A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa. · operador autoadjunto, e se não...

Matheus Curado Ferreira

A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na

Caixa.

Niterói

2019


A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa.

Trabalho de monografia apresentado

ao curso de graduação em Física -

Bacharelado, da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial à

conclusão do curso.

Universidade Federal Fluminense

Orientador: Prof. Dr. Rubens L.P.G. do Amaral

Niterói

2019


A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa.

Trabalho de monografia apresentado

ao curso de graduação em Física -

Bacharelado, da Universidade Federal

Fluminense, como requisito parcial à

conclusão do curso.

Prof. Dr. Rubens L.P.G. do AmaralUniversidade Federal Fluminense - UFF

Prof. Dr. Nivaldo A. LemosUniversidade Federal Fluminense - UFF

Prof. Dr. Marco MoriconiUniversidade Federal Fluminense - UFF

Niterói

2019

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Ficha catalográfica automática - SDC/BIFGerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155

F383f Ferreira, Matheus Curado A Física das Extensões Autoadjuntas : Partícula na Caixa./ Matheus Curado Ferreira ; Rubens Luis Pinto Gurgel doAmaral, orientador. Niterói, 2019. 43 f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física,Niterói, 2019.

1. Extensões Autoadjuntas. 2. Partícula na Caixa. 3.Interações tipo Delta de Dirac. 4. Física Matemática. 5.Produção intelectual. I. Amaral, Rubens Luis Pinto Gurgeldo, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Institutode Física. III. Título.

CDD -

O mistério da beleza é descrito pelas curvas que

compõem o indivíduo, assim como a Física de

um problema, que se encontra nas condições de

contorno.

Resumo

Neste trabalho faremos uso de técnicas desenvolvidas em Física Matemática, para

tentar esclarecer algumas questões sobre um dos problemas mais elementares

abordado em cursos de graduação em Física, normalmente na disciplina de Mecânica

Quântica. Quando sujeitamos uma partícula confinada em uma dimensão a condições

de contorno mais gerais possíveis, surgem estados de energia negativa. O que seriam

esses estados? Já que não há interação com nenhum potencial tipo poço, qual

é a sua origem? Apresentamos um estudo da Física das extensões autoadjuntas

de operadores simétricos, e por consequência desenvolvemos uma proposta para

explicar tal fenômeno.

Palavras-chave: Extensões Autoadjuntas, Partícula na Caixa, Interação

tipo Delta de Dirac, Estabilidade das Condições de Contorno, Física

Matemática.

Abstract

In this paper we will use techniques developed in Mathematical Physics, to try to

clarify some questions about one of the most elementary problems addressed in

undergraduate Physics courses, usually in the discipline of Quantum Mechanics.

When we subject a one dimensional confined particle to the most general boundary

conditions possible, negative energy states arise. What are these states? Since

there is no interaction with any potential wells. We show a study about the physics of

self-adjoint extensions of symmetric operators, and in consequence develop a proposal

to explain such phenomenon.

Keywords: Self-Adjoint Extensions, Particle in a Box, Dirac Delta type

interaction, Boundary Conditions Stability, Mathematical Physics.

Sumário

1 Introdução 10

2 Operadores Simétricos e Autoadjuntos em Mecânica Quântica 13

2.1 Operadores Simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Operador Momento confinado em 1D . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Adjunto de um Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Operador Autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Indices de deficiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Operador Momento confinado em 1D . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Operador H confinado em 1D 21

4 Operador H com interações tipo Delta de Dirac 26

4.1 Delta de Dirac na Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1 Operador Adjunto de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Operador H no domínio D(R̊)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Formas de Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Funções Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 E.A.A num intervalo a partir de funções Delta de Dirac 34

5.1 Transmutação das condições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 Conclusão 39

Apêndice A -- Condições de contorno a partir das funções teste 40

Referências Bibliográficas 43

10

1 Introdução

A mecânica quântica trouxe grandes inovações, marcando uma nova era

na ciência, onde o homem passa a acessar escalas atômicas, podendo assim

desenvolver novos materiais como transistores, semicondutores, prever a existência

de novas partículas, estudar efeitos de magnetização, supercondutividade e

superfluidez dentre outros fenômenos. Ela traz a tona o caráter discreto da natureza,

baseada em seis postulados e com uma matemática própria regida pela álgebra linear,

mas com algumas sutilezas.

Com um Nobel em 1932 [7], W. Heisenberg Formaliza essa teoria, que vinha

emergindo de grandes resultados como o efeito fotoelétrico [5] e o trabalho de Max

Planck para com a catástrofe ultravioleta [6]. Em 1933 fica irrefutável a eficácia

da mecânica quântica, quando Dirac e Schrödinger, dividem o Prêmio Nobel pela

descoberta de novas formas produtivas da teoria atômica [8]. Essencialmente, Erwin

Schrödinger com sua célebre equação, traz à tona o caráter ondulatório da matéria, e

sua relação direta com a óptica, já Paul A.M. Dirac, cria uma formulação relativística

para o elétron, e em consequência prevê a existência do pósitron, a antipartícula do

elétron, ou seja, sua antimatéria.

Nos cursos de graduação em física é comum o estudo de tal disciplina, mas

pouco se fala sobre os bastidores dessa teoria, de fato, os grandes nomes citados

anteriormente tiveram um protagonismo essencial em cada um de seus trabalhos,

mas nenhuma teoria que leva décadas para se desenvolver, pode se dar luxo de ter

somente alguns nomes, muitas foram as contribuições. John von Neumann foi um

dos grandes matemáticos que notou que a estrutura lógica de sistemas quânticos era

diferente da de sistemas clássicos. Em 1929 ele lança um trabalho sobre operadores

Hermitianos não limitados [3], trazendo à tona o importante trabalho de David Hilbert,

que gerou os então conhecidos espaços de Hilbert, que é uma generalização do

espaço euclidiano que não precisa estar restrita a um número finito de dimensões.

O objetivo dessa monografia é apresentar o conceito de operador autoadjunto, e

1 Introdução 11

discutir sua importância para uma interação delta de Dirac, definida em um domínio

finito. Usamos como referência trabalhos publicados recentemente, e alguns livros

destinados a cursos de pós-graduação em física. A compreensão da noção sobre

as famílias de extensões autoadjuntas de operadores simétricos é cada vez mais

importante. A relação entre essas famílias e as condições de contorno está na raiz

de diversas aplicações modernas, dado que um observável mensurável é descrito por

um único operador autoadjunto. Em [1] M.Asorey, mostra que tanto para uma teoria

bosônica, quanto para uma teoria fermiônica, o princípio fundamental da conservação

de carga, está fortemente relacionado ao fato do Hamiltoniano ser autoadjunto.

Agora peço a atenção do leitor para um trabalho muito interessante que ilustra a

importância dos operadores em mecânica quântica. Que se encontra em [2] e mostra

um "aparente paradoxo". Vamos considerar a seguinte situação, uma partícula num

poço infinito unidimensional, ou seja,

V (x) = 0, x ∈ [−L2,L2]; V (x) = ∞, |x| ≥ L

2. (1.1)

Onde os estados estacionários são dados por Hψ = Eψ, e H é definido da seguinte

forma,

H ≡− h̄2d2

2mdx2 , D(H) =

{φ , Hφ ∈ L2(−L

2,L2), φ(±L

2) = 0

}. (1.2)

Dados os seguintes autoestados,

Ψn(x) =

√2L

cos[(2n−1)πx

L

], E ′n =

h̄2

2m

((2n−1)π

L

)2

, (1.3)

que representam as autofunções normalizadas de paridade par, para uma partícula

de massa m confinada em [−L2 ,+

L2 ] por um poço de potencial infinto unidimensional

com a condição de contorno Ψ(±L2 ) = 0, podemos tomar um estado definido, tal que

Ψ =−√

30L5 (x

2− L2

4), |x| ≤ L

2; Ψ(x) = 0, |x| ≥ L

2. (1.4)

Fazendo uma expansão nas autofuncões dadas em (1.3), encontramos

Ψ(x) = ∑bnΨn(x), bn = (Ψn,Ψ) =(−1)n−1

(2n−1)38√

15π3 . (1.5)

1 Introdução 12

Quando tomamos 〈E2〉, temos 1

〈E2〉= ∑ |bn|2(En)2 =

240h̄4

m2π2L4 ∑1

(2n−1)2 =30h̄4

m2L4 . (1.6)

Mas por outro lado,

〈E2〉= (Ψ,H2Ψ) = 0, (1.7)

ou seja, aqui reside um paradoxo, será que toda a mecânica quântica foi por água

baixo? A resposta é não! As funções φ possuem uma restrição segundo a definição

do operador (1.2), mas HΨ não, o que nos leva à

(HΨ,HΨ) 6= (Ψ,H2Ψ). (1.8)

Mas como assim?! O que ocorre aqui é que a função HΨ não vai a zero nos extremos,

não há restrição para HΨ, ou seja, HΨ não pertence ao domínio do operador H. Em

muitos livros-texto a nível de graduação, a definição de operador envolve somente a

ação que esse operador realiza. Mas uma definição mais rigorosa, deveria explicitar

também o domínio em que ele atua. Afinal queremos encontrar observáveis, ou seja,

operadores que estejam de acordo com as leis fundamentais da Mecânica Quântica.

Como foi dito anteriormente eles devem ser autoadjuntos. E como saber se são, ou

não? Abordaremos algumas técnicas para isso no Capítulo 2.

Começaremos a monografia revisando alguns conceitos que não são usualmente

abordados em um curso de graduação, apresentaremos o teorema de von Neumann

sobre os índices de deficiência, onde ele determina se um operador é ou não um

operador autoadjunto, e se não for, se existe uma extensão sua que seja.

Neste trabalho estamos interessados em estudar operadores autoadjuntos

que descrevem situações em que a partícula esteja confinada em um intervalo.

Discutiremos o que ocorre quando descontinuidades na função são geradas por um

potencial delta de Dirac e/ou sua primeira derivada adicionado ao Hamiltoniano livre.

Para o capítulo 2 os livros que ajudaram o desenvolver este trabalho foram [12] e

[14]. Já os capítulos três e quatro tivemos como referência [2], [9] e [10]. E o último

capítulo, foi a proposta apresentada por nós para explicar os fenômenos abordados

nos capítulos anteriores, mas o trabalho [11] foi de grande ajuda.

1A soma ∑1

(2n−1)2 pode ser obtida calculando a norma da função |x| através do teorema de Parsevalaplicado à sua série de Fourier calculada entre −π e π.

13

2 Operadores Simétricos eAutoadjuntos em MecânicaQuântica

Neste Capítulo discutiremos o teorema dos índices de deficiência de John von

Neumann, para isso é preciso revisar e aprender alguns conceitos sobre operadores

lineares autoadjuntos. Tomaremos como ponto de partida os operadores simétricos.

2.1 Operadores Simétricos

Comecemos definindo um operador linear.

Definição: Um operador A no espaço de Hilbert H é uma aplicação

x 7→ y = Ax , x ∈ D(A) , y ∈H

definida no subconjunto D(A) de H . O operador A é Linear se D(A) é um espaço

vetorial e

A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2 , ∀ x1 , x2 ∈ D(A) ; ∀ α , β ∈ C .

Aqui D(A) é o domínio de A e y = Ax, é o conjunto de suas imagens. A partir daqui

podemos definir os operadores simétricos, ou Hermitianos.

Definição: Um operador linear B definido num domínio denso1 do espaço de Hilbert

é chamado simétrico se

(Bx,y) = (x,By) ∀x,y ∈ D(B) . (2.1)

1O leitor pode estar se perguntando, porque estamos falando de operadores densos? Ao invés deoperadores definidos em todo o espaço de Hilbert. A maioria dos operadores de interesse físico sãoilimitados, logo são no máximo densos em H . Isso é bem explicado no capítulos 11 e 12 de [12].Sugestão: faça a leitura sobre o teorema Hellinger-Toeplitz.

2.1 Operadores Simétricos 14

Equivalentemente, veremos, B é simétrico se e somente se D(B)⊂D(B†) e se Bx=B†x,

para todo x ∈ D(B). Vejamos a seguir um exemplo de uma partícula em 1D confinada

entre [0,L], para ilustrar a importância dos conceitos até aqui abordados.

2.1.1 Operador Momento confinado em 1D

Vamos considerar operador momento linear, P = −ih̄ ddx (onde por convenção

adotaremos h̄ = 1), agindo em um espaço de funções2 definidas no intervalo fechado

[0,L]. Seu domínio é inicialmente definido por,

D(P) = {φ ,φ ′ ∈ L2([0,L]);φ(0) = φ(L) = 0}. (2.2)

Se ele é simétrico deve valer que,

(Pφ ,ψ) = (φ ,Pψ) ∀φ ,ψ ∈ D(P) . (2.3)

Onde,

(Pφ ,ψ) =∫ L

0−i

dφ(x)dx

ψ(x)dx . (2.4)

De fato, integrando por partes,

(Pφ ,ψ) = iφ(x)ψ(x)|L0− i∫ L

0φ

dψ(x)dx

dx, (2.5)

ou seja,

(Pφ ,ψ)− (φ ,Pψ) = −i[φ(L)ψ(L)−φ(0)ψ(0)] = 0 . (2.6)

P será simétrico pois devido a (2.2), a última equação será satisfeita.

Tentemos resolver a equação de autovalores para esse operador:

−iddx

ψp(x) = pψp(x),

tem por solução única

ψp(x) = eipx,

que não pertence ao domínio do operador P, descrito em (2.2). Assim não

há autovetores (nem no sentido generalizado de funções não normalizáveis) e a

interpretação de P como observável é problemática.

Uma solução é definir condições menos restritivas, como por exemplo, uma

2é preciso especificar os requerimentos de "suavidade"para as funções φ e φ ′. Não discutiremosesse detalhe aqui.

2.2 Adjunto de um Operador 15

condição de contorno periódica

D0(P) = {φ ,φ ′ ∈ L2([0,L]);φ(L) = φ(0)}, (2.7)

que permitirá obter soluções da equação de autovalores para o operador e mais, os

autovalores definam um conjunto discreto.

Entretanto, poderíamos escolher condições mais gerais ψ(L) = eiθ ψ(0), e definir

um novo domínio Dθ (P) para P que será,

Dθ (P) = {φ ,φ ′ ∈ L2([0,L]);φ(L) = eiθφ(0)}, (2.8)

com θ ∈ [0,2π]. O que está acontecendo aqui? Cada valor diferente de θ dentro do

intervalo [0,2π], corresponderá a um operador distinto e a uma situação física diferente.

Um exemplo seria tomarmos θ = 0, e então cairíamos na situação usualmente

associada a uma partícula com condições periódicas numa caixa unidimensional, ou

uma partícula em um circulo. Agora se a partícula estiver carregada e imersa em um

campo magnético, a periodicidade da função pode ser modificada, e teremos θ 6= 0.

Concluímos que esse problema, operador momento em uma caixa unidimensional,

admite infinitas condições de contorno parametrizadas por θ . Dizemos que P tem

infintas extensões autoadjuntas(E.A.A’s), e que cada extensão dessa vai representar

uma física diferente.

2.2 Adjunto de um Operador

Assim como na seção anterior, aqui temos de rever alguns conceitos que

certamente foram estudados durante o curso de álgebra linear e que precisam de

um certo cuidado. Antes de definirmos o que é um operador autoadjunto, precisamos

definir o adjunto de um operador. Se B é um operador densamente definido, então o

adjunto de B, B† é único3.

Definição: Seja B : D(B) ⊆ H → H um operador linear densamente definido. Por

definição:

v ∈ D(B†) ,

3Se B não é denso em H , então B não admite um adjunto, pois haverá mais de um B† associado aB.

2.2 Adjunto de um Operador 16

se existe um vetor w ∈H , tal que

(v,Bu) = (w,u), ∀u ∈ D(B), (2.9)

e definimos:

B†v = w.

Assim, obtemos o operador adjunto B† : D(B†) ⊆H →H . Para que essa definição

faça sentido e w esteja univocamente definido, D(B) deve ser denso em H . De fato,

se a relação (2.9) é verdadeira, quando trocarmos w por w′ , então , teremos:

(w−w′,u) = 0, ∀u ∈ D(P) . (2.10)

Uma vez que D(B) é denso em H , concluímos que w = w′. Assim o adjunto B† está

univocamente definido.

Aqui devemos recobrar a atenção, uma vez que é fácil confundir os conceitos de

operador adjunto, autoadjunto e simétrico, vejamos a diferença definindo o operador

auto-adjunto. Vamos nos restringir a operadores B, que sejam simétricos, ou seja

que satisfazem à condição (2.1). Assim, para tal operador, qualquer elemento v do

seu domínio, permite definir um w = B†v, de tal modo que o par {v,w} satisfaz a (2.9)

levando a que v ∈ D(B†) e B†v = Bv. A questão é que em geral, os vetores do domínio

de B podem não esgotar o domínio de B†. Nesses casos o adjunto B† será uma

extensão do operador simétrico B, dizemos que B ⊂ B†. Como exemplo, aplicaremos

essa definição ao caso do operador momento linear (2.2), onde φ(0) = φ(L) = 0.

Seu adjunto é dado por,

(η ,φ) = (ψ,Pφ), ∀φ ∈ D(P), ∀ψ ∈ D(P†). (2.11)

Integrando por partes, temos

(ψ,Pφ) =−iψ(x)φ(x)|L0−∫ L

0(−i

dψ(x)dx

)φ(x)dx. (2.12)

Como o primeiro termo do lado direito da equação acima é nulo , devido a φ(0) =

φ(L) = 0, fica definido que η = Pψ, mas note que D(P) 6= D(P†).

2.3 Operador Autoadjunto 17

2.3 Operador Autoadjunto

Vejamos agora como é definido um operador autoadjunto, e a sutil diferença entre

ele, o adjunto e o operador simétrico.

Definição: Um operador T : D(T )→H densamente definido em H é dito ser um

operador autoadjunto se T = T †. Assim, um operador T : D(T )→ H densamente

definido é autoadjunto se D(T ) = D(T †) e T ψ = T †ψ para todo ψ ∈ D(T ) = D(T †).

Naturalmente, tem-se também (φ ,T ψ) = (T φ ,ψ) para todos φ ,ψ ∈ D(T ). É evidente

também que todo operador autoadjunto é simétrico.

A recíproca da última afirmação não é verdadeira! Como vimos em (2.1),

um operador pode ser simétrico, mas não necessariamente autoadjunto e isso

fica evidente quando calculamos seu adjunto (2.11). Em algumas literaturas,

principalmente as que são voltadas para a graduação, os operadores autoadjuntos

e simétricos (ou Hermitianos) são usados como sinônimos. Operadores simétricos,

mas não autoadjuntos, podem não ter um espectro real. Um exemplo simples de um

operador autoadjunto é o operador posição x̂ em H , é fácil ver que ele é simétrico,

pois ele satisfaz diretamente a relação (2.1),

(x̂φ ,ψ) =∫

∞

−∞

xφ(x)ψ(x)dx =∫

∞

−∞

φ(x)xψ(x)dx = (φ ,x̂ψ) . ∀ φ ,ψ ∈ D(x̂)⊆H . (2.13)

Já seu adjunto, ficará definido da seguinte forma : ∀ φ ∈ D(x̂†), ∃ ζ ∈H ; (ζ ,ψ) =

(φ ,x̂ψ) ∀ψ ∈ D(x̂), logo∫∞

−∞

ζ (x)ψ(x)dx =∫

∞

−∞

φ(x)xψ(x)dx =∫

∞

−∞

xφ(x)ψ(x)dx (2.14)

donde, ∫∞

−∞

ζ (x)− xφ(x) ψ(x)dx = 0 =⇒ (ζ − xφ ,ψ) = 0 ∀ψ ∈ D(x̂). (2.15)

Como D(x̂) é denso em H , e a equação acima diz que xφ = ζ ∈H , isso implica que

φ ∈ D(x̂), o que nos leva à D(x̂†) = D(x̂), ou seja, x̂ é autoadjunto.

Dessa forma, fica clara a sutil diferença entre os operadores e a necessidade de

se definir o domínio no qual eles atuam.

2.4 Indices de deficiência 18

2.4 Indices de deficiência

A técnica desenvolvida por von Neumann e 1929 [3], nos permite saber se um

operador simétrico pode ser estendido ou não, a um operador autoadjunto, além disso

existe uma sistemática para construir as diversas extensões autoadjuntas (E.A.A’s).

Nosso intuito aqui é fazer uso dessa ferramenta, deixaremos a referência de um artigo

mais recente onde se faz uma revisão deste teorema, de uma forma mais rigorosa em

[4]. Na teoria de von Neumann dois subespaços associados a um operador, serão

chamados de subespaços de deficiência, dados por

N+ = {ψ ∈ D(A†), A†ψ =+iλψ λ > 0},

N− = {ψ ∈ D(A†), A†ψ =−iλψ λ > 0},

e os índices de deficiência (n+,n−) serão definidos por

n+ = dimN+ ,

n− = dimN− .

Teorema: Para um operador A com índices de deficiência (n+,n−) existem três

possibilidades:

1. Se n+ = n− = 0, então, A é essencialmente4

2. Se n+ = n− = n ≥ 1, então, A admite infinitas extensões autoadjuntas,

parametrizadas pela matriz unitária n×n (n2 parâmetros reais).

3. Se n+ 6= n−, então A não tem extensões autoadjuntas.

Uma vez encontrado o domínio em que P é simétrico, devemos a partir das

definições e usando o teorema acima, determinar os índices de deficiência, daí

descrever o domínio de todas as extensões autoadjuntas. A seguir apresentaremos

alguns exemplos que serão úteis para a discussão do próximo capítulo.

2.4.1 Operador Momento confinado em 1D

Aplicando o teorema dos indices de deficiência ao caso (2.2), dado que seu

adjunto já foi calculado em (2.11), temos que a dimN± é encontrado a partir das4Se um operador é essencialmente adjunto, então A† é uma extensão de A , de tal forma que A† atua

no limite de qualquer sequência convergente definida no domínio de A.


soluções linearmente independentes de,

P†ψ±(x) = (−i

ddx

)†ψ±(x) =±iλψ±(x) . (2.16)

Onde são soluções,

ψ±(x) = Be∓λx. (2.17)

Como estamos em um intervalo finito [0,L] , ambas as soluções ψ±(x) = Be∓λx são

de quadrado integrável, ou seja, os índices de deficiência são (1,1). Sabemos pelo

teorema de von Neumann, que essas extensões autoadjuntas são parametrizadas por

U(1), o que está de acordo com o que vimos anteriormente em (2.1.1). Vamos denotar

essas extensões por Pθ = (P,Dθ ), que são dadas por,

Dθ (P) = {φ ,φ ′ ∈ L2([0,L]);φ(L) = eiθφ(0)} . (2.18)

A partir dessas novas condições de contorno, podemos encontrar os autovalores e os

autovetores,

Pθ φn(x,θ) =2π

Lvφn(x,θ), v = n+

θ

2π, n = 0,±1,±,2,... (2.19)

φn(x,θ) =1√L

e2iπv xL , (φm,φn) = δ[mn . (2.20)

Qual a importância disso? Para ilustrar, voltemos ao problema abordado na introdução

deste trabalho (1.3). Aqui faremos uma translação para que a função de onda se

adéque ao domínio que estamos trabalhando, ou seja x→ x+ L2 , que nos leva à

Ψ =

√30L5 x(x−L). (2.21)

Sua expressão em autofunções é dada por,

Ψ = ∑cn(θ)ψn(x,θ) , (2.22)

com coeficientes

cn(θ) =−√

306

[cos(

θ

2)−

sin(θ

2 )

πv

]e−i θ

2 . (2.23)

Aqui podemos observar que a probalibildade de encontrar uma partícula de momento2πv

L irá depender de θ , ou seja para cada θ haverá uma física diferente.

Um outro caso interessante que ilustra a importância do teorema de John von

Neumann, é o operador momento definido no eixo real, ou seja de (−∞,+ ∞), as

soluções (2.15) nesse caso não serão de quadrado integrável, assim os índices de


deficiência passam a ser (0,0) e o operador é autoadjunto. Entretanto, se definirmos o

operador apenas no semi-eixo real (0,∞), é fácil ver que uma das soluções de (2.15)

é de quadrado integrável, e a outra não! O que nos leva a concluir que os índices de

deficiência são (1,0), ou seja, não existem extensões autoadjuntas (E.A.A’s) para o

operador momento definido no semi-eixo real.

21

3 Operador H confinado em 1D

Seguindo os mesmos passos da seção anterior, agora faremos o caso para

operador hamiltoniano definido como H = − 12m

d2

dx2 (por conveção faremos m = 12 ).

Estamos trabalhando no espaço de Hilbert L2(a,b), ou seja, buscamos autofunções

que sejam de quadrado integrável num domínio D(a,b). Primeiramente vamos

considerar o operador (H,D0(H)), tal que

D0(H) = {φ ∈ Dmax(0,L) ∈ L2([0,L]) , φ(0) = φ(L) = φ′(0) = φ

′(L) = 0}; (3.1)

seja densamente definido. O termo Dmax simboliza o conjunto de funções que são

duplamente diferenciáveis, tal que a derivada segunda seja de quadrado integrável.

É fácil ver que H é simétrico, pois satisfaz

(Hψ,φ) = (ψ,Hφ), ψ,φ ∈ D0(H) . (3.2)

Assim, o adjunto de H é definido da seguinte forma, H†ψ = ψ̃, com a igualdade a

seguir válida para qualquer φ ∈ D0

(ψ̃,φ) = (ψ,Hφ), D(H†) = Dmax(0,L) . (3.3)

Mas,

(ψ,Hφ) =∫ L

0ψ(x)(−d2φ(x)

dx2 )dx (3.4)

integrando por partes, temos

−ψ(x)φ′(x)|L0 +

∫ L

0ψ′(x)φ

′(x)dx . (3.5)

Integrando por parte novamente o último termo, encontramos que

(ψ,Hφ) =−ψ(x)φ′(x)|L0 +ψ

′(x)φ(x)|L0−

∫ L

0(d2ψ(x)

dx2 )φ(x)dx , (3.6)


mas os dois primeiros termos são nulos devido a condição (3.1), ou seja,

(ψ,Hφ) =∫ L

0(−d2ψ(x)

dx2 )φ(x)dx≡ (H†φ ,ψ) . (3.7)

Concluímos então que ψ̃ = H†ψ =−d2ψ(x)dx2 , que define o adjunto de H.

Para encontrar os índices de deficiência, resolveremos

(− d2

dx2 )†ψ(x) =±ik2

0ψ(x), (3.8)

com k0 > 0 e que nos levará à,

− d2

dx2 ψ(x)∓ ik20ψ(x) = 0, (3.9)

que é parecida com a equação de um oscilador harmônico simples. Suas soluções

são dadas por,

φ± = a±ek±x +b±e−k±x, k± =(1∓ i)√

2k0 . (3.10)

Agora estejamos atentos ao caso que corresponde o kernel deste trabalho. Como não

há restrição nos valores das funções ψ(x) nos extremos, todas as soluções de (3.9)

pertencem a L2(0,L) e ambas são linearmente independentes, temos que os índices

são n+ = n− = 2, ou seja, as E.A.A’s são parametrizadas pelas matrizes U(2). Para

descrever essas matrizes e consequentemente as condições de contorno, faremos uso

da forma sesquilinear "B(φ ,ψ)", que pode ser construída a partir do produto interno

B(φ ,ψ)≡ 12i((H†

ψ,φ)− (ψ,H†φ)), (3.11)

(H†φ ,ψ) =−φ

′(x)ψ(x)|L0 +

∫ L

0φ′(x)ψ

′(x)dx . (3.12)

(φ ,H†ψ) =−φ(x)ψ

′(x)|L0 +

∫ L

0φ′(x)ψ

′(x)dx . (3.13)

(H†φ ,ψ)− (φ ,H†

ψ) = φ(L)ψ′(L)−φ

′(L)ψ(L)−φ(0)ψ

′(0)+φ

′(0)ψ(0) . (3.14)

Mas estamos em dívida com o leitor! Pois nada falamos sobre essa nova ferramenta

apresentada em (3.11), isso será devidamente esclarecido no próximo capítulo.

Voltando ao problema, como definimos que o estado φ pertence ao domínio em

que estamos avaliando este operador H, faremos ψ =⇒ φ para que B(φ ,ψ) =⇒B(φ ,φ) e num Dmax(0,L) vamos exigir que B(φ ,φ) seja identicamente nulo. Assim

conseguiremos construir nossas condições de contorno,

(H†φ ,φ)− (φ ,H†

φ) = φ(L)φ′(L)−φ

′(L)φ(L)−φ(0)φ

′(0)+φ

′(0)φ(0) . (3.15)


que nos leva à,

B(φ ,φ) =12i((φ(L)φ

′(L)−φ

′(L)φ(L)−φ(0)φ

′(0)+φ

′(0)φ(0))) . (3.16)

Dada a identidade,12i(xy− xy) =

14(|x+ iy|2−|x− iy|2), (3.17)

e aplicando x= Lφ′(L) e y= φ(L) de um lado e x= Lφ

′(0) e y= φ(0) de outro, chegamos

em um soma de termos positivo definidos com outros negativos

4LB(φ ,φ) = |Lφ′(0)− iφ(0)|2 + |Lφ

′(L)+ iφ(L)|2−|Lφ

′(0)+ iφ(0)|2−|Lφ

′(L)− iφ(L)|2 .

O domínio que admite a extensão autoadjunta é um subespaço de Dmax(0,L) onde

B(φ ,φ) é identicamente nulo. Assim conseguimos as condições de contorno que

estendem o operador H e ao mesmo tempos restringem o operador H† para que

fiquem iguais. De fato o lado direito da equação anterior se anula se montamos as

condições de contorno da seguinte forma,(Lφ

′(0)− iφ(0)

Lφ′(L)+ iφ(L)

)=U

(Lφ

′(0)+ iφ(0)

Lφ′(L)− iφ(L)

). (3.18)

Aqui aparece a matriz unitária U . Cada escolha de U define um operador HU = H†U . O

conjunto de todas as matrizes U define a família de E.A.A,s.

Para analisar U façamos a seguinte parametrização,

U = eiψM, detM = 1, =⇒ detU = e2iψ , ψ ∈ [0,2π] . (3.19)

E para construir M usaremos as matrizes de Pauli,

τ1 =

(0 1

1 0

), τ2 =

(0 −i

i 0

), τ3 =

(1 0

0 −1

). (3.20)

introduzindo as quatro coordenadas mµ a matriz M será,

M =

(m0− im3 −m2− im1

m2− im1 m0 + im3

)= m0I− i~m.~τ . (3.21)

A condição de detM = 1 é obtida com as coordenadas m = (m0,~m) restringidas por

m20 +~m.~m = 1, ⇐⇒ m ∈ S3 . (3.22)

Então, tomando como ponto de partida (3.18) podemos calcular o espectro do


Hamiltoniano numa caixa.

Soluções propostas:

φ(s,x) = AeisxL +Be

−isxL , Φ =

(A

B

). (3.23)

Substituindo em (3.18), podemos definir duas novas matrizes,(Lφ

′(0)− iφ(0)

Lφ′(L)+ iφ(L)

)= iR(s)Φ,

(Lφ

′(0)+ iφ(0)

Lφ′(L)− iφ(L)

)= iT (s)Φ . (3.24)

Onde,

R(s) =

(s−1 −s−1

(s+1)eis −(s−1)e−is

), T (s) =

(s−1 −s+1

(s−1)eis −(s+1)e−is

). (3.25)

Enfim, chegamos a duas equações

(R(s)−UT (s))Φ = 0 , (3.26)

det(R(s)−UT (s)) = 0 . (3.27)

E é a segunda equação na qual estamos interessados, pois ela nos fornece o espectro

do Hamiltoniano. A partir dela, um cálculo direto usando a seguinte identidade (válida

para matrizes 2×2),

det(A−B) = detA+detB+ tr(AB)− trA× trB , (3.28)

leva às descrições dos autovalores

E =s2

L2 > 0, 2s[sin(ψ)cos(s)−m1] = sin(s)[cos(ψ)(s2 +1))−m0(s2−1))] (3.29)

E = 0, s =⇒ 0 ↔ 2sin(ψ)− cos(ψ) = 2m1 +m0 (3.30)

E =− r2

L2 < 0, s = ir ↔ 2r[sin(ψ)cosh(r)−m1] = sinh(r)[−cos(ψ)(r2−1))+m0(r2+1)]

(3.31)

Aqui observamos que os autovalores não dependem dos parâmetros m2 e m3. O

resultado mais interessante descrito por esse espectro são as possíveis soluções de

energia negativa E < 0, que não são comuns em casos de partícula em um poço.

Mas então, o que está acontecendo aqui? Será que para uma partícula confinada

numa caixa, existem possíveis estados de energia negativa? O que eles representam

fisicamente? E porquê não são soluções quando sujeitamos a partícula a condições


de contorno mais "triviais"? (exemplo 2.1.1).

Um caso curioso que ressalta a importância do estudo de E.A.A,s é apresentado

no livro Problems Solutions in Nonrelativistic Quantum Mechanics de Anton Z. Capri

[13]. No exercício 6.8 do capítulo 6, ele propõe que encontremos os índices de

deficiência e todas as E.A.A’s para o operador Hamiltoniano num intervalo finito (o

mesmo problema abordado nesta seção). Porém ao resolver o problema, Capri faz

uma escolha em sua solução que limita suas condições de contorno, logo ele não

mapea todas as E.A.A,s pois a condição de contorno que ele calcula, não é a mais

geral1.

1A condição de contorno mais geral para esse problema foi calculada neste trabalho, e se encontraem (3.18)

26

4 Operador H com interações tipoDelta de Dirac

Com o objetivo de responder as questões que surgiram no capítulo anterior,

faremos uma análise no caso em que o operador hamiltoniano para uma partícula

livre no espaço infinito, é acrescido de um potencial delta de Dirac ou derivada da

delta de Dirac.

4.1 Delta de Dirac na Origem

Aqui devemos ter muita cautela, pois não sabemos como as funções ψ e φ ,

respondem ao acoplamento da delta no hamiltoniano. Dado isso, façamos a seguinte

suposição: Iniciamos com um operador H definido em L2(R) exceto em algum intervalo

na origem, ou seja

DH = D(R̊)= D(−∞,0)∪D(0,+∞),R̊= (−∞,0)∪ (0,+∞), (4.1)

onde todas as funções ψ são absolutamente contínuas e elas e suas derivadas, vão a

zero em vizinhanças próximas da origem (x = 0). Esse comportamento na vizinhança

de x = 0 caracteriza uma possível singularidade induzida por interações tipo delta. O

subespaço D(R̊)

é denso em L2(R).

Nosso operador ficará definido como,

H :

{DH = D

(R̊),

Hψ =−d2ψ

dx2

∀ψ ∈ D(R̊). (4.2)

É fácil observar que esse operador é simétrico, pois

(Hψ,φ) = (ψ,Hφ) ∀ψ ∈ DH .

Agora devemos encontrar o adjunto deste operador.

4.1 Delta de Dirac na Origem 27

4.1.1 Operador Adjunto de H

Sendo H densamente definido num espaço de Hilbert H , D(H†) é o conjunto de

vetores ψ ∈H para os quais existem ψ̃ ∈H tal que

(ψ̃,φ) = (ψ,Hφ) ∀φ ∈ DH (4.3)

Resolver o lado direito da equação acima, seria repetir a mesma conta já realizada no

capítulo anterior (3.6) , que nos leva à

(ψ,Hφ) =−ψ(x)φ′(x)|

′∞−∞ +ψ

′(x)φ(x)|

′∞−∞−

∫∞

−∞

(d2ψ(x)

dx2 )φ(x)dx (4.4)

Como estamos lidando com um domínio que não inclui a origem, as duas primeiras

equações do lado direito de (4.4) se reescrevem da seguinte maneira,

−ψ(x)φ′(x)|

′∞−∞ =−ψ(x)φ

′(x)|∞0 −ψ(x)φ

′(x)|0−∞ (4.5)

e

ψ′(x)φ(x)|

′∞−∞ = ψ

′(x)φ(x)|∞0 +ψ

′(x)φ(x)|0−∞ (4.6)

Como as funções vão a zero no infinito, nos sobra a seguinte expressão,

−ψ(0+)φ′(0+)+ψ(0−)φ

′(0−)+ψ

′(0+)φ(0+)−ψ

′(0−)φ(0−) (4.7)

Observe que todos os termos da equação acima são nulos, pois φ é nulo na origem,

o que reduz a expressão (4.4), para a seguinte forma

(ψ,Hφ) =−∫

∞

−∞

(d2ψ(x)

dx2 )φ(x)dx (4.8)

em outras palavras,

(ψ,Hφ) = (H†ψ,φ) = (−d2ψ(x)

dx2 ,φ(x)), (4.9)

que define o adjunto do operador H. A seguir faremos uma breve reflexão em cima de

um resultado que a priori, pode parecer um tanto redundante,

(H†ψ,φ)− (ψ,Hφ) = 0 , (4.10)

o que significa dizer que,

ψ(+0)φ′(+0)−ψ

′(−0)φ(−0)−ψ(+0)φ

′(+0)+ψ

′(−0)φ(−0) = 0 . (4.11)


28

A equação acima nos diz que H† é o adjunto de H , mas, ela também nos diz que H

não é autoadjunto. Tudo isso deve-se ao fato de que ψ não precisa estar definida

num domínio que exclua a origem (nada falamos sobre ψ(0)), logo o domínio de

H† não coincide com o de H. Vimos no capítulo anterior, como construir as E.A.A,s

identificando equações análogas a (4.11) como uma forma sesquilinear. Aqui temos

uma situação em que os domínios diferem, ou seja, a equação (4.11) tem algumas

informações implícitas que serão exploradas nas próximas seções.


O operador H definido em (4.2) , nos levará à mesma equação (3.10) do caso finito

realizado no capítulo anterior. Todavia, aqui o domínio do operador H é diferente, de

forma que em algum intervalo na origem as funções em ψ ∈DH se anulam. O domínio

de H† não requer continuidade da função e de sua derivada na orígem, como veremos

em seguida. Com isso, podemos procurar soluções para a equação que define os

índices de von Neumann em duas regiões: No semi-eixo negativo tendendo a zero

pela esquerda, e no semi-eixo positivo tendendo a zero pela direita.

As soluções são,

ψ1±(x) =

{a±e−

√k (1∓i)√

2x, x > 0.

0, x < 0.ψ2±(x) =

{0, x > 0.

b±e√

k (1∓i)√2

x, x < 0.

(4.12)

Assim, para cada semi-eixo temos duas soluções diferentes. Os índices são

(n+,n−)=(2,2). O que nos levá a seguinte pergunta: Se existem E.A.A,s deste operador,

como encontra-las? Sabemos pelo teorema, que as mesmas são soluções rotuladas

pelo grupo U(2). Uma maneira de encontrar a matriz U é fazendo uso da forma

sesquilinear, mas o que significa essa forma? No capítulo anterior, fez-se necessário

o uso de tal ferramenta. Agora precisamos justificar e explicar sua utilização.

4.2.1 Formas de Assimetria

Pela definição (2.1), um operador simétrico A é um operador densamente definido

que satisfaz a condição,

(ψ,Aφ)− (Aψ,φ) = 0, ∀ψ,φ ∈ D(A) . (4.13)


29

O critério de simetria de um operador A densamente definido, é de que todos os

elementos da matriz sejam reais, isto é

(φ ,Aφ)− (Aφ ,φ) = (φ ,Aφ)− (Aφ ,φ) = 2iIm(φ ,Aφ) = 0, ∀φ ∈ D(A) . (4.14)

É natural introduzirmos duas formas definidas para o operador adjunto A† em seu

domínio D(A†) : a forma sesquilinear BA†(η ,ϕ) dada por,

BA†(η ,ϕ) = (η ,A†ϕ)− (A†

η ,ϕ), ∀η ,ϕ ∈ D(A†) . (4.15)

E sua forma quadrática CA†(ϕ), que é uma restrição de BA†(η ,ϕ) para o caso diagonal

ϕ = η

CA†(ϕ) = BA†(ϕ,ϕ) = 2iIm(ϕ,A†ϕ), ∀ϕ ∈ D(A†) . (4.16)

A forma BA† é anti-Hermitiana, enquanto a forma CA† é puramente imaginária:

BA†(η ,ϕ) =−BA†(η ,ϕ) , CA†(ϕ) =−CA†(ϕ) . (4.17)

Podemos determinar BA† a partir de CA†, com a seguinte expressão

BA†(η ,ϕ) =14

{[CA†(η +ϕ)−CA†(η−ϕ)

]− i[CA†(η + iϕ)−CA†(η− iϕ)

]}(4.18)

que também é chamada de formula de polarização.

Cada uma destas formas mede a assimetria do operador adjunto A†, isto é, uma

medida do quanto a extensão de A se desvia de um operador simétrico. Portanto,

chamamos BA† e CA†, respectivamente de a forma de assimetria sesquilinear e a

forma de assimetria quadrática. Se BA† = 0, ou equivalentemente, CA† = 0, então A†

é simétrico e A é essencialmente autoadjunto. Fazendo uma análise mais profunda

com respeito a essas formas aqui apresentadas, é possível mostrar que, para um

operador linear densamente definido de subespaços de deficiência finitos, sempre

haverá uma forma assimétrica. Uma abordagem mais rigorosa sobre esse assunto é

feita por D.M. Gitman em [9].

Voltando ao problema da adjunticidade do operador H inicialmente definido.

Queremos identificar um domínio estendido para o operador simétrico (4.2) tal

que a forma sesquilinear (4.11) se anule para ψ e φ pertencentes a esse domínio.

Dada a equivalência com a forma quadrática temos de exigir que nesse domínio

CA†(φ′) = φ(+0)φ

′(+0)−φ

′(−0)φ(−0)−φ(+0)φ

′(+0)+φ

′(−0)φ(−0). (4.19)

4.3 Funções Delta de Dirac 30

Podemos reescreve-la como,

φ(+0)φ′(+0)−φ

′(−0)φ(−0)−φ(+0)φ

′(+0)+φ

′(−0)φ(−0) =

i2k0

(a†a−b†b) (4.20)

onde

b =

(k0φ(+0)− iφ

′(+0)

k0φ(−0)+ iφ′(−0)

), a =

(k0φ(+0)+ iφ

′(+0)

k0φ(−0)− iφ′(−0)

). (4.21)

O que nos leva às seguintes condições de contorno,(k0φ(+0)− iφ

′(+0)

k0φ(−0)+ iφ′(−0)

)=U

(k0φ(+0)+ iφ

′(+0)

k0φ(−0)− iφ′(−0)

). (4.22)

ou seja,

b =Ua , ∀U ∈U(2) (4.23)

A equação (4.22) mostra que existe uma E.A.A para cada escolha da matriz U em

U(2). O questionamento que o leitor deve estar se fazendo nesse momento é : Como

relacionar a matriz U e as condições de contorno associadas a ela (4.22), com a Delta

de Dirac? Isso foi bem respondido por P. Kurasov em [10], e será o tema da próxima

seção.

4.3 Funções Delta de Dirac

Com um rigor necessário, Kurasov faz uso da teoria de distribuições, e reescreve

as condições de contorno mais gerais determinadas em (4.22) em termos de relações

entre o valor da função de onda e de sua derivada primeira em cada lado da

singularidade. (φ(0+)

φ ′(0+)

)=V

(φ(0−)

φ ′(0−)

). (4.24)

a partir daí ele constrói um único operador definido com funções delta e sua derivada

que induz essa condições, caracterizando a origem física de todas as E.A.A’s, para o

caso mais geral de uma interação singular na origem.

Esse operador é dado por,

Lx =−D2x(1+X4δ )+ iDx(2X3δ − iX4δ

1)+X1δ +(X2− iX3)δ1 . (4.25)

Aqui δ ≡ δ (x) e δ 1 ≡ ddxδ (x). Assim Lx apresenta singularidades em x = 0.


Cada termo dessa expressão deve ser entendido no contexto de teoria de

distribuições1. Lx atuando em ψ é uma soma de termos, cada termo dessa soma é

entendido como distribuição, somente a soma total desses termos deve fazer sentido

como função. A derivada vista como distribuição2 é tal que dada uma função teste φ ,

temos que

(φ ,Dxψ)≡∫ +∞

−∞

(−∂xφ)ψdx =∫ 0

−∞

(−∂xφ)ψdx+∫ +∞

0(−∂xφ)ψdx . (4.26)

Kurasov, mostra que podemos extrair as condições de contorno mais gerais, partindo

do operador (4.25) aplicado a uma função de onda

Lxψ(x) = ψ̃(x) (4.27)

e coletando os termos proporcionais a função delta e a sua derivada no lado esquerdo.

Como a ação do operador na função de onda deve resultar em outra função de

onda e não em uma distribuição singular, cada um desses termos deve ser nulo.

Alternativamente para qualquer função teste φ , deve ser válida a equação

(φ ,Lxψ(x)) = (φ ,ψ̃(x)) (4.28)

Todavia, queremos entender o que acontece na região da descontinuidade, motivados

a compreender o efeito que essa interação causa nas soluções, usaremos duas

funções teste especiais, para construir as condições de contorno encontradas por

Kurasov.

As funções teste são:

φ1(x) =

{0, |x|> 2ε.

1, |x|< ε.φ2(x) =

{0, |x|> 2ε.

x, |x|< ε.(4.29)

φ1(x) é a função degrau "esmerilhada"(i.e. interpolada suavemente) entre ε ≤ |x| ≤ 2ε

e φ2(x) é a função rampa, também "esmerilhada" entre ε ≤ |x| ≤ 2ε. Aplicando as

funções teste no operador (4.25) separadamente3, e tomando ε =⇒ 0, chegamos às

seguintes condições de contorno:

ψ′(+0)−ψ

′(−0)+X1ψM(0)+(X2− iX3)ψ

′M(0) = 0 (4.30)

1Explicar a construção deste operador e o surgimento de cada termo associado a ele, foge dosescopo deste trabalho, mas caso o leitor se sinta curioso encontrará essa explicação em [10]

2Uma outra referência sobre teoria de distribuições pode ser encontrar no capítulo 9 de [12]3Essa conta está explicitada no apêndice.


e

ψ(−0)−ψ(+0)+(X2 + iX3)ψM(0)+X4ψ′M(0) = 0 . (4.31)

Onde ψM(0) = 12(ψ(+0)+ψ(−0)). Isso nos leva às mesmas condições de contorno

encontradas por Kurasov:

(ψ(+0)

ψ′(+0)

)=

(2+X2)2−X1X4+X2

3(2−iX3)2+X1X4−X2

2

−4X4(2−iX3)2+X1X4−X2

24X1

(2−iX3)2+X1X4−X22

(2−X2)2−X1X4+X2

3(2−iX3)2+X1X4−X2

2

×( ψ(−0)

ψ′(−0)

), (4.32)

onde X = (X1,X2,X3,X4) ∈ R4, com seu domínio definido por ψ ∈ L2(R\{0}), para

todas as funções ψ que sejam são absolutamente contínuas. Até aqui, encontramos

as condições de contorno mais gerais para uma interação "tipo" delta na origem,

(4.25), entretanto, ainda não relacionamos essas condições de contorno (4.32) com

as E.A.A,s vistas na seção anterior, ou seja, com a matriz U que é parametrizada por

m = (m1,m2,m3,m4) e Ψ (3.21) .

Para não ter de fazer sempre um algebrismo cansativo toda vez que busquemos

determinar U , iremos reescrever a matriz U em termos dos parâmetros X =

(X1,X2,X3,X4) , encontrados na condição de contorno (4.32).

Primeiramente façamos,

2α ≡(2+X2)

2−X1X4 +X23

(2− iX3)2 +X1X4−X22,

2iβk0≡ −4X4

(2− iX3)2 +X1X4−X22,

e

2θ ≡(2−X2)

2−X1X4 +X23

(2− iX3)2 +X1X4−X22

2iγk0 ≡4X1

(2− iX3)2 +X1X4−X22.

O que nos leva à,

(ψ(+0)

ψ′(+0)

)=

(2α

2iβk0

2iγk0 2θ

)×

(ψ(−0)

ψ′(−0)

). (4.33)

Não é difícil traduzir para a forma,(k0φ(+0)− iφ

′(+0)

k0φ(−0)+ iφ′(−0)

)=U

(k0φ(+0)+ iφ

′(+0)

k0φ(−0)− iφ′(−0)

).


E com um pouco de algebrismo, chegamos em

U =

α+γ+β−θ

α−γ+β+θ

4(γβ+αθ)α−γ+β+θ

1α−γ+β+θ

−α+γ+β+θ

α−γ+β+θ

(4.34)

Como exemplo façamos o caso de somente uma interação Delta, que equivale a fazer

X1 6= 0 e X2 = X3 = X4 = 0, ou seja

α =12, β = 0 , θ =

12, γ =

X1

2ik0.

Substituindo em (4.34) chegamos em,

U =1

2ik0−X1

(X1 2ik0

2ik0 X1

)(4.35)

Por outro lado, se escolhêssemos X2 6= 0 e X1 = X3 = X4 = 0, ou seja

α =2+X2

2(2−X2), β = 0 , γ = 0 , θ =

2−X2

2(2+X2).

Substituindo em (4.34) , temos

U =12

(−X2

14

14 X2

)(4.36)

Dada as condições de contorno (4.22) , uma vez que calculemos U teremos toda

a informação sobre o comportamento da interação "tipo" Delta, ou seja, U + (4.22)

nos da toda a física que envolve o problema. Até aqui, conseguimos definir todas

as ferramentas necessárias para finalmente, tentarmos entender o que significa o

surgimento de um estado ligado, para uma partícula confinada em uma dimensão.

34

5 E.A.A num intervalo a partir defunções Delta de Dirac

Vimos que o Hamiltoniano para uma partícula livre em uma dimensão num

intervalo de [0,L] pode ser associado a várias extensões autoadjuntas de um operador

simétrico inicial. Nesse capítulo vamos mostrar como as interações singulares, tipo

delta de Dirac, podem gerar várias E.A.A’s e como isso está relacionado ao surgimento

de um estado de energia negativa.

5.1 Transmutação das condições

Partindo da equação (3.18) faremos a escolha

U =

(e−i2α0 0

0 ei2αL

). (5.1)

Aqui as condições de contorno ficaram separadas, a direita e a esquerda do intervalo

independentemente. O que nos leva às chamadas condições de Robin:

φ(0) = L tanα0φ′(0) e φ(L) = L tanαLφ

′(L). (5.2)

O argumento também vale no sentido contrário, ou seja, a condição (5.2) implica na

descrição com a matriz U em (5.1).

A questão que nos propomos analisar é: qual é o efeito da introdução de uma

interação singular tipo delta de Dirac na proximidade de cada extremidade do intervalo.

Assim, inicialmente acrescentamos uma interação com uma função delta de Dirac e

sua derivada primeira, descrita da seguinte forma

∆0H = X1δ (x− ε)+X2δ1(x− ε),

5.1 Transmutação das condições 35

localizadas no ponto x = ε. Ora, chamando x′ = x− ε, já vimos em (4.32) como essa

interação afeta as condições de contorno no entorno do ponto x = ε (ou x′ = 0). Nesse

caso particular X3 = X4 = 0, a equação (4.32) assume a forma(φ(ε+)

φ ′(ε+)

)=

2+X22−X2

04X1

4−X22

2−X22+X2

( φ(ε−)

φ ′(ε−)

)(5.3)

Agora vamos supor que a evolução da função de onda entre o ponto x = 0 e o

ponto x = ε seja suave. Isto é supomos que φ(ε−) = φ(0)+O(ε) e que φ ′(ε−) = φ ′(0)+

O(ε). Assim, a primeira das condições (5.2), referente ao lado esquerdo, pode ser

identificada como uma restrição para os valores da função de onda de (5.3)

φ(ε−) = L tanα0φ′(ε−)+O(ε). (5.4)

Substituindo a equação acima em (5.3) e fazendo o limite ε =⇒ 0 , concluímos que

φ′(0+) =

[4X1

(2+X2)2 +

(2−X2

2+X22

)2 cotα0

L

]φ(0+)

≡cotα ′0

Lφ(0+). (5.5)

Vemos então que as funções delta em x = ε −→ 0 transmutaram uma condição de

Robin com α0 em uma nova condição de Robin com α ′0. Escolhendo X1 e X2 pode-se

escolher o valor de α ′0.

Um tratamento análogo e independente pode ser reproduzido no extremo oposto

do intervalo com perturbações em x = L− ε, acrescentando ao Hamiltoniano o termo

∆LH =−X1δ (x−L+ ε)−X2δ′(x−L+ ε).

Aqui os sinais de X1 e X2 foram invertidos por conveniência. De fato a troca dos sinais

leva a matriz V −→V−1 em (5.3). Assim podemos trocar os papeis dos lados esquerdo

e direito da singularidade, isto é(φ((L− ε)−)

φ ′((L− ε)−)

)=

2+X22−X2

04X1

4−X22

2−X22+X2

( φ((L− ε)+)

φ ′((L− ε)+)

)≡V

(φ((L− ε)+)

φ ′((L− ε)+)

). (5.6)

Isso significa que repetindo a argumentação anterior teremos, após ε −→ 0 ao invés

5.1 Transmutação das condições 36

da segunda das condições (5.2), a equação

φ′(L−) =

[4X1

(2+X2)2 +

(2−X2

2+X2

)2 cotαL

L

]φ(L−)

≡[

cotα ′LL

]φ(L−). (5.7)

Poderíamos mudar as condições de contorno independentemente em cada extremo

do intervalo ajustando os parâmetros Xi de maneira independente para cada caso.

Após tomar o limite ε −→ 0 a função de onda estará definida entre 0 e L e será

contínua nesse intervalo. Não há mais singularidade no Hamiltoniano para 0 < x < L.

Toda a referência às funções delta terá sido levada às novas condições de contorno.

5.1.1 Casos especiais

Voltemos a analisar a condição em x = ε. Há dois casos particulares que devem

ser observados. Quando a condição inicial (5.2) corresponde a α0 = π/2 a tangente é

infinita e temos a condição de Neumann

φ′(0−) = 0.

Nesse caso a introdução da perturbação, ou seja, a condição de contorno transmutada

(5.5) resultará numa condição de Robin genérica

φ′(0+) =

4X1

(2+X2)2 φ(0+),

no caso de X1 6= 0. Isto é, na presença da função delta independentemente da

presença da derivada da delta temos cotα ′0L = 4X1

(2+X2)2 . O mesmo ocorre se fizermos

a análise no extremo oposto αL = π/2.

Entretanto, se α0 = 0, ou αL = 0 temos a condição inicial de Dirichlet

φ(0−) = 0.

Nesse caso a perturbação mantém a condição

φ(0+) = 0.

E o mesmo ocorre para o caso em que x = L− ε,

φ(L−) = 0.

5.2 Autovalores 37

Aqui a perturbação também mantém a condição

φ(L+) = 0.

Isso mostra que há uma estabilidade nas condições de contorno de Dirichlet, mas não

nas de Neumann, esse comportamento havia sido observado no trabalho precursor

de H.Englisch e P.Šeba [11].

Na nossa presente análise essa estabilidade não se deve propriamente a algo

peculiar da condição inicial. Olhando para a matriz em (5.3) vemos que é o elemento

nulo dessa matriz que é responsável por essa limitação. Isso sugere, tendo em vista

o trabalho de Kurasov, tratar, para o caso da condição de Dirichlet, com a perturbação

bem simples dada por

H0 =−D2x −→−D2

x (1+X4δ (x− ε))+X4Dxδ1(x− ε). (5.8)

Nesse caso, invés de (5.3), teremos

(φ(ε+)

φ ′(ε+)

)=

(1 −X4

0 1

)(φ(ε−)

φ ′(ε−)

)≡V

(φ(ε−)

φ ′(ε−)

). (5.9)

A condição inicial de Dirichlet será transmutada na condição de Robin

φ′(0+) =−X4φ(0+).

Vemos assim que a condição de Dirichlet não é totalmente estável. Observamos

adicionalmente que também o caso que tratamos inicialmente, particularizado para

X2 = 2 poderia ser objeto de investigação.

5.2 Autovalores

Queremos analisar o impacto das perturbações no espectro dos Hamiltonianos.

Os autovalores do Hamiltoniano são descritos pelas condições dadas nas equações

(3.29). Vamos tomar o caso αL = α0. A matriz U é da forma

U =

(e−2iα0 0

0 e2iα0

)=

(cos2iα0− isin2iα0 0

0 cos2iα0 + isin2iα0

). (5.10)

5.2 Autovalores 38

Na notação do capítulo 3, em termos da matriz identidade e da matriz de Pauli,

U = cos2α01− isin2α0σ3.

Temos m0 = cos2α0 e m3 = sin2iα0, com m1 = m2 = 0.

Nesse caso, para −1 < m0 < 1, as energias positivas são dadas, usando (3.29),

por

En = nπ

e há um estado com energia negativa, (3.31), dada por

E =− 1L2

1+m0

1−m0=− 1

L21+ cos2α0

1− cos2α0.

Assim a introdução das interações tipo delta de Dirac, que equivale a fazer α0 −→ α ′0

em (5.2) e portanto em (5.1), tem um impacto mudando os valores das energias. Como

é possível ter energias negativas para uma partícula livre em uma caixa?

No caso particular de condições de Neumann, α0 = π/2 temos m0 = −1 e m3 = 0

e não há energia negativa. Nesse caso testemunhamos a origem da energia negativa

associada a condição de Robin obtida após a introdução da interação com δ e δ 1.

Após tomar ε −→ 0 as funções delta "ficam escondidas" no limite da barreira de

potencial infinita responsável por limitar a partícula ao intervalo 0 < x < L. Mas elas

deixam como herança a mudança da condição de contorno de Neumann para Robin.

E com isso emerge a energia negativa

No caso particular de condições de Dirichlet, α0 = 0, temos m0 = 1 e m3 = 0 e

novamente não há energia negativa. Nesse caso a perturbação com X1δ +X2δ 1 não é

suficiente para introduzir o estado com energia negativa. Mas a perturbação adicional

X4 6= 0 descrita em (5.8) é sim suficiente para mudar esse panorama e introduzir o

estado com energia negativa.

39

6 Conclusão

Vimos a importância de uma definição mais rigorosa de operadores em Mecânica

Quântica, mostramos a diferença entre operadores simétricos(ou Hermitianos) e

operadores autoadjuntos, dado que muitos livros-texto de cursos de graduação

acabam passando a "ideia" de que basta a um operador ser hermitiano para

representar um observável. No capítulo 2 deixamos claro que isso pode não ser

verdade! A partir da introdução das definições dos operadores, fizemos uso do

Teorema de von Neumann (2.4) para o caso de uma partícula confinada. Constatamos

a existência de estados de energia negativa, o que não é uma característica "usual"

desse tipo de sistema. Como o estudo de famílias de E.A.A,s não é um tema muito

difundido, tanto em graduações quanto em cursos de pós graduação, não é de se

espantar que situações como a apresentada no capítulo 3, gerem no mínimo um

desconforto. Isso fica evidente no exemplo citado ao final do capítulo 3, onde A.Z.Capri

acaba sendo "infeliz" em sua solução para o problema proposto. Para explicar a

origem desse estado de energia negativa, apresentamos e fizemos uso de várias

ferramentas importantes, como o operador construído por Kurasov (4.25) a partir de

teoria de distribuições e as formas de assimetria (4.2.1) descritas por Gitman em [9].

Por fim, mostramos no capítulo 5 que esse estado de energia negativa, emerge da

inter-relação de algumas condições de contorno nos extremos com as condições de

contorno devido a interações tipo funções delta e sua derivada. O efeito da delta

e de sua derivada se escondem no limite da barreira de potencial infinito e sempre

que tomamos o limite ε → 0, o que "representava"a função delta, será levado em

novas condições de contorno. Com relação a estabilidade das condições de contorno,

concluímos que tal propriedade depende do tipo de interação proveniente de (4.25).

Sempre haverá um tipo de interação, para qualquer condição de contorno que seja

capaz de modificá-la e eventualmente faça emergir um estado de energia negativa, ou

seja, não há estabilidade nas condições de contorno para o caso aqui estudado.

40

APÊNDICE A -- Condições de contorno apartir das funções teste

Dadas a seguintes funções teste,

φ1(x) =

{0, |x|> 2ε,

1, |x|< ε,e φ2(x) =

{0, |x|> 2ε,

x, |x|< ε,

construiremos as condições de contorno

ψ′(+0)−ψ

′(−0)+X1ψM(0)+(X2− iX3)ψ

′M(0) = 0 ,

ψ(−0)−ψ(+0)+(X2 + iX3)ψM(0)+X4ψ′M(0) = 0 .

Exigiremos a validade de Lxψ = Eψ , onde

Lx =−D2x(1+X4δ )+ iDx(2X3δ − iX4δ

1)+X1δ +(X2− iX3)δ1

como distribuição. Aplicaremos essa condição às duas funções teste anteriores.

Para a primeira função teste,

Lψ(φ1) = Eψ(φ1)≈ O(ε).

Temos que

Lxψ(φ1) = ψ(−∂2x φ1)+X4δ (−ψ∂

2x φ1)+ i2X3δ (−ψ∂xφ1)+

+X4δ′(−ψ∂xφ1)+X1δ (ψφ1)+(X2− iX3)δ

′(ψφ1).

Integrando termo a termo da expressão anterior, e tomando o limite em que ε → 0,

temos

1) ψ(−∂ 2x φ1):

ψ(−∂2x φ1)≡−

∫ −ε

−∞

ψ∂2x φ1dx−

∫ +∞

ε

ψ∂2x φ1dx =−

∫ −ε

−∞

∂x(ψ∂xφ1)dx+∫ −ε

−∞

∂xψ∂xφ1dx+


−∫

∞

ε

∂x(ψ∂xφ1)dx+∫ +∞

ε

∂xψ∂xφ1dx≈∫ −ε

−∞

∂x(∂xψφ1)dx+∫ +∞

ε

∂x(∂xψφ1)dx=(ψ ′(0−)−ψ′(0+)) .

2) X4δ (−ψ∂ 2x φ1):

∂2x φ1(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ∂

2x φ1) = 0 .

3) i2X3δ (−ψ∂xφ1):

∂xφ1(0) = 0 =⇒ i2X3δ (−ψ∂xφ1) = 0 .

4) X4δ ′(−ψ∂xφ1):

∂xφ1(0) = 0, ∂2x φ1(0) = 0 =⇒ X4δ

′(−ψ∂xφ1) = 0 .

5) X1δ (ψφ1):

X1δ (ψφ1) = X1ψM(0) ,

onde do lado direito figura o valor médio na origem.

6) (X2− iX3)δ′(ψφ1):

(X2− iX3)δ′(ψφ1) =−(X2− iX3)(ψ

′φ +ψφ

′)M =−(X2− iX3)ψ′M(0) .

Somando as equações acima, chegamos na primeira das condições de contorno,

ψ′(+0)−ψ

′(−0)+X1ψM(0)+(X2− iX3)ψ

′M(0) = 0 .

Analogamente para a segunda função teste, teremos

Lxψ(φ2) = ψ(−∂2x φ2)+X4δ (−ψ∂

2x φ2)+ i2X3δ (−ψ∂xφ2)+

+X4δ′(−ψ∂xφ2)+X1δ (ψφ2)+(X2− iX3)δ

′(ψφ2).

Novamente integrando termo a termo e tomando o limite ε → 0

1) ψ(−∂ 2x φ2):

ψ(−∂2x φ2) =−

∫ −ε

−∞

ψ∂2x φ2dx−

∫ +∞

ε

ψ∂2x φ2dx =−ψ(0−)+ψ(0+) .

2) X4δ (−ψ∂ 2x φ2):

∂2x φ2(0) = 0 =⇒ X4δ (−ψ∂

2x φ2) = 0 .

3) i2X3δ (−ψ∂xφ2):

i2X3δ (−ψ∂xφ2) =−i2X3ψM(0) .

4) X4δ ′(−ψ∂xφ2):

X4δ′(−ψ∂xφ2) = X4(ψ

′φ′+ψφ

′)M = X4ψ′M(0) .


5) X1δ (ψφ2):

φ2(0) = 0 =⇒ X1δ (ψφ2) = 0 .

6) (X2− iX3)δ′(ψφ2):

(X2− iX3)δ′(ψφ2) =−(X2− iX3)(ψ

′φ +ψφ

′)M =−(X2− iX3)ψM(0) .

Somando os resultados encontrados acima, encontramos a segunda condição de

contorno,

ψ(−0)−ψ(+0)+(X2 + iX3)ψM(0)+X4ψ′M(0) = 0 .

43

Referências Bibliográficas

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[8] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1933/summary/

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[12] Lemos, Nivaldo A. Convite à Física Matemática (Livraria da Física, São Paulo)2013.

[13] Anton Z. Capri. Problems Solutions in Nonrelativistic Quantum Mechanics (WorldScientific) 2002.

[14] Anton Z. Capri. Nonrelativistic Quantum Mechanics (World Scientific) 2002.

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