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A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS

E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA(ROTEIRO)

Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemáticado Instituto de Matemática e Estatística da USP

Valdemar W. SetzerDept. de Ciência da Computação do IME

www.ime.usp.br/~vwsetzer

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1. Chamar alguns alunos para desenharem uma espiral no quadro negro. Em geral vão desenhar uma de Arquimedes (passo constante)

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2. Desenhar no quadro negro a Espiral de Fibonacci com sequência de quadrados, e pedir para os alunos desenharem-na na folha de papel almaço quadriculada, tudo a mão livre. Chamar a atenção para o fato de o ser humano ser capaz de verificar se o desenho está razoável, bonito e portanto próximo do correto geométrico (arcos de círculo).

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Espiral de Fibonacci

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3. Colocar o tamanho dos lados dos quadrados

4. Colocar os tamanhos numa sequência: 1 1 2 3 5 8 13 ... 610, bem em cima no quadro negro, deixando espaço acima para o seguinte.

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5. Numerar os elementos1 2 3 4 5 6 7 ...1 1 2 3 5 8 13 ...

6. Colocar n e fn :n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16...fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987...

Perguntar se todos entendem essa notação. Pedir para indicarem o valor de f7, f13 etc.

7. Mostrar como se expressa a sequência:f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2

Mostrar por exemplo f16 = f15 + f14

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Essa é uma fórmula de recorrência e permite calcular subsequentemente todos os elementos da sequência. Essa sequência tem um nome famoso.

8.Essa é a Sequência de Fibonacci. Contar a história do Fibonacci, Leonardo Pisano Bigollo, (1170-?1250), filho de Guglielmo Bonacci, “Filius Bonacci”, daí seu conhecido nome. Outro nome: Leonardo Pisano.

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Fibonacci, de autor desconhecido

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Guglielmo era um rico mercador italiano; dirigia um posto comercial em Bugia, um porto no Norte da África. Fibonacci viajou muito, encontrando mercadores e aprendendo seus sistemas de fazer contas. Logo percebeu as vantagens do sistema de numeração hindu-arábico. Escreveu então seu livro Liber Abaci (“O Livro dos Cálculos”) de 1202, quando introduziu os números hindo-arábicos na Europa, cuja principal propriedade é ser posicional, isto é,

243 = 2x100 + 4x10 + 3x1

Motrar como isso simplifica, por exemplo, uma soma. Basta somar cada algarismo na posição correspondente e eventualmente “ir 1”.

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Mostrar a compliqueira que seria somar ou subtrair dois números em algarismos romanos, p. ex.

2015 MMXV - 20 - XX 1995 MCMXCV

Nesse livro, mostrou como se poderia usar esse sistema em contabilidade, conversão de pesos e medidas, cálculo de juros, câmbio de moedas e outras aplicações. No livro, introduz sua sequência:

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Trecho do original do Liber Abaci

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Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233.

No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias:1. No início, nasce um casal de coelhos.2. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem.3. O tempo de gestação é de 1 mês.4. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês.

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Recém nascidos: cinza; férteis: rosa

Os coelhos cinzas tornam-se rosas na linha seguinte; se há m coelhos rosas em uma linha, a seguinte é aumentada por m coelhos cinzas; se há um total de n coelhos numa linha, na linha seguinte haverá n coelhos rosas. Sequência de Fibonacci!Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano?f12 !

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Fibonacci tornou-se um visitante do imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciência. Em 1240 a República de Pisa deu a ele um salário, referindo-se a ele como Leonardo Bigollo. Mostrar a estátua dele no Campo Santo, em Pisa. O asteroide 6.765 recebeu o nome de Fibonacci.

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Estátua no Camposanto, em Pisa

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Camposanto, Pisa

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9. A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:

1, a+b, (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Agora vamos ver a aplicação mais interessante da sequência de Fibonacci.

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10. Pedir para os alunos calcularem as razões de cada 2 consecutivos:

2 1,666 1,625 1,619 1,61818 1,618035 1,618025 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1 1,5 1,6 1,615 1,6176 1,61797 1,61805 1,618032

11. Desenhar as duas curvas, a de baixo e a de cima em um gráfico cartesiano, com uma reta no meio, mostrando que elas convergem. Perguntar: (1) Será que as curvas convergem para um só valor, e daí para diante esse valor se repete? Nesse caso, há uma segunda questão: (2) qual é esse valor, que chamaremos de ϕ? Nesse caso, isso se chamaria de “convergência para ϕ”. Escrever no quadro negro Convergência. Já sabemos que ϕ ≈ 1,6180...

Marcar ϕ na reta do gráfico para onde as curvas convergem.

Mostrar que as 2 curvas podem ser representadas numa só.

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1,6180...

Convergência das curvas (exponenciais!)

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1,6180...

Desenhando os valores numa só curva, há uma oscilação em torno do valor de convergência. Esta é uma curva de Oscilação Amortecida:

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12. Pedir 2 números quaisquer, não muito grandes. Podem ser negativos. Colocar os números dados como f1 e f2 . Construir a sequência de Fibonacci. Não é preciso colocar o número de ordem n.

13. Pedir para calcularem as razões de cada dois consecutivos, e ir colocando em cima e abaixo da sequência. Cuidado para a razão de cima decrescer e a de baixo crescer. Trocar os primeiros (acima e abaixo) se necessário.

14. Mostrar que as curvas convergem aparentemente para o mesmo número ϕ.

15. Portanto, essa convergência aparentemente depende

exclusivamente da regra fn = fn-1 + fn-2 e não dos números

iniciais f1 e f2 , desde que um deles seja diferente de 0. O

que acontece se os dois forem 0?

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16. Vamos supor que, para n bem grande, haja convergência. Vamos supor que os números sejam

a, b, a+bQueremos a convergência das razões de

elementos consecutivos, isto é, b a+b b a b

––– = –––– = ϕ ou ϕ = ––– = ––– + ––– a b a b b

b 11

ou ϕ = ––– = ––– + 1 ou ϕ = 1 + ––– a b

ϕ ––

a

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17. Usando limites.Vamos supor que, para n bem grande, haja

convergência:

fn fn-1

––– ≈ –––– fn-1 fn-2

Isso se escreve, usando a abreviatura de “limite” (escrever no quadro negro):

fn fn-1

lim ––– = lim ––– = ϕ n→∞ fn-1 n→∞ fn-2

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18. Exemplo de limite:

1+n 1+∞ ∞ lim –––– = ––––– = ––– = 1 n→∞ n ∞ ∞

Mostrar como gráfico, convergindo para o 1, mas nunca chegando nele, isto é, o limite de uma função pode não ser um dos valores dela.

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Mas pela regra de Fibonacci,

fn fn-1 + fn-2 fn-2 1 ––– = –––––––––– = 1 + –––– = 1+ –––––– fn-1 fn-1 fn-1 fn-1

–––– fn-2

Então fn 1 1 1

ϕ= lim ––– = lim (1 + –––– ) = 1+ –––––––– = 1 + ––– n→∞ fn-1 n→∞ fn-1 fn-1 ϕ

––– lim –––– fn-2 n→∞ fn-2

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19. De 1ϕ = 1 + ––– ϕ

Tem-se

ϕ2 = ϕ + 1 ou ϕ2 – ϕ – 1 = 0 _____ __ 1 ±√ 1 + 4 1 ±√ 5ϕ = –––––––––– = ––––––– 2 2

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20. Queremos a raiz positiva, pois se fn-1 e fn forem negativos (para n grande sempre ou ambos são positivos, ou ambos são negativos), a razão também será positiva.

__ 1 +√ 5 ϕ = –––––––

2 __

√ 5 = 2,2360667977896964091736687313...

é um número irracional (não pode ser expresso como a fração de dois inteiros, m/n), nunca acaba ou se repete. Portanto

ϕ = 1,618033988948482045868343606...é irracional e jamais será atingido naconvergência das duas curvas.

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21. Notar que 1 1 1ϕ = 1 + ––– = 1 + –––––––––– = 1 + –––––––––––––– ϕ 1 1 1 + ––––– 1 + –––––––––– ϕ 1 1 + –––––– 1 + ...

Essa fração é chamada de Fração Contínua. Isso prova que ϕ é irracional, pois a segunda parcela vai sempre diminuindo, e nunca converge para um número fixo. Notar que ϕ > 1 portanto 0 < 1/ϕ < 1.

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Como fórmula de recorrência: 1

ϕn+1 = 1 + –––– ϕn

Se começarmos com ϕ1 = 1, temos a sequência, calculando com 16 algarismos significativos,

2; 1,5; 1,666...; 1,5999...; 1,625; 1,615; 1,619; 1,6176; 1,61818; 1,61797 ...

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22. Outra forma de calcular. De

ϕ2 = ϕ + 1

_____________ tem-se _________ / _________ _____ / _____ / / _____ϕ = √ 1 + ϕ = √ 1+√ 1 + ϕ = √ 1+ √ 1+√ 1+ ...

Usando como fórmula de recorrência _____

ϕn+1 = √1 + ϕn

começando com ϕ1 = 1 tem-se a sequência1; 1,4142; 1,5537; 1,5980; 1,6118; 1,6161;

1,6174; 1,6178; 1,6179; 1,6180; 1,61802; 1,618032; 1,618033; ...

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A sequência de Fibonacci para ϕ:

1, ϕ, 1+ϕ, 1+2ϕ, 2+3ϕ, 3+5ϕ, 5+8ϕ, 8+13ϕ, 13+21ϕ, 21+34ϕ, ...

Cada parcela é uma sequência de Fibonacci, uma defasada em relação à outra. Isso vale para qualquer sequência em que cada termo é a soma dos dois anteriores:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b,13a+21b, 21a+34b, ...

–

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24. ϕ é chamado de Razão Áurea. Um segmento de reta

<–––– a+b–––>|-------|-------------|

a b

é dividido na “razão áurea” sse b a+b

––– = ––––– a b

o que dá o ϕNotar que se a, b, a+b são 3 elementos de uma

sequência de Fibonacci, estarão apenas aproximadamente na razão áurea. Mas Fibonacci não introduziu a razão áurea.

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25. Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325-265 a.C.), em seu Elementos (ca. 300 a.C.): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor.”

26. Ela é chamada de Razão Áurea pois ocorre aproximadamente no corpo humano em várias proporções de partes deste.Os pintores usaram essas proporções.

27. Um ser humano é considerado proporcional, bonito, se preserva as proporções da razão áurea. Mostrar a foto do rosto da garota com as proporções áureas. Mostrar o filme com as proporções.

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Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo

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30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, a 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas?

1; 5; 81; 5; 8

Φ (1,618...); 8; 13

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https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI

(Acionar vídeo)

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28. Aparelhos que geram a proporção áurea. Mostrar a foto de um deles verificando as proporções do rosto de uma mulher, e foto do aparelho de dentista (aplicação prática!).

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Aparelho usado por pintores

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Aparelho de dentista para deduzir o tamanho de coroas na arcada toda

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Dois triângulos com dois lados proporcionais (a/a‘) e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto

a/a' = ϕ b/b'= ϕ

a

a'

b

b'

a

a'

•

•

• • a'

α

αα

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29. Vamos verificar se um de vocês é bonito. Para isso vamos usar aparelhos que eu construí. Mostrar meus aparelhos (triângulos) de verificar a razão áurea. Explicar por que funcionam. Se os triângulos tiverem lados a, b, c e a', b', c' construí-os de tal modo que a/b = a'/b' = 1,6; como os dois triângulos têm um mesmo ângulo (oposto pelo vértice do parafuso), então c/c' = 1,6Medir com os aparelhos algumas proporções no corpo, por exemplo base do queixo até o nariz e até o lábio superior; tamanho da perna toda e do pé até o joelho.

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Partenon, Atenas com retângulos áureos

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Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados:

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30. Pode-se começar a espiral com um retân-gulo áureo; adicionando-se quadrados sempre se conserva a razão áurea.

Construir a espiral como fizemos com a primeira, de Fibonacci. A diferença para a espiral áurea será o uso de arcos de círculos em lugar de arcos de uma espiral áurea, mas a diferença é pequena nos primeiros quadrados.

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35. Verde: espiral com arcos de círlculos; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.

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Se se quiser fazer uma caixa com proporções bonitas, usar as proporções áureas: um lado proporcional a 13, outro a 8 e o terceiro a 5; ou um lado com o retângulo áureo, com lados proporcionais a 13 e 8, e a outra face um quadrado.

31. Algumas figuras geométricas já contêm a razão áurea. A proporção entre uma diagonal de um pentágono regular e um lado é ϕ. No pentagrama, o ϕ também aparece em várias proporções.

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vermelho vermelho verde azul ––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta

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32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea:

____ __a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5

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33. Pedir aos alunos para desenharem uma espiral logarítmica (mostrar que deveria ser chamada de espiral exponencial), com passo de razão 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32) de 180º em 180º.

Notar que a espiral de Fibonacci é desenhada colocando-se cada elemento da sequência a cada 90º.

Chamar a atenção para que, quanto mais bonito o desenho, mais próximo se estará da espiral perfeita.

Mostrar que a razão é a mesma para qualquer raio do foco, em qualquer ângulo.

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As espirais logarítmicas têm propriedades extraordinárias. Por exemplo, a tangente em qualquer ponto faz sempre o mesmo ângulo com o raio desse ponto até o foco da espiral. Isso também ocorre nas circunferências, mas com o ângulo de 90º; a circunferência é uma espiral particular. Qual é a razão do passo nesse caso? É 1.Se fizermos uma espiral logarítmica mover-se nos pontos correspondentes a uma outra espiral igual (isto é, sem escorregar) o foco traça novamente a mesma espiral.

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34. Quem estudou as espirais logarítmicas foi Jakob Bernoulli (1665-1705). Foi um grande matemático, catedrático na universidade de Basel. Com seu irmão Johann introduziu o Cálculo das Variações.

Introduziu a Lei dos Grandes Números, que levou ao cálculo de probabilidades. Brigou com o irmão em uma disputa de quem seria o melhor matemático. Johann ficou muito bravo pelo fato de Jakob ter ganho a cátedra de matemática da Universidade de Basel, e ele teve que ir para a de Groningen, Holanda.

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Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis. Ele escreveu o seguinte:“[A espiral logarítmica] pode ser usada com um símbolo para o corpo humano, na força de espírito e constância na adversidade, o qual depois de todas suas mudanças, mesmo depois da morte, é restaurado para seu ‘si próprio’ (self), exato e perfeito.”

Ele quis que se colocasse em seu túmulo uma espiral logarítmica e se escrevesse a frase “Eadem mutata resurgo” (“Apesar de mudada, ressurjo”). Isso foi feito, mas foi em volta de uma espiral de Arquimedes (passo constante).

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Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça

“EADEM MUTATA RESSURGO”“Apesar de mudada, ressurjo”

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35. Uma espiral logarítmica com passo de razão ϕ é uma Espiral Áurea. As distâncias do foco serão, calculando os resultados com 10 algarismos e arredondando para 2 algarismos:

1, 1,6, 2,6, 4,2, 6,9, 11, 18, 29, 47, 76

Notar que acaba dando a regra de cada um ser a soma dos dois anteriores, como não poderia deixar de ser!

Se for para trás, dá 1, 0,6, 0,4, 0,2

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36. Um triângulo áureo:

1

ϕ

A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos

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Uma sequência de triângulos áureos:

1ϕ

1+ϕ 1+2ϕ2+3ϕ

3+5ϕ

5+8ϕ

A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea,ligando-se um vértice de cada base

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37. Ocorrência de espirais logarítmicas na na-tureza:Caramujos, Girassol, Margarida, outras plantas, furacão, galáxia.

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Caramujo do Tapajós

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Caramujo do Tapajós

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Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França

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Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França

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Nautilus pompiliusNotar a mesma forma das

câmaras (dimensões proporcionais)

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Margarida

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← 34 21 → (Margarida)

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34 → ← 55 (Girassol)

9/10/15 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 67← 8 13 →

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Brócoli Romanesco

9/10/15 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 69Brócoli Romanesco

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Pinha de Araucária

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← 34 55 → Pinha de Araucária

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Furacão

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Galáxia

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39. Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais na natureza. Dessa maneira desenvolve-se um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la.

40. Qual a maior maravilha física na natureza?O corpo humano!

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PARA OS PROFESSORESPor que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante:

1. Ter algo estético (desenhar as espirais), que mexa com os sentimentos. Para isso, na matemática é necessário usar a geometria. A álgebra não tem estética, é morta. Exemplo de como ensinar a equação de 2º grau. 1. começar com os alunos desenhando uma parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto e de uma reta (usar uma régua, um esquadro se movendo sobre a régua e um compasso). 2. Recordar as retas de equações lineares, desenhando algumas. 3. Pedir para desenharem a curva de y=x2. Depois a de y=–x2, y=x2+4, depois de y=x2–4. 5. falar das raízes (y=0), generalizar para y=x2–2x–4 (desenhar). 6. Será que há alguma forma algébrica de se achar as raízes? Deduzir a fórmula de Baskara, falando de completar os quadrados: deve-se procurar uma forma (x + d)2 = e; para isso é preciso chegar a x2+2dx+d2=e

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2. A aula deve ter atividade dos alunos (no caso, desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência.

3. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias. Estas últimas contêm sempre algo de realidade, algo que ocorreu. A história da matemática segue o desenvolvimento do pensamento matemático da humanidade.

9/10/15 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 78

4. A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. Exemplo: dar áreas de figuras geométricas calculando quantas telhas é preciso comprar para construir um telhado com aquelas telhas. Contra-exemplos: movimento uniformemente acelerado de uma partícula elementar (ninguém nunca viu uma); dado um salto na Terra, calcular um salto na Lua, com gravidade menor (nunca ninguém saltou lá).

5. Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre.

6. Dar aulas abordando vários tópicos da matemática, e não um só.