Grafico de Funções Racionais
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M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 1
ASS IMPTOTAS DO GRÁF ICO DE UMA FUNÇÃO
Os gráficos de funções reais podem ter três tipos diferentes de assimprotas: verticais, horizontais e oblíquas, como se verificar pelos exemplos seguintes.
Cada um dos gráficos apresenta duas asssimptotas
Fig 1 Fig 2 e Fig3 Assimptotas vertical e horizontal Assimptotas verticais e oblíquas
Assimptotas Verticais A recta de equação x = a é assimptota do gráfico de uma função f se e só se:
lim f(x) = ±±±± ∞∞∞∞ ou lim f(x) = ±±±± ∞∞∞∞
Nos exemplos, a recta de equação x = a é assimptota dos gráficos das funções f, g e h
As assimptotas verticais do gráfico de uma função podem existir:
���� Em pontos de acumulação do domínio que não pertençam ao domínio
ex: os zeros do denominador de uma função racional
���� Em pontos que pertençam ao domínio mas onde a função não seja contínua
ex: funções definidas por ramos
Para encontrar assimptotas verticais do gráfico de uma função f deve-se:
1º — Determinar os pontos a tal que a ∈∈∈∈/ Df ou f não é contínua em a;
2º — Calcular lim f(x) e/ou lim f(x), obtendo, como resultado, +∞∞∞∞ (ou —∞∞∞∞)
x → a– x → a+
x → a– x → a+
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 2
Sem recorrer à calculadora (mas confirmando o resultado posteriormente), escreve equações das assimptotas verticais dos gráficos das funções definidas por:
290.
a) f(x) = xx
x
3
622 +
+
Df = {x ∈ IR: x2 + 3x ≠ 0 } = {x ∈ IR: x(x + 3) ≠ 0 } = IR\{–3, 0}
Como –3 e 0 são pontos de acumulação da função, mas não pertencem ao domínio, devem-se procurar assimptotas nestes pontos.
)(3
xfx −→lim =
xx
x
x 3
622
3 ++
−→lim =
)3()3(2
3 ++
−→ xxx
xlim =
xx
2
3−→lim = –2/3 não existe assimptota
)(0
xfx −→lim =
xx
x
x 3
622
0 ++
−→lim =
xx
2
0−→lim = –∞ existe assimptota à esquerda
)(0
xfx +→lim =
xx
x
x 3
622
0 ++
+→lim =
xx
2
0+→lim = +∞ trat-se de uma assimptota bilateral x = 0
291.
a) f(x) = x
xln
Df = {x ∈ IR: x
xln
> 0 } IR+\{1}
Procurar assimptota para x = 0+
)(0
xfx +→lim =
xx
x ln0+→lim =
∞−0
= 0 não tem assimptotas
Procurar assimptota para x = 1— e x = 1+
)(1
xfx −→lim =
xx
x ln1−→lim =
−0
1 = –∞ tem assimptota à esquerda
)(1
xfx +→lim =
xx
x ln1+→lim =
+0
1 = +∞ tem assimptota bilateral x = 1
b) g(x) = 1
1
3 −x
Dg = {x ∈ IR: x – 1 ≠ 0 } = IR\{1}
)(1
xgx −→lim =
−
−→
0
1
13
xlim = −∞3 = 0 não existe assimptota à esquerda
)(1
xgx +→lim =
+
+→
0
1
13
xlim = +∞3 = +∞ existe assimptota à direita x = 1
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 3
Assimptotas Horizontais A recta de equação y = b é assimptota do gráfico de uma função f se e só se:
lim f(x) = b ou lim f(x) = b
���� O gráfico de uma função tem, no máximo, duas assimptotas horizontais: uma que acompanha o gráfico quando x →—∞∞∞∞ e outra quando x →+∞∞∞∞
���� Se o domínio da função é um intervalo limitado então o gráfico não tem assimptotas horizontais, pois não é possível determinar lim f(x) ou lim f(x)
���� Os gráficos das funções racionais fraccionárias apresentam uma assimptota horizontal quando o grau do denominador é maior ou igual ao do numerador
293. Escreve equações das assimptotas horizontais dos gráficos das funções definidas por:
a) h(x) = 12
32
2
++
x
xx
)(xhx +∞→lim =
12
32
2
++
+∞→ x
xx
xlim =
2
2
2x
x
x +∞→lim =
2
2
2x
x
x −∞→lim = 1/2 assimptota y = 1/2
c) g(x) =
<
≥−
0
0
2
1
xxx
xx
se
see
)(xgx +∞→lim = x
x
−
+∞→
1elim = e–∞ = 0 assimptota y = 0
)(xgx −∞→lim =
xx
x
2
−∞→lim =
xx
x
||
−∞→lim = –1 assimptota y = —1
Note-se que o quociente é negativo porque x → —∞, logo o numerador e o denominador apresentam sinal contrário.
x → –∞ x → +∞
x → –∞ x → +∞
y 0 x
y 0 x
y 0 x
(∞/∞)
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 4
Assimptotas Oblíquas A recta de equação y = mx + b é assimptota não vertical do gráfico da função f se e só se:
lim [f(x) — (mx + b)] = 0 ou lim [f(x) — (mx + b)] = 0
���� Se m ≠≠≠≠ 0 a recta é uma assimptota oblíqua
���� Se m = 0 a recta é uma assimptota horizontal
Determinar o declive m de uma assimptota não vertical do gráfico de uma função
Observando a figura, verifica-se que, quando x →+∞ a diferença entre as ordenadas de f e de y = mx + b (a sua assimptota) tende para zero, ou seja,
lim [f(x) — (mx + b)] = 0
Se lim g(x) = 0, também 0)( =
+∞→ xxg
xlim dado que 0
0 =∞+
Assim também se verifica 0)()( =+−
+∞→ xbmxxf
xlim e obtêm-se as equivalências seguintes:
0)( =−−
+∞→ xb
xmx
xxf
xlim note-se que x →+∞ ,
∞+b → 0, pelo que
mxxf
x=
+∞→
)(lim
f(x) O declive da assimptota é dado por m = lim ———— se m = 0 a assimptota é horizontal
x →+∞ x
Determinar o valor b de uma assimptota não vertical do gráfico de uma função
Como lim [f(x) — (mx + b)] = 0
lim [f(x) — mx — b] = 0
lim [f(x) — mx ] — lim b = 0 (o limite da constante é a própria constante)
lim [f(x) — mx ] = b
A ordenada na origem da assimptota é dada por b = lim [f(x) — mx]
x → –∞ x → +∞
y 0 x
y
y = b
0 x
y 0 x
y f f(x) mx + b f(x) – mx + b
0 x x
x → +∞
x → +∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞ x →+∞
x →+∞
x → +∞
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 5
Resumindo, podemos afirmar que se a recta de equação y = mx + b é assimptota do gráfico da função f, então:
f(x) m = lim ———— e b = lim [f(x) — mx]
x →+∞ x x →+∞ (x → –∞) (x → –∞)
� Quando estes limites não existem ou não são números reais, o gráfico da função não tem assimptotas não verticais.
� Sendo m e b números reais, se m ≠≠≠≠ 0 a assimptota diz-se oblíqua e se m = 0, trata-se de uma assimptota horizontal.
� O gráfico de uma função tem, no máximo, duas assimptotas não verticais: uma que acompanha o gráfico quando x →+∞∞∞∞ e outra que acompanha o gráfico quando x →—∞∞∞∞.
298. Escreve equações das assimptotas dos gráficos das funções definidas por:
a) f(x) = 132
++
xxx
O domímio da função é IR\{—1}, logo:
Estudo quanto a assimptotas verticais
132
++
xxx =
1
)3(
++
x
xx como não é possível simplificar, deve-se investigar para x = –1
)(1
xfx −−→lim =
−+0
31 = –∞ e )(
1xf
x +−→lim =
++0
31 = +∞ confirma-se assimptota vertical para x = –1
Estudo quanto a assimptotas não verticais
m = ∴+∞→ x
xf
x
)(lim
xx
xx
x
132
++
+∞→lim =
)1(32
++
+∞→ xxxx
xlim =
xx
xx
x ++
+∞→ 2
2 3lim = 1
e da mesma forma xxf
x
)(
−∞→lim =
xx
xx
x ++
−∞→ 2
2 3lim = 1 , portanto m = 1
b = ∴−+∞→
])([ mxxfxlim x
xxx
x−
++
+∞→ 132
lim = 1
3 22
+−−+
+∞→ xxxxx
xlim =
12++∞→ xx
xlim = 2
e da mesma forma ])([ mxxfx
−−∞→
lim = 1
2+−∞→ xx
xlim = 2 , portanto b = 2
R: o gráfico da função apresenta um assimptota vertical x = –1 e uma assimptota oblíqua y = x + 2
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 6
299. Considera a família de funções definidas por:
fa(x) = IR,62
∈−
−−a
axxx
Determina a de modo que:
a) A recta de equação y = x + 5 seja assimptota do gráfico de fa
A recta de equação y = x + 5 tem m = 1 e b = 5, logo
xxf
x
)(
+∞→lim = 1<=>
xx
xx
x
alim −−−
+∞→
62
= 1 <=>a)
lim−
−−+∞→ xx
xx
x (62
= 1 <=>a
limxx
xx
xx −
−−
−∞→+∞→ 2
2
)(
6 = 1, ∀ a ∈IR
])([ mxxfx
−+∞→
lim = 5 <=> xx
xx
x−
−−−
+∞→ alim
62
= 5 <=>a
alim
−+−−−
+∞→ xxxxx
x
22 6= 5
<=>a
alim
−+−−
+∞→ xxx
x
6= 5 <=>
aa
lim−
−−+∞→ x
x
x
6( 1)= 5 <=>
xx
xx
1)−
−∞→+∞→
alim
(
)(
= 5
a – 1 = 5 <=> a = 6 para que y = x + 5 seja assimptota é necessário a = 6
b) A função fa não tenha assimptotas verticais.
Dado que a função é composta por expressões polinomiais, contínuas em IR, só poderá ter assimptota vertical quando x + a = 0, logo
alim
→x fa(x) =
alim
a −−−
→ xxx
x
62
= a
lima −
+−→ x
xxx
)2)(3(
se a = 3 temos que 3
)2)(3(3 −
+−→ x
xxxlim = )2(
3+
→x
xlim
assim, )(3
xfx
alim−→
= )(3
xfx
alim+→
= 23
+→
xxlim = 5 , pelo que não existe assimptota para x = 3
se a = –2 temos que 2
)2)(3(2- +
+−→ x
xxxlim = )3(
2-−
→x
xlim
assim, )(2-
xfx
alim−→
= )(2-
xfx
alim+→
= 32
−−→
xxlim = —5, pelo que não existe assimptota para x = –2
300. Escreve equações das assimptotas dos gráficos das funções definidas por:
a) f(x) = 1−x
x
e
O domímio da função é {x ∈IR: 01 ≠−xe } = IR\{0}, logo:
Estudo quanto a assimptotas verticais
)(0
xfx →lim =
10 −→ xx
x
elim =
x
xx 1
1
0 −→ elim = 1 o gráfico da função não apresenta assimptota vertical
(0/0)
(0/0)
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 7
Estudo quanto a assimptotas não verticais quando x → + ∞∞∞∞
m =xxf
x
)(
+∞→lim =
x
xx
x
1−+∞→
elim = )1( −+∞→ xx x
x
elim =
1
1
−+∞→ xx elim =
∞+1
= 0
b = ])([ mxxfx
−+∞→
lim = 1−+∞→ xx
x
elim =
x
xx
xx 1
/
−+∞→ elim =
xx
xx 1
1
−+∞→ e
lim = 0
1−∞+
= 0
assimptota horizontal y = 0, ou seja, o próprio eixo Ox
Estudo quanto a assimptotas não verticais quando x → – ∞∞∞∞
m =xxf
x
)(
−∞→lim =
x
xx
x
1−−∞→
elim = )1( −−∞→ xx x
x
elim =
1
1
−−∞→ xx elim =
101−
= –1
b = ])([ mxxfx
−−∞→
lim = xx
xx+
−−∞→ 1elim =
1−
+ −−∞→ x
x
x
xxx
e
elim =
1−−∞→ x
x
x
x
e
elim =
x
x
x
e
lim1
1−−∞→ (cont.)
b = ])([ mxxfx
−−∞→
lim =
xx
xxx
x
−−
−
−−∞→
−
elim
1
/ =
yy
yy elim
−
−+∞→ 1
1 =
∞−−
01
= 0
Conclui-se assim que, quando x → — ∞, o gráfico apresenta a ass. oblíqua y = –x
301. Seja f a função de domínio IR+ definida por f(x) = 2x + x ln (1/x )
a) Determina a abcissa do ponto em que o gráfico de f interssecta o eixo das abcissas.
b) Escreve equações das assimptotas do gráfico de f.
a) f(x) = 0 <=> 2x + x ln (1/x ) = 0 <=> 2x + x (ln 1 – ln x ) = 0 <=> 2x – x ln x = 0
<=> 2x = x ln x <=> 2 = ln x <=> x = e2
b) A função é contínua em IR+, logo, só poderá existir assimptota vertical em 0+
)(0
xfx +→lim =
−
→ xxx
x
1ln2
0lim = x
x2
0→lim –
x
x
x /
/1
1 )(ln
0→lim = 0 –
yy
y
ln
+∞→lim = 0 (se x → 0 => y → 1/0 )
Não existe assimptota vertical em 0
Estudo quanto a assimptotas não verticais, só quando x → + ∞
m =xxf
x
)(
+∞→lim =
xxx
xx
x
)/1ln(2 ++∞→
lim = 2 +
+∞→ xx
1lnlim = 2 + ln 0 = 2 – ∞ = – ∞
Não existindo m ∈ IR, conclui-se que também não existe assimptota horizontal ou oblíqua.
(∞/∞)
(-∞x0) (∞/∞)
(mudança de variável. Se x → —∞ => y =—x → +∞)
(0x∞)
M. Ribeiro : Assimptotas do gráfico de uma função — 12º ano 8
304. Escreve equações das assimptotas do gráfico da função definida em IR\{—2} por:
f(x) =
<+
≥−
02
02
2
xxx
xx
x
se
see
Estudo quanto a assimptotas verticais
)(0
xfx −→lim =
20
0−→xlim = 0 e )(
0xf
x +→lim =
00
2
elim
+→x=
12
= 2 não tem assimptota para x = 0
)(2
xfx −−→lim =
2
2
2 +−−→ xx
xlim =
−0
4= –∞ e
2
2
2 ++−→ xx
xlim =
+0
4= +∞ 0 tem assimptota vertical bilateral
Estudo quanto a assimptotas não verticais quando x → + ∞∞∞∞
)(xfx +∞→lim =
xx
x
elim
−+∞→
2 =
xxx
x
eelim −
+∞→
2 =
xx elim
2
+∞→ –
x
x
x
elim
+∞→
1= 0 –
∞+1
= 0 assimptota y = 0
Tendo a certeza que existe assimptota horizontal, nada nos obriga a procurar assimptota oblíqua.
Estudo quanto a assimptotas não verticais quando x → – ∞∞∞∞
m =xxf
x
)(
−∞→lim =
)2(
2
+−∞→ xxx
xlim =
xx
x
x 22
2
+−∞→lim =
2
2
x
x
x −∞→lim = 1
b = ])([ mxxfx
−−∞→
lim = xx
x
x−
+−∞→ 2
2
lim = 2
222
+−−
−∞→ xxxx
xlim =
22+
−−∞→ x
x
xlim =
xx
x
2−−∞→
lim = –2
Quando quando x → — ∞, o gráfico apresenta a assimptota oblíqua y = x – 2
(∞/∞)
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 9
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
Na figura, os pontos P, P1 , P2 , P3 , ... pertencem ao gráfico de f e as suas abcissas estão cada vez mais próximas de xo. A posição limite das rectas P0P1, P0P2, …, P0Pi é a recta r tangente ao gráfico de f no ponto P0.
Designa-se por taxa média de variação no intervalo [x , x0] ao declive da recta que passa por P e P0
TMV[x , x0] = 0
0 )()(xx
xfxf−−
ou TMV[x , x0] = h
h xfxf )()( 00 −+
Interpretação geométrica de derivada de uma função num ponto
Designa-se por taxa de variação instantânea em x0 ou derivada da função f no ponto x0 ao declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto P0 e representa-se por
f’ (x0) = 0
lim→h
h
h xfxf )()( 00 −+
Diz-se que f é derivável ou diferenciável no ponto x0 se existe e é finito
0lim
→h
h
h xfxf )()( 00 −+ ou
0lim
xx → 0
0 )()(xx
xfxf−−
Ao valor desse limite chamas-e derivada de f no ponto x0 e representa-se por
f ’(x0), Dfx = x0, ou 0xxdx
df
=
x3 x2 x1 x
h
P
0
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 10
358. Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1
b) Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.
m = 0
)0()(
0 −−
→ xfxf
xlim =
xxx
x
115,0 2
0
−+−→
lim = xxx
x
)15,0(
0
−→
lim = 15,00
−→
xxlim = –1
b = f(0) = 1
equação da recta y = –x + 1
360. Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t
sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos.
b) Calcula a velocidade no instante t = 3.
e’ (t) = (5t2 + 20t)’ = 10 t + 20
e’ (3) = 10 x 3 + 20 = 50
A velocidade no instante 3 é 50 m/s
352. Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular:
b) g’(1) sendo g(x) = e2x
g’(1) = h
ghxg
h
)1()(
0
−+→
lim =h
gh
h
)1()1(2
0
−+
→
elim =
h
h
h
222
0
eelim
−+
→=
h
h
h
222
0
eeelim
−⋅→
=h
h
h
)1( 22
0
−→
eelim
=h
h
h 22)1( 2
2
0
−→
eelim = e2
y
y
y
12
0
−×
→
elim = 2e2
c) h’(0) sendo h(x) = 1
2+xx
h’(0) = 1
)0()(
0 +−
→ xhxh
xlim =
0
)0(1
2
0 −
−+
→ x
fx
x
xlim =
xx
x
x
01
2
0
−+
→lim =
)1(2
0 +→ xxx
xlim =
12
0 +→ xxlim = 2
354. Exprime em função de f ’(a) o limite h
fhf
h
)()2(
0
aalim
−+→
22
×−+
→ hfhf
h
)()2(
0
aalim = 2
xfxf
x
)()(
0
aalim
−+→
(mudança de variável x = 2h)
= 2 a
alim
a −−
→ xfxf
x
)()( = 2 f ’(a)
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 11
F UNÇ ÃO D E R I V ADA
Uma função f diz-se derivável num conjunto C se é derivável em todos os pontos de C (ou seja, tem derivada finita em todos os pontos do conjunto C)
A função derivada de f num conjunto C representa-se por f’ e faz corresponder a cada ponto de C a derivada de f nesse ponto.
f’ : C → IR
x f’ (x)
Algumas regras de derivação já conhecidas
função derivada
f(x) = k f´(x) = 0
f(x) = x f´ (x) = 1
f(x) = ax f´ (x) = a
f(x) = ax n f´(x) = nax n – 1
f(x) = g(x) + h(x) f´(x) = g´(x) + h´(x)
f(x) = g(x) •••• h(x) f´(x) = g´(x) •••• h(x) + h´(x) •••• g(x)
g(x) g´(x) •••• h(x) – h´(x) •••• g(x) f(x) = ––––– f´(x) = ––––––––––––––––––––
h(x) h(x)2
a a f(x) = ––– f´(x) = – –––
x x2
356. Usa as “regras práticas” de derivação para obter as funções derivadas das funções definidas por:
d) r(x) = (2x + 3)2 – 1
r’(x) = [(2x + 3)2 – 1]’ = 2(2x + 3) x (2x + 3)’ = (4x + 6) x 2 = 8x + 12
ou (4x2 + 12x + 9 –1)’ = 8x + 12
e) s(x) = x
x 12+
s’(x) = '
+x
x 12
= 2
22 )1()1(
x
xxxx +−+ '' =
2
2 )1(12
x
xxx +−⋅ =
2
22 12
x
xx −− =
2
2 1
x
x − =
2
1
xx −
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 12
Derivabilidade e continuidade num ponto Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto, ou seja:
� Se não é contínua num ponto, não é derivável nesse ponto
� Se é derivável num ponto tem de ser contínua nesse ponto
� Mas pode ser contínua num ponto e não ser derivável nesse ponto
Para a correcta compreensão destas implicações é necessário conhecer o conceito de
Der ivada l a t e r a l
� Derivada lateral direita em x0 f´(x0+) =
0
0)()(
limxx
xfxf
0xx−
−
+→
= h
xfhxf
0h
)()(lim 0
−+
+→
Se existir, e for finito, representa o declive da semitangente ao gráfico à direita de x0
� Derivada lateral esquerda em x0 f´(x0–) =
0
0)()(
limxx
xfxf
0xx−
−
−→
= h
xfhxf
0h
)()(lim 0
−+
−→
Se existir, e for finito, representa o declive da semitangente ao gráfico à esquerda de x0
� Se existirem e foram iguais as derivadas laterais em x0, então existe f´(x0)
Exemplos de funções não deriváveis num ponto do seu domínio
f(x) =
<−−
≥−
11
11
xx
xx
se
se g(x) =
−<+
−≥+−
12
1
122
xx
xx
se
se
A função é contínua para x = 1 A função apresenta um ponto anguloso para x = —1 as derivadas laterais têm o mesmo sinal pelo que g´(–1–) ≠ g´(–1+), logo não é derivável em —1 f não apresenta extremo em 1 Como g´(–1–) > 0, g´(–1+) < 0 g tem um máximo em —1.
f(1) = 0 e )(
1xf
x −→lim = 1
1−
→x
xlim = 0 e )(
1xf
x +→lim = x
x−−
→1
1lim = 0 f é contínua em 1
f ’(1+) = 1
)1()(
1 −−
+→ xfxf
xlim =
1)1(1
1 −−−
+→ xfx
xlim =
11
1 −−
+→ xx
xlim =
21 )1(
1
−−
+→ x
x
xlim =
11
1 −+→ xxlim =
+0
1= +∞
f ’(1–) = 1
)1()(
1 −−
−→ xfxf
xlim =
1)1(1
1 −−−−
−→ xfx
xlim =
)1(1
1 xx
x −−−−
−→lim =
21 )1(
1
x
x
x −−
−→lim =
xx −−→ 11
1lim =
+0
1= +∞
f é contínua em 1, mas as derivadas laterais não têm valor finito f ’(1) = +∞∞∞∞, logo não é derivável em 1
y g
–1 0 x t1 t2
y t1 f
0 x t2
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 13
h(x) = 3 2)1( +x j(x) =
>+−≤+−
15
1322
xx
xxx
sese
A função h é contínua em x = —1 A função j não é contínua em x = 1 e as derivadas laterais têm sinal contrário j ´(1–) ≠ j ´(1+), logo não é derivável em 1 h tem um mínimo em —1 j não tem máximo, mas tem mínimo em 1
h(–1) = 0 e )(1
xhx −−→lim = 3 2
1)1( +
−−→x
xlim = 0 e )(
1xh
x +−→lim = 3 2
1)1( +
+−→x
xlim = 0 h é contínua em —1
h ’(–1+) = 1
)1()(
1 −−−
+−→ xhxh
xlim =
1
)1(3 2
1 −+
+−→ x
x
xlim = 3
3
2
1 )1(
)1(
++
+−→ x
x
xlim = 3
1 11++−→ xx
lim = +0
1= +∞
h ’(–1–) = 1
)1()(
1 −−−
−−→ xhxh
xlim =
1
)1(3 2
1 −+
−−→ x
x
xlim = 3
3
2
1 )1(
)1(
++
−−→ x
x
xlim =
xx −−−→ 11
1lim =
−0
1= – ∞
h é contínua em —1, mas não existe derivada pois h ’(–1–) ≠≠≠≠ h ’(–1+), logo não é derivável em —1
362. Seja f a função definida por
f(x) =
>+≤−
0)1ln(
01
xx
x
xx
se
see
Justifica que f não é derivável em 0.
Resolução
Verificar se f é contínua em 0:
)(0
xfx −→lim = 1
0−
→
x
xelim = 1 – 1 = 0 e )(
0xf
x +→lim =
xx
x
)1ln(
0
+→
lim = 1
Como )(0
xfx −→lim ≠ )(
0xf
x +→lim a função não é continua em 0, condição necessária para ser derivável
y t1 t2 f
–1 0 x
y t2 t1 j
0 1 x
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 14
368. Seja f a função definida por
f(x) =
≥+<−
23
22
xx
xx
sese
ab
Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto 2.
Para ser derivável é necessário que seja contínua e que as derivadas laterais sejam iguais.
)(2
xfx −→lim = )(
2xf
x +→lim <=> 22 – b = 2a + 3
f ’(x–) = 2x e f ’(x+) = a
f ’(2–) = f ’(2+) <=> 2 x 2 = a <=> a = 4
22 – b = 2 x 4 + 3 <=> b = –7
371. Seja f(x) =
>−−
≤
288
22
2
xxx
xx
se
se
Esboça o gráfico de f e calcula as derivadas laterais no ponto 2.
Existe recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2?
Resolução
Para existir é necessário que a função seja contínua nesse ponto e que as derivadas laterais sejam iguais.
Quanto à continuidade:
)(2
xfx −→lim = 4 e )(
2xf
x +→lim = 4 e f (2) = 4 , logo a função é contínua em 2
Quanto à derivabilidade:
f ’(2+) = 2
)2()(
2 −−
+→ xfxf
xlim =
2)2(88 2
2 −−−−
+→ xfxx
xlim =
21282
2 −−+−
+→ xxx
xlim =
21282
2 −−+−
+→ xxx
xlim
= 2
)6)(2(
2 −+−−
+→ xxx
xlim = 6
2+−
+→x
xlim = 4
f ’(2–) = 2
)2()(
2 −−
−→ xfxf
xlim =
2)2(2
2 −−
−→ xfx
xlim =
242
2 −−
−→ xx
xlim =
2)2)(2(
2 −+−
−→ xxx
xlim = 2
2+
−→x
xlim = 4
f ’(2–) = f ’(2+), logo a função é derivável em 2
Dado que as derivadas laterais são iguais e a função é contínua nesse ponto, existe uma recta tangente ao gráfico no ponto x = 2, que é:
m = 4 e f (2) = 4 então (2 , 4) ∈ y = mx + b
4 = 4 x 2 + b <=> b = – 4
A recta de equação y = 4x – 4 é tangente ao gráfico no ponto 2
–1 8 –12
α = 2 –2 12 –1 6 0 Q(x) = –x +6
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 15
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Algumas demonstrações
Derivada de uma função constante f(x) = c => f(x)’ = 0, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ IR
f ’(x0) = h
xfhxf
h
)()( 00
0
−+→
lim = hh
cclim
-
0→ = 0 (f é cte todas as imagens são iguais: f(x0+h) = f(x0) = c )
Como x0 é um ponto qualquer do domínio, então f(x)’ = 0, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ IR
Derivada de uma função afim f(x) = ax + b => f(x)’ = a, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ IR
f ’(x0) = 0
0 )()(
0xx
xfxf
xx −−
→lim =
0
0
0xx
xx
xx −−−+
→
babalim =
0
0
0xx
xx
xx −−
→
aalim =
0
0 )(
0xx
xx
xx −−
→
alim = alim
0xx→ = a
Derivada da soma [f(x) + g(x)]’ = f’ (x) + g’ (x), ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ Df´ ∩∩∩∩ Dg´
Se f e g são deriváveis no ponto a:
(f+g)’(a) = a
alim
a −+−+
→ xgfxgf
x
))(())(( =
aaa
lima −
−−+→ x
gfxgxf
x
)()()()( =
aaa
lima −
−+−→ x
gxgfxf
x
)()()()(
= a
alim
aa
limaa −
−+−−
→→ xgxg
xfxf
xx
)()()()( = f ’(a) + g ’(a)
Derivada do produto [f(x) . g(x)]’ = f’ (x) . g(x) + g’ (x) . f(x) , ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ Df´ ∩∩∩∩ Dg´
Se f e g são deriváveis no ponto a:
(fxg) ’(a) = a
alim
a −− ××
→ xgfxgf
x
))(())(( =
aaa
lima −
−→ x
gfxgxf
x
)()()()( [adicionando e subtraindo f(a)g(x)]
= a
aaaalim
a −−+−
→ xgfxgfxgfxgxf
x
)()()()()()()()(
= a
aaalim
a −−+−
→ xfgxgxgfxf
x
)()]()([)()]()([
= )()()(
)()()(
aa
alima
aa
limaa
fx
gxgg
xfxf
xx −−+
−−
→→
Quando x → a, f(x) = f(a), logo
= )()´()()´( aaaa fggf + e f’ (x) g(x)+ g’ (x) f(x)
Em particular, se f é uma função constante, tem-se:
f(x) = k , ∀ x ∈ IR, então k’= 0 pelo (kg)’ (x) = k’g(x) x kg’(x) = 0 + kg’(x) = kg’(x)
(–) (–)
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 16
Regras de derivação
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 17
Derivadas de potências, produtos e quocientes de funções
Escreve uma expressão da função derivada de:
384. a) f(x) = 5x(x – 1)4
f´(x) = 5x´(x – 1)4 + 5x[(x – 1)4]´ (recorrendo à regra da potência)
f´(x) = 5(x – 1)4 + 5x[4(x – 1)3( x – 1)´]
f´(x) = 5(x – 1)4 + 5x[4(x – 1)3 x 1 ]
f´(x) = 5(x – 1) (x – 1)3 + 20x(x – 1)3
f´(x) = (5x – 5) (x – 1)3 + 20x(x – 1)3
f´(x) = (5x – 5 + 20x )(x – 1)3
f´(x) = (25x – 5 )(x – 1)3
f´(x) = 5(5x – 1)(x – 1)3
384. c) f(x) = (ex + x – 1)3
f´(x) = 3(ex + x – 1)2 (ex + x – 1)´ (recorrendo à regra da potência)
f´(x) = 3(ex + x – 1)2 [(ex)´ + x´ + 0] (recorrendo à regra da exponencial)
f´(x) = 3(ex + x – 1)2 (ex + 1)
f´(x) = 3(ex + 1) (ex + x – 1)2
384. d) f(x) = 5x2 (ln x + x )
f´(x) = (5x2)´ (ln x + x ) + (ln x + x )´ 5x2 (recorrendo à regra do produto)
f´(x) = 10x (ln x + x ) + [(ln x )´ + x´] 5x2
f´(x) = 10x ln x + 10x2 + (1/x + 1) 5x2 (recorrendo à regra do logaritmo)
f´(x) = 10x ln x + 10x2 + 5x2 + 5x
f´(x) = 15x2 + 5x + 10x ln x
381. Define as funções derivadas das funções definidas por:
a) f(x ) = ex( x + 1)
g(x ) = x3 ex + 1
h(x ) = x2 ln x
b) Determina os zeros de cada uma das funções f´, g´ e h´
(un)´= n un—1 u´
(ex)´ = ex
(u.v)´=u´v+v ´u
(ln x)´ = 1/x
(un)´= n un—1 u´
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 18
a) f´(x ) = [ex( x + 1)]´ = (ex)´ (x + 1) + ( x + 1)´ ex = x ex + ex + ex = ex(x + 2)
g´(x ) = (x3 ex + 1)´ = (x3 ex)´ = (x3)´ ex + x3(ex)´ = 3x2 ex + x3ex = x2 ex(x + 3)
h´(x ) = (x2 ln x )´ = (x2)´ ln x + x2 (ln x )´ = 2x ln x + x2/x = 2x ln x + x = x (ln x + 1)
b) f´(x ) = 0 <=> ex(x + 2) = 0 <=> ex = 0 v (x + 2) = 0 <=> x = –2 (ex = 0 impossível em IR)
g´(x ) = 0 <=> x2 ex(x + 3) = 0 <=> x2 ex(x + 3) = 0 v (x + 3) = 0 <=> x = 0 v x = –3
h´(x ) = 0 <=> x (ln x + 1) = 0 <=> x = 0 v ln x = –1 <=> x = 0 v x = e–1 <=> x = 0 v x = 1/e Derivadas de funções irracionais
385. Determina a função derivada de cada uma das funções seguintes e indica o seu domínio:
a) f(x ) = xln1+
b) g(x ) = 3 e x2
a) f´(x ) = ( xln1+ )´= ( ) ´21
ln1
+ x = ( ) ( )́ln1ln121
21
xx ++ − = ( )
x
x
ln12
´ln1
++
= x
x
ln12
/1
+=
xx ln12
1
+
Df´ = { x ∈ IR : x ≠ 0 ∧ x > 0 ∧ 1 + ln x ≠ 0 } = { x ∈ IR : x > 0 ∧ ln x ≠ –1 } = IR \{1/e}
b) g´(x ) = ( 3 e x2 )´ = 3 2
2
3
)´(x
x
e
e=
3 22
2
)(3
)´(
x
x
e
e =
3 22
2
)(3
)´2(
x
xx
e
e=
3 4
2
3
2x
x
e
e =
3
2
3
2xx
x
ee
e =
33
2x
x
e
e Dg´ = IR
ou
g´(x ) = ( 3 e x2 )´ = ´3/12 )(
3 e x = )´()(
31 213/12 xx ee − = xx x 23/22 )´2()(
31
ee − = ( )3 22
2
3
2x
x
e
e=
33
2x
x
e
e
387. Determina g’ sendo:
c) g(x ) = xe
3
g´(x ) = ´3
xe
= 2)(
)´(30x
xx
e
ee −× =
2)(
3x
x
e
e− =
xe
3−
ou g´(x ) = ´3
xe
= x−e3 = 3(–x)´e–x = – 3 e–x = xe
3−
d) g(x ) = xln4−
g´(x ) = ´
ln4
−x
= 2)ln(
)´(ln4ln0
x
xx +× =
2)ln(
4 /1
x
x =
2)(ln
4
x
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2
(eu)´= u’ eu
u’v — uv´ 1 (u/v)´= ——————— e (ln x)´= —— v2 x
(un)´= n.un—1.u´ ; (eu)´ = u´.eu
(u.v)´=u´v+v ´u ; (ex)´ = ex
(ln x)´ = 1/x
(un)´= n.un—1.u´ e (ln x)´ = 1/x
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 19
Derivadas de funções racionais
388. Escreve a expressão simplificada da função derivada de cada uma das funções seguintes
b) g(x ) = 121
+−
xx
g´(x ) = ´
121
+−
xx =
2)12(
)´12)(1()12)´(1(
++−−+−
x
xxxx = 2)12(
)1(212
+−−+
x
xx = 2)12(
3
+x
c) h(x ) = 1
22 +t
te
h´(x ) = ´2 1
2
+t
te = 22
22
)1(
)´1)(2()1)´(2(
++−+
t
tt tt ee = 22
2
)1(
)2(2)1(2
+−+
t
tt tt ee = 22
2
)1(
4)1(2
+−+
t
tt tt ee
= 22
2
)1(
422
+−+
t
tt ttt eee = 22
2
)1(
)21(2
+−+
t
ttte = 22
2
)1(
)1(2
+−
t
tte
g) v(x ) = x
xln
21−
v´(x ) = ´
ln2
1
− xx =
2)ln-(1
)´ln1(2)ln1)´(2(
x
xxxx −−−
= 2)ln-(1
2)ln1(2 )( /1
x
xxx −−− =
2)1( ln
2ln22
x
x
−
+− =
2)1( ln
ln24
x
x
−
−
Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas ( eu/ln u)
390. Caracteriza a função derivada de:
b) y = 2
2 t−e
y´ = ´22
−te = 2(–t2)´ e–t2 = – 4t e – t2 Dy ´ = IR
c) y = ln (2x3 – x – 1)
y´ = [ln (2x3 – x – 1)]´ = 12
)´12(3
3
−−−−
xx
xx =
12
163
2
−−−xx
x
Importante: c. a. Como o domínio da função é { x ∈ IR : 2x3 – x – 1 > 0}
e esta só é derivável em pontos de seu domínio, logo, o domínio da função derivada tem, necessariamente, que ser o mesmo ou um subconjunto deste. Daí que Dy ´ = { x ∈ IR : 2x3 – x – 1 > 0 } = ] 1 , +∞ [
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2
(eu)´= u’ eu
u´ (ln u)´= —— u
u’v — uv´ 1 (u/v)´= ——————— ; (ln x)´= —— v2 x
2 0 –1 –1
α = 1 2 2 1 2 2 1 0
P(x) = (2x2 + 2x + 1)(x –1) 2x2 + 2x + 1 = 0 <=>
x = 4
12442 ××−±−
não tem outros zeros
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 20
i) y = x
x 2/e
y´ = ´2/
x
xe
= 2
22 )()´( // ´
x
xxxx
ee − =
2
22 // )´()2( /x
xx xxee −
= 2
222
2
// 2
x
xxx
ee − =
2
22
2
( )2/
x
xx
−e
Dy ´ = { x ∈ IR : x ≠ 0 } = IR \{0}
l) y =
+−
12
lnx
x
y´ = ´1
2ln
+−
xx
=
12
´1
2
+−
+−
xx
xx
= ( )
2)1(1
2
)2)´(1()1´(2
+
+−
−+−+−
xx
x
xxxx =
( )2)1(
12
)2)´(1()1´(2
+
+−
−+−+−
xx
x
xxxx
= )1)(2(
)2(1)1(1+−
−−+−xx
xx =
)1)(2(21
+−+−−−
xxxx =
)1)(2(3
+−−
xx =
)1)(2(3
+− xx
Dy ´ = { x ∈ IR : 1
2+−
xx > 0 ∧ x – 2 ≠ 0 ∧ x + 1 ≠ 0 } = ] –1, 2 [
Derivadas de funções exponenciais ( au )
393. Calcula as funções derivadas de:
b) f(x ) = ( x + 1) 3x2
c) f(x ) = 12
12++
x
x
b) f´(x ) = [( x + 1) 3x2]´ = ( x + 1)´ 3x2
+ (3x2)´( x + 1)
= 3x2 + (x2)´ 3x2
ln 3 ( x + 1) = 3x2 + 2x 3x2
ln 3 ( x + 1)= 3x2 [ 1 + 2x ln 3 ( x + 1)]
c) f´(x ) = ´2
121
++x
x
= 21
11
)(
)()(
2
)12´(22)´12(+
++ +−+x
xxxx
= 21
11
)(
)()()(
2
)12(2ln2´122ln2)´(+
++ ++−x
xxxx xx =
21
11
)(
)()(
2
)12(2ln222ln2+
++ +−x
xxxx
= 21
111
)(
)()()(
2
2ln22ln222ln22+
+++ −−x
xxxxx
= 21
1
)(
)(
2
2ln2+
+−x
x
= 12
2ln+
−x
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— ; (eu)´= u’ eu v2
u´ u’v — uv´ (ln u)´= —— ; (u/v)´= ——————— u v2
x –∞ –1 2 +∞ 2 –x + + + 0 – x + 1 – 0 + + +
Q – ss + 0 –
(u.v)´=u´v+v ´u ; (au)´=u´ au ln a
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— ; (au)´=u´ au ln a v2
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 21
Derivadas de funções logarítmicas ( lna u)
394. Determina o domínio e a função derivada da função de variável real definida por:
b) 1log 23 +t
´1log 23
+t =
3ln1
´1
2
2 )(+
+
t
t =
3ln1
1
12
)´1(22
2
++
+×
tt
t
= 3ln112
222 +⋅+ tt
t = 3ln1 22 )( +t
t = 3ln)1( 2 +t
t =
Df ´ = { x ∈ IR : t2 + 1 > 0 } = { x ∈ IR : t2 > –1 } = IR
d) 11
log2 −+
xx
´11
log2
−+
xx =
2ln11
´11
−+
−+
xx
xx
= 2ln
11
111 ´
−+
−+
xxx
x
= ( ) 2ln1)1(
)1(
)´1)(1()1)´(1(2 +
−−
−+−−+×
xx
x
xxxx = ( ) 2ln1)1(
)1(
)1()1(2 +
−−
+−−×
xx
x
xx
= ( ) 2ln1)1(
)1(
112 +
−−
−−−×
xx
x
xx = ( ) 2ln1)1(
)1(22 +−
−−xx
x = ( ) 2ln1)1(2+−
−xx
= 2ln)1(
22 −
−x
Df ´ = { x ∈ IR : 11
−+
xx > 0 ∧ x2 – 1 ≠ 0 } = IR \[–1, 1]
g) g(x) = x1
ln
g(x) = 21/1ln
x= ( ) 21/ln −x ( ) ´/ln 21
−x =
21
21
/
´/
−
−
x
x =
21
23
/2
/
−
−−
x
x
= 21
23
/2
/
−
−−
x
x=
2
2
/2
/13
x
x− = x21−
Dg´ = { x ∈ IR : 1/x > 0 } = IR +
u’ u’v — uv´ (loga u)´= ——————— ; (u/v)´= ———————- u ln a v2
u’ (loga u)´= ——————— ; (un)´= n.un—1.u´ u ln a
x –∞ –1 1 +∞ x + 1 – 0 + + + x – 1 – – – 0 +
Q + 0 – ss +
u’ (ln u)´= ——— ; (un)´= n.un—1.u´ u
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 22
SEGUNDA DERIVADA Seja f uma função real de variável real e f’ a sua função derivada no ponto a. Se f’ admite derivada no ponto a, diz-se que f é duas vezes derivável no ponto a.
f’’ (a) = 0
lim→h
h
h f'f' )()( aa −+ ou f’’ (a) = a→x
lima
a−−
xf'xf' )()(
Função segunda derivada (ou função derivada de ordem 2) de uma função f é uma nova função:
� Cujo domínio é o conjunto de todos os pontos em que f´ tem derivada;
� Que a cada ponto do seu domínio faz corresponder a derivada da função f´ nesse ponto.
399. Define a 2ª derivada de:
a) f(x) = (2x – 1)3
b) g(x) = x1
c) h(x) = x
xln
a) f´(x) = [(2x – 1)3]´ = 3(2x – 1)2 (2x – 1)´ = 3(2x – 1)2
x 2 = 6(2x – 1)2
f´´(x) = [6(2x – 1)2]´ = 0 x (2x – 1)2 + 6[(2x – 1)2]´ = 6[2(2x – 1)] (2x – 1)´ = 24(2x – 1) = 48x – 24
b) g´(x) = ´1
x=
2
1
x−
g´´(x) = ´12
−
x=
22
22
)(
)1)´(()(0
x
xx −−× =
4
2
x
x =
3
2
x
c) h´(x) = ´ln
xx
= 2)(ln
)´(ln´ln
x
xxxx − =
2)(ln
1ln
x
xx
x − =
2)(ln
1ln
x
x −
h´´(x) = ´)(ln
1ln2
−x
x=
4
22
)(ln
]´))[(ln1(ln))´(ln1(ln
x
xxxx −−−=
4
2
)(ln
)´)(ln(ln2)1(ln)(ln1
x
xxxxx
×−−
= 4
2
)(ln
)2ln2)((1
)(1
x
xxx
−− xx lnln =
4)(ln
)2ln2)(ln(ln1
x
xxxx
+− =
3)(ln
ln2
xx
x−
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 23
400. Define a 1ª a 2ª derivada de:
b) f(x) = x log2 x
c) f(x) = e2x . ln x
d) f(x) = (ln 2x )2
e) f(x) =
>
≤+−
0
0422
2
xx
xxx
se
se
b) f´(x) = (x log2 x )´ = x´ log2 x + x (log2 x)´ = log2 x + x 2ln
´x
x =
2ln1
log2 +x
f´´(x) = ´2ln
1log2
+x = (log2 x)´ + 0 = 2ln
1
c) f´(x) = (e2x . ln x )´ = (e2x )´ ln x + e2x (ln x )´ = (2x)´e2x ln x + e2x
/x = e2x (2 ln x + 1/x )
f´´(x) = [e2x (2 ln x + 1/x )]´ = (e2x )´( 2 ln x + 1/x ) + e2x (2 ln x + 1/x )´
= 2e2x (2 ln x + 1/x ) + e2x (2/x – 1/x 2) = e2x (4 ln x + 2/x + 2/x – 1/x 2) = e2x (4 ln x + 4/x – 1/x 2)
d) f´(x) = [(ln 2x )2 ]´ = 2 ln 2x (ln 2x)´ = 2 ln 2x xx
2)´2(
= x
x2
2ln4 =
xx2ln2
f´´(x) = ´2ln2
xx
= 2
2ln2)´2ln2(
x
xxx − =
2
2ln22
)´2(2
x
xxxx −
= 2
2ln224
x
xxx
− =
2
2ln22
x
x−
e) f´(x) =
><+−
02
044
xx
xx
sese
note-se que f(x) não é derivável para x = 0 dado que f´(0)– ≠ f´(0)+
f´´(x) =
><−
02
04
x
x
sese
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 24
INTERPRETAÇÃO DAS DER IVADAS
Seja f uma função contínua em [a , b] e derivável em ] a , b [
� Se f’ (x) > 0 , ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ]a , b[, então f é estritamente crescente em [a , b]
ex: x2 > x1 => f(x2) > f(x1) x6 > x5 => f(x6) > f(x5)
� Se f’ (x) < 0 , ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ]a , b[, então f é estritamente decrescente em [a , b]
ex: x3 < x2 => f(x3) < f(x2) x5 < x4 => f(x5) < f(x4)
� Se f’ (x) ≥ 0 , ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ]a , b[, então, em [a , b], f é crescente em sentido lato
� Se f’ (x) ≤≤≤≤ 0 , ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ]a , b[, então, em [a , b], f é decrescente em sentido lato
ex: x3 ≤≤≤≤ x2 => f(x3) ≤≤≤≤ f(x2)
Se f é uma função contínua em [a , b] e tem um máximo ou um mínimo em c do intervalo ]a , b[ , então f’(c) = 0 ou f’(c) não existe
Um elemento c do domínio de f é um ponto crítico de f se f’(c) = 0 ou f’(c) não existe
� Se f’ muda de positiva para negativa em c, então f(c) é um máximo relativo de f
� Se f’ muda de negativa para positiva em c, então f(c) é um minimo relativo de f
Em resumo:
Num intervalo aberto ]a , b[ os extremos relativos de uma função só podem surgir:
� Quando a derivada se anula desde que haja mudança do sinal da derivada; ex: f(x2)
� Nos pontos onde não há derivada desde que as derivadas laterais tenham sinais contrários ou uma delas seja nula. ex: f(x5) e f(x4)
Num intervalo fechado [a , b] os extremos relativos de uma função são:
� os que existem em ]a , b[;
� f(a) e f(b) se f decresce ou cresce à direita de a e à esquerda de b. ex: f(x5) e f(x7)
y m = 0
m > 0 m < 0
x1 0 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 25
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DE DERIVADA VELOCIDADE e ACELERAÇÃO
Seja a equação de um movimento uniforme (v = cte) que permite determinar o espaço (e) percorrido em função do tempo (t) dada por:
e = vt ou f(t) = vt
Por exemplo: e = 4t e´ = 4 ou seja, v = 4 o valor da 1ª derivada é a velocidade
e´´ = 0 ou seja, a = 0 o valor da 2ª derivada é a aceleração
Num movimento uniformemente acelerado
Por exemplo: e = —t2 + 4t e´ = —2t + 4 a velocidade varia em função do tempo e´´ = —2 a aceleração é cte
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE DERIVADA MONOTONIA e CONCAVIDADE
Em resumo:
� Se a 1ª derivada é nula e passa de positiva a negativa ou vice-versa, a função tem um máximo ou um mínimo (absoluto ou relativo)
� Se a 2ª derivada é nula e passa de positiva a negativa ou vice-versa, o gráfico da função muda o tipo de concavidade, apresentando um Ponto de Inflexão
v
4 3 2 1
0 1 2 3 4 t -1 -2 -3 -4
a
4 3 2 1
0 1 2 3 4 t -1
-2
e
4 3 2 1
0 1 2 3 4 t
y f´´
PI
+ 0 – c x
y
m = 0 f
m = 0
0 a b x
Monotonia x a b f´ + 0 – 0 + f ���� max ���� min ����
Concavidade x c f´´ – 0 + f ∩∩∩∩ PI ∪∪∪∪
y
f´ + +
0 a – b x
m = 0
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 26
403. Indica os extremos relativos da função representada graficamente. Indica se são máximos ou mínimos e se existe derivada nesses pontos.
f(–3) é um mínimo absoluto, existe f’(–3) pois a função é derivável nesse ponto.
f(–2) é um máximo relativo, mas não existe f’(–2) pois as derivadas laterais têm valores distintos: à esquerda é positiva e à direita é negativa.
f(1) é um máximo relativo, pois na vizinhança de 1 não existe nenhuma imagem maior que f(1). Não existe f’(1) pois não existem derivadas (finitas) à esquerda e à direita de 1.
f(2) não é mínimo, dado que existem na vizinhança de 2 pontos com imagens inferiores à de 2.
406. Determina os valores de m e n de forma que f(x) = x3 + mx + n tenha um extremo relativo no ponto (2, 4).
f´(x) = 3x2 + m
Para ter um extremo relativo em x = 2 é necessário que f´(2) exista e que f´(2) = 0, logo:
f´(2) = 0 <=> 3 x 22 + m = 0 <=> m = –12
f(2) = 4 <=> 23 – 12 x 2 + n = 4 <=> n = 4 – 8 + 24 <=> n = 20
407. Determina os extremos relativos de h(x) = 2x (x – 1)4 em IR.
A função é contínua em IR, pelo que os pontos críticos verificam-se onde h´(x) = 0
h´(x) = [2x (x – 1)4 ]´ = 2 (x – 1)4 + 2x[4(x – 1)3]
= 2 (x – 1)4 + 8x (x – 1)3
= 2(x – 1)3 (x – 1 + 4x)
= 2(x – 1)3 (5x – 1)
h´(x) = 0 <=> 2(x – 1)3 = 0 v 5x – 1 = 0 <=> x = 1 v x = 1/5
h´(x) > 0 ∀ x ∈ ]–∞ , 1/5 [ ∪ ]1 , + ∞ [
h´(x) < 0 ∀ x ∈ ]1/5 , 1[
Por observação do quadro do sinal da derivada conclui-se em que intervalos h´ é positiva ou negativa, aos quais correspondem os intervalos de monotonia de h.
Portanto, h(1/5) é máximo e h(1) é mínimo
Monotonia x –∞ 1/5 1 +∞
(x – 1)3 – – – 0 + 5x – 1 – 0 + + +
h´ + 0 – 0 + h � max � min �
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 27
409. Identifica os extremos relativos e intervalos de monotonia de uma função f sabendo que:
b) f´(x) = (x – 2)2(x + 1)
f´ é contínua em IR , pelo que também f é contínua em IR
Os zeros da derivada identificam os pontos críticos de f
f´(x) = 0 <=> (x – 2)2(x + 1) = 0 <=> (x – 2)2 = 0 v x + 1 = 0 <=> x = 2 v x = –1
O quadro de variação do sinal de f’ permite estudar a monotonia de f e identificar extremos:
1. onde f´ < 0, f é decrescente ]—∞ , –1]
2. onde f´ > 0, f é crescente [–1, +∞ [
3. onde f´ = 0 mudando de sinal, f tem um extremo — mínimo absoluto para x = –1
4. onde f´ = 0 mas não muda de sinal, f não tem extremo
c) f´(x) = x . ln x
f´ tem por domínio IR+ e é contínua no seu domínio, pelo que também f é contínua em IR+
f´(x) = 0 <=> x . ln x = 0 <=> x = 0 v ln x = 0 <=> x = 0 v x = 1
Conclusões:
• f é decrescente para x ∈ ]0 , 1]
• f é crescente para x ∈ [1 , +∞[
• f tem um mínimo absoluto para x = 1
d) f´(x) = ex – x2 ex
f´ é contínua em IR , por ser a diferença de funções contínuas, logo f é contínua em IR
f´(x) = ex – x2 ex <=> f´(x) = ex ( 1 – x2 )
f´(x) = 0 <=> ex ( 1 – x2 ) = 0 <=> 1 – x2 = 0 <=> x2 = 1 <=> x = –1 v x = 1
Conclusões:
• f é decrescente para x ∈ ]– ∞, –1] U [1 , +∞[
• f é crescente para x ∈ [–1 , 1]
• f(–1) é mínimo relativo e f(1) é máximo relativo
Monotonia x –∞ –1 2 +∞
(x – 2)2 + + + 0 + x + 1 – 0 + + +
f´ – 0 + 0 + f � min � �
Monotonia x 0+ 1 +∞ x + + +
ln x – 0 + f´ – 0 + f � min �
x –∞ –1 1 +∞ ex + + + + +
1 – x2 – 0 + 0 – f´ – 0 + 0 – f � min � max �
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 28
411. Dois medicamentos foram injectados a dois doentes. A concentração de um dos medicamentos, em mg por ml de sangue, t horas depois de ser administrado é dado por:
C1(t) = 2te–0,3t
Para o outro medicamento, a concentração em decigramas por litro de sangue, t horas depois de ser administrado é dada por:
C2(t) = t2e–0,6t
Mostra, por via analítica, que o tempo necessário para se obter a concentração máxima é igual para os dois medicamentos. Em qual deles a concentração máxima é superior?
Resolução
Basta traçar o gráfico de cada uma das funções e determinar os seus máximos para ver que são obtidos para o mesmo valor de t.
Porém é exigido o estudo analítico. Assim:
C1´(t) = (2te–0,3t )´ = (2t)´ e–0,3t + 2t (e–0,3t)´ = 2e–0,3t – 0,6t e–0,3t
C1´(t) = 0 <=> 2e–0,3t – 0,6t e–0,3t = 0 <=> e–0,3t ( 2 – 0,6t) = 0
<=> e–0,3t = 0 v 2 – 0,6t = 0 <=> t = 10/3
C2´(t) = (t2e–0,6t )´ = (t2)´ e–0,6t + t2 (e–0,6t)´ = 2te–0,6t – 0,6t2 e–0,6t
C2´(t) = 0 <=> 2te–0,6t – 0,6t2 e–0,6t = 0 <=> te–0,6t ( 2 – 0,6t) = 0
<=> t e–0,6t = 0 v 2 – 0,6t = 0 <=> t = 0 v t = 10/3
Neste contexto, o domínio de cada uma das funções é IR+. Como e–0,3t > 0 e t e–0,6t ≥ 0 ,
∀ t ∈IR+ , a derivada tem o sinal de 2 – 0,6t, ou seja, é positiva à esquerda e negativa à direita de t = 10/3, indicando que ambas as funções atingem o máximo para t = 3: 20 h
C1(10/3) = 20/3e–1 = 20/3e ≈ 2,45 mg/ml
C2(10/3) = (10/3)2e–2 = 100/9e ≈ 1,5 mg/ml logo C1 > C2
415. A distância percorrida por um para-quedista t segundos depois de ter aberto o pára- -quedas é dada em metros, aproximadamente, por:
d(t) = 25 + 6t – 25e –1,7t
Determina a aceleração na queda, 3 segundos depois de se abrir o pára-quedas (arredondada às centésima) do metro.
t 0 10/3 +∞
te–0,6t 0 + + + 2 – 0,6t + + 0 –
C´2 0 + 0 – C2 min � max �
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 29
Resolução
A aceleração é obtida fazendo o estudo da 2ª derivada, assim:
d´(t) = (25 + 6t – 25e –1,7t)´ = 6 – 25(–1,7t)´e –1,7t = 6 + 42,5e –1,7t
d´´(t) = (6 + 42,5e –1,7t)´ = 42,5(–1,7t)´e –1,7t = –72,25 e –1,7t
d´´(3) = –72,25 e –1,7 x 3 ≈ – 0,4404
A aceleração é, aproximadamente, –0,44 m/s2 (ouseja, trata-se de desaceleração)
417. Considera a representação gráfica da função f e resolve as condições:
a) f ’(x) ≥ 0
b) f(x) . f’’(x) ≤ 0
a) Elaborando o quadro de variação da monotonia da função determin-se o sinal da 1ª derivada por intervalos.
Conclui-se que f’ (x) ≥ 0 <=> x ∈ ] –∞ , 0] U [2, +∞ [
b) Elaborando um quadro de variação do sinal, quer da função quer da 2ª derivada, conclui-se que
f(x) . f’’(x) ≤ 0 <=> x ∈ [ –2 , 3]
Embora não esteja explicito no enunciado, considerou-se que f tem um ponto de inflexão para x = 1. O sinal de f’’ em cada intervalo está associado à concavidade que f apresenta nos mesmos intervalos.
420.
a) A recta representada é o gráfico da 2ª derivada f´´ de uma função contínua e derivável em IR.
Justifica que f tem um gráfico com um só ponto de inflexão e que f não pode ter mais do que 1 máximo e 1 mínimo relativos.
y
| | 0 1 2 x
y
0 x
x –∞ 0 2 +∞ f � máx � min � f’ + 0 – 0 +
x –∞ –2 1 3 +∞ f – 0 + 0 – 0 + f ∩ PI ∪
f’’ – 0 +
f . f’’ + 0 – 0 – 0 +
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 30
Resolução
A função f tem um único ponto de inflexão para x = 2 (onde f’’ = 0 e muda de sinal). f’ é crescente à esquerda e decrescente à direita de 2, logo tem no máximo um zero à esquerda e outro à direita deste ponto. Assim, se f’= 0 no intervalo ]— ∞, 2[, f tem um mínimo nesse intervalo, pois f’ passa de negativa a positiva. Se f’= 0 no intervalo ]2 , ∞ [, f tem um máximo nesse intervalo, pois f’ passa de positiva a negativa. Portanto, f pode ter um extremo à esquerda e outro à direita de x = 2.
421. Seja f derivável em [a, b] e xo um ponto de ] a, b [
a) Se a função tem um máximo em xo, que podemos dizer de f´´(xo)?
b) Se f´´(xo) > 0 e f´(xo) = 0 que conclusão tiras para a função f ?
c) Se f´´ é sempre negativa em ] a, b [, f tem de ter um máximo ] a, b [? Justifica
Respostas:
a) Apenas se pode afirmar que f´´(xo) < 0, pois a concavidade do gráfico da função é negativa no intervalo em que xo é máximo.
b) Se f´(xo) = 0 a função f pode ter aí um extremo. Como f´´(xo) > 0
a concavidade do gráfico da função é positiva, permitindo concluir que o gráfico da função tem um mínimo em xo
c) Não. Só tem que ter um máximo se for verdade que ∃ xo ∈ ] a, b [ : f´(xo) = 0. Ou seja, se no intervalo ] a, b[ existir um ponto com 1ª derivada nula e sendo a concavidade negativa (f´´ < 0), então a monotonia passa de positiva a negativa e o gráfico da função apresenta um máximo nesse ponto.
422. Este é o gráfico da função f´(t ), derivada de f(t ), no intervalo [0, a]
a) Justifica que f é contínua e que tem dois extremos relativos em ]0, a[
b) Prova que f´´(t ) se anula num ponto deste intervalo, passando de positiva a negativa e, portanto, o gráfico de f tem um ponto de inflexão.
x –∞ 2 +∞ f´´ + 0 – f´ � max � f ∪ PI ∩
x –∞ ? 2 ? +∞ f´ – 0 + 0 – f � min � max �
y 0 x
y f ’ = 0 0 x
y
���� 0 x
y 0 x
y f ´ 0 a t
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 31
a) Se f´ é contínua e derivável em [0, a] então, f também é contínua no mesmo intervalo.
Como f´ tem dois zeros no intervalo ]0, a[, é contínua nesse intervalo e muda de sinal, então ∃ x1, x2 ∈ ] 0, b [ : f´(x1) = f´(x2) = 0
pelo que f tem dois extremos relativos
b) No ponto em que f´(t ) apresenta um máximo, f´’(t ) será necessariamente nula. Como f´ é contínua no intervalo, o gráfico de f tem um mínimo em x1 e um máximo em x2, pelo que, algures no intervalo ]x1 , x2[, tem que apresentar um ponto de inflexão.
423. Estuda as concavidades do gráfico de f, sendo:
a) f (x) = x ex2
b) f’(t ) = (t – 3) et
a) f´(x) = (x ex2 )´ = x´ ex2 + x (ex2 )´ = ex2 + 2x2 ex2 = ex2 ( 2x2 + 1)
f´´(x) = [ex2 ( 2x2 + 1)]´ = ( ex2 )´ ( 2x2 + 1) + ex2 ( 2x2 + 1)´ = 2x ex2( 2x2 + 1) + 4x ex2 = 2x ex2
(2x2 + 3)
Analisando a expressão de f´´ conclui-se que:
ex2 > 0 pois é uma função par com mímino = 1
2x2 + 3 > 0 por razões idênticas e óbvias
Portanto, f´´ tem o sinal de 2x e o gráfico de f apresenta as concavidades mostradas no quadro
b) f’(t ) = [(t – 3) et ]´ = (t – 3)´ et + (t – 3)( et )´ = et + et (t – 3) = et (t – 2)
f´´(t ) = [et (t – 2)]´ = et (t – 2) + et = et (t – 1)
f´´(t ) = 0 <=> et (t – 1) = 0 <=> t = 1 (dado que et > 0 ∀ t ∈IR:)
Sendo et sempre positiva f´´ tem o sinal de t – 1 Portanto, o gráfico da função apresenta as concavidades resumidas no quadro
x 0 x1 x2 a f´ – 0 + 0 – f � min � max � f ∪ PI ∩
x –∞ 0 +∞ f´´ – 0 + f ∩ PI ∪
x –∞ 1 +∞ f´´ – 0 + f ∩ PI ∪
M. Ribeiro : Função derivada — 12º ano 32
SÍNTESE SOBRE O ESTUDO DE FUNÇÕES
Nesta altura, deves estar em condições de fazer o estudo de uma função, analisando os itens abaixo indicados, e interpretar um fenómeno por ela traduzido, nomeadamente sobre a determinação de valores óptimos (máximos ou mínimos) para um determinado objectivo.
No estudo de uma função deves começar por identificar se a função pertence a alguma das famílias estudadas (quadráticas, exponenciais,…) e obter uma representação gráfica recorrendo à calculadora ou ao computador. Em seguida, deves abordar os seguintes itens:
� Domínio — Pode ser dado na caracterização da função, pode ser determinado pelas condições do problema ou pode ser o domínio de existência da expressão analíti:a da função.
� Continuidade e paridade — Dentro de domínio é preciso procurar se há pontos de descontinuidade. E útil saber se a função é par eu ímpar pois, em caso afirmativo, simplifica o estudo de muitas características.
� Assimptotas — Imprescindíveis para a compreensão da função, devem ser determinadas e caracterizadas pelas suas equações.
� Limites — Há que calcular os limites latlerais em pontos de descontinuidade, de mudança de definição da função e em pontos que não pertencem ao domínio mas são pontos de acumulação.
� Pontos notáveis — Devem determinar-se as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com os eixos, pontos de descontinuidade, etc.
� 1.ª derivada — O sinal e os zeros da 1.ª derivada indicam-nos os intervalos de monotonia e as abcissas dos possíveis extremos relativos. A derivada «explica» a variação da função. Não esqueças que pode haver outros máximos ou mínimos em pontos onde não há derivada ou nas fronteiras do domínio.
� 2.ª derivada — O sinal e os zeros da segunda derivada indicam o sentido da concavidade do gráfico e possíveis pontos de inflexão. Estes podem identificar onde o crescimento (decrescimento) foi máximo ou mínimo.
� Gráfico e contradomínio — O estudo analítico feito permite esboçar uma representação gráfica da função que considere todas as características obtidas. A representação gráfica permite, por sua vez, a leitura do contradomínio. A imagem geométrica da função é a forma mais sugestiva e eficaz de apresentar globalmente o comportamento de uma função.
