afonseca@ifi.unicamp.br Dinâmica de corpos rígidosafonseca/Aula-DinamicaCorposRigidos.pdf · F...
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Introdução
2
Definiçãodecorporígido:
“conjunto de partículas cujas distâncias relativas são restritas de modo a permanecerem absolutamente fixas.”
DefiniçõesdoMarion:
Sistemafixo:odolaboratório
Sistemadocorpo:aquelequesemove(gira)comocorporígido
Movimentoplanarsimples
3
ExemplosdoMarion: EquaçãodeNewton(2ªlei)paraoCM:
EquaçãoparaotorquecomrelaçãoaumeixoquepassapeloCM:
OndeIéomomentodeinérciadocilindroevaleMR2/2
Tensordeinércia
10
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Comoocorpoérígido,apar]culasemovecomsistemadecoordenadasdocorpo(quegira).
Tensordeinércia
11
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Comoaenergiaciné_cadaα –ésimapar]culaé
Tensordeinércia
12
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Veωnãodependemdeα...
=0nosistemadocorpoporque
Tensordeinércia
14
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Ttrans e Trot designam as energias ciné_cas de TRANSLAÇÃO eROTAÇÃO,respec_vamente.
Tensordeinércia
15
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Usandoaiden_dadevetorial:
Mas, ω=(ω1,ω2,ω3) e rα=(xα,1,xα,2,xα,3)
Tensordeinércia
17
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Definição:elementoijdotensordeinércia{I}
Tensordeinércia
18
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Otensordeinércia{I}éescritoassim:
Tensordeinércia
19
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Serα=(xα,yα,zα), otensordeinércia{I}podeserrescritoassim:
Tensordeinércia
20
Corporígidocompostopornpar]culasdemassasmα,α=1,2,3,...,n.
Elementos I11, I22 e I33 são osmomentos de inércia em torno doseixosx1,x2ex3.
Onega_vodoselementos foradadiagonalsãochamadosprodutosdeinércia.
Momentoangular
21
ComrelaçãoaumpontofixoOnosistemadecoordenadasdocorpo,omomentoangularédadopor:
AescolhadopontoOdependedoproblema,masháduasopções:
Se houver um ou mais pontos do corpo que permaneçam fixos (nosistema de coordenadas fixo), O deve ser escolhido coincidir comalgumdessespontos.
Senenhumpontodocorpoes_verfixo,Odeveserescolhidocoincidircomocentrodemassa.
Momentoangular
22
ComrelaçãoaumpontofixoOnosistemadecoordenadasdocorpo,omomentoangularédadopor:
Emrelaçãoaosistemadecoordenadasdocorpo:
Momentoangular
23
Usandoaseguinteiden_dadevetorial:
Omomentoangularficadadopor:
Seguindoosmesmospassosfeitosparaaenergiaciné_caderotação:
Momentoangular
26
Outroresultadoapar_rdaequaçãoacima(11.20a)podeserob_domul_plicandoLipor(1/2)ωiesomandosobrei:
ou
Eixosprincipaisdeinércia
28
Determinaremosquaisoseixosdeumcorpoparaoqualosprodutosdeinércia(termosforadadiagonalde{I})seanulam.Esteseixossãochamadosde:eixosprincipaisdeinércia(oueixosdeinérciaprincipais).
Segundoaequação:
seumcorpogiraemtornodeumeixoprincipal,entãoL//ω.Daí,
Eixosprincipaisdeinércia
29
Oladodireitovemdaequaçãogeral: Oladoesquerdovemda
consideraçãodoseixosprincipaisdeinércia:
Eixosprincipaisdeinércia
30
Escreveasequaçõesnaformadeequaçõesdeauto-valores:
Acondiçãoparaexis_rsoluçãonão-trivialé:
Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes
31
Paraaenergiaciné_caserseparadaemdoistermos:TRANSLAÇÃOeROTAÇÃO,precisamosescolherumsistemadecoordenadasdocorpocomorigemnopontodeCM.
Xi:outrosistemadecoorde-nadas,tambémfixonocor-po,e//aoxi;Q:origemdesseoutrosiste-madecoordenadas;O:CentrodeMassa;
Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes
32
TensordeinércianoOUTROsistemadecoordenadas:
Deverdecasa!Mostreque:
Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes
33
Ou seja, a equação abaixo permite o cálculo dos elementos Iij dotensorde inérciadesejado(comorigemnoCM)umavezconhecidootensordeinércianoOUTROsiste-madecoordenadas.
EsseéochamadoTeoremadoseixosparalelosdeSteiner.
Momentosdeinérciaemsistemasdecoordenadasdiferentes
34
Exemplo: I11édadopor:
éadiferençaentreJ11eamassadocorpovezesadistânciaentreoseixosx1eX1.
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
48
Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)
EscolhemosângulosdeEulercomovariáveisgeneralizadas.Aeq.deLagrangeparaψ:
Comoψdependedeωievice-versa(videeq.11.102,slideanterior):
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
49
Eq.11.102,slideanterior,lembrando:
Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
50
Resultado:
Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
51
Resultado:
Primeiro:movimentolivre,istoé,semaçãodeforças(energiapotencialU=0eaLagrangiana=TROTACIONAL)
AlertadoMarion:aseqs.paraω2eω3nãosãoaseqs.deLagrangeparaθeφ!!!
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
52
Segundo:movimentonumcampodeforça.Começapelotorque.
Daan_gaeq.10.12querelacionaaderivadanotempodevetoresvistonoref.fixoeref.quegira:
EquaçõesdeEulerparaocorporígido
53
Acomponentedaeq.acimaaolongodoeixox3(eixoprincipaldocorpo):
Jáqueescolhemososeixoscomooseixosprincipaisdocorpo:
Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico
55
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,aseqs.deEulerlivresdeforça:
setornam:
Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico
56
Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.
Considerarcasoondeovetorωnãoseencontraaolongodeumeixoprincipal.
Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico
57
Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.
Asduasprimeirasequaçõespodemserescritasassim:
Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico
58
Comomov.livredeforçaétalqueoCMestáemMRUourepouso,vamosconsideraremrepousoelocalizadonaorigemdecoordenadasFIXA.
Movimentolivredeforçadeumpiãosimétrico
59
Daífica:
Equaçõesacopladas.Deverdecasa:veradeduçãodassoluções!
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
61
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Deverdecasa:useaeq.abaixo,paramostrar:
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
62
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
ALagrangianaédada,então,por:
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
63
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Podemosresolverasequaçõesacimaparaasderivadasdeφeψemtermosdeθ.
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
64
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
66
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Tudoissopodeserrescritocomo(verdeduçãoemcasa):
OndeV(θ)éumpotencialefei_vo:
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
67
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Solução:
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
68
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
69
Piãosimétrico=corporígidocomI1=I2≠I3,girandonumcampogravitacional
Movimentodeumpiãosimétricocomumpontofixo
71
Seω3(ouPψ)égrande:
SegundooMarion,asolução(-)équeénormalmenteobservada.