A INTERPRETAC˘AO F~ ISICA DAS PERTURBAC˘OES...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZPROFISICA-Programa de Pos-Graduacao em Fısica
A INTERPRETACAO FISICA DAS
PERTURBACOES GRAVITACIONAIS DE BRANAS
NEGRAS ANTI-DE SITTER
DISSERTACAO DE MESTRADO
Enesson dos Santos de Oliveira
Ilheus, BA, Brasil
2016
A INTERPRETACAO FISICA DAS PERTURBACOES
GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS
ANTI-DE SITTER
por
Enesson dos Santos de Oliveira
Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-Graduacao
em Fısica, Area de concentracao em Fısica,
da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA),
como requisito parcial para a obtencao do grau de
Mestre em Fısica.
Orientador: Alex dos Santos Miranda
Ilheus, BA, Brasil
2016
O48 Oliveira, Enesson dos Santos de. A interpretação física das perturbações gravi- tacionais de branas negras anti-de Sitter / Enesson dos Santos de Oliveira. – Ilhéus, BA: UESC, 2016. 99 f. : il. Orientador: Alex dos Santos Miranda. Dissertação (Mestrado) – Universidade Esta- dual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências. 1. Buracos negros (Astronomia). 2. Colapso gravitacional. 3. Espaço e tempo. 4. Astronomia. I. Título. CDD 523.8875
A memoria do meu amado pai, Jose Romualdo.
AGRADECIMENTOS
Agradeco a todos que, de alguma forma, estiveram presentes me apoiando ao longo de todo
o trabalho, em especial:
– a meu pai, Jose Romualdo, que dedicou grande parte de sua vida para que eu pudesse
chegar ate aqui;
– ao meu orientador, Alex Miranda, que durantes estes anos, alem de ter sido um
grande orientador, tambem foi um grande amigo;
– a minha esposa, Jessica Cerqueira, que ao longo de todo o curso, sempre esteve ao
meu lado nos momentos faceis e difıceis. Apoiando-me em cada etapa. Obrigado por tudo
“Jell”;
– ao ex-coordenador do colegiado, professor Arturo Samana, por estar sempre pronto
a ajudar.
– as secretarias dos colegiados do PROFISICA e PROCIMM, Roberta Carvalho e
Caroline Gresik, pelo excelente atendimento;
– Aos grandes amigos de todas as horas, Vitor Ferreira, Pedro Antonio, Alisson Pereira,
Vagner Freitas, Leandro Oliveira, Sheldon Cardoso, Abraao Amaral, Lucas Antonio, Icaro
Teixeira, Yasmin Alves e Gabriela Goldberg, por sempre estarem me motivando. Nunca vou
esquecer das varias horas de estudos em grupo. Valeu galera;
– a CAPES, pelo suporte financeiro.
RESUMO
Dissertacao de Mestrado
Programa de Pos-Graduacao em Fısica
Universidade Estadual de Santa Cruz
A INTERPRETACAO FISICA DAS PERTURBACOES
GRAVITACIONAIS DE BRANAS NEGRAS ANTI-DE SITTER
Autor: Enesson dos Santos de Oliveira
Orientador: Alex dos Santos Miranda
Data e Local da Defesa: Ilheus, 19 de janeiro de 2016.
O estudo das perturbacoes de um buracos negro e uma ferramenta poderosa para a
investigacao de propriedades basicas como a estabilidade do horizonte de eventos, o espa-
lhamento e a producao de ondas provenientes de um processo de colapso gravitacional. Por
essa razao, desde o final da decada de 50, foram realizados diversos trabalhos em teoria de
perturbacoes de buracos negros; particularmente, em relacao as solucoes de Schwarzschild e
Kerr. O significado fısico das perturbacoes de buracos negros esfericamente simetricos, por
exemplo, esta bem estabelecido na literatura: perturbacoes polares tipo-monopolo (l = 0) cor-
respondem a um acrescimo de massa do buraco negro, perturbacoes axiais tipo-dipolo (l = 1)
induzem uma rotacao lenta, e pertubacoes com l ≥ 2 sempre levam a producao de ondas
gravitacionais. Em contrapartida, quando se trata de perturbacoes de buracos negros com
simetria plana (branas negras anti-de Sitter), ainda faltam estudos conclusivos que revelem o
verdadeiro significado dessas perturbacoes. Em particular, e possıvel destacar as perturbacoes
polares com numero de onda nulo, onde alguns autores propoem que esse tipo de perturbacao
acarreta apenas numa variacao do parametro de massa da brana negra, enquanto outros au-
tores indicam a existencia de ondas gravitacionais associadas a este modo de perturbacao. O
presente trabalho tem como objetivo contribuir na resolucao dessa controversia, elucidando
o significado fısico das perturbacoes gravitacionais de branas negras anti-de Sitter a partir
do calculo dos escalares de Weyl. Para o estudo das perturbacoes, utilizou-se o formalismo
de gauge de Chandrasekhar e, para interpretar os escalares de Weyl, foi adotado o metodo
de Szekeres, onde a interpretacao fısica de cada escalar e extraıda com base no efeito sobre
o desvio geodesico de partıculas teste vizinhas. Em especial, mostra-se aqui que a solucao
para perturbacoes polares com numero de onda zero, de fato, admite a existencia de ondas
gravitacionais propagando-se na direcao perpendicular a superfıcie da brana negra.
Palavras-chave: Perturbacoes gravitacionais; buracos negros; espaco-tempo anti-de Sitter.
ABSTRACT
Dissertacao de Mestrado
Mestrado em Fısica
Universidade Estadual de Santa Cruz
ON THE PHYSICAL INTERPRETATION OF GRAVITATIONAL
PERTURBATIONS OF ANTI-DE SITTER BLACK BRANES
Author: Enesson dos Santos de Oliveira
Adviser: Alex dos Santos Miranda
Local and Date: Ilheus, january 19th, 2016.
The study of gravitational perturbations of black holes is a powerful tool to explore a
series of basic properties as the stability of the event horizon, the scattering and production of
gravitational waves in a process of gravitational collapse. For this reason, since the late 1950s,
a lot of works were carried out to study the perturbation theory of black holes (specially for the
Schwarzschild and Kerr solutions). The physical interpretation of gravitational perturbations
of spherically symmetric black holes is now a well-established subject: polar perturbations
of monopole type (l = 0) can only increase the mass of the black hole, axial perturbations
of dipole type (l = 1) induce a slow rotation, and perturbations with l ≥ 2 always lead
to gravitational wave production. However, in relation to perturbations of anti-de Sitter
plane-symmetric black holes (anti-de Sitter black branes), there is still no conclusive study
about the physical meaning of these perturbations. In particular, there is some controversy
concerning the polar perturbation with a zero wavenumber. Some authors propose this kind
of perturbation causes only a variation in the black-brane mass parameter, while other ones
obtained evidence for the existence of gravitational waves associated to this mode. The present
study aims to contribute to the resolution of this controversy by revealing the physical meaning
of the gravitational perturbations of anti-de Sitter black branes. We use the Chandrasekhar
gauge formalism to study the metric perturbations, and, to interpret the Weyl scalars, we
adopt the Szekeres method, where the physical meaning of each scalar is obtained on basis of
the geodesic deviation between neighboring test particles. Finally, it is shown here that polar
perturbations with a zero wavenumber admit the existence of gravitational waves propagating
in the direction perpendicular to the black-brane horizon surface.
Keywords: Gravitational perturbations; black holes; anti-de Sitter spacetime.
SUMARIO
1 INTRODUCAO 10
2 RADIACAO GRAVITACIONAL E O TENSOR DE CURVATURA 14
2.1 Uma formulacao invariante da teoria da radiacao gravitacional . . . . . . . . . 14
2.1.1 A natureza da frente de ondas gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Formas canonicas para o tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 A interpretacao fısica dos escalares de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 A classificacao de Petrov e o compasso gravitacional . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 O efeito das transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 A TEORIA DE PERTURBACOES GRAVITACIONAIS 35
3.1 O espaco-tempo de fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Perturbacoes metricas no formalismo de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Pertubacoes axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Perturbacoes polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Perturbacoes via formalismo de Newman-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Reducao das Equacoes Linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 A INTERPRETACAO FISICA DAS PERTURBACOES 49
4.1 Perturbacoes gravitacionais com numero de onda zero . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Pertubacoes axiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Perturbacoes polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Pertubacoes de um espaco-tempo Petrov tipo D . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Interpretacoes fısicas das perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Perturbacoes com numero de onda nao-zero . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.2 A interpretacao fısica das perturbacoes com numero de onda zero . . . 60
5 CONSIDERACOES FINAIS 63
A Formas canonicas e a classificacao dos espacos-tempos 65
A.1 O espaco de bivetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.2 A classificacao das curvaturas dos espacos-tempos . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.3 As formas canonicas do tensor de Riemann ||RAB|| . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.3.1 Campos gravitacionais tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.3.2 Campos gravitacionais tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.3.3 Campos gravitacionais tipo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B Transformacoes de tetrada e a classificacao de Petrov 77
B.1 Transformacoes de tetrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.2 A classificacao de Petrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.3 A relacao entre formas canonicas e a classificacao de Petrov . . . . . . . . . . . 82
C A interpretacao geometrica dos escalares oticos 85
C.1 Os coeficientes de spin e o teorema de Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.2 A interpretacao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
D Calculo dos escalares de Weyl via formalismo de Newman-Penrose 93
Referencias Bibliograficas 96
1 INTRODUCAO
A teoria da relatividade geral, publicada em 1916 pelo fısico alemao Albert Einstein,
revolucionou completamente os conceitos de espaco, tempo e gravidade construıdos ao longo
dos seculos. Nela a descricao de fenomenos gravitacionais deixou de ser caracterizada como
sendo o efeito de uma forca e passou a ser realizada por intermedio do conceito de um espaco-
tempo curvo. Assim, partıculas interagem gravitacionalmente por meio de uma deformacao
na estrutura geometrica do espaco-tempo. Nessa teoria, sao as equacoes de Einstein que
descrevem o comportamento dos campos gravitacionais, relacionando o carater geometrico do
espaco-tempo com o conteudo de materia, energia e momento nele contidos. Estas equacoes
possuem um termo denominado de constante cosmologica, que pode assumir um valor positivo,
negativo ou nulo. Para uma constante positiva se conclui que, em escalas cosmologicas, a
interacao gravitacional torna-se repulsiva. Neste caso, o espaco-tempo em questao recebe o
nome de espaco-tempo de de Sitter. Por outro lado, para o caso de uma constante cosmologica
negativa, a interacao gravitacional em grandes escalas continua atrativa e o espaco-tempo e
denominado de anti-de Sitter (AdS). Espacos-tempos com constante cosmologica nula tendem
assintoticamente ao espaco-tempo plano de Minkowski.
Do ponto de vista da cosmologia, por muito tempo acreditou-se que o universo estava
expandindo a uma taxa constante, o que favorecia uma constante cosmologica nula para as
equacoes de Einstein. Porem, a partir da analise de dados de explosoes de supernovas tipo Ia
realizada em 1998, foi possıvel constatar que o universo encontra-se numa fase de expansao
acelerada [1,2]. Esta aceleracao caracteriza um universo com constante cosmologica positiva.
Na mesma epoca, Maldacena [3] propos uma correspondencia entre a gravitacao num espaco-
tempo anti-de Sitter e uma Teoria de Campos Conforme (CFT) na fronteira desse espaco, a
qual ficou conhecida como a correspondencia AdS/CFT. Desse modo, os espacos-tempos com
constante cosmologica negativa, principalmente aqueles que contem buracos negros, assumi-
ram um papel importante dentro dessa nova correspondencia.
Alem da constante cosmologica, espacos-tempos podem ou nao conter buracos negros.
Na relatividade geral, buracos negros surgem como solucoes exatas das equacoes de campo de
Einstein. Fisicamente, tal objeto nasce a partir do colapso gravitacional de uma estrela. Ao
longo das ultimas decadas variadas solucoes de buracos negros foram estudadas, podendo ser
citadas, por exemplo, as tradicionais solucoes de Schwarzschild, Reissner-Nordstrom e Kerr.
Estas solucoes sao bem conhecidas e bem descritas na literatura (ver, por exemplo, [4, 5]).
11
No caso particular em que o espaco-tempo e assintoticamente anti-de Sitter, uma solucao
de buraco negro com simetria plana pode ser obtida [6]. Estes buracos negros sao tambem
conhecidos como branas negras anti-de Sitter.
A teoria da relatividade geral preve tambem que certos eventos, como o colapso gra-
vitacional de uma estrela ou a coalescencia de um sistema binario de estrelas de neutrons ou
buracos negros, sao capazes de produzir ondas gravitacionais passıveis de serem detectadas por
um observador distante. Apesar de nenhum experimento, ate agora, ter conseguido detectar
de forma direta a existencia de radiacao gravitacional, a teoria da relatividade geral e a teoria
gravitacional mais aceita pela comunidade cientifica, uma vez que todos os experimentos e
observacoes realizados foram favoraveis a sua solidificacao.
Nos primeiros estudos sobre ondas gravitacionais, tais solucoes das equacoes de Einstein
foram obtidas por meio de escolhas convenientes de um sistema de coordenadas ou pela
imposicao de campos gravitacionais fracos. Estas imposicoes obscureciam o real significado
fısico da radiacao gravitacional, uma vez que a existencia dessas ondas e independente de tais
condicoes. O primeiro trabalho que obteve sucesso numa descricao totalmente independente
da escolha das coordenadas ou da exigencia de campo fraco para ondas gravitacionais foi
apresentado por Pirani [7], com base no estudo das propriedades geometricas do tensor de
Riemann. Uma abordagem alternativa, mas tambem totalmente covariante, foi realizada por
Szekeres [8], o qual analisou o efeito sobre o desvio geodesico que os escalares de Weyl do
formalismo de Newman-Penrose [9] sao capazes de gerar. Anos depois, Podolsky e Sarc [10]
ampliaram o metodo de Szekeres para espacos-tempos em d dimensoes.
Uma ferramenta importante no estudo das propriedades dos buracos negros e a teoria
de perturbacoes gravitacionais, ja que a partir dessa teoria pode-se, por exemplo, estudar a
estabilidade do horizonte de eventos frente as flutuacoes na metrica, bem como a producao
e o espalhamento de ondas gravitacionais por um buraco negro. Do ponto de vista da cor-
respondencia AdS/CFT, um buraco negro no espaco-tempo AdS e equivalente a um estado
de equilıbrio termico na CFT, de tal forma que uma perturbacao gravitacional deste buraco
negro corresponde a uma flutuacao no tensor energia-momento do estado termico dual [11].
Existem dois metodos principais para estudar as perturbacoes gravitacionais de bura-
cos negros. No primeiro caso, considera-se perturbacoes da metrica do espaco-tempo de fundo
e, na sequencia, lineariza-se as equacoes de Einstein para o espaco-tempo fısico. O segundo
metodo e via linearizacao das equacoes do formalismo de Newman-Penrose [9]. Em ambos
os casos, uma das grandes dificuldades que se encontra no estudo das perturbacoes gravitaci-
onais em relatividade geral e a obtencao das variaveis fısicas em termos de quantidades que
12
sao invariantes por transformacoes de gauge. A liberdade de gauge surge nessa teoria ao se
identificar os eventos do espaco-tempo de fundo com o espaco-tempo perturbado. Por essa
razao, costuma-se tratar as perturbacoes gravitacionais utilizando quantidades que dependem
da escolha do gauge, explorando assim esta liberdade para simplificar o problema, e somente
os resultados finais sao escritos em termos de quantidades que sao invariantes de gauge.
O primeiro trabalho a apresentar de forma clara e completa a teoria de perturbacoes
gravitacionais foi publicado em 1974 por Stewart e Walker [12]. Por outro lado, os primeiros
estudos sobre pertubacoes de buracos negros foram apresentados por Regge e Wheeler [13]
em 1957, os quais investigaram a estabilidade da singularidade de Schwarschild frente as
perturbacoes do tipo axial. O gauge usado por eles ficou conhecido entao como o gauge de
Regge-Wheeler. Seguindo a mesma linha, Zerilli [14, 15] analisou a radiacao gravitacional
que surge quando estrelas caem num buraco negro de Schwarschild, e estendeu o estudo de
Regge e Wheeler para perturbacoes polares. Mais tarde, Chandrasekhar [16] obteve as mes-
mas equacoes de Regge Wheeler e Zerilli para as perturbacoes gravitacionais de Schwarschild
usando um gauge diferente, que atualmente e conhecido como o gauge diagonal de Chandra-
sekhar. Adicionalmente, Teukolsky [17, 18] e Moncrief [19, 20] realizaram pesquisas envolve
as perturbacoes dos buracos negros de Kerr e Reissner-Nordstrom, respectivamente, tambem
com o principal objetivo de avaliar a estabilidade destas solucoes. Posteriormente, Kodama,
Ishibashi e Seto [21] desenvolveram um formalismo totalmente invariante de gauge para tratar
as perturbacoes gravitacionais de espacos-temos espacialmente simetricos em d dimensoes.
Dentro desse contexto, a analise das perturbacoes gravitacionais de buracos negros
esfericamente simetricos encontra-se bem estabelecida na literatura. Porem, quando se trata
de perturbacoes de branas negras AdS, algumas questoes ainda continuam em aberto. Um
exemplo disso acontece com as pertubacoes polares com numero de onda zero ao longo das
direcoes da brana. Kodama e Ishibashi [22], com base em argumentos de simetria, propuseram
que estas perturbacoes levarao apenas a uma mudanca no parametro de massa da brana negra,
assim como acontece no caso esferico. Porem, num estudo mais detalhado a respeito dessas
perturbacoes, Miranda e Zanchin [23] utilizaram o formalismo de gauge de Chandrasekhar e
obtiveram indıcios da existencia de uma solucao com ondas gravitacionais para este caso.
Motivados pela ausencia de um estudo conclusivo a respeito do tema, este trabalho
tem por objetivo investigar o significado fısico das perturbacoes gravitacionais de branas ne-
gras num espaco-tempo anti-de Sitter e, como consequencia disso, elucidar se realmente ondas
gravitacionais sao produzidas para o modo de perturbacao polar com numero de onda zero.
Para isto, serao calculadas as perturbacoes nos escalares de Weyl e, a partir do analise de
13
Szekeres [8] da equacao do desvio geodesico, sera extraıda a interpretacao fısica das perturba-
coes, independentemente do estado de movimento do observador. No estudo das perturbacoes
sera utilizado o formalismo de gauge diagonal de Chandrasekhar.
A presente dissertacao esta dividida da seguinte forma: no capıtulo 2 e revisado o
trabalho de Pirani [7] sobre como que a informacao sobre a existencia de ondas gravitacionais
se apresentam no tensor de Riemann, logo em seguida, o artigo publicado por Szekeres [8] sobre
a interpretacao fısica dos escalares de Weyl usando a equacao do desvio geodesico tambem e
revisado.
No capıtulo 3, apresenta-se a teoria de perturbacoes de branas negras AdS. Este ca-
pıtulo esta dividido em tres secoes onde, na primeira secao, e apresentada a solucao para o
espaco-tempo de fundo. Na secao seguinte, e estudada a teoria de perturbacoes via lineari-
zacao das equacoes de Einstein e, na secao final, e discutido o metodo de linearizacao das
equacoes do formalismo de Newman-Penrose.
No capıtulo 4, a primeira secao se destina a revisar a solucao obtida por Miranda e
Zanchin [23] para as perturbacoes com numero de onda nulo. Na secao seguinte, sao apre-
sentadas as equacoes que relacionam as varias perturbacoes nos escalares de Weyl com as do
tensor de Weyl. Na ultima secao, as perturbacoes nos escalares para o espaco-tempo em ques-
tao sao calculadas, e com base no tratamento realizado no capıtulo 2, e finalmente extraıdo o
significado fısico das perturbacoes das branas negras AdS. Em particular, sera verificado que
realmente a solucao para modos com numero de onda zero representa uma solucao com ondas
gravitacionais se propagando pelo espaco-tempo.
Ao longo de toda a dissertacao, adota-se uma assinatura +2 para o tensor metrico e
se utiliza um sistema de unidades geometrizadas em que c = G = 1.
2 RADIACAO GRAVITACIONAL E O TENSOR DE
CURVATURA
O presente capıtulo apresenta um estudo de revisao a respeito da interpretacao fısica do
tensor de curvatura de Riemann. O capıtulo esta dividido em duas partes. Na primeira parte,
a possıvel presenca de ondas gravitacionais no vacuo e investigada a partir de um classificacao
do tensor de Riemann em classes denominadas de formas canonicas [24]. Tal analise e feita de
forma totalmente covariante, e baseia-se principalmente no trabalho realizado por Pirani [7]
em 1957. Na segunda parte, a interpretacao fısica dos escalares de Weyl e revista com base
na equacao do desvio geodesico, conforme apresentada por Szekeres [8] num artigo publicado
na decada de 60. Neste trabalho, Szekeres introduziu uma nova forma de visualizar os efeitos
do campo gravitacional por meio de um compasso gravitacional.
2.1 Uma formulacao invariante da teoria da radiacao gravitacional
Um formulacao para a teoria de ondas gravitacionais independente do sistema de coor-
denadas ou mesmo da imposicao de um campo gravitacional fraco foi elaborada originalmente
por Pirani [7] atraves de uma serie de consideracoes a respeito do tensor de Riemann e do
espaco-tempo de fundo. Fundamentalmente, Pirani considera que:
1. O tensor de Riemann deve caracterizar a presenca de ondas gravitacionais;
2. No espaco vazio, ondas gravitacionais devem se propagar com a velocidade fundamental;
3. Uma frente de onda gravitacional se manifesta como uma descontinuidade no tensor de
Riemann no cruzamento de uma hipersuperfıcie tridimensional nula;
4. O tensor de Riemann determina o movimento de um observador que segue o campo
gravitacional. Na presenca de radiacao gravitacional, este observador teria que viajar a
velocidade da luz para ser capaz de seguir o campo.
Os itens 1 e 2 sao fundamentais para caracterizar as ondas gravitacionais. Os itens
seguintes surgem basicamente como consequencia dos dois primeiros. Sera feita entao uma
analise detalhada destes itens ao longo de toda a secao.
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2.1.1 A natureza da frente de ondas gravitacionais
A natureza da frente de ondas gravitacionais pode ser investigada frente a admissao da
existencia de descontinuidades no tensor de Riemann sobre uma hipersuperfıcie tridimensional
nula. O calculo para se obter tais descontinuidades e baseado na condicao de continuidade de
Lichnerowicz [25], a qual impoe condicoes sobre a metrica e suas derivadas de modo que as
equacoes de Einstein para o vacuo (Gµν = 0) sejam unicas.
Lichnerowicz postula que o espaco-tempo pode ser dividido em regioes de sobreposicao,
sendo que em cada uma destas regioes existe um sistema de coordenadas no qual:
(i) A metrica gµν e um tensor contınuo;
(ii) As primeiras derivadas parciais da metrica, gµν,ρ, sao todas contınuas;
(iii) As segundas derivadas de gµν sao contınuas por partes.
Numa das regioes, Lichnerowicz adota um sistema de coordenadas no qual a superfıcie S,
caracterizada por x0 = 0, e uma superfıcie de descontinuidade do campo gravitacional. Neste
caso, pode-se adaptar o sistema de coordenadas de modo que gµν , gµν,ρ e gµν,ρσ sao todos
contınuos sobre a superfıcie S, com a possıvel acessao de gµν,00. As componentes do tensor de
curvatura de Riemann sao dadas por
Rρσµν = Γ ρ
νσ,µ − Γ ρµσ,ν + Γ ρ
µλΓλνσ − Γ
ρνλΓ
λµσ, (2.1)
onde os Γ ρµν representam os sımbolos de Christoffel,
Γ ρµν =
1
2gρσ (gµσ,ν + gσν,µ − gµν,σ) . (2.2)
Observe que somente os dois primeiros termos em (2.1) poderao levar a uma descontinuidade
no tensor de Riemann, uma vez que sao eles que carregam derivadas segundas da metrica.
Para tornar o estudo totalmente covariante e possıvel fazer uso de coordenadas lo-
calmente inerciais de modo a escrever, em um ponto P e na sua vizinhanca, as grandezas
tensoriais em termos da metrica do espaco-tempo plano de Minkowski. Como um segundo
passo, constroi-se quantidades escalares por contracao dos tensores com os vetores da tetrada
coordenada (de Lorentz local) no ponto em questao. Uma vez obtidas tais funcoes escalares,
pode-se desconsiderar as coordenadas locais e estender o resultado para qualquer sistema de
coordenadas.
16
Nesse sentido, de acordo com a analise de Lichnerowicz, considera-se uma tetrada de
base tal que, em qualquer ponto P sobre S, a metrica se reduz a metrica do espaco-tempo de
Minkowski em coordenadas retangulares, ds2 = ηµνdxµdxν , sendo
ηµν = diag(−1, 1, 1, 1). (2.3)
Entretanto, para estudar a possibilidade da existencia de radiacao gravitacional, torna-se
conveniente a introducao de um par de coordenadas nulas, definidas por ξ = (1/√
2)(x0− x1)
e ζ = (1/√
2)(x0 + x1), de modo que, na vizinhanca de um ponto P sobre S, o elemento de
linha assume a forma:
ds2 = −2dξdζ + (dx2)2 + (dx3)2. (2.4)
Deste modo, ao inves de considerar uma descontinuidade sobre uma superfıcies em x0 = 0,
considera-se que a descontinuidade ocorre em ξ = 0. Escolhendo 4 para denotar a descon-
tinuidade em S, entao as condicoes de continuidade de Lichnerowicz exigem que no ponto
P ,
4(gµν) = 0,
4(gµν,σ) = 4(∂gµν/∂ξ) = 4(∂gµν/∂ζ) = 0,
4(∂2gµν/∂ξ∂ζ) = 4(∂2gµν/∂ζ2) = 0,
(2.5)
ao passo que
4(∂2gµν/∂ξ2) = aµν , (2.6)
onde aµν sao numeros quaisquer. Com base na definicao de Rρσµν e das condicoes (2.5) e
(2.6), e direto mostrar que os unicos a’s que contribuem para a descontinuidade no tensor de
Riemann no vacuo sao:
−a22 = a33 = σ, a23 = φ, (2.7)
onde σ e φ sao arbitrarios. Estas quantidades correspondem as duas polarizacoes de ondas
encontradas na teoria gravitacional linearizada. Todos os termos φ podem ser levados a zero
se for realizada uma rotacao de eixos em um angulo (1/2)tg −1(φ/σ) sobre o plano-23.
Daqui em diante sera introduzida uma tetrada1 de vetores ortonormais, e µ(a) , os quais
no ponto P se reduzem aos vetores tangentes da base coordenada, ∂µ. Neste formalismo,
existe a vantagem de poder escrever gµν em termos da metrica do espaco-tempo plano da
1Utiliza-se aqui as letras iniciais do alfabeto latino a, b, c... entre parenteses para representar ındices datetrada e letras gregas α, β, γ... para ındices tensoriais. As letras latinas i, j, k, ... continuarao reservadas paraındices espaciais.
17
seguinte forma:
gµνeµ
(a) eν
(b) = η(a)(b). (2.8)
Alem disso, definindo
e(a)µ ≡ η(a)(b)e µ(b) , (2.9)
e facil verificar a partir destas duas equacoes que
η(a)(b) e(a)µe(b)ν = gµν e e (a)
µ e ν(a) = δ ν
µ . (2.10)
Por simplicidade, sera tambem realizada a troca:
e µ(0) = −e(0)µ = eµ. (2.11)
Em [26] e apresentada uma analise completa do formalismo de tetrada.
A fim de simplificar a apresentacao dos resultados, e conveniente introduzir tambem um
formalismo em 6 dimensoes na descricao do tensor de Riemann. Este espaco hexa-dimensional
e mapeado no espaco-tempo quadri-dimensional de tal forma que um bivetor (dois-forma) em
4 dimensoes sera representado por um vetor (1-forma) em 6 dimensoes. As regras para este
mapeamento seguem os seguintes criterios:
(a) Se H(a)(b) sao as componentes fısicas de um tensor anti-simetrico Hµν com respeito a
uma tetrada num ponto P , este tensor e representado em 6 dimensoes por HA, com a
seguinte conversao entre os ındices ab e A:
ab: 23 31 12 10 20 30
A: 1 2 3 4 5 6.(2.12)
Neste caso, um conjunto par de ındices de tetrada em 4 dimensoes se reduzira a metade
em 6 dimensoes. Por exemplo, o tensor de Riemann R(a)(b)(c)(d) se reduz a forma simetrica
RAB com as devidas identificacoes.
(b) Para que os processos de subida e descida de ındices nos espacos quadri e hexa-dimen-
sional sejam equivalentes, o tensor metrico em 6 dimensoes deve ser tal que
ηAB = diag(1, 1, 1,−1,−1,−1), (2.13)
o qual corresponde ao tensor (2-forma) η(a)(c)η(b)(d) − η(a)(d)η(b)(c).
18
Em qualquer evento sobre a hipersuperfıcie tridimensional nula S, pode-se calcular
a descontinuidade no tensor de Riemann no vacuo diretamente das equacoes (2.1) e (2.7).
Escrevendo este resultado em termos de RAB, obtem-se
4RAB =
· · · · · ·
· −σ −φ · −φ σ
· −φ σ · σ φ
· · · · · ·
· −φ σ · σ φ
· σ φ · φ −σ
, (2.14)
onde σ e φ sao arbitrarios. Vale ressaltar aqui que as quantidades que surgem em (2.7) sao
obtidas numa base coordenada composta de dois vetores nulos e dois vetores tipo-espaco.
Por outro lado, a matriz 6 × 6 apresentada em (2.14) e resultado do mapeamento de um
espaco quadri-dimensional gerado por uma tetrada composta de tres vetores tipo-espaco e
um vetor tipo-tempo. Dessa maneira, a matriz (2.14) e encontrada apos uma mudanca de
coordenadas e os elementos da matriz diferem apenas por um numero real multiplicativo
daqueles apresentados em (2.7). No entanto, como σ e φ sao arbitrarios em ambos os casos,
estas diferencas sao irrelevantes. Note tambem que os planos-23 coincidem nas duas situacoes,
de modo que a quantidade φ torna-se nula sob o efeito da mesma rotacao de eixos apresentada
anteriormente.
O efeito das descontinuidades (2.14) pode ser investigado a partir da equacao do desvio
geodesicoD2Zµ
dτ 2+Rµ
νρσuνZρuσ = 0, (2.15)
onde Z = Zµ∂µ representa o vetor que conecta duas partıculas teste vizinhas num campo
gravitacional caracterizado pelo tensor de curvatura Rµνρσ. Nesta equacao, u = uµ∂µ =
(dxµ/dτ)∂µ e a quadri-velocidade de uma das partıculas ao longo de uma curva geodetica γ,
e τ e o tempo proprio dessa partıcula em sua trajetoria. Na figura 2.1 e apresentado um
desenho esquematico do efeito.
Se uma tetrada for escolhida de modo que o vetor tipo-tempo eµ coincida com a
quadri-velocidade uµ e os vetores tipo-espaco e µ(i) sejam ortogonais a uµ e paralelamente
transportados ao longo da curva γ, entao a equacao (2.15) pode ser reescrita como
d2X (i)
dτ 2+K(i)
(j)X(j) = 0, (2.16)
19
Figura 2.1: Desvio geodesico. Adaptacao de Carrol [4].
onde X (i) = Zµe (i)µ sao as componentes fısicas do vetor deslocamento, e
K(i)
(j) = R(i)
(0)(j)(0) (2.17)
representam algumas das componentes fısicas do tensor de curvatura de Riemann.
Uma analise da equacao (2.16) para a componente X (0) leva a conclusao que esta
componente tem uma dependencia linear com o tempo proprio, uma vez que K(0)
(i) = 0.
Sempre e possıvel escolher as condicoes iniciais do problema de modo que X (0) = 0, e esta
escolha pode ser interpretada da seguinte forma: se dois observadores seguem suas respectivas
geodesicas, e estas geodesicas sao congruentes, entao os relogios destes observadores estao
sincronizados se, e somente se, X (0) = 0.
No limite newtoniano, X (i) representam as componentes do vetor posicao de uma das
partıculas com respeito a outra, e K(i)
(j) = ∂2Φ/∂x(i)∂x(j), sendo Φ o potencial gravitacional
newtoniano. Neste caso, ao tomar o traco de K(i)
(j), obtem-se:
K(i)
(i) = ∂2Φ/∂x(i)∂x(i) = ~∇2Φ = 4πρ, (2.18)
onde ρ e a densidade de massa da fonte do potencial gravitacional. Por outro lado, K(i)
(i) =
R(i)
(0)(i)(0) = R(0)(0), de modo que
R(0)(0) = 4πρ. (2.19)
Ou seja, a componente R(0)(0) do tensor de Ricci esta ligada a densidade de massa da fonte.
Retomando o estudo a respeito das descontinuidades do tensor de Riemann, dadas por
20
(2.14), segue que frentes de ondas gravitacionais passando por pares de partıculas teste farao
com que estas sofram uma descontinuidade na aceleracao relativa descrita por
4K(i)
(j) =
0 0 0
0 −σ −φ
0 −φ σ
. (2.20)
Fica facil perceber de (2.20) que a descontinuidade na aceleracao relativa dependera de como
as partıculas estao posicionadas. Se as duas partıculas estiverem alinhadas ao longo da direcao
da frente de onda (direcao 1), entao as partıculas nao sentirao descontinuidade na aceleracao
relativa. Este resultado expressa o carater transversal das ondas gravitacionais de modo
totalmente invariante. Por outro lado, se as partıculas estiverem sobre o plano-23, o qual
e perpendicular a direcao de propagacao da frente de onda, entao as partıculas sofrerao os
efeitos da descontinuidade no tensor de curvatura. Em (2.20), σ e φ representam os dois tipos
de estados de polarizacao da radiacao gravitacional bem conhecidos da teoria de aproximacao
linearizada, por exemplo. Na figura 2.2 sao representados esquematicamente estes efeitos.
(a)
(b)
Figura 2.2: O efeito das descontinuidades (a) σ e (b) φ. Adaptacao da Ref. [4].
2.1.2 Formas canonicas para o tensor de Riemann
Nesta subsecao sera explorada a representacao canonica do tensor de Riemann em
quatro dimensoes, conforme apresentada por Pirani [7]. O objetivo aqui e desenvolver a ideia
de um observador que segue o campo gravitacional. Como exemplo introdutorio sera tomado
o caso do campo eletromagnetico. Para este caso, os autovetores associados com o campo sao
obtidos da equacao de autovalor
T νµ ξν = λξµ, (2.21)
21
onde T νµ e o tensor energia-momento eletromagnetico. Esta equacao estabelece que, em geral,
vetores tipo-tempo, tipo-espaco e nulos podem existir. Porem, no caso especıfico de um campo
nulo, nao havera autovetores tipo-tempo; todos os autovetores serao tipo-espaco, com excecao
do proprio vetor nulo, e todos estarao num espaco tridimensional tangente ao cone de luz ao
longo da direcao do autovetor nulo.
A ideia de um observador que segue o campo eletromagnetico e facilmente compre-
endida se for considerado o vetor de Poynting Sρ. Em termos de componentes do tensor
energia-momento, o vetor de Poynting num frame de Lorentz local e dado por Si = T 0i.
Este vetor pode ser escrito em forma covariante considerando novamente uma base cujo ve-
tor eµ e identificado como a quadri-velocidade do observador e, na sequencia, escrevendo as
componentes espaciais do tensor energia-momento como uma projecao ortogonal a esta quadri-
velocidade. Sendo P µν = δµν + uµuν o projetor ortogonal a uµ, entao o vetor de Poynting em
forma covariante e dado por:
Sρ = (δµρ + uµuρ)Tµνuν . (2.22)
E facil observar dessa equacao que
Sρuρ = 0, (2.23)
ou seja, Sρ e um vetor tipo-espaco. Por outro lado, se nρ e um vetor normal a uma superfıcie
Σ, tal que nρ e perpendicular a quadri-velocidade do observador, entao o fluxo de energia
eletromagnetica que cruza Σ e
Sρnρ = Tµνu
µnν . (2.24)
Quando e dito que um observador segue o campo eletromagnetico, isto significa que o fluxo
de energia medido por ele sobre qualquer superfıcie Σ e zero. De acordo com (2.23) e (2.24),
e possıvel afirmar que tal condicao acontece somente se Sρ = 0, o que por (2.22) implica em
Tρνuν = −(Tµνu
µuν)uρ. (2.25)
Portanto, uρ e o autovetor de Tµν . Dessa maneira, esta estabelecida a ideia de um observador
seguindo o campo eletromagnetico a partir do conhecimento do autovetor do tensor energia-
momento. Como foi dito anteriormente, para o caso campo nulo, o que indica a presenca
de ondas eletromagneticas, nao existirao autovetores tipo-tempo, de modo que nenhum ob-
servador com velocidade finita podera medir um fluxo de energia zero. Em outras palavras,
para um campo nulo, este fluxo nao pode ser eliminado por meio de uma transformacao de
22
Lorentz. Um campo e dito ser nulo se ele possui um autovetor nulo, ξµ, com autovalor zero,
Tµνξν = 0. (2.26)
Assim, somente se o observador fosse capaz de viajar a velocidade da luz na direcao de ξµ,
ele poderia medir um fluxo zero de energia.
A extensao deste conceito para o caso gravitacional nao e trivial, uma vez que, devido
ao princıpio de equivalencia, nao existe um tensor energia-momento associado ao campo gra-
vitacional. Por outro lado, e possıvel utilizar a estrutura geometrica do tensor de Riemann
para definir o analogo do conceito de um observador ‘seguindo o campo’ que acaba de ser
discutido para o caso eletromagnetico. Porem, a extensao nao e direta, devido as diferentes
propriedades do tensor de Riemann em comparacao com o tensor energia-momento eletro-
magnetico. Desse modo, a analise sera dividida em duas partes. Na primeira parte, serao
definidos os autobivetores do tensor de Riemann. Em seguida, usando as formas canonicas
para o tensor de Riemann, obtidas por Petrov [24] (ver apendice A), sera possıvel escrever de
forma explıcita os autobivetores para o vacuo. Geometricamente, os autobivetores correspon-
dem a superfıcies bidimensionais ou a pares de superfıcies. As interseccoes dessas superfıcies
definem um determinado numero de quadri-vetores, os quais serao denominados de vetores
principais de Riemann [7].
“Um observador que possui um vetor principal de Riemann tipo-tempo como
quadri-velocidade e dito estar seguindo o campo gravitacional.”
Os autobivetores Pµν do tensor de Riemann sao definidos pela equacao
RµνρσPρσ = λPµν , (2.27)
ou, usando o formalismo hexa-dimensional apresentado anteriormente,
RABPB = λPA. (2.28)
Petrov [24] mostrou que, por meio de uma escolha adequada da tetrada em qualquer
evento num espaco-tempo vazio, o tensor de Riemann se reduz a uma das tres formas canonicas
listadas abaixo.
23
Tipo I:
RAB =
α1 · · β1 · ·
· α2 · · β2 ·
· · α3 · · β3
β1 · · −α1 · ·
· β2 · · −α2 ·
· · β3 · · −α3
, (2.29)
onde∑3
k αk = 0 e∑3
k βk = 0.
Tipo II:
RAB =
−2α · · −2β · ·
· α− σ · · β σ
· · α + σ · σ β
−2β · · 2α · ·
· β σ · −(α− σ) ·
· σ β · · −(α + σ)
. (2.30)
Tipo III:
RAB =
· σ · · · ·
σ · · · · −σ
· · · · −σ ·
· · · · −σ ·
· · −σ −σ · ·
· −σ · · · ·
. (2.31)
Estas formas matriciais para RAB sao obtidas, primeiramente, impondo limitacoes nas trans-
formacoes que podem ser realizadas sobre o tensor de Riemann no espaco de 6 dimensoes, a
saber, impondo que as transformacoes de Lorentz sejam reais. Alem disso, considera-se as
simetrias que a matriz RAB possui.
Os autobivetores de RAB, definidos por (2.28), podem ser obtidos das equacoes (2.29)-
(2.31). Eles sao bivetores complexos escritos na forma
PA = SA ± iS∗A, (2.32)
24
sendo S∗A o vetor dual de Hodge de SA,
S∗µν =1
2gµρgνσε
ρστπSτπ, (2.33)
ou, utilizando a notacao hexa-dimensional,
S∗A =1
2gABε
BCSC , (2.34)
onde εµνρσ e εAB sao os tensores de Levi-Civita, respectivamente, em quatro e seis dimensoes.
Assim, cada autobivetor de RAB define, em geral, um par de superfıcies ortogonais.
Considerando que estes bivetores estejam normalizados, pode-se escreve-los explicitamente
como segue abaixo.
Tipo I: Existem seis autobivetores independentes:
PA =
δ A1 e δ A
4 , se β1 = 0,
δ A1 ± iδ A
4 , se β1 6= 0;
PA =
δ A2 e δ A
5 , se β2 = 0,
δ A2 ± iδ A
5 , se β2 6= 0;(2.35)
PA =
δ A3 e δ A
6 , se β3 = 0,
δ A3 ± iδ A
6 , se β3 6= 0.
Tipo II: Existem quatro autobivetores independentes:
Se β = 0,
PA = δ A1 e PA = δ A
4 ,
PA = δ A2 − δ A
6 e PA = δ A3 + δ A
5 ;
Se β 6= 0,
PA = δ A1 ± iδ A
4 ,
δ A2 − δ A
6 ± i(δ A3 + δ A
5 ).(2.36)
Tipo III: Existem dois autobivetores independentes: PA = δ A2 − δ A
6 ,
PA = δ A3 + δ A
5 .(2.37)
Conforme definido anteriormente, os vetores principais de Riemann de cada um dos
tipos da classificacao resultam da interseccao de dois planos gerados pela combinacao dos
autobivetores. Deste modo, se r(a) e um vetor principal de Riemann normalizado, segue que:
25
Tipo I: r(a) = δ (a)
(0) , δ (a)
(1) , δ (a)
(2) , δ (a)
(3) . Neste caso, os vetores principais sao justamente os
vetores da tetrada base, sendo um vetor tipo-tempo e tres vetores tipo-espaco.
Tipo II: r(a) = δ (a)
(0) − δ (a)
(1) , δ (a)
(2) , δ (a)
(3) . O primeiro vetor principal e nulo e os demais vetores
sao todos tipo-espaco.
Tipo III: r(a) = δ (a)
(0) − δ (a)
(1) . Existe somente um vetor principal de Riemann, o qual e nulo.
Dois dos tres tipos de tensores de Riemann possuem vetores principais nulos, e a
existencia de tais tensores identifica a presenca de ondas gravitacionais. Se fosse possıvel para
um observador viajar ao longo de uma direcao nula principal de Riemann, entao ele estaria
‘seguindo o campo’ e nao detectaria a existencia de ondas gravitacionais. Segundo Pirani [7],
“em qualquer evento no espaco-tempo vazio, a radiacao gravitacional esta presente se o tensor
de Riemann e do tipo II ou III, mas nao se ele for do tipo I.”
Em princıpio os σ’s em (2.14) e (2.30) sao de naturezas distintas. No entanto, ao
comparar as duas matrizes, percebe-se que os σ’s ocupam as mesmas posicoes e possuem os
mesmos sinais em ambos os casos. Esta correspondencia se deve de imediato a escolha de ori-
entacao de ambas as tetradas, uma vez que nas duas a direcao-1 e a direcao de propagacao da
radiacao gravitacional. Portanto, a existencia de uma descontinuidade no tensor de Riemann
pode ser realmente associada a existencia de ondas gravitacionais.
Vale ainda ressaltar que estes resultados sao totalmente independentes da base es-
colhida, uma vez que, apesar de ter usado uma tetrada especıfica para colocar o tensor de
Riemann em forma canonica, as conclusoes obtidas da analise anterior sao independentes da
escolha desta tetrada.
As diferencas entre os tipos I e II de espacos-tempos podem ser investigadas a partir
do movimento relativo entre partıculas livres que se movem com diferentes velocidades com
respeito a uma tetrada de vetores tipo-tempo apropriada. Por exemplo, se for considerado o
efeito de um boost sobre K(i)
(j) dado pelas transformacoes de tetrada:
e (0)µ = e(0)µ cosh θ + e(1)µ senh θ;
e (1)µ = e(0)µsenh θ + e(1)µ cosh θ; (2.38)
e (2)µ = e(2)µ; e (3)
µ = e(3)µ;
onde os vetores sem barra se referem a tetrada na qual se obteve os tensores de Riemann
nas formas canonicas (2.29) e (2.30). Para facilitar a comparacao entre os resultados, se
representara α2 = α−σ e α3 = α+σ para a forma canonica tipo I. Nestes caso, os resultados
26
obtidos sao:
Tipo I:
K(2)(2) = −(α− σ), K(2)(2) = −(α− σ cosh 2θ),
K(2)(3) = 0, K(2)(3) = 12(β1 − β2)senh 2θ
K(3)(3) = −(α + σ), K(3)(3) = −(α + σ cosh(2θ).
(2.39)
Tipo II:
K(2)(2) = −(α− σ), K(2)(2) = −(α− σe−2θ),
K(2)(3) = 0, K(2)(3) = 0
K(3)(3) = −(α + σ), K(3)(3) = −(α + σe−2θ).
(2.40)
Novamente, os K’s com barra representam as componentes fısicas do tensor de Riemann
na tetrada e (a)µ. Nos resultados acima, foram omitidos os termos do tipo K1b por serem
invariantes frente a transformacao de Lorentz realizada.
A principal diferenca entre os tipo I e II de tensores de Riemann ocorrem quando θ
assume valores pequenos (θ = tgh−1v, onde v e a tri-velocidade relativa entre os observadores
nas diferentes tetradas). Nesse limite, para um tensor tipo I, a variacao de K22 e K33 em
primeira ordem vai com θ2, o que caracteriza um efeito tıpico das transformacoes de Lorentz
na relatividade especial. Por outro lado, os mesmos K’s para o tipo II vao com θ o que
caracteriza um efeito nao Lorentziano.
Por fim, quando θ assume valores muito altos, no tipo I os K’s assumem valores muito
altos, independentes do sinal de θ. Como consequencia, para o tipo I os K’s possuem valor
extremo apenas quando θ = 0. Em oposicao, para o tipo II, eles se aproxima assintoticamente
de um valor extremo quando θ →∞(v → 1), tal que a velocidade do observador se aproxima
da velocidade da luz na direcao de propagacao da radiacao.
[7]
2.2 A interpretacao fısica dos escalares de Weyl
Na secao anterior, mostrou-se de duas maneiras distintas como que se identifica a
presenca de radiacao gravitacional com base no tensor de Riemann. A primeira maneira e
usando a condicao de descontinuidade de Lichnerowicz onde e possıvel concluir que as ondas
gravitacionais surgem no tensor de Riemann como uma descontinuidade ao longo das direcoes
perpendiculares a direcao de propagacao da radiacao. A segunda forma e a partir das formas
canonicas do tensor de Riemann, neste caso, a existencia vetores principais tipo-luz ligados
a forma canonica, caracteriza a presenca de tal radiacao. Nestas secao, que e baseada no
27
Figura 2.3: Compasso gravitacional. Extraıda de Szekeres (1965)
trabalho realizado por Szekeres em 1965 [8], sera utilizada a equacao de desvio geodesico
juntamente com a classificacao de Petrov para extrair o significado fısico dos escalares de
Weyl. No estudo do efeito do desvio geodesico sera introduzido o conceito de compasso
gravitacional.
2.2.1 A classificacao de Petrov e o compasso gravitacional
Para a presente analise, sera utilizada a equacao de desvio geodesico (2.15):
D2Zρ
dτ 2= Rρ
σµνuσuνZµ, (2.41)
Como consequencia dessa equacao, o tensor simetrico Kµν = Rµρνσuρuσ representa o gradiente
da ‘forca gravitacional’ sobre um observador como discutido na secao anterior. Uma forma
direta de interpretar fisicamente este tensor e considerando um tetraedro formado por um
conjunto de molas que conectam tres partıculas testes entre si, e cada uma a um observador
no centro do tetraedro como mostra a Figura 2.3. O observador neste problema se desloca
ao longo de uma geodesica onde o tempo proprio e o parametro afim. A medida que ele
se desloca ao longo de sua geodesica e possıvel observar entao uma forca atuando sobre o
conjunto de molas. Uma vez que Kµν e uma matriz simetrica entao, ela possui apenas seis
componentes linearmente independentes. Quando as forcas que atuam sobre as molas S12, S13
e S23 sao zero, entao as tres molas S1, S2, e S3 que conectam as partıculas testes ao observador
estao alinhadas ao longo dos eixos principais de Kµν . Assim, tem-se um mapa entre o campo
gravitacional local e o que Szekeres [8] define como compasso gravitacional.
28
O tensor de Riemann em quatro dimensoes possui 20 componentes independentes. Em
geral, este tensor pode ser decomposto em partes independentes da seguinte forma:
Rρσµν = Cρσµν + gρ[µRν]σ +Rρ[µgν]σ −1
3Rgρ[µgν]σ (2.42)
onde Cρσµν e Rµν sao os tensores de Weyl e Ricci, respectivamente, e R = gµνRµν e o escalar
de Ricci. Estes tensores, por sua vez, possuem 10 componentes independentes cada um. Na
ausencia de materia e num espaco-tempo com constante cosmologica zero, Rµν = R = 0 e
tensores de Riemann e Weyl se tornam identicos. Substituindo (2.42) em (2.41), e possıvel
escrever a equacao de desvio geodesico na forma:
D2Zρ
dτ 2= Cρ
σµνuσuνZµ +
1
3(Rσνu
σuν)Zρ − 1
2SρµZ
µ, (2.43)
onde,
Sρσ = P µρP
νσRµν −
1
3P µνRµνPρσ,
Pµν = gµν + uµuν .
(2.44)
O primeiro termo em (2.43) representa a colaboracao de um campo gravitacional livre, po-
dendo ser pensado como um efeito de forcas de cisalhamento, uma vez que ele e um termo
simetrico livre de traco. O segundo termo, por sua vez, caracteriza a presenca de materia, co-
laborando como uma componente de forca ‘expansiva’ para as equacoes do desvio e, o ultimo
termo, representa um efeito de cisalhamento tambem causado pela presenca de materia.
Para investigar a contribuicao do tensor de Weyl em (2.43), e conveniente introduzir
uma base tetrada de vetores nulos. A construcao dessa base pode ser feita a partir de uma
base tetrada onde e(0) e escolhido novamente de modo a coincidir com a quadri-velocidade
u do observador, ortogonal aos vetores tipo-espaco e(1) = s, e(2) e e(3). Neste caso, se pode
escrever:
lµ = (uµ + sµ), mµ = 1√2(e µ
(2) + ie µ(3)),
nµ = 12(uµ − sµ), mµ = 1√
2(e µ
(2) − ie µ(3)).
(2.45)
Estes vetores nulos obedecem as condicoes de ‘ortogonalidade’:
mµmµ = −lµnµ = 1,
lµlµ = lµm
µ = nµnµ = nµm
µ = mµmµ = 0.
(2.46)
Com base nas equacoes (2.45) e (2.46) se pode verificar que o tensor metrico geral pode ser
29
escrito como
gµν = −2l[µnν] + 2m[µmν] (2.47)
Alem disso, e possıvel escrever um tensor de Weyl complexo [27] em termos de uma base de
bivetores nulos {W α} = {U ,V ,M}, descrita por:
Uµν = 2m[µnν],
Vµν = 2l[µmν], (2.48)
Mµν = 2n[µlν] + 2m[µmν].
Todas as contracoes deste bivetores sao nulas com excecao de
UµνVµν = 2, MµνM
µν = −4. (2.49)
Ao levar em consideracao o fato que o tensor de Weyl e totalmente livre de traco
juntamente com suas propriedades de simetria sobre troca de ındices, se conclui que:
Cµνρσ + iC∗µνρσ = 2Ψ0UµνUcd + 2Ψ1(UµνMcd +MµνUcd)
+ 2Ψ2(UµνVcd + VµνUcd +MµνMcd)
+ 2Ψ3(VµνMcd +MµνVcd) + 2Ψ4VµνVcd,
(2.50)
onde C∗µνρσ = 12εµνλεC
λερσ e o dual de Hodge de Cµνρσ. Os Ψ(N) sao escalares complexos
conhecidos na literatura por escalares de Weyl. E possıvel verificar a partir de contracoes de
(2.50) com os vetores nulos da base tetrada que:
Ψ0 = Cµνρσlµmνlρmσ,
Ψ1 = Cµνρσlµnνlρmσ,
Ψ2 = Cµνρσlµmνmρnσ,
Ψ3 = Cµνρσlµnνmρnσ,
Ψ4 = Cµνρσnµmνnρmσ.
(2.51)
Estes cinco escalares complexos representam as dez componentes reais e independentes do
tensor de Weyl.
Uma vez escolhida a base tetrada nula, e possıvel utilizar a classificacao de Petrov no
formalismo de Newman-Penrose (ver apendice B para maiores detalhes) para orientar os eixos
da tetrada de modo a fazer varios dos escalares de Weyl serem zero e, consequentemente, sim-
30
plificar a equacao (2.50). Assim, considerando um espaco-tempo Petrov tipo N, caracterizado
pela existencia de um vetor nulo lµ que satisfaz a condicao Cµνρσlµ = 0. Se lµ for o vetor nulo
definido em (2.45), chega-se a conclusao que Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ3 = 0. Dessa forma, apenas
Ψ4 diferente de zero. Este escalar pode ser feito real ao realizar uma rotacao da tetrada, tal
que, mµ → eiθmµ. Neste caso, a equacao de desvio geodesico (2.41) se reduz a:
d2Zρ
dτ 2= Ψ4(e ρ
(2)e(2)σ − e ρ(3)e(3)σ)Zσ. (2.52)
Portanto, um observador que segue uma geodesica com quadri-velocidade u sofrera uma
aceleracao relativa ao longo das direcoes e(2) e e(3) que formam um plano perpendicular a
direcao s na qual a frente de onda se propaga. Como este efeito e totalmente independente
da quadri-velocidade com que o observador se desloca, considera-se entao que campos Petrov
tipo N caracterizam a existencia de ondas gravitacionais puramente transversais. Em (2.52)
se utilizou apenas a parte real de (2.50) uma vez que as equacoes do desvio carregam apenas
componentes reais do tensor de Weyl.
Figura 2.4: O efeito dos escalares de Weyl: (a) Ψ4, (b) Ψ3, (c) Ψ2. Adaptacao de Szekeres [8].
Para o Petrov tipo III, por sua vez, existe um vetor nulo lµ que satisfaz lµl[λCµν]ρσ = 0.
Escolhendo lµ novamente como sendo o apresentado pela equacao (2.41), obtem-se que Ψ0 =
Ψ1 = Ψ2 = 0. Porem, ainda existe um classe de observadores nos quais Ψ4 = 0 e Ψ3 e real.
Para esta classe de observadores se tem que a aceleracao relativa e dada por
D2Zρ
dτ 2= Ψ3(sρe(2)σ + eρ(2)sσ)Zσ. (2.53)
Como no caso anterior, a distribuicao de forcas se da sobre um plano. Porem, neste caso
uma das direcoes esta ao longo da direcao de propagacao da frente de onda. Assim, Ψ3 e
interpretado com uma componente longitudinal do campo gravitacional ao longo da direcao
31
sµ. Para os observadores em que Ψ4 6= 0 as ondas gravitacionais estarao sobrepostas a esta
componente longitudinal do campo.
As componentes Ψ0 e Ψ1 possuem as mesmas interpretacoes fısicas que Ψ4 e Ψ3, res-
pectivamente, mas com frentes de onda que se propagam na direcao −sµ.
Se, finalmente, for considerado um espaco-tempo Petrov tipo D, entao a orientacao dos
eixos da tetrada sera tal que Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = Ψ4 = 0. Neste caso, somente Ψ2 e nao-zero.
Para este caso, nao se tem liberdade de fazer este termo real e, portanto as equacoes do desvio
geodesico assumem a forma
D2Zρ
dτ 2= 2Ψ(R)
2
[sρsσ −
1
2
(e ρ(2)e(2)σ + e ρ
(3)e(3)σ)]Zσ, (2.54)
onde Ψ(R)
2 e a parte real de Ψ2. Esta distribuicao de forca causa uma distorcao de uma
distribuicao esfericamente simetrica centrada no observador em um elipsoide onde, sµ e o eixo
principal. Este efeito e o mesmo que acontece com uma densidade de materia sobre o efeito
de uma atracao gravitacional que obedece uma lei do inverso do quadrado das distancias.
Por este motivo, se reconhece este termo como sendo o termo Coulombiano do campo. A
intensidade, neste caso, e dada diretamente por Ψ(R)
2 .
Para o Petrov tipo II se pode fazer Ψ0 = Ψ1 = Ψ4 = 0, tal que, podera ser visualizado
um campo coulombiano juntamente com uma componente longitudinal sainte sobreposta. E,
finalmente, para o caso algebricamente geral (Petrov I), os escalares Ψ0 e Ψ4 serao zero.
Nesta classe de espaco surgem componentes de campos longitudinais sobrepostas ao campo
coulombiano.
2.2.2 O efeito das transformacoes de Lorentz
Nesta secao, sera apresentado como um observador pode usar um compasso gravitaci-
onal para estabelecer o gradiente do campo gravitacional no seu sistema de referencia. Para
isto, sera feito uso das transformacoes de Lorentz para relacionar os varios escalares de Weyl
medidos por observadores que se movem com velocidades distintas. Nesse modo, ao considerar
inicialmente o efeito de um boost capaz de gerar uma rotacao sobre o plano formado pelos
vetores (l,n), tem-se que
l′µ =
[(1 + v)
(1− v)
] 12
lµ
n′µ =
[1− v1 + v
] 12
nµ, m′µ = mµ.
(2.55)
32
Esta transformacao corresponde a uma simples mudanca de sistema de referencia entre ob-
servados que se movem com uma tri-velocidade relativa de modulo v ao longo da direcao s.
Assim,
Ψ′2 =1
16CµνρσM
′µνM′ρσ = Ψ2,
Ψ′3 = −1
8CµνρσU
′µνM′ρσ = Ψ3
[1− v1 + v
] 12
,
Ψ′4 =1
4CµνρσU
′µνU′ρσ = Ψ4
(1 + v)
(1− v).
(2.56)
Portanto, para um Petrov tipo N, um observador que aumenta sua velocidade experimentara
uma diminuicao na amplitude da onda por ele observada por um fator (1− v)/(1 + v) e para
um movimento no sentido contrario, se obtem o resultado oposto e o observador medira um
aumento na amplitude. O mesmo efeito acontece para o Petrov tipo III, porem, por um fator
[(1 − v)/(1 + v)]1/2. Alem disso, Ψ2 e invariante, isto e, o termo coulombiano nao e afetado
por esta transformacao. Em termos do compasso gravitacional, se pode dizer que a pressao
sobre as molas e independente da velocidade radial do observador.
Considerando agora uma transformacao entre referenciais que se movem com uma
velocidade relativa v ao longo da direcao e(2)µ. Neste caso
u′µ =
(uµ + ve µ(2))√
1− v2. (2.57)
Se em seguida for realizada uma nova rotacao, desta vez, sobre o plano (s, e(2)) permitindo
que lµ aponte na direcao de s′µ, os vetores da tetrada devem se transformar da seguinte forma
l′µ = lµ
√(1− v2),
m′µ = mµ + lµ
v√2,
n′µ = nµ
1√1− v2
− (mµ + mµ)v√
2(1− v2)− lµ v2
2√
1− v2
(2.58)
Como no caso anterior, ao conhecer a transformacao dos vetores da base tetrada e possıvel
conhecer como os varios escalares de Weyl se transformam. Em particular, considerando um
33
espaco-tempo Petrov tipo D, obtem-se
Ψ′2 = Ψ2,
Ψ′3 = Ψ23v√
2(1− v2),
Ψ′4 = Ψ23v2
1− v2
(2.59)
Portanto, quando v → 1, Ψ4 e a parte dominante; de modo que um observador passando
rapidamente por uma fonte (pode ser uma estrela ou buraco negro, por exemplo) num espaco
de Schwarschild com uma velocidade proxima a da luz, o campo tomara a aparencia de uma
onda gravitacional puramente transversal.
No vacuo, portanto, o campo gravitacional pode ser completamente determinado por
estas transformacoes de Lorentz. O uso de dois diferentes compassos gravitacionais que se
movem com velocidades distintas ao longo da direcao s permitira observar todas as com-
ponentes do tensor de Weyl com excecao da parte imaginaria de Ψ2. Somente ao usar um
terceiro compasso se movendo ao longo de e µ(2) sera possıvel determinar tal parte.
2.2.3 Aplicacoes
(a) Presenca de um campo eletromagnetico nulo:
Como uma aplicacao, sera combinada radiacao eletromagnetica a radiacao gravitacio-
nal. Deste modo, para o espaco-tempo vazio
Rµν = 4πTµν = Alµlν , lµlµ = 0, (2.60)
onde A e uma constante arbitraria. Se uµ e qualquer vetor tipo-tempo tal que lµ = uµ + sν ,
entao
Rµνuµuν =
A
2, Sµν =
A
2
(sµsν −
1
3Pµν
). (2.61)
Neste caso, a partir da equacao (2.43) se conclui que um campo eletromagnetico nulo contribui
para a equacao de desvio geodesico no vacuo com um termo adicional
1
2A(eµ(2)e(2)ν + eµ(3)e(3)ν)Z
ν . (2.62)
Assim, o campo eletromagnetico contribuira para o campo gravitacional com uma compo-
nente transversal. Deste modo, se uma onda gravitacional esta acompanhada de uma onda
34
eletromagnetica, entao a direcao de polarizacao da onda gravitacional nao sera afetada, e
somente o cırculo da aceleracao desenvolvera uma acentricidade.
(b) Ondas gravitacionais interagentes:
Suponha a existencia de duas ondas gravitacionais de tipo N se movendo ao longo
das direcoes l e n. Um observador num referencial dado por (2.45) observa estas ondas se
moverem ao longo de direcoes opostas sµ e −sµ. Como as ondas nao interagem, a forca sentida
pelo observador estara confinada ao plano (e(2), e(3)) e o campo resultante devera ser a soma
das amplitudes das duas ondas. Neste caso se espera que neste referencial
C ∼µνρσ = 2Ψ0UµνUρσ + 2Ψ4VµνVcd, (2.63)
onde C ∼µνρσ = Cµνρσ + iC∗µνρσ e o tensor de Weyl complexo. Substituindo esta expressao nas
identidades de Biachi para o vacuo (Cµνρσ;µ = 0) e, em seguida, contraindo o resultado com
lνnρUσλ, obtem-se
Ψ4lν;σmνlσ = Ψ4lν;σm
νmσ. (2.64)
Esta e a condicao que lµ e um vetor tangente a uma geodesica livre de cisalhamento. Pelo
teorema de Goldberg e Sachs [28] que diz que:
“Uma metrica para o vacuo e algebricamente especial se, e somente se, ela admite uma
congruencia de geodesica nulas livres de cisalhamento.”
Conclui-se que quando ondas gravitacionais estao se movendo em direcoes nulas opostas
tanto o vetor l quanto o vetor n deverao ser vetores principais livres de cisalhamento. Porem,
da suposicao de nao interacao imposta pela equacao (2.63) se conclui que apenas l satisfaz
tal condicao. Tal contradicao significa que a suposicao de que as ondas nao interagem ao se
propagarem em sentidos opostas e falsa. As ondas gravitacionais sao de natureza nao linear,
de modo que, apos se cruzarem suas caracterısticas iniciais deverao ser alteradas.
35
3 A TEORIA DE PERTURBACOES GRAVITACIONAIS
O presente capıtulo tem por objetivo revisar a teoria de pertubacoes gravitacionais
de buracos negros planos-simetricos em espacos-tempo assintoticamente anti-de Sitter. Para
este fim, o capıtulo foi subdividido em tres secoes. Na primeira secao, as quantidades que
caracterizam o espaco-tempo de fundo sao apresentadas. Na secao seguinte, a teoria de
perturbacoes via linearizacao das equacoes de Einstein e descrita para o caso em que as
perturbacoes sao axissimetricas. Esta classe de perturbacoes estao associadas a uma escolha
conveniente dos vetores da base tetrada e nao representa nenhuma perda de generalidade.
Na ultima secao, as perturbacoes sao descritas utilizando o formalismo de Newman-Penrose
tambem linearizado. Este capıtulo se baseia no trabalho de Miranda [29] que utiliza o metodo
de perturbacoes desenvolvida por Chandrasekhar [26] para o estudo das pertubacoes de branas
negras anti-de Sitter.
3.1 O espaco-tempo de fundo
Quando o espaco-tempo e assintoticamente anti-de Sitter, uma solucao de buraco negro
estatica e com simetria plana pode ser extraıda [6]. Esta classe de buraco negro e chamada de
brana negra anti-de Sitter. A solucao de branas negras pode ser escrita de forma geral como
ds2 = −f(r)dt2 + f−1(r)dr2 + r2(dϕ2 + dz2), (3.1)
onde
f(r) =r2
`2− 2M
r. (3.2)
Na equacao (3.2), M representa um parametro de massa da brana negra e `2 = −3/Λ e
conhecido como raio anti-de Sitter sendo Λ a constante cosmologica negativa. Na literatura,
f(r) e chamada de funcao horizonte e suas raızes representam singularidades coordenadas na
metrica (3.1). A unica raiz real dessa funcao representa a localizacao radial do horizontes de
eventos do buraco negro (rh). Para o caso em questao, nao e difıcil verificar que o o horizonte
de eventos esta localizado em
rh =3√
2M`2. (3.3)
Essa solucao tambem admite topologias cilındricas e toroidais.
36
O intuito deste trabalho e, portanto, investigar quais efeitos fısicos surgem frete a
pequenas perturbacoes gravitacionais nesse espaco-tempo.
3.2 Perturbacoes metricas no formalismo de Chandrasekhar
Na teoria de perturbacoes gravitacionais, considera-se que o espaco-tempo de fundo
de metrica gµν e perturbado de tal maneira que a metrica do espaco-tempo fısico assume a
forma gµν = gµν + hµν . O tensor hµν representa uma perturbacao de primeira ordem sobre o
espaco-tempo de fundo. Alem disso, esta teoria possui certas liberdades de gauge associadas
as transformacoes infinitesimais de coordenadas do tipo xµ → xµ + ξµ, onde ξµ e um vetor
de transformacao infinitesimal. Frente a esta transformacao, o tensor hµν muda da seguinte
forma:
hµν → hµν − 2ξ(µ;ν). (3.4)
O tensor de Riemann, que caracteriza a curvatura do espaco-tempo, nao e alterado por esta
transformacao infinitesimal e, por isto, a equacao (3.4) e chamada de transformacao de gauge
da teoria de perturbacoes gravitacionais. Desse modo, sempre e possıvel escolher o vetor
ξµ de maneira a reduzir o numero de componentes diferentes de zero de hµν , sem alterar o
significado fısico das perturbacoes.
Para o estudo das pertubacoes gravitacionais usando o formalismo de gauge de Chan-
drasekhar, considera-se que o elemento de linha associado ao espaco-tempo fısico e dado por:
ds2 = −e2ν(dt)2 + e2ψ(dϕ− q2dx2 − q3dx
3 − q0dt)2
+ e2µ2(dx2)2 + e2µ3(dx3)2 .(3.5)
Esta metrica e capaz de acomodar todas as quantidades relevantes para o estudo das pertur-
bacoes metricas no gauge de Chandrasekhar [26]. Vale ressaltar que todas estas quantidades
devem satisfazer as equacoes de Einstein e condicoes de contorno apropriadas. Note tambem
que, para o espaco-tempo de fundo (3.1), as quantidades apresentadas em (3.5) assumem a
seguinte forma
q0 = q2 = q3 = 0, e2ν = e−2µ2 = f(r) =r2
`2− 2M
r, e2ψ = e2µ3 = r2, (3.6)
e, portanto, a metrica (3.5) tambem acomoda a solucao de branas negras nao-perturbadas.
Numa teoria de perturbacoes metricas de primeira ordem, todas as quantidades em
(3.5) sao perturbadas de forma linear. Assim, pode-se escrever as componentes nao nulas de
37
hµν como
htt = −2e2νδν, htϕ = r2δq0,
hrr = 2e−2νδµ2, hrϕ = r2δq2,
hzz = 2r2δµ3, hzϕ = r2δq3,
hϕϕ = 2r2δψ.
(3.7)
As demais componentes de hµν sao feitas zero por uma escolha apropriada do gauge. Alem
disso, como no espaco-tempo de fundo q0 = q2 = q3 = 0, por simplicidade, e possıvel renomear
as quantidade em (3.7) de modo que δq0 = q0, δq2 = q2 e δq3 = q3.
As perturbacoes metricas q0, q2 e q3 possuem paridade ımpar frente a troca de ϕ por
−ϕ e por este motivo sao chamadas de perturbacoes axiais (ou ımpares). Em contrapartida,
as perturbacoes δν, δµ2, δµ3 e δψ representam perturbacoes pares frente a inversao anterior.
Dessa forma, estas quantidades sao chamadas de pertubacoes polares (ou pares). Pertubacoes
polares e axiais sao independentes entre si, de modo que e possıvel estudar cada uma delas
isoladamente. Do ponto de vista da teoria de grupos, estas duas classes de perturbacoes sao
representacoes irredutıveis distintas frente ao grupo de translacoes Euclidianas sobre o plano
que contem a brana negra. Neste caso, as perturbacoes polares e axiais estao ligadas aos
setores escalar e vetorial da decomposicao das pertubacoes, respectivamente.
As equacoes para as perturbacoes metricas aqui descrita sao obtidas por linearizacao
das equacoes de Einstein para a metrica (3.5) apos sua perturbacao. O conjunto de equacoes
nao nulas e independentes e apresentado a seguir:
1
2
[Q32,3 − r2e−2νQ02,0
]=
(1
r+ ν,2
)δµ2,1 +
(1
r− ν,2
)δν,1 − (δν + δµ3),21 [δR(1)(2) = 0];
(3.8)
Q23,2 + 2
(1
r+ ν,2
)Q23 − e−4νQ03,0 = −2
1
r2e−2ν(δµ2 + δν),13 [δR(1)(3) = 0]; (3.9)
[∂r +
(1
r− ν,2
)](δψ + δµ3),0 −
2
rδµ2,0 = −
(1
r− ν,2
)q0,1 − q2,10 +
1
2Q20,1 [δR(0)(2) = 0];
(3.10)
(δψ + δµ2),30 = −q3,10 +1
2Q30,1 [δR(0)(3) = 0]; (3.11)
(δψ + δν,2),32 −(
1
r− ν,2
)δν,3 −
(1
r+ ν,2
)δµ2,3 = −q2,31 +
1
2Q23,1 [δR(2)(3) = 0]; (3.12)
38[e−4ν∂t∂t −
(1
r+ ν,2
)∂r
](δψ + δµ3)− 2
rδν,2 −
1
r2e−2ν(δψ + δν),33 +
2
r
(1
r+ 2ν,2
)δµ2
=1
r2e−2ν [q3,13 + (δµ3 + δν),11] +
(1
r+ ν,2
)q2,1 − e−4νq0,10 [δG(2)(2) = 0];
(3.13)
onde as componentes das perturbacoes acima foram projetas numa base tetrada apropriada
[29] e as quantidades QA,B sao definidas da seguinte maneira
QA,B = qA,B − qB,A (A,B = 0, 2, 3). (3.14)
As equacoes (3.8)-(3.13) representam um conjunto acoplado de equacoes para as per-
turbacoes axiais e polares. Uma maneira de desacoplar esse sistema de equacoes e limitar
a analise somente ao conjunto de pertubacoes que independem da coordenada ϕ. Para este
caso, as equacoes se separam em termos de quantidades puramente axiais
Q32,3 − r2e−2νQ02,0 = 0,
Q23,2 + 2(
1r
+ ν,2)Q23 − e−4νQ03,0 = 0
(3.15)
e, puramente polares
[∂r + (r−1 − ν,2)](δψ + δµ3),0 − 2r−1δµ2,0 = 0,
(δψ + δµ2),30 = 0,
(δψ + δν,2),32 − (r−1 − ν,2)δν,3 − (r−1 + ν,2)δµ2,3 = 0,
[e−4ν∂t∂t − (r−1 + ν,2)∂r] (δψ + δµ3)− 2r−1δν,2
−r−2e−2ν(δψ + δν),33 + 2r−1(r−1 + 2δν,2)δµ2 = 0,
(3.16)
permitindo um estudo independente de cada setor. Esta forma de estudar as perturbacoes,
como foi dito, possui um gauge fixo de modo que perturbacoes polares se apresentam apenas
na diagonal principal da matriz de perturbacao. Por este motivo muitas vezes este metodo
desenvolvido por Chandrasekhar e conhecido como: ‘O gauge diagonal de Chandrasekhar’
3.2.1 Pertubacoes axiais
No estudo dessa classe de pertubacoes, faz-se uso das equacoes (3.15) para as quanti-
dades q0, q2 e q3. Essas equacoes podem ser reescritas da seguinte maneira
(e2νr2Q23),3 = −r4Q02,0 e (e2νr2Q23),2 = r2e−2νQ03,0, (3.17)
39
ou, ainda levando em conta que e2ν = ∆/r2, e possıvel reescrever a expressao acima como
(∆Q23),3 = −r4Q02,0 e(∆Q23),2 =r4
∆Q03,0. (3.18)
Definindo uma funcao Q(t, r, z) ≡ ∆Q23 = ∆(q2,3 − q3,2), obtem-se
1
r4
∂Q
∂z= −Q02,0 = −(q0,2 − q2,0),,0 (3.19)
e∆
r4
∂Q
∂r= Q03,0 = (q0,3 − q3,0),0. (3.20)
Derivando (3.19) com respeito a z e (3.20) com respeito a r e, em seguida, somando as equacoes
resultantes, encontra-se a seguinte equacao diferencial de segunda ordem
r4 ∂
∂r
(∆
r4
∂Q
∂r
)− r4
∆
∂2Q
∂t2= −∂
2Q
∂z2(3.21)
Como o espaco-tempo de fundo e estatico e simetrico frente a troca z → −z, se pode
induz diretamente que as perturbacoes devem depender de t e z da seguinte maneira: ei(kz−ωt).
Onde o valor de k pode ser discreto ou contınuo a depender da topologia do espaco-tempo de
fundo. Para buracos negros plano-simetricos este assumira valores de forma contınua. Tendo
posse destas informacoes, se pode separar as variaveis da funcao Q(t, r, z) da seguinte maneira
Q(t, r, z) = Q(r)ei(kz−ωt). (3.22)
Neste caso, a equacao (3.21) pode ser colocada na forma
∆d
dr
(∆
r4
dQ
dr
)− k2 ∆
r4Q+ ω2Q = 0 (3.23)
Finalmente, trocando a coordena radial r pela coordena tartaruga r∗ definida como
r∗ =
∫r2
∆dr =
`2
6rh
[ln
∣∣∣∣ (r − rh)2
r2 + rhr + r2h
∣∣∣∣+ 2√
3tg −1
(2r + rh√
3rh
)], (3.24)
e introduzindo uma nova funcao Z(−)(r), tal que
Z(−)(r) =1
rQ(r), (3.25)
pode-se escrever a equacao (3.23) na forma de uma equacao de onda unidimensional tipo
40
Schrodinger (d2
dr2∗
+ ω2
)Z(−) = V (−)Z(−) (3.26)
onde o potencial V (−) e dado por
V (−) =∆
r5(k2r − 6M). (3.27)
Futuramente sera conveniente tambem utilizar um conjunto de operadores Λ+, Λ− e
Λ2, definidos do seguinte modo
Λ± =d
dr∗± iω e Λ2 = Λ+Λ− = Λ−Λ+ =
d2
dr2∗
+ ω2. (3.28)
Reescrevendo (3.26) em termos destes operadores se obtem
Λ2Z(−) = V (−)Z(−). (3.29)
Desse modo, as funcoes que descrevem a parte radial das perturbacoes axiais podem ser
escritas em termos de uma unica funcao que obedece uma equacao de onda tipo Schrodinger.
E importante ressaltar que a funcao Z(−) e uma quantidade invariante de gauge e, portanto,
representa uma quantidade fısica associada as perturbacoes.
3.2.2 Perturbacoes polares
As funcoes δν, δµ2, δµ3 e δψ caracterizam as pertubacoes polares. Pelo mesmo motivo
discutido no caso axial, considera-se que estas quantidades possuem uma dependencia do tipo
ei(kz−ωt) nas coordenadas t e z. Portanto, pode-se propor que
δν = N(r)ei(kz−ωt), δµ2 = L(r)ei(kz−ωt),
δµ3 = T (r)ei(kz−ωt), δψ = V (r)ei(kz−ωt).
(3.30)
com base na equacao acima, conclui-se que as equacoes de campo linearizadas (3.16) assumem
a seguinte forma:
[d
dr+
(1
r− ν,r
)](V + T )− 2
rL = 0; (3.31)
V + L = 0; (3.32)
d
dr(V +N)−
(1
r− ν,r
)N −
(1
r+ ν,r
)L = 0; (3.33)
41[e−4νω2 +
(1
r+ ν,r
)d
dr
](V + T ) +
2
rN,r
−2
r
(1
r+ 2ν,r
)L− k2 e
−2ν
r2(V +N) = 0.
(3.34)
Por (3.32) se tira que L = −V . Desse modo se pode reescrever as equacoes remanescentes
como segue:
T,r + V,r +
(1
r− ν,r
)T +
(3
r− ν,r
)V = 0; (3.35)
N,r + V,r −(
1
r− ν,r
)N +
(1
r+ ν,r
)V = 0; (3.36)
(1
r+ ν,r
)(T,r + V,r) +
2
rN,r + e−4νω2(T + V )
−k2 e−2ν
r2(N + V ) +
2
r
(1
r+ 2ν,r
)V = 0.
(3.37)
E possıvel de maneira similar ao caso axial trocar as equacoes de primeira ordem (3.35)-(3.37)
para N , L e T por uma unica equacao de onda tipo Schrodinger. Desse modo, a funcao Z(+),
definida como1
Z(+)(r) =
(3Mr
rk2 + 6M
)[(rk2 + 3M
3M
)V (r)− T (r)
](3.38)
obedece a equacao de onda unidimensional
(d2
dr2∗
+ ω2
)Z(+) = V (+)Z(+), (3.39)
cujo potencial V (+) e dado por
V (+) =∆
r5
[72M3`2 + 6k4M`2r2 + k6`2r3 + 36M2r(`2k2 + 2r2)
`2(rk2 + 6M)2
]. (3.40)
A equacao de onda (3.39) e escrita em termos do operador Λ2 da seguinte maneira
Λ2Z(+) = V (+)Z(+). (3.41)
Assim como no caso Axial, Z(+) tambem e uma quantidade invariante de gauge.
Em resumo, nessa secao foram apresentados as equacoes que descrevem as pertubacoes
metricas em termos de funcoes que satisfazem equacoes de onda tipo Schrodinger. As frequen-
cias dos modos quase normais para estas equacoes para condicoes de contorno adequadas sao
1A equacao (3.38) difere por uma constante multiplicativa de −3M da apresentada em [29]. Esta constantefoi adicionada apenas com o objetivo de apresentar de forma homogenea os resultados da analise do significadofısico das perturbacoes com numero de onda nao-zero e os com numero de onda zero
42
bem conhecidas na literatura [30–32] e nao sao o foco deste trabalho. Vale ressaltar tambem
que os resultados apresentados ate entao sao limitados apenas as perturbacoes axissimetricas.
Na proxima secao, e realizada a analise que inclui as perturbacoes nao-axissimetricas.
3.3 Perturbacoes via formalismo de Newman-Penrose
Numa forma diferente, porem totalmente equivalente de tratar as perturbacoes metri-
cas, utiliza-se o formalismo de Newman-Penrose [9]. Nesse formalismo perturbacoes metricas
sao equivalentes a perturbacoes nos vetores nulos que compoem a base tetrada. Estas pertur-
bacoes nos vetores nulos l, n, m e m levam a alteracoes de primeira ordem nos escalares de
Weyl e de Ricci, bem como nos coeficientes de spin. O conjunto completo para as quantidades
perturbadas e obtido por linearizacao das equacoes do formalismo de Newman-Penrose sobre
o espaco-tempo de fundo.
Ao longo dessa secao, considera-se que as perturbacoes possuem uma dependencia nas
coordenadas t, ϕ e z do tipo
ei(mϕ+kz−ωt), (3.42)
onde ω e a frequencia angular e m e k sao constantes que podem assumir valores discretos
ou contınuos, dependendo se ϕ e z sao coordenadas compactas ou nao, respectivamente. Os
vetores da base nao perturbada
l = 1∆
(r2∂t + ∆∂r), n = 12r2
(r2∂t −∆∂r),
m = 1√2r
(∂z + i∂ϕ) e m = 1√2r
(∂z − i∂ϕ)
(3.43)
quando atuam sobre funcoes que dependem de (t, r, ϕ, z), assumem a forma
D = D0, 4 = − ∆
2r2D†0 , δ =
i√2rp e δ∗ =
i√2rp∗, (3.44)
onde
Dn = ∂r −iωr2
∆+ 2n
(r3 −M`2)
`2∆, D†n = ∂r +
iωr2
∆+ 2n
(r3 −M`2)
`2∆, (3.45)
e a constante p e dada por
p = k + im. (3.46)
Nao e difıcil verificar que os operadores Dn e D†n satisfazem as seguintes propriedades
(Dn)∗ = D†n e Dn∆ = ∆Dn+1 . (3.47)
43
Ao considerar o espaco-tempo de fundo, os vetores contravariantes para a base nula
sao dadas por
lµ =(lt, lr, lz, lϕ) =1
∆(r2,∆, 0, 0);
nµ =(nt, nr, nz, nϕ) =1
2r2(r2,−∆, 0, 0);
mµ =(mt,mr,mz,mϕ) =1√2r
(0, 0, 1, i),
(3.48)
e seus correspondentes vetores covariantes sao:
lµ =(−1, r2/∆, 0, 0);
nµ =1
2r2(−∆,−r2, 0, 0);
mµ =1√2r
(0, 0, r2, ir2).
(3.49)
No formalismo de Newman-Penrose [9], os coeficientes de rotacao de Ricci, definidos
como γ(a)(b)(c) = e µ(a) e(b)µ;ν e
ν(c), se reduzem a 12 quantidades complexas, chamadas de coeficien-
tes de spin:
−κ = γmll = lµ;νmµlν , −ρ = γmlm = lµ;νm
µmν ,
−σ = γmlm = lµ;νmµmν , −µ = γnmm = mµ;νn
µmν ,
−λ = γnmm = mµ;νnµmν , −τ = γmln = lµ;νm
µnν ,
−ν = γnmn = mµ;νnµnν , −π = γnml = mµ;νn
µlν ,
−ε = 12
[γnll + γmml] = 12[lµ;νn
µlν + mµ;νmµlν ],
−γ = 12
[γnln + γmmn] = 12[lµ;νn
µnν + mµ;νmµnν ],
−α = 12
[γnlm + γmmm] = 12[lµ;νn
µmν + mµ;νmµmν ],
−β = 12
[γnlm + γmmm] = 12[lµ;νn
µmν + mµ;νmµmν ].
(3.50)
A interpretacao geometrica destes coeficientes e fornecida no apendice C. Para o espaco-tempo
de fundo, obtem-se que os coeficientes de spin sao:
κ =σ = λ = ν = ε = π = τ = α = β = 0;
ρ =− 1
r, µ = −1
2
(r
`2− 2M
r2
), γ =
1
2
(r
`2+M
r2
).
(3.51)
Uma vez que κ, σ, λ e ν sao todos iguais a zero, quaisquer congruencias de geodesicas nulas
serao livres de cisalhamento e pelo teorema de Goldberg-Sachs, tem-se que Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 =
44
Ψ4 = 0. O unico escalar de Weyl nao-zero e, portanto, Ψ2 que e dado por
Ψ2 = −Mr3. (3.52)
Desse modo, se conclui que o espaco-tempo de fundo representa um espaco-tempo Pe-
trov tipo D. Como foi apresentado no Capıtulo 2, em espacos-tempo Petrov tipo D a interacao
gravitacional e puramente do tipo Coulombiana e ondas gravitacionais nao sao detectadas.
3.3.1 Reducao das Equacoes Linearizadas
No formalismo de Newman-Penrose, existem seis equacoes lineares e homogeneas que
se anulam para para o espaco-tempo de fundo. Neste caso, estas equacoes representam apenas
termos de primeira ordem para o espaco-tempo fısico. Tais equacoes sao formadas por quatro
identidades de Bianchi e duas identidades de Ricci [9] que podem ser agrupadas em dois
conjuntos de equacoes desacopladas:
(δ∗ − 4α + π)Ψ0 − (D − 2ε− 4ρ)Ψ1 = 3κΨ2;
(4− 4γ + µ)Ψ0 − (δ − 4τ − 2β)Ψ1 = 3σΨ2;
(D − ρ− ρ∗ − 3ε+ ε∗)σ − (δ − τ + π∗ − α∗ − 3β)κ = Ψ0
(3.53)
e
(D + 4ε− ρ)Ψ4 − (δ∗ + 4π + 2α)Ψ3 = −3λΨ2;
(δ + 4β − τ)Ψ4 − (4+ 2γ + 4µ)Ψ3 = −3νΨ2;
(4+ µ+ µ∗ + 3γ − γ∗)λ− (δ∗ + 3α + β∗ + π − τ ∗)ν = −Ψ4.
(3.54)
As equacoes (3.53) e (3.54) representam as perturbacoes linearizadas no formalismo de Newman-
Penrose. O objetivo desta subsecao e reduzir estas seis equacoes a um numero ainda menor
de equacoes totalmente desacopladas.
Para o estudo em questao se considera que as funcoes do formalismo possuem depen-
dencia em t, ϕ e z do tipo proposto na equacao (3.42). Desse modo, pode-se reescrever as
equacoes acima como segue
i√2rp ∗Ψ0 −
(D0 +
4
r
)Ψ1 = −3M
r3κ;
− ∆
2r2
(D†0 + 4
(r3 −M`2)
`2∆− 3
r
)Ψ0 −
i√2rpΨ1 = −3M
r3σ;
(D0 +
2
r
)σ − i√
2rpκ = Ψ0;
(3.55)
45
e (D0 +
1
r
)Ψ4 −
i√2rp ∗Ψ3 =
3M
r3λ;
i√2rpΨ4 +
∆
2r2
(D†0 − 2
(r3 −M`2)
`2∆+
6
r
)Ψ3 =
3M
r3ν;
− ∆
2r2
(D†0 − 2
(r3 −M`2)
`2∆+
4
r
)λ− i√
2rp ∗ν = −Ψ4.
(3.56)
E possıvel escrever estas equacoes de uma forma mais simples e simetrica, introduzindo novas
variaveis definidas como
Φ0 = Ψ0, Φ1 =√
2rΨ1, K =κ√2r2
, S =σ
r,
Φ3 =r3
√2
Ψ3, Φ4 = r4Ψ4, L =1
2rλ, N =
r2
√2ν.
(3.57)
Por meio dessas definicoes, pode-se escrever as equacoes (3.55)-(3.56) na forma
ip ∗Φ0 −(
D0 +3
r
)Φ1 = −6MK; (3.58)
∆
(D†2 −
3
r
)Φ0 + ip ∗Φ1 = 6MS; (3.59)
(D0 +
3
r
)S − ipK =
Φ0
r; (3.60)
(D0 −
3
r
)Φ4 − ip ∗Φ3 = 6ML; (3.61)
ipΦ4 + ∆
(D†−1 +
3
r
)Φ3 = 6MN ; (3.62)
∆
(D†−1 +
3
r
)L+ ip ∗N =
Φ4
r(3.63)
Nestas equacoes, e possıvel eliminar o escalar Φ1 em (3.58) e (3.59), multiplicando a
primeira por ip, e ao mesmo tempo, aplicando (D0 + 3/r) na segunda. Somando as equacoes
resultantes se obtem
(D0 +
3
r
)∆
(D†2 −
3
r
)Φ0 − |p|2Φ0 = 6M
[(D0 +
3
r
)S − ipK
]. (3.64)
Substituindo a equacao (3.60) em (3.64) se obtem
(D0 +
3
r
)∆
(D†2 −
3
r
)Φ0 − p2Φ0 =
6M
rΦ0, (3.65)
46
onde, de agora em diante, adota-se p2 = |p|2 = k2 +m2.
De modo analogo, aplicando ip ∗ e ∆(D†−1 + 3/r) as equacoes (3.61) e (3.62), respecti-
vamente, e somando as equacoes obtidas, chega-se a seguinte expressao
∆
(D†−1 +
3
r
)(D0 −
3
r
)Φ4 − p2Φ4 = 6M
[∆
(D†−1 +
3
r
)L+ ip ∗N
]. (3.66)
Substituindo entao a equacao (3.63) em (3.66) se conclui que
∆
(D†−1 +
3
r
)(D0 −
3
r
)Φ4 − p2Φ4 =
6M
rΦ4 . (3.67)
Tendo como base as definicoes dos operadores Dn e D†n e suas respectivas propriedades
(equacoes (3.45)-(3.47)), e facil verificar que
(D0 +
3
r
)∆
(D†2 −
3
r
)− 6M
r= ∆D1D
†2 + 6iωr (3.68)
e
∆
(D†−1 +
3
r
)(D0 −
3
r
)− 6M
r= ∆D†−1D0 − 6iωr . (3.69)
Desse modo, as equacoes (3.66) e (3.67) assumem a forma
[∆D1D†2 + 6iωr]Φ0 = p2Φ0, (3.70)
[∆D†−1D0 − 6iωr]Φ4 = p2Φ4. (3.71)
Alem disso, ao multiplicar a equacao (3.70) por ∆2 e novamente utilizar as propriedades
apresentadas em (3.47), chega-se a seguinte expressao:
[∆D−1D†0 + 6iωr]∆2Φ0 = p2∆2Φ0, (3.72)
onde o termo entre colchetes e exatamente o complexo conjugado do termo entre colchetes na
equacao (3.71).
Por ultimo, e possıvel escrever as equacoes (3.71)-(3.72) em termos dos operadores Λ+,
Λ− e Λ2 definidos em (3.28). Para este proposito, deve-se levar em consideracao primeiro que
D0 =r2
∆Λ− e D†0 =
r2
∆Λ+, (3.73)
47
onde
Λ± =d
dr∗± iω e
d
dr∗=
∆
r2
d
dr. (3.74)
Assim, pode-se verificar que
∆D−1D†0 = ∆2D0
1
∆D†0 = ∆r2Λ−
(r2
∆Λ+
). (3.75)
Em seguida, ao substituir a equacao anterior em (3.72) e, definir uma nova funcao por
Y+2 = r−3∆2Φ0, (3.76)
e possıvel reescreve-la da seguinte maneira
Λ−
[r2
∆2Λ+(r3Y+2)
]+ 6iω
r2
∆Y+2 = p2 r
∆Y+2. (3.77)
Apos algumas manipulacoes, finalmente se obtem a seguinte equacao diferencial
Λ2Y+2 + PΛ+Y+2 −QY+2 = 0, (3.78)
onde
P =d
dr∗ln
(r8
∆2
)= −12M
r2(3.79)
e
Q =∆
r5(p2r + 6M). (3.80)
Repetindo o mesmo procedimento para a equacao (3.71), pode-se reescreve-la como
segue
Λ2Y−2 + PΛ−Y−2 −QY−2 = 0, (3.81)
onde Y−2 = 4r−3Φ4.
Assim, a revisao sobre perturbacoes gravitacionais esta completa. Este capıtulo teve
como foco principal apresentar as duas diferentes formas de abordar o problema. Basicamente,
para perturbacoes metricas via linearizacao das equacoes de Einstein, obteve-se duas equacoes
de onda tipo Schrodinger, equacoes (3.26) e (3.39), limitadas as perturbacoes axissimetricas.
Por outro lado, ao tratar as perturbacoes via linearizacao das equacoes do formalismo de
Newman-Penrose foi possıvel obter tambem duas equacoes, (3.78) e (3.81), que abrangem
tambem perturbacoes nao-axissimetricas. Ambas as teorias levam a resultados identicos. Em
48
[29] e apresentado como que as equacoes obtidas via linearizacao do formalismo de Newman-
Penrose sao mapeadas nas equacoes de onda obtidas na teoria linearizada para perturbacoes
de branas negras.
49
4 A INTERPRETACAO FISICA DAS PERTURBACOES
Neste capıtulo, a interpretacao fısica das perturbacoes gravitacionais de branas negras
AdS e investigada. Para isto, serao calculadas as perturbacoes nos escalares de Weyl a partir
das perturbacoes nas varias componentes do tensor de Weyl. Logo em seguida, estes resul-
tados serao escritos em termos das quantidades fısicas Z(+) e Z(−), que foram introduzidas
no capıtulo 3 para perturbacoes axissimetricas. Com o intuito de apresentar de uma forma
clara os resultados obtidos, este capıtulo sera dividido da seguinte maneira. Na primeira secao
sera feita uma revisao da teoria de perturbacoes metricas para o caso em que as perturbacoes
possuem numero de onda zero, k = 0. Esta revisao e realizada separadamente do caso geral
estudado no capıtulo 3 porque, neste caso particular, surgem liberdades de gauge adicionais
que devem ser verificadas com maior cautela. Tal revisao esta baseada nos trabalhos [33] e [23]
que utiliza o metodo de perturbacoes metricas de Chandrasekhar descrito anteriormente. Na
secao seguinte, sera apresentada as equacoes que descrevem as perturbacoes nos varios esca-
lares de Weyl em termos das perturbacoes do tensor de Weyl para um espaco-tempo Petrov
tipo D. Adicionalmente, sera realizada uma analise da liberdade que se tem de realizar trans-
formacoes infinitesimais na tetrada e como que as perturbacoes nos escalares se comportam
frente a tais transformacoes. Na ultima secao, serao apresentados, finalmente, os escalares de
Weyl para perturbacoes cujo numero de onda e nao-zero. Tendo posse entao da interpretacao
dos escalares obtida no capıtulo 2, sera extraıdo o significado das perturbacoes gravitacionais.
Por ultimo, sera retomado o caso k = 0 para esclarecer qual o seu real significado fısico.
4.1 Perturbacoes gravitacionais com numero de onda zero
Quando se trata de perturbacoes com numero de onda zero ao longo das direcoes
paralelas a brana negra, surgem liberdades de gauge adicionais aquelas ja usadas no capıtulo
anterior. Por essa razao, e necessario avaliar esse caso com mais cuidado. Ao longo dessa secao
serao explorados esses graus de modo a obter uma analise clara dessa classe de perturbacoes.
4.1.1 Pertubacoes axiais
Como ja foi apresentado, perturbacoes axiais sao descritas pelas quantidades q0, q2 e q3.
Alem disso, pela liberdade de gauge, as perturbacoes no setor axial apos uma transformacao
50
infinitesimal nas coordenas sao dadas por:
h(1)
tϕ = q0r2 − ξϕ,t;
h(1)rϕ = q2r
2 − ξϕ,r + 2r−1ξϕ;
h(1)zϕ = q3r
2 − ξϕ,z;
(4.1)
onde o numero entre parentes indica o novo gauge. Todas as demais perturbacoes para este
setor permanecem nulas e ξϕ e a componente ϕ do vetor associado com as transformacoes
infinitesimais de coordenadas. Em geral, ξϕ = ξϕ(t, r, ϕ, z), porem para o caso k = 0 esta
quantidade tera dependencia somente em (t, r). Escolhendo entao ξϕ(t, r) de modo a anular
a componente hzϕ, a equacao (4.1) se reduzira a apenas:
h(1)
tϕ = q0r2 − ξϕ,t;
h(1)rϕ = q2r
2 − r2(r−2ξϕ),r.(4.2)
Se for escolhido um novo gauge em que ξϕ,t = q0r2 entao, tem-se que h(2)
tϕ = 0 e as equacoes
de campo para pertubacoes axiais (equacao (3.15)) se reduzirao simplesmente a
q2,00 = 0, e (r4q2,0),2 = 0. (4.3)
Ao integrar a primeira equacao se obtem q2(t, r) = f(r)t+ g(r). Ao substituir esta expressao
na segunda equacao se obtem que f(r) = −3J/r4. Se for realizada uma terceira transformacao
de gauge de modo a tornar zero h(3)rϕ, a unica perturbacao nao nula sera dada por
h(3)
tϕ = −Jr. (4.4)
Consequentemente, a metrica do espaco-tempo fısico assume a forma
ds2 = −f(r)dt2 + f(r)dr2 − 2J
rdϕdt+ r2(dϕ2 + dz2). (4.5)
O elemento de linha (4.5) representa uma solucao de brana negra AdS com rotacao lenta
se o buraco negro for topologicamente cilındrico ou toroidal. Para o caso em que o buraco
negro tem topologia plana sempre e possıvel realizar uma transformacao de coordenadas
infinitesimais que recupere a solucao nao-perturbada (3.1) [34].
51
4.1.2 Perturbacoes polares
Em geral, as perturbacoes metricas de branas negras para o setor polar possuem as
seguintes componentes nao nulas:
h(1)
tt = −2e2νδν − 2ξt,t + 2e4νν,rξr; (4.6)
h(1)
rr = 2e−2νδµ2 − 2ξr,r − 2ν,rξr; (4.7)
h(1)
zz = 2r2δµ3 − 2re2νξr; (4.8)
h(1)
ϕϕ = 2r2δψ − 2re2νξr; (4.9)
h(1)
rt = −ξt,r − ξr,t + 2ν,rξt; (4.10)
h(1)
tz = −ξt,z − ξr,z; (4.11)
h(1)
rz = −ξr,z − ξz,r + 2r−1ξz. (4.12)
Porem tomando o caso em que as perturbacoes possuem numero de onda k = 0, todas
as quantidades se tornam independentes das coordenadas (ϕ, z) e o vetor associado com
as transformacoes de gauge devera ter uma dependencia do tipo ξµ = (ξt(t, r), ξr(t, r), 0, 0).
Portanto, para perturbacoes polares com numero de onda zero as componentes htz e hrz
deverao permanecer nulas. E possıvel entao escolher a componente ξr(t, r) de modo a anular
a soma h(1)zz + h(1)
ϕϕ. Esta escolha acarretara em δµ3 = −δψ. Por ultimo, pode-se utilizar a
liberdade na escolha da componente ξt(t, r) de modo a tornar zero a componente h(1)
rt . A partir
destas condicoes, as equacoes de Einstein: δGtz = 0, δGrr = 0 e δGzz + δGϕϕ = 0 levarao as
seguintes equacoes para as quantidades δµ2 e δν:
δµ2,t = 0, δν,r −(
1
r+ 2ν,r
)δµ2 = 0,
δµ2,r − δν,r + 2
(1
r+ 2ν,r
)δµ2 = 0.
(4.13)
A solucao geral para essas equacoes sao
δµ2 =`2
r3 − 2M`2δM, δν = −δµ2 + h(t), (4.14)
onde δM e uma constante de integracao e h(t) e uma funcao que pode ser eliminada por
intermedio de uma redefinicao da coordenada temporal. Por ultimo, levando estes resultados
52
na componente δGϕϕ = 0 se obter a seguinte equacao diferencial para a perturbacao δψ:
e2νδψ,rr + 2e2ν
(1
r+ ν,r
)− e−2νδψ,tt = 0, (4.15)
ou em termos da funcao Z(+) = rδψ se pode escrever a equacao (4.15) como
Λ2Z(+) = V (+)Z(+), (4.16)
onde Λ2 o operador diferencial definido em (3.28) e V (+) e dado por
V (+) =2∆
`2r5(r3 +M`2). (4.17)
A uniao desses resultados permite escrever o elemento de linha para o espaco-tempo
fısico da seguinte maneira
ds2 = −(r2
`2− 2
M + δM
r
)dt2 +
(r2
`2− 2
M + δM
r
)−1
dr2 + r2(e2δψdϕ2 + e−2δψdz2). (4.18)
Se pode concluir diretamente da metrica acima que δM representa um pequeno incremento
no parametro de massa do sistema. A princıpio, como δψ e uma funcao que depende do
tempo e da coordenada radial, se pode deduzir que solucao (4.18) devera representar uma
solucao com ondas gravitacionais se propagando radialmente. Para verificar a veracidade
desta afirmacao, o proximo passo deve ser obter os escalares de Weyl e, com isto, extrair o
verdadeiro significado fısico desta classe de perturbacoes.
4.2 Pertubacoes de um espaco-tempo Petrov tipo D
Nesta secao, sao apresentadas as equacoes para as perturbacoes nos escalares de Weyl
em termos das pertubacoes nas varias componentes do tensor de Weyl. Estas expressoes
serao obtidas para o caso em que o espaco-tempo de fundo e Petrov tipo D com Ψ2 real. Esta
escolha representa exatamente o espaco-tempo de fundo de interesse deste trabalho.
Ao longo de todo o capıtulo sera utilizado o sımbolo δ para representar quantidades
perturbadas. Desse modo, a partir da definicao do escalar Ψ0 em (2.51) se pode escrever sua
perturbacao da seguinte forma:
δΨ0 =δCµνρσlµmνlρmσ + Cµνρσδl
µmνlρmσ + Cµνρσlµδmνlρmσ
+ Cµνρσlµmνδlρmσ + Cµνρσl
µmνlρδmσ,(4.19)
53
ou ainda, utilizando as propriedades de simetria do tensor de Weyl e possıvel escrever
δΨ0 = δCµνρσlµmνlρmσ + 2Cµνρσδl
µmνlρmσ + 2Cµνρσlµδmνlρmσ. (4.20)
As perturbacoes δlµ e δmµ, bem como δnµ e δmµ, podem ser projetas sob a base tetrada
nula, porem como estas quantidades ja sao quantidades perturbadas, tal projecao precisa ser
efetuada sobre os vetores do espaco-tempo de fundo. Utilizando as propriedades dos vetores
da tetrada, pode-se mostrar que
δlµ = −δl(2)lµ − δl(1)nµ + δl(4)mµ + δl(3)m
µ,
δnµ = −δn(2)lµ − δn(1)n
µ + δn(4)mµ + δn(3)m
µ,
δmµ = −δm(2)lµ − δm(1)n
µ + δm(4)mµ + δm(3)m
µ,
δmµ = −δm(2)lµ − δm(1)n
µ + δm(4)mµ + δm(3)m
µ,
(4.21)
onde, nesta notacao, um vetor δA(a) = δAµe(a)µ e, adota-se a seguinte convencao para os
vetores nulos: e(1) = l, e(2) = n, e(3) = m e e(4) = m.
Levando entao δlµ e δmµ na equacao (4.20) e, em seguida, for levando em conta a
definicao dos escalares de Weyl, se pode inferir que δΨ0 toma a forma:
δΨ0 = δCµνρσlµmνlρmσ + (δm(4) − δl(2))Ψ0 + (δm(3) − δl(1))Ψ1. (4.22)
Os escalares Ψ0 e Ψ1 apresentados acima sao os escalares do espaco-tempo de fundo. Porem,
como ja foi mencionado anteriormente, o interesse deste trabalho e tratar perturbacoes gra-
vitacionais em espacos-tempo tipo D. Logo o unico escalar diferente de zero e Ψ2. Por esta
razao a equacao (4.22) se reduz a
δΨ0 = δCµνρσlµmνlρmσ. (4.23)
Procedendo da mesma forma para demais perturbacoes, obtem-se o seguinte conjunto
54
de expressoes
δΨ0 = δCµνρσlµmνlρmσ,
δΨ1 = c1Ψ2 + δCµνρσlµnνlρmσ,
δΨ2 = c2Ψ2 + δCµνρσlµmνmρnσ,
δΨ3 = c3Ψ2 + δCµνρσlµnνmρnσ,
δΨ4 = δCµνρσnµmνnρmσ,
(4.24)
onde
c1 =mµδlµ − 2lµδm
µ,
c2 =− nµδlµ − lµδnµ +mµδmµ + mµδm
µ,
c3 =mµδnµ − 2nµδm
µ.
(4.25)
Os resultados apresentados acima tambem sao encontrados em [35]. Alem disso, se a metrica
geral (2.47) for perturbada, nao e difıcil verificar que c2 = 12gµνhµν . Expressando c2 dessa
forma, fica claro que o valor de δΨ2 dependera do gauge escolhido, uma vez que, hµν e uma
quantidade que depende de gauge.
Adicionalmente, a partir do tratamento das transformacoes de tetrada discutido no
apendice B e possıvel investigar qual o efeito de transformacoes infinitesimais na tetrada sobre
as varias perturbacoes nos escalares de Weyl. Basicamente, todas as rotacoes infinitesimais
de classe I, levam a uma invariancia nas perturbacoes dos escalares, com excecao de δΨ3, que
se transforma como: δΨ3 → δΨ3 + 3a∗Ψ2. Assim, escolhendo o parametro de rotacao
a∗ = −δΨ3
3Ψ2
,
e possıvel orientar a tetrada de modo a anular a δΨ3. Por outro lado, numa rotacao classe
II, todos os escalares perturbados sao invariantes, com excecao de δΨ1 que e submetido a
seguinte lei de transformacao: δΨ1 → δΨ3 + 3bΨ2. Portanto, tomando
b = −δΨ1
3Ψ2
,
anula-se tambem a componente δΨ1 das pertubacoes.
Desse modo, as unicas perturbacoes nos escalares de Weyl que carregam um significado
fısico sao δΨ0, δΨ4 e δΨ2. Porem, somente δΨ0 e δΨ4 podem ser escritos puramente em termos
55
de quantidades independentes de gauge.
4.3 Interpretacoes fısicas das perturbacoes
Nesta secao, e apresentada a interpretacao fısica das perturbacoes gravitacionais de
branas negras em espacos-tempo assintoticamente anti-de Sitter a partir do calculo dos esca-
lares de Weyl. Inicialmente, sera tratado o caso geral em que as perturbacoes possuem numero
de onda nao-zero. Logo apos, retorna-se ao caso das perturbacoes com numero de onda zero,
tratado em detalhes na secao 4.1 para, finalmente, extrair o seu real significado fısico. Para o
calculo dos escalares de Weyl perturbados em termos das perturbacoes metricas, utilizou-se
uma adaptacao de um algoritmo disponibilizado por [36] para o software Mathematica.
4.3.1 Perturbacoes com numero de onda nao-zero
E possıvel mostrar que as perturbacoes polares e axiais se separam nas partes reais e
imaginarias em todas as pertubacoes dos escalares (4.24), respectivamente. Se por exemplo,
for considerado o escalar δΨ0, ao escrever explicitamente o somatorio e, em seguida for usada
a equacao (3.48), obtem-se que
δΨ0 =e−2ν
2r2
[e−2νδC0202 + e2νδC1212 + 2δC0212 − e−2νδC0303 − e2νδC1313 − 2δC0313
]+ie−2ν
2r2
[2e−2νδC0203 + e2νδC1213 + δC0213 + δC0312
],
(4.26)
onde e feita a identificacao (t, r, z, ϕ) = (x0, x1, x2, x3). Observe entao que o ındice 3 se repete
em quantidades ımpares em todos os termos da parte imaginaria de δΨ0, isso significa que tal
parte e ımpar (axial) frente a troca ϕ → −ϕ. Por outro lado, na parte real, o ındice 3 nao
aparece ou, aparece em quantidade pares de vezes, de modo que, a parte real de δΨ0 e par
(polar) frente a mesma troca em ϕ. Procedendo de forma analoga para os demais escalares,
conclui-se que todos eles podem ser escritos como:
δΨj = δΨP
j + iδΨA
j , j = 0, 2 4, (4.27)
onde os sobrescrito P e A representam perturbacoes puramente polares e axiais, respectiva-
mente. Por essa razao, sera adotado a forma de descricao usual deste trabalho, onde se analisa
os setores axiais e polares separadamente.
56
(a) Setor axial
Ao utilizar a equacao (4.24) para escrever δΨA0 em termos das perturbacoes metricas,
obtem-se que
δΨA
0 = −{Q23
r+
1
2Q23,r +
1
2e−2νQ23,0 +
1
2e−2ν
[Q03,2 + 2
(1
r− ν,r
)Q03
]+
1
2e−4νQ0,3,0
},
(4.28)
onde QAB foi definido em (3.14). Substituindo as equacoes (3.19) e (3.20) na equacao acima,
encontra-se
δΨA
0 = −
{1
2
∂
∂r
(e−2ν
r2Q
)+e−2ν
r3Q− iωe
−4ν
2r2Q+
e−2ν
2r2
∂Q
∂r
− 1
2
e−2ν
iω
[∂
∂r
(e2ν
r2
∂Q
∂r
)+ 2
(1
r− ν,r
)e2ν
r2
∂Q
∂r
]}.
(4.29)
Por outro lado, se for considerado novamente que Q(t, r, z) = Q(r)ei(kz−ωt) e, em seguida, for
usado a equacao (3.23) na expressao anterior, chega-se a
iωδΨA
0 =
{−iω
[1
2
d
dr
(e−2ν
r2Q
)+e−2ν
r3Q+
e−2ν
2r2
dQ
dr
]− ω2 e
−4ν
r2Q
+e−2ν
2
[k2
r4Q+ 2
(1
r− ν,r
)e2ν
r2
dQ
dr
]}ei(kz−ωt).
(4.30)
Ao levar em consideracao que Q = rZ(−), junto com a definicao de ν apresentada em
(3.2), pode-se, apos algumas simplificacoes, escrever (4.30) da seguinte forma
2iω δΨA
0 =r3
∆2
[∆
r5(k2r − 6M)Z(−) −
(6M
r2+ 2iω
)(dZ(−)
dr∗− iωZ(−)
)]ei(kz−ωt), (4.31)
ou ainda,
2iω δΨA
0 =r3
∆2[V (−)Z(−) + (W (−) − 2iω)Λ−Z
(−)]ei(kz−ωt), (4.32)
onde a funcao W (−) e definida [29] como
W (−) = −6M
r2, (4.33)
e a funcao V (−) e o potencial definido em (3.27).
57
Ao calcular o escalar δΨA4 em termos das perturbacoes metricas encontra-se:
δΨA
4 =e4ν
4
{Q23
r+
1
2Q23,r −
1
2e−2νQ23,0 −
1
2e−2ν
[Q03,2 + 2
(1
r− ν,r
)Q03
]+
1
2e−4νQ0,3,0
}.
(4.34)
A equacao acima e similar a equacao apresentada em (4.28) para δΨA0 , dessa forma, pode-se
induzir diretamente que
2iω δΨA
4 =1
4r
[∆
r5(k2r − 6M)Z(−) +
(−6M
r2+ 2iω
)(dZ(−)
dr∗+ iωZ(−)
)]ei(kz−ωt), (4.35)
ou em termos de V (−) e W (−):
2iω δΨA
4 =1
4r[V (−)Z(−) + (W (−) + 2iω)Λ+Z
(−)]ei(kz−ωt). (4.36)
Alem disso, e possıvel escrever as quantidades (4.32) e (4.36) e termos das funcoes Y+2 =
r−3∆2Ψ0 e Y−2 = 4rΨ4 do formalismo de Newman-Penrose linearizado. Os resultados obtidos
sao
2iωY A
+2 = [V (−)Z(−) + (W (−) − 2iω)Λ−Z(−)]ei(kz−ωt);
2iωY A
−2 = [V (−)Z(−) + (W (−) + 2iω)Λ+Z(−)]ei(kz−ωt),
(4.37)
onde Y±2 = Y P±2 + iY A
±2.
Por ultimo, a perturbacao no escalar δΨA2 e dada em termos de pertubacoes metricas
como
δΨA
2 = −1
4Q02,3, (4.38)
ou, utilizando a equacao equacao (3.19) combinada com a definicao de Z(−) em termos de Q,
obtem-se diretamente que
δΨA
2 =k2
4r3Z(−)ei(kz−ωt). (4.39)
Tendo como base as equacoes (4.32), (4.36) e (4.39), pode-se concluir que para o setor
axial e possıvel escrever todos os escalares de Weyl em termos de quantidades invariantes de
gauge. Alem disso, e importante deixar claro que a interpretacao de Szekeres para os escalares
e limitada apenas a suas partes reais, de modo que, o setor axial nao pode ser interpretado a
partir das equacoes do desvio geodesico. Em trabalhos recentes o setor axial e interpretado
de uma forma independente da base. Em [37], por exemplo, apos decompor o tensor de Weyl
58
em partes eletrica (polar) e magnetica (axial), a parte eletrica e interpretada como um campo
de mare, enquanto que, a parte magnetica e vista como um campo de arrasto de referencial.
(b) Setor Polar
Procedendo da mesma forma para o setor polar, a perturbacao em δΨ0 obtida em
termos das pertubacoes metricas assume a seguinte forma:
δΨP
0 =e−2ν
2
{[e2ν
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)− 2iω
(d
dr+
1
r− ν,r
)](T − V )
+1
r2k2(N + V )− ω2e−2ν(T − V )
}ei(kz−ωt).
(4.40)
Porem, ao combinar as equacoes de Einstein para este setor, obtem-se que:
e2ν
[d2
dr2+
2
r
d
dr
](T − V ) =
k2
r2(N − V )− 2ν,re
2ν(T,r − V,r)− ω2e−2ν(T − V ). (4.41)
Desse modo, substituindo a expressao acima em (4.40), chega-se a
δΨP
0 = −
{[ν,r(T,r − V,r) + ω2e−4ν(T − V )− k2
r2e−2νN
]
+ iωe−2ν
[(T,r − V,r) +
(1
r− ν,r
)(T − V )
]}ei(kz−ωt).
(4.42)
Escrevendo explicitamente (4.42) em termos da funcao Z(+) definida em (3.38) e apos uma
series de manipulacoes algebricas, obtem-se
δΨP
0 =− e−4ν
r
{∆
r5
[72M3`2 + 6k4M`2r2 + k6`2r3 + 36M2r(`2k2 + 2r2)
`2(rk2 + 6M)2
]Z(+)
[(−6M(2r3 + k2`2r + 2M`2)
`2r2(k2r + 6M)
)− 2iω
](dZ(+)
dr∗− iωZ(+)
)}ei(kz−ωt),
(4.43)
ou, escrevendo a equacao acima em termos do potencial V (+) dado pela equacao (3.40) e da
funcao W (+) definida em [29] como
W (+) = −6M(2r3 + k2`2r + 2M`2)
`2r2(k2r + 6M), (4.44)
59
e possıvel escrever δΨ0 na forma simples
δΨP
0 = − r3
∆2[V (+)Z(+) + (W (+) − 2iω)Λ−Z
(+)]ei(kz−ωt). (4.45)
De modo analogo, ao escrever δΨP4 em termos das perturbacoes metricas N , T e V ,
encontra-se:
δΨP
4 =e2ν
8
{[e2ν
(d2
dr2+
2
r
d
dr
)+ 2iω
(d
dr+
1
r− ν,r
)](L+ T )
+1
r2k2(N − L)− ω2e−2ν
}ei(kz−ωt).
(4.46)
Esta equacao difere da equacao (4.40) apenas pelo sinal que acompanha o termo iω. Assim,
nao e difıcil verificar que δΨP4 assumira a forma final:
δΨP
4 = − 1
4r[V (+)Z(+) + (W (+) + 2iω)Λ+Z
(+)]ei(kz−ωt). (4.47)
Ao escrever as equacoes (4.45) e (4.47) em termos das funcoes Y+2 e Y−2, encontra-se
Y P
+2 = −[V (+)Z(+) + (W (+) − 2iω)Λ−Z(+)]ei(kz−ωt);
Y P
−2 = −[V (+)Z(+) + (W (+) + 2iω)Λ+Z(+)]ei(kz−ωt),
(4.48)
onde o ındice P indica apenas a parte polar destas quantidades.
Alem disso, ao calcular a perturbacao em δΨ2 em termos das perturbacoes metricas,
obtem-se que
δΨP
2 = − 1
2r3[M(T + 4N) + (3M − k2r)L]ei(kz−ωt). (4.49)
Porem, devido a liberdade de gauge que se tem frente a transformacoes infinitesimais de
coordenadas do tipo xµ → xµ + ξµ, e possıvel verificar que δΨP2 se transforma da seguinte
forma:
δΨP
2 → δΨP
2 −Ψ2,rξr.
Desse modo, ξr pode ser escolhido de modo a tornar δΨP2 = 0. As expressoes para δΨP
0 e δΨP4
sao invariantes de gauge e nao sao alteradas por esta transformacao.
Considerando entao o espaco-tempo fısico completo, pode-se considerar uma base te-
trada formada pelos vetores nulos (lµ, nµ,mµ, mµ). Nesse espaco-tempo, a equacao do desvio
geodesico em termos dos escalares de Weyl assume a forma
60
d2Zρ
dτ 2=
(δΨP
0
4+ δΨP
4
)(e ρ
(2)e(2)σ − e ρ(3)e(3)σ)Zσ + 2Ψ2
[sρsσ −
1
2
(e ρ(2)e(2)σ + e ρ
(3)e(3)σ)]Zσ.
(4.50)
Antes da brana negra ser perturbada, um observador que viaja ao longo de uma geo-
desica com o tempo proprio como parametro afim mede apenas efeitos tıpicos de um campo
coulombiano. Por outro lado, como mostra a equacao (4.50), o mesmo observador, apos uma
pequena pertubacao gravitacional na brana negra, medira os efeitos combinados de ondas
gravitacionais entrantes e saintes sobrepostas ao campo coulombiano original. Portanto, e
possıvel concluir que, em geral, perturbacoes gravitacionais de branas com numero de onda
nao-zero sao capazes de produzir ondas gravitacionais que, por sua vez, podem ser detectadas
por observadores se movendo sobre o espaco-tempo.
4.3.2 A interpretacao fısica das perturbacoes com numero de onda zero
Finalmente, e retomada a discussao a respeito das perturbacoes gravitacionais com
numero de onda zero realizada da secao 4.1. Tomando como ponto de partida o setor axial,
mostrou-se anteriormente que a unica componente nao-nula das perturbacoes metrica e q0 =
−J/r3, por esta razao se tem que Z(−) = Q(t, r)/r = re2ν(q2,3 − q3,2) = 0. Assim, pelas
equacoes (4.32), (4.36) e (4.39), conclui-se todos os escalares de Weyl tornam-se identicamente
zeros. A principal razao para isto acontecer e que o parametro J esta ligada a uma possıvel
rotacao lenta da brana [34] e, portanto, sempre e possıvel elimina-la por intermedio de uma
transformacao infinitesimal de Galileo.
Um analise similar pode ser realizada para o setor polar. Ao tomar k = 0 na equacao
(3.38), obtem-se que
Z(+)(r) =1
2r[V (r)− T (r)]. (4.51)
Por outro lado, no estudo da solucao com k = 0, obteve-se que Te−iωt = −V e−iωt = δψ(t, r)
e portanto, a equacao (4.51) se reduz exatamente a Z(+)(t, r) = rδψ(t, r). Assim, e possıvel
afirmar que Z(+) representa uma funcao geral capaz de descrever a evolucao das perturbacoes
com numeros de onda nao-zero, bem como, as perturbacoes com numero de onda zero. Tam-
bem e facil verificar que o potencial V (+) dado por (3.40) tambem se reduz ao apresentado em
(4.17) quando k = 0. Portanto, conclui-se que as equacoes de onda (3.29) e (3.41) permitem
estudar o comportamentos das funcoes Z(±) para todos os valores de numero de onda.
Desse modo, pode-se inferir diretamente que os escalares δΨ0 e δΨ4 tomam a seguinte
61
forma quando k = 0:
δΨ0 = − r3
∆2[V (+)Z(+) + (W (+) − 2iω)Λ−Z
(+)]e−iωt;
δΨ4 = − 1
4r[V (+)Z(+) + (W (+) + 2iω)Λ+Z
(+)]e−iωt.
(4.52)
ou em termos de Y+2 e Y−2:
Y+2 = −[V (+)Z(+) + (W (+) − 2iω)Λ−Z(+)]e−iωt;
Y−2 = −[V (+)Z(+) + (W (+) + 2iω)Λ+Z(+)]e−iωt,
(4.53)
onde as funcoes Z(+), V (+), e W (+), para um numero de onda zero, sao dadas por
Z(+) = rδψ, V (+) =2∆
`2r5(r3 +M`2) e W (+) = − 2
`2r2(r3 +M`2). (4.54)
Os resultados apresentados em (4.52) ou, equivalentemente, (4.53) podem tambem ser
obtido diretamente a partir das perturbacoes no tensor de Weyl, assim como foi feito na
subsecao anterior. No apendice D estas quantidades sao obtidas por um caminho alternativo
usando o formalismo de Newman-Penrose.
Ainda sobre o significado fısico das perturbacoes com numero de onda zero, e possı-
vel expressar o carater ondulatorio das funcoes Y+2 e Y−2 estudando seus comportamentos
proximos ao horizonte de eventos r3h = 2M`2 (r∗ → −∞). Nesta regiao, por (4.17), tem-se
que V (+) → 0. Dentro desse limite a equacao de onda (4.16) leva a uma solucao do tipo
Z(+) → e±iωr∗ . Por outro lado, ao impor condicoes de contorno de ondas puramente entrantes
no horizonte, entao, apenas solucoes do tipo Z(+) → e−iωr∗ sao encontradas e, consequente-
mente, tem-se que
W (+) → − 6M
(2M`2)2/3, Λ+Z
(+) → 0, e Λ−Z(+) → −2iωe−iωr∗ . (4.55)
A reuniao destes resultados permite expressar Y+2 e Y−2 em regioes proximas ao horizonte de
eventos da seguinte maneira
Y+2 → 4ω
[ω − 3Mi
(2M`2)2/3
]e−iω(r∗+t) (r∗ → −∞),
Y−2 → 0 (r∗ → −∞).
(4.56)
Portanto, proximo ao horizonte Y+2 se reduz a uma onda plana que se propaga radialmente
62
em direcao ao horizonte de eventos. Adicionalmente, a componente Y−2, associada ao escalar
δΨ4 tende a zero nesse regime. Este resultado e esperado pois, como foi discutido no capı-
tulo 2, o escalar Ψ4 representa uma componente de onda sainte e, pela condicao de contorno
imposta, nao seria possıvel detectar tal componente proxima ao horizonte. Alem disso, para
perturbacoes independentes do tempo (ω = 0), Y+2 = 0 de modo que nao se detecta radiacao.
Como consequencia desses resultados, a questao sobre a existencia de ondas gravitacionais as-
sociadas a perturbacoes com um numero de onda nulo acaba de ser respondida. Perturbacoes
gravitacionais de branas negras com numero de onda zero sao realmente capazes de produzir
radiacao gravitacional.
Por ultimo, ao calcular o escalar δΨ2, obtem-se
δΨ2 = −δMr3
. (4.57)
Este resultado tambem nao e uma surpresa, pois como foi discutido na primeira secao deste
capıtulo, δM representa uma pequena variacao no parametro de massa M da brana negra e,
portanto, sua presenca deve se refletir como uma variacao no campo coulombiano.
63
5 CONSIDERACOES FINAIS
Ao longo deste trabalho foi possıvel estudar os efeitos fısicos das perturbacoes de branas
negras em espacos-tempo assintoticamente anti-de Sitter. No capıtulo 2, por exemplo, foi
realizada uma revisao dos trabalhos pioneiros que estabeleceram como os tensores de Riemann
e de Weyl carregam informacoes a respeito da existencia de ondas gravitacionais. Na primeira
parte deste capıtulo, foi revisado o trabalho publicado em 1957 por Pirani [7], onde se mostrou
que descontinuidades no tensor de Riemann em um ponto P sobre a superfıcie do cone de
luz caracterizam a existencia de radiacao gravitacional. A segunda parte do capıtulo 2 foi
dedicada a apresentacao de um metodo alternativo, desenvolvido por Szekeres [8], onde utiliza-
se a equacao do desvio geodesico para interpretar os escalares de Weyl do formalismo de
Newman-Penrose. Dessa analise, verificou-se que Ψ0 e Ψ4 representam componentes de ondas
gravitacionais, e os escalares Ψ1 e Ψ3 representam, por sua vez, componentes longitudinais do
campo gravitacional ao longo de determinada direcao espacial. Por ultimo, verificou-se que
o escalar Ψ2 gera o efeito tıpico de um campo coulombiano na equacao do desvio geodesico.
Por esta razao, Ψ2 representa a parte coulombiana do campo gravitacional.
No capıtulo 3, revisou-se a teoria de perturbacoes metricas de branas negras no gauge de
Chandrasekhar. Apresentou-se, inicialmente, uma descricao basica do espaco-tempo de fundo
e, logo em seguida, investigou-se as perturbacoes por meio do metodo de linearizacao das
equacoes de Einstein, onde as perturbacoes metricas sao escritas em termos das quantidades
invariantes de gauge Z(−) e Z(+), que obedecem equacoes de onda tipo Schrodinger para os
setores axial e polar das perturbacoes, respectivamente. Por ultimo, obteve-se uma descricao
das perturbacoes via linearizacao das equacoes do formalismo de Newman-Penrose. Nesta
descricao, tambem sao obtidas duas equacoes desacopladas, que descrevem a evolucao das
quantidades Y+2 e Y−2, as quais estao ligadas as perturbacoes nos escalares de Weyl Ψ0 e Ψ4,
respectivamente.
No capıtulo 4, foram apresentados os principais resultados contidos nesta dissertacao.
Primeiramente, revisou-se a solucao obtida por Miranda e Zanchin [23] para perturbacoes
gravitacionais com numero de onda zero, uma vez que um dos principais objetivos deste
trabalho foi investigar se esta solucao realmente admite a existencia de ondas gravitacionais.
Na sequencia, mostrou-se como e possıvel calcular as perturbacoes nos escalares de Weyl
a partir de uma perturbacao no tensor Cµνσρ de um espaco-tempo de fundo Petrov tipo
D, no qual se enquadra o espaco-tempo da brana negra. Por ultimo, foram calculadas as
64
perturbacoes nos escalares de Weyl em termos das funcoes de onda Z(−) e Z(+), sendo que,
conforme foi mostrado, os escalares de Weyl com numero de onda nao-zero tambem incluem
o caso k = 0. Desse modo, conclui-se que, quando se trata de perturbacoes gravitacionais
de branas negras, o setor polar admite a existencia de ondas gravitacionais para todos os
valores de numero de onda, inclusive o modo com numero de onda zero ao longo das direcoes
transversais a brana negra.
Como perspectiva futura, sera investigado o significado fısico das perturbacoes axiais
com numero de onda nao-nulo, uma vez que o metodo utilizado neste trabalho para inter-
pretar as perturbacoes gravitacionais nao e capaz de indicar os efeitos fısicos causados por
perturbacoes deste setor. Alem disso, tambem fica como perspectiva, analisar e interpretar
os efeitos das perturbacoes gravitacionais de branas negras em d dimensoes.
65
A Formas canonicas e a classificacao dos espacos-tempos
Este apendice e baseado no artigo publicado em 1954 por Alexei Petrov [24], no qual
se mostra que o tensor de Riemann para um espaco-tempo qualquer se reduzira a uma dentre
tres formas canonicas. Para isto, sera mais uma vez adotado um sistema de coordenadas
localmente inercial, tal que num ponto P o tensor metrico se reduz a
ds2 = ηµνdxµdxν , (A.1)
onde ηµν = diag(−1, 1, 1, 1). O elemento de linha (A.1) satisfaz uma equacao de campo da
forma
Rµν = χηµν . (A.2)
A classificacao de um espaco-tempo sera feita por intermedio da analise da estrutura algebrica
do tensor de Riemann.
A.1 O espaco de bivetores
Para o presente apendice sera feito uso do formalismo hexa-dimensional apresentado
no capıtulo 2. Neste formalismo, um par de ındices de tetrada anti-simetricos em um espaco
quadri-dimensional e equivalente a um unico ındice em um espaco vetorial em seis dimensoes,
seguindo a regra de conversao:
(a)(b): 23 31 12 10 20 30
A : 1 2 3 4 5 6.(A.3)
Associado a este espaco de 6 dimensoes, exite um tensor metrico ηAB definido como:
ηAB → η(a)(b)(c)(d) = η(a)(c)η(b)(d) − η(a)(d)η(b)(c), (A.4)
que equivale a uma matriz na forma ηAB = diag(1, 1, 1,−1,−1,−1).
A.2 A classificacao das curvaturas dos espacos-tempos
Uma serie de problemas interessantes em relatividade geral estao relacionadas com o
tensor de Riemann. A partir deste tensor e possıvel introduzir a nocao de curvatura sobre
uma dada superfıcies bidimensional. Similarmente, a curvatura Gaussiana em um dado ponto
66
de uma superfıcies bidimensional formada por geodesicas e definida em termos do tensor de
Riemann como:
K =RµνρσV
µνV ρσ
ηµνρσV µνV ρσ, (A.5)
onde V µν = e µ[(1)e
ν(2)] e um bivetor simples gerado pelos vetores da base tetrada e µ
(a) . A equacao
acima pode ser entao escrita em termos dos vetores em 6 dimensoes como
K =RABV
AV B
ηABV AV B. (A.6)
O principal interesse aqui e encontrar os vetores V A para os quais K assuma valor crıtico. Os
valores crıtico de K sao chamadas de Curvaturas estacionarias e, seu respectivos bivetores V A
de direcoes estacionarias. A condicao para que K seja uma curvatura estacionaria e definida
da seguinte formadK
dV A= 0. (A.7)
Para estudar as curvas estacionarias se deve levar em consideracao que a partir de
(A.4), se em um ponto P a metrica η(a)(b) e indefinida, entao ηAB tambem sera para este
mesmo ponto. Alem disso, ainda existe a possibilidade de haver uma direcao estacionaria
nula, definida por
ηABVAV B = 0. (A.8)
Se inicialmente, for desconsiderada a existencia destas direcoes nulas, entao da condicao (A.7)
resulta em
(RAB −KηAB)V B = 0, (A.9)
isto e, a direcao estacionaria sera o eixo principal de RAB no espaco de bivetores, onde a
curvatura estacionaria sera caracterizada pela equacao secular
|RAB −KηAB| = 0. (A.10)
Considerando agora o caso descrito pela equacao (A.8). Uma vez que se esta interessado
somente nos casos em que a condicao (A.7) se aplique, entao, K devera ser uma funcao
continua de V A e, portanto, e necessario que a seguinte condicao seja satisfeita:
RABVAV B = 0 (A.11)
Assim, e possıvel calcular o valor estacionario de K para uma direcao estacionaria nula V A,
67
tomando o seguinte limite
K(V A) = limdV A→0
K(V A + dV A). (A.12)
Se para um dado V A for definido as quantidades
ψ = RABVAV B, ϕ = ηABV
AV B. (A.13)
entao, pela condicao estacionaria de K, tem-se que
K(V A) = limdV A→0
ψ(V A + dV A)− ψ(V A)
ϕ(V A + dV A)− ϕ(V A)= lim
∑A
∂∂V A
ψdV A + . . .∑A
∂∂V A
ϕdV A + . . .. (A.14)
Tomando o limite se obtem
K(V A) =∂
∂V Aψ
∂∂V A
ϕ=RABV
B
ηABV B. (A.15)
Que e o mesmo resultado obtido em (A.9).
A determinacao da curvatura estacionaria e suas respectivas direcoes estacionarias
levam ao par de equacoes na forma quadratica (A.13). Logo, a reducao deste par a uma
forma canonica real resultara numa classificacao para tensor de curvatura num ponto e em
sua vizinhanca sobre a variedade, onde a matriz caracterıstica K,
||RAB −KηAB||, (A.16)
permanece invariante. Portanto, cada tipo de matriz caracterıstica (A.16) correspondera a um
tipo especifico de campo gravitacional. Abaixo segue uma serie de teoremas que conduzirao
aos tipos possıveis de classificacao do tensor de curvatura.
TEOREMA A.1. A matriz ||RAB|| sera duplamente simetrica para o referencial definido
pela metrica (A.4).
A prova deste teorema e direta se for utilizada a equacao de campo (A.2). Seja entao
R(a)(b) = R(c)
(a)(c)(b) = χη(a)(b), (A.17)
ao representar explicitamente o somatorio nesta expressao, conclui-se que para (a) = (b) = k:
R(c)
k(c)k = χηkk, (A.18)
onde os ındices k’s repetidos nao significa um somatorio. Por outro lado, para um somatorio
68
com (a) = i e (b) = j com i 6= j, obtem-se que
ηkkRkijk + ηllRiljl = 0, (i, j, k, l 6=), (A.19)
onde mais uma vez os ındices repetidos nao estao representando somatorios. Ao escrever as
equacao (A.18) e (A.19) explicitamente em termos dos ındices numerico, juntamente com a
identidade cıclica R(2)[(3)(1)(0)], chega-se facilmente a conclusao que o tensor de curvatura no
espaco de seis dimensoes pode ser escrito na forma:
(RAB) =
M N
N −M
, (A.20)
onde M e N matrizes definidas como:
(M) =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
, mAB = mBA, (A, B=1,2,3), (A.21)
(N) =
n11 n12 n13
n21 n22 n23
n31 n32 n33
, nAB = nBA, (A, B=1,2,3) (A.22)
sendo mAA = χ e nAA = 0. De fato, este teorema e valido para qualquer frame ortogonal em
quatro dimensoes. Para referenciais em espacos-tempo quadri-dimensionais existem 6 grau
de liberdade associados as transformacoes de Lorentz. Portanto, e possıvel simplificar estas
matrizes por uma escolha adequada de rotacoes.
TEOREMA A.2. A matriz caracterıstica (A.16) e composta apenas por duas partes identi-
cas.
A prova deste teorema parte em escrever (A.16) usando (A.21) e (A.22). Neste caso,
a matriz caracterıstica toma a forma mAB +KδAB nAB
nAB −mAB −KδAB
, (A.23)
69
Multiplicando a segunda coluna por i e, em seguida, somando a primeira coluna, obtem-se mAB + inAB +KδAB nAB
−i(mAB + inAB +KδAB) −mAB −KδAB
, (A.24)
se entao a primeira linha e multiplicada por i e em seguida adicionada a segunda linha,
chega-se a forma: mAB + inAB +KδAB nAB
0 −mAB + inAB −KδAB
. (A.25)
Por ultimo, multiplica-se a primeira coluna por i/2 e se adiciona o resultado a segunda coluna,
em seguida, se repete o mesmo procedimento com a matriz resultante. O resultado obtido e
entao mAB + inAB +KδAB 0
0 −mAB + inAB −KδAB
≡ P (K) 0
0 −P (K)
. (A.26)
A equacao acima representa a matriz caracterıstica K na forma diagonal. Nela P (K) e o
complexo conjugado de P (K). Portanto, a matriz (A.16) e composta por duas partes identicas
como foi proposto.
TEOREMA A.3. Existem somente tres tipos de campo gravitacional.
O numero de tipos de campos gravitacionais estao ligados as diferentes formas cano-
nica para o tensor Riemann. Este tensor, por sua vez dependera do numero de autovetores
ortogonais que sao obtidos pela matriz caracterıstica (A.16). A matriz K, como foi provado
anteriormente, depende de um par de matriz identicas tridimensionais P (K). Neste caso, e
possıvel extrair no maximo tres autovetores complexos ortogonais associados a esta matriz.
Portanto, os tres tipos de campos gravitacionais surgem a partir das tres possibilidades de
escrever os autovetores de P (K). Para um campo tipo I os tres autovetores de P (K), junta-
mente com seu complexo conjugado, sao todos distintos, [11, 11, 11]. Neste caso, se diz que
o espaco-tempo e totalmente geral. Por outro lado, num campo gravitacional tipo II, dois
dos tres autovetores sao nao-ortogonais, [22, 11]. Finalmente, para um campo gravitacional
tipo III, nenhum dos autovetores de P (K) sao ortogonais. Estes dois ultimos tipos de campo
gravitacionais sao ditos especiais.
70
A.3 As formas canonicas do tensor de Riemann ||RAB||
A.3.1 Campos gravitacionais tipo I
Para esta categoria de campo gravitacional, o tensor RAB possui seis nao nulas direcoes
principais ortogonais. E possıvel mostrar que tais direcoes representam bivetores num espaco
quadri-dimensional de estrutura especıfica.
Sera denotado aqui por ξµ(a) (i, a = 1, . . . , 4) os vetores de uma base tetrada e ξµν(a)(b)
os bivetores ξµ[(a)ξν(b)] que correspondem a planos bidimensionais gerados por dois vetores da
base. Existem seis combinacoes possıveis de vetores da base que geram estes planos. Estas
seis combinacoes corresponderao ao seis vetores de uma base ortonormal ξ Aα = δ A
α no espaco
de seis dimensoes.
Sera provado que os vetores das direcoes principais devem ter a forma
WA = λ(ξ A1 ± iξ A
4 ) + µ(ξ A2 ± iξ A
5 ) + (ξ A3 ± iξ A
6 ). (A.27)
Neste caso, seja WA uma direcao principal do tensor de Riemann RAB, entao
(RAB −KηAB)WB = 0, (A.28)
representa um conjunto de seis equacoes que podem ser reduzidas por intermedio das propri-
edades da matriz K para a forma:
(ms1 ± ins1 +Kδs1)λ+ (ms2 ± ins2 +Kδs2)µ+ (ms3 ± ins3 +Kδs3)ν = 0, (A.29)
onde s = 1, 2, 3. Para λ, µ e ν nao nulos, e suficientemente necessario impor que K seja uma
raiz das equacoes:
|P (K)| = 0, |P (K)| = 0, (A.30)
isto e, uma raiz da equacao secular. O que basicamente prova a suposicao em (A.27).
Para um ponto sobre a variedade, WA corresponde ao bivetor:
W µν = λ(ξµν(2)(3) ± iξµν(1)(0)) + µ(ξµν(3)(1) ± iξµν(2)(0)) + ν(ξµν(1)(2) ± iξµν(3)(0)). (A.31)
Ao realizar uma transformacao ortogonal de coordenadas, λ, µ, ν → λ′, µ′, ν ′, a norma do
71
bivetor (A.31) sera invariante, isto e
λ2 + µ2 + ν2 = λ′2 + µ
′2 + ν′2. (A.32)
Alem disso, se Ks
(s = 1, 2, 3) e uma raiz da equacao secular (A.16), que corresponde a uma
direcao principal Ws
A entao, a raiz Ks+1
devera corresponder a direcao principal Ws
A. Desse
modo, tem-se que a raiz K1
, corresponde em quatro dimensoes a um bivetor
W1
µν = λ1(ξµν(2)(3) + iξµν(1)(0)) + µ
1(ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0)) + ν
1(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0)), (A.33)
enquanto que a raiz K4
, corresponde ao bivetor:
W4
µν = λ1(ξµν(2)(3) − iξµν(1)(0)) + µ
1(ξµν(3)(1) − iξµν(2)(0)) + ν
1(ξµν(1)(2) − iξµν(3)(0)), (A.34)
Por outro lado, como foi dito anteriormente, tem-se liberdade se realizar sucessivas transfor-
macoes de Lorentz sobre o sistema de coordenas de modo a obter uma representacao mais
simples para as equacoes (A.33) e (A.34). Deste modo, e possıvel ir para um sistema de
coordenadas {∗ξ}, onde
∗W1
µν
=∗ξµν
(2)(3) + i∗ξµν
(1)(0), (A.35)
∗W4
µν
=∗ξµν
(2)(3) − i∗ξµν
(1)(0). (A.36)
Esta forma de escrever os bivetores e obtida por uma rotacao sobre o plano (∗ξ2,
∗ξ3) seguido
de um boost sobre o plano (∗ξ0,
∗ξ1).
De modo analogo, pode-se escrever a segunda direcao principal∗W2
µν
como:
∗W2
µν
=∗λ2(∗ξµν
(2)(3) + i∗ξµν
(1)(0)) +∗µ2(∗ξµν
(3)(1) + i∗ξµν
(2)(0)) +∗ν2(∗ξµν
(1)(2) + i∗ξµν
(3)(0)), (A.37)
porem, como∗W2
µν
e∗W1
µν
sao ortogonais, entao∗λ2
= 0, e
∗W2
µν
=∗µ2(∗ξµν
(3)(1) + i∗ξµν
(2)(0)) +∗ν2(∗ξµν
(1)(2) + i∗ξµν
(3)(0)). (A.38)
Como no caso anterior, pode-se realizar uma transformacao de Lorentz de modo a simplificar
a equacao (A.38), porem tal transformacao nao pode ser capaz de modificar∗W1
µν
. Assim, ao
72
realizar uma transformacao do tipo
ξ′µ(1) =
∗ξµ
(1) coshϕ+∗ξµ
(0)senhϕ,
ξ′µ(0) =
∗ξµ
(1)senhϕ+∗ξµ
(0) coshϕ,
ξ′µ(2) =
∗ξµ
(2) cosψ +∗ξµ
(3)senψ,
ξ′µ(3) = −
∗ξµ
(2)senψ +∗ξµ
(3) cosψ,
(A.39)
obtem-se que
W1
′µν =∗W1
µν
,
W2
′µν = µ2
′(ξ′µν(3)(1)+iξ
′µν(2)(0)) + ν
2
′(ξ′µν(1)(2) + iξ
′µν(3)(0))
(A.40)
onde, ao definir p+ iq =∗ν2/∗µ2, pode-se escrever:
µ2
′ =∗µ2[(cosψ coshϕ− isenψsenhϕ)
+ (p+ iq)(senψ coshϕ+ i cosψsenhϕ)],
(A.41)
ν2
′ =∗µ2[(p cosψ coshϕ+ qsenψsenhϕ− senψ coshϕ)
+ i(q cosψ coshϕ− psenψsenhϕ− cosψsenhϕ)].
(A.42)
A liberdade que se tem em escolher os parametros ψ e ϕ permite fazer ν2
′ = 0, tal escolha
levara a um bivetor
W2
′µν = ξ′µν(3)(1) + iξ
′µν(2)(0) (A.43)
a menos de um fator de escala. Alem disso, sendo W5
′µν = W2
′µν, entao se conclui que:
W5
′µν = ξ′µν(3)(1) − iξ
′µν(2)(0). (A.44)
Finalmente, pode-se escrever o vetor W3
′µν de modo geral como
W3
′µν = λ3
′(ξ′µν(2)(3) + iξ
′µν(1)(0)) + µ
3
′(ξ′µν(3)(1) + iξ
′µν(2)(0)) + ν
3
′(ξ′µν(1)(2) + iξ
′µν(3)(0)), (A.45)
porem este bivetor devera ser ortogonal a W1
′µν , assim como ortogonal a W2
′µν o que leva a
um bivetor na forma
W3
′µν = ξ′µν(1)(2) + iξ
′µν(3)(0). (A.46)
73
Em resumo, foram obtidas as seguintes direcoes principais
W1
µν = ξµν(2)(3) + iξµν(1)(0),
W2
µν = ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0),
W3
µν = ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0).
(A.47)
As demais direcoes sao dadas pelas relacoes de complexo conjugados:
W4
µν = W1
µν, W
5
µν = W2
µν, W
6
µν = W3
µν. (A.48)
Finalmente, escrevendo este bivetores na base hexa-dimensional e considerando que
para equacao (A.28) em um ponto P , ξ Aα = δ A
α , chega-se a conclusao que
mii = αi, mij = 0, nii = βi, nij = 0, (i, j = 1, 2, 3 i 6= j), (A.49)
onde3∑i=1
αi = χ,3∑i=1
βi = 0. (A.50)
Estes resultados permitem expressar o tensor de Riemann de tipo I da seguinte maneira
RAB =
α1 · · β1 · ·
· α2 · · β2 ·
· · α3 · · β3
β1 · · −α1 · ·
· β2 · · −α2 ·
· · β3 · · −α3
, (A.51)
A.3.2 Campos gravitacionais tipo II
Neste caso, das tres raızes de |P (K)| = 0, duas sao iguais. Assumindo que K2
= K3
e definindo um tensor PAB = −mAB + inAB e possıvel escrever a equacao (A.28) para uma
direcao principal nao-nula por
(PAB −K1ηAB)W
1
B = 0, (A.52)
enquanto que uma direcao nula e descrita pela equacao:
(PAB −K2ηAB)W
2
B = 0. (A.53)
74
Obviamente, W1
A e W2
A sao ortogonais. Por outro lado, o vetor W3
A devera tambem ser
ortogonal a W1
A, mas nao a W2
A. Por essa razao, a equacao que descreve W3
A e dada por
(PAB −K2ηAB)W
3
B = σηABW2
B, (A.54)
onde σ e um escalar nao-zero arbitrario. Qualquer direcao principal do subespaco PAB definira
uma correspondente direcao principal para RAB todas bem definidas pelo vetor (A.31). Alem
disso, sendo K1
um elemento do tipo (K −K1
) na equacao caracterıstica, entao W1
A pode ser
obtido do mesmo modo que foi obtido para campos de tipo I. Dessa forma, por uma escolha
apropriada de eixos, obtem-se que o bivetor em quatro dimensoes correspondente a W1
A e
W1
µν = ξµν(2)(3) + iξµν(1)(0). (A.55)
Os bivetores W2
µν e W3
µν devem ser ortogonais a W1
µν , logo
W2
µν = µ2(ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0)) + ν
2(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0)),
W3
µν = µ3(ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0)) + ν
3(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0)), (A.56)
e como este vetores devem ser nulos, conclui-se que
µ2
2 + ν2
2 = 0, µ3
2 + ν3
2 = 0. (A.57)
ou equivalentemente,
ν2
= ia1µ2, ν
3= ia2µ
3. (A.58)
Na equacao (A.58) os coeficientes a1 e a2 devem ser iguais a −1 ou 1. Ao impor a condicao
que os vetores W2
µν e W3
µν devem ser nao-ortogonais, tira-se que a1 = −a2. Portanto, os
vetores em (A.56) deve ser escrito na forma
W2
µν = ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0) + i(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0)), (A.59)
W3
µν = λ[ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0) − i(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0))], λ 6= 0 (A.60)
Uma vez encontrados os autobivetores, e possıvel obter a matriz de representacao RAB
levando em conta mais uma vez que no espaco hexa-dimensional ξ Aα = δ A
α e que os autovetores
75
satisfazem as equacoes:
(RAB −K1ηAB)W
1
B = 0, (A.61)
(RAB −K2ηAB)W
2
B = 0, (A.62)
(RAB −K2ηAB)W
3
B = σηABW2
B. (A.63)
Em seis dimensoes, as equacoes acima levam a uma matriz RAB para um campo gravitacional
tipo II na forma:
RAB =
α1 · · −β1 · ·
· α2 − σ · · −β2 σ
· · α2 + σ · σ −β2
−β1 · · −α1 · ·
· β2 σ · −α2 + σ ·
· σ −β2 · · −α2 − σ
, (A.64)
onde σ e um escalar nao-nulo e os αi’s e βi’s satisfazem as relacoes
α1 + 2α2 = χ, β1 + 2β2 = 0. (A.65)
A.3.3 Campos gravitacionais tipo III
Para o ultimo tipo de campo gravitacional, a equacao de recorrencia, |P (K)| = 0,
possui as tres raızes iguais. Por essa razao, por extensao dos casos anteriores e possıvel
propor que os autovetores associados com a forma canonica do tensor de Riemann sao obtidos
a partir do seguinte conjunto de equacoes
(PAB −K1δAB)W
1
B = 0,
(PAB −K1δAB)W
2
B = σδABW1
B,
(PAB −K1δAB)W
3
B = τδABW2
B,
(A.66)
onde σ e τ sao numeros arbitrarios diferentes de zero. Considera-se neste caso que W2
A e um
vetor nao-nulo, enquanto que W1
A e W3
A sao dois vetores nulos. Vale ressaltar que essa e uma
escolha arbitraria. Desse modo, os vetores W1
A e W3
A nao sao ortogonais entre si, mas ambos
devem ser ortogonais a W2
A.
76
Novamente, como o bivetor W2
µν e nao-nulo, e possıvel realizar o mesmo procedimento
de alinhamento da base realizado nos casos anteriores e, consequentemente, escreve-lo na
forma reduzida:
W2
µν = ξµν(3)(1) + iξµν(2)(0). (A.67)
Adicionalmente, como os outros autobivetores sao nao-ortogonais, entao, eles devem assumir
a forma
W1
µν = ξµν(2)(3) + iξµν(1)(0) + i(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0)),
W1
µν = λ[ξµν(2)(3) + iξµν(1)(0) − i(ξµν(1)(2) + iξµν(3)(0))],(A.68)
onde λ e um numero arbitrario diferente de zero. Finalmente, como no caso anterior, as
equacoes (A.66) sao estendidas para hexa-dimensional de modo a satisfazerem as equacoes de
autovalores
(RAB −K1ηAB)W
1
B = 0,
(RAB −K1ηAB)W
2
B = σηABW1
B,
(RAB −K1ηAB)W
3
B = τηABW2
B,
(A.69)
Ao usar o fato que os vetores que constituem a base em seis dimensoes sao normalizados
(ξµν(a)(b) → ξAα = δAα ), e definindo K = α+ iβ com α e β reais, obtem-se a partir de (A.69) uma
forma canonica para RAB escrito da seguinte maneira:
RAB =
χ3
σ · · · ·
σ χ3
· · · −σ
· · χ3
· −σ ·
· · · −χ3−σ ·
· · −σ −σ −χ3·
· −σ · · · −χ3
. (A.70)
Em (A.70), usou-se o fato que mii = χ e ni i = 0 equivale as condicoes τ = σ, β = 0, α = χ
3.
Assim, foi apresentada nesse apendice a forma desenvolvida por Petrov para obter as
tres representacoes canonicas do tensor de Riemann.
77
B Transformacoes de tetrada e a classificacao de Petrov
Nesse apendice a classificacao de Petrov para os escalares de Weyl e apresentada.
Esta classificacao se baseia em utilizar as diferentes classes de rotacoes dos vetores da base
tetrada nula e, com isto, tornar zero o maior numero de escalares de Weyl possıvel. Tal
classificacao foi de extrema importancia no capıtulo 2 para caracterizar o efeito fısico que
cada um destes escalares geram. Desse modo, na primeira secao do presente apendice as
classes de transformacoes de tetrada sao abordadas. Na secao seguinte, usa-se estas classes
para efetivamente apresentar como que sao obtidos os diferentes tipos de espacos algebricos
de Petrov. Na secao final, sera apresentado como que os diferentes tipos de Petrov aqui
abordados se relacionam com a classificacao do espaco-tempo apresentada no apendice A.
B.1 Transformacoes de tetrada
Uma vez escolhida uma base tetrada nula, assim como qualquer outra base tetrada,
sempre e possıvel realizar transformacoes de Lorentz sobre esta base e, com isto, investigar
como que as quantidades do formalismo de Newman-Penrose (coeficientes de spin e escalares
de Weyl) se modificam. No estudo de rotacoes para o formalismo de Newman-Penrose e
conveniente classificar as varias transformacoes em tres grupos:
a) Rotacoes classe I: o qual nao altera l;
b) Rotacoes classe II: o qual nao altera n;
c) Rotacoes classe III: o qual nao altera a direcao dos vetores l e n, mas que rotaciona os
vetores m e m por um angulo θ.
Usando as condicoes de normalizacao dos vetores nulos, equacao (2.46), conclui-se que
as classificacoes acima resultam nas seguintes transformacoes:
I: l→ l, m→m+ al, m→ m+ a∗l, n→ n+ a∗m+ am+ aa∗l;
II: n→ n, m→m+ bn, m→ m+ b∗n, l→ l + b∗m+ bm+ bb∗n;
III: l→ Al, n→ A−1n, m→ eiθm, m→ e−iθm;
onde a e b sao funcoes complexas, enquanto que, A e θ representam funcoes reais sobre a
variedade.
78
Como ja foi dito, com o efeito de determinada classe de rotacao, as diversas quanti-
dades do formalismo de Newman-Penrose tambem se alteram. Logo abaixo segue como cada
quantidade se transforma diante de cada classe de rotacao.
Para uma rotacao de classe I, os coeficientes de Spin (3.50) se transformam da seguinte
maneira
κ→ κ, σ → σ + aκ, ρ→ ρ+ a∗κ, ε→ ε+ a∗κ,
τ → τ + aρ+ a∗σ + aa∗κ, π → π + 2a∗ε+ (a∗)2κ+Da∗,
α→ α + a∗(ρ+ ε) + (a∗)2κ, β → β + aε+ a∗σ + aa∗κ,
γ → γ + aα + a∗(β + τ) + aa∗(ρ+ ε) + (a∗)2σ + a(a∗)2κ,
λ→ λ+ a∗(2α + π) + (a∗)2(ρ+ 2ε) + (a∗)3κ+ δ∗a∗ + a∗Da∗,
µ→ µ+ aπ + 2a∗β + 2aa∗ε+ (a∗)2σ + a(a∗)2κ+ δa∗ + aDa∗,
ν → ν + aλ+ a∗(µ+ 2γ) + (a∗)2(τ + 2β) + (a∗)3σ + aa∗(π + 2α)
+ a(a∗)2(ρ+ 2ε) + a(a∗)3κ+ (∆ + a∗δ + aδ∗ + aa∗D)a∗. (B.1)
Enquanto que, os escalares de Weyl se transformam como
Ψ0 → Ψ0, Ψ1 → Ψ1 + a∗Ψ0, Ψ2 → Ψ2 + 2a∗Ψ1 + (a∗)2Ψ0,
Ψ3 → Ψ3 + 3a∗Ψ2 + 3(a∗)2Ψ1 + (a∗)3Ψ0,
Ψ4 → Ψ4 + 4a∗Ψ3 + 6(a∗)2Ψ2 + 4(a∗)3Ψ1 + (a∗)4Ψ0,
(B.2)
As equacoes de transformacao para a classe II de rotacao podem ser obtidas direta-
mente a partir das equacoes (B.1) e (B.2), simplesmente por uma troca de a por b e por
considerar que numa troca dos vetores l e n significa realizar as seguintes modificacoes
Ψ0 � Ψ∗4, Ψ1 � Ψ∗3, Ψ2 � Ψ∗2,
κ� −ν∗, σ � −λ∗, ρ� −µ∗, τ � −π∗, ε� −γ∗, α � −β∗.(B.3)
Finalmente, o efeito de uma rotacao classe III sobre as quantidades do formalismo de Newman-
Penrose e tal que
Ψ0 → A2e2iθΨ0; Ψ1 → AeiθΨ1; Ψ2 → Ψ2; (B.4)
Ψ3 → A−1e−iθΨ3; Ψ4 → A−2e−2iθΨ4; (B.5)
79
φ0 → Aeiθφ0; φ1 → φ1; φ2 → A−1e−iθφ2; (B.6)
κ→ A2eiθκ; σ → Ae2iθσ; ρ→ Aρ; (B.7)
π → e−iθπ; λ→ A−1e−2iθλ; µ→ A−1µ; (B.8)
γ → A−1γ + 12A−2∆A+ 1
2iA−1∆θ; ν → A−2e−iθν; (B.9)
ε→ Aε+ 12DA+ 1
2iADθ; τ → eiθτ ; (B.10)
α→ e−iθα + 12A−1e−iθδ∗A+ 1
2ie−iθδ∗θ; (B.11)
β → e−iθβ + 12A−1eiθδA+ 1
2ieiθδθ. (B.12)
B.2 A classificacao de Petrov
Como ja foi mencionado ao longo dessa dissertacao, as dez componentes do tensor
de Weyl que caracteriza um campo gravitacional podem ser reduzidas a cinco quantidades
escalares complexas Ψ(N) (N = 0, ..., 4). Porem, e possıvel fazer zero determinado conjunto
de escalares por sucessivas rotacoes dos vetores da base. Esta escolha de sucessıveis rotacoes
e organizada em grupos denominados de tipos de Petrov.
Sendo assim, para um espaco-tempo nao-conformemente plano, ao qual ao menos um
escalar de Weyl e diferente de zero. Sempre e possıvel escolher uma tetrada na qual1 Ψ4 6= 0.
Para uma base desse tipo, ao efetuar uma rotacao classe II, encontra-se que o escalar Ψ0 se
transforma da seguinte maneira
Ψ(1)
0 = Ψ0 + 4bΨ1 + 6b2Ψ2 + 4b3Ψ3 + b4Ψ4, (B.13)
enquanto que os demais escalares podem ser obtido diretamente por:
Ψ(1)
1 =1
4
dΨ(1)
0
db, Ψ(1)
2 =1
12
d2Ψ(1)
0
db2, Ψ(1)
3 =1
24
d3Ψ(1)
0
db3e Ψ(1)
4 =1
24
d4Ψ(1)
0
db4. (B.14)
E possıvel tornar Ψ(1)
0 = 0 escolhendo o parametro b como sendo uma raiz da equacao
Ψ4b4 + 4Ψ3b
3 + 6Ψ2b2 + 4Ψ1b+ Ψ0 = 0. (B.15)
A partir das solucoes da equacao acima, obtem-se uma nova direcao para o vetor l, dada
por l + b∗m + bm + bb∗n e conhecida como direcao nula principal do tensor de Weyl. No
caso em que todas as raızes sao distintas, o espaco e denominado como sendo algebricamente
1Se Ψ4 = 0 na base escolhida, pode-se realizar uma rotacao de classe I de modo que Ψ4 6= 0 na nova base.
80
geral, enquanto que, se existe ao menos suas raızes identicas, o espaco e dito algebricamente
especial. As diversas possibilidades da equacao (B.15) ter ou nao raızes identicas levam a
classificacao de Petrov.
(a) Petrov tipo I- Sejam as quatro raızes b1, b2, b3 e b4 distintas. Entao, ao realizar uma
rotacao de classe II, tal que b = b1, por exemplo, anula-se Ψ0. Adicionalmente, efetuando-
se uma rotacao de classe I e escolhendo o parametro a, tal que a∗ seja solucao da equacao
4Ψ(1)
1 (a∗)3 + 6Ψ(1)
2 (a∗)2 + 4Ψ(1)
3 a∗ + Ψ(1)
4 = 0. (B.16)
Neste caso, o escalar Ψ4 esta sendo feito zero, enquanto que o Ψ0 permanecem inalterado.
Portanto, os escalares Ψ1,Ψ2 e Ψ3 sao os unicos escalares nao-zero e, dessas quantidades
Ψ1Ψ3 e Ψ2 sao invariantes sobre uma rotacao classe III.
(b) Petrov tipo II - Nesse caso, duas das raızes sao iguais, b1 = b2 (6= b3 6= b4), de modo que
uma rotacao de classe II com parametro b produz
Ψ(1)
0 = Ψ4(b− b1)2(b− b3)(b− b4),
Ψ(1)
1 = 14Ψ4(b− b1) [2(b− b3)(b− b4) + (b− b1)(b− b4) + (b− b1)(b− b3)] ,
Ψ(1)
2 = 16Ψ4 {(b− b3)(b− b4) + (b− b1) [2(b− b3) + 2(b− b4) + (b− b1)]} ,
Ψ(1)
3 = 14Ψ4 [(b− b3) + (b− b4) + 2(b− b1)] e Ψ(1)
4 = Ψ4. (B.17)
A partir da equacao acima, conclui-se que ao realizar uma transformacao de classe II com
b = b1, os escalares Ψ0 e Ψ1 serao anulados. Entao, ao efetuar uma rotacao de classe I,
a qual mantem Ψ0 e Ψ1 nulos, pode-se fazer Ψ4 = 0. Com uma tal rotacao, os unicos
escalares que permanecem nao-zero sao Ψ2 e Ψ3, sendo que somente Ψ2 e invariante por
transformacoes de classe III.
(c) Petrov tipo D - Para um espaco-tempo deste tipo, ha duas raızes duplas distintas, b1 =
b3 6= b2 = b4. Por essa razao, ao efetuar uma rotacao de classe II, os escalares de Weyl
assumem os seguintes valores:
Ψ(1)
0 = Ψ4(b− b1)2(b− b2)2;
Ψ(1)
1 = 12Ψ4(b− b1)(b− b2)(2b− b1 − b2);
Ψ(1)
2 = 16Ψ4
[2(b− b1)(b− b2) + (2b− b1 − b2)2
];
Ψ(1)
3 = 12Ψ4(2b− b1 − b2); Ψ(1)
4 = Ψ4.
(B.18)
81
III 0N
I
II D
Figura B.1: A piramide hierarquica dos tipos de Petrov. Extraıda da Ref. [29]
Entao, escolhendo b = b1, as equacoes acima se reduzem a
Ψ(1)
0 = Ψ(1)
1 = 0, Ψ(1)
2 = 16Ψ4(b1 − b2)2,
Ψ(1)
3 = 12Ψ4(b1 − b2) e Ψ(1)
4 = Ψ4.
(B.19)
Por ultimo, ao realizar uma transformacao de classe I, chega-se a
Ψ(2)
0 = Ψ(2)
1 = 0,
Ψ(2)
2 = 16Ψ4(b1 − b2)2,
Ψ(2)
3 = 12Ψ4(b1 − b2) [1 + a∗(b1 − b2)] ,
Ψ(2)
4 = Ψ4 [1 + a∗(b1 − b2)]2 ,
(B.20)
ou, fazendo a∗ = −(b1 − b2)−1,
Ψ(2)
0 = Ψ(2)
1 = Ψ(2)
3 = Ψ(2)
4 = 0 e Ψ(2)
2 = 16Ψ4(b1 − b2)2. (B.21)
Portanto, ao se realizar uma rotacao de classe II com b = b1 e, em seguida, uma rotacao
de classe I com a∗ = (b2−b1)−1, anula-se Ψ0, Ψ1, Ψ3 e Ψ4, mantendo somente Ψ2 diferente
de zero. Alem disso, as direcoes resultantes dos vetores l e n sao iguais as direcoes nulas
principais associadas aos parametros b1 e b2, respectivamente.
(d) Petrov tipo III - Sejam tres das raızes identicas, b1 = b2 = b3 6= b4. Ao realizar uma
transformacao de classe II com parametro b, os escalares de Weyl assumem os valores
designados pelas equacoes (B.17) com b3 = b1. Dessa forma, escolhendo b = b1, Ψ0,
Ψ1 e Ψ2 se tornam zero. Se adicionalmente, for efetuada uma rotacao de classe I com
a∗ = −(b1 − b4)−1, entao Ψ4 e feito zero e Ψ3 e o unico escalar nao-zero restante.
(e) Petrov tipo N - Todas as raızes sao iguais. Para este tipo, uma transformacao de classe
82
II leva a
Ψ(1)
0 = Ψ4(b− b1)4, Ψ(1)
1 = Ψ4(b− b1)3,
Ψ(1)
2 = Ψ4(b− b1)2, Ψ(1)
3 = Ψ4(b− b1),
(B.22)
e Ψ(1)
4 = Ψ4. Logo, se b = b1, Ψ(1)
0 = Ψ(1)
1 = Ψ(1)
2 = Ψ(1)
3 = 0 e Ψ4 e o unico escalar nao-zero
que resta.
(f) Petrov tipo 0 - Nesse caso, o espaco-tempo e conformemente plano, tal que todos os
escalares de Weyl sao todos zero.
Os seis diferentes tipos da classificacao de Petrov podem ser arranjados em uma pira-
mide hierarquica (Figura B.1). Nesse diagrama, elaborado por Penrose [38], as setas apontam
na direcao do espacos de maior especialidade.
B.3 A relacao entre formas canonicas e a classificacao de Petrov
A classificacao para os escalares de Weyl descrita neste apendice nada mais e que uma
subclassificacao das forma canonicas do tensor de Riemann discutidos no apendice A. Nesta
secao sera discutida como que estas duas formas de caracterizar o campo gravitacional estao
conectadas. Toda a analise aqui descrita e base em [39].
Ao considerar um espaco-tempo sem distribuicao de materia e assintoticamente plano,
o tensor Riemann e o tensor de Weyl se tornam iguais. Neste caso, a busca por uma forma
canonica para o tensor de Riemann se reduz a achar as matriz e autobivetores tais que:
CµνρσPρσ = λPµν , (B.23)
onde Cµνρσ = Cµνρσ+iC∗µνρσ e o tensor de Weyl complexo (2.50). Ao contrair a equacao acima
com a quadri-velocidade do observador que mede o campo, pode-se mostrar que ela se reduz
a forma
QµνPν = λPµ, (B.24)
onde
Pµ = Pµνuν (B.25)
e
Qµν = Cµρνσuρuσ ≡ Eµν + iBµν . (B.26)
Os tensores Eµν e Bµν sao conhecidos como as partes eletricas e magneticas do campo gra-
vitacional [37, 39], respectivamente. A quantidade definida em (B.26) satisfaz as seguintes
83
propriedades
Qµµ = 0, Qµν = Qνµ e Qµνu
ν = 0, (B.27)
podendo ser vista como uma matriz simetrica de terceira ordem com traco zero. Alem disso,
ao combina-la com a equacao (2.50) se pode extrair uma representacao matricial para Qµν
em termos dos escalares de Weyl:
Qµν =
Ψ2 − 1
2(Ψ0 + Ψ4) 1
2i(Ψ4 −Ψ0) Ψ1 −Ψ3
12i(Ψ4 −Ψ0) Ψ2 + 1
2(Ψ0 + Ψ4) i(Ψ1 + Ψ3)
Ψ1 −Ψ3 i(Ψ1 + Ψ3) −Ψ2
. (B.28)
Desse modo, analisar o campo gravitacional a partir da equacao de autovalor (B.23) ou (B.24) e
totalmente equivalente. Por outro lado, tomando como base a equacao (B.24), se pode extrair
algumas informacoes adicionais a respeito dos autovalores. Por exemplo, uma vez que Qµν e
uma matriz de terceira ordem de traco zero, entao ela deve possuir apenas tres autovalores
(λ1, λ2, λ3) que obedecem ao seguinte vınculo:
3∑i=1
λi = 0. (B.29)
Assim, o espaco-tempo e dito ser de tipo I na classificacao de Petrov se os tres autovalores
sao distintos. Se dois dos autovalores da matriz Qµν sao iguais, entao o espaco-tempo devera
ser ou do tipo II ou do tipo D. E por ultimo, quando os tres autovalores sao todos iguais
(neste caso, todos devem ser zero por (B.29)), o espaco-tempo devera ser do tipo III, N ou
O.
O criterio que define a que classe de campo gravitacional determinado tipo de Petrov
pertence provem de obter os autovetores da equacao de autovalor (B.24). Quando todos os
autovetores sao distintos (campo gravitacional tipo I) o espaco e Petrov do tipo I ou tipo
D, neste caso, o tipo D e degenerado, pois ha dois autovalores iguais. Para dois autovetores
nao-ortogonais (campo gravitacional tipo II) o espaco sera algebricamente ou do tipo II ou
do tipo N degenerado e, para tres autovetores nao-ortogonais (campo gravitacional tipo III)
o espaco-tempo e Petrov tipo III. Um resumo dessa analise e apresentada na tabela B.1.
Desse modo, fica entao estabelecida a relacao entre os diferentes tipos de campo gra-
vitacional e a classificacao algebrica de espacos-tempos de Petrov. O primeiro trabalho que
relacionou estas duas classificacoes foi publicado em 1960 por Roger Penrose [38]. Uma ana-
lise similar a que foi apresentada nesta secao pode ser encontrada em trabalhos recentes
84
como [40]. Alem disso, apesar do estudo aqui realizada contemplar apenas espacos-tempo
assintoticamente planos, a ideia e totalmente geral podendo ser estendida para espacos-tempo
assintoticamente anti-de Sitter, por exemplo.
Campo Gravitacional Classificacao de Petrov Autovalores
Tipo I λ1 6= λ2 6= λ3
(nao-degenerado)Tipo I
Tipo D λ1 = λ2 = −λ2, λ3 = λ
(degenerado)
Tipo II λ1 = λ2 = −λ2, λ3 = λ
(nao-degenerado)Tipo II Tipo N λ1 = λ2 = λ3 = 0
(degenerado)
Tipo III Tipo III λ1 = λ2 = λ3 = 0(nao-degenerado)
Tabela B.1: Relacao entre os tipos de campos gravitacionais e tipos algebricos de Petrov.
85
C A interpretacao geometrica dos escalares oticos
Neste apendice o significado geometrico dos coeficientes de spin e investigado. Os
efeitos destes coeficientes surgem, basicamente, quando se estuda o comportamento dos vetores
l ou n ao serem transportados ao longo de uma trajetoria. A primeira secao desse apendice se
destina entao, a investigar o significado fısico dos coeficientes de spin, bem como, introduzir
os conhecidos escalares oticos do formalismo de Newman-Penrose cujo significado geometrico
foi proposto em um teorema por Sachs em 1961 [27]. Na secao seguinte e entao apresentada,
a partir de algumas hipoteses simplificadoras, porem sem perda de generalidade, uma prova
para este teorema.
C.1 Os coeficientes de spin e o teorema de Sachs
Ao investigar a propagacao dos vetores da base nula ao longo de direcoes preferenciais
e possıvel extrair uma interpretacao geometrica para os coeficientes de spin. Em particular,
quando e analisado a derivada covariante de um vetor qualquer da base nula, e(a), ao longo
da direcao do vetor l:
e(a)µ;νlν = −γ(a)(b)(1)e
(b)
µ. (C.1)
Ao considerar e(a) = e(1) = l, obtem-se que
lµ;νlν = −γ(1)(b)(1)e
(b)
µ = −γ(1)(2)(1)lµ + γ(1)(3)(1)mµ + γ(1)(4)(1)mµ. (C.2)
Utilizando a definicao dos coeficientes de spin (3.50) e possıvel escrever a equacao anterior na
forma
lµ;νlν = −(ε+ ε∗)lµ + κmµ + κ∗mµ. (C.3)
Considerando entao os demais vetores da base, tem-se que
nµ;νlν = +(ε+ ε∗)nµ − π∗mµ − πmµ; (C.4)
mµ;νlν = −(ε− ε∗)mµ − π∗lµ + κnν . (C.5)
A partir da equacao (C.3) se conclui que o campo vetorial l representa uma congruencia
de geodesicas nulas se, e somente se, κ = 0; e, alem disso, essas geodesicas sao afinadamente
parametrizadas se, e somente se, ε+ ε∗ = 0. Para κ = 0, pode-se fazer zero a parte real de ε
86
mediante uma rotacao de classe III, a qual nao afeta a direcao l e nem a nulidade de κ.
As propriedades da congruencia de geodesicas nulas podem ser investigadas a partir
da equacao
lµ;ν = e(a)µγ(a)(1)(b)e(b)
ν . (C.6)
Escrevendo esta equacao em termos dos coeficientes de spin e dos vetores da base tetrada,
encontra-se
lµ;ν =− (ε+ ε∗)lµnν − (γ + γ∗)lµlν + (α∗ + β)lµmν + (α + β∗)lµmν + κmµnν
+ κ∗mµnν − σmµmν − σ∗mµmν + τmµlν + τ ∗mµlν − ρmµmν − ρ∗mµmν .(C.7)
Se l for escolhido como um campo vetorial tangente a uma congruencia de geodesicas nulas
afinamente parametrizadas, entao ε = κ = 0, e a equacao (C.7) se torna igual a
lµ;ν =− (γ + γ∗)lµlν + (α∗ + β)lµmν + (α + β∗)lµmν − σmµmν
− σ∗mµmν + τmµlν + τ ∗mµlν − ρmµmν − ρ∗mµmν .(C.8)
Logo,
l[µ;ν] = (α∗ + β − τ)l[µmν] + (α + β∗ − τ ∗)l[µmν] − (ρ− ρ∗)m[µmν] (C.9)
e
l[µ;νlσ] = −(ρ− ρ∗)m[µmνlσ]. (C.10)
Dessas equacoes se conclui que o campo vetorial l representa uma hipersuperfıcie-ortogonal,
isto e, proporcional ao gradiente de uma funcao escalar se, e somente se, ρ = ρ∗; e adicional-
mente, l e igual ao gradiente de uma funcao escalar se, e somente se, τ = α∗ + β.
Alem disso, a partir da equacao (C.8) se pode extrair os seguintes resultados:
12lµ;µ = 1
2(ρ+ ρ∗); (C.11)
12l[µ;ν]l
µ;ν = −14(ρ− ρ∗)2; (C.12)
12l(µ;ν)l
µ;ν = |σ|2 + 14(ρ+ ρ∗)2. (C.13)
Usualmente, define-se 12lµ;µ ≡ θ e 1
2l[µ;ν]l
µ;ν = ω2. Com essa escolha, pode-se combinar
as equacoes (C.11) e (C.12) e isolar |σ|2 na equacao (C.13), obtendo
ρ = θ + iω e |σ|2 = 12l(µ;ν)l
µ;ν − θ2. (C.14)
87
1+θdv1
1+(θ+|σ|)dv
1+(θ−|σ|)dv
1/2 arg σdvω1
(a) (b) (c) (d)
Figura C.1: Os escalares oticos: (a) expansao, (b) rotacao, (c) magnitude e (d) fase do cisalhamento.Extraıda de Miranda (2003)
As quantidades θ, ω e σ sao conhecidas como escalares oticos. A interpretacao geometrica
desses escalares esta contida no seguinte teorema proposto por Sachs [27]:
TEOREMA C.1. Se um pequeno objeto em uma congruencia de geodesicas nulas projeta
uma sombra sobre um anteparo, todas as porcoes da sombra acertam o anteparo simultane-
amente. A forma, tamanho e orientacao da sombra dependem somente da localizacao do
anteparo, nao da velocidade dele. Se o anteparo esta a uma distancia infinitesimal dv do
objeto, entao a sombra e expandida por θdv, rodada por ωdv e cisalhada por |σ|dv (Figura
C.1).
Uma vez que σ e complexo, o significado de sua fase e a seguinte. Ao considerar
no experimento acima um objeto circular no plano 1 m− m, entao o efeito de cisalhamento
deforma este cırculo, resultando na projecao de uma elipse sobre o anteparo. O angulo formado
pelo eixo menor da elipse com a parte real de m e igual a metade do argumento de σ (Figura
C.1).
Finalmente, a interpretacao geometrica dos coeficientes ν, γ, τ , µ e λ sao as mesmas
que os coeficientes −κ∗, −ε∗, −π∗, −ρ∗ e −σ∗, respectivamente, porem, deve-se tomar o vetor
n como sendo o vetor a ser deslocado paralelamente ao longo de uma determinada direcao
nula.
C.2 A interpretacao geometrica
Nesta secao a interpretacao geometrica para os escalares oticos e investigada. Para
isto, sera verificado o quanto um vetor Z que conecta duas geodesicas nulas afinamente
parametrizadas varia ao ser transportado. Ao considerar que o vetor tangente as geodesicas
1Aqui, o plano m− m e perpendicular a projecao espacial das geodesicas nulas no sistema de repouso doobjeto.
88
nulas e l. Neste caso, l pode ser escrito
lµ =dxµ
ds, (C.15)
onde s e um parametro afim ao longo da curva xµ(s). Neste caso, Z e l sao ortogonais entre
si e consequentemente, o comutador [l,Z] e nulo. Desta condicao se conclui que:
lνZµ;ν = Zνlµ;ν . (C.16)
Como foi dito antes, estamos interessados em verificar o quanto o vetor Z varia ao
ser transportado paralelamente ao longo de xµ(s). No calcular desta variacao, utiliza-se a
definicao de derivada covariante direcional, esta definicao segue abaixo
D
ds(Zµ) ≡ dxν
dsZµ
;ν = lνZµ;ν = Zνlµ;ν , (C.17)
onde na equacao acima, usou-se as equacoes (C.15) e (C.16). A partir da equacao (C.17),
pode-se inferir que o vetor Z apos um deslocamento infinitesimal ds ao longo da curva,
assumira a seguinte forma
Zµ +D(Zµ) = (δµν + lµ;νds)Zν (C.18)
Na equacao (C.18), lµ;ν representa um tensor de segunda ordem. Tensores desta ordem
podem ser decompostos nas partes: anti-simetrica, simetrica sem traco e traco. Em teoria de
grupos, estas partes sao conhecidas como partes irredutıveis frente a determinado grupo de
simetrias. Cada parte irredutıvel e linearmente independente da outra. Dessa forma, quando
um tensor e decomposto em suas varias partes irredutıveis, e possıvel estuda-las individual-
mente simplificado analise tensorial. Decompondo lµ;ν em partes irredutıveis, obtem-se
lµ,ν = ωµν + θPµν + σµν + lµ;λnλlν . (C.19)
onde,
ωµν =1
2(lµ;λP
λν − lν;λP
λµ), (C.20)
e
σµν = θµν − θPµν . (C.21)
sao as partes anti-simetrica e simetria livre de traco do tensor lµ;ν , respectivamente. Alem
89
disso, 2θ = lµ ;µ e θµν e sua parte puramente simetrica definida por
θµν =1
2(lµ;λP
λν + lν;λP
λµ). (C.22)
O tensor Pµν e o tensor projetor ortogonal ao plano formado pelos vetores nulos (l,n), logo,
possui a forma
Pµν = gµν − lµnν − nµlν . (C.23)
Obviamente, θ e um dos escalares oticos. E possıvel mostrar que, a partir das equacoes
(C.20) e (C.21) os escalares oticos ω e |σ| sao definido como
ω2 =1
2ωµνωµν e |σ|2 =
1
2σµνσµν . (C.24)
Finalmente, ao combinar as equacoes (C.18) e (C.19) e, por simplicidade, for tomado
Z como ortogonal tambem a n, conclui-se que
Zµ +D(Zν) = (δµν + ωµνds+ θP µνds+ σµνds)Z
ν . (C.25)
A equacao (C.25) determina o quanto Z varia a medida que o feixe de luz se desloca na direcao
de l. Uma vez que esta equacao esta em termos de quantidades irredutıveis e possıvel estudar
os efeitos que cada uma destas quantidades exercem sobre o vetor posicao individualmente.
Segue entao esta analise.
(a) σµν = θ = 0. Nesta situacao, a equacao (C.25) se reduzir a:
Zµ +D(Zµ) = (δµν + ωµνds)Zν . (C.26)
Em geral, ao considerar Z ortogonal a l e a n significa confina-lo ao plano dos vetores
tipo-espaco (e(2), e(3)). Porem, para o presente caso, sera considero, alem disso, que Z
esta inicialmente ao longo da direcao e(3). Desse modo, as componentes deste vetor apos
um deslocamento infinitesimais sobre a congruencia de geodesicas nulas sao:
Z2 +D(Z2) = D(Z2) = ω23dsZ
3; Z3 +D(Z3) = Z3. (C.27)
A partir deste resultado fica claro que o incremento D(Z) leva a uma rotacao do vetor
Z sobre o plano (e(2), e(3)). Para uma rotacao infinitesimal, e possıvel estimar o angulo
90
de rotacao da seguinte maneira:
ξ ≈ tg ξ =D(Z2)
Z3= ω2
3 ds. (C.28)
Por outro lado, usando a definicao ω2 ≡ 12ωµνωµν , e facil mostrar que ω = ω2
3 e, portanto
ξ = ω ds, (C.29)
ou seja, o escalar otico ω gera uma rotacao sobre o vetor Z em um angulo ξ = ω ds.
(b) σµν = ωµν = 0. Para este caso, a equacao (C.25) se simplifica a:
Zµ +D(Zν) = (δµν + θP µνds)Z
µ. (C.30)
Escolhendo desta vez o vetor Z, tal que Zµ = (0, 0, Z2, Z3), entao as componentes deste
vetor apos um deslocamento infinitesimal sao
Za +D(Za) = (1 + θds)Za, a = 2, 3. (C.31)
Com base nesta equacao e possıvel afirma que θ ds e capaz de gerar um efeito de expansao
(θ > 0) ou contracao (θ < 0) sobre o vetor posicao.
(c) θ = ωµν = 0. Por esta condicao a (C.25) assume a forma
Zµ +D(Zν) = (δµν + σµνds)Zν . (C.32)
Se novamente se escolher Zµ = (0, 0, Z2, Z3), entao as suas componentes apos um des-
locamento infinitesimal ao longo de lµ sao
Z2 +D(Z2) = (1− σ33ds)Z
2;
Z3 +D(Z3) = (1 + σ33ds)Z
3,(C.33)
onde se leva em conta que σµν e simetrico, mas de traco zero, de modo que σ22 = −σ3
3.
Ao levar em consideracao o fato que |σ|2 = 12σµνσµν , e direto mostrar que |σ| = ±σ3
3.
Tomando entao o sinal positivo, obtem-se que
Z2 +D(Z2) = (1− |σ|ds)Z2;
Z3 +D(Z3) = (1 + |σ|ds)Z3.(C.34)
91
Obviamente, se fosse encolhido o outro sinal para |σ| somente haveria uma troca de sinais
nos modulos de (C.34). Note que, enquanto uma componente deste vetor aumenta
ao longo de uma direcao por um fator |σ|ds, a outra direcao sofre uma reducao de
intensidade −|σ|ds. Este efeito proveniente do modulo do escalar σ caracteriza um
efeito de cisalhamento sobre o vetor Z.
Portanto, com base nessa analise, foi possıvel apresentar uma prova para o teorema de Sachs
sobre o significado geometrico dos escalares oticos. Resta ainda entender o que significa
geometricamente da fase do escalar σ. Para isto, sera mantido o regime no qual ωµν e θ sao
zero e, adicionalmente, deve-se levar em consideracao a taxa com que o vetor l varia ao longo
da direcao m. Em termos de componentes esta variacao e dada por
lµ;νmν = (α∗ + β)lµ − ρ∗mµ − σmµ. (C.35)
Ao contrair (C.35) com mµ se obtem
σ = −lµ;νmµmν . (C.36)
Por outro lado, ao escrever o vetor m explicitamente em termos dos vetores reais e(2) e e(3),
m =1√2
(e(2) + ie(3)), (C.37)
e, em seguida, o levar ate a equacao (C.36), obtem-se que
σ =1
2(l3;3 − l2;2)− i1
2(l2;3 + l3;2). (C.38)
Escrevendo σ na forma polar, σ = |σ|eiϕ = |σ| cosϕ+ i|σ|senϕ e, logo apos, comparando com
(C.38), conclui-se que
|σ|senϕ = −1
2(l2;3 + l3;2). (C.39)
Alem disso, para ωµν e θ zeros pela equacao (C.21) σµν = θµν , de modo que, ao escolher µ = 2
e ν = 3, obtem-se:
σ23 = θ23 =1
2(l2;3 + l3;2), (C.40)
ou melhor,
σ23 = −|σ|senϕ. (C.41)
O efeito da fase de σ fica claro quando se investiga o efeito das transformacoes de Lorentz
92
sobre os vetores tipo-tempo e(2)′ e e(3)′ que coincidem com os eixos principais de σµ′ν′ (base
onde σµν e diagonal). Se for realizada uma transformacao de Lorentz sobre esta base, entao
os vetores da nova base sao escritos em termos da anterior da seguinte maneira
e(a) = Λ(b)′
(a) e(b)′ , (C.42)
onde Λ(a)′
(b) e representada na forma matricial por
Λ(a)′
(b) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cosφ senφ
0 0 −senφ cosφ
. (C.43)
Neste caso, o tensor σµ′ν′ que originalmente estava no sistema e(a)′ podera agora ser escrito
na base e(a) por intermedio da transformacao:
σµν = Λµ′
µΛν′
νσµ′ν′ . (C.44)
Tomando mais uma vez as componentes µ = 2 e ν = 3, tem-se que
σ23 = cosφsenφ σ2′2′ − senφ cosφ σ3′3′ , (C.45)
e fazendo uso do fato que σ3′3′ = −σ2′2′ = |σ|, conclui-se que
σ23 = −|σ|sen (2φ). (C.46)
Finalmente, ao comparar as equacoes (C.41) e (C.46), obtem-se que senϕ = sen (2φ). Logo,
φ =1
2ϕ =
1
2arg(σ). (C.47)
Portanto, a metade da fase de σ dara o angulo semi-eixo menos da elipse faz com o eixo e(2)
(ver figura C.1).
93
D Calculo dos escalares de Weyl via formalismo de
Newman-Penrose
Uma forma alternativa de se obter os escalares de Weyl ou apenas suas perturbacoes
e a partir das equacoes do formalismo de Newman-Penrose. Neste apendice sera calculado,
como exemplo, as perturbacoes nos escalares de Weyl para os modos com numero de onda
zero. Como foi apresentado no capitulo 5, estes modos levarao a escalares puramente reais de
modo que a analise aqui sera restrita apenas ao setor polar dessas perturbacoes.
No capitulo 5, mostrou-se que para perturbacoes polares com k = 0, pode-se extrair
uma solucao para as equacoes de Einstein linearizadas do tipo:
ds2 = −(r2
`2− 2
M + δM
r
)dt2 +
(r2
`2− 2
M + δM
r
)−1
dr2 + r2(e2δψdϕ2 + e−2δψdz2) (D.1)
onde δψ em termos de uma funcao Z(+)e−iωt = rδψ, satisfaz uma equacao de onda do tipo
(d2
dr2∗
+ ω2
)Z(+) = V (+)Z(+), (D.2)
com V (+) dado por
V (+) =2∆
`2r5(r3 +M`2). (D.3)
Uma base de tetrada nula construıda a partir da solucao (D.1) pode ser definida como:
lµ =(e−2ν−2δν , 1, 0, 0); mµ =1√2r
(0, 0, e−δψ, ieδψ);
nµ =1
2(1,−e2ν+2δν , 0, 0); mµ =
1√2r
(0, 0, e−δψ,−ieδψ),(D.4)
onde
e2ν =r2
l2− 2M
re e2δν = −δM
r. (D.5)
Os vetores covariantes associados a esta base sao
lµ =(−1, e−2ν−2δν , 0, 0); mµ =1√2
(0, 0, reδψ, ie−δψ);
nµ =1
2(−e2ν+2δν ,−1, 0, 0); mµ =
1√2
(0, 0, reδψ,−ire−δψ).(D.6)
Nota-se que o vetor l que aparece em (D.4) e (D.6) representa um vetor nulo no espaco-tempo
fısico podendo ser escrito na forma l = l(0) + δl, onde l(0) representa a parte nao perturbada
94
e δl e a perturbacao linear. O mesmo vale para os demais vetores da base.
Uma vez que se tem os vetores da base nula, e possıvel calcular diretamente deles
os coeficientes de spin usando as definicoes apresentadas em (3.50). Para espacos-tempos
assintoticamente anti-de Sitter se obtem os seguintes coeficientes de spin:
κ = ν = ε = π = τ = α = β = 0;
ρ =− 1
r, µ = −1
2
(r
`2− 2M + 2δM
r2
), γ =
1
2
(r
`2+M + δM
r2
)σ = −(e−2νδψ,t + δψ,r), λ =
1
2(δψ,t + δψ,re
2ν).
(D.7)
No caso em que δψ e δM sao zero, recupera-se os valores para os coeficientes de spin para o
espaco-tempo de fundo apresentados em (3.51). Finalmente se pode extrair os escalares de
Weyl a partir das seguintes identidades de Ricci
Dσ − δκ = σ(3ε− ε∗ + ρ+ ρ∗)
+ κ(π∗ − τ − 3β − α∗) + Ψ0; (a)
Dτ −∆κ = ρ(τ + π∗) + σ(τ ∗ + π) + τ(ε− ε∗)
− κ(3γ + γ∗) + Ψ1 + Φ01; (b)
Dµ− δπ = (ρ∗µ+ σλ) + π(π∗ − α∗ + β)
− µ(ε+ ε∗)− νκ+ Ψ2 + 2Π; (c)
δλ− δ∗µ = ν(ρ− ρ∗) + π(µ− µ∗) + µ(α + β∗)
+ λ(α∗ − 3β)−Ψ3 + Φ21; (d)
∆λ− δ∗ν = −λ(µ+ µ∗ + 3γ − γ∗)
+ ν(3α + β∗ + π − τ ∗)−Ψ4, (e)
(D.8)
onde Φ01, Φ21 e Π sao alguns dos escalares de Ricci. Para o problema em questao o unico
destes escalares que e diferente de zero e
Π = − 1
2`2.
Desse modo, ao resolver as equacoes (D.8) tomando apenas termos lineares nas perturbacoes
95
metricas se obtem os seguintes resultados
Ψ0 =2e−2ν
[−e2νδψ,rr +
(ν,r −
1
r
)δψ,t −
(ν,r +
2
r
)δψ,re
2ν − δψ,rt]
;
Ψ2 =− M + δM
r3;
Ψ4 =e2ν
2
[−e2νδψ,rr −
(ν,r −
1
r
)δψ,t −
(ν,r +
2
r
)δψ,re
2ν + δψ,rt
];
Ψ1 =Ψ3 = 0.
(D.9)
Alem disso, como no espaco-tempo de fundo somente Ψ(0)
2 e diferente de zero, se pode concluir
que em (D.9), ΨN = δΨPN para todo N 6= 2 e que
δΨP
2 = −δMr3
. (D.10)
A quantidade apresentada em (D.10) e igual a apresentada em (4.57) porem calculada por
um caminho alternativo. Os escalares δΨP0 e δΨP
4 , se escritos em termos das quantidades V (+)
W (+) e Z(+) apresentadas em (4.54), assumem as seguintes formas:
δΨ0 = − r3
∆2[V (+)Z(+) + (W (+) − 2iω)Λ−Z
(+)]e−iωt;
δΨ4 = − 1
4r[V (+)Z(+) + (W (+) + 2iω)Λ+Z
(+)]e−iωt.
(D.11)
Que reproduz os resultados apresentados na equacao (4.52), porem usando o formalismo de
Newman-Penrose.
Portanto, mostrou-se neste apendice que as perturbacoes nos escalares de Weyl tambem
podem ser extraıdos diretamente das equacoes do formalismo de Newman-Penrose. Alem
disso, para perturbacoes gravitacionais com numero de onda zero se mostrou diretamente
que da solucao (D.1) e possıvel obter escalares de Weyl δΨP0 e δΨP
4 diferentes de zero, o que
representa uma solucao com ondas gravitacionais.
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