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AULA TEÓRICA: Tratamento de dados, recta
Cursos: Análises Clínicas e Saúde Pública, Dietética, Farmácia, Radiologia
Química Aplicada
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DadosObjectivos
Tratar dados e resultados práticos
Utilizar os resultados para interpretação
Resolver problemas e aplicações derivadas da teoria
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Erros e variação Fontes de erro - erro de calibração - erro de medição - erro de operação - erro de cálculo
Fontes de variação - devido ao aparelho (replicados) - devido à amostragem uma amostra (uma garrafa) várias amostras (várias garrafas)
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Descrever dados
Máximo
Mínimo
Gama
Média
Moda
Mediana
Distribuição
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Tratamento de dados
Estatística descritiva Mínimo Máximo Gama Número de observações n
Média
Desvio padrão
n
x
n
...xxxx
n
i in21
1
1
)( 22
n
n
xx
s
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Desvio padrão
média
-s +s= 62.8 %
-2s +2s= 95.4 %
Desvio padrão
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Gráfico de dados
Relaciona a Emissão com a concentraçãoE
mis
são
Concentração mg/l
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Recta de calibraçãoRelaciona a Emissão com a concentração
Em
issã
o
Concentração mg/l
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Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais
Este tipo de cálculo designa-se regressão linear
A determinação da recta que melhor ajusta um conjunto de pontos experimentais pode ser feita utilizando o método dos minímos quadrados.
Este tipo de ajuste tende a minimizar os erros resultantes
do trabalho experimental segundo uma equação do tipo
bxmy
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Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais
Neste método dos minímos quadrados, procura-se minimizar a distância "vertical" de cada ponto experimental x a uma recta teórica, mx+b
Valores experimentais
Em que: m - declive
b – ordenada na origem
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Recta “perfeita”X012345
Y012345
y = m x+ b
m?b?
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RectaX012345
Y0246810
y = m x+ b
m?b?
ó
yx
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Rectay012345
x0246810
y = m x+ b
m?b?
y
x
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Rectay012345
x123456
y = m x+ b
m?b?
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RectaX012345
Y123456
y = m x+ b
m?b?
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RectaX012345
Y543210
y = m x+ b
m?b?
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RectaX012345
Y0-1-2-3-4-5
y = m x+ b
m?b?
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Determinação da “melhor recta” que passa pelos pontos experimentais Tendo em conta a minimização dos erros relativos a y e x,
podemos calcular m e b do seguinte modo:
e
Os parâmetros Sxx, Sxy e Sxy podem ser calculados por:
xmyb xx
xy
S
Sm
n
xxxxS iiixx
2
22
n
yyyyS iiiyy
2
22
n
yxyxyyxxS iiiiiixy
Em que : n é o número de pontos experimentais
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Coeficiente de correlação
A determinação da probabilidade que os pontos experimentais têm de passar pela recta, ou seja de seguirem uma relação linear, pode ser obtida através do coeficiente de correlação.
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Coeficiente de Relação
Relação forte, + va Relação mais fraca, -va
Relação positiva (proporcional)
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Coeficiente de correlação
Relação forte, - va Relação mais fraca, -va
Relação negativa (inversa)
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Cálculo do coeficiente de correlação
O cálculo deste pode ser feito utilizando a expressão:
,com
Deste modo obtemos:
])(][)([
))(()(2222 yynxxn
yxxynr
yx
n
iii
SS
yyxxn
r
1
))((1
n
iix xx
nS
1
22 1)(
n
iiy yy
nS
1
22 )(1e
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Exemplo
Concentração(x)
Abs. (y)
1 4
2 6
3 8
?y?x
1- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:
1.1 - Complete:
n = ?
Sx = ?
Sy =?
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1.2 - Complete a tabela.
23
321
n
xx
2)(1
1
2
n
iiy yy
nS
n = 3
1)(1
1
2
n
iix xx
nS
63
864
n
yy
x ….
y ….
)( xx xSxx /)(
)( yy ySyy /)(
yx S
yy
S
xx )()(
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Tendo em conta que:
Na tabela calculou-se
2)()(
yx S
yy
S
xx
yx
n
iii
SS
yyxxn
r
1
))((1
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Exercício
1- Tendo em conta os valores experimentais apresentados na tabela seguinte calcule os parâmetros da recta: m e b.
1.1- Quando x= 1,6 qual o valor de y?
Concentração(x)
Abs. (y)
5 4
6 3
1 2
4 5
2 5
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RESOLUÇÃO
1- x = 3,6 y = 3,8
Tendo em conta que:
e que
substituindo Sxx e SxY em b, obtém-se:
0930,0
)18()82(5
)19)(18()70(5
)(
))(()(222
xxn
yxxynm
xx
xy
S
Sm
N
yxyxyyxxS iiiiiixy
N
xxxxS iiixx
2
22
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Determinação de b:
465,3)6.309302,0(8,3 xmyb
61,3)6,36,1(09302,08,3)( xxmyy
1.1-
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Exercício
x y
1 2
2 4
4 5
5 7
5 8
2- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:
2.1- Calcule o coeficiente de correlação. Comente o resultado.
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Resolução
97.0])26()158(5][)17()71(5[
)26)(17()105(5
])(][)([
))(()(222222
yynxxn
yxxynr
2.1 - O coeficiente de correlação é calculado a partir da seguinte expressão:
O resultado obtido é um bom resultado na medida em que se aproxima de +1(relação perfeita).
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Exercício
x y
5 4
6 3
1 2
4 6
2 3
3- Tendo em conta os valores experimentais obtidos, apresentados na tabela seguinte:
3.1- Calcule o coeficiente de correlação. Comente o resultado
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RESOLUÇÃO
41.0])18()74(5][)18()82(5[
)18)(18()70(5
])(][)([
))(()(222222
yynxxn
yxxynr
3.1 - O coeficiente de correlação é calculado a partir da seguinte expressão:
O resultado obtido é um mau resultado na medida em que se afasta bastante de +1 (relação perfeita).