdzona do diagrama de esforo transverso que interessa para efeitos de dimensionamento da armadura transversalcargas que se transmitemdirectamente para o apoiocargas que se transmitemdirectamente para o apoiob z cotg AswVsd (x)Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 572.5.2. Compresso na alma sen = Vsd Fc Fc = Vsd sen c = Fc bw a sen = a z cotg a = (z cotg ) sen = z cos = z cos c = Vsd sen bw z cos c = Vsd (x) 0.9d bw sen cos A mxima compresso surge junto ao apoio - zona onde Vsd mximo. Aroturaocorre,em geral,nabielaaseguirao apoio,ondearesistnciadobeto compressaomenor(naltimabielaem leque surge um campo biaxial de tenses que conduzaumaumentodaresistncia compresso do beto). Astensesdetraconosestribosoriginamumadiminuiodaresistncia compresso do beto, pelo que c 0.6

(1 - fck 250 fcd Na biela em leque considera-se para verificao da segurana c 0.85 fcd \||R Aapoio 0.85 fcd EUROCDIGO 2 (cont.) VRd,max = cw bw z 1 fcd cotg + tg (2) onde cw = 1 para estruturas sem pr-esforo e 1 = 0.6

(1 - fck 250 Pelo que, esta expresso pode ser escrita na forma b z cotg aFcFcVsdFsz cotg RRoturaBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 58VRd,max = bw z 0.6

(1 - fck250 fcdcotg + tg VRd,max (cotg + tg )z bw = 0.6

(1 - fck250 fcd VRd,maxz bw sen cos = 0.6

(1 - fck250 fcd 2.5.3. Influncia do esforo transverso nas compresses e traces paralelas ao eixo UmavezqueosesforosexterioressoMeV,aresultantedosesforosaxiaistem que ser nula. Deste modo, para equilibrar a componente horizontal de Fc tem que se verificar uma variao nas compresses e traces devidas a M. FVT = Fc cos = Vsen cos = V cotg necessriodistribuiraforadetracoFVTigualmentepelosbanzoscomprimidoe traccionado por forma a no alterar o momento aplicado seco. FM = Mz ; FV = V2 cotg 2.5.3.1. Apoio de extremidade Fc VsdV2cotg cotg 2VFTVsdFcVMFMMFVFFV+ =VVFFVMFMMFzz cotg b1b + z2 2cotg Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 59 R = Fc sen 1 Fc = Rsen 1

FT = Fc cos 1 FT = R cos 1sen 1 = R cotg 1 cotg 1 = b2 + z2 cotg z = 0.5 bz + 0.5 cotg Como FT depende da largura do apoio, pode tomar-se por simplificao: 1) Apoio pontual (b = 0) cotg 1 = 0.5 cotg FT = R 2 cotg 2) z 2b cotg 1 = 0.5 b2b + 0.5 cotg = 0.25 + 0.5 cotg FT = R (0.25 + 0.5 cotg ) 1.20 R (1 40) 2.5.3.2. Apoio de continuidade Nota: Na zona central, a inclinao das compresses varia entre e 90 (cotg 90 = 0) 2.5.3.3. Armadura longitudinal no vo Considere-seavigasimplesmenteapoiadarepresentadanafiguraseguinte,bem como os correspondentes diagramas de fora de traco na armadura longitudinal. FTR1FcDFTM/zV2cotg MVz 2cotg +- cotg MV2 zzFT = const. 1 z cotg z cotg b1Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 60 = d dx \||M z = 1 z dM dx = V z

por outro lado, tg = V/2 cotg x V2 cotg 1 x = Vz x = z2 cotg Parateremcontaoaumentodatraconaarmaduralongitudinalsuficiente considerar uma translao do diagrama de momentos de x. 2.6. DISPOSIES CONSTRUTIVAS EM VIGAS 2.6.1. Quantidade mnima de armadura transversal Asreasmnimasdearmaduratransversal,podemserquantificadasatravsda imposio de uma percentagem mnima de armadura, dada por: w,min = 0.08fck fyk

A percentagem de armadura transversal define-se atravs da expresso w,min = Asws bw MFTM/zV/2 cotg VFTM/zFTM+V+ V/2 cotg +=AsflexoM/zxnecessriaAsV/2 cotg Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 612.6.2. Espaamento entre estribos Por forma a evitar que a fenda se forme entre estribos, o espaamento mximo entre estribos dever respeitar a condio:s 0.75 d (1 + cotg ),onde d representa a altura til do elemento. Usualmente utilizam-se espaamentos entre 0.075 m e 0.30 m (ou, mais aconselhvel, entre 0.10 m e 0.25 m), no devendo ultrapassar-se em geral s 0.5 d. 2.6.3. Armadura mnima longitudinal nos apoios de extremidade A rea de armadura longitudinal inferior a adoptar em apoios sem continuidade dever ser pelo menos 25% da rea de armadura adoptada na zona do meio vo. Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 62EXERCCIO 2.4 Considere a estrutura da figura seguinte: Materiais: C25/30, A400NR a)Calculeasarmadurastransversaisadmitindo,parainclinaodasbielasde compresso, ngulos de 30 e 45. b) Verifique, para ambas as situaes, a tenso mxima de compresso nas bielas. c) Calcule, para ambas as situaes, os efeitos na armadura longitudinal. d) Pormenorize a armadura longitudinal ao longo da viga. 0.605.000.30g = 25kN/mq = 12kN/mBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 63RESOLUO DO EXERCCIO 2.4 ALNEA A) 1. Determinao dos esforos psd = g g + q q = 1.5 (12 + 25) = 55.5 kN/m Msd = pL2 8 = 55.5 52 8 = 173.4 kNmVsd = 55.5 5 2 = 138.8 kN2. Clculo das armaduras transversais para = 30z cotg = 0.9 d cotg = 0.9 0.55 cotg 30 = 0.87m Vsd (z cotg ) = 138.8 0.87 55.5 = 90.5kN Asw s Vsd z cotg fyd = 90.5 0.87 348 103 104 = 3.0 cm2/m 3. Clculo das armaduras transversais para = 45 z cotg = 0.9 0.55 cotg 45 = 0.5m Vsd (z cotg ) = 138.8 0.5 55.5 = 111.1kN Asw s = 111.1 348 103 0.5 = 6.39cm2/m ALNEA B) i) = 30c = Vsd0.9 d bw sen cos = 90.50.30.5sen 30cos 30 = 1393kN/m2 ii) = 45c = 111.1 0.3 0.5 sen 45 cos 45 = 1481kN/m2 c 0.6

(1 - fck 250 fcd = 0.6

(1 - 25 250 16.7103 = 9018 kN/m2

Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 64ALNEA C) 1. Armadura no apoio de extremidade i) Considerando um apoio pontual b = 0 Fs = R 2 cotg = 30 Fs = 138.8 2 cotg 30 = 120.2kN = 45 Fs = 138.8 2 cotg 45 = 69.4kN ii) Considerando a largura do apoio Fs = 1.2 R = 1.2 138.8 = 166.6kN As Fs fyd = 166.6 348103 104 = 4.79cm2

Comentrio: menor maior rea de armadura nos apoios 2. Clculo do comprimento de translaco = 30 x = z 2 cotg = 0.5 2 cotg 30 = 0.43m = 45 x = z 2 cotg = 0.5 2 cotg 45 = 0.25m Comentrio: menor maior comprimento de translaco 2.7. AMARRAO DE ARMADURAS 2.7.1. Comprimento de amarrao Considere-seumvaro deaoembebido,num determinadocomprimento,nointerior de um bloco de beto, conforme ilustrado na figura seguinte. fbd tenso de aderncia fbdlb,rqdFs = As sdBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 65 possvel definir o valor do comprimento necessrio lb,rqd para que, quando o varo for submetido a uma fora de traco, no haja escorregamento entre os dois materiais. Deste modo, FRc Fs Ac fbd Fs , onde Ac = lb e representa a rea de beto em contacto com a armadura.Ac fbd Fs lb,rqd fbd = As sd lb,rqd fbd = 2 4 sd

De onde resultalb,rqd = 4 sd fbd (Comprimento de amarrao base) O valor da tenso de aderncia (fbd) pode ser calculado atravs da seguinte expresso: fbd = 2.25 1 2 fctd onde, fctdrepresenta o valor de dimensionamento da resistncia do beto traco; 1 um coeficiente que depende da qualidade daaderncia e da posiodo varo durante a betonagem (1 = 1.0 para boas condies de aderncia; 1 = 0.7 para outras condies de aderncia); 2 um coeficiente que depende do dimetro do varo (2 = 1.0 para 32 mm;2 = (132 - ) / 100 para 32 mm). Condies de aderncia Os vares dizem-se em condies de boa aderncia se verificarem uma das seguintes condies: formem com a horizontal um ngulo entre 45 e 90; estejamintegradosemelementoscomespessura(nadirecodabetonagem) inferior ou igual a 25 cm; quandoaespessuraexcede25cm,osvaresestoemboascondiesde aderncia se se situarem na metade inferior do elemento ou a mais de 30 cm da sua face superior. O comprimento de amarrao necessrio lbd pode ser calculado atravs da expresso lbd = 1 2 3 4 5 lb,rqd lb,min

onde, Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 661 um coeficiente que tem em conta a forma do varo na zona da amarrao; 2 um coeficiente que tem em conta o recobrimento do varo; 3umcoeficientequetememconsideraooefeitodoconfinamentoconferido pela existncia de armaduras transversais amarrao; 4umcoeficientequetememconsideraooefeitodevarestransversais soldados ao longo do comprimento de amarrao; 5umcoeficientequetememconsideraooefeitofavorveldaexistnciade tensesdecompressotransversaisaoplanodeescorregamento,aolongodo comprimento de amarrao. Comprimento de amarrao mnimo lb,min vares traccionados: lb,min = mx {0.3 lb,rqd; 10; 100 mm} vares comprimidos: lb,min = mx {0.6 lb,rqd; 10; 100 mm} Simplificadamente, para vares traccionados com amarraes curvas: lb,eq = 1 lb,rqd = 0.7 lb,rqd

( 90) ou (caso a distncia livre entre vares e o recobrimento na direco perpendicular amarrao sejam superiores a 3) para vares comprimidos ou traccionados com barras transversais soldadas: lb,eq = 4 lb,rqd = 0.7 lb,rqd

5lb,eqlb,eqlb,eq 5 t 0.6Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 67 C20/25C25C30C35C40C45C50 A400 1 = 1 1 = 0.7 38.6 55.14 32.20 46 28.98 41.4 26.35 37.6 23.19 33.13 21.47 30.67 19.99 28.56 A500 1 = 1 1 = 0.7 48.30 69 40.26 57.51 36.23 51.76 32.94 47.06 29.99 42.84 26.84 38.34 24.99 35.7 EXEMPLO Calcular o comprimento de amarrao necessrio de um varo 16 solicitado por uma fora de 45kN. Materiais:C25/30 A400NR RESOLUO: fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5 = 2.7 MPa lbd = lb,rqd = 4 sd fbd = 4 223.9 2.7 = 20.7 = 0.33 m sd = 45 2.0110-4 = 223.9 MPa 2.7.2. Comprimento de emenda As emendas dos vares das armaduras ordinrias devem, se possvel, ser evitadas e caso sejam necessrias, devem ser efectuadas em zonas em que os vares estejam sujeitos a tenses pouco elevadas.As emendas de vares podem ser realizadas por sobreposio, por soldadura, ou por meio de dispositivos mecnicos especiais (acopladores, por exemplo). lb,rqd45 kNBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 68As emendas por sobreposio devem satisfazer os seguintes critrios: No localizar as emendas nas zonas de maiores esforos; Procurar manter a simetria; Adistncialivreentrearmadurasnodevesersuperiora4ou50mm,caso contrrio o comprimento de emenda deve ser acrescido de (s 4); A distncia longitudinal entre duas emendas consecutivas no dever ser inferior a 0.3 l0; Nocasodeduasemendasadjacentes,adistncialivreentrevaresnodeve ser inferior a 2 ou 20 mm; Apercentagemdevaresaemendarnumamesmasecotransversalpodeser de 100% caso os vares estejam dispostos numa nica camada, ou de 50% se os vares estiverem dispostos em vrias camadas. O comprimento de emenda (l0) deve ser calculado de acordo com a expresso: l0 = 1 2 3 5 5 lb,rqd l0,min

onde6umcoeficientequetememcontaarelaoentreasecodosvares emendados e a seco total dos vares existentes na mesma seco transversal. Comprimento de emenda mnimo l0,min=mx{0.36 lb,rqd;15;200mm} Condio para que duas emendas possam ser consideradas em seces diferentes Reforo com armadura transversal na zona da emenda (dispensado caso 20 mm ou caso a percentagem de vares emendados seja inferior ou igual a 25%) FFl00.65 l0 0.65 l0Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 69a) Armadura em traco b) Armadura em compresso a) Armaduras em tracoBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 70RESOLUO DO EXERCCIO 2.4 (CONT.) ALNEA D)1. Clculo da armadura necessria a meio vo Msd = 173.4kNm = Msdbd2 fcd = 173.40.30.55216.7103 = 0.114 = 0.124 As = b d fcd fyd = 9.84cm2

Adoptam-se 216 + 220 (10.3cm2) Visto queAapoios 4.79cm2 , possvel dispensar 216 2. Clculo do MRd correspondente a 220 (6.28cm2) = As b d

fyd fcd = 6.28 10-4 0.3 0.55 348 16.7 = 0.079 = 0.075 MRd = b d2 fcd = 0.075 0.3 0.552 16.7103 = 113.7kNm 3. Determinao da seco de dispensa de armadura M(x) = 138.8 x 55.5 x2 2 == 138.8 x 27.75x2 Msd=MRd138x-27.75x2=113.7x= 3.97m x = 1.03m fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5 = 2.7 MPa sd = 6.2810.3 348 = 212.2MPa lbd = 4 sdfbd = 0.0164 212.22.7 = 19.6 = 0.31m aL = z 2 cotg = 0.43m Seces de dispensa de armadura: x1 = 1.03 aL Lb.net = 1.03 0.43 0.31 = 0.29 m x2 = 3.97 + aL + Lb.net = 3.97 + 0.43 + 0.31 = 4.71m M(x)138.8 kN138.8 kN55.5 kN/mxDMF(+)Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 71EXERCCIO 2.5 Para a estrutura j analisada no Exerccio 2.1 determine: a) As armaduras transversais necessrias ao longo da viga b) A distribuio de armaduras longitudinais ao longo da viga c) Pormenorize as armaduras na viga RESOLUO DO EXERCCIO 2.5 ALNEA A) 1. Determinao do esforo transverso solicitante Considerando alternncia de sobrecarga, VAsd = 1.5 (28.25 4.55) + 1.5 (12 5) = 282.8kN 10.00 3.00p=1 kN/m(+)(+)5.45(-)DEV[kN]4.553.05.0DEV[kN](+)(-)5.0p=1 kN/mDEV[kN]3.0( )0.45(+)p=1 kN/mBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 72VB.esqsd = 1.5 (28.25 5.45) + 1.5 (12 5.45) = 392.0kN VB.dirsd = 1.5 (28.25 + 12) 3 = 181.1kN i) Envolvente do diagrama de esforo transverso ii) Determinao de Vsd (z cotg ) Considerando = 30, d = 0.80m ; z 0.9 d = 0.72 m z cotg = 0.72 cotg 30 = 1.25 m Vsd,A (z cotg ) = 282.8 60.4 1.25 = 207.3 kN Vsd,B esq (z cotg ) = 329 60.4 1.25 = 253.5 kN Vsd,B dir (z cotg ) = 181.1 60.4 1.25 = 105.6 kN 2. Verificao das compresses i) Bielas comprimidas cmx = Vsd(z cotg )z bw sen cos = 253.50.720.30sen 30cos 30 = 2710.3kN/m2 2.7MPa cmx 0.6

(1 - fck 250 fcd = 0.6

(1 - 25 250 16.7103 = 9018 kN/m2 ii) Apoio c = R Aap 0.85 fcd RBsd = 329.0 + 181.1 = 510.1kN c = 510.1 0.3 0.3 = 5667.8kN/m2 5.7MPa 0.85 fcd = 0.85 16.7 = 14.2MPa 282.8(+)181.1(-)329.0(+)282.8181.1329.0Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 733. Clculo da armadura transversal nos apoios i) Apoio A Asws = Vsd (z cotg )z cotg fyd = 207.30.72cotg 30348103 104 = 4.78cm2/m ii) Apoio B (esq.) Asws = 253.50.72cotg 30348103 104 = 5.84cm2/m iii) Apoio B (dir.) Asw s = 105.6 0.72 cotg 30 348103 104 = 2.43cm2/m iv) Clculo da armadura mnima w,min = 0.08fck fyk = 0.0825 400 = 0.001 w,min=0.001 \||Aswsmin 1bw=0.001 \||Aswsmin = 0.00100.30104=3.0cm2/m (adoptam-se estribos 8//0.25) 4. Determinao da zona da viga em que se adopta (Asw/s)min i) Clculo de VRd, min Estribos 8//0.25 4.02 cm2/m VRd = Asws z cotg fyd=4.0210-40.72cotg 30348103 = 174.5kN x1 = 282.8 - 174.5 60.4 = 1.79m; x2 = 329 - 174.5 60.4 = 2.56m ALNEA B) Aapoios 416 + 212; Avos 625 1. Clculo do comprimento de translaco aL = z2 cotg = 0.722 cotg 30 = 0.62m329.0282.8181.1174.5x1 x2160.4Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 742. Armadura inferior i) Plano de dispensas: 625 425 225 ii) Capacidade resistente da viga aps as dispensas ArmaduraAs [cm2] MRd [kNm] 42519.630.1700.154493.8 2259.820.0850.080256.5 iii) Clculo das coordenadas x Carregamento correspondente ao mximo momento no vo M(x) = 282.8 x 60.4 x22 = 282.8 x 30.2x2 MSd = 493.8kNm 282.8 x 30.2 x2 = 493.8 x3 = 7.04m x2 = 2.32m MSd=256.5kNm282.8 x 30.2 x2=256.5x4 = 8.35m x1 = 1.02m iv) Clculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de 625 425 x2 = x2 aL Lb.net = 2.32 0.62 0.54 = 1.16 m 660.2272.0493.8256.5256.5493.8x1x2x3x410.00cp=28.3 kN/m3.00sc=12.0 kN/m282.8 kN(-)(+) DMF[kNm]x282.8 kNM(x)x60.4 kN/mBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 75x3 = x3 + aL + Lb.net = 7.04 + 0.62 + 0.54 = 8.20 m fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 1.0 1.0 1.8 1.5 = 2.7 MPa sd = 46 348= 232 MPa lbd = 4 sdfbd = 0.025 4 232 2.7 = 0.54 m Dispensa de 425 225 x1 = x1 aL Lb.net = 1.02 0.62 0.40 = 0.0 m x4 = x4 + aL + Lb.net = 8.35 + 0.62 + 0.40 = 9.37 m sd = 24 348 = 174 MPalbd = 4 sd fbd = 0.025 4 174 2.7 = 0.40m v) Verificao da armadura no apoio 1) Considerando pilares 0.30 0.30 [m2]: FT=R cotg1 = R \||0.5 bz + 0.5 cotg= 282.8 \||0.5 0.300.72 + 0.5 cotg 30 =303.8kN As = 303.8 348 103 104 = 8.73cm2 < As (425) = 19.63cm2 2) Considerando indirectamente a dimenso do pilar FT = 1.2 R = 1.2 282.8 = 339.4 kN As = 9.75cm2 < 19.63cm2 3) Considerando um apoio pontual FT=R2 cotg1 = 282.82 cotg 30 = 244.9kNAs = 7.04cm2 < 19.63cm2 3. Armadura superiori) Plano de dispensas:416 + 212 416 216 ii) Capacidade resistente da viga aps as dispensas ArmaduraAs [cm2] MRd [kNm] 4168.040.0700.066211.6 2164.020.0350.034109.0 Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 76 iii) Clculo das coordenadas x Carregamentocorrespondenteaomximomomentonegativonoapoioenovo esquerda do apoio: pconsolasd = 60.4kN/m pvosd = 1.5 28.25 = 42.4kN/m Vdirsd = 3.0 (12 + 28.25) 1.5 = 181.1kN Vesqsd = (5.45 28.25 + 0.45 12.0) 1.5 = 239.0kN Consola Msd(x) = 60.4 x x 2 181.1 x + 272.0 = 30.2x2 181.1x + 272.0 Msd = 211.6kNm 30.2 x12 181.1x1 + 272.0 = 211.6x1 = 0.35m Msd = 109.0kNm 30.2 x32 181.1x3 + 272.0 = 109.0x3 = 1.10m Vo Msd(x) = 42.4 x x 2 239.0 x + 272.0 = 21.2x2 239x + 272.0 Msd = 211.6kNm 21.2 x22 239 x2 + 272.0 = 211.6 x2 = 0.26m Msd = 109.0kNm 21.2 x42 239 x4 + 272.0 = 109.0 x4 = 0.73m Msd = 0 21.2 x52 239 x5 + 272.0 = 0 x5 = 1.28 m 272.0x1211.6 211.6109.0 109.0x2x4 x3sc=12.0 kN/mcp=28.3 kN/m60.4 kN/mxMsd(x)181.1 kN272 kNmMsd(x)239.0 kNx272 kNm42.4 kN/mBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 774) Clculo dos comprimentos para dispensa da armadura Dispensa de 416 +212 416 x1 = x1 + aL + Lb.net = 0.35 + 0.62 + 0.43 = 1.40 m x2 = x2 + aL + Lb.net = 0.26 + 0.62 + 0.43 = 1.31 m fbd = 2.25 1 2 fctd = 2.25 0.7 1.0 1.8 1.5 = 1.89 MPa sd= 8.048.04+2.26 348 =271.6MPalbd = 4 sdfbd =0.0124 271.61.89 = 0.43m Dispensa de 416 216 x3 = x3 + aL + Lb.net = 1.10 + 0.62 + 0.36 = 2.08 m x4 = x4 + aL + Lb.net = 0.73 + 0.62 + 0.36 = 1.71 m x5 = 1.28 + 0.62 + 0.22 = 2.12m sd = 2 4 348 = 174 MPalbd = 4 sd fbd = 0.016 4 174 1.89 = 0.37m Lb,min = 10 = 0.16 m 2.8. ARMADURA DE LIGAO BANZO-ALMA Na figura seguinte ilustra-se a degradao das tenses de compresso da alma, para o banzo de uma viga em T. onde, fcrepresenta fora distribuda nas bielas comprimidas da alma fcrepresenta a fora distribuda nas bielas comprimidas do banzo Fc e Fc representam as resultantes das foras distribudas nessas bielas z cotg 1z cotg 1z12fcFcfc'Fc'Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 78Em planta, F'c = Fc 2 cos 1 1 cos 2

FT = F'c sen 2 = Fc2 cos 1 sen 2cos 2 = = Fc 2 tg 2 cos 1

Asf = FTfsyd Asfs = FTz cotg 1 fyd = Fc sen 12 z cotg 2 fyd Como Fc = V sen 1 Asf s = V 2 z cotg 2 fyd 1=2Aarmaduradeligaobanzo-almametadedaarmaduradeesforo transverso \||Asf s = 1 2 \||Asw s Nota:Numavigapertencenteaumalajevigada,aarmaduradalajenormalmente suficiente para absorver as foras de traco na ligao banzo-alma. 2.9. ARMADURA DE SUSPENSO 2.9.1. Apoios indirectos Avigatransmiteascargasviga atravs das bielas comprimidas. A carga transmitida viga principalter de sertransmitidaparaafacesuperioratravs de estribos de suspensao \||As = Vfyd Nota: A armadura calculada deve ser adicionada armadura de esforo transverso. A distribuio dos estribos de suspenso deve ser feita da seguinte forma: z cotg 1Fc cos 12Fc'FTP21h2h12 1VBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 79 2.9.2. Cargas suspensas A carga tem que ser transmitida para a face superior da viga atravs de uma armadura desuspenso.Aarmaduradimensionadaparaabsorveratotalidadedacarga suspensa: As Fs fyd , Fs carga suspensa h1/212 h1/3 h2/2 h2/3Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 80EXERCCIO 2.6 Considere a estrutura da figura seguinte: Materiais: C20/25, A400 Aces: pp + revest. = 20.0 kN/m sobrecarga= 40.0 kN/m Coeficientes de majorao: G = Q = 1.5 a)ParaaestruturajanalisadanoExerccio2.3,verifiqueaseguranaaoEstado LimiteltimodeEsforoTransversoepormenorizeasarmadurastransversaisna seco. S1 S210.00 3.50cp3.50sc1.001.000.20 0.200.15Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 81RESOLUO DO EXERCCIO 2.6 ALNEA A) 1. Verificao da segurana ao E.L.U. de Esforo Transverso i) Determinao de Vsd psd = 1.5 (20 + 40) = 90kN/m = 30 z cotg = 0.9 0.95 cotg 30 = 1.48m Vsd, dir (z cotg ) = 450 1.48 90 = 316.8.5kN Vsd, esq (z cotg )= 315 1.48 90 = 181.8kN ii) Verificao das compresses na alma c = Vsd (z cotg )zbwsen cos = 316.80.90.950.40sen 30cos 30 = 2139.2kN/m2 c 0.6

(1 - fck 250 fcd = 0.6

(1 - 20 250 13.3103 = 7342 kN/m2

iii) Clculo da armadura transversal junto aos apoios Asw s = Vsd (z cotg ) z fyd cotg \||Asw s dir = 316.8 1.48 348103 104 = 6.15cm2/m \||Asw s esq = 181.8 1.48 348103 104 = 3.53cm2/m 2. Clculo da armadura de suspenso Nota: Admite-se que a sobrecarga est a actuar no banzo inferior 450.0(-)DET[kN](-) (+)(+)315.0315.0450.0Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 82cp* = cp ppalmas = 20 (0.201.02) 25 = 10kN/m Fora de suspenso: Fs = 1.5 (10 + 40) = 75.0kN/m \||As s suspenso = 75.0 348103 104 = 2.16cm2/m(a adicionar armadura de esforo transverso) \||As s dir TOT = \||Asw s dir + \||As s susp = 6.15 + 2.16 = 8.31cm2/m \||As s esqTOT = \||Asw s esq + \||As s susp = 3.53 + 2.16 = 5.69m 3. Clculo da armadura transversal mnima w,min = 0.08fck fyk = 0.0820 400 = 0.0009 w,min=0.0009 \||Aswsmin 1bw=0.0009 \||Aswsmin = 0.00090.40104=3.6cm2/m 4. Clculo da armadura de ligao banzo-alma Asf s = Vsd 2 z cotg 2 fsyd 1 = 2 Asf s = 1 2 \||Asw s \||As s dir = 6.15 2 = 3.08cm2/m ;\||As s esq = 3.53 2 = 1.77cm2/m5. Armadura transversal de flexo no banzo cp* + sc = 10 + 40 = 50 kN/m psd = 1.5 50 / 0.6 = 125.0 kN/m2 cp*+sc0.80cp*+scBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 83pL212 = 1250.80212 = 6.7kN/m =Msdb d2 fcd=6.71.00.12213.3103 = 0.035=0.037 As= b d fcdfyd=0.0371.00.12 13.3348104=1.70cm2/m (AsTOT/ramo)dir = \||3.08 2 + 1.70 = 3.24cm2/m (AsTOT/ramo)esq = \||1.77 2 + 1.70 = 2.59cm2/m 2/12pLpL/2420.80Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 842.10. SECES COM LARGURA VARIVEL Nos casos em que as seces apresentam largura varivel, bw considera-se como a menor largura numa zona compreendida entre a armadura traccionada e da altura til Nocasodesecescirculares,poderconsiderar-seumasecorectangular equivalente, com as seguintes caractersticas: de = 0.45 D + 0.64 \||d - D2 (expresso aferida experimentalmente) 2.11. ARMADURA INCLINADA Noscasosemqueaarmaduradeesforotransversoforconstitudaporarmadura inclinada (e no vertical), h que ter em conta esse facto no modelo de trelia, j que a armadurasedestinaaabsorverastensesdetracorepresentadaspelostirantes, conforme se ilustra na figura abaixo d3/4 dbwbwbe0.9DDAsLAsL/2detirantesbielas comprimidasz cotg z cotg zz cotg + z cotg FsVBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 85 Asw fyd Vsd sen Asw Vsd sen

1 fyd Asw s = Vsd sen

1 z (cotg + cotg ) 1 fyd Asw s = Vsd z (cotg + cotg ) sen fyd Fc = Fs cos = V cotg Barras horizontais: FT = Fs cos + Fc cos = Vsdsen cos + Vsdsen cos FT = Vsd (cotg + cotg ) 2.12. CARGAS CONCENTRADAS JUNTO AO APOIO Ascargas queactuamjuntoaoapoiopodemsertransmitidasdirectamentepara este, atravs de uma biela inclinada (a < z/2) As cargas afastadas do apoio so transmitidas pelo mecanismo de trelia (a > 2z) Numa zona intermdia, parte da carga transmitida directamente para o apoio e a outra parte transmitida pelo mecanismo de trelia. 2.12.1. Regras de dimensionamento a < z/2 Acargatransmitidadirectamenteparaoapoio(nonecessrioacrscimode armadura transversal). FFs VsdFsFcFtaPPaBeto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 86a > 2 zA carga totalmente transmitida pelo mecanismo de trelia (considerar a totalidade do esforo transverso relativo carga concentrada) z/2 < a < 2 z Para o dimensionamento da armadura transversal apenas deve ser considerada uma parcela da carga: P1 = \||2a z - 1 1 3 P Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 87EXERCCIO 2.7 Considere a estrutura seguinte. Calcule as armaduras transversais necessrias, considerando apenas a actuao da carga Psd = 300kN. 0.40 0.40 0.405.000.65P0.40Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 88RESOLUO DO EXERCCIO 2.7 Neste caso, z = 0.90.60 = 0.54m e a = 0.8m z2 = 0.27m < a < 2 z = 1.08m, peloque,partedacargatransmitidadirectamenteparaoapoioeaoutraparte transmitida pelo mecanismo de trelia. 1.Determinaodaparceladacargaconsideradaparaodimensionamentoda armadura transversal MA=0 -3000.8 + RB5.0 = 0 RB = 48kN RA = 300 48 252kN P1.Sd = \||2 0.8 0.54 - 1 1 3 Psd = 0.65 Psd 2. Clculo da armadura transversal As 0.65252348103 104 = 4.7cm2 As s = 4.7 0.40 = 11.75cm2/m 11.75 2 = 5.88cm2/m 3. Clculo da armadura longitudinal Rsd,1 = 0.65 252 = 163.8 kN Rsd,2 = 0.35 252 = 88.2 kN Fsd = Rsd,1 cotg 1 + Rsd,2 cotg 2 = = 163.8 0.40.54 + 88.2 0.80.54 = 252kN ASL = 252 348103 104 = 7.24cm2 (+)DEV[kN]300 kNRA=252 kN4.20RB=48 kN0.80A B(-)2524812FsdRsd,1 Rsd,2Beto Armado e Pr-Esforado I MDULO 2 Verificao da segurana aos estados limite ltimos de elementos com esforoaxial desprezvel (vigas) 892.13. FORAS DE DESVIO Quandoumvarodeumaarmaduratraccionadapossuiumpontoanguloso,gera-se uma fora de desvio nesse ponto, tal como ilustrado na figura seguinte. Nestes casos, h que ter em ateno a posio do varo e sentido da fora de desvio em relao face exterior do beto pois, caso a fora tenha o sentido do interior para oexteriordapea,poderocorrerumaroturalocaldacamadadebetode recobrimento. (a) Situao em que no ocorre rotura (b) Situao em que poder ocorrer rotura 2.13.1. Disposio da armadura ordinria por forma a evitar o destacamento do beto devido s foras de desvio i) >15 ii)