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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE FRAÇÕES

Adriana Strassacappa1

RESUMO O artigo consiste na apresentação de uma proposta para o ensino de Frações, utilizando a estratégia da Resolução de Problemas. Contém alguns pressupostos teóricos sobre a Resolução de Problemas, a proposta de ensino, a descrição da aplicação desta proposta, realizada em turmas de 6ª série da Educação Básica de um colégio da rede pública estadual da cidade de Rolândia - PR no ano de 2008, e, algumas considerações sobre o trabalho desenvolvido. A proposta de ensino apresentada consiste na utilização de problemas que oportunizam o desenvolvimento do conceito de fração e seus significados, da noção de equivalência, a comparação de frações e algumas operações com frações. Além disso, a proposta objetiva estimular a capacidade de comunicar e justificar soluções encontradas no processo de resolução de problemas. Na descrição da aplicação da proposta de ensino reafirma-se o papel do professor como mediador e orientador do processo, a importância da apresentação e discussão das estratégias utilizadas pelos alunos, a importância da sistematização dos conceitos matemáticos presentes na resolução dos problemas propostos, bem como, a da concepção de avaliação adotada.

PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Ensino de Frações. ABSTRACT This article is showing a proposal to the teaching of Fractions, using the strategy of Problem resolution. It contains some theoretical subjects about the problem resolution, the proposal to the teaching, the description of application of this proposal, performed in 6ª grade classes of Basic Education in a public school of Rolândia town, in Paraná, in 2008, and, some consideration about the work development. The proposal for education showed is in used of problems that give the concept fraction development and its meanings, to concept of equivalence for comparison of fractions and some accounts with fractions. Beside this, the proposal aims to stimulate the ability to communicate and to justify solutions found in the process of problems resolution. In the description of proposal of teaching reform the paper of teacher with intermediary and guiding of this process, the importance of systematization of mathematical concepts in the resolution of problems proposed, and the conception of assessment adopted.

KEY WORDS: Maths Education. Problem Solving. Teaching of fractions. 1 Professora da rede pública de ensino do Paraná. Desenvolveu este trabalho por ocasião de sua participação no programa de formação continuada PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional em 2008.

2

1 INTRODUÇÃO

Considerando que por meio da Resolução de Problemas o processo

ensino/aprendizagem torna-se mais dinâmico, sendo o aluno, agente de sua

produção, e que, as diferentes formas de resolução dos problemas oportunizam o

estabelecimento de conexões matemáticas, este artigo apresenta uma proposta de

ensino para iniciar uma abordagem do conteúdo Frações mediante a utilização

dessa estratégia metodológica. É composto por alguns pressupostos teóricos que

fundamentam o trabalho, pela proposta de ensino e pelo relato da aplicação dessa

proposta em turmas de 6ª série da Educação Básica de um colégio da rede pública

estadual da cidade de Rolândia, no ano de 2008.

2 ALGUNS PRESSUPOSTOS

O ensino da Matemática nas nossas escolas ainda guarda muitas

semelhanças com as tendências formalista clássica (até década de 50), formalista

moderna e tecnicista (décadas de 60 e 70) do ensino de matemática. Essas

semelhanças são representadas por aulas expositivas, memorização de regras e

fórmulas, ênfase no algoritmo e não na estratégia, cálculos extensos e cansativos

com lápis e papel, hierarquização excessiva dos conteúdos, valorização da

linguagem simbólica e o processo de ensino/aprendizagem centrado no professor.

Este explica o conteúdo, dá exemplos, propõe exercícios e “problemas”, faz a

correção dos exercícios e introduz outro assunto. Ao aluno cabe copiar, resolver os

exercícios e problemas nos quais, ‘aplicam’ o conteúdo apresentado pelo professor.

Essas práticas escolares não têm contribuído para mudar o quadro

de exclusão social. É o que mostram as estatísticas sobre evasão escolar e os

baixos índices de rendimento obtidos pelos alunos em avaliações oficiais, nacionais

e internacionais.

Segundo Matos (2002), a disciplina de Matemática deve ser

substituída por uma disciplina de Educação Matemática, na qual

3

[...] o professor responsável pela condução dessa formação não pode ser um professor que ensina matemática, mas um professor que educa matematicamente os jovens levando-os a aprender a ter um ponto de vista matemático sobre uma variedade de situações, nomeadamente ligadas à natureza e à vida em sociedade.

Sobre a Educação Matemática, lê-se no documento das Diretrizes

Curriculares de Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e para o

Ensino Médio do Paraná

Pela Educação Matemática almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade. (PARANÁ, 2008, p. 15)

Nesta perspectiva, a Resolução de Problemas apresenta-se como

possível caminho para ensinar matemática nas escolas, porque estimula o aluno a

ser agente ativo no processo de ensino/aprendizagem e proporciona situações nas

quais se pode “educar pessoas usando matemática como veículo” (D’AMBROSIO,

1994, p.696).

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para as

Séries Finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio do Paraná, um dos

objetivos do ensino de Matemática é contribuir para

[...] que o estudante tenha condições de constatar regularidades, generalizações e apropriação de linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento. (PARANÁ, 2008, p.16)

A estratégia da Resolução de Problemas pode servir a esse objetivo

porque oportuniza ao aluno trabalhar em grupo, desenvolver sua autonomia, ser

cooperativo, comunicar-se, questionar, conjeturar, induzir, deduzir, fazer conexões,

elaborar e validar estratégias e procedimentos de resolução, justificar respostas,

fazer uso de materiais manipulativos e tecnológicos como calculadoras e

computadores. Utilizando a Resolução de Problemas o professor pode proporcionar

aos seus alunos momentos de reflexão e refinamento de conceitos matemáticos,

pois, é pela interação dos indivíduos com o conhecimento historicamente produzido

que se dá a apropriação do mesmo.

Os problemas sempre ocuparam lugar de destaque nos currículos de

Matemática, contudo, vistos como aplicação de conteúdos e algoritmos ensinados,

como motivação, atividade lúdica, e, como ferramenta para promover o

4

desenvolvimento do raciocínio. Para Polya (1978) “o saber fazer em Matemática é a

capacidade de resolver problemas”. Segundo ele, embora o uso de problemas

rotineiros favoreça alguns aspectos do ensino de Matemática, somente pela

utilização de problemas não rotineiros e pela sistematização de diferentes

estratégias de resolução de problemas é que se dá o desenvolvimento do aluno.

Nessa mesma direção, Branca (1997) destaca que o

[...] que é importante nesta interpretação são os métodos, os procedimentos, as estratégias e as heurísticas que os alunos usam na resolução de problemas. (p.5)

Na aula baseada na Resolução de Problemas, o problema é o ponto

de partida para o “fazer matemática”. O professor apresenta um problema, escolhido

por ele ou pelos alunos; os alunos procuram elaborar uma estratégia de resolução

com os conhecimentos que já possuem, e, caso percebam que isto não é possível

devido à falta de conteúdos específicos envolvidos na sua resolução, o professor

apresenta estes conteúdos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resolução e o(s)

conteúdo(s) apresentado(s). Inicia-se novamente o processo com a apresentação de

um novo problema.

3 SOBRE A PROPOSTA DE ENSINO

A proposta de ensino relatada a seguir surgiu do desafio2 de utilizar a

Resolução de Problemas como ponto de partida para o ensino/aprendizagem do

conteúdo Frações, na Educação Básica.

Na abordagem tradicional, são apresentados aos alunos ‘modelos’ de

frações associados às figuras e, algoritmos que devem ser memorizados e

aplicados. Os diversos significados relacionados à construção do conceito de fração

são pouco trabalhados, resultando muitas vezes, na incapacidade para lidar com a

sua simbologia própria, pois parece que quando o aluno não tem idéia da

quantidade representada, ele apresenta respostas sem sentido. Freudenthal (apud

MONTEIRO; PINTO; FIGUEIREDO, 2005, p.50) refere-se a esta abordagem como

2 Agradeço à minha orientadora Profa. Dra. Regina Luzia Corio de Buriasco pelo desafio que me

lançou e que resultou nesta experiência de ensino.

5

“inversão anti-didática” porque parte do produto final da atividade matemática e não

dos contextos que o originaram.

Uma abordagem diferente da tradicional deve partir de “situações que

permitam a descoberta de relações e a construção de modelos que vão

gradualmente servindo de ponte para a construção de conhecimento matemático

mais formal”. (MONTEIRO; PINTO; FIGUEIREDO, 2005, p. 50).

Uma proposta de ensino que vise uma aprendizagem significativa de

frações deve fundamentar-se na concepção de que o conceito de número racional é

constituído de uma correlação de idéias e significações. Para Behr et al. (1983) os

números racionais podem ser entendidos como: uma parte do todo, uma divisão,

uma razão, um operador e uma medida de quantidades discretas ou contínuas.

Neste contexto, a proposta aqui apresentada procura desenvolver

aspectos das idéias acima citadas, utilizando para isso, a Resolução de Problemas.

A opção pela Resolução de Problemas favorece a troca de idéias entre os alunos e

o emprego da linguagem ilustrada (desenhos ou esquemas) na busca das soluções

dos problemas propostos. Segundo Schneider (1997)

Quer uma ponte para uma linguagem numérica, quer como um contexto rico para a exploração de um problema, as linguagens ilustradas mostram-se ferramentas úteis e gratificantes na resolução de problemas. (p.98)

A proposta de ensino para o conteúdo Frações constitui-se de duas

etapas. Na primeira etapa, em grupos, os alunos trabalham com as seguintes três

questões:

Resolução de Problemas – 1ª etapa

Instrução: O grupo deve descrever o processo que utilizou para responder a cada pergunta dos problemas abaixo. Pode fazê-lo utilizando palavras, desenhos, esquemas ou cálculos.

1- Ana, Carlos, Cristiane e Sandro foram a uma pizzaria e pediram três pizzas: frango, queijo e calabresa. Dividiram igualmente as três pizzas. Que parte da pizza comeu cada um? Cada amigo comeu mais que uma pizza ou menos que uma pizza? 2- Se cada um dos quatro amigos do problema 1 tivesse convidado mais um amigo para ir a pizzaria e tivessem pedido as três pizzas e as dividido igualmente entre todos, que parte da pizza comeria cada um?

6

Quadro 1: Questões trabalhadas na primeira etapa Fonte: Questões adaptadas do artigo: MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Educação e Matemática, n. 84, p. 47-51, set. 2005.

O professor orienta o trabalho, propondo que os grupos devem

resolver as questões propostas, escolhendo e registrando as estratégias utilizadas.

Ressalta que na Resolução de Problemas, o importante não é só a solução final e

sim, o processo (hipóteses, estratégias, formas de representação, procedimentos)

que utilizam para chegar à solução. Ele encoraja os alunos a trocarem idéias com os

demais integrantes do grupo e a registrarem todos os passos que percorreram até a

resposta final, e, destaca que serão avaliados pela sua participação e envolvimento

em todas as etapas do trabalho.

Terminada a fase da resolução propriamente dita dos problemas,

cada grupo fará a exposição oral e escrita (na lousa) das soluções encontradas. O

professor coordena as discussões, estimulando seus alunos a comunicarem as

estratégias utilizadas e a fazerem a verificação das respostas. Esta fase é tão

importante quanto à anterior e não deve ser tratada de forma aligeirada. De acordo

com Schoenfeld (1997)

[...] explicar aos alunos de onde vêm os argumentos – ou, melhor ainda, compreender os argumentos com eles, quando possível – pode ajudar a desmistificar a matemática e permitir-lhes enfrentá-la com menos medo e apreensão (p.22).

Na confrontação e validação das soluções apresentadas, os alunos

devem verificar se realizaram corretamente todos os cálculos necessários, se a

resposta dada está adequada e ‘responde’ a pergunta do problema, se está de

acordo com estimativas feitas, se é possível fazer generalizações.

O professor, mediante a comparação, o agrupamento e a exploração

das soluções apresentadas deve abordar o conceito de fração e seus significados:

quociente que resulta da divisão de 3 pizzas para 4 pessoas, parte de pizza que

cabe a cada um, razão entre o número de pizzas e o número de pessoas e 4

3=3 ÷ 4,

bem como, as operações com frações unitárias e a equivalência de frações. Com

Cada amigo comeu mais que uma pizza ou menos que uma pizza? 3- Em qual das situações anteriores (no problema 1ou no problema 2) cada amigo comeu mais pizza?

7

isso fazer a sistematização das idéias matemáticas surgidas, etapa fundamental na

perspectiva da estratégia metodológica adotada.

Na segunda etapa os grupos trabalham com mais quatro questões:

Quadro 2: Questões trabalhadas na segunda etapa.

Novamente, o professor orienta o trabalho em grupo, a

apresentação e a verificação das respostas.

Resolução de Problemas – 2ªetapa Instrução: O grupo deve descrever o processo que utilizou para responder a cada

pergunta dos problemas abaixo. Pode fazê-lo utilizando palavras, desenhos, esquemas ou cálculos.

1- Durante o recreio do Colégio Kennedy, Sandra foi à cantina e comprou 4 paçoquinhas. Resolveu dividir igualmente entre ela e suas duas amigas. Que parte de paçoquinha comeu cada uma? Cada amiga comeu mais que uma paçoquinha ou menos que uma paçoquinha? 2- Pedro gosta de bolo de chocolate e Fábio gosta de bolo de laranja. Então, a mãe dos meninos fez dois bolos iguais no tamanho, mas diferentes no sabor: um de chocolate e outro de laranja. Quando a mãe entrou na cozinha, encontrou os dois meninos discutindo. Pedro falou:

_ Eu comi 5

2do bolo de chocolate e, por isso, comi mais que você!

Fábio respondeu:

_ Eu comi mais, porque comi 15

6do bolo de laranja!

A mãe dos meninos sorriu e disse: _ Parem com isso, pois nenhum comeu mais que o outro! Vocês comeram partes iguais de bolo. Escreva uma explicação para o que a mãe dos meninos falou. Pode fazê-lo utilizando palavras, desenhos, esquemas ou cálculos. 3- Os atletas brasileiros conquistaram 76 medalhas em jogos olímpicos (com

exceção das Olimpíadas de Pequim). Destas medalhas conquistadas, 2

1são de

bronze. Quantas medalhas de bronze nossos atletas ganharam?

4- Ana Maria escreveu estas duas frações em seu caderno: 5

4 e

7

3. Ela quer saber

qual é a maior. Como você faria para descobrir qual das frações dadas é a maior?

8

A exploração das soluções apresentadas permite ao professor

retomar as idéias tratadas no primeiro momento (conceito de fração, operações com

frações unitárias, equivalência) e abordar os seguintes temas: frações impróprias,

números mistos, equivalência, operador aplicado a quantidades discretas e

comparação de frações.

Com esta proposta objetiva-se:

• desenvolver o conceito de fração e seus significados;

• desenvolver a noção de equivalência;

• estabelecer critérios de comparação entre uma fração e a

unidade e, de frações entre si;

• somar frações unitárias de mesmo denominador;

• comunicar e justificar soluções encontradas no processo de

resolução de problemas;

• desenvolver atitudes como cooperação e respeito mútuo.

A avaliação deve ocorrer durante todo o processo de trabalho com as

questões propostas para a turma. Segundo Buriasco (2004) a avaliação “não pode

ser apenas uma etapa final, pouco ligada ao antes e completamente desligada do

depois, que consiste em apenas verificar a retenção ou não dos conteúdos

trabalhados”. Nesta perspectiva, considera-se a participação e o envolvimento do

aluno em todas as fases, na cooperação com os colegas, na compreensão dos

problemas propostos, no levantamento das dúvidas, na elaboração de estratégias,

na resolução dos problemas, na verificação e comunicação das soluções

encontradas.

Além da participação dos alunos no processo da resolução do

problema, a análise da produção escrita desses alunos também é material rico para

a composição da avaliação da aprendizagem. O professor deve recolher a produção

escrita, para orientar a continuidade de seu trabalho. A definição dos aspectos a

serem considerados na correção da produção escrita e dos critérios que serão

utilizados constitui-se em um guia para professor e aluno, orientando-os na

superação das dificuldades apresentadas.

9

4 APLICAÇÃO DA PROPOSTA DE ENSINO

A aplicação da proposta de ensino nas turmas de 6ª série iniciou-se

com a formação dos grupos, compostos por três alunos, escolhidos por sorteio.

Cada grupo recebeu uma folha contendo as três primeiras questões. Eles fizeram a

leitura das questões e iniciaram a discussão das estratégias. A utilização da

linguagem ilustrada surgiu de forma muito espontânea nos grupos e permitiu a

exploração das questões e a formulação de conjeturas pelos integrantes.

O deslocamento da professora pelos grupos possibilitou o

acompanhamento do trabalho dos alunos e do envolvimento dos mesmos na

resolução das questões, e, a interferência com questionamentos, quando

necessário. O prazo dado para a resolução das três questões foi de 30 minutos.

Na aula seguinte um integrante de cada grupo escreveu na lousa a

resolução elaborada por seu grupo para a primeira questão.

1- Ana, Carlos, Cristiane e Sandro foram a uma pizzaria e pediram três pizzas: frango, queijo e calabresa. Dividiram igualmente as três pizzas. Que parte da pizza comeu cada um? Cada amigo comeu mais que uma pizza ou menos que uma pizza?

Quadro 3: Questão 1 - Primeira etapa Fonte: Questão adaptada do artigo: MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Educação e Matemática, n. 84, p. 47-51, set. 2005.

Estando as resoluções da primeira questão escritas na lousa, iniciou-

se a comparação e a exploração das mesmas. O agrupamento das diversas

soluções semelhantes permitiu que se chegasse às seguintes respostas:

� Cada um comeu 3 pedaços de pizza.



� Cada um comeu 4

1 de cada pizza.

10

� Cada um comeu 4

3 de pizza.

Os quadros a seguir exemplificam algumas das estratégias e

procedimentos apresentados pelos alunos nesta questão:

Figura 1: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1



11


Os alunos utilizaram as palavras ‘pedaço’, ‘fatia’, ‘parte’ para

referirem-se a metades, quartos, oitavos, etc., sendo ‘pedaço’ a mais utilizada.

Mesmo os que fizeram uso de frações na produção escrita, oralmente utilizavam

uma das três palavras. As respostas ’3 pedaços de pizza’, ‘2 pedaços de pizza’ e ‘6

pedaços de pizza’ apresentaram maior freqüência. As frações foram pouco

aplicadas na resolução das questões na primeira etapa.

Mediante a comparação e a exploração das respostas ‘Cada um

comeu 3 pedaços de pizza’ e ‘Cada um comeu 4

3 de pizza’ (Figuras 1 e 2) foi

possível abordar a noção de fração e seus significados neste contexto, sendo

4

3→ o quociente que resulta da divisão de 3 pizzas para 4 pessoas;

4

3→ parte de pizza que cabe a cada um;

4

3→ razão entre o número de pizzas e o número de pessoas;

4

3→ 3 ÷ 4.

A professora propôs, então, que os alunos representassem as

respostas ‘Cada um comeu 2 pedaços de pizza de cada sabor ’ e ‘Cada um comeu 6

pedaços de pizza’ por meio de frações. Os desenhos ou esquemas apresentados

pelos grupos deixavam claro que se tratava de dois oitavos e seis oitavos (Figuras 3

e 4), mas, mesmo assim, esses grupos não aplicaram a simbologia matemática.

Logo ‘Cada um comeu 2 pedaços de pizza’ foi representado por 8

2 , e, ‘Cada um

comeu 6 pedaços de pizza’ por 8

6.

12

No trabalho com a primeira questão, as operações com frações

também foram exploradas. Alguns grupos distribuíram 4

1de cada pizza para cada

um, por exemplo, como o apresentado na figura a seguir.

Figura 5: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1.

A professora escreveu na lousa e os alunos registraram:

4

1 +

4

1 +

4

1 =

4

3 e 3 ×

4

1=

4

3

8

2 +

8

2 +

8

2 =

8

6 e 3 ×

8

2 =

8

6.

A comparação da resposta ‘Cada um comeu 4

1 de cada pizza’ com

‘Cada um comeu 8

2 de pizza’ e da resposta ‘Cada um comeu

4

3 de cada pizza’ com

‘Cada um comeu 8

6’ propiciou a abordagem da noção de equivalência entre frações

e a expressão frações equivalentes passou a ser utilizada e reforçada no diálogo

entre professora e alunos.

Na comparação com a unidade, os grupos não tiveram dificuldade e

a justificativa mais apresentada foi a de que havia 3 pizzas para 4 pessoas.

Todo o processo desenvolvido na exploração da primeira questão foi

repetido com a segunda e terceira questão. Os quadros seguintes apresentam estas

questões e as figuras apresentam as resoluções de alguns grupos para as mesmas:

13

2- Se cada um dos quatro amigos do problema 1 tivesse convidado mais um amigo para ir a pizzaria e tivessem pedido as três pizzas e as dividido igualmente entre todos, que parte da pizza comeria cada um? Cada amigo comeu mais que uma pizza ou menos que uma pizza? Quadro 4: Questão 2 - Primeira etapa Fonte: Questão adaptada do artigo: MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Educação e Matemática, n. 84, p. 47-51, set. 2005. Figura 6: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2 Figura 7: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2 Figura 8: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2

14

Figura 9: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2 Figura 10: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2

Quadro 5: Questão 3 - Primeira etapa Fonte: Questão adaptada do artigo: MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Educação e Matemática, n. 84, p. 47-51, set. 2005. Figura 11: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 3 Figura 12: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 3

3- Em qual das situações anteriores (no problema 1ou no problema 2) cada amigo comeu mais pizza?

15


A representação da situação descrita na primeira questão por 4

3 e da

situação descrita na segunda questão por 8

3 possibilitou aos alunos perceberem que

a aplicação da fração nestes contextos não só mostrava a quantidade de fatias para

cada um, como também, permitia comparar o tamanho destas fatias. O

encadeamento das idéias permitiu reforçar a funcionalidade da utilização de frações

por meio de questionamento feito pela professora. Exemplo:

_ Alguns grupos responderam que tanto na primeira questão como

na segunda questão, cada amigo que foi à pizzaria comeu três pedaços de pizza.

Podemos, então, dizer que comeram partes iguais?

_ O tamanho de cada fatia não tem importância?

_ Como podemos representar estas duas situações utilizando a

matemática?

Assim, foi sendo estabelecida a comparação de frações com mesmo

numerador. Muitos alunos verbalizaram o raciocínio assim:

_Quanto mais pedaços a gente corta, menor eles ficam.

A segunda etapa teve início com a formação de novos grupos. A

professora escolheu alunos que se destacaram na primeira etapa e, propôs que

cada um deles escolhesse outros dois alunos da turma para compor o seu grupo. As

folhas contendo as questões foram distribuídas, e, repetiu-se todo o trabalho

desenvolvido anteriormente: leitura e discussão das questões no grupo, resolução

das questões na folha e apresentação das resoluções na lousa para toda a turma.

Nessa etapa foram trabalhadas quatro questões. Novamente, um

integrante de cada grupo escreveu na lousa a resolução elaborada por seu grupo

para a questão proposta. Os conceitos matemáticos envolvidos foram explorados e

sistematizados. A primeira das questões dessa etapa discutida foi:

16

1- Durante o recreio do Colégio Kennedy, Sandra foi à cantina e comprou 4 paçoquinhas. Resolveu dividir igualmente entre ela e suas duas amigas. Que parte de paçoquinha comeu cada uma? Quadro 6: Questão 1 – Segunda etapa

Agrupando as soluções corretas apresentadas para esta questão

obteve-se:

� Cada uma comeu 3

4 de paçoquinha.

� Cada uma comeu 1 paçoca inteira e 3

1 de paçoca.


12 de paçoquinha.

� Cada amiga comeu 1 paçoquinha inteira e um pedaço.


1 de cada paçoquinha.

As respostas mais freqüentes foram: ‘Cada uma comeu 3

4 de

paçoquinha’, ‘Cada uma comeu 1 paçoca inteira e 3

1 de paçoca’ e ‘Cada amiga

comeu 1 paçoquinha inteira e um pedaço’. A seguir, alguns exemplos da produção

escrita contendo as estratégias e procedimentos utilizados pelos grupos:

Figura 14: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1 da segunda etapa Figura 15: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1 da segunda etapa

17

Figura 16: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1 da segunda etapa Figura 17: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1 da segunda etapa Figura 18: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 1 da segunda etapa

O conceito de equivalência foi retomado mediante a comparação e a

exploração das respostas ‘Cada uma comeu 3

4 de paçoquinha’ e ‘Cada uma comeu

9

12 de paçoquinha’ (Figuras 15,16,17). As frações impróprias e sua representação

por um número misto foram abordadas pelas respostas ‘Cada uma comeu 3

4 de

paçoquinha’ e ‘Cada uma comeu 1 paçoca inteira e 3

1 de paçoca’ (Figuras15,17 e

18

18). O diálogo que a professora manteve com a turma neste momento objetivou a

compreensão de que:

1 paçoquinha inteira = 3

3

3

4 =

3

3 +

3

1

3

4= 1

3

1.

As operações com frações também foram trabalhadas:

3

1+

3

1+

3

1+

3

1=

3

4 e 4 ×

3

1=

3

4.

Neste contexto, os grupos não tiveram dificuldade para estabelecer

comparação com a unidade e a justificativa mais apresentada foi que havia 4

paçocas para 3 pessoas.

A equivalência de frações já havia sido tratada em várias situações

durante as aulas dessa proposta, mas foi explorada com mais ênfase na segunda

questão da segunda etapa.

Quadro 7: Questão 2 – Segunda etapa

A maioria dos grupos utilizou desenhos como estratégia de

resolução:

Figura 19: Resolução apresentada por um dos grupos para a questão 2 da segunda etapa

2- Pedro gosta de bolo de chocolate e Fábio gosta de bolo de laranja. Então, a mãe dos meninos fez dois bolos iguais no tamanho, mas diferentes no sabor: um de chocolate e outro de laranja. Quando a mãe entrou na cozinha, encontrou os dois meninos discutindo. Pedro falou:

_ Eu comi 5

2do bolo de chocolate e, por isso, comi mais que você!

Fábio respondeu:

_ Eu comi mais, porque comi 15

6do bolo de laranja!

A mãe dos meninos sorriu e disse: _ Parem com isso, pois nenhum comeu mais que o outro! Vocês comeram partes iguais de bolo. Escreva uma explicação para o que a mãe dos meninos falou. Pode fazê-lo utilizando palavras, desenhos, esquemas ou cálculos.

19


E, alguns grupos foram capazes de reconhecer a equivalência das

frações:


Foi apresentada aos alunos a classe de equivalência da fração 5

2 e a

professora escreveu na lousa

20

× 2

5

2 =

10

4 =

15

6 =

20

8 =

25

10= ...

× 3

Algumas questões da segunda etapa da experiência de ensino foram

propostas com base na observação das dificuldades apresentadas pelos alunos

durante o desenvolvimento da primeira etapa.

A terceira questão foi proposta com o objetivo de trabalhar uma

fração como operador aplicado a uma quantidade discreta, e também, com a noção

de ‘meio’, visto que, na primeira etapa foi observada alguma dificuldade no lidar com

esta noção.

3- Os atletas brasileiros conquistaram 76 medalhas em jogos olímpicos (com

exceção das Olimpíadas de Pequim). Destas medalhas conquistadas, 2

1são de

bronze. Quantas medalhas de bronze nossos atletas ganharam? Quadro 8: Questão 3 – Segunda etapa

Os grupos utilizaram diferentes estratégias para resolver a tarefa,

sendo o cálculo aritmético a mais utilizada (Figura 24).


Algumas estratégias foram consideradas interessantes pela

professora, como, por exemplo, a apresentada na Figura 25.


21

A estratégia apresentada na figura 26 é o cálculo aritmético, mas

percebe-se a utilização da fração como razão na resposta dada pelo grupo à

pergunta dessa questão


Na quarta questão, a comparação de frações foi retomada em

contexto diferente da primeira fase (partilha).

Quadro9: Questão 4 – Segunda etapa

Nesta questão, apenas a simbologia foi apresentada: comparar 5

4e

7

3. As justificativas apresentadas pelos grupos mostraram que eles estabeleceram

critérios de comparação observando os denominadores e os numeradores.


4- Ana Maria escreveu estas duas frações em seu caderno: 5

4 e 7

3 . Ela quer saber

qual é a maior. Como você faria para descobrir qual das frações dadas é a maior?

22



No diálogo com a turma, além de destacar a importância de se

comparar a relação expressa por cada fração e não os numerais entre si, a

professora mostrou que ao comparar duas frações por meio de desenhos, deve-se

utilizar figuras de mesmo tamanho para representar o todo. Muitos grupos não

consideraram isto em suas estratégias de resolução, como pode ser observado na

Figura 30.

A avaliação foi desenvolvida durante todo o desenvolvimento desse

trabalho com o ensino de Frações, mediante observação e interferência da

professora. A produção escrita de cada grupo foi avaliada seguindo critérios como:

apresentação da estratégia de resolução, apresentação da justificativa,

apresentação de uma resposta completa para a questão resolvida.

23

3 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Analisando os resultados da aplicação da proposta à luz dos

objetivos estabelecidos pode-se afirmar que estes foram atingidos. A utilização da

Resolução de Problemas favoreceu a realização de um trabalho centrado na

atividade do aluno e, a reflexão sobre as diversas estratégias de resolução,

proporcionando alguma aprendizagem. Esta aprendizagem não se deu de forma

homogênea, mas em diferentes graus de compreensão. Porém, a maioria dos

alunos demonstrou, em situações posteriores, maior apropriação do conceito de

fração e suas acepções. Apropriação que foi constatada mesmo durante a aplicação

da proposta, pois mesmo tendo tido contato com o conteúdo Frações anteriormente,

os alunos que participaram do trabalho pouco utilizaram as frações na resolução das

questões da primeira etapa (ver Figuras 1, 2, 3 e 4). Contudo, na segunda etapa

quase todos os grupos utilizaram frações para representar a parte que cabia a cada

amiga na primeira questão (ver Figuras 14, 15, 16, 17 e 18) e lidaram com frações

nas questões seguintes. Além da professora, alguns alunos também registraram

este fato e fizeram comentários.

Além disso, é oportuno destacar que se verificou um refinamento da

linguagem ilustrada (desenhos e esquemas) utilizada pelos grupos na segunda

etapa do desenvolvimento da proposta. Prova disso é que os esquemas elaborados

na primeira etapa eram, em grande parte, pictóricos, enquanto que na segunda

etapa os grupos utilizaram legendas, cálculos e representações mais abstratas.

Finalmente, esta abordagem para o ensino/aprendizagem de frações

propiciou que os próprios alunos estabelecessem conexões matemáticas, feitas a

partir da sua produção. Por conseguinte, foi possível perceber que os alunos

sentiram-se mais seguros e capazes, afastado o sentimento de frustração que

muitas vezes acompanha professores e alunos no desenvolvimento do conteúdo

Frações.

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REFERÊNCIAS BEHR,M. J.; LESH, R.; POST, T. R.; SILVER, E. A. Rational number concepts: aquisition of mathematical concepts and processes. Chapter 4. New York: Academic Press, 1983. BRANCA, Nicholas A. Resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica. In: KRULIK, S.; REYS, R.E (Org.). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.4 -12. BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Análise da Produção Escrita: a busca do conhecimento escondido. In: ROMANOWSKI, J.P.; MARTINS,P.L.; JUNQUEIRA, S.A.(orgs). Conhecimento Local e conhecimento Universal: a aula e os campos do conhecimento. Curitiba: Champagnat, 2004. ISBN 85-7292-120-6. D'AMBROSIO, U. & D'AMBROSIO, B. An international perspective on research through the JRME. Journal for research in mathematics education, 25 (6), p. 685-696.1994. MATOS, João Filipe. Educação matemática e cidadania. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jfmatos/areastematicas/politica/jfm.doc>. Acesso: 17 jan 2006. MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Educação e Matemática, n. 84, p. 47-51, set. 2005. PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para as séries finais do Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. Curitiba, 2008. POLYA,George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. SCHNEIDER,Joel. As linguagens ilustradas na resolução de problemas. In: KRULIK, S.; REYS, R.E (Org.). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.88 - 98. SCHOENFELD, Alan. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, S.; REYS, R.E (Org.). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.13 - 31.

ALGUMA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.

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BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (II). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1. BUTTS, Thomas. Formulando Problemas Adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Higino H. Domingues. Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. SCHOENFELD, Alan. Porquê toda esta Agitação Acerca da Resolução de Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p. 61-72. SILVA, Vilma; SILVA, Ozileide; BORBA, Rute; AGUIAR, Maria Cecília; LIMA, José Maria. Uma experiência de ensino de fração articulada ao decimal e à porcentagem. Educação Matemática em Revista, São Paulo, Ano7, n. 8, p. 16-23, jun. 2000. STANIC, George M.A; KILPATRICK, Jeremy. Perspectivas Históricas da Resolução de Problemas no Currículo de Matemática. In: CHARLES, R. I.; SILVER, E. A. The teaching and assessment of mathematical problem solving. Reston, VA: NCTM, Lawrence Erlbaum, 1989.

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