A UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RESOLUÇÃO ......aprendizagem de números negativos na...

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA

JOÃO DOS SANTOS

A UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS DE ESTRUTURAS ADITIVAS NAS SÉRIES INICIAIS

DO ENSINO FUNDAMENTAL

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

SÃO PAULO

2013

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA

JOÃO DOS SANTOS

A UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS DE ESTRUTURAS ADITIVAS NAS SÉRIES INICIAIS

DO ENSINO FUNDAMENTAL

SÃO PAULO

2013

Dissertação apresentada à Banca Examinadora do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, como

exigência parcial para obtenção do Titulo de Mestre em

Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima e coorientação da Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos.

Santos, João dos.

S235u A utilização de números inteiros na resolução de problemas de estruturas aditivas nas séries iniciais do Ensino Fundamental. / João dos Santos - São Paulo: Universidade Bandeirante Anhanguera, 2013. xiv, 122 f.; 30 cm.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Bandeirante

Anhanguera, 2013. Orientadores: Profª. Drª. Rosana Nogueira de Lima Co-orientador: Profª. Drª. Tânia Maria Mendonça Campos.

Referências bibliográficas: f. 97-100 1. Números inteiros relativos; 2. Números negativos; 3. Observatório da educação; 4. Educação matemática; 5. Anos iniciais do ensino fundamental; I. Lima, Rosana Nogueira de. II. Universidade Bandeirante Anhanguera. III. Título.

CDD 512.7

Banca Examinadora

_______________________________________

Orientador: Profª Drª Rosana Nogueira de Lima

_______________________________________

Profª Drª Verônica Gitirana

_______________________________________

Profª Drª Maria Elisa Esteves Lopes Galvão

Dedicatória

Dedico este trabalho ao meu amado irmão

Zézito (em memória) a quem devo minha

formação pessoal e profissional.

Agradecimentos

Aos Professores e funcionários do Programa de Pós Graduação da Universidade

Bandeirante Anhanguera, em especial à Professora Doutora Tânia Maria Mendonça

Campos, coordenadora do Programa e coorientadora nessa pesquisa, pela paciência e

carinho, à Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima orientadora desse trabalho e

companheira de pesquisa, pelas importantes intervenções nessa caminhada.

À Professora Terezinha Nunes pela simpatia e gentileza em partilhar conosco

seu trabalho na Universidade de Oxford.

À Professora Doutora Verônica Yumi Kataoka, pelo apoio, organização e

condução da logística para que essa pesquisa se realizasse.

À colega de pesquisa Renata Rivas Tonouti, que trabalhou a Aleatoriedade, pelo

apoio e contribuição no preparo e na organização dos materiais e dos instrumentos de

pesquisa, e ao estagiário Muller Rodrigo pela ajuda na aplicação das atividades.

À Professora Doutora Angélica Fontoura e ao Professor Doutor Ruy Pietropaolo,

por bom tempo colegas da Secretaria da Educação, pelo incentivo e apoio nessa

empreitada.

Aos Amigos e Amigas da Equipe Curricular de Matemática da Secretaria de

Estado da Educação de São Paulo pelas sugestões, críticas e comentários que muito

contribuíram na elaboração deste trabalho.

À escola, Diretora e Vice Diretora, Coordenadores e Funcionários, Professores e

Alunos pela acolhida e confiança que deram vida a esse trabalho de pesquisa.

À CAPES pela concessão da bolsa de estudo que tornou possível esta realização

por meio do projeto no. 99/2010 “Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em

Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de

professores dos anos iniciais do ensino fundamental”, desenvolvido dentro do Programa

Observatório da Educação.

Aos meus filhos João Henrique, Mauro Henrique e a esposa Fátima pela

compreensão e incentivo.

Aos colegas pesquisadores que participaram do Projeto, pela dedicação e

amizade.

Enfim, a todos que de alguma forma tornaram realidade essa proposta, meu

caloroso abraço e um carinhoso sentimento de gratidão.

Resumo Este trabalho tem como propósito investigar a possibilidade de se iniciar os estudos

das noções de números relativos com alunos de oito a dez anos de idade por meio

de atividades lúdicas e problemas matemáticos e verificar se esse conhecimento

pode auxiliar o aluno na construção do raciocínio probabilístico. A pesquisa foi

desenvolvida numa escola estadual, localizada na cidade de São Paulo, que atende

apenas ao segmento dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Para a realização

da mesma, contou-se com a participação de 87 alunos e utilizou-se instrumentos de

coleta de dados produzidos por Nunes e colaboradores para o Projeto Children’s

Understanding of Probability and Risk, na Universidade de Oxford, que envolvem os

números inteiros relativos, as concepções a respeito dos processos de ensino e de

aprendizagem de números negativos na metodologia de resolução de problemas

com fundamento na teoria do campo conceitual aditivo, usando jogos e situações

problemas em contextos significativos aos alunos. A investigação fundamentou-se

na Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1982). Ressalta-se que,

durante as intervenções, observou-se que os alunos se apropriaram das noções e

representações de números relativos. Os resultados mostram esta capacidade para

o estudo das referidas noções por meio de atividades que lhes são significativas.

Sendo assim, para a população investigada, considera-se viável a possibilidade de

iniciar o estudo das noções sobre o conceito de números inteiros a partir dos Anos

Iniciais do Ensino Fundamental. No entanto, não sugerem a transferência para

auxiliar esses alunos na construção do raciocínio probabilístico, fato que implica à

continuidade do estudo.

Palavras-chave: Números Inteiros Relativos; Números Negativos; Observatório da

Educação; Educação Matemática; Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Abstract

This paper aims to investigate the possibility of starting the study of notions of

relative numbers with students from eight to ten years of age through play activities

and mathematical problems and verify that this knowledge may help the student in

the construction of probabilistic reasoning. The research was conducted at a state

school located in the city of São Paulo, which caters only to the segment in the first

years of elementary school. To perform the same, counted on the participation of 87

students and used instruments to collect data produced by Nunes and collaborators

for Project Children's Understanding of Probability and Risk , University of Oxford ,

involving integers the conceptions of the teaching and learning of negative numbers

in the methodology of problem solving on the basis of the conceptual field of additive

theory , using games and problem situations in meaningful contexts students . The

research was based on the Conceptual Fields Theory Gerard Vergnaud (1982). It is

noteworthy that, during interventions, it was observed that students appropriated the

notions and representations of figures. The results show that capacity for the study

of these concepts through activities that are meaningful to them. Thus, for the study

population, it is considered feasible the possibility of starting the study of notions

about the concept of integers from the first years of elementary school. However, do

not suggest a transfer to assist these students in the construction of probabilistic

reasoning, a fact which implies the continuity of the study.

Keywords: Integer Relating; Negative Numbers; Observatory of Education; Math

Education Years of primary school.

Ilustrações Lista de Figuras Página

Figura 1 Quadro utilizado na resolução dos problemas 23

Figura 2 Tripé da formação de conceitos 33

Figuras 3 e 4

Esquema de Gerard Vergnaud para problemas mais complexos 48

Figura 5 Esquema de Gerard Vergnaud para problemas mais complexos 49

Figura 6 Problema que investiga a Medida de impulsividade dos alunos 59

Figura 7 Problema utilizado na intervenção 1 62

Figura 8 Ilustra o enunciado do problema das fichas 65

Figura 9 Cartas do Jogo “Soletrando com Números” 66

Figura 10 Pergunta do jogo detetive 69

Figura 11 Laboratório de Ciências - cenário do jogo Fuja 72

Figura 12 Problema das alturas 73

Figura 13 Ilustração do Problema das alturas 74

Figura 14 Protocolo do aluno (208) referente ao Pré-Teste 77

Figura 15 Protocolo do aluno (125) 85

Figura 16 Protocolo do aluno (121) 89

Figura 17 Protocolo do aluno (208) referente ao Pós-Teste 1 90



Lista de Quadros Página

Quadro 1 Distribuição dos grupos de alunos por significado e

representação simbólica 20

Quadro 2 Distribuição dos alunos por significado e forma de

representação explícita 22

Quadro 3 Exemplo de cálculo relacional 34

Quadro 4 Simbologia utilizada por Vergnaud para cálculo relacional 35

Quadro 5 Diagrama - Composição 36

Quadro 6 Diagrama – Transformação 36

Quadro 7 Diagrama – Comparação 37

Quadro 8 Protótipo 1 - Composição de duas medidas 38

Quadro 9 Protótipo 2 – Transformação de duas medidas 38

Quadro 10 Protótipo 3 – Transformação de duas medidas 39

Quadro 11 Problema 1 - 1ª extensão de problemas de combinação 40

Quadro 12 1ª Extensão dos Problemas de Transformação 41

Quadro 13 1ª Extensão dos Problemas de Transformação 41

Quadro 14 2ª Extensão – Problemas de Comparação 42

Quadro 15 2ª Extensão – Problemas de Comparação 43

Quadro 16 Problema 1 - 3ª Extensão – Problemas de Comparação 43

Quadro 17 Problema 2 - 3ª Extensão – Problemas de Comparação 44

Quadro 18 Problema 1 – 4ª Extensão – Problemas de Transformação 45

Quadro 19 Problema 2 – 4ª Extensão – Problemas de Transformação 45

Quadro 20 Problema 1 – 4ª Extensão – Problemas de Comparação 46

Quadro 21 Problema 2 – 4ª Extensão – Problemas de Comparação 47

Quadro 22 Instrumentos de coleta de dados 54

Quadro 23 Quantidade de questões em cada teste 56

Quadro 24 jogos do fliperama propostos nos pré e pós-testes 58

Quadro 25 Tipos de Atividades da Intervenção 1 61

Quadro 26 Mostra as Etapas que compõem o jogo Gremlin 64

Quadro 27 Atividades da intervenção 2 68

Quadro 28 Quadros de registros das ações do Jogo Detetive 70

Quadro 29 Jogo “Onde está o segundo cofre?” 71

Quadro 30 Para registros dos Resultados do Jogo Fuja 73

Quadro 31 Resultados Jogo Gremlin 80

Lista de Tabelas Página

Tabela 1 Média de acertos por grupos de alunos em problemas

diretos e inversos 21

Tabela 2 Desempenho médio de acertos dentre os 12 problemas

trabalhados 22

Tabela 3 Média de acertos em problemas diretos e inversos nos

testes 24

Tabela 4 Porcentagens do Pré-Teste 76

Tabela 5 Desempenho dos alunos nas atividades da intervenção 1

Grupo dos Números Inteiros - GNI 84

Tabela 6 Desempenho dos alunos nas atividades da Intervenção 2

Grupo dos Números Inteiros – GNI 88

Tabela 7 Comparativo desempenho GNI e GC 89

Sumário

INTRODUÇÃO 15

1. REVISÃO DE LITERATURA 18

2. A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS 29

2.1 Esquema 30

2.2 Invariantes Operatórios 32

2.3 Campo Conceitual Aditivo 34

3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 51

3.1 Sujeitos da Pesquisa 52

3.2 Instrumentos 53

3.3.1 Pré-Teste 56

3.4 As Intervenções 59

3.4.1 Intervenção 1 60

3.4.2 Intervenção 2 67

3.5 Pós-testes 74

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS 76

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 93

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 97

APÊNDICES 101

Apêndice A: 101

Apêndice B: 102

Apêndice C: 103

ANEXOS 104

Anexo 1: 104

Anexo 2: 105

Anexo 3: 108

15

Introdução

O presente trabalho é parte da linha de pesquisa “Ensino e Aprendizagem de

Matemática e suas Inovações” do Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera, e está inserido no projeto

“Educação Continuada de Professores de Matemática do Ensino Fundamental e

Médio: Constituição de um Núcleo de Estudo e Investigação de Processos

Formativos” do Programa Observatório da Educação da Coordenação de

Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), financiadora do projeto. O

objetivo desta pesquisa é investigar a possibilidade de se iniciar o estudo das

noções de números relativos com alunos de oito a dez anos de idade por meio de

atividades lúdicas e resolução de problemas matemáticos, e verificar se essas

noções auxiliam o aluno na construção do raciocínio probabilístico. Para tanto,

utilizamos instrumentos de coleta de dados produzidos a partir de contextos

significativos e lúdicos, que são parte do projeto “Children’s understanding of

probability and risk” da Universidade de Oxford (Inglaterra) e coordenado pela Profa.

Dra

. Terezinha Nunes.

Ressaltamos a importância dos números positivos e negativos em nossas

vidas, visto que, tanto são necessários ao longo da escolaridade das ciências

exatas, quanto pelos aspectos do cotidiano que podem ser legitimados com o

conceito destes números, como, por exemplo, o uso deles para representar débitos

bancários, temperaturas abaixo de zero, alturas abaixo do nível do mar e outras

situações. Nesse sentido, a proposta desta pesquisa, articulada com as demais

variáveis que intervêm nos processos de ensino e de aprendizagem, pode trazer

contribuições significativas para a matemática escolar.

Fundamentados nessa possibilidade, iniciamos uma pesquisa experimental,

no momento em que 87 alunos de três turmas, com idade de oito e nove anos,

cursavam o 4º ano do Ensino Fundamental, e concluímos a coleta de dados quando

estes alunos, já com nove e dez anos de idade, estavam no 5º ano deste segmento

de ensino da rede pública estadual na cidade de São Paulo.

16

Destes, foram selecionados aleatoriamente, quarenta e nove alunos para

permanecerem nas salas de aula com as atividades diárias previstas pelas

respectivas professoras, e outros quarenta e oito alunos que participariam em outro

ambiente, de estudos experimentais, metade deles fariam atividades sobre

probabilidade e 24 alunos sobre números inteiros. Estes 24 alunos, sendo oito de

cada uma das três turmas com as quais trabalhamos, compuseram o Grupo dos

Números Inteiros, com o objetivo de estudar e discutir, nas sessões de intervenção,

a noção de números inteiros a partir de uma sequência de atividades lúdicas e de

problemas matemáticos, elaborados pelos pesquisadores do projeto “Children’s

understanding of probability and risk”.

Assim, para desenvolver este estudo, nos guiamos pelas seguintes questões

de pesquisa:

É possível, com atividades lúdicas e problemas matemáticos, ensinar

números negativos, suas representações e seus significados a alunos

de 8 a 10 anos de idade?

O conhecimento dos Números Inteiros auxilia o aluno na construção do

pensamento probabilístico?

A fim de atender ao objetivo deste estudo e responder as questões

apresentadas, realizamos sessões de pré e pós-testes com todos os alunos

participantes da pesquisa, e sessões de intervenção apenas com o Grupo dos

Números Inteiros.

Apoiamos-nos no referencial teórico dos Campos Conceituais de Gérard

Vergnaud e em pesquisas anteriores que trataram da problemática dos números

inteiros como Borba (2004), Passoni (2002) e Todesco (2006) nos permitindo

estruturar este trabalho em quatro capítulos, seguidos das Considerações Finais.

No Capítulo 1, apresentamos a revisão de literatura realizada, no qual

dissertamos sobre sondar e intervir em diferentes aspectos do conhecimento de

conceitos referentes aos números negativos e à possibilidade de se iniciar este

conteúdo nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

17

No Capítulo 2, apresentamos nosso referencial teórico, cujo embasamento

dá-se na Teoria dos Campos Conceituais das Estruturas Aditivas propostas por

Gérard Vergnaud (1986).

No Capítulo 3, descrevemos os procedimentos metodológicos e as atividades

reaplicadas do projeto “Children’s understanding of probability and risk”.

No Capítulo 4, apresentamos a análise das atividades realizadas e

comparadas com a revisão de literatura e com a fundamentação teórica.

Finalmente, nas Considerações Finais, tecemos comentários sobre os

principais resultados encontrados, retomamos e respondemos as questões de

pesquisa e, propomos sugestões para futuros estudos.

Por fim, esperamos que este trabalho, juntamente com os estudos realizados

anteriormente, possa contribuir com o ensino e a aprendizagem de números

negativos nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

18

1. Revisão de Literatura

Neste capítulo, apresentamos algumas pesquisas realizadas sob a ótica da

proposta de Vergnaud (1986, 1997), para o qual todo conceito é definido em três

dimensões: o conjunto de situações que dão significado ao conceito; as

propriedades de conceitos e teoremas em ação, invariantes em todas as situações;

e os sistemas de sinais utilizados para representar simbolicamente os conceitos,

inclusive na linguagem verbal.

Destacamos as pesquisas de Borba (2004), que buscou fundamentos teórico

e metodológico que permitissem sondar e intervir em diferentes aspectos do

conhecimento de conceitos, mais especificamente o de números inteiros; Passoni

(2002), que estudou a possibilidade de se ensinar estudantes de nove anos a

trabalhar com números inteiros e com noções de (pré-) álgebra; Todesco (2006),

que investigou a possibilidade de se introduzir números inteiros para estudantes na

terceira série do Ensino Fundamental, entre 8 e 9 anos; e Nunes et al. (2005), que

também constatou que os alunos dessa faixa etária são capazes de realizar

atividades que incluam a utilização de números inteiros.

Borba (2004) explorou, em sua pesquisa, a resolução de problemas de

diferentes significados (medidas ou relações), que envolve diferentes invariantes (as

propriedades de problemas diretos e as de problemas inversos) e as diferentes

formas de representação simbólica (implícita como representação oral, ou explícita,

como representação escrita, ou ainda as que utilizam material manipulativo). A

pesquisa foi realizada com alunos de sete e oito anos de idade, em Londres, e

destaca as seguintes questões de pesquisa:

Como os diferentes significados dados aos números relativos, às propriedades invariantes deste campo numérico e às representações utilizadas na simbolização de números relativos e de operações com estes números influenciam a compreensão desse conceito antes de sua introdução formal na escola? Quais significados dados aos números relativos são de mais fácil compreensão antes do ensino formal? Crianças de sete e oito anos são capazes de gerar espontaneamente ou de aprender a gerar representações explícitas de números relativos? Antes do ensino formal é possível compreender-se relações diretas e inversas com números relativos? (BORBA, 2004, p.3)

19

Para desenvolver a pesquisa, a autora fundamentou-se na Teoria dos

Campos Conceituais de Vergnaud (1982). Em relação à compreensão do conceito

de números inteiros relativos, ela analisa a contradição dos estudos de Davidson

(1987, apud Borba, 2004) e Davis (1990, apud Borba, 2004), os quais apontam que

crianças a partir dos quatro anos de idade são capazes de conceber a existência de

um número negativo numa dada situação-problema, contrapondo os estudos de

Gallardo e Rojano (1992, apud Borba, 2004) e Küchemann (1981, apud Borba,

2004), que observaram estudantes de 13, 14 e 15 anos ainda apresentando muitas

dificuldades ao resolver problemas aditivos quando estes envolvem números

inteiros; e ressalta que a compreensão de um conceito não é determinada apenas

por uma faixa etária, mas deve-se observar o conjunto que influenciou o

desenvolvimento conceitual.

Para falar sobre o papel de significados na compreensão do conceito de

números inteiros, a autora se fundamentou em Murray (1985, apud Borba, 2004),

Davidson (1987, apud Borba, 2004) e Bell (1980, apud Borba, 2004). Esses estudos

indicam que compreender o número inteiro enquanto medida é mais fácil do que

entendê-lo enquanto relação.

Ao se reportar sobre o papel dos invariantes na compreensão do conceito de

números inteiros, a autora menciona Marthe (1979, apud Borba, 2004), que

observou, em uma pesquisa, que os problemas inversos com números inteiros

relativos envolvem uma complexa operação mental, e não são facilmente resolvidos

por estudantes de até 15 anos de idade.

Em relação às representações simbólicas na compreensão dos conceitos,

Borba (2004) baseia-se em estudos de Carraher, Schliemann e Carraher (1988,

apud Borba, 2004), que testaram a habilidade dos alunos em resolver problemas

oralmente e por escrito, concluindo que crianças e adultos têm mais habilidade em

resolver problemas oralmente, e que o sucesso não é o mesmo quando é solicitado

que o problema seja resolvido por escrito.

Segundo Borba (2004), as pesquisas anteriores comprovam que o

desempenho de alunos em problemas com números inteiros é afetado pelos

significados dados aos números e às operações, pelas propriedades sobre as quais

se relacionam e pelas representações simbólicas. Para verificar este fato, a autora

20

fez três estudos com alunos, bem antes de eles receberem instruções formais sobre

o conceito de números inteiros. No primeiro estudo, uma sondagem inicial, visava

investigar o que os alunos conheciam deste conceito e quais tipos de dificuldades

apresentavam ao resolver problemas com números inteiros. Nos dois estudos que

se seguiram, a autora propôs intervenções buscando superar as dificuldades

detectadas no primeiro estudo.

Assim, o estudo inicial foi proposto por Borba (2002a) para confirmar os

resultados isolados de algumas pesquisas que tiveram como foco os significados de

número positivo e número negativo como medida e como relação, a influência de

invariantes, e ainda aquelas que observaram o quanto a representação simbólica

poderia influenciar a compreensão do conceito de números relativos.

Participaram dessa sondagem 60 alunos de sete e oito anos de idade, os

quais foram aleatoriamente divididos em quatro grupos (G1, G2, G3 e G4) que

resolveram problemas envolvendo os significados de medida e de relação e foram

estimulados a utilizar diferentes formas de representação (oral, escrita ou

manipulativa) e distribuídos conforme o Quadro 1.

Quadro 1: Distribuição dos grupos de alunos por significado e representação

simbólica.

Significado de número

inteiro envolvido nos

problemas

Forma de representação simbólica utilizada

Implícita

(oral)

Explícita

(por escrito ou uso de

manipulativo)

Medida G1 G2

Relação G3 G4

Fonte: BORBA (2009, p.79)

Os problemas eram todos apresentados no contexto de um jogo (pinball) e

envolviam seis problemas diretos e seis problemas inversos, não se exigindo dos

alunos o conhecimento da representação formal ao resolvê-los.

21

Os resultados dessa sondagem confirmam estudos anteriores ao evidenciar

que alunos já tem conhecimento de números negativos antes de iniciar os estudos

deste campo numérico na escola, e que apresentam mais facilidade em resolver

problemas diretos com representação implícita expressada verbalmente. Esses

resultados podem ser vistos na Tabela 1, que apresenta as médias de acertos de

acordo com os seis problemas diretos e os seis problemas inversos que envolveram

os significados dados aos números e as formas de representação utilizadas.

Tabela 1: Média de acertos por grupos de alunos em problemas diretos e

inversos por significado e representação simbólica.

Significado dado

ao número

inteiro relativo

Representação simbólica

utilizada

Problemas

Diretos

Problemas

Inversos

Medidas G1 - Representação implícita 3,80 1,73

G2 - Representação explícita 1,73 1,20

Relações G3 – Representação implícita 2,00 1,33

G4 - Representação explícita 1,20 0,33


Embora os estudos evidenciem que os alunos já têm experiências e contatos

com os números inteiros antes de iniciar seus estudos nas escolas, eles relatam

também, que ainda há muito que ser aprendido. Além disso, deve-se dar maior

atenção aos problemas inversos que envolvem relações e a representação explícita.

O segundo estudo refere-se à primeira intervenção, que envolveu 64 alunos

de sete a oito anos de idade de uma escola inglesa distinta da que foi realizada a

sondagem, e teve como objetivo fazer com que os alunos refletissem sobre o

significado de número enquanto relação, e ajudá-los a compreender como se faz o

registro explícito de números positivos e negativos, e como se opera com essas

representações.

Para alcançar estes objetivos, foi proposto aos alunos que resolvessem 12

questões relacionadas a problemas que resultam em medidas e problemas que

22

resultam em relações, os quais envolviam seis transformações para que eles

sentissem a necessidade de buscar formas diferentes de registro entre números

positivos e negativos. Assim como no primeiro estudo, utilizou-se o contexto do jogo

pinball, e os mesmos problemas que foram utilizados no pré e no pós-teste.

Para desenvolver este estudo e testar diferentes formas de intervir e auxiliar

os alunos em suas dificuldades, os alunos foram divididos em quatro grupos de

intervenção conforme Quadro 2.

Quadro 2: Distribuição dos alunos por significado e forma de representação

explícita.

Significado trabalhado Forma explícita de representação

Uso de cartões coloridos Por escrito

Medida G1 G2

Relação G3 G4


Podemos observar que todos os grupos trabalharam com representação

explícita, dificuldade apresentada na sondagem do primeiro estudo.

Os resultados apresentados no pós-teste foram satisfatórios, os alunos

apresentaram uma média de acertos maior após as intervenções. Todos os grupos

avançaram em suas compreensões de como registrar e operar com números

inteiros relativos. Estes resultados são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2: Desempenho médio de acertos dentre os 12 problemas trabalhados.

Forma de instrução Pré-teste Pós-teste

Significado Representação explícita

Medidas G1 – Cartões coloridos 1,50 6,75

G2 – Por escrito 1,50 6,56

Relações G3 – Cartões coloridos 1,50 9,25

G4 - Por escrito 1,50 9,81


23

Podemos observar que os resultados obtidos pelos alunos que discutiram o

significado de números inteiros como relações mostram que eles avançaram mais

na compreensão do que os alunos que discutiram o significado de medidas. A

pesquisadora destaca, também, que os alunos que refletiram sobre os números

relativos como relações passaram a compreender melhor os problemas de medidas,

e conseguiram melhor desempenho no pós-teste envolvendo os dois significados.

Entretanto, os grupos que discutiram o significado de medidas não conseguiram

progredir no pós-teste em relação à compreensão de problemas de relação.

Assim, concluiu-se que alunos podem compreender a necessidade de

registrar e operar diferentes representações, e que, para o ensino em sala de aula,

não há necessidade de começar sempre a partir do significado de mais fácil

compreensão, visto que os alunos apresentaram, no primeiro estudo, maior

dificuldade em compreender o significado dos problemas de relação, e, após as

intervenções, verificou-se que os alunos são capazes de compreender esse

significado, e, por meio dele, avançar nos significados considerados mais fáceis.

O terceiro e último estudo refere-se também a um estudo de intervenção com

60 alunos distintos do estudo anterior, e traz como objetivo auxiliar os alunos na

compreensão de problemas inversos envolvendo inteiros relativos.

Neste estudo, foram trabalhados 12 problemas envolvendo problemas diretos

e problemas inversos que possuíam apenas duas transformações, por exemplo, (-2)

+ (-6) =? (problema direto); e ? + (+1) = (-8) (problema inverso).

Os alunos que participaram deste estudo foram separados em dois grupos,

um que discutia problemas diretos e outro que discutia problemas inversos. Para

resolvê-los, os alunos utilizavam um quadro como apresentado na Figura 1, e

cartões coloridos para representar os valores conhecidos, com cores diferentes para

positivos e negativos.

1º 2º Escore final

Figura 1: Quadro utilizado na resolução dos problemas. Fonte: BORBA 2009, p.97

24

O objetivo do quadro era que os alunos marcassem os valores conhecidos e

refletissem como poderiam obter os valores desconhecidos do quadro.

Os resultados deste estudo de intervenção estão apresentados na Tabela 3.

Tabela 3: Média de acertos em problemas diretos e inversos nos testes.

Forma de instrução

Pré-teste Pós-teste

Problemas

diretos

Problemas

inversos

Problemas

diretos

Problemas

inversos

G1 – Problemas diretos 1,90 1,30 5,45 1,65

G2 – Problemas inversos 1,90 1,30 3,20 2,45


Observa-se que os alunos que discutiram problemas diretos avançaram

apenas na compreensão deste tipo de problema, enquanto os alunos que discutiram

problemas inversos conseguiram avançar na compreensão de ambos os problemas.

Assim como no segundo estudo, sugere-se que iniciar o ensino por conteúdos mais

complexos pode auxiliar os alunos na compreensão dos conteúdos menos

complexos.

Desta forma, a autora conclui sua pesquisa destacando que, uma vez

detectadas as dificuldades dos alunos com números relativos, é possível auxiliá-los

na compreensão destes, e os resultados obtidos indicam que, para saber com maior

precisão o que os alunos conhecem sobre determinado conceito, é preciso criar

mecanismos de sondagem que determinem o que os alunos já conhecem e o que

precisa ser trabalhado, e que é preciso elaborar cuidadosamente atividades de

mediação que se baseiam em construções próprias por parte dos alunos, para que

eles venham de fato a avançar nos seus conhecimentos.

Assim, os estudos de Borba (2004) são extremamente significativos para o

nosso trabalho, pois enfatizam que os alunos são capazes de compreender

determinados conceitos desde que sejam oferecidos subsídios adequados para que

aprimorem seus conhecimentos.

25

Passoni (2002), em sua pesquisa, também estudou a possibilidade e a

conveniência de ensinar estudantes de nove anos a trabalhar com números inteiros

e com noções de (pré-) álgebra. Para isso, esboçou uma sequência de atividades

tomando como referência os problemas propostos por Vergnaud (1976) na Teoria

dos Campos Conceituais, especificamente na estrutura aditiva dos números inteiros.

Apoiou-se em algumas ideias sistematizadas por Raymond Duval (1995), quanto à

importância da representação na aprendizagem da Matemática, para elaborar as

atividades que foram desenvolvidas em dois momentos: o primeiro, relacionado aos

instrumentos de coleta de dados, incluídos o pré-teste aplicado em março de 2001 e

o pós-teste em agosto do mesmo ano; e o segundo com a aplicação da sequência

de ensino aos 38 estudantes cuja média de idade era de oito anos e nove meses.

Por três meses e aproximadamente 32 horas, a sequência de atividades foi aplicada

pela professora da classe com acompanhamento presencial do pesquisador.

As atividades propostas por Passoni (2002) foram divididas em cinco partes.

A primeira, com a finalidade de introduzir os números inteiros, trabalhou três

conjuntos de atividades de representação por meio de reta vertical para a

numeração dos andares, tomando como base o andar térreo (zero) e os respectivos

andares acima e abaixo do térreo, de 1 até 12 e -1, -2 e -3. Na segunda parte,

utilizou quatro conjuntos de atividades para a introdução do oposto de um número

inteiro por meio de jogos “Dominó Diferente” e “Ocupei Primeiro” para mudança de

registros da linguagem natural para simbólica e vice versa, de expressões do tipo –x

é positivo ou oposto de x; dado os valores, por exemplo, x e –x localizá-los na reta.

Na terceira parte, com três conjuntos de atividades, buscava a introdução da adição

de números inteiros. Na quarta parte deste bloco de atividades, objetivava-se a

introdução de equações e de alguns problemas aditivos, que podem ser resolvidos

com descrições do tipo a + b, com a e b inteiros, enquanto, na quinta parte,

trabalhou com expressões do tipo x - y - x +(-y) para todo x, y inteiros, objetivando a

subtração de números inteiros.

O autor concluiu que os alunos apresentaram resultados progressivos na

resolução de situações-problema que envolviam números inteiros, convicto de que o

procedimento adotado propiciou aos alunos a compreensão do conceito envolvido.

26

Tomando como base a questão da reta numérica apresentada na sequência

utilizada, cujo acerto médio de 8,25% no pré-teste, chegou, após a aplicação da

sequência a 100% de acerto no pós-teste, mostrando, segundo ele, que de fato há

possibilidade de se introduzir na 3ª série, atual 4º ano do Ensino Fundamental, as

noções da (pré) álgebra em contexto que utiliza números negativos.

Em consonância com os estudos de Passoni (2002), em seu trabalho, “Um

Estudo com os Números Inteiros nas Séries Iniciais: Re-aplicação da Pesquisa de

Passoni”, Todesco (2006) buscou investigar a possibilidade e a eficiência de se

introduzir números inteiros para estudantes na terceira série do Ensino Fundamental

(entre 8 e 9 anos), atual 4o ano, reaplicando parte do estudo desenvolvido por

Passoni (2002).

Sob a ótica de Duval (1993, 2000, apud TODESCO, 2006) e Piaget (1971,

1995, apud TODESCO, 2006), Todesco (2006) abordou o papel dos registros de

representação na formação e na aprendizagem em diversos aspectos, tais como, o

linguístico, o filosófico, o psicológico, o semiótico e o social, na expectativa de

responder suas questões de pesquisa:

Partindo de uma sequência elaborada que utilize um contexto familiar e significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série passam a ter sobre os números negativos? Até onde tal sequência pode ajudar na introdução desse conceito? E, por último, em que consiste o avanço?

Pensando nessa possibilidade, Todesco (2006) realizou uma pesquisa com

35 alunos de oito e nove anos de idade, em duas etapas distintas, a saber, o

diagnóstico (pré e pós-teste) e a intervenção de ensino, desenvolvidas

separadamente com os dois grupos, o Grupo Controle - GC (18 alunos) e o Grupo

Experimental – GE (17 alunos) em que apenas o GE participou das sessões de

intervenção. Todas as etapas foram desenvolvidas em sala de aula regular, em

período normal de aulas, com a presença do pesquisador e da professora da sala.

Para o autor, os resultados obtidos a partir de uma sequência estruturada que

respeitou o ritmo de aprendizagem do aluno mostraram ser possível a introdução

dos números inteiros na terceira série (atual 4º ano) do Ensino Fundamental, pois,

segundo ele, propiciou muitas vantagens no desenvolvimento dos alunos, no plano

didático e na prevenção de futuros obstáculos à apreensão desses conhecimentos.

27

Segundo o autor, a ausência de conceitos e de atividades sobre números

inteiros nos PCN e nos Livros Didáticos para os anos iniciais do Ensino

Fundamental lhe permite considerar como avanço o fato de ser possível abordar

números inteiros na 3ª Série, como demonstrado em seu trabalho.

Nunes et al. (2005) observou que a aquisição do raciocínio aditivo é

progressivo no processo de aprendizagem de estudantes nos primeiros anos do

ensino fundamental, e considera este processo fundamental no ensino da

Matemática nos anos iniciais, de forma que, no início, os alunos conseguem resolver

problemas diretos e, à medida que compreendem essas resoluções, vão se

tornando capazes de resolver problemas inversos que nesse desenvolvimento se

estendem até os problemas com números negativos. A autora aponta que, embora

o currículo dos anos iniciais não contemple os números inteiros, alunos de oito anos

já conseguem trabalhar com situações que trazem o uso de números negativos,

como nas dívidas, por exemplo, ou em jogos nos quais se tem pontos ganhos e

perdidos, por vezes encerrados com saldos negativos.

Em um estudo, utilizando apenas a ideia de lucros e perdas, Nunes (1993)

observou que alunos da 4ª série de uma comunidade de agricultores lidavam sem

dificuldades com essa situação de ganhar ou perder relacionando-a com positivo ou

negativo.

Apresentamos problemas em que devem calcular a situação final de um agricultor que perdeu 20 reais na mandioca, ganhou 30 no feijão, e perdeu 20 na cebola, os alunos compreendem que o agricultor teve prejuízo total de 40 e, tirando-se dos 40 o lucro que teve no feijão, ainda fica com prejuízo de 10. (NUNES et al., 2005, p.189).

Segundo a autora, os alunos resolviam rapidamente, “de cabeça”, o problema

assim contextualizado, porém, ao ser solicitado que escrevessem como resolveram

e chegaram à conclusão, notou que eles não conseguiam expressar corretamente

seu raciocínio mental no papel, e incorriam em erros, por exemplo, esqueciam de

considerar como negativo o número referente ao prejuízo. Para Nunes (2012), a

dificuldade não está tanto na compreensão do significado e nem nas contas, mas

nas representações dos números relativos. O que era de se esperar, uma vez que

não se trabalha em sala de aula, nesse segmento de ensino, essa notação.

28

Um dos problemas históricos dos números negativos é exatamente o trato

com situações de números negativos como o débito e crédito (ou lucro e prejuízo),

mas sem a introdução do negativo. No caso, se discute que epistemologicamente

são duas grandezas que são opostas. Como prejuízo não é negativo, só passa a

aparecer como negativo, quando as duas grandezas são unificadas como uma só. O

mesmo parece ocorrer com os alunos de Nunes et al. (2011). De fato, eles lidam

com a contraposição das duas grandezas diferente da forma bastante natural. Um

passo para entrar nos negativos seria a junção das duas como uma grandeza única.

Um estudo histórico da evolução dos números inteiros mostra exatamente isto. Os

números inteiros eram utilizados desde a idade antiga, nas situações débito/crédito

e somente são aceitos como números no século XIX.

Ainda, nos tempos atuais, constatamos que não houve avanços no sentido de

incorporar nos currículos oficiais o trabalho com números negativos nos anos iniciais

do ensino fundamental, apesar de inúmeras pesquisas terem mostrado que o

assunto é viável no nível em questão, podendo ser trabalhado como aponta Nunes

et al. (2005), inicialmente com material manipulável, de forma que entendam a

diferença ao representar números positivos e negativos, para em seguida incluir

atividades que contemplem os inteiros no significado de relação, considerando,

dessa forma, como a expansão do raciocínio aditivo e o favorecimento do

desenvolvimento conceitual dos alunos.

Evidenciamos que as pesquisas apresentadas neste tópico tiveram como

ponto de partida a intenção de promover a reflexão sobre o início do ensino e da

aprendizagem de números inteiros, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, e,

portanto, nesse sentido, foi fundamental retomá-las para que tivéssemos mais

elementos para analisar a presente proposta, à luz da Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud (1996), que passamos a considerar no capítulo que segue.

29

2. A Teoria dos Campos Conceituais

A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria cognitivista desenvolvida pelo

professor, pesquisador e psicólogo francês Gèrard Vergnaud, que parte do princípio

de que o conhecimento ocorre na interação do sujeito com o objeto de estudo. Por

conseguinte, a aquisição do conhecimento, em geral, é confirmada por meio de

situações e problemas já conhecidos, aplicados a uma nova situação, o que traz a

ideia de que a aquisição de conhecimentos tem características locais e um domínio

de validade restrito que variam de acordo com a experiência e o desenvolvimento

cognitivo (VERGNAUD, 1994, p.42, apud YAMANAKA, 2009).

Vergnaud reconhece a importância das teorias de Piaget e de Vygotsky para

fundamentação de sua teoria. Destaca que a ideia piagetiana de esquema e as

questões da linguagem e da representação simbólica de Vygotsky foram essenciais

para sua investigação.

Tais investigações resultaram na Teoria dos Campos Conceituais, que tem a

contextualização como essência do desenvolvimento cognitivo (VERGNAUD, 1996a,

p. 118). Assim, deve-se dar toda atenção aos aspectos conceituais dos esquemas e

à análise conceitual das situações para as quais os estudantes desenvolvem seus

esquemas, na escola ou fora dela (VERGNAUD, 1994, p. 58).

Vergnaud (1996, p. 166) define conceito como a tríade dos conjuntos C = (S,

I, R) em que:

S: o conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência). Neste

conjunto, estão as diversas atividades que darão sentido ao conceito como: jogos,

situações do cotidiano do aluno, materiais pedagógicos.

I: o conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) que podem ser

reconhecidos e usados pelo sujeito para analisar e dominar essas situações, por

exemplo, as propriedades aritméticas.

R: o conjunto de formas linguísticas e não linguísticas que permitem

representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os

procedimentos de tratamento (os significantes), pertencem a este conjunto, por

exemplo, os algoritmos, os esquemas, a linguagem materna, etc.

30

O conjunto das situações (S) refere-se aos conceitos, o conjunto de

invariantes operatórios (I) é o significado do conceito, e as representações

simbólicas (R) são o significante.

A tríade (S, I, R), em termos da psicologia, S é a realidade e (I, R) a

representação que pode ser considerada como dois aspectos integrantes do

pensamento, o significado (I) e o significante (R) (VERGNAUD, apud BRUN, 1996).

Desta forma, a Teoria dos Campos Conceituais assume o conceito de

mediação em dois sentidos, nos sistemas simbólicos, nos quais se inserem a

linguagem, e no trabalho do professor junto aos sujeitos de aprendizagem.

Isso implica que para estudar o desenvolvimento e uso de um conceito, ao longo da aprendizagem ou de sua utilização, é necessário considerar esses três conjuntos simultaneamente. Não há, em geral, correspondência biunívoca entre significantes e significados, nem entre invariantes e situações; não se pode, portanto, reduzir o significado nem aos significantes nem às situações. (VERGNAUD, 1990, p.146)

Cabe ressaltar que os conceitos tornam-se significativos no decorrer das

situações, e que as situações são a principal entrada de um campo conceitual

(VERGNAUD, 1990).

Vergnaud entende que o conceito de situação não é o mesmo empregado

usualmente em uma situação didática, mas sim o de tarefa, como organização do

pensamento. Desta forma, qualquer situação pode ser realizada por meio de uma

combinação de tarefas, para as quais é importante conhecer suas variáveis

(naturezas e dificuldades próprias), que são responsáveis pelo sentido atribuído ao

conceito, tornando-o significativo por meio de uma variedade de situações.

O sentido atribuído ao conceito consiste na relação do sujeito com as

situações e com os significantes, que se denomina esquema.

2.1 Esquema

Vergnaud (1996) define “esquema” como organização invariante da conduta

para uma dada classe de situações, e afirma que os esquemas de ação incorporam

os conhecimentos-em-ação do sujeito, ou seja, são os elementos cognitivos que

permitem a ação operatória do sujeito.

31

Os esquemas são compostos por invariantes, que são identificados por:

1. metas e antecipações: formalização de uma estratégia;

2. regras de ação do tipo "se ... então" que permitem a reflexão para o início e

a continuidade de uma sequência de ação;

3. invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que

conduzem o reconhecimento, por parte do sujeito, dos elementos pertinentes à

situação;

4. possibilidades de inferência (ou raciocínios) que permitem conjecturar

regras e antecipações a partir das informações e invariantes operatórios de que

dispõe o sujeito.

Segundo Vergnaud (1996), os esquemas se referem necessariamente a

situações, ou classes de situações, estas se distinguem em duas classes:

1- classes de situações para as quais o sujeito dispõe, em seu repertório,

num dado momento de seu desenvolvimento e, em determinadas circunstâncias,

das competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação;

2- classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as

competências necessárias, o que obriga a um tempo de reflexão e exploração, a

hesitações, a tentativas abortadas, conduzindo-o ao êxito ou ao fracasso.

Para Vergnaud (ibid.), o conceito de esquema não funciona do mesmo modo

nas duas classes. Nota-se, no primeiro caso, que existem condutas organizadas por

meio de ações automatizadas; no segundo caso, observa-se o desencadear de

diversas condutas que, para se atingir o objetivo, são assimiladas e acomodadas; tal

processo acarreta a descoberta de novos esquemas de ação. Encontramos nisso a

ideia piagetiana de que os esquemas estão no centro do processo de adaptação

das estruturas cognitivas, ou seja, na assimilação e na acomodação.

Desta maneira, o conceito de esquema proporciona o indispensável vínculo

entre a conduta e a representação (VERGNAUD, 1996c, p. 202): a relação entre

situações e esquemas é a fonte primária da representação e, portanto, da

conceitualização (VERGNAUD, 1998, p. 177). Em contrapartida são os invariantes

32

operatórios responsáveis pela articulação essencial entre teoria e prática, que

apresentaremos a seguir.

2.2 Invariantes Operatórios

Segundo Vergnaud (1996a), um esquema é composto por regras de ações e

antecipações, uma vez que gera uma sequência de ações visando atingir

determinado objetivo. Nem sempre se reconhece que ele é composto

essencialmente por invariantes operatórios (conceitos-em-ação e teoremas-em-

ação) e inferências, indispensáveis à prática do esquema em cada situação gerando

diversas sequências de ações.

Podemos evidenciar os teoremas-em-ação quando pedimos para uma

criança contar quantas bolinhas existem na caixa. A criança vai e conta de um em

um: um, dois, três. Posteriormente acrescentamos a quantidade inicial mais três

bolinhas e perguntamos quantas bolinhas existem agora na caixa. Segundo

Vergnaud (1996a) uma criança de 5 anos contaria tudo: um, dois, três, quatro, cinco,

seis. Mas, dois anos mais tarde a mesma criança descobre que não é necessário

voltar a contar tudo para encontrar o cardinal1 depois de ter contado A e B, pode-se

exprimir este conhecimento por meio do teorema-em-ação:

Card (AUB) = card (A) + card (B) se A∩B = Ø.

Segundo Vergnaud e Laborde (1994), a função dos conceitos-em-ação é,

antes de tudo, a de selecionar, ou seja, reter da situação apresentada o que é

necessário e suficiente para alcançar o objetivo.

Por exemplo, os conceitos de cardinal e de coleção, aqueles de estado inicial,

de transformação e de relação quantificadas são indispensáveis para a

conceituação das estruturas aditivas, como veremos no decorrer desta pesquisa.

Raramente esses tipos de conceitos são explicitados pelos alunos, no entanto eles

os constroem na ação. O tipo lógico dos conceitos-em-ação é diferente daquele dos

1 O cardinal indica a quantidade de elementos que pertencem a um conjunto.

33

teoremas-em-ação, pois o primeiro é do tipo função proposicional (verdadeiro ou

falso) e o segundo é do tipo proposição (está entre, é maior que, etc.).

Há uma relação dialética entre conceitos-em-ação e teoremas-em-ação, uma

vez que os conceitos são ingredientes de teoremas e teoremas são propriedades

que dão aos conceitos seus conteúdos. Mas conceitos não são teoremas, pois não

permitem derivações (inferências ou computações); derivações requerem

proposições.

Reside justamente nessa questão a importância do papel do professor na

teoria dos campos conceituais, pois cabe a ele não só a responsabilidade de

escolher uma variedade de situações que dão significado ou sentido aos conceitos

matemáticos, como também de propor aos alunos que expressem, por meio da

linguagem, os teoremas-em-ação e os conceitos-em-ação para poder transformá-los

em verdadeiros teoremas e conceitos matemáticos.

Na Figura 2, apresentamos um tripé que representa a formação de um

conceito, segundo Magina (2001).

Figura 2 – Tripé da formação de conceitos (Magina, 2001)

Conjunto de SITUAÇÕES

Conjunto de

INVARIANTES

Conjunto de

REPRESENTAÇÕES

CONCEITO

Operatórios Conceituais

34

Após estas considerações teóricas a respeitos dos invariantes operatórios,

apresentamos o campo conceitual aditivo (estruturas aditivas).

2.3 Campo Conceitual Aditivo (Estruturas Aditivas)

As estruturas aditivas, segundo Vergnaud (1996a) abrangem um conjunto de

situações cuja abordagem implica uma ou várias adições ou subtrações, e os

invariantes operatórios (teoremas e conceitos em ação) permitem considerar tais

situações como tarefas matemáticas.

No que se refere à operacionalização das quantidades, ou seja, o cálculo,

Vergnaud (1996a) distingue dois tipos de cálculo: o cálculo numérico e o relacional.

O cálculo numérico é utilizado em situações usuais, por exemplo: adição,

subtração, multiplicação e divisão. O cálculo relacional refere-se às tarefas

necessárias ao tratamento das relações em cada situação, entendidas como

teorema em ação (Quadro 3).

Quadro 3 - Exemplo de cálculo relacional.

Problema Diagrama Cálculo Relacional

CARLOS TINHA 7 REAIS E

GANHOU DE SUA AVÓ 4

REAIS. QUANTO ELE TEM

AGORA?

Aplicar uma

transformação positiva direta ao estado inicial.

Fonte: Magina et al. (2001, p. 24)

Segundo Vergnaud (2009) a noção de relação é muito genérica e formar

relações e organizá-las em sistemas é, em grande parte, o que compõe o

conhecimento. No que se refere aos cálculos relacionais só são possíveis e têm

validade quando amparados nas propriedades das relações que estão em questão.

+4 7 x

35

Para representar o cálculo relacional, Vergnaud (1991) propõe os seguintes

símbolos (Quadro 4):

Quadro 4 - Simbologia utilizada por Vergnaud para cálculo relacional.

De acordo com Vergnaud (1996a), o uso da simbologia se justifica pelo

auxílio na resolução de problemas quando os dados são numerosos ou quando

existem várias etapas de resolução, e também, essa simbologia tem o propósito de

identificar os objetos matemáticos necessários para a formação dos conceitos, de

forma que os “Diagramas de Vergnaud” surgem quando se dá a combinação destes

símbolos. A seguir, mostraremos o uso desses diagramas para classificar os

problemas de estruturas aditivas.

As estruturas aditivas são divididas em três grupos básicos de problemas que

são classificados de acordo com a dificuldade de raciocínio requeridos para resolvê-

los, e que podem ser classificados como: problemas de composição, de

transformação e de comparação.

Problemas de Composição: São problemas que envolvem a situação parte-todo;

desta forma verificam-se duas possibilidades, que são: juntar uma parte com

outra para obter o todo, ou subtrair uma parte do todo para obter a outra parte.

Medida ou grandeza, geralmente representada por um número natural.

Transformação ou relação, representados por números relativos que designam, por exemplo, o ganho ou perda.

As setas são utilizadas para representar o sentido, por exemplo, do estado inicial para o estado final, nas relações de transformação, do referido para o referente nas relações de comparação.

As chaves são utilizadas para representar as composições de elementos de mesma natureza.

e

Esses sinais, associados às medidas e relações representam ganhos (+) e perdas (-).

36

O Quadro 5 apresenta o diagrama de Vergnaud, que retrata uma situação de

composição.

Quadro 5 - Diagrama – Composição


Problemas de Transformação: Esta classe de problemas envolve uma

transformação em uma sequência temporal, que está sempre envolvida no estado

inicial, ou seja, no estado inicial tem-se uma quantidade que se transforma (com

ganho/perda; acréscimo/decréscimo; etc.), chegando a um estado final com outra

quantidade.

Representa-se no Quadro 6 o diagrama de Vergnaud, que retrata esta classe.

Quadro 6: Diagrama – Transformação


Modelo de Diagrama para Problemas de

Composição de Duas Medidas

+


Transformação

Parte

Parte

Todo

A

B

C

Estado Inicial

A B

T

Estado Final

Transformação

37

Problemas de Comparação: Esta classe diz respeito aos problemas que

comparam duas quantidades, uma denominada de referente e a outra de referido, a

partir de uma relação entre as quantidades. O diagrama de Vergnaud, que se refere

a esta classe é representado no Quadro 7.

Quadro 7: Diagrama - Comparação


A partir dos diagramas de Vergnaud exemplificaremos, por meio de

problemas, as estruturas aditivas. Para tal, começaremos analisando os problemas

de estrutura aditiva denominados protótipos.

Segundo Magina et al. (2001), entende-se como protótipo as situações em

que a maioria das crianças com menos de 6 anos não apresenta dificuldades em

resolver os problemas pois o raciocínio usado é intuitivo, formado espontaneamente

e que seguirá com ela como uma referência básica.

Considerando essa possibilidade, apresentamos exemplos de problemas que

são protótipos das relações aditivas de base2, relacionados às classes de

composição e de transformação.

Exemplo de Problema de Composição de duas medidas 1) Na casa de Alex tem 16 caixas de morango e 18 caixas de uva. Qual é o

total de caixas de frutas que ele tem em casa? (Quadro 8)

2 Vergnaud, em seu estudo original, não trata sobre protótipos e extensões das relações

aditivas. Essa apresentação é vista em Magina et al. (2001).


Comparação

R

Referente

A

B

Referido

Relação

38

Quadro 8 – Protótipo 1 - Composição

Diagrama e Cálculo

Relacional

Cálculo

Numérico

Protótipo 1

+ ADIÇÃO

16 + 18 = 34

Neste problema, as duas partes são dadas, uma dessas partes é composta

pela quantidade de caixas de morango (16) e a outra parte é composta pela

quantidade de caixas de uva (18), e solicita-se o todo que é a quantidade de caixas

morango e uva que Alex tem em sua casa (34).

Exemplos de Problemas de Transformação

2) Em um campeonato de futebol uma equipe possuía 18 pontos; ao vencer mais uma partida acumulou três pontos. Qual é a nova pontuação da equipe no campeonato?

Quadro 9 - Protótipo 2 – Transformação

16

r

18

Diagrama e Cálculo

Relacional Cálculo Numérico

Inicial final

ADIÇÃO

18 + 3 = 21

+ 3

Protótipo 2

18 r

39

Neste problema, são dados o estado inicial (Ei) (18 pontos) e a

transformação (T) positiva (acumulou 3 pontos), e se quer saber o estado final

(Ef).

3) O carteiro tinha 43 cartas na sacola para entregar. Entregou 25 cartas até o meio dia. Quantas cartas ficaram na sacola para serem entregues?

Quadro 10 – Protótipo 3 – Transformação

Neste problema, são dados o estado inicial (Ei) (43 cartas) a transformação

(T) negativa (entrega de 25 cartas) e solicita-se a sobra de cartas na sacola.

Nas situações de composição e de transformação descritas, facilmente

percebe-se qual o raciocínio a ser utilizado, por isso são chamados de protótipos.

Entretanto, na situação de comparação, não se encontram protótipos, porque

duas quantidades são comparadas, e, com elas, busca-se estabelecer a diferença

entre os dois grupos.

A partir das situações prototípicas, todos os outros tipos de problemas se

configuram como extensões das estruturas aditivas, pois não ocorrem de maneira

espontânea.

Essas extensões tratam das variações das relações aditivas de base; elas

não se referem a uma hierarquia de dificuldades visando alcançar certo nível de

desenvolvimento cognitivo, elas possibilitam a ampliação das possibilidades de

raciocínio, e, consequentemente, aprimoram a representação e o tratamento das

relações contidas dentro de cada situação. São quatro as classes de extensões

Diagrama e Cálculo


SUBTRAÇÃO 43 - 25 = 18

Protótipo 3

43 r

-25

40

encontradas, e sua ordenação é realizada segundo a apropriação das crianças em

cada situação problema (Magina et al., 2001).

Para exemplificar, apresentamos problemas de composição e de

transformação na primeira extensão.

1ª Extensão - Problemas de Composição

Nos problemas de composição, conhece-se uma das partes e o todo, e

pergunta-se sobre a outra parte, por exemplo:

Problema 1: Alex tem 34 caixas de morango e uva. Ele contou 18 caixas de

uva. Quantas caixas de morango tem Alex?

Quadro 11 – Problema 1 - 1ª extensão de problemas de composição

Diagrama e Cálculo Relacional Cálculo Numérico

SUBTRAÇÃO

34 – 18 = 16

1ª Extensão - Problemas de Transformação

Já nos problemas de transformação, são dados o estado inicial e o final, e

pergunta-se sobre o que ocorreu entre esses estados, ou seja, a transformação

ocorrida entre os estados inicial e final.

Segue exemplos que retratam esta situação na primeira extensão dos

Problemas de Transformação:

Problema 1: Mauro tinha 3 bolinhas de gude, participou de um jogo e no final

ficou com 7 bolinhas. O que aconteceu no jogo?

18

34

r

41

Quadro 12 – 1ª Extensão dos Problemas de Transformação

Problema 2: Em um curso de inglês havia no inicio 35 estudantes. No final,

seis meses depois, apenas 26 estudantes concluíram o curso. O que aconteceu

com a quantidade de estudantes durante o curso?

Quadro 13 – 1ª Extensão dos Problemas de Transformação


SUBTRAÇÃO

35 - 26 = 9

Nos exemplos, encontram-se dois casos distintos de transformações, sendo

que, no primeiro exemplo, a transformação é positiva, pois há um incremento das

quantidades entre o estado inicial e o final (Final > Inicial), justificando a

representação +r, para a transformação. Já no segundo exemplo, a transformação é

negativa, ou seja, a quantidade de elementos do estado inicial é maior que o estado

final, havendo assim um decréscimo entre as quantidades iniciais e finais, que

justifica a representação –r, para a transformação.


SUBTRAÇÃO

7 - 3 = 4

+r

3 7

Inicial Final

Final > Inicial

Inicial

35 26

Final

Inicial > Final

- r

42

Nota-se também que, em ambos os casos, a operação utilizada para se

realizar o cálculo numérico foi a subtração, pois estamos tratando de duas medidas

que estão ocorrendo em certo momento.

Desta forma, a transformação será dada, em termos de quantidade,

subtraindo-se a quantidade que se tem no estado final do evento pela quantidade

que se tinha no estado inicial do evento, ou seja, T = F – I, (T= Transformação, F=

Estado Final, I= Estado Inicial).

Assim sendo, a transformação será positiva (T>0) quando: F > I e negativa

(T<0), quando: I > F.

Nesta seção, apresentamos modelos de problemas referentes a 1ª extensão

dos problemas de estrutura aditiva. A seguir, apresentamos os problemas relativos à

segunda extensão dos problemas de estrutura aditiva, os problemas de

comparação, para os quais “referente” e “relação” são dados, e se quer saber sobre

o “referido”. Os dois exemplos a seguir ilustram a segunda extensão.

Problema 1: Alice tem 5 brincos, Eduarda sua amiga tem 4 brincos a mais

que ela. Quantos brincos tem Eduarda?

Quadro 14 – 2ª Extensão – Problemas de Comparação

Diagrama e Cálculo

Relacional

Cálculo

Numérico

ADIÇÃO

5 + 4 = 9

Problema 2: Mário tem nove bolinhas de gude. Evandro têm cinco bolinhas a

menos. Quantas bolinhas de gude Evandro têm?

r

5

+4

Referente

Referido

43

Quadro 15 – 2ª Extensão – Problemas de Comparação

Diagrama e Cálculo

Relacional

Cálculo

Numérico

SUBTRAÇÃO

9 – 5 = 4

A terceira extensão discute também sobre os problemas de comparação em que

o referido e o referente são conhecidos, e se busca conhecer a relação estabelecida

entre eles, segue dois exemplos desta extensão.

Problema 1: Marcos tem oito jogos de vídeo game, Paulo tem três jogos. Quantos

jogos Marcos têm a mais que Paulo?

Quadro 16 – Problema 1 - 3ª Extensão – Problemas de Comparação

Diagrama e Cálculo Relacional Cálculo

Numérico

SUBTRAÇÃO

8 – 3 = 5

Problema 2: Luiza tem oito reais e Clara tem cinco reais. Quantos reais Clara

tem a menos que Luiza?

r

9

-5

Referente

Referido

3

8

+r

Referente

Referido

44

Quadro 17 – Problema 2 - 3ª Extensão – Problemas de Comparação

Diagrama e Cálculo

Relacional

Cálculo

Numérico

SUBTRAÇÃO

8 - 5 = 3

Para a compreensão destes dois exemplos, deve-se identificar inicialmente

quem é o referente e o referido, e qual é a relação entre eles.

Palavras como “a mais”, “a menos” caracterizam o referente, e a relação

aparece sempre descrita na comparação das quantidades do referente para o

referido. Assim sendo, no Problema 1, Quadro 14, se quer saber quanto o referente

tem a mais que o referido, e a relação fica representada por + r, e no Problema 2,

Quadro 15, a situação fica invertida, pois busca-se saber quanto o referente tem a

menos que o referido, e a relação nesse caso é representada por – r.

Os problemas apresentados nessa terceira extensão tratam da diferença

entre duas quantidades, e têm diferentes estratégias para a resolução. No primeiro

basta subtrair a quantidade do referente da quantidade do referido; no segundo vai-

se complementando a quantidade do referente até se chegar à quantidade do

referido.

A quarta e última extensão apresentada trata de problemas que envolvem

transformação e comparação. Os problemas dessa extensão são os que requerem

dos estudantes um raciocínio mais elaborado dentre os problemas básicos da

estrutura aditiva.

Nesta extensão, os enunciados dos problemas de transformação fornecem os

dados do estado final e da transformação, e pedem o estado inicial, como mostram

os exemplos:

Problema 1: Junior comprou 5 coelhos para a sua criação e observou que

ficou com 20 coelhos. Quantos coelhos Junior tinha em sua criação antes de efetuar

essa compra?

8

5

-r

Referente

Referido

45

Quadro18 – Problema 1 – 4ª Extensão – Problemas de Transformação

Problema 2: Em uma caixa haviam diversas maçãs; retiraram-se três maçãs e

sobraram 12 maçãs na caixa. Quantas maçãs havia na caixa?

Quadro 19 – Problema 2 – 4ª Extensão – Problemas de Transformação

Estes problemas foram resolvidos com o uso do teorema:

F = T (I) I = T-1

(F)

Em que I= Estado Inicial, F= Estado Final e T= Transformação, isto é: o

estado final é a transformação do estado inicial, e sugere que o estado inicial é igual

à transformação inversa do estado final, o que é equivale a:

(Estado Inicial) = T-1

(Estado Final).

Diagrama e Cálculo


SUBTRAÇÃO

20 – 5 = 15

r 20

Inicial Final

+5

-5

Diagrama e Cálculo


ADIÇÃO

12 + 3 = 15

r 12

Inicial Final

-3

+3

46

A resolução deste tipo de problema exige o uso de uma operação inversa, por

isso são os mais difíceis da classe de transformação.

Quanto aos problemas de comparação, na quarta extensão, seus enunciados

trazem os dados do referido e da relação e pedem o referente.

Segundo Nunes et al. (2001), os problemas desta extensão são igualmente

difíceis, porque se pensa normalmente no referente, e a partir dele se determina o

referido, e novamente nesta condição ocorre o inverso, como se pode observar nos

exemplos:

Problema 1: Everton tem seis brinquedos e Marlon tem três brinquedos a

mais que Everton. Quantos brinquedos tem Marlon?

Quadro 20 – Problema 1 – 4ª Extensão – Problemas de Comparação

Diagrama e Cálculo

Relacional

Cálculo

Numérico

ADIÇÃO

6 + 3 = 9

Problema 2: Simone tem quatro pulseiras a menos que as nove pulseiras de

Flávia. Qual é a quantidade de pulseiras que Simone tem?

6

r

+3

Referente:

Referido

47

Quadro 21 – Problema 2 – 4ª Extensão – Problemas de Comparação.

Diagrama e Cálculo


SUBTRAÇÃO

9 - 4 = 5

Nota-se que, no primeiro exemplo, Everton é o referido, uma vez que a

quantidade de Marlon está relacionada em termos de quantos a mais que a

quantidade de Everton e sendo assim, passa ser o referente.

Com a apresentação da quarta extensão, conclui-se o tópico destinado ao

estudo das relações aditivas de base, em que foram apresentadas seis situações

envolvendo os problemas de transformação e seis situações envolvendo problemas

de comparação, e ainda duas outras situações com problemas de composição.

Nos casos apresentados, analisamos situações simples de comparação,

composição e casos com apenas uma transformação, identificados por Vergnaud

(2009, p. 62) em três categorias: Conhecendo o estado inicial e a transformação,

encontra-se o estado final; conhecendo a transformação e o estado final, encontra-

se o estado inicial; e conhecendo-se os estados inicial e final determina-se a

transformação. Apresentamos, no Anexo 1, um quadro resumo das relações aditivas

de base, reorganizado por Yamanaka (2009).

Casos Mais Complexos: Várias Transformações

Vergnaud (2009) descreve outras estruturas como a composição das

transformações e a composição das relações, que passamos a analisar.

Nos casos mais complexos, quando incluem sucessivas transformações,

amplia-se, segundo Vergnaud (2009), a possibilidade de se propor inúmeras

categorias de problemas. Por exemplo, podemos ter uma categoria quando a

9

r

-4

Referente:

Referido

48

pergunta diz respeito ao estado final ou ao estado inicial ou ainda a um dos estados

intermediários do problema, quando se conhece alguns estados e algumas

transformações.

Vejamos o seguinte problema:

“Laura tinha inicialmente dez bolinhas de gude quando começou a jogar.

Ganhou uma bolinha e a seguir ganhou outras três, depois perdeu seis e logo em

seguida perdeu mais quatro bolinhas. Com quantas bolinhas Laura ficou no final do

jogo?”

Vergnaud (2009, p. 64) propõe o seguinte esquema para o problema:

Figura 3: Esquema de Vergnaud para problemas mais complexos

Conhecendo-se o estado inicial e as transformações encontra-se o estado

final.

Outros esquemas podem ser obtidos com a mudança da ordem das

transformações, por exemplo, partir do estado final e chegar ao inicial, aplicando

seguidamente as transformações inversas das respectivas transformações diretas

do problema e encontrando os estados intermediários. As setas tracejadas indicam

os cálculos relacionais.


-1 +3 -6 -4

10 D

igit

e

u

m

a

cit

aç

ão

do

do

cu

m

en

to

ou

o

re

su

m

o

de

D

igit

e

u

m

a

cit

aç

ão

do

do

cu

m

en

to

ou

o

re

su

m

o

de

D

igit

e

u

m

a

cit

aç

ão

do

do

cu

m

en

to

ou

o

re

su

m

o

de

?

10 11 14 8 4

-1 -3 +6 +4

49

Ainda poderia se pedir a quantidade de bolinhas que ela ganhou ou perdeu

durante o jogo, sem que se precisassem saber quantas bolinhas haviam no estado

inicial ou no estado final.

Assim, teríamos o esquema:

?


Este estudo nos subsidiará na análise dos tipos de problemas, que fizeram

parte dos instrumentos diagnósticos desta pesquisa.

Concluindo esse capítulo, vimos que o conceito de esquema aliado aos

invariantes operatórios são os pontos centrais da Teoria dos Campos Conceituais.

Nesta teoria, o conceito de esquema se refere à organização estrutural das ações

do sujeito frente a uma dada classe de situações, e possui duas características

distintas; a primeira dá o sentido organizador do esquema, pois é ele que organiza e

dá sentido às ações, a outra caracteriza a dinâmica do esquema como assimilador e

antecipador, pois ele pode mudar sua significação e se transformar no decurso das

ações.

Vergnaud (apud BRUN, 1996, p. 23) complementa as duas características do

conceito de esquema e das invariantes operatórias mencionadas, da seguinte

forma:

A Teoria dos Campos Conceituais valoriza estas duas características do esquema: por um lado tem em conta aspectos estruturais do esquema, analisando-os em termos de invariantes operatórias, do ponto de vista dos próprios saberes constituídos (ponto central da teoria); é pelo menos este o sentido que eu atribuo às noções de conceito-em-ação e de teorema-em-ação. (VERGNAUD, apud BRUN, 1996, p. 23).

+1 +3 -6 -4

? ?

50

A união entre o desenvolvimento dos esquemas de ação do sujeito e os

invariantes operatórios culmina com a formação do conceito, e este, por sua vez,

está intrinsecamente ligado à resolução de problemas.

Neste tópico, expusemos alguns aspectos teóricos que nos auxiliaram na

análise e na interpretação dos dados coletados. A seguir, apresentamos o Capítulo

referente aos Procedimentos Metodológicos, retratando as bases teórico-

metodológicas, o instrumento diagnóstico e o contexto de construção que

subsidiaram a análise desta dissertação.

51

3. Procedimentos Metodológicos

Neste Capítulo, relataremos a metodologia utilizada no estudo de campo,

apresentando a caracterização metodológica segundo Gil (2008). De acordo com

este autor consideramos esta pesquisa como uma pesquisa experimental, na

medida em que se apresenta um objeto de estudo, selecionam-se as variáveis que

influenciam o trabalho, definem-se as formas de controle e de observação dos

efeitos que as variáveis produzem no objeto.

Reforçando esta ideia, destaca-se que o procedimento técnico utilizado,

baseia-se em uma variante do estudo experimental clássico (Rudio, 1979), o qual

envolve um grupo experimental e um grupo de controle.

Assumimos como hipótese de pesquisa a possibilidade de se ensinar

números negativos para alunos de 8 a 10 anos de idade utilizando atividades lúdicas

e problemas matemáticos, desta forma, o jogo foi o nosso fator de intervenção no

grupo experimental e não foi aplicado no grupo de controle.

Apresentamos, a seguir, a descrição da aplicação dos instrumentos de coleta

de dados, os sujeitos da pesquisa, a metodologia utilizada e os instrumentos de

coleta de dados.

Convém evidenciar que todo o trabalho de investigação teve como referência

o Projeto “Children’s understanding of probability and risk” (Nunes et al., 2011) da

Universidade de Oxford (Inglaterra) replicado, por meio da utilização dos

instrumentos de coleta de dados, nessa pesquisa.

Os instrumentos de pesquisa, slides e orientações ao pesquisador,

originalmente em inglês, eram recebidos, via email, antes de cada etapa do

trabalho, e desencadeavam inúmeras providências: o estudo do material, a tradução

dos textos, adaptações de contextos, organização dos slides em forma de livretos e

a confecção dos mesmos para entregar aos alunos em cada fase dos testes e

intervenções.

Cabe ressaltar que nem sempre a interpretação dada ao texto que

traduzíamos correspondia literalmente ao que pretendia o texto original em inglês,

em especial os jogos. As regras e os personagens dos jogos não eram familiares a

52

nós brasileiros, o que exigia adaptações e arranjos para contextos próximos ao

cotidiano dos alunos participantes da pesquisa.

A organização, em duplicata, dos slides com as atividades dos alunos, numa

mesma página facilitou a confecção dos livretos, impressos em meia folha de sulfite,

para todos os alunos participantes, a cada etapa da pesquisa. O conteúdo do livreto

correspondia à parte prática das questões a serem resolvidas, nos testes e nas

intervenções, sendo o enunciado dos respectivos problemas apresentados por meio

de projeção audiovisual.

3.1 Sujeitos da Pesquisa

O estudo foi realizado com 87 alunos de 8 a 10 anos de idade que

compunham três turmas do 4º ano do Ensino Fundamental, de uma escola pública

estadual de São Paulo, e seguiu com eles no ano subsequente.

Para realização da pesquisa, tivemos o consentimento da escola, por meio do

termo de responsabilidade da instituição (Apêndice A), e dos pais ou responsáveis

pelos alunos por meio do termo de consentimento livre e esclarecido (Apêndice B).

Os alunos de cada uma das três turmas do 4º ano foram distribuídos de

acordo com os grupos que estruturaram a pesquisa: Números Inteiros,

Aleatoriedade e Controle. Os dois primeiros grupos foram compostos por oito alunos

cada, sorteados aleatoriamente em suas respectivas salas; e os demais alunos de

cada sala compuseram o Grupo Controle, ficando assim cada grupo com suas

funções distribuídas:

Grupo Controle, que participou apenas dos pré e pós-testes e ficou durante

as intervenções em sala de aula com suas respectivas professoras.

Grupo dos Números Inteiros, com o qual foram desenvolvidas as

intervenções de ensino, na sala de vídeo, com atividades referentes a

números negativos e questões relacionadas às quantidades, números e

relações, foco deste trabalho. No âmbito desta pesquisa o referido grupo,

será o Grupo Experimental.

53

Grupo Aleatoriedade, com intervenções de ensino sobre probabilidade e

risco, na sala de informática. Esse grupo não fez parte da investigação e da

análise neste trabalho.

Nesta pesquisa exploraremos apenas os resultados do Grupo dos Números

Inteiros.

3.2 Instrumentos

A coleta de dados se deu por meio de um pré-teste, três intervenções e de

três pós-testes. Os pós-testes foram aplicados ao final de cada intervenção.

O pré-teste, as duas primeiras intervenções e os respectivos pós-testes

aconteceram quando os alunos estavam no 4º ano do ensino fundamental,

enquanto a terceira intervenção e o terceiro pós-teste foram aplicados quando eles

já estavam no 5º ano.

Para a aplicação dos instrumentos, foram realizados encontros semanais com

cada turma com duração média de 70 minutos, para os testes (pré e pós-testes) e

para as sessões de intervenção.

Os testes continham de 21 a 34 questões aplicadas em um único dia, com

uma duração, em média, de 70 minutos cada. Essas questões exploravam conceitos

referentes aos estudados nos Grupos Aleatoriedade e Números Inteiros, este último,

foco desta pesquisa.

Os estudos de intervenção foram compostos por cinco sessões cada um, em

que se previa trabalhar uma sessão por semana, abrangendo um período

aproximado de 40 dias, para sua realização. Cada encontro para intervenção teve

tempo médio de duração de 70 minutos por dia. No Quadro 22, apresentamos a

síntese das atividades de coleta de dados na sequência em que aconteceram

durante a pesquisa.

54

Quadro 22 – Instrumentos de coleta de dados

Coleta de Dados da Pesquisa

Ano / Ensino

Fundamental Instrumento Atividade

Período/Tempo

de Aplicação Objetivo

4º Ano

Pré-teste 25

questões

1dia

70 minutos Diagnóstico

Intervenção1 5 sessões

de estudo

1 encontro

70min/dia

Introduzir as noções de

números Relativos

Pós-teste 1 28

questões

1dia

70 minutos

Verificar se o estudo de

intervenção influência o

resultado

Intervenção 2 5 sessões

de estudo

1 encontro

70min/dia

Implementar o uso de

números relativos em

diversos contextos

Pós-teste 2 21

questões

1dia

70 minutos

Verificar em quanto as

intervenções

contribuem na melhoria

dos índices de acertos

no teste

5º Ano

Intervenção 3 5 sessões

de estudo

1 encontro

70min/dia

Resolver problemas

apoiados em

esquemas/diagramas

Pós-teste 3 34

questões

1dia

90 minutos

Verificar a

aprendizagem em todo

o processo

Cabe ressaltar a quantidade de questões apresentadas nos testes, referentes

aos números relativos, tema estudado no Grupo dos Números Inteiros (Quadro 23),

55

que, além de baixo percentual em relação ao total, as questões se encontravam nas

últimas páginas do livreto dos testes.

No pré-teste, das 25 questões propostas, apenas sete questões eram

referentes a números. Destas sete questões, duas eram sobre impulsividade e cinco

exploravam o jogo fliperama. As questões de impulsividade tinham o objetivo de

detectar quantos alunos tomavam decisão pelo impulso e quantos decidiam com

base na análise dos dados numéricos de cada proposta do problema.

O pós-teste 1 foi composto por 28 questões, sendo apenas oito referentes

aos números negativos. Dessas oito questões, os alunos foram instruídos a resolver

apenas cinco, referentes ao jogo fliperama, as outras três devido à complexidade e

a exiguidade do tempo, não foram resolvidas.

No pós-teste 2, foram apresentadas 21 questões, e apenas seis eram

referentes ao estudado no Grupo de Números Inteiros. Dessas seis questões, três

eram alusivas ao jogo fliperama, uma explorou a soma de números positivos e

negativos e as duas últimas envolviam o sistema monetário.

Com maior número de questões, o pós-teste 3, manteve a discrepância na

distribuição dos conceitos abordados. Neste, propôs-se 34 questões, sendo 14

sobre números, as quais foram distribuídas da seguinte maneira: quatro questões

referentes ao jogo do fliperama, uma questão envolvendo soma de números

positivos e negativos, três questões envolvendo o sistema monetário (troco) e as

outras seis questões exploraram a proporcionalidade, por meio da resolução de

problemas.

Apresentamos no Quadro 23, a porcentagem de questões referentes ao

Grupo dos Números Inteiros, em cada diagnóstico, para ponderarmos no

desenvolvimento deste trabalho, se o objetivo proposto foi alcançado, apesar da

reduzida quantidade de questões.

56

Quadro 23: Quantidade de questões do Grupo NI3 nos testes

Instrumento Total de questões

em cada teste

Questões referentes ao grupo dos

Números Inteiros

Pré-teste 25 7 (28,00%)

Pós-teste 1 28 5 (17,85%)

Pós-teste 2 21 6 (28,57%)

Pós-teste 3 34 14 (41,17%)

3.3.1 O Pré-Teste

Nesse teste inicial, a finalidade foi a de detectar o nível de conhecimento dos

alunos sobre os assuntos versados nas questões. O teste foi composto por 25

questões, sete referentes a números relativos e quantidades; e as outras 18

questões envolveram noções de sequências, combinações e probabilidade.

As sete questões referentes a números relativos e quantidades apresentadas

nesse teste fazem parte do contexto em que se quer observar a compreensão e o

uso de números negativos e são objeto de estudo dessa pesquisa. Destas questões,

duas envolveram escolhas por impulsividade em contexto monetário, e cinco a

composição entre resultados referentes ao jogo “pinball” que traduzimos de Nunes

et al. (2011), como “fliperama”.

As cinco questões referentes a números relativos foram inseridas no contexto

do jogo “fliperama” (Quadro 24). O jogo consiste em impulsionar sete bolinhas, uma

de cada vez, por um dispositivo acionado pelo jogador, com o intuito de que o

máximo de bolinhas fique retido nos pequenos nichos dispostos na parte superior do

fliperama, onde se vê o baú do tesouro. As bolinhas contidas nessa região

representam pontos ganhos, em contrapartida as que ficarem nos nichos da região

onde se vê a caveira, representam os pontos perdidos. Toda bolinha que cair no

3 Grupo dos Números Inteiros - NI

57

canal, localizado na parte inferior do tabuleiro, é nula, e não representa ganho e

nem perda de pontos.

Estas questões, a partir da composição de resultados de diversos jogos, têm

o objetivo de identificar se o aluno compreende a noção de quantidades e de valor

relativo, a partir de uma situação que envolve perdas e ganhos. Espera-se que os

alunos compreendam como se determina o resultado em cada jogo e a pontuação

final ao combinar esses resultados.

Na proposição do “fliperama” observam-se duas propostas distintas do jogo

para a constituição dos resultados (itens 2 e 3 do Quadro 24, p. 53); na primeira,

são informados os resultados para os dois jogos e pede-se que o aluno desenhe as

bolinhas no fliperama de acordo com as respectivas pontuações sugeridas. Na

segunda, são fornecidos os registros das jogadas, em dois dos três jogos, para que

se determinem seus resultados e os componham com o resultado do jogo (1),

devidamente construído com os desenhos das bolinhas no fliperama e registrado

em seu placar, e, de acordo com o que solicita a pontuação final, ou seja, juntando

os resultados dos três jogos tenha-se um saldo positivo de dois pontos ganhos.

As mesmas questões do jogo “fliperama” foram propostas em todos os testes

(pré-teste e pós-testes), entretanto não foram especificamente trabalhadas nas

intervenções, mas a ideia de números relativos e do cálculo de situação inicial em

problemas de inversão de raciocínio presentes nas situações do jogo esteve

contemplada nas atividades de todas as intervenções.

Das figuras apresentadas no Quadro 24, a primeira ilustra como considerar

os pontos, ou seja, quando o ponto é considerado ganho ou quando é ponto

perdido, nas duas regiões do fliperama identificadas pelo baú do tesouro na metade

superior do tabuleiro e pela caveira na metade inferior, respectivamente, e uma

terceira região em que as bolinhas nela contidas ou desenhadas representam

pontos nulos, não sendo, portanto, considerado como ponto ganho ou perdido.

A segunda figura se refere ao problema: “Alex jogou duas vezes. No primeiro

jogo terminou perdendo três pontos, no segundo ganhando quatro pontos, desenhe

as sete bolinhas nos respectivos fliperamas de forma a contemplar esses

resultados”.

A terceira elucida o problema: “André jogou três jogos e não se lembra do que

aconteceu no primeiro jogo. Ajude-o a registrar os pontos nesse jogo, de forma que

58

juntando as pontuações dos três jogos termine com uma pontuação final de dois

pontos ganhos”.

Quadro 24 - jogos do fliperama propostos nos pré e pós-testes

Para se verificar a medida da impulsividade com que os alunos decidem

apoiados em informações numéricas (valor em dinheiro) foram propostas duas

questões como a apresentada na Figura 6.

1

2

3

59

Figura 6. Problema que investiga a Medida de impulsividade dos alunos.

Com a questão, tem-se o objetivo de identificar como o aluno compreende a

proposta se prefere receber, no ato, a quantidade em dinheiro que ganhou ou um

valor maior algum tempo depois; se trata o número como representação de

quantidades e como decide em uma situação que envolve dinheiro, de modo que,

considerando cada tempo, escolha a opção que julga ser a melhor.

3.4 As Intervenções

A primeira e a segunda intervenções foram realizadas quando os alunos

estavam no 4º ano do Ensino Fundamental I, e a terceira intervenção com os

mesmos alunos, quando já cursavam o 5º ano; salienta-se que esta última não foi

analisada nesse trabalho por tratar da resolução de problemas sem o uso de

números inteiros relativos.

Cada bloco de intervenção foi composto por cinco sessões, e previa-se

trabalhar uma sessão por semana, o que nem sempre aconteceu, pois, com a rotina

da escola, o calendário escolar e a agenda dos pesquisadores, houve, por vezes, a

necessidade de distribuir uma sessão em mais de uma semana ou ainda promover

mais de um encontro por semana com os alunos. As sessões de intervenção foram

60

trabalhadas com grupos de oito alunos de cada turma num tempo aproximado de 70

minutos por sessão/semana. Esses alunos eram, então, divididos em quatro duplas.

Solicitava-se que escrevessem em seus livretos, a princípio, suas respostas, em

seguida, que discutissem com seus parceiros e tentassem chegar a uma resposta

conjunta. Finalmente, as respostas eram discutidas com as outras duplas do grupo.

Objetivava-se que essa discussão facilitasse o entendimento e a percepção

dos alunos sobre aspectos relevantes dos problemas trabalhados nas sessões e

dos jogos propostos nas atividades.

3.4.1 Intervenção 1

Cinco sessões de estudo foram realizadas nesse bloco de intervenção. As

diversas atividades tinham o objetivo de levar os alunos a compreenderem os

números negativos quando representam quantidades, medidas e ainda a relação

existentes entre estes significados.

Segundo Vergnaud (2009, p. 198-199) os números mais simples são

chamados de naturais e correspondem às medidas dos conjuntos de objetos

isoláveis, aos cardinais 1, 2, 3,..., não sendo nem positivos nem negativos porque

não correspondem a transformações. Assim, os números relativos se constituem em

outro conjunto de números dotados de sinais que representam adequadamente as

transformações aditivas (adições e subtrações) aplicáveis à medida de um conjunto

de elementos isoláveis, no qual se pode acrescentar ou retirar partes. Acrescenta o

autor que os números naturais representam medidas dos conjuntos de peças

isoláveis e os relativos representam as transformações que essas medidas sofrem.

Nas sessões 1 e 2, os problemas diretos que foram propostos, utilizando

números naturais e relativos, apresentavam as informações da situação inicial e da

transformação ocorrida, de forma que, ao registrar o raciocínio, o aluno obtinha

diretamente o resultado para a situação final do problema. Nos problemas inversos,

os alunos eram informados das transformações que aconteciam e dos resultados

correspondentes aos estados finais dos problemas, e se propunha que verificassem

o que ocorria nos estados iniciais de cada problema.

Resumimos, no Quadro 25, os tipos de atividades propostas em cada sessão,

o significado em que foi trabalhado os números relativos e o objetivo da sessão.

61

Quadro 25 – Tipos de Atividades da Intervenção 1

Sessão Atividade

Significado dado

ao Número

Relativo

Objetivo

1 Resolver Problemas

Diretos Quantidades

Composição de quantidades para

determinar a situação final

2

Resolver Problemas

Diretos e inversos

Relação Compreender os Números

Inteiros como medida

3

Jogo do Gremlin

(Quadro 27)

Inversão Compreender a Relação Inversa

Jogo de Dados

(p. 58) Aritmética

Compreender a soma de

Números Inteiros

4 Resolver

Problemas

Relação entre “a

mais” e “a menos”

Compreender os Números

Inteiros como medida

5 Jogo Soletrando com

números (p. 59)

Formar sentença

com números

inteiros

Compreender o conceito de

números inteiros

Sessão 1- Quantidades: Problemas diretos.

Na Sessão 1, foram trabalhados nove problemas que simulavam jogos de

bolinha de gude, com o propósito de identificar se o aluno compreende a noção de

quantidades a partir da resolução de problemas diretos, isto é, situações nas quais

se quer determinar o resultado final de um problema matemático no contexto de um

jogo conhecido pelos alunos. Os problemas/jogos eram projetados em uma tela e

lidos pelo pesquisador.

Sugeríamos a utilização de cartões vermelhos e amarelos como apoio para

resolver os problemas, de forma que os cartões vermelhos fossem usados para

62

representar as bolinhas ganhas e os cartões amarelos, para representar as bolinhas

perdidas. Os alunos deveriam verificar como o jogo terminava, se ganhando ou

perdendo, registrando suas resoluções e respostas no livreto.

Apresentamos um exemplo de problema utilizado nesta sessão:

Figura 7: Problema utilizado na intervenção 1

A proposta (problema/jogo) tem por objetivo identificar se o aluno

compreende a composição de quantidades em uma situação do cotidiano que

envolve ganhos e perdas. O propósito é que os alunos percebam as quantidades de

bolinhas ganhas e de bolinhas perdidas, sem que se conheça o estado inicial e o

final do jogo, ou seja, se ficaram com bolinhas ou se perderam mais que ganharam

e como representariam essas transformações.

Sessão 2 – Problemas de Inversão: relação entre mais e menos.

Na Sessão 2, diversos problemas propostos tinham a intenção que os alunos

percebessem, após resolvê-los, se os personagens da história terminavam com

mais ou menos objetos do que tinham no início da proposição. Os problemas ora

eram diretos (com valor final desconhecido) ora inversos (com valor inicial

desconhecido).

Foram propostos problemas de quatro níveis de dificuldades, sendo

trabalhadas de 6 a 8 situações problema, por nível, em cada turma.

Apresentávamos um slide com a situação, e líamos os enunciados com eles, que,

em duplas, verificavam qual a operação a ser realizada para obter a resposta. Em

seguida, discutíamos as resoluções com o apoio das imagens dos problemas na

tela, questionando, em cada problema, se no resultado final haveria mais ou menos

objetos do que havia no início do problema. Solicitamos que os alunos procurassem

imaginar qual seria a situação antes da transformação realizada, e o que fazer para

“Em um jogo de bolinhas de gude, Laura tinha algumas bolinhas, ao jogar

ganhou uma bolinha de gude, em seguida, ganhou três, e depois perdeu seis e

logo perdeu mais quatro. O que aconteceu no jogo?”

63

desfazê-la, ou seja, raciocinar no caminho inverso, do final do problema para o

início.

Sessão 3 - Relações e Inversão.

Na Sessão 3, para tratar das Relações e Problemas Inversos (aqueles de

situação inicial desconhecida), utilizamos um jogo chamado “Gremlin”. Cada jogo

iniciava com uma pontuação desconhecida a ser calculada após três jogadas, nas

quais podiam ganhar pontos, por acertar o Gremlin, ou perder pontos se alvejado

por alienígenas. As três jogadas correspondiam a três slides apresentados

seguidamente, e cada um deles mostrava certo número de imagens de Gremlins,

para serem contados como abatidos (pontos ganhos) ou de alienígenas abatendo a

nave considerados pontos perdidos; em seguida, as quantidades observadas eram

anotadas, respectivamente como ponto ganho, acrescida do sinal de “mais”,

positivo; ou como pontos perdidos, acompanhados do sinal de “menos”, negativo. A

última informação de cada jogo era a pontuação final para que, com os pontos

anotados, fosse descoberta a pontuação inicial do jogo (item 4, Quadro 26).

Os alunos em duplas escreviam as sentenças numéricas conforme eram as

quantidades de figuras do Gremlin e do alienígena apresentadas em cada jogo,

juntavam os pontos ganhos e/ou perdidos, para, em seguida, determinar sempre a

pontuação inicial de cada jogo.

Nesse jogo, apresentado como exemplo, o jogador ganhou dois pontos e

perdeu um ponto, logo durante o jogo obteve um ponto, assim para terminar com a

pontuação final de dois pontos, ele tinha no início do jogo, um ponto positivo, dessa

forma sua expressão numérica no jogo fica: 2 – 1 = 1, ou seja, (+1) e no cálculo da

pontuação inicial: ( ? + 1 = 2), portanto pôde concluir que tinha uma pontuação

inicial de um ponto positivo.

64

Quadro 26: Mostra as Etapas que compõem o jogo Gremlin

Ainda na Sessão 3, fizemos o jogo de Dados, jogado em pares, ou seja, os

elementos das duplas disputavam entre si; seis partidas eram jogadas com dois

dados, um dado com números, e o outro com sinais de mais (+) e menos (-). Em

uma partida, cada jogador joga os dados por quatro vezes e anota as faces

superiores dos dados em cada lance, em seguida calcula o resultado de cada

partida e o resultado final de todas as seis partidas; vence aquele que obtiver a

maior pontuação final.

Sessão 4 - Inversão: Relação entre mais e menos.

Na Sessão 4 foram trabalhados outros seis problemas, tratando da relação

entre mais e menos, em que se buscava calcular o estado inicial do problema. As

imagens referentes aos problemas eram projetadas na tela, e os enunciados eram

lidos pelos pesquisadores para que os alunos, em duplas, resolvessem e

apresentassem a todos como pensaram para resolvê-los. Depois de socializadas e

1

Nestes jogos,

os jogadores podem acertar os Gremlins e ganhar um ponto para cada vez que

acertar.

Gremlins e naves espaciais

e

sua nave espacial pode ser

atingida por alienígenas e perderão

um ponto cada vez que forem

atingidos.

2

O jogador ganha 2 pontos

3

O Jogador perde 1 ponto

4

Pontuação inicial

?

No Jogo Pontuação Final

Ganhou 2

65

discutidas as soluções, os pesquisadores mostravam quais os resultados eram os

esperados, para que pudessem comparar com o que fizeram.

Apresentamos um exemplo de problema dessa sessão (Figura 5) e seu

respectivo texto: “Mike recolheu algumas fichas em uma caixa de sapatos. Amy dá

17 fichas a Mike. Agora ele tem 40 fichas. Quantas fichas ele tinha antes da Amy lhe

dar algumas?”.

40-17=23

Figura 8 – Ilustra o enunciado do problema das fichas

Retomamos nessa sessão o Jogo de Dados com o objetivo de trabalhar o

número negativo e seu valor relativo, em que um dos dados tinha as imagens do

Gremlin e do alienígena em suas faces, e o outro, números. Como no jogo da

sessão anterior, apresentado em áudio visual, o Gremlin correspondia a pontos

positivos e o alienígena a pontos negativos. Os alunos jogaram quatro vezes os dois

dados, e anotaram os resultados correspondentes às faces superiores. Em seguida,

calcularam o resultado. Cada dupla fez três sequências completas de quatro

jogadas, somaram os pontos e compararam o total com as outras duplas,

verificando quem ganhou, ou seja, que dupla teve a maior pontuação.

66

Sessão 5 – Cálculo Relacional

Na Sessão 5, foi trabalhado o jogo Soletrando com Números, com o objetivo

de identificar se o aluno compreende as posições relativas dos números e a relação

entre quantidades nas expressões “a mais”, “a menos”, “ter mais que”, “ter menos

que”.

O jogo Soletrando com Números consiste em um conjunto de 70 cartas, 36

cartas com números, destas 18 com números de 1 a 18 e sinais de “mais” (positivo),

e 18 cartas com números de 1 a 18 e sinais de “menos” (negativo); duas cartas com

o número zero; e 32 cartas de ação, sendo oito cartas com números de 1 a 8 com

setas verticais para cima, oito cartas com números de 1 a 8 com setas verticais para

baixo, oito cartas com números de 1 a 8 com setas horizontais para a esquerda e

oito cartas com números de 1 a 8 com setas horizontais para a direita.

Para começar o jogo, cada jogador recebe cinco cartas (verde) com números

e sinais e cinco cartas (laranja) de ação, e decidem quem irá começar o jogo. O

jogador deve formar uma sentença com três cartas, duas delas com números

positivos ou negativos, e outra com setas para cima, para baixo, para a esquerda ou

para a direita, chamadas de cartas de ação, para serem colocadas entre as duas

cartas com números relativos. As setas para baixo e para a esquerda significam

negativo, e as setas para cima e para direita, positivo. O primeiro jogador pode

estabelecer uma sequência, como -2 ↓ 3 que resultam em -5 (Figura 6).

Figura 9. Cartas do Jogo “Soletrando com Números”

ou

-2

↓3

-5

-5 3

-2

67

Em seguida, o outro jogador pode usar uma das cartas da sequência

formada, e combiná-las com duas de suas próprias cartas, para criar uma nova

sequência. Caso o jogador não consiga formar nova sequência, passa a vez para o

outro, que, se conseguir formar uma sequência, fica com as cartas e as coloca

viradas para baixo, próximo de si. Caso nenhum dos jogadores consiga formar nova

sentença, as três cartas da mesa são colocadas na parte inferior do monte e o

primeiro jogador as substitui por outras de cima do monte e tenta, com uma nova

sentença, novo número. Quem completa a segunda sentença ganha as cartas e as

recolhe para si com a face para baixo. O segundo jogador sempre deverá formar um

novo número usando uma das cartas da sentença estabelecida na mesa. O jogo

continua assim até que todas as cartas possíveis sejam utilizadas. O vencedor é o

jogador com mais cartas acumuladas, sem contar as que ainda têm em mãos e não

foram jogadas.

Ao concluir esta intervenção, foi aplicado, na semana subsequente, o primeiro

pós-teste que abordaremos no decorrer desta apresentação.

3.4.2 Intervenção 2

Na segunda intervenção, utilizamos alguns jogos, “Detetive”, “Fuja” e “Dados

do Gremlin”, com o objetivo de identificar se o aluno compreende a relação inversa

(estado inicial desconhecido) dos problemas e a relação entre quantidade e número.

O jogo de dados do Gremlin foi retomado para praticar os cálculos com números

negativos e facilitar a compreensão do uso destes números, à medida que as duplas

concluíam os jogos propostos.

A síntese das atividades trabalhadas nesta intervenção é apresentada no

Quadro 27, visto que, a cada sessão, certo grau de complexidade era acrescido aos

jogos, pela quantidade de transformações neles solicitadas.

68

Quadro 27 – Atividades da Intervenção 2

Sessão Atividade Significado dado ao

Número Relativo Objetivo

Sessão 1

Jogo Detetive com

uma transformação

Relação

(transformação)

Compreender a resolução

de problemas inversos

Jogo Fuja Medida Compreender o nº relativo

na reta numérica

Onde está o

segundo cofre? Quantidade

Compreender os cálculos

com nº negativos

Sessão 2

Jogo Fuja Medida

Compreender os nº

relativos na reta numérica

Jogo Detetive com

duas transformações

Relação

(transformação)



Onde está o terceiro

cofre? Quantidade

Compreender os cálculos

com nº negativos

Sessão 3

Jogo Detetive com

três transformações Relação



Jogo Fuja Medida

Compreender o nº relativo

na reta numérica

Sessão 4

Situações Problemas Relação “a mais” e

“a menos”

Compreender o Cálculo

Relacional Sessão 5

69

Sessão 1 - Jogos

No Jogo “Detetive”, cada dupla recebe um envelope com 10 questões, cujas

respostas estão em outro envelope, de posse do pesquisador. O pesquisador conta

uma história, explicando que as soluções das 10 questões são os números da

combinação de um cofre, no qual um ladrão escondeu uma arma, e o detetive

deveria encontrar. Como exemplo de pergunta, temos (Figura 7):

Figura 10 - Pergunta do jogo detetive

Em cada pergunta era apresentada uma ação e um número a ela vinculado

(a ser registrado na coluna ‘O que ele fez?’) e o resultado da questão (a ser

registrado na coluna ‘Resultado’) das Imagens 1 e 3 do Quadro 28. Juntando esses

números, o aluno descobre o número pensado e o registra no espaço

correspondente ao número de cada questão. Concluídos e registrados os cálculos,

passava-se para a segunda etapa do jogo, registrando para cada questão o giro

correspondente.

Com os números pensados, descobertos, gira-se o segredo do cofre

(Imagens 2 e 4 do Quadro 28), correspondentes às Questões de números 1 a 6 ou 7

a 12, respectivamente, a partir do zero (apenas nesse primeiro movimento); o

movimento no sentido horário, será para números positivos, e no sentido anti-

horário, para números negativos; em seguida conta-se à esquerda ou à direita,

conforme o sinal e o número, até parar, traçando em seguida, uma seta do centro

do dispositivo do segredo ao número correspondente (por exemplo, +15, ou seja,

girou-se a direita, contando conforme número e parou no 15). No segundo

movimento a partir do número anterior, (15), e no dispositivo correspondente à

Pergunta 2 segue contando, com o segundo número pensado (exemplo, +3) até

Pergunta 1: O detetive pensou em um número. Em seguida,

acrescentou 6. Seu resultado foi 1. Qual era o número em que ele estava

pensando?

70

parar (do exemplo, no nº 18) e traçar outra seta do centro do dispositivo ao número,

e assim sucessivamente, até se descobrir o segredo completo do cofre.

Quadro 28 – Quadros de registros das ações do Jogo Detetive

Na sequência, foi proposta a atividade, “Onde está o Segundo Cofre?”

conforme Quadro 29.

Nessa atividade, o número desconhecido nas sentenças, representado pelo

ponto de interrogação, corresponde a uma letra, conforme a tabela anexa à

atividade. Quando calculados os números e justapostas suas respectivas letras, na

sequência das sentenças, desvenda-se o enigma e encontra-se o segundo cofre.

O jogo tem o objetivo de familiarizar o aluno com a notação correta dos

números negativos, de promover a compreensão da utilização adequada dos sinais

envolvidos na atividade, de forma que possam diferenciar quando o sinal é do

número e quando se refere à operação; além de solicitar ao aluno que resolva cada

situação proposta e a relacione com uma letra.

5

Jogo de det et ive

1

2

3

4

6

Resultado

Sessão 1

Número Pensado? O que ele fez?

1

5

Jogo de det et ive

1 2 3 4

6

Sessão 1

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

2

11

Jogo de det et ive

7

8

9

10

12

Resultado

Sessão 1

Número para o seguro? O que ele fez?

3

11

Jogo de det et ive

7 8 9 10

12

Sessão 1

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

78

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

78

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

0 12

3

4

5

6

17

19

18

14

16

15

11

13

7

8

12

9

10

4

71

Quadro 29 - Jogo “Onde está o segundo cofre?”

ONDE ESTÁ O SEGUNDO COFRE?

Resolva as questões para descobrir onde está o cofre.

1) +23 - 15 = ? 12) ? – 9 = - 13

2) +9 + 7 = ? 13) ? + 8 = 6

3) -5 – 1 = ? 14) - 10 + 6 = ?

4) -11 + 9 = ? 15) + 10 – 2 = ?

5) ? – 15 = -7 16) - 3 – 4 = ?

6) -15 – 5 = ? 17) - 11 + 19 = ?

7) - 4 + 8 = ? 18) ? – 1 = - 2

8) ? – 13 = - 15 19) ? + 6 = 4

9) ? - 2 = - 1 20) ? + 8 = - 4

10) ? - 12 = - 7 21) ? + 24 = 25

11) - 6 - 4 = ? 22) - 22 + 20 = ?

A B C D E F G H I J K L M

-2 4 -12 -4 8 -3 -1 2 1 11 23 -7 -20

N O P Q R S T U V W X Y Z

3 -10 9 15 0 16 -6 -5 -17 12 5 -18 -9

Fonte: Nunes et al., 2011

Conforme as duplas iam concluindo as atividades, era-lhes oferecido o jogo

de dados do Gremlin, no qual, cada um dos alunos deveria jogar os dados duas

vezes e calcular sua pontuação e comparar com a do seu parceiro, verificando qual

resultado era maior, e ganharia pontos no jogo se a diferença fosse para mais de

três pontos.

72


A proposta, nessa sessão, foi a de trabalhar Números Inteiros, na relação

entre quantidade e número. Para isso, propusemos três atividades, o jogo “Fuja”, o

jogo “Detetive” com duas transformações, e a atividade “Onde está o terceiro cofre”.

O objetivo é identificar se o aluno compreende a relação entre quantidade e número.

O jogo “Fuja” é composto por um tabuleiro que contêm no cenário um

laboratório de ciências e uma reta numérica com números positivos e negativos (um

para cada dupla), dois personagens para cada aluno mover ao longo da reta

numérica, dois dados um com números de 1 a 6 e outro com três sinais (+) positivos

e três sinais (-) negativos.

A história neste jogo conta que, em uma experiência no laboratório de

ciências, um recipiente que continha um produto desconhecido explodiu e os

personagens que lá estavam foram cobertos por uma substância pegajosa. Para

não ficarem grudados, deveriam estar a quatro pontos ou mais, distantes um do

outro.

Figura 11. Laboratório de Ciências - cenário do jogo Fuja (Nunes et al., 2011).

Assim que jogavam os dados anotavam seus lances no Quadro 30, nas

colunas respectivas aos nomes de seus personagens e calculavam a distância entre

eles para verificar se estariam distantes de quatro ou mais pontos ou se grudados,

por estarem distantes a menos de quatro pontos.

-1-2-3-4-9 -8 -7 -6 -5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

73

Quadro 30 - Para registros dos Resultados do Jogo Fuja

Fonte: Nunes et al., 2011.


Na Sessão 3, foi aplicado o jogo Detetive com três transformações e em duas

turmas, do Grupo Números Inteiros retomado o jogo “Fuja”.

Sessões 4 e 5 – Cálculo Relacional

Nas Sessões 4 e 5 desta segunda intervenção, foi aplicada uma série de

problemas com o objetivo de identificar se o aluno compreende a relação no sentido

de ter “a mais” ou “a menos” objetos, medidas etc., ao resolver problemas.

Apresentamos o texto de um dos problemas utilizados nestas sessões que

eram projetados na parede da sala.

“Dois amigos Sam e Tim estão discutindo quem é mais alto do que seu

próprio irmão (maior diferença). Sam tem 165 cm, o irmão de Sam tem 150 cm,

Tim tem 180 cm e o irmão de Tim tem 170 cm. Você pode ajudar os amigos a

descobrirem qual dos dois tem a maior diferença de altura comparada com o

irmão?”

Fuja!!! Sessão 2

Nome Nome Distantes Diferença Grudados

74

Figura 12 – Problema das alturas

Os alunos tinham em seus livretos a apresentação do problema como

apresentado na Figura 13.

Sessão 4

Diagrama Qual dos irmãos tem uma diferença

maior de altura um para o outro?

165cm

SamTim

150 cm 170 cm

180cm

Irmão de Tim

Irmão de Sam

Quem tem uma maior diferença de altura em relação ao irmão?

Figura 13 – Ilustração do Problema das alturas

Concluídas as intervenções, eram aplicados, na semana seguinte, os pós-

testes sobre os quais discorremos a seguir.

3.5 Os Pós-Testes

O primeiro pós-teste foi aplicado simultaneamente a duas turmas no primeiro

horário e na terceira turma após o intervalo. A aplicação se deu nos moldes do pré-

teste, com a projeção dos slides na tela, e leitura das orientações a cada teste,

pelos pesquisadores, acompanhados pelas professoras orientadoras.

Dos 28 testes propostos, oito eram de assuntos tratados no grupo resolução

de problemas; desses, cinco se referiam ao jogo do “fliperama” que trabalhavam

quantidades e relações; outros dois testes eram sobre quantidades e um teste sobre

a relação entre mais e menos em quatro situações de trocas de dinheiro.

O Pós-teste 2 foi aplicado no mesmo formato dos testes anteriores, composto

por 21 questões, destas, seis foram relativas aos assuntos tratados no grupo

75

resolução de problemas com foco no conceito dos números negativos, sendo três

do jogo fliperama, uma sobre quantidades e duas da relação entre mais e menos.

Quanto ao Pós-teste 3, último teste do projeto, foram privilegiados os

significados dos números negativos trabalhados no Grupo dos Números Inteiros, de

forma que, dos 34 testes aplicados, 14 foram de assuntos relacionados aos

trabalhados no Grupo dos Números Inteiros. Desses, quatro testes foram relativos

ao jogo fliperama e três tratavam das Relações entre mais e menos no contexto de

acerto monetário. No significado de Quantidade, três questões de cálculo dos

números que substituem as letras, três no significado de relação das questões que

versaram entre “a mais” e “a menos”, e quatro questões de multiplicativos para o

cálculo de proporções. O terceiro pós-teste foi incluído na análise por contemplar

questões abordadas nos testes anteriores, contribuindo com o processo de análise.

Após a descrição em detalhes sobre os procedimentos metodológicos

utilizados no estudo, procederemos, no Capítulo 4, à análise dos resultados com

base nos instrumentos de coleta de dados da pesquisa.

76

4. Análise dos Resultados

Neste Capítulo, detalharemos as observações registradas nas aplicações dos

pré e pós-testes e dos estudos de intervenção, de forma que possamos resgatar

diálogos advindos das discussões no grupo sobre as soluções dadas pelos alunos

aos problemas propostos.

No pré-teste, observamos que as questões propostas para calcular a situação

inicial do problema e as de composição de resultados foram as que os alunos

tiveram maior dificuldade para chegar às respostas. A necessidade de articular

todas as informações para se chegar ao resultado acarretou dificuldades para a

compreensão do que fazer, e, consequentemente o baixo índice de acertos. Como

foi relatado por Marthe (1979, apud BORBA, 2004), os problemas inversos com

números inteiros relativos envolvem complexa operação mental, e não são

facilmente resolvidos por estudantes de até 15 anos de idade.

Tal dificuldade é evidenciada no Pré-teste quando comparamos o

desempenho dos grupos, “Números Inteiros” e “Controle” apresentados na Tabela 1.

Destacamos que, segundo os dados quantitativos apresentados, não se

verificou diferenças significativas nas porcentagens de acertos e erros dos dois

grupos.

Tabela 4 - Porcentagens do Pré-Teste

Pré-teste

(25 questões)

Questões Grupo dos

Números Inteiros Grupo Controle

Corretas 47 % 43 %

Erradas 42 % 41 %

Em branco 6 % 10 %

Para ilustrar o primeiro contato dos alunos com o número relativo,

apresentamos o protocolo de um aluno nesta fase inicial da pesquisa, referente a

uma questão que simula resultados de jogos do fliperama.

A proposta desta atividade era que o aluno verificasse nos jogos 2 e 3 as

quantidades de bolinhas representadas em cada área do fliperama, registrasse os

77

resultados e articulasse esses resultados com uma proposta para o jogo 1, de forma

que a pontuação final dos três jogos representasse um ganho de 2 pontos. Cabe

lembrar que as bolinhas que ficam na parte inferior do fliperama correspondem aos

pontos perdidos e na parte superior aos pontos ganhos. De acordo com a figura

original, o resultado deveria ser: jogo 3, ganhou 7 pontos; jogo 2, perdeu 6 pontos;

ficando assim, com o saldo de 1 ponto; e no jogo 1 representar as quantidades de

bolinhas que conduza ao resultado igual a 1 (um), ressalta-se que há várias

disposições das bolinhas, para o jogo 1, que levam a esse resultado, de modo que a

pontuação final, computados os resultados dos três jogos, represente um ganho de

2 pontos, ou seja, (jogo1 + jogo 2 + jogo 3 = 2).

Figura 14 - Protocolo de um aluno (208) referente ao Pré-Teste.

Observa-se que, nos jogos 2 e 3, ao invés de registrar apenas os resultados

dos jogos conforme a quantidade de bolinhas, o aluno desenhou a mesma

quantidade de bolinhas (vazias) na parte superior em um jogo e inferior no outro

jogo para zerar os placares e no jogo 1, desenhou adequadamente as sete bolinhas

de forma que ganhando cinco e perdendo três chegasse a pontuação final de dois

pontos ganhos. Verifica-se, nesse primeiro contato do aluno com o problema, que,

embora tenha chegado à pontuação solicitada, a resolução apresentada não foi a

78

esperada, mas deixa claro a utilização de um conceito em ação, apesar de não

válido para tal esquema, porque não atendeu a regra do jogo.

No desenvolvimento da Intervenção 1, mais especificamente, na Sessão 1

trabalhamos questões relacionadas às quantidades, relação entre mais e menos e

problemas em que a situação inicial era desconhecida. Havíamos sugerido o uso de

cartões coloridos para apoiar o raciocínio. Porém, observamos que, inicialmente, os

alunos não usavam os cartões, como sugerido, mas tentavam descobrir quais

operações poderiam usar. Alguns alunos contavam nos dedos para, em seguida,

anotar, no livreto de atividades, o resultado encontrado. Após isso, algumas duplas

começaram a confirmar seus resultados usando os cartões. À medida que os

problemas começaram a apresentar perdas maiores do que ganhos, surgiram

expressões do tipo “como eu tenho 4 e tiro 6?”, “então ficou com zero bolinhas”,

“ficou com nada”. De fato, percebemos que a tradução que fizemos do texto original

em inglês para as perguntas dos problemas pode ter levado a esses

questionamentos, pois a nossa pergunta era “com quantas bolinhas ficaria o jogador

no final do jogo?”. Quando passamos, então, a perguntar sobre o resultado final

para o jogo, e se nele o jogador havia perdido ou ganho bolinhas e quantas, outras

expressões surgiram, “Ah! Então ficou devendo”. A partir desta intervenção, as

duplas começaram a separar os cartões vermelhos para as bolinhas ganhas, e os

amarelos para as bolinhas perdidas, e juntarem os cartões de forma que um

vermelho “pagaria” um amarelo (composição um a um) verificando, em seguida, se

sobrava ou se ficava devendo bolinhas. Outra estratégia adotada pelas duplas foi a

da contagem em separado das cartas vermelhas e das amarelas envolvidas no jogo,

de forma que, subtraindo-se as quantidades dos cartões, verificavam qual das cores

sobrava e relacionavam a cor respectiva a ganho ou dívida. Um exemplo desta

estratégia foi assim relatado: “você conta as cartas, a que ganha e a que perde e

depois tira”. Perguntamos a eles, o que acontece, quando tem mais cartas amarelas

do que vermelhas? Responderam, “Perde mais do que ganha”. Verificou-se, neste

primeiro contato com a noção de número negativo, o uso ainda que tímido do sinal

negativo antes do número para representar a dívida de algumas bolinhas, contudo

não era possível afirmar que haviam compreendido o conceito.

Assim como Borba (2004), verificamos que, uma vez detectadas as

dificuldades dos alunos com números relativos, é possível, por meio de atividades

79

de mediação, auxiliá-los na compreensão destes, de maneira que eles venham de

fato a avançar nos seus conhecimentos. Fato este que corrobora com as pesquisas

de Davidson (1987, apud BORBA, 2004) e Davis (1990, apud BORBA, 2004), os

quais assinalam que crianças a partir dos quatro anos de idade são capazes de

conceber a existência de um número negativo numa dada situação-problema.

Na Sessão 2 (Intervenção 1), observamos que os problemas ditos diretos, em

que se quer determinar a situação final, foram mais rapidamente resolvidos pela

maioria dos alunos, possivelmente por serem mais trabalhados em sala de aula; ao

passo que nos problemas inversos, em que se buscava determinar a quantidade

inicial da situação problema, os alunos apresentaram maior dificuldade para

entender a composição das quantidades da transformação com a da situação final,

para a solução do problema. Em alguns momentos, os alunos mostravam que

sabiam o que estavam fazendo, qual era a resposta, mas a resolução efetuada não

foi registrada da forma “esperada”, isto é com o resultado depois do sinal de

igualdade.

A dificuldade na escrita reporta-se aos estudos de Carraher, Schliemann e

Carraher (1988, apud BORBA, 2004), eles verificaram que adultos e crianças têm

mais habilidade para resolver problemas oralmente, que o sucesso não é o mesmo

quando é solicitado que o problema seja resolvido por escrito.

Nos primeiros jogos da Sessão 3, não observamos dificuldades quanto aos

registros das pontuações; a dificuldade estava em como agrupá-las. Faziam, por

vezes, o raciocínio correto, mas erravam nas operações, se confundiam com os

sinais, outros não conseguiam fazer as contas incluindo a pontuação final. Veja um

exemplo do jogo, que enquanto lido pelo pesquisador, eram apresentadas por meio

do projetor as telas com o número de Gremlins ou alienígenas para o problema em

questão: “João estava jogando Gremlin. Ele começou a partida com alguns pontos,

não sabemos quantos. Entusiasmado ele acertou alguns4 Gremlins, em seguida

abateu outros Gremlins, e depois foi atingido algumas vezes5 por alienígenas. No

final, sua pontuação mostrou que ele tinha perdido o jogo por um ponto. Quantos

pontos ele tinha no inicio do jogo?”. De posse dessas informações as duplas

registravam suas observações, conforme ilustra o Quadro 31.

4 Projetado na tela certa quantidade de figuras correspondente ao problema. 5 Projetado na tela certa quantidade de figuras correspondente ao problema.

80

Quadro 31 - Resultados Jogo Gremlin

Pontuação

Inicial 1ª Jogada 2ª Jogada 3ª Jogada

Pontuação

Final

? +5 +4 -7 = -1

Como visto, cada problema era um jogo, e não era de fácil compreensão. Por

exemplo, os alunos não conseguiram entender o resultado -1 para esse jogo. Cabe

salientar que esse não foi o primeiro jogo proposto, por conta do grau de

complexidade imbricado à questão; todavia, sete dos 24 alunos das três turmas

acertaram esse problema. À medida que resolviam os problemas, alguns alunos

foram criando suas estratégias; seguem alguns exemplos relevantes. O primeiro

refere-se à produção oral, de como um aluno resolveu o jogo, que teve como

sequência (-1) +3+2-7= -3, “começou devendo 1, ganhou 3 ficou com 2, ganhou 2

ficou com 4, perdeu 7 ficou devendo 3, por isso tem que ser -1 no começo”. Outra

jogada interessante foi a que tinha a pontuação inicial igual à zero, e a sequência

estava dessa forma, (0) + 2 – 1 + 4 = +5. A maioria dos alunos teve dificuldade para

entender esse jogo e calcular os pontos do início, mas houve uma dupla que

justificou corretamente o resultado, assim dizendo “ganhou 2 e perdeu 1, ficou com

1 e depois ganhou 4, pra ficar com 5 no fim, tinha zero no começo”. Houve uma

parcela de alunos que não entendeu e não conseguiu resolver todos os problemas,

por outro lado, a maioria, quando auxiliados, chegava aos resultados, enquanto

outros mais autônomos foram capazes de resolver e entender o que fizeram.

Observamos, nessa sequência de atividades, que os problemas com três

jogadas, as pontuações inicial e final e a complexidade intrínseca aos sinais dos

números e das operações, exigiam mobilização de muitas novas informações e isso

se caracterizou como um complicador. Imaginamos que, se proposto inicialmente o

jogo com uma jogada apenas, em seguida com duas e finalmente com três jogadas,

essa estratégia poderia facilitar a compreensão dos alunos, e nos permitiria inferir

que, em situação de sala de aula, poderia vir a ser uma estratégia eficaz para os

alunos entenderem a resolução de problemas inversos.

81

O jogo de dados, um com números e outro com sinais de positivos e

negativos, em quatro jogadas, proposto ainda da Sessão 3, foi facilmente

desenvolvido pelos alunos, e gerou motivação para os cálculos. Com a analogia de

ganhar e dever, resolviam com mais desembaraço as contas e explicavam seus

raciocínios. Para a sequência, - 2 – 3 – 1 + 4 = - 2, disseram “usa os 4 para pagar os

6, mas não dá, então fica devendo 2”. Nota-se, nessa fala, que os alunos somaram

os negativos, como dívida, e o que tinham para pagar não quitava a dívida. Assim,

como relatado anteriormente, fica explícita a habilidade que os alunos têm em

resolver problemas oralmente; em contra-partida, para fazer os registros escritos há

a necessidade de intervenção. Em outra sequência de jogadas, +3 – 6 + 5 – 4 = -2,

um aluno explica “comecei com 3, daí devo 6, fico devendo 3, ganhei 5 fiquei com 2,

paguei 2 dos 4, fiquei devendo 2”. Nesse caso, o aluno mostra a compreensão em

lidar com os números negativos da sequência. Outro exemplo que merece destaque

é a solução dada à sequência, +3 – 4 – 1 + 2 = -5. Apesar de errar ao registrar o

resultado, a estratégia de um aluno chama a atenção; quando perguntado porque

separou os números 3 e 2, respondeu “porque é mais e os menos”; questionado, se

tem 5 e deve 5 com quanto fica, disse “nada, zero” e registrou da seguinte maneira

seu raciocínio:

+3 - 4

+2 - 1

Isso nos leva a confirmar que os problemas diretos, mesmo com números

negativos, são facilmente resolvidos pelos alunos.

Esta observação relacionada à maior facilidade em resolver problemas

diretos está presente nos estudos relatados anteriormente, mas um fato relevante

que devemos ressaltar é que Borba (2004) observou em suas pesquisas que os

alunos que discutiram problemas inversos avançaram mais seus estudos do que os

alunos que discutiram apenas os problemas diretos. A autora observou que os

alunos que pertenciam ao grupo de estudo dos problemas diretos tiveram avanços

apenas na aprendizagem deste tipo de problema, enquanto os alunos do grupo de

estudo dos problemas inversos avançaram em ambos os tipos de problemas, diretos

e inversos.

82

Na Sessão 4, propusemos, ao todo, seis problemas (Anexo 2) para serem

resolvidos; e observamos, durante a resolução do primeiro problema proposto, cujo

resultado esperado era 21+12=33 ou 12+21=33, que, três alunos fazem a conta “21

– 12”, um deles usou risquinhos e concluiu dizendo “porque sobrou 12”; outro aluno

executou mentalmente o cálculo e respondeu corretamente, 33 e outro que contou

os sanduíches na tela para concluir, 33. Todas as outras duplas fizeram a conta e

concluíram de modo correto, justificando que “para sobrar 12, ela fez 33”.

Quanto ao Problema 2, cuja solução esperada era uma conta de subtração,

uma dupla justifica sua solução, 32 – 18 =14, dizendo “a gente sempre faz conta de

menos quando quer descobrir quanto tinha antes”; havia um aluno que sempre fazia

duas operações, uma de adição e outra de subtração ao resolver os problemas,

nesse caso fez 14 + 32 = 46 e 14 – 23 = 22 e concluiu, “Lucas tinha 22 jogos antes”;

nota-se, nas duas operações, a parcela 14, o que nos leva a pensar que em algum

momento do cálculo tenha encontrado o valor, porém sendo menor que 18, somou

ao total. Quanto à subtração, talvez tenha pensado em 32 e registrado 23, mas de

qualquer forma se equivocou na resolução. Por conta dessa justificativa, outro aluno

concluiu que “nunca pode passar de 32 porque é o numero final, isso dá pra

descobrir que a conta é de menos”.

Todos os alunos acertaram o Problema 3, dessa sessão, (37-19=18). Porém,

algumas estratégias merecem destaque. O aluno que fazia sempre duas operações,

nesse problema desenhou 37 bolinhas e riscou 19, e concluiu corretamente o

resultado. Outro aluno, com dificuldades para registrar seu raciocínio, escreveu 37

vezes o algarismo “1” e disse “ele tinha 37, vendeu 19 e ficou com menos de 37 que

deu 18”, certamente ocorreu um equívoco no registro, pois a construção do

raciocínio está correta.

Com relação ao Problema 4, ? + 16 =43, que explora a relação inversa,

observou-se que houve equívocos quanto a interpretação e a operação a se usar; o

fato de ter perdido algumas flores, induziu alguns alunos a efetuarem uma

subtração, 27 – 16 =11, mas a maioria compreendeu e acrescentaram “pra saber o

começo tem que somar”.

O Problema 5, que abordou uma situação direta, foi resolvido rapidamente e

sem dificuldades, o que nos leva a refletir sobre a possibilidade deste tipo de

83

situação ser mais trabalhado em sala de aula do que os problemas de situação

inversa.

Similar ao Problema 4, percebemos, pelas soluções dadas ao Problema 6,

que os alunos ainda não haviam compreendido como raciocinar na situação inversa,

e que também não chegaram ao resultado por optar pela operação de subtração

quando deveriam adicionar.

O Jogo de Dados com figuras do Gremlin e do alienígena foi a atividade que

fechou a Sessão 4. Nessa atividade, observou-se que as duplas faziam as

anotações dos números e seus respectivos sinais adequadamente, contudo ainda

cometiam erros ao somá-los. Na comparação dos resultados de três duplas que

obtiveram os totais de -12, -14 e -8, foi perguntado pelo pesquisador qual dupla era

a vencedora, um aluno respondeu “a que tem 14” e foi prontamente contestado

pelos outros que concordaram que a dupla vencedora foi a que havia obtido, -8

pontos e justificaram dizendo que “foi a que perdeu menos”.

Diante dessas constatações, podemos admitir que é possível se trabalhar

atividades que envolvam números negativos com alunos de oito a dez anos de

idade, e que são capazes de resolvê-las mesmo que não lhes apresentem

formalmente o conceito.

Assim, não compreendemos como contraponto os estudos de Davidson

(1987, apud BORBA, 2004) e Davis (1990, apud BORBA, 2004) e de Gallardo e

Rojano (1992, apud BORBA, 2004) e Küchemann (1981, apud BORBA, 2004) como

apresentados por Borba (2004), mas como complemento. Acreditamos que

realmente crianças a partir dos quatro anos de idade são capazes de conceber a

existência de um número negativo numa dada situação-problema, como relatado por

Davidson (1987, apud BORBA, 2004) e Davis (1990, apud BORBA, 2004) e também

que a compreensão de um conceito não é determinada apenas por uma faixa etária,

mas deve-se observar o conjunto que influenciou o desenvolvimento conceitual,

como abordaram Gallardo e Rojano (1992, apud BORBA, 2004) e Küchemann

(1981, apud BORBA, 2004).

O jogo “Soletrando com Números” foi de difícil compreensão; a maioria das

duplas não conseguiu formar as sentenças com as cartas conforme mostramos na

Figura 6 da página 61, sobretudo pela complexidade de raciocínio exigido para a

tarefa, aliado à quantidade de informações a serem organizadas para se

84

estabelecer uma sentença, da mesma forma que o jogador seguinte não conseguia

combiná-las com suas cartas para a sequência do jogo, o que prejudicou sua

aplicação, tornando-o pouco produtivo e sem efeito ao objetivo a que se propunha.

Na Tabela 5, apresentamos o desempenho dos alunos na Intervenção 1.

Podemos observar que, dos 24 alunos das três turmas que compunham o Grupo

dos Números Inteiros, 17 deles, tiveram desempenho com índices de acertos, que

vão de 52% a 88,09%, o que perfaz uma média porcentual de acertos de 67,71%

nas atividades que envolveram números inteiros relativos. Um percentual

significativo, o que valoriza a ação da intervenção.

Tabela 5 - Desempenho dos alunos nas atividades da Intervenção 1 – GNI6

Aluno Acertos % de

Acertos Acertos Parciais

% de Acertos Parciais

Erros % de Erros

Quantidade de

Questões em Branco

Quantidade de itens em que o aluno trabalhou

61 Itens7 Previstos

102 3 25,00 1 8,33 7 58,33 1 12

47 Itens

Propostos

109 22 73,33 2 6,66 3 10,00 3 30

116 12 25,53 12 25,53 21 44,68 2 47

118 15 35,71 9 21,42 14 33,33 4 42

120 6 17,64 8 23,54 12 35,29 8 34

125 26 63,41 6 14,63 6 14,63 3 41

127 30 63,83 6 12,76 8 17,02 3 47

128 24 85,71 1 3,57 3 10,71 0 28

201 30 63,83 11 23,40 5 10,63 1 47

47 Itens

propostos

204 37 78,72 6 12,76 2 4,25 2 47

211 30 63,83 9 19,14 2 4,25 6 47

218 8 30,77 5 19,23 12 46,15 1 26

219 33 70,21 9 19,14 4 8,51 1 47

221 10 21,27 18 38,29 11 23,40 8 47

224 29 61,70 5 10,63 7 14,89 6 47

230 27 57,44 11 23,40 6 12,76 3 47

307 23 54,76 13 30,95 6 14,28 0 42

42 Itens

Propostos

311 9 47,36 2 10,52 1 47,36 7 19

316 37 88,09 3 7,14 1 2,38 1 42

319 35 83,33 3 7,14 3 7,14 1 42

321 25 59,52 11 26,19 6 14,28 0 42

324 13 52,00 4 16,00 7 28,00 1 25

327 30 71,43 6 14,28 5 11,90 1 42

329 15 60,00 3 12,00 6 24,00 1 25

6 GNI - Grupo dos Números Inteiros 7 Em cada atividade (problema, jogo), da Intervenção 1, havia vários itens possíveis de diagnóstico (respostas, registros, desenhos, diagramas). Assim em todas as atividades programadas tínhamos 61 itens possíveis de avaliação.

85

Quando iniciamos a Intervenção 2, utilizando o “Jogo Detetive” com uma

transformação (Quadro 28, p. 64), observamos que a etapa da atividade relacionada

ao cálculo do número inicial na situação-problema, denominada por Nunes (2005)

como problema inverso, foi desenvolvida com certa facilidade pelos alunos. Os

problemas desta etapa eram do tipo: “O ladrão pensou em um número, em seguida

acrescentou 1 ao número pensado e o resultado foi -3. Qual foi o número que ele

pensou?”.

Porém, a próxima etapa deste jogo consiste em transcrever o número

pensado, simulando o giro da engrenagem do segredo do cofre, conforme o sinal do

número, e ainda desenhar uma linha do centro da engrenagem ao número em que

deveria parar (Figura 15), acrescentou certa complexidade ao raciocínio, dado

também à quantidade de informações para serem processadas ao mesmo tempo;

contudo conseguiram acertar, nestas últimas etapas do jogo, três em cada seis

informações solicitadas.

Figura 15 - Protocolo do aluno (125)

Com a aplicação do jogo de dados do Gremlin, ainda na Intervenção 2,

observamos algumas manifestações relevantes dos alunos. Por exemplo, quando

nas jogadas se obtinham, -6 + 2 =? Ouvia-se “seis menos, mais 2, dá 4 menos”; e

ainda com as jogadas, -4 – 3 =? “estou devendo 3, vou dever outros 4, fico devendo

7” e em outra dupla “os dois sinais são de menos tem que juntar”. Diante dessas

explicações reafirmamos as pesquisas exploradas por Borba (2004) de que há

86

possibilidade de sucesso no trabalho com os números relativos nos anos iniciais do

Ensino Fundamental.

Entretanto, na atividade “Onde está o segundo cofre?”, duas turmas do Grupo

dos Números Inteiros resolveram as sentenças desta atividade sem grandes

dificuldades, visto a rapidez com que concluíram a mesma. Isso denota que esse

tipo de atividade, mesmo com números negativos, pode ser inserido no dia a dia da

sala de aula do quarto ano do Ensino Fundamental.

Cremos que as potencialidades e fragilidades encontradas nos jogos do

“Fliperama” e “Onde está o segundo cofre” consistem respectivamente em que o

primeiro foi apresentado apenas nos testes, enquanto o segundo foi realizado em

dupla, não obstante a complexidade de raciocínio para resolver as questões do

Fliperama.

O próximo jogo utilizado no pós-teste 1 foi o jogo “Fuja”. Neste jogo, os alunos

tinham que achar a distância entre os personagens, contando os passos entre cada

número da reta, conforme a Figura 8 da página 66.

Acreditamos que esta atividade não fornece subsídios suficientes para afirmar

que os alunos entenderam a operação envolvida no cálculo. Porém foi uma

atividade com alto índice de acertos. A dificuldade que encontramos nesta atividade

foi explicar a situação apresentada em, 1 – (-1) por mais que tentássemos não nos

fizemos entender, mas também não era esse o objetivo naquele momento.

O jogo Detetive, nesta sessão com duas transformações, foi resolvido pela

maioria das duplas efetuando os cálculos de forma correta, reconhecendo os sinais

e determinando os números inicialmente pensados. Dessa forma, foi possível notar

algumas explicações como: “Se tenho 5 e devo 4, fico com 1 e para ter 8 no final,

tenho que ter 7 no começo” e “se tem -3 – 4, vou juntar e devo 7, então -7 e para ter

3 no final, preciso ter 10”. Assim como na atividade anterior, os alunos tiveram bom

desempenho nos cálculos dos números iniciais. No entanto, a dificuldade e o alto

índice de erros nessa segunda etapa da atividade ficaram por conta da não

compreensão do registro dos giros nos sentidos horário e anti-horário para o

segredo do cofre com parada na posição correta para cada número calculado.

Dificuldade que não podemos atribuir à noção dos números relativos explorados

nesta pesquisa, mas talvez a noção de lateralidade. Acreditamos que a dificuldade

87

do aluno esteja em não conseguir entender o signo (S) para encadear com o

significante (s) e compreender o significado (I), conforme a tríade de Vergnaud

(1996).

Para a senha do terceiro cofre, algumas duplas resolveram com facilidade a

atividade, apesar do acréscimo de complexidade nos cálculos, porém, as

experiências das sessões anteriores permitiram, nessa terceira vez, o uso de

estratégias, com mais segurança; por outro lado, proporcionou outra oportunidade

aos alunos, de sanarem possíveis dúvidas e conseguirem resolver as sentenças.

Com as intervenções as dúvidas em relação aos signos foram gradativamente

superadas e temos a convicção de que as facilidades encontradas devam-se ao fato

dos “conceitos tornarem-se significativos no decorrer das situações” como explora

Vergnaud (1990).

Quando foi aplicado o jogo Detetive com três transformações, a solução de

alguns problemas dessa sessão foi imediata, e todas as duplas acertaram os

valores iniciais do jogo, melhorando inclusive o desempenho quanto aos registros

referentes aos giros do segredo do cofre.

Nas sessões que se seguiram, houve turma com rendimento melhor que

outra, mas o que se observou, no geral, é que todas as turmas acertaram mais da

metade dos problemas propostos. Nos problemas inversos, todos os alunos tinham

a mesma necessidade de estabelecer uma quantidade inicial, e isso, muitas vezes,

dificultava o raciocínio e a resolução. Poucos usaram as ideias trabalhadas antes,

como, por exemplo, associar a perda ao negativo. Outra dificuldade encontrada foi a

de estabelecer com eles a necessidade de organização dos dados do problema em

um diagrama para facilitar sua compreensão, um esquema que viesse garantir as

diferentes formas de representação e, consequentemente, usar a operação

adequada. Neste aspecto corroboramos com Vergnaud (1996) de que a

compreensão do conceito de esquema proporciona um indispensável vínculo entre a

conduta e a representação. Mas, havia sempre uma preocupação excessiva na

identificação da operação a realizar. A cada semana que retomávamos o trabalho

com os problemas, tínhamos que solicitar continuamente que esboçassem um

esquema que facilitasse a compreensão e a solução, a maioria ia direto às contas.

Apesar disso, alguns diálogos mostravam um pouco a noção do que havíamos

88

trabalhado na pesquisa até o momento, e alguns alunos tentavam esboçar

diagramas, porém não nos convencemos que eles sabiam claramente o que faziam.

Apresentamos a seguir, um resumo do desempenho dos alunos na

Intervenção 2, na qual se observa que 50% dos alunos resolveram corretamente as

atividades, e obtiveram em média 62,03% de acertos. Ao agregarmos nos

resultados de acertos de cada aluno, os acertos parciais das questões propostas,

esse índice atinge 75%, mostrando que dezoito dos vinte e quatro alunos

participantes da intervenção apresentaram média de acertos de 60,33%.

Tabela 6 – Desempenho dos alunos nas atividades da Intervenção 2 - GNI

Aluno Acertos % de

Acertos Acertos Parciais

% de Acertos Parciais

Erros % de Erros

Quantidade de

Questões em Branco

Quantidade de itens em que o aluno trabalhou

120 Itens

8

Previstos

102 30 33,70 0 0,00 12 13,48 47 89

114 Itens

propostos

109 46 46,00 10 10,00 19 19,00 25 100

116 32 32,32 7 7,07 20 20,20 40 99

118 0 0,00 0 0,00 0 0,00 0 0

120 51 49,51 13 12,62 33 32,03 6 103

125 46 40,35 14 12,28 33 28,94 21 114

127 42 49,19 7 7,86 22 24,71 18 89

128 67 69,79 7 7,29 16 16,66 6 96

201 64 60,95 7 6,66 25 23,80 9 105

105 Itens

propostos

204 76 72,38 2 1,90 24 22,85 3 105

211 72 68,57 4 3,80 23 21,90 6 105

218 28 30,43 8 8,69 19 20,65 37 92

219 53 50,47 6 5,71 10 9,52 35 105

221 25 25,77 7 7,21 32 32,98 33 97

224 74 70,47 6 5,71 4 3,80 21 105

230 65 61,90 8 7,61 22 20,95 10 105

307 37 46,83 13 16,45 15 18,98 14 79

109 Itens

propostos

311 25 34,72 8 11,11 22 30,55 17 72

316 56 51,37 10 9,17 27 24,77 16 109

319 47 43,92 7 6,54 27 25,23 26 107

321 62 56,88 9 8,25 1 17,43 19 109

324 78 71,55 6 5,50 25 22,93 0 109

327 58 53,21 7 6,42 35 32,11 9 109

329 62 56,88 6 5,50 28 25,68 13 109

8 Em cada atividade (problema, jogo), da segunda intervenção, havia vários itens possíveis de diagnóstico (respostas, registros, desenhos, diagramas). Assim em todas as atividades programadas tínhamos 120 itens possíveis de avaliação.

89

As etapas da pesquisa que sucediam as intervenções consistiam na

aplicação dos Pós-Testes. Nestas etapas aplicamos algumas simulações do Jogo

Fliperama, a partir de quadros que mostravam três situações de jogos e observamos

a dificuldade dos alunos em resolver os jogos cujas questões solicitaram o desenho

de sete bolinhas para constituir o resultado. A maioria dos alunos desenharam

aleatoriamente as bolinhas, alguns desenharam mais do que sete bolinhas e muitos

não levaram em conta a composição desse resultado com os dos outros jogos do

quadro, conforme ilustrado na Figura 16.

Figura 16 - Protocolo do Aluno (121)

Apresentamos o quadro comparativo dos grupos Números Inteiros e Controle,

quanto ao percentual de desempenho nos Pós-testes da Pesquisa.

Tabela 7 - Comparativo Percentual dos grupos “Números Inteiros” e

“Controle” nos Pós-Testes.

Pós-Teste Questões Grupo dos

Números Inteiros

Grupo

Controle

Pós 1

(28 questões)

Corretas 34 % 31 %

Erradas 31 % 38 %

Pós 2

(21 questões)

Corretas 40 % 35 %

Erradas 46 % 48 %

90

Pós 3

(34 questões)

Corretas 50 % 56 %

Erradas 40 % 35 %

Analisando o desempenho dos dois grupos nos Pós-Testes, a partir do

Quadro 32, observamos uma ligeira vantagem do Grupo dos Números Inteiros nos

dois primeiros testes, mas a vantagem não se mantém no pós-teste 3, apesar de ter

crescido percentualmente, em relação aos dois testes anteriores.

Embora o comparativo (Tabela 7) não apresente grandes diferenças em

termos percentuais, quando considerado o contexto de todas as questões em cada

teste, os alunos do grupo dos Números Inteiros vivenciaram diversas situações com

os números negativos em vários significados, e, a partir dessas experiências,

produziram registros escritos e orais que revelaram possível compreensão destes

números.

A sequência de Protocolos que iremos explorar refere-se a registros do aluno

(208) referido no pré-teste (Figura 11, página 71), participante do Grupo dos

Números Inteiros, em relação ao jogo do Fliperama nos pós-testes.

No Pós-Teste 1, o aluno apresentou uma evolução em relação ao Pré-Teste,

quanto a compreensão da atividade. O progresso não consiste apenas na

compreensão de cada etapa, mas na resolução de toda a atividade, pois o aluno

resolveu corretamente os jogos 2 e 3 e também anotou corretamente as sete

bolinhas no jogo 1 para compor a pontuação final solicitada.

Figura 17 - Protocolo do aluno (208) referente ao Pós-Teste 1

91

Constata-se que, tanto o conceito, como o teorema em ação foi formalizado

corretamente, para que o aluno acomodasse tal pensamento, e assim buscar o

possível esquema para resolver a situação apresentada.

No próximo teste verificou-se que o aluno aprimorou sua forma de registro.

Apresentou em cada jogo as seguintes anotações: p1 - que significa perdeu um

ponto; g2 - ganhou dois pontos e p4 - perdeu quatro pontos.

Essas abreviações expressam corretamente a solução da atividade, como se

pode verificar na Figura 18.


Finalmente, apresenta-se o registro do último teste com ganhos importantes

na aprendizagem deste aluno. De certa forma, podemos dizer que houve uma

institucionalização deste esquema em ação, e que tanto o conceito em ação como o

teorema em ação foi aprimorado.


92

Nota-se, a partir do Pós–Teste 3, o progresso do aluno na forma de registrar

os números relativos, após os três trabalhos de intervenção. A anotação dos

resultados de cada jogo com números inteiros relativos e seus respectivos sinais de

mais (+) significando ganho e de menos (-) significando perda, e ainda o arranjo da

pontuação final com saldo positivo de dois pontos a partir da composição dos

resultados dos três jogos. Este fato vem ao encontro da questão que esta pesquisa

visa responder: É possível, com atividades lúdicas e problemas matemáticos,

ensinar números negativos, suas representações e seus significados a alunos de 8

a 10 anos de idade?

Vale salientar que nos estudos de Intervenção foram trabalhados os

conceitos abordados no jogo “Fliperama”, mas as questões que simulavam este jogo

foram utilizadas apenas no Pré e nos Pós-testes, o que nos permite inferir a

apropriação desse conhecimento pelo aluno.

Entretanto no que se refere ao raciocínio probabilístico não foi possível

detectar se as noções dos números inteiros abordadas nesta pesquisa auxiliaram na

compreensão dos conhecimentos básicos de probabilidade.

93

5. Considerações Finais

Com o propósito de contribuir para a pesquisa sobre o ensino de números

inteiros e de probabilidade para alunos de anos iniciais do ensino fundamental,

procedemos às sínteses das reflexões e dos resultados deste trabalho para tirar

algumas conclusões, e, considerando os objetivos originalmente propostos, sugerir

possíveis desdobramentos.

Com esta pesquisa, tivemos como objetivos a investigação da possibilidade

de se iniciar os estudos das noções de números inteiros com alunos de oito a dez

anos de idade por meio da resolução de problemas, e se a apreensão destas

noções facilitariam na compreensão dos conhecimentos básicos de probabilidade.

Tendo em mente tais objetivos, verificamos a relevância do trabalho, e definimos as

questões de pesquisa, quais sejam:

É possível, com atividades lúdicas e problemas matemáticos, ensinar

números negativos, suas representações e seus significados a alunos

de 8 a 10 anos de idade?

O conhecimento dos Números Inteiros auxilia o aluno na construção do

pensamento probabilístico?

Em seguida, buscamos subsídios na literatura sobre o tema que pudessem

nos auxiliar nas reflexões em relação à proposta de iniciar os estudos de números

negativos nos anos iniciais do Ensino Fundamental, e apresentamos esses estudos

no Capítulo 1.

A base teórica deste estudo está fundamentada na Teoria dos Campos

Conceituais de Vergnaud (1982, 1990, 1996, 2009), com enfoque no Campo

Conceitual Aditivo, que foi discutido em detalhes no Capítulo 2.

No Capítulo 3, definimos os procedimentos metodológicos, que consistiram

na descrição da pesquisa, do público alvo, do instrumento diagnóstico (pré e pós-

testes) e das intervenções de ensino (1 e 2).

O passo seguinte à realização do estudo foi a análise dos resultados

coletados a partir dos instrumentos diagnósticos e de intervenção (Capítulo 3).

94

Neste Capítulo, constatamos que tanto os alunos do Grupo de Números Inteiros

como os alunos do Grupo Controle apresentam dificuldades em resolver problemas

inversos envolvendo os números negativos, eles utilizam um conceito-em-ação não

válido para tal esquema-em-ação. Esta dificuldade foi amenizada na Intervenção I, o

Grupo de Números Inteiros ganhou autonomia em discorrer sobre números

negativos, fato percebido nas discussões das duplas. Ficava explícita a

compreensão em relação aos números negativos durantes essas discussões, mas

os registros não traziam estas informações. Os registros apresentam fragilidades na

resolução de problemas inversos; nos agrupamentos, os alunos confundiam os

sinais; e, ao relacionar as nomenclaturas às operações, esse erro de registro pode

ter acontecido devido à crença de que a adição sempre consiste em “juntar” e a

subtração relaciona-se sempre a “retirar”. Como não há o que juntar ou retirar em

um problema de comparação, as crianças não conseguem ver a necessidade de

fazer um cálculo.

Na Intervenção 2, os alunos resolveram problemas inversos com mais

facilidade, e obtiveram êxito em suas resoluções, além de aprimorarem a

compreensão relacionada às nomenclaturas dos números relativos. Acreditamos

que, nesta etapa, os alunos já compreenderam a situação em que o problema está

inserido (S), que deram sentido ao conceito, aprimoraram o uso do conjunto dos

invariantes operatórios (I) para analisar e dominar as diversas situações e

finalmente a definição de um esquema em ação, de tal forma que o significado (s),

permitiu representar simbolicamente o conceito, que será reconhecido e utilizado

pelo aluno, para representar, analisar e dominar as diversas situações que sejam

similares a esse campo de estudo.

Foram explorados também, nesta intervenção, problemas envolvendo três

transformações e as turmas tiveram mais de 50% de acerto. Embora não tenham

utilizado as ideias trabalhadas referentes a problemas inversos, e não tenham

vinculado as informações às representações; notamos que a preocupação dos

alunos ainda consiste em resolver a operação.

Cabe ressaltar que as Intervenções 1 e 2 foram realizadas apenas com o

Grupo dos Números Inteiros, no período normal de aula, em ambiente separado da

95

sala de aula regular. O Grupo Controle permanecia na sala de aula com a

professora em atividades normais, constantes do seu plano.

Os pós-testes foram aplicados em ambos os grupos, e os alunos do Grupo

dos Números Inteiros mostraram-se estar mais seguros ao resolver os testes, e,

apesar do percentual ser discreto, os alunos do Grupo dos Números Inteiros

sobressaíram-se nos dois primeiros testes dos três aplicados.

Verificamos que, apesar da tímida diferença do Grupo dos Números Inteiros

em relação ao Grupo Controle nos dois primeiros testes, ela é composta de

significativos ganhos à aprendizagem dos alunos. Tivemos alunos de 9 a 10 anos de

idades que, após as intervenções, apresentaram registros equivalentes aos

esperados, no Brasil, por alunos de 12 a 13 anos de idade, ou seja, dos anos finais

do Ensino Fundamental.

No terceiro teste (pós-teste 3), o Grupo dos Números Inteiros não teve o

mesmo êxito. Acreditamos que este fato se deveu ao contexto em que o mesmo foi

realizado. Por se tratar do último teste, todos os envolvidos já estavam desgastados,

e também tivemos problemas com os recursos tecnológicos. Mas, as informações

coletadas nas etapas anteriores nos ofereceram condições de análise suficientes

para confrontarmos com as pesquisas anteriores apresentadas nesse estudo.

O Pós-Teste 3 serviu como teste de retenção de conhecimento, feito bastante

tempo depois da intervenção com números negativos. O insucesso parece bater

com a literatura que aponta diversos problemas quando se discute números inteiros

relativos. Os erros sempre voltam, mesmo que num certo momento de ensino

pareçam ter sido transpostos.

Como Passoni (2002), acreditamos que o procedimento adotado propicia

avanços na resolução de situações-problema que envolvem números relativos, visto

que os progressos foram evidentes após as intervenções. Corroboramos com

Todesco (2006) de que há possibilidade de abordar números inteiros negativos na

3ª série/4º ano do Ensino Fundamental, ou seja, com alunos de 9 anos de idade.

Enfatizamos que os alunos são capazes de compreender determinados

conceitos desde que sejam oferecidos subsídios adequados para que aprimorem

seus conhecimentos (BORBA, 2004), e que a dificuldade não está tanto na

96

compreensão do significado e nem nas operações, mas nas representações dos

números inteiros (NUNES, 2012).

Assim, nos vemos aptos a responder as questões de pesquisa: inicialmente

postas e passamos a elucidá-las.

Verificamos que mais de 50% dos alunos envolvidos neste estudo são

capazes de representar os números negativos, e que compreendem os problemas

diretos e inversos no campo conceitual aditivo. Mas, ressaltamos que os sucessos

desses estudos deveram-se aos instrumentos utilizados e as intervenções, sendo

ambos indispensáveis para tais avanços.

Desta maneira, como as pesquisas anteriores, os resultados apontam ser

possível iniciar os estudos das noções de números inteiros com alunos de oito a dez

anos de idade por meio da resolução de problemas.

Além disso, se mostraram capazes de entender que o Número é um objeto da

Matemática usado para descrever quantidade ou medida, enquanto números

naturais, e de perceber que números inteiros são uma extensão dos números

naturais que incluem os números inteiros negativos.

Por fim, os resultados sintetizados e caracterizados acima cumpriram os

objetivos inicialmente propostos, e permitiram ratificar os estudos anteriores que

tratam a possibilidade de se iniciar o estudo dos números relativos nos anos iniciais

do Ensino Fundamental. No entanto, não sugerem a transferência para auxiliar

esses alunos na construção do raciocínio probabilístico.

Contudo, a consolidação desse processo conduz a novas investigações em

futuras pesquisas, pois acreditamos que os estudos apresentados podem ser

aprimorados.

Dentre os possíveis desdobramentos do presente trabalho, sugerimos a

utilização dos mesmos instrumentos de coleta de dados, em investigação com foco

na formação de professores dos anos iniciais e dos anos finais do ensino

fundamental, de forma que possam explorar, a partir da resolução de problemas, os

números inteiros, as metodologias e concepções dos professores dos anos iniciais e

finais do Ensino Fundamental ao resolver os referidos instrumentos de coleta,

observando se há alguma relação entre a concepção de professores sobre o tema e

as fragilidades apresentadas por alunos.

97

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101

Apêndices

Apêndice A - Termo de Responsabilidade da Instituição

TERMO DE RESPONSABILIDADE DA INSTITUIÇÃO

Eu, Prof.(a) ____________________________________________________,

diretor(a) da Escola ____________________________________________________,

declaro ter conhecimento da pesquisa: Estudo sobre Probabilidade e Risco no ensino

fundamental I, de responsabilidade das professoras Dra Tânia Maria Mendonça Campos e

Dra. Verônica Yumi Kataoka e dos mestrandos Renata Rivas Tonouti e João dos Santos da

Universidade Bandeirante de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação

Matemática, e autorizo sua realização com alunos matriculados em 2011 no 4º ano ____ do

ensino fundamental I.

Assinando esta autorização, estou ciente de que os alunos estarão envolvidos nessa

pesquisa durante o período de agosto de 2011 a junho de 2012, isto significa dizer que os

alunos atualmente matriculados em 2011 no 4º ano do ensino fundamental I, estarão no 5º

ano em 2012. Dou ciência também que esses alunos responderão os seguintes

instrumentos: questionário de perfil do aluno, pré e pós testes e atividades propostas nas

intervenções de ensino.

Fui informado que esta pesquisa está sendo desenvolvida pelos mestrandos

supracitados, sob a orientação das professoras Dra Tânia Maria Mendonça Campos e Dra

Verônica Yumi Kataoka.

_____________________________________________

Assinatura do Diretor

102

Apêndice B – Carta de Esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa

Carta de esclarecimento sobre o Projeto e a Pesquisa

Pesquisa: Estudo sobre Probabilidade e Risco no ensino fundamental I

Pesquisadores responsáveis: Renata Rivas Tonouti RG 29050133-7, João dos

Santos RG 7.594.735-3, e Verônica Yumi Kataoka RG 4.209.917

Informações sobre a pesquisa:

Esta pesquisa está sendo desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática, tendo como objetivo principal investigar maneiras de melhorar a

compreensão sobre probabilidade e risco e números negativos de estudantes do 4º ano do

ensino fundamental I, e, por conseguinte, desenvolver novos métodos de ensino desses

tópicos. Para tal, os alunos responderão os seguintes instrumentos: questionário de perfil do

aluno, pré e pós-testes e atividades propostas nas intervenções de ensino. Vale salientar

que essa pesquisa será desenvolvida no período de agosto de 2011 a junho de 2012, isto

significa dizer que os alunos atualmente matriculados em 2011 no 4º ano do ensino

fundamental I, estarão no 5º ano em 2012.

Ao preencher este termo, você estará consentindo que os dados do aluno sob sua

responsabilidade sejam utilizados apenas para os fins desta pesquisa. Ressaltamos que

não há interesse de identificá-lo.

Desde já agradecemos sua contribuição, porque ela será de extrema importância

para que os objetivos deste trabalho sejam atingidos.

103

Apêndice C – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

Eu,____________________________,portador(a) do RG_____________responsável pelo

aluno_____________________________,residente na____________________________,

telefone________________e-mail________________________, abaixo assinado, dou meu

consentimento livre e esclarecido para a participação do aluno acima referenciado como

voluntário(a) da pesquisa supra citada, sob a responsabilidade dos pesquisadores : Renata

Rivas Tonouti, João dos Santos, Tânia M. M. Campos e Verônica Yumi Kataoka.

1. Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:

2. O objetivo principal dessa pesquisa é investigar maneiras de melhorar a compreensão sobre probabilidade e risco e números negativos de estudantes do 4º ano do ensino fundamental I, e, por conseguinte, desenvolver novos métodos de ensino desses tópicos.

3. Durante o estudo, o aluno sob minha responsabilidade estará preenchendo o questionário de perfil do aluno, realizando pré e pós testes e desenvolvendo atividades durante as intervenções de ensino. Assim que for terminada a pesquisa, o aluno sob minha responsabilidade terá acesso aos resultados globais do estudo;

4. O aluno sob minha responsabilidade está livre para interromper, a qualquer momento, sua participação nesta pesquisa;

5. A participação nesta pesquisa é voluntária, sendo que estou ciente que o aluno sob minha responsabilidade não receberá qualquer forma de remuneração;

6. O risco desta pesquisa é mínimo e restringe-se ao constrangimento de não saber responder os problemas propostos ou a lembrança de algum evento desagradável durante sua experiência escolar com a própria Matemática ou disciplinas afins.

7. Os dados pessoais do aluno sob minha responsabilidade serão mantidos em sigilo e os resultados obtidos com a pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica especializada;

8. Sempre que julgar necessário poderei entrar em contato com os pesquisadores : Renata Rivas Tonouti, no telefone (11) 9248-8445 ou pelo e-mail: [email protected], João dos Santos , no telefone (18) 9159-2090, ou pelo e-mail: [email protected], Tânia Maria Mendonça Campos , no telefone (11) 2972-9008 ou pelo e-mail: [email protected], Verônica Yumi Kataoka, no telefone (11) 2972-9008 ou pelo e-mail: [email protected].

9. Obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a participação do aluno sob minha responsabilidade na referida pesquisa;

10. Este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu poder e a outra com os pesquisadores responsáveis.

_____________________, ______de ____________________ de 2011.

Assinatura do Responsável pelo aluno:________________________________________

Assinatura do Pesquisador Responsável pelo estudo: ___________________________

mailto:[email protected]



104

Anexos

Anexo 1 – Teoria dos Campos Conceituais - reorganizado por Yamanaka, 2009

Anexo 2 – Seis problemas trabalhados na Sessão 4 da Intervenção1.

4ª EXTENSÃO

1ª EXTENSÃO

F > I

I > F

RELAÇÕES ADITIVAS DE BASE

COMPOSIÇÃO TRANSFORMAÇÃO COMPARAÇÃO

PROTÓTIPO

a

b

x

1 ª EXTENSÃO

a

x

c

PROTÓTIPO 2ª EXTENSÃO

+r

x Referido

B Referente

AD

IÇÃ

O

-r

x Referido

B Referente SU

BT

RA

ÇÃ

O

4ª EXTENSÃO

x

A Referido

X

Referente

AD

IÇÃ

O

y

A Referido

X

Referente

SU

BT

RA

ÇÃ

O

I x

-T

SU

BT

RA

ÇÃ

O

I

x

F

I

x

F

x

X

+x

F

Su

btr

açã

o

3ª EXTENSÃO

x

A Referido

B Referente

AD

IÇÃ

O

y

A Referido

B

Referente SU

BT

RA

ÇÃ

O

I x

+T

AD

IÇÃ

O

x

+x

-x

F

Ad

ição

105

Problema 1:

Mike recolheu algumas fichas em uma caixa de sapatos. Amy dá 17 fichas a

Mike. Agora ele tem 40 fichas. Quantas fichas ele tinha antes da Amy lhe dar

algumas?

40-17=23

Problema 2:

Lucas tem alguns jogos de computador. Suzy traz mais 18 jogos para ele.

Lucas tem agora 32 jogos de computador. Quantos jogos de computador Lucas

tinha antes de ganhar alguns de Suzy?

32-18=14

Problema 3:

106

Um lojista tem 37 potes de mel em sua loja. Ele vende 19 potes na segunda-

feira. Quantos potes de mel o lojista tem ainda para vender?

37-19=18

Problema 4:

Lily colheu algumas margaridas. Ela perdeu 27 delas no caminho de casa. E

tem agora 16 margaridas. Quantas margaridas Lily tinha antes de perder algumas?

27+16=43ou

16+27=43

Problema 5:

107

Havia 52 uvas maduras na parreira. Os pássaros comeram 15 delas. Quantos

uvas ficaram na parreira?

52-15=37

Problema 6:

Meu pai tem uma caixa de pisos. Ele assentou 23 placas. Agora tem 17

placas na caixa. Quantas placas de piso havia na caixa antes dele assentar as 23?

17+23=40ou

23+17=40

Placas de piso

108

Anexo 3 - Descrição do Projeto da Universidade de Oxford

Compreensão das crianças sobre probabilidade e risco, Terezinha

Nunes, Peter Bryant, Deborah Evans e Rosana Barros. Departamento de

Educação, Universidade de Oxford.

Objetivos: Esse projeto tem como objetivo investigar maneiras de melhorar a compreensão sobre probabilidade e risco de estudantes do ensino Fundamental I, e, por conseguinte, desenvolver novos métodos de ensino desses tópicos.

Efeitos: O entendimento de probabilidade e risco é importante para matemática e para outras disciplinas no currículo escolar (por exemplo, biologia, geografia e ciências sociais), bem como na vida cotidiana. Muitas decisões que as pessoas tomam poderiam ser diferentes se tivessem uma melhor compreensão das probabilidades e dos riscos (para alguns exemplos, consulte Gigerenzer, 2002). Propomos desenvolver um conjunto de lições que podem ser usados com crianças no final do ensino Fundamental I para melhorar a sua compreensão sobre probabilidade e risco. Este projeto é oportuno, porque não há uma preocupação crescente de como as pessoas entendem o risco, de como são informados para tomarem sua decisão baseada nessa medida, quando eles devem considerar os riscos. Teria significado educativo, bem como pessoal, um programa de ensino que se baseia em investigar a base cognitiva do entendimento de risco e fomentar a capacidade das pessoas para raciocinar sobre contextos relevantes para suas vidas.

A hipótese sobre os novos métodos de ensino que queremos testar baseia-se na análise das demandas cognitivas em crianças que estão aprendendo sobre probabilidade e risco. Argumentamos que muitas demandas cognitivas diferentes estão envolvidas e que já existe uma grande quantidade de investigações psicológicas e educacionais, fora da área de probabilidade sobre como ensinar as crianças cada um destes diferentes aspectos da cognição. Queremos aplicar estes métodos para o ensino de probabilidade e risco. Se nossa hipótese é correta, deve ser possível fazer isso com êxito com crianças de 9 e 10 anos de idade e, que é o momento em que o ensino de probabilidade aparece pela primeira vez no currículo escolar. Assim, os resultados do nosso projeto devem avaliar não apenas como as crianças são ensinadas sobre probabilidade, mas também a expectativa de quanto às crianças podem aprender com estes métodos de ensino nessa idade.

Background - Na sociedade moderna praticamente todo mundo precisa ter uma efetiva compreensão das leis da probabilidade. Temos que ser capazes de pensar claramente sobre as chances de coisas boas e ruins acontecerem para nós e para nossas famílias quando fazemos um seguro, quando planejamos nossa viagem e quando tentamos proteger a saúde das nossas crianças. Também precisamos saber correlações para nos ajudar a comparar os riscos em diferentes ações: qual dos projetos propostos por dois políticos diferentes é melhor? quais os riscos que decorrem utilizando uma forma de tratamento médico e não outro?

Ainda, há evidências consistentes que as crianças e muitos adultos também têm grandes dificuldades na aplicação de muitas regras básicas de chance e

109

cometem muitas vezes erros graves ao tentar resolver alguns problemas de probabilidade aparentemente simples. Ainda é uma questão muito polemica, mas os erros por si só são indiscutíveis e colocam uma grande questão educacional: existem maneiras de ensinar as crianças sobre as regras de probabilidade e como aplicá-las que funcionem melhor do que os métodos de ensino atual? Se estes erros são devido à má compreensão das leis do acaso ou por distrações decorrentes do contexto em que os problemas são dados?

O background para esta proposta pode ser resumido em quatro pontos principais:

Aprendizagem sobre probabilidade exigem muitos aspectos cognitivos diferentes das crianças.

Cada demanda cognitiva é também parte da aprendizagem das crianças em outros aspectos do desenvolvimento cognitivo.

Da investigação sobre esses outros aspectos do desenvolvimento cognitivo, nós já sabemos sobre como as crianças podem adquirir habilidades cognitivas que também são centrais para a aprendizagem sobre probabilidade.

Os resultados dessa investigação em outras áreas do desenvolvimento cognitivo podem ser usados para gerar novos e eficazes métodos para ensinar as crianças sobre probabilidade e risco.

Estes pontos são discutidos de maneira integrada no restante desta introdução. Em

nossa opinião, as demandas cognitivas das crianças quando aprendem sobre

probabilidade e risco podem ser classificadas em quatro categorias.

1. Aleatoriedade – em todos os problemas de probabilidade há um conjunto de eventos possíveis que conhecemos, mas não sabemos quais desses eventos vão acontecer ou quando um evento particular acontecerá ou que ordem os eventos irão acontecer. Esta incerteza é devido à aleatoriedade, não sendo possível determinar a forma com que os eventos ocorrem numa sequência ou um arranjo espacial aleatório. Não há dúvida que as crianças têm grande dificuldade em reconhecer quando temos uma sequência temporal ou se é um arranjo espacial aleatório. Piaget e Inhelder (1975) concluíram que, até à idade de 8 para 9 anos, as crianças não têm nenhuma concepção de aleatoriedade, mas que eles podem desenvolver esta compreensão nesta idade. Fischbein (1975) mais otimista concluiu que as crianças mais jovens têm uma intuição de aleatoriedade, mas chegou a conclusão com a realização de estudos pilotos (por exemplo, ele também alegou que eles julgam eventos em uma sequência aleatória com base em eventos anteriores; eles acreditam que eventos aleatórios podem ser controlados pela pessoa que aciona a sequência etc.) que é difícil ver como esta intuição poderia ajudar as crianças na distinção entre eventos aleatório de eventos não aleatórios. Um grande estudo por Green no Reino Unido (1991, no Batanero & Serrano, 1999), usando uma versão papel e lápis de uma tarefa desenhada por Piaget e Inhelder

110

(1975), mostrou que é secundária a capacidade na escola infantil de reconhecer arranjos aleatórios como aleatórios é pobre e não melhora com a idade.

Falk e Konold (1997), depois de analisar estudos sobre decisões envolvendo aleatoriedade, sugeriram que para os adultos e para crianças as crenças sobre as dependências sequenciais de eventos sucessivos são o principal entrave à compreensão de aleatoriedade. Eles se referem a isso como uma ilusão cognitiva, que é encontrada em vários contextos dentro e fora do laboratório: por exemplo, jogadores, treinadores e fãs acreditam que, quando um jogador faz pontuações no basquete, suas chances de fazer o próximo arremesso e mudar o resultado aumentam, embora registros individuais de jogadores em jogos reais mostram que não é este o caso. Falk e Konold atribuem esta ilusão à facilidade com que nos lembramos de eventos que podem ser descritos por um padrão. Nós apenas vemos sequências de eventos do juiz como aleatórios quando não conseguimos encontrar padrões nessas sequências. Pretendemos construir esta ideia na promoção do raciocínio infantil sobre eventos aleatórios e não aleatórios.

Embora a aleatoriedade seja geralmente definida negativamente (temos certeza exatamente do que vai acontecer quando lidamos com uma sequência aleatória), a aleatorização desempenha um papel importante e muitas vezes útil em nossas vidas. Podemos usá-la em jogos para garantir a equidade, como quando nós misturamos um baralho de cartas para determinar nossa próxima jogada em jogos com “Snakes e Ladders” e “Monopoly”. Como Paparistodemou, Noss & Pratt (2009) têm apontado, aleatorização também é uma forma de assegurar a equidade na distribuição de alguma recompensa (por exemplo, uma loteria) ou alguma tarefa onerosa (por exemplo, sorteios para decidir quem vai lavar) quando a apenas um ou a alguns dos participantes será dada essa recompensa ou esse direito. Em outros contextos, como quando há recompensa suficiente e disponível para que todos possam ser contemplados e a questão é como garantir que cada participante seja recompensado na mesma medida, existem outras formas de assegurar a equidade, tais como compartilhamento de um-para-A, base de um-para-B. Há uma grande quantidade de investigação sobre a compreensão de Justiça das crianças neste contexto (Frydman & Bryant, 1998; Wong & Nunes, 2003) que demonstra uma compreensão bastante boa de equidade em crianças tão jovens quanto 5 anos e também mostra que é possível melhorar essa compreensão muito rapidamente por meio da intervenção. Pretendemos construir sobre o aspecto positivo da aleatoriedade, seu uso na justiça, para promover o raciocínio das crianças sobre o que são eventos aleatórios. Em resumo, nosso objetivo é ensinar as crianças sobre seleção aleatória, usando duas ideias chaves: (1) confrontando a ilusão cognitiva que tudo tem um padrão comparando aleatórios com eventos previsíveis; e (2) o uso de aleatorização em jogos e como forma de partilha equitativa quando os recursos são limitados.

2. Espaço amostral – raciocínio contrafactual9

e combinatório. Em tarefas de probabilidade, é preciso determinar quais são todos os eventos possíveis no contexto. O conjunto relevante de eventos possíveis é geralmente referido como "espaço amostral" e desempenha um papel essencial que às vezes é subestimado, mesmo nos problemas mais simples de probabilidade. É preciso ser capaz de

9 Situação ou evento que não aconteceu, mas poderia ter acontecido.

111

trabalhar com qualquer espaço amostral em qualquer tarefa para compreender e calcular as probabilidades de eventos específicos. Um exemplo é o problema clássico "de uma jarra que contém um chip branco (W) e dois chips vermelhos (Ra, Rb) e você pode retirar dois chips ao acaso. Você retirará dois chips vermelhos ou um vermelho e um branco. Esses dois resultados são igualmente prováveis ou um é mais provável do que o outro"? No espaço amostral, há duas vezes mais vermelho-branco que combinações, vermelho-vermelho, porque há quatro maneiras de produzir a combinação mista (W-Ra, W-Rb, Ra-W, Rb-W) e duas maneiras de produzir o vermelho puro (Ra-Rb, Rb-Ra) (LeCoutre, 1992).

Identificar o espaço amostral depende tanto do raciocínio combinatório como do raciocínio contrafactual. Pesquisas sobre probabilidade sempre reconheceram a importância do raciocínio combinatório, mas têm dado pouca atenção ao raciocínio contrafactual das crianças, embora haja uma grande quantidade de pesquisas relevantes sobre este raciocínio. Temos a intenção de desenvolver intervenções destinadas a mostrar às crianças como empregar os dois tipos de raciocínio para identificar o espaço amostral em problemas de probabilidade.

Raciocínio combinatório é essencial para analisar o espaço amostral, e muitos estudos mostram que crianças em idade escolar de todas as idades (Piaget & Inhelder, 1975; Fischbein, 1975. Inglês, 1991) geralmente não conseguem identificar essas combinações corretamente em problemas de probabilidade. Há, no entanto, dois aspectos interessantes que podem reverter esses resultados negativos. O primeiro é a conexão entre espaço amostral e raciocínios de classificação múltipla.

Embora a conexão nunca tenha sido feita, pensamos que a classificação múltipla, que pode ser ensinada as crianças com sucesso numa tenra idade, é um bloco de construção básico para saber como gerar o espaço amostral. Vários problemas de classificação foram amplamente estudados em psicologia, especialmente depois de Inhelder e Piaget (1958) que defenderam sua importância no desenvolvimento cognitivo. Nestes problemas solicita-se que as crianças classifiquem cartões diferentes, por exemplo, na forma e cor, por ambos os critérios ao mesmo tempo. Crianças pequenas têm dificuldade com essa tarefa, mas programas de ensino de sucesso foram desenvolvidos a quatro décadas atrás (por exemplo, Parker, Rieff & Sperr 1971).Estes não se tornaram parte do ensino das crianças sobre probabilidades embora o entendimento da classificação múltipla pode ser um bom ponto de partida para pensar sobre como gerar o espaço amostral. Em um projeto anterior, nós desenvolvemos jogos de computador (Nunes, Bryant, Evans, Barros & Burman, 2010) em que as crianças deviam descobrir as dimensões de classificação e os elementos que faltavam em uma matriz. Os materiais foram testados com crianças surdas e com audição; ambos os grupos tiveram progressos significativos em comparação com um grupo de controle depois de apenas uma hora de ensino, o progresso que também foi demonstrado pela melhoria na matriz da escala de habilidades britânica, que dependia do progresso da capacidade das crianças fazerem relação sobre várias classificações em uma matriz.

O segundo aspecto positivo encontrado na literatura diz respeito a melhorias na capacidade das crianças para gerar um espaço amostral se eles tiverem a

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oportunidade de trabalhar com materiais concretos. Em problemas de probabilidade, os resultados podem ser sobre eventos, como jogar moedas, mas também podem ser sobre objetos: por exemplo, qual é a probabilidade de um menino estar vestindo calças brancas e camisa azul na próxima vez que você vê-lo, se ele tem três calças, uma branca, uma preta e uma marrom e camisas de quatro cores, uma verde, uma creme, uma camisa azul e amarela? Barratt (1975) e English (1991) usaram materiais concretos para melhorar o desempenho das crianças em problemas como este. English trabalhou com crianças de 4 a 9 anos e mostrou que tendo em conta alguns experimentos com problemas de combinatória, como combinação de roupas do menino, algumas crianças de 7 aos 9 anos de idade tem conseguido descobrir por si mesmos uma estratégia de correspondência “um-para-muitos”, sistemática que consiste em tomar, por sua vez cada categoria de uma variável (por exemplo, a calça branca) combinando-o com todos as categorias da outra variável (ou seja, as camisas).

Resultados do estudo de English se encaixam bem com nossa própria investigação (Bryant, Morgado & Nunes, 1992; Nunes e Bryant, 1996) feito fora do campo da probabilidade, que mostrou que crianças de 8 anos resolvem bem os problemas do produto cartesiano quando são ensinados com a ajuda de material concreto para definir todas as combinações possíveis como “um-para muitas” correspondências (a calça branca, por sua vez combinada com as todas as diferentes cores de camisas e então o mesmo com as calças pretas e assim por diante). Assim, eles fazem um tratamento muito melhor quando mostrado como as crianças no estudo de English adotaram uma estratégia e descobriram por si próprios. Em nosso estudo, usaremos essa abordagem explícita para incentivar as crianças a usar “um-para muitas” correspondências com material concreto como nosso principal método de ensiná-los sobre o uso do raciocínio combinatório para identificar o espaço amostral. Assim, estaremos usando métodos desenvolvidos fora do campo da probabilidade para ensinar as crianças sobre um aspecto essencial na resolução de problemas de probabilidade.

Identificar o que poderia ter acontecido, em oposição a que realmente aconteceu, é geralmente referido como raciocínio contrafactual. Apesar de muitas pesquisas estarem sendo feito sobre este raciocínio em crianças na idade escolar, este trabalho, nós sabemos que nunca foi diretamente relacionado com a questão de probabilidade. Ainda, têm sido produzidos resultados de grande importância potencial para a questão do espaço amostral. Um exemplo importante é a evidência (Shtulman & Carey, 2007. Shtulman, 2009) que embora as crianças na idade escolar facilmente diferenciem evento completamente impossível de eventos altamente prováveis (andar sobre a água versus andar no terreno), eles tendem a confundir eventos que são impossíveis com aqueles que são improváveis, mas ainda é possível (encontrar um jacaré debaixo da cama, fazer sorvete com picles). Seus erros são julgar estes últimos eventos como impossível também, o que sugere que eles limitam sua ideia da possibilidade de eventos que eles experimentaram ou que eles sabem ter acontecido. Pesquisas anteriores na compreensão das crianças do espaço amostral em problemas de probabilidade concentraram-se sobre os obstáculos às soluções matemáticas, tais como dificuldades das crianças com o raciocínio combinatório. A implicação deste trabalho é que, é tão importante olhar para este raciocínio contrafactual das crianças e em particular para a fronteira entre

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eventos possíveis e impossíveis. Nosso programa de intervenção irá incluir atividades, na forma de jogos, dentro dessa abordagem.

Em resumo, recorreremos em estudos anteriores (1) em ensinar as crianças sobre classificação múltipla e sobre as soluções para os problemas do produto cartesiano e (2) sobre o raciocínio contrafactual e projetar nossas instruções sobre como analisar os espaços amostrais.

3. Calculando e comparando as probabilidades. Geralmente a etapa final na solução de um problema de probabilidade é o calculo da probabilidade de um evento específico ou comparar à força de duas ou mais probabilidades. Estes são inevitavelmente cálculos proporcionais desde que cada probabilidade é em si uma proporção entre um resultado específico e o conjunto de resultados possíveis. A probabilidade pode ser a mesma em amostras de diferentes tamanhos, porque as probabilidades baseiam-se inteiramente em proporções: é tão provável a retirada de uma bola preta de uma caixa com 6 bolas vermelhas e 2 pretas, como de uma caixa com 9 bolas vermelhas e 3 pretas. Muitos dos erros graves que as crianças cometem nas tarefas de probabilidade estão no cálculo ou na comparação de proporções (Hawkins & Kappadia, 1984; Graham, 2006. Schlottmann & Anderson, 1994; Schlottmann, 2001).

Outra maneira de colocar isto é dizer que a probabilidade é uma quantidade intensiva como densidade ou temperatura, em vez de uma quantidade extensiva como altura ou peso. Quantidades intensivas baseiam-se em proporções. Densidade do objeto, por exemplo, baseia-se na relação de seu peso e o seu volume. Dois objetos são iguais em densidade se essa proporção é a mesma para ambos, mesmo se seus absolutos pesos e volumes são muito diferentes. Essas quantidades intensivas são bastante difíceis para crianças e uma das principais causas de preocupação no ensino da ciência, mas as pesquisas produziram uma grande quantidade de informações sobre como as crianças aprendem sobre quantidades intensivas e sobre formas de ensiná-los sobre estas quantidades (Nunes e Bryant 2003, 2009). Até agora não existe evidência que tenha sido aplicado um estudo da compreensão das crianças sobre probabilidade nessa perspectiva.

Nossa intervenção vai aproveitar os resultados do trabalho sobre quantidades intensivas que tem sido feito sem ser com probabilidade. Problemas apresentados sob a forma de relação (por exemplo, 1: 3) muitas vezes são mais fáceis para as crianças (Nunes e Bryant, 1996) que os mesmos problemas apresentados como proporções de 1 (por exemplo, 0,25) ou fracções (por exemplo, ¼). Ensinar as crianças sobre quantidades intensivas usando a linguagem da relação parece ter mais sucesso do que ensinar usando a linguagem das frações (Nunes, Bryant & pressa, 2004. Howe, Nunes & Bryant, 2010) crianças e alguns adultos também, encontram mais facilidade de trabalhar com relação do que com proporções, quando eles podem dimensionar estas relações para cima ou para baixo (Nunes & Bryant, 1996. Schliemann & Nunes, 1990).

Em resumo, na nossa intervenção vamos usar jogos em que as crianças receberão informações em linguagem de relação e irão aprender como usar correspondências de “um-para-muitos” e diferentes representações para comparar

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as probabilidades proporcionalmente. Esta intervenção vai ser coordenada com a definição do espaço amostral, que é crucial para a quantificação de probabilidades.

4. Compreensão do Risco: Finalmente, compreensão de risco, que é outro aspecto do pensamento probabilístico, dependente do raciocínio correlacional. Esta é uma forma de raciocínio envolvido na determinação da natureza e a força de uma relação de mútua entre duas variáveis (Adi, Karplus, Lawson & Pulos, 1978). Esse raciocínio exige o reconhecimento que as relações entre variáveis não são absolutas, mas existem em graus (Ross & primos, 1993) e, assim, envolvem raciocínio probabilístico. Por exemplo, o grau de relacionamento pode ser determinado pelas frequências relativas nas tabelas de dupla entrada. Livro de Gigerenzer (2002) sobre risco é quase inteiramente voltado para o uso de tabelas de dupla entrada e como as pessoas entendem o risco, quando a informação é apresentada a eles em frequências (ou seja, relações) ou probabilidades (usando porcentagens ou frações). Seus resultados vão ao encontro dos mencionados na seção anterior: até mesmo profissionais como médicos interpretam informações sobre riscos melhor se a ele é apresentado como relações ao invés de proporções.

Estudos de compreensão das crianças sobre correlações usam diferentes formas de apresentação de informações: cartões com casos individuais para classificar ou problemas já classificados em categorias, tabelas de dupla entrada ou gráficos. A maneira na quais as informações apresentadas afetam como as crianças analisam o problema foram relatados por: Inhelder e Piaget (1958) identificaram um efeito benéfico ao apresentar os dados em tabelas, um efeito replicado recentemente por Carvalho (2008). As crianças podem ter dificuldades em identificar as informações em ordem para construir classificações relevantes para uma tabela (Adi, Karplus, Lawson & Pulos, 1978), um resultado que confirma a dificuldade de definir o equivalente de um espaço amostral em problemas de correlação, mas que eles podem ser ensinados como obtê-lo (Ross & primos, 1993b). Tabelas revelam mais claramente a ligação entre o raciocínio correlacional e probabilístico: por exemplo, para verificar se o uso de pesticidas está relacionado à fitossanidade, as informações devem ser organizadas de maneira que as frequências de todas as quatro combinações – utilização de pesticidas (Sim ou não) e fitossanidade (Sim ou não) – são exibidas em uma tabela. Raciocínio correlacional é usado também com variáveis contínuas, embora a maioria dos estudos se concentre nas tabelas de dupla entrada.

O domínio progressivo das crianças em raciocínio correlacional envolve a coordenação entre as noções de probabilidades e proporções (Adi, Karplus, Lawson, & Pulos, 1978), mesmo quando as informações são apresentadas nas tabelas, e algumas crianças olharem apenas para uma célula, o que eles podem julgar como relevante para confirmar a relação entre as duas variáveis, sem ter em conta a frequência desta célula em relação ao total. Por exemplo, se a questão é se o uso de pesticidas melhora a fitossanidade, olham apenas para a célula que se refere às plantas que receberam os pesticidas e são saudáveis. Esta tendência é parecida com a incapacidade de pensar nos casos que refutem a hipótese no conhecido problema das quatro cartas de Wason (1986) e é conhecido como viés de confirmação (Nickerson, 1998). Não há pesquisas sobre como melhorar o raciocínio das crianças em tais problemas (ver, por exemplo, Girotto, luz & Colbourn, 1998; Holyoak, & Cheng, 1995). Como é o progresso das crianças em sua

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capacidade de analisar os dados considerando a relação entre as duas células (Inhelder & Piaget, 1958; Jenkins e Ward, 1965). Finalmente, analisar as relações entre todas as células a fim de avaliar se existe uma relação entre as duas variáveis. A proporção de crianças mostrando comportamentos mais sofisticados aumenta com a idade e escolaridade. Desde o início, no ensino das crianças sobre correlações, vamos aplicar métodos, que como a pesquisa anterior mostrou, diminuem e removem muitas vezes a probabilidade do viés de confirmação.

Existe surpreendentemente pouca investigação sobre os conceitos que as crianças precisam ter antes de estudarem sobre correlações, Inhelder e Piaget (1958) e Kasplus, Adi e Lawson (1980) levantam à hipótese de que a compreensão sobre correlações depende de dois esquemas cognitivos: entendimento de probabilidades e proporções. Até onde sabemos, houve apenas uma tentativa para testar esta hipótese. Vass, Schiller e Nappi (2000) ensinaram um grupo de estudantes de Formação de Professores sobre a proporcionalidade e probabilidades e eles ensinaram um segundo grupo sobre a proporcionalidade, probabilidades e correlações. E então avaliaram os alunos em um teste de raciocínio. Vass et al. fundamentadas que, se a proporcionalidade e probabilidades são blocos de construção para compreensão de correlações, ao grupo que foi ensinado apenas sobre esses dois conceitos progrediram na compreensão de correlações, possivelmente, tanto quanto o grupo que foi também ensinado sobre correlações. Os resultados alcançados no raciocínio correlacional medidos nos dois grupos foram quase idênticos no pós-teste e os dois grupos tiveram desempenho significativamente melhores no pré-teste. Vass et al. concluiu que ensiná-los sobre os blocos de construção propiciou que eles raciocinassem sobre correlações, mesmo sem ter abordado o assunto diretamente. Esta é uma impressionante demonstração de como ajudar os alunos a atender às demandas específicas de um conceito complexo que pode promover nos alunos avanço significativo na compreensão do mesmo. Na nossa intervenção, iremos ensinar as crianças sobre as probabilidades e proporcionalidade, os blocos de construção do raciocínio, mas também iremos ajudá-los a aplicar essas ideias. Porque nossos participantes serão crianças da escola primária usaremos uma abordagem mais conservadora que é ensinar também correlações.

A questão do risco levanta assuntos que são referidas como "matemática contextual" (Ginsburg, & Asmussen, 1988) porque leva a análise das relações entre as variáveis que são relevantes para temas de importância pessoal na vida cotidiana (por exemplo, existe uma relação entre beber e dirigir e acidentes de carro? Ficar na escola afeta quanto dinheiro você ganha mais tarde? Fumar está relacionado à doença de pulmão? Poluição está relacionada com o câncer? A idade de dirigir está relacionada ao número de multas de excesso de velocidade?). Alguns autores (para obter mais informações, consulte Turiel, 2010) duvidaram da racionalidade das pessoas em tais situações. No entanto, não há comparações do raciocínio probabilístico popular em situações neutras e contextualizadas, e por isso, é impossível saber se faltava racionalidade dos participantes em tarefas contextuais ou tinham geralmente insuficiente compreensão de probabilidades. Algumas características de personalidade (independência de campo) não estão relacionadas à racionalidade em tais problemas (Ross & Cousins, 1993a), mas outras características tais como impulsividade/sensação que procuram, podem afetar as decisões das pessoas (Rutter et al., 1997). Nosso projeto investigará se crianças

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impulsivas mostram menos progressos apuradas as conclusões de estudos correlacionais que as crianças não impulsivas, depois de uma intervenção com vista a desenvolver a compreensão do risco.

Em resumo, nossa intervenção irá se basear sobre o conhecimento que existem duas demandas cognitivas importantes para o raciocínio correlacional: compreensão das probabilidades e da proporcionalidade. Assim, as crianças serão ensinadas sobre esses dois conceitos antes de participarem da intervenção.

Usaremos as informações apresentadas nas tabelas de dupla entrada, das quais frequências e relações podem ser obtidas e iremos incentivar as crianças a pensar sobre o que as diferentes células da tabela significam para a correlação, para lidar com o viés de confirmação. Os tópicos nesta intervenção serão relevantes para a vida cotidiana. Nós investigaremos se as crianças impulsivas têm mais dificuldade com este tipo de problema que as crianças não impulsivas.

Métodos: Para a execução do projeto será solicitada a colaboração das escolas na área de Oxford para maximizar as possibilidades de alcançar os nossos objetivos. No início de cada ano do projeto, teremos um workshop de meio dia com professores para discutir os materiais preparados para o projeto e as estratégias para a implementação. O formato do relatório das escolas no final do projeto será decidido com as escolas. Além de um relatório escrito, breve, as escolas podem optar por uma reunião em cada escola com professores e pais, como um método de relatar, o que tem sido muito eficaz em um de nossos projetos anteriores.

Estamos planejando um programa de intervenção em duas fases. Na primeira fase, durante o primeiro ano do projeto, nós realizaremos três intervenções em condições de laboratório com pequenos grupos (de 5 a 6 crianças) de 9 e 10 anos. Na segunda fase durante o segundo ano do projeto, vamos preparar materiais para uma intervenção em sala de aula, que será usado com crianças de 9 e 10 anos de idade; os professores das crianças irão realizar a intervenção com toda a classes, com nossa cooperação. O ensino na segunda fase terá como base os resultados do primeiro ano. Esta faixa etária é apropriada porque o raciocínio proporcional normalmente se desenvolve nesta idade e alguns aspectos de probabilidades estão incluídos na estratégia nacional para o ensino de matemática.

Os participantes: No primeiro ano do projeto, as crianças serão escolhidas do ano 5, em escolas de Oxford (3 ou 4 escolas). Na escola, um grupo de crianças (5-6) será selecionado aleatoriamente para formar o grupo de intervenção, um grupo de crianças será atribuído como grupo de controle (5-6), e o resto da turma irá compor um grupo de controle invisível. Este regime foi preferido pelos professores que colaboraram conosco em projetos anteriores em que a intervenção coloca exigências elevadas na participação das crianças. O projeto terá início durante o segundo semestre de 2011 e as crianças continuarão no projeto durante o Outono e a Primavera quando estarão no ano 6. Este regime destina-se a minimizar a interrupção nas escolas por distribuir a intervenção durante dois anos letivos. Ele também permite os professores que optem por usar materiais com o grupo de controle invisível após a intervenção concluída e avaliação feita, durante o período de verão no final do ano 6. No segundo ano do projeto, as crianças estarão no ano 6.

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Design: As crianças irão participar de testes antes (pré-testes) e depois (pós-testes) entre cada uma das três intervenções. Atribuição aleatória para cada condição e as comparações dos pré e pós-teste fornecerão um teste mais forte para verificar a efetividade das intervenções. As crianças que participarão das intervenções serão as mesmas em todas as três intervenções porque nossa hipótese é que cada intervenção é um bloco de construção para o próximo. Nós iremos testar esta hipótese com pré e pós-testes após cada uma das três intervenções.

É importante para nós que todos os professores e crianças se beneficiem com a participação no projeto. Esperamos que as crianças do grupo de intervenção sejam beneficiadas por melhorarem sua compreensão das probabilidades e risco. As crianças no grupo de controle irão participar em intervenções já descritas na literatura que visam promover o raciocínio científico das crianças (por exemplo, Shayer, 1999). Ross e Cousins (1993a) procederam a uma análise de fatores de tarefas Piagetianas usadas para medir a compreensão das probabilidades, correlações e raciocínio científico e descobriu que as medidas dos dois primeiros são carregadas em um fator e que as medidas de raciocínio científico são carregadas em um fator separado. Assim, é possível oferecer a ambos os grupos de crianças, ensino significativo e espera-se que se beneficiem deste aprendizado em termos de avaliação na escola, que diz respeito a aspectos diferentes do raciocínio. O pré- e pós-teste serão selecionados a partir de exemplos descritos na literatura (por exemplo, Ross & primos, 1993; Vass, Schiller, & Nappi, 2000) e que são aplicáveis a uma faixa etária ampla e que possam produzir informações tanto qualitativas como quantitativas.

No primeiro ano do projeto, iremos realizar três estudos de intervenção separados. Estes são:

(1) a compreensão da aleatoriedade como uma causa de incerteza,

(2) a capacidade de analisar o espaço amostral em problemas de probabilidade e quantificar as probabilidades proporcionalmente, e

(3) a compreensão do risco.

Cada estudo de intervenção ocorrerá com o grupo experimental, em que será ensinado cada um destes aspectos da probabilidade ao longo de um período de cinco semanas, com o grupo de controle será trabalhado o raciocínio científico, também durante cinco semanas, e com o grupo de controle invisível, que irão participar somente nas avaliações, mas será dada a oportunidade de usar os materiais da intervenção após a conclusão desta parte do projeto.

Cada intervenção será precedida por um pré-teste e seguida por um pós-teste que será idêntico do pré-teste. Prevemos que os resultados das crianças do grupo experimental nos itens de probabilidade serão melhores do que os do grupo de controle, e que será o contrário com itens que avaliam o raciocínio científico, em que nos dois primeiros grupos o de controle irá superar o grupo experimental. Podemos prever que alguma melhoria ocorrerá no grupo de controle invisível, nos testes, mas esta será significativamente menor do que nos outros dois grupos.

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No segundo ano, passamos à instrução em sala de aula, que será oferecido aos alunos do ano 6. Com a nossa ajuda, os próprios professores darão todas as instruções para as suas classes. O objetivo desta segunda fase é ver se os métodos que foram bem sucedidos na primeira fase do estudo também funcionarão bem em sala de aula. Assim, a ênfase da instrução dependerá em certa medida dos resultados que nós teremos nesse primeiro ano. Usaremos como comparação os dados das crianças do grupo de controle que participaram no primeiro ano do projeto. Este será definido como um desenho quase-experimental nos quais cortes diferentes serão atribuídos como condição a todas as classes. As crianças no grupo de controle serão testadas no início e no final do Outono e nos meio da Primavera quando eles estarão no ano 6. Os professores deverão completar o ensino no final da Primavera, para ter intervalos comparáveis entre o pré- e pós-testes para os grupos controle e ensinado. No pré- e pós-teste, também serão aplicados às crianças como medidas de impulsividade (Finn et al., 1999; Logan et al., 1997; Sharchar el al., 1993) a fim de verificar se existe uma relação entre o progresso nas intervenções e a impulsividade.

Intervenções no primeiro ano: neste ano iremos realizar três estudos separados de cinco semanas de intervenção, um em cada escola. As intervenções serão realizadas em pequenos grupos, e solicitaremos às crianças em primeiro lugar para escrever sua resposta, em seguida, para discutir com um parceiro e tentar chegar a uma resposta conjunta. Finalmente, as respostas serão discutidas no grupo. Essa discussão deve facilitar a articulação das crianças e, consequentemente, a percepção, dos aspectos relevantes nos problemas e também permitem que os professores forneçam devolutivas e façam mais perguntas. As atividades serão apresentadas como jogos, em que as crianças podem ganhar pontos para mais tarde ser trocado por brindes (canetas, lápis, adesivos). Isso será usado como um recurso para discutir a equidade em um contexto pessoal.

A primeira intervenção do grupo experimental será sobre aleatoriedade como uma causa de incerteza e sobre seleção aleatória como uma parte necessária de muitos jogos e de uma forma justa de distribuir uma recompensa escassa. Vamos propor as crianças que comparem eventos que são previsíveis e outros que não são com o objetivo de abordar a que podemos sempre encontrar um padrão nos eventos previsíveis. O resultado esperado é que as crianças tenham uma base para a classificação de eventos como determinado e previsível versus não previsíveis. A mesma abordagem será usada em todas as cinco sessões.

A intervenção vai começar mostrando às crianças dois conjuntos de cartas, cada uma composta de dois ternos. O conjunto de cartas A será organizado com um terno em cima do outro; no conjunto B, serão embaralhados. Pedimos às crianças para escolher um conjunto e fazer uma previsão sobre o terno com a carta de cima e a de baixo. Esperamos que as crianças sejam capazes de distinguir a certeza com que eles podem prever as cartas no conjunto A e a incerteza no conjunto B. A atividade irá prosseguir com as transformações para os conjuntos iniciais que irão manter a previsibilidade das cartas no conjunto A enquanto o conjunto B estará em ordem aleatória e serão misturadas algumas vezes antes de cada comparação. Por exemplo, o conjunto A será dividido na metade e as metades vão ser mudadas. Em seguida, as cartas no conjunto A serão distribuídas uma a uma em duas pilhas, e uma pilha será colocada em cima da outra. As crianças precisarão pensar e buscar

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padrões ao fazer previsões para uma pilha e será considerada a outra pilha uma escolha "desesperada". Depois de um pequeno número de ensaios, as crianças deverão explicar por que eles sempre escolheram fazer previsões de uma pilha. Finalmente, será solicitada que as cartas sejam embaralhadas, iniciando muitos jogos; esperamos que elas possam chegar à noção de equidade na distribuição de cartas. No final da sessão, iremos pedir-lhes qual é a maneira mais justa de decidir quem vai escolher o brinde pela primeira vez e depois trocar os pontos pelos brindes. No final desta sessão, será trabalhado o termo "aleatório", e as crianças deverão tentar defini-lo.

Na segunda sessão, as crianças irão jogar jogos de computador, alguns concebidos de uma sequência aleatória e outros projetados com padrões que fazem os resultados previsíveis. Em uma adaptação de uma tarefa Goodnow (1955), as crianças vão dizer que alguns destes jogos são jogos de conceito, no qual eles podem descobrir a chave para sempre ser bem sucedido, enquanto outros são semelhantes aos jogos em um cassino. Será solicitada que eles tentem dizer o que é que acontece depois de uma sequência de 30 ensaios. Eles também serão solicitados para descrever como eles poderiam dizer a diferença. Esperamos que as crianças possam no início achar difícil decidir qual o jogo é previsível, porque eles poderão encontrar padrões no jogo aleatório, mas eventualmente irão perceber que os padrões locais não são significativos a longo prazo. As sessões subsequentes seguirão um formato semelhante para comparar eventos previsíveis e imprevisíveis e as crianças serão perguntadas por que eles pensam que certos eventos são aleatórios e outros não. Nós também usaremos tarefas de julgamento (Green, 1997; Batanero & Serrano, 1999) em que as crianças dizem que os alunos em uma classe tiveram a atribuição de lançar uma moeda 40 vezes e escrever os resultados. Alguns dos alunos na classe enganaram e não atiraram as moedas; os outros farão a tarefa conforme definido. As crianças deverão julgar se os estudantes o enganaram. Embora os julgamentos de algumas sequências não melhorem com idade ou a instrução, as sequências que são consideradas mais fáceis de distinguir mostram uma melhora com a idade e sua discussão pode promover a conscientização de alguns aspectos da aleatoriedade.

Reconhecemos que a aleatoriedade detém definições precisas ou fáceis e que não há nenhum teste decisivo para determinar sua presença (Falk & Konold, 1997), e assim não esperamos que as crianças cheguem a uma definição de aleatoriedade, mas sim que desenvolvam o que Fischbein chamou de "intuições secundárias" de aleatoriedade. Estas intuições devem ser reveladas em suas discussões como eles se referem a critérios como a imprevisibilidade das sequências, não padrão nos resultados, frequências aproximadamente equitativas de resultados diferentes. O objetivo da segunda intervenção será ensinar as crianças sobre o espaço amostral, como definir e analisá-lo e como quantificá-lo proporcionalmente. Nós também vamos ensinar as crianças como o mesmo espaço amostral pode ser agregado de maneiras diferentes e como mover definindo o espaço amostral como quantificação utilizando relações.

A intervenção vai começar com vários problemas de classificação, com base na nossa intervenção anterior e que foi desenvolvido com sucesso para a compreensão das crianças sobre várias classificações. Nenhuma quantificação do espaço será pedida como problema nesta fase inicial. Problemas de produto cartesiano (por exemplo, quantos pares são possíveis formar com calças e camisas

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y e x?), em seguida, serão introduzidos e as crianças deverão resolvê-los com suporte de materiais concretos. (Bryant, Morgado & Nunes, 1992) Utilizamos esta técnica com êxito com crianças de 8 anos de idade. Serão solicitadas as crianças para pensarem sobre problemas em que algumas combinações são possíveis, até mesmo altamente improváveis: por exemplo, no cenário que se faz uma pergunta interessante (por exemplo, um outro planeta) e as crianças podem ser solicitadas a combinar diferentes sabores baunilha (queijo, chocolate, cebola morango) com diferentes produtos (sorvetes, macarrão, batatas fritas, biscoitos), pode acabar com improváveis mas possíveis combinações (cebola e sorvete). Eles também dizem que determinados produtos (framboesa e sorvete) são possíveis neste espaço amostral. A investigação sobre o raciocínio contrafactual demonstrou que as crianças podem utilizar facilmente a lógica em tais cenários (Dias, & Harris, 1990); vamos usar este recurso para definir o que é possível ou não em um espaço amostral desconhecido (outro planeta) e que não permitem o uso de experiências pessoais.

A intervenção vai continuar com a instrução sobre analisar o espaço amostral, usando outras representações tais como diagramas de árvore (Fischbein, 1975), bem como materiais muitas vezes utilizados em tarefas de probabilidades (por exemplo, encontrar todas as combinações possíveis de números que você pode obter quando você lançar dois dados) e agregando o espaço amostral (por exemplo, agregando duplas e não duplas para ver o que é a probabilidade de uma dupla). A discussão sobre a quantificação do espaço amostral irá focar o caráter proporcional desta quantificação. Adotaremos aqui métodos que já desenvolvemos para promover a compreensão das crianças sobre proporcionalidade pelo uso de “um-para-muitos” correspondências e relações no âmbito das quantidades intensivas, documentado pela primeira vez em um estudo de pequena escala, Nunes, Bryant e Hurry (2004) e mais tarde replicados em um estudo de grande escala (com mais de 900 crianças) por Howe, Nunes e Bryant (2010). Nós também utilizaremos métodos sugeridos por outros pesquisadores (por exemplo, Streefland, 1985; Van de Heuvel-Panhuizen, 2003). As crianças terão a oportunidade de rever o conceito de aleatoriedade quando será discutida a quantificação de probabilidade.

A terceira intervenção será sobre riscos e raciocínio correlacional. Nossas tarefas serão construídas de muitas maneiras sobre trabalhos anteriores. Inhelder e Piaget (1958) e Carvalho (2008) mostraram que apresentar informações em tabelas melhora a capacidade dos alunos para examinar as relações entre variáveis. Gigerenzer (2002), Desli (1994), Howe, Nunes e Bryant (2010) e Nunes, Bryant e Hurry (2004) mostraram que as pessoas compreendem proporções e quantidades intensivas melhores quando a informação é apresentada em freqüências ou relações em vez de frações. Ross e Cousins (1993b) mostraram que os alunos podem ser auxiliados a desenvolver uma abordagem sistemática para analisar correlações se eles aprendem quais perguntas a serem feitas ao considerar uma tabela.

Há duas novidades no nosso programa de ensino. Uma é que os participantes irão aprender a partir das sessões anteriores e que estarão usando neste contexto o que aprenderam com as intervenções. Isso deve permitir-lhes a pensar em associações que partem de distribuições aleatórias e quantificar essas informações em termos proporcionais. A diferença é o conteúdo: nosso objetivo é usar perguntas relevantes para a vida cotidiana, que esperamos irá envolver mais as

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crianças. A seleção dos temas será discutida com os professores, mas prevemos discutir questões com perguntas pessoais, relacionadas com a saúde e a gravidade dos acidentes em relação à utilização de equipamento de segurança. Os exemplos estarão sujeitos às decisões dos professores.

Uma tarefa será apresentar às crianças duas tabelas que mostram as freqüências de nomeações de amizade em função da classificação das crianças como um provocador. Existem quatro células (um valentão indicado por um valentão, um valentão indicado por um não-valentão indicado por um valentão e um não-valentão indicado por um não-valentão). Uma tabela mostra a distribuição de frequência para o outro, para os meninos e meninas. Há uma associação entre ser um valentão e ser indicado como um amigo por um valentão entre meninas e não entre os rapazes. As crianças deverão analisar cada tabela e, em seguida, tirar uma conclusão geral. Isto dará a oportunidade deles estudarem duas tabelas que diferem em correlação e também entender que algumas associações podem depender de fatores (no caso, entre homens e mulheres).

Outro cenário possível envolve a eficácia de um programa de prevenção de intimidação, que pode ser acessado por diferente (por exemplo, habilidade para resolver o conflito, sentindo-se seguro na escola, sendo melhor em ficar fora das lutas, fazer novos amigos). É possível que o programa seja eficaz com respeito a algumas medidas, mas não com outras. As crianças podem ser questionadas se recomendariam o programa para a sua própria escola se ela tiver um problema com o assédio moral. Outros cenários poderiam incluir a relação dos diferentes tipos de dietas e perda de peso, vestindo roupas de proteção (cintos de segurança, capacetes) e a gravidade dos acidentes, fumar cigarros e diferentes tipos de doenças, a poluição e a saúde, a eficácia dos diferentes testes na detecção de doenças. Em alguns casos, haverá uma correlação positiva, em outros uma correlação negativa e em outros nenhuma correlação.

Avaliação: cada uma das três intervenções será avaliada separadamente no primeiro ano de projeto. A natureza experimental de controle aleatório fornece um rigoroso teste de eficácia. Teremos também as crianças e professores com suas devolutivas, que podem ser usadas para melhorar as perguntas. No segundo ano, a avaliação será do programa como um todo entregue pelos professores. A devolutiva no segundo ano será monitorada por visitas, e-mail e outras comunicações com os professores, bem como as análises das produções das crianças durante as aulas. A avaliação da eficácia do ensino será baseada no pré- e pós-testes e uma comparação com o grupo de controle. A atribuição de classes inteiras e diferentes cortes é o modelo adotado para o segundo ano. É menos robusto, mas pode ser usado com confiança quando estatísticas adequadas para design quasi-experimental (ANCOVA) são utilizadas.

Aspectos éticos toda a pesquisa com jovens requer grande cuidado em obter o consentimento e a manutenção da confidencialidade dos dados. Problemas específicos para estudos de intervenção envolvem o tempo e o esforço gastos por crianças, professores e escola no projeto. Nosso modelo tenta minimizar a interrupção e maximizar os ganhos para os participantes. O projeto vai ser

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submetido à aprovação ética para o departamento (DREC) e o comitê de ética (CUREC) da Universidade.

Marcos do Projeto: No final do primeiro ano, faremos um relatório sobre cada uma das três intervenções e submeteremos artigos para publicação. No final do segundo ano, apresentaremos um relatório para publicação de um livro sobre os resultados do projeto e os professores organizarão um workshop para divulgação.

Comunicar os resultados: Haverá três audiências para divulgação: escolas e o departamento de educação, acadêmicos e profissionais e uma organização interessada em pessoas jovens e risco (TheKidsTaskforce). Temos trabalhado anteriormente com escolas e o departamento de educação e temos certeza do seu interesse neste projeto. O departamento de educação apoiou o trabalho de TheKidsTaskforce em Harrow e York. Planejamos comunicar os resultados para este público, organizando um workshop para discussão dos resultados. Publicações no jornal acadêmico e profissional e apresentações em conferências nacionais e internacionais serão um segundo canal de comunicação. TheKidsTakforce manifestou interesse no projeto como uma adição à sua abordagem atual. Durante nosso primeiro ano de projeto, iremos testar as crianças que participaram das intervenções em Harrow e comparando-as com uma amostra de não-participantes. Este modelo único de pós-teste é menos rigoroso do que modelos experimentais, mas poderá fornecer informações relevantes para as tarefas incluídas no segundo ano. Os principais beneficiários do projeto serão, finalmente, as crianças; esperamos que um programa de ensino bem sucedido vá beneficiá-los educacionalmente e pessoalmente, em situações onde o risco é uma preocupação para os mesmos.

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