9 Campos Relativsticos

Campos relativsticos so funes denidas no espao-tempo e que tem pro-priedades especcas sob as transformaes gerais de Lorentz

x0 = x : (1)

. Basicamente, temos campos que soa) escalares, invariantes

0(x0) = (x); (2)

b) vetores, com quatro componentes que se transformam da mesma formaque as coordenadas,

A0(x0) = A(x); (3)

c) espinores, com nmero par de componentes, que se transformam como

0(x0) = S() (x) (4)

ed) tensores de ordem genrica, cujas componentes transformam-se, ndice

a ndice, como as componentes dos vetores,

T 0(x0) = T(x): (5)

De uma forma geral pode-se considerar os vetores como tensores de primeiraordem e os escalares como tensores de ordem zero. H ainda os pseudo-escalares, pseudo-vetores, etc.que se transformam da mesma forma que osescalares, vetores, etc., a menos do fator multiplicativo det que determinaa troca de sinal sob reexo espacial ou inverso temporal.As transformaes mais gerais que conectam todos os referenciais iner-

ciais entre si so as transformaes de Lorentz no homogneas, tambmconhecidas como transformaes de Poincar,

x0 = x + a: (6)

As translao acrescentam mais 4 parmetros independentes aos 6 parmet-ros das transformaes de Lorentz (trs parmetros das rotaes mais trs dastransfomraes especiais de Lorentz), totalizando os 10 parmetros essenciaisdo grupo de Poincar.

118

9.1 Transformaes de simetria

Os campos descrevem ou representam sistemas fsicos e, portanto, as equaesde movimento que denem as dinmicas destes sistemas devem ser covari-antes. Signica que as equaes de movimento so especcas para cada tipode campo e preservadas pelas transformaes de Poincar, de acordo com oprincpio da relatividade. Os diferentes campos correspondem s diferentesrepresentaes do grupo de Poincar caracterizadas pela massa e pelo spin.As transformaes de coordenadas, do ponto de vista dos sistemas fsicos,

podem ser ativas ou passivas. As transformaes entre referenciais so passi-vas, pois os sistemas fsicos permanecem xos. De forma equivalente, pode-semanter o referencial xo e aplicar as transformaes (inversas) sobre o sis-tema fsico. Estas duas formas so equivalentes para os referenciais inerciais.O grupo de Poincar denida pelos geradores das transformaes aplicadassobre os sistemas fsicos, mantendo xo o referencial (tranaformaes ativas).A gura 1(a) ilustra um sistema fsico S e o referencial R a que est

atrelado um sistema de coordenadas (x). Usando a linguagem da MecnicaQuntica, o sistema fsico representado pelo vetor de estado

R(x; t) = (x; t) : (7)

A gura 1(b) ilustra a mudana do referencial R com o sistema de coor-denadas (x) para um outro referencial R0 com o sistema de coordenadas (x0)ligados pelas transformaes

RT! R0 ) x0 = T (x) : (8)

No referencial R0 o sistema fsico S representado pelo vetor de estado

R0(x0; t) = 0(x0; t) = S(T ) (x; t) ; (9)

a transformao do vetor de estado, denida por S(T ), dependente da na-tureza da funo (vetor de estado). Para transformaes innitesimais resul-tam

x0 = T (x) = x+ x (10)

para as coordenadas e

0(x0; t) = S(T ) (x; t) = (x; t) + T (x; t) (11)

para o vetor de estado. A gura 1(c) ilustra a transformao do sistema fsicoS para S 0 (referencial R xo).

ST1! S 0 (12)

119

onde T1 indica tratar-se da transformao (8), o sistema fsico transformadorepresentado pelo vetor de estado 0R(x; t). Pelo princpio da relatividade,as conguraes (R0; S) e (R; S 0), guras 1(b) e 1(c), respectivamente, soequivalentes e, para coordenadas numericamente iguais x0 = x = a,

R0(a; t) = 0R(a; t) ; (13)

ou seja,

0R(x; t) = R0(x; t) = 0(x; t) = S(T ) (T1x; t) ; (14)

da equao (9). A transformao inversa T1x deve-se compensao nocampo necessria por causa do transporte do sistema fsico.

120

Figura 1: Em (a), o sistema fsico S representado pelo vetor de estado R(x; t) no referencial R. Em (b), o mesmo sistema fsico S representadopelo vetor de estado R0(x

0; t) no novo referencial R0. Em (c), o sistemafsico transformado S

0representado por 0R(x; t) no referencial antigo R.

Considerando as transformaes innitesimais, equaes (10) e (11), re-sultam

T1(x) = x x (15)e, desprezando os innitsimos de segunda ordem,

0(x; t) = S(T ) (x x; t) = (x x; t) + T (x; t) ; (16)

ondeT (x; t) =

0(x0; t) (x; t) = S(T ) (x; t) (x; t) (17) a variao total do vetor de estado, tambm expressa como

T (x; t) = F + 0 ; (18)

soma da variao funcional

F = 0(x; t) (x; t) (19)

mais a variao

0 = (x; t) (x x; t) = @ @x

x (20)

devida variao do argumento da funo.Em sntese, quando se faz a mudana do sistema fsico S mantendo o ref-

erencial R xo, o vetor de estado 0(x; t) do novo sistema S 0 est relacionadocom o vetor de estado (x; t) do antigo sistema S pela variao funcional,

0(x; t) = (x; t) + F = (x; t) + T 0 : (21)

A variao total T , denida pela equao(11 ), vem das propriedadesmatemticas da funo (escalar, vetor, espinor, etc.), equaes (1-5).

9.1.1 Translaes espaciais

Considere a translao (unidimensional, por comodidade),

RT! R0 ) x0 = Tx = x a : (22)

121

Aplicado ao sistema fsico, descrito pelo vetor de estado (x; t), o sistematransladado ser descrito pelo vetor de estado

0(x; t) = S(T ) (T1x; t) = S(T ) (x+ a; t) (23)

e, considerando a invariana translacional

0(x0; t) = S(T ) (T1x; t) = (x; t)

(S(T ) = 1), resulta

0(x; t) = (x+ a; t) = (x; t) + 0(x; t)a+1

2 00(x; t)a2 + ;

que pode ser compactada na somatria

0(x; t) =1Xn=0

1

n!

a@

@x

n (x; t) (24)

ou, usando o operador de momento

px =~i

@

@x;

que o gerador das translaes,

0(x; t) =1Xn=0

1

n!

i

~a:p

n (x; t) = e

i~a:p (x; t) : (25)

9.1.2 Rotaes espaciais

Para as rotaes, ca mais cmodo usar a forma innitesimal,

x0i = xi +3Xj=1

ijxj ; (26)

onde ij = ji = k para os ndices i, j e k so tomados ciclicamente, usandoos ndices espaciais inferiores do espao euclidiano.Em notao matricial, pode-se representar como

X 0 = RX; (27)

onde R a matriz de rotao 3 3, que deve satisfazer condio de ortog-onalidade

RTR = RRT = I (28)

122

(RT representa a matriz transposta de R e I a matriz identidade). Paratransformaes innitesimais,

R = I +i

~

3Xi;j=1

ijSij (29)

a condio de ortogonalidade traduzida na antissimetria

ji = ij (30)de modo a restar apenas trs parmetros independentes k = ij, de modoque a equao (29) ca

R = I +i

~

3Xk=1

kSk (31)

O fator ~ (constante de Planck) foi colocado para se adequar notao daMecnica Quntica.

Escalares As funes escalares so invariantes por rotao, resultando

0(x; t) = (xi 3Xj=1

ijxj; t) =

1 k

xj

@

@xi xi @

@xj

(x; t) (32)

e, usando os operadores de momento

pi =~i

@

@xi

geradores das translaes,

0(x; t) =1 i

~k (xjpi xipj)

(x; t) (33)

Para a rotao ao redor do eixo z,

0(x; t) =1 +

i

~3 (xpy ypx)

(x; t) =

1 +

i

~3Lz

(x; t) (34)

ou, na forma nita, considerando 3 = =N para N !1,

0(x; t) = limN!1

1 +

i

~3Lz

N (x; t) = e

i~ Lz (x; t) : (35)

O operador de momento angular o gerador das rotaes. Em particular, Lz o gerador das rotaes ao redor do eixo z.

123

Vetores As funes vetoriais transformam-se da mesma forma que as co-ordenadas, equao (26),

A0i(x0; t) = Ai(x; t) +

3Xj=1

ijAj(x; t) ; (36)

de modo que nas rotaes dos sistemas fsicos resulta

A0i(x; t) = Ai(T1x; t) +

3Xj=1

ijAj(T1x; t) (37)

que, em notao matricial ca

A0(x; t) = RA(T1x; t) = R

1 +i

~3Lz

A(x; t) : (38)

No caso de uma rotao innitesimal 3 ao redor do eixo z, a matriz derotao

R =

0@ 1 3 03 1 00 0 1

1A = I + 30@ 0 1 01 0 0

0 0 0

1A (39)ou

R = I +i

~3S3 (40)

para

S3 = ~

0@ 0 i 0i 0 00 0 0

1A (41)Com estas denies, a equao (38) ca

A0(x; t) =

1 +i

~3L3 +

i

~3S3

A(x; t) ; (42)

onde L3 = L3 o operador (componente z) do momento angular orbital e S3 a terceira componente do operador de momento angular intrnseco (spin).Para uma transformao nita,

A0(x; t) = ei~ (L3+S3)A(x; t) : (43)

Dene-se o momento angular total J como a soma do momento angularL mais o momento angular de spin S,

J = L+ S. (44)

124

9.1.3 Translaes no espao-tempo

Translaes innitesimais no espao-tempo tem a forma

x0 = x + x = x + (45)

e, pela invarina translacional das grandezas fsicas,

T (x) = 0;

resulta 0(x; t) = (x; t) + F = (x; t) + T 0 (46)

e, portanto,F (x) = @ ; (47)

de modo que o campo transforma-se como

0(x; t) = (1 @) (x; t) =

1 +i

~P

(x; t): (48)

Para uma translao nita

x0 = x + a (49)

resulta 0(x) = e

i~a

P (x) (50)

onde

P = i~@ = i@

@x(51)

o operador de momento linear, gerador do sub-grupo das translaes doGrupo de Poincar.

9.1.4 Transformaes de Lorentz

A expresso geral para as transformaes de Lorentz na forma innitesimal

x0 = x = ( + !

)x

; (52)

os parmetros innitesimais satisfazendo a condio

! = !: (53)

As grandezas fsicas transformam-se diferentemente conforme sejam escalares,vetores, etc. Sero considerados apenas escalares e espinores.

125

Escalares de Lorentz A funo escalar, por denio, invariante pelastransformaes de Lorentz,

T(x) = 0

de modo que a equao (21) ca

0(x) = 0(x x) = (1 x@) (54)para

x@ = !x@ = 1

2! (x@ x@) = i

2~!L ; (55)

resultando

0(x) =

1 i2!L

(x) (56)

ou, na forma nita,0(x) = e

i2!L(x) : (57)

Os operadores diferenciais

L = i~ (x@ x@) (58)

contm os operadores de momento angular orbital

Lk = Lij = (xipj xjpi) (59)

(ndices espaciais ijk tomados em ordem cclica) ligados s componentesde rotao ! = ij, equao (26). As componentes mistas espao-temposo os geradores das tranformaes especiais de Lorentz dos deslocamentosuniformes,

Ki = L0i = i~ (x0@i xi@0) : (60)

9.1.5 Quadri-vetores

Em transformaes ligadas s mudanas de referenciais, os quadri-vetorestransformam-se da mesma forma que as coordenadas, equao (52),

A0(x0) = A(x) + !A(x) : (61)

Em transformaes dos sistemas fsicos resulta

A0(x) = A(x x) = A(x x) + !A(x) (62)

para =

!

126

e, em notao matricial,

= I i~!S

: (63)

Usando a notao matricial para os quadri-vetores,

A0(x) = A(T1x) =I i

~!S

1 i

~!L

A(x) (64)

e, paraJ = L + S ; (65)

que denem os geradores das transformaes de Lorentz,

A0(x) =I i

~!J

A(x); (66)

retendo apenas innitsimos de primeira ordem.Para transformaes nitas,

A0(x) = ei~!J

A(x): (67)

Os geradores L so operadores diferenciais e S so matrizes e, sendode naturezas diferentes, devem comutar entre si. Ambos satisfazem s mes-mas relaes de comutao de J ,

[J ; J] = igJ igJ igJ + igJ (68)que denem a lgebre de Lie do Grupo das transformaes de Lorentz.As componentes espaciais Jij formam a lgebra

[Jij; Jkl] = ijkJil + iikJjl + ijlJik + iilJjk (69)do grupo SO(3) das rotaes, relacionadas aos trs geradores (hermitianos)das rotaes atravs de

Ji =1

2ijkJjk; (70)

componentes do momento angular total

J = L+ S; (71)

soma do momento angular orbital, L, mais o momento angular de spin, S. (ijk o tensor completamente antissimtrico de Levi-Civita, com 123 = 1.)Os restantes trs geradores so das transformaes especiais de Lorentz,

Ki = J0i; (72)

127

operadores anti-hermitianos.Em termos destes novos geradores, as relaes de comutao (68) cam8>>>>>>>:

[Ji; Jj] = iijkJk:

[Ki; Kj] = iijkJk

[Ji; Kj] = iijkKk

; (73)

mostrando que os geradores das rotaes e das transformaes especiais deLorentz no se separam em sub-lgebras.No entanto, introduzindo as denies

Ni =1

2(Ji +Ki) (74)

mais os conjugados hermitianos

N yi =1

2(Ji Ki) ; (75)

estes novos geradores Ni e Nyi comutam entre si e satisfazem, cada qual,

lgebra de Lie do grupo SU(2),8>>>>>>>>>>>:

[Ni; Nj] = iijkNkhN yi ; N

yj

i= iijkN

yk ;h

Ni; Nyj

i= 0

: (76)

Deste modo, pode-se obter dois operadores invariantes,

N2 = NiNi eN y2

= N yiNyi ; (77)

com auto-valores n(n + 1) e m(m + 1), respectivamente, n e m podendoassumir valores inteiros e semi-inteiros,

n;m = 0;1

2; 1;

3

2; 2; , etc.,

como bem conhecido do grupo SU(2) de spin. Assim, as representaesdo Grupo de Lorentz podem ser identicadas pelos pares (n;m) e os seusestados pelos auto-valores de N3 e N

y3 .

128

Os grupos SU(2) denidos pelos geradores Ni e Nyj no so independentes

pois os mesmos podem ser intercambiados por conjugao hermitiana ou poroperao de paridade, que transformam

Ji ! Ji , Ki ! Ki e Ni ! N yi : (78)

Como

Ji = Ni +Nyi ; (79)

o spin da representao (n;m) a soma n+m. Os escalares so representaesde spin 0 e os quadri-vetores so representaes de spin 1. As representaesde spin semi-inteiras so espinoresA seguir, alguns exemplos destas representaes:

1. (0; 0) - (pseudo) escalar, spin 0.

2. (1=2; 0) - espinor de mo esquerda, spin 1/2.

3. (0; 1=2) - espinor de mo direita, spin 1/2. (as denies esquerda edireita so simples convenes.)

4. (1=2; 1=2) - quadri-vetor, spin 1.

As representaes (1=2; 0) e (0; 1=2) intercambiam entre si por transfor-maes de paridade, no possuindo, portanto, paridades denidas. So es-pinores a duas componentes complexas denominadas espinores de Weyl. Sea paridade for relevante, recorre-se representao da soma direta (1=2; 0)(0; 1=2), que so os espinores de Dirac, que descrevem partculas espinoriaiscom massa, como os eltrons. Os espinores de Weyl representam partculasespinoriais sem massa.

9.2 Grupo de Poincar

As transformaes de Poincar, que consistem das transformaes de Lorentzmais as translaes no espao-tempo, conectam todos os referenciais inerciaisentre si, denindo um grupo de 10 parmetros. O conjunto das relaes decomutao dos geradores de um grupo denen a chamada lgebra de Liedeste grupo.

129

A lgebra de Lie do grupo Poincar denida pelas relaes de comutao8>>>>>>>:[P; P ] = 0

[J ; P] = igP + igP

[J ; J] = igJ igJ igJ + igJ;

: (80)

entre os operadores de momento P e de momento angular J .As representaes do grupo de Poincar so denidas pela massa e pelo

spin, a massa denida pelo invariante

PP = m2c4 0: (81)

A partir do quadri-vetor de Pauli-Lubanski denico como

W = 12PJ = 1

2SP (82)

dene-se o invarianteWW

= m2c4s(s+ 1) (83)

e as representaes de massa m e spin s (s = 0; 1=2; 1; 3=2; inteiros esemi-inteiros).satisfaz s relaes de comutao8>>>>>>>:

[W ; P ] = 0

[J ;W] = igW + igW

[W;W ] = iWP

(84)

No caso de massa nula,

PP = WW

= 0; (85)

e comoPW

= 0;

P e W devem ser proporcionais,

W = sP : (86)Neste caso, uma representao de spin s 6= 0 admite somente dois estadoscorrespondentes s duas nicas orientaes do spin, ou helicidades, +s e s.

W = sP ; (87)a constante de proporcionalidade s denido pelo spin da representao.Neste caso, uma representao de spin s 6= 0 admite somente dois estados,correspondentes s duas nicas orientaes do spin, ou helicidades, +s e s.

130

9.2.1 lgebra de Lie graduada[4;7]

Considere um conjunto de parmetros i de uma transformao contnuapara denir uma "graduao",8

A lgebra de Lie graduada assim denida generaliza a identidade de Jacobina forma

(1)nkni ffTi; Tjg ; Tkg+(1)ninj ffTj; Tkg ; Tig+(1)njnk ffTk; Tig ; Tjg = 0;(97)

onde o smbolo f ; g pode indicar comutao ou anti-comutao seguindoa denio

fTi; Tjg = TiTj (1)ninjTjTi (98)conforme o carter bosnico ou ferminico dos geradores Ti e Tj.A lgebra de Lie graduada pode ser vista como uma extenso da lgebra

de Lie usual, indtroduzindo uma graduao atravs de geradores ferminicosque obedecem a relaes de anti-comutao entre si e de comutao com osdemais geradores bosnicos. A lgebra de Lie do grupo de Poincar podeser graduada introduzindo os geradores espinoriais Q com a caractersticafundamental de misturar os campos bosnicos e ferminicos, o que permitea construo de multipletos contendo indistintamente bsons e frmions,levando simetria bson-frmion, a que se denomina supersimetria.Considerando somente os geradores ferminicos Q, a relao de anti-

comutaofQ; Q0g = QQ0 +Q0Q (99)

deve resultar numa quantidade bosnica e pode ser escrita, de uma formageral, como

fQ; Q0g = AP +BJ + C lZl ; (100)onde P so os geradores de momento, J os geradores do grupo de Lorentz eZl geradores bosnicos de alguma simetria interna. Foi visto que as represen-taes do grupo de Lorentz so identicadas pelos pares (n;m), a soma n+mdenindo o spin da representao. Assim, os geradores como representaesdo grupo de Lorentz cam8>>>>>>>>>>>>>>>:

P $ (1=2; 1=2) - quadri-vetor.

J $ (1; 0) e (0; 1) - tensor antissimtrico auto-dual e anti-auto-dual.

Zl $ (0; 0) - escalar.

Q $ (1=2; 0) e (0; 1=2) - componente L e R do espinor de Dirac.

Se considerar o gerador Q na representao bsica (1=2; 0) e Q0 = Q

na representao (0; 1=2), o produto QQ pertencer representao vetorial

132

(1=2; 1=2), e portanto deve ser proporcional ao nico quadri-vetor disponveldentre os geradores do grupo de Poincar, de modo que

fQ; Qg = AP : (101)

Se tanto Q como Q0 = Q pertencerem mesma representao (1=2; 0),como

(1=2; 0) (1=2; 0) = (1; 0) + (0; 0);a relao de anti-comutao entre Q e Q deve ser uma combinao linearde J e Zl. No entanto, como P e Q comutam entre si, ca proibido otermo proporcional a J , de modo que deve-se ter

fQ; Qg = C lZl : (102)

9.3 Equaes de movimento

Todos os campos relativsticos usados para representar as partculas ele-mentares livres devem, em princpio, satisfazer equao de onda de Klein-Gordon, como o campo escalar (r; t),

@2

c2@t2r2 + m

2c2

~2

(r; t) = 0 (103)

tendo como solues as ondas livres

(r; t) =

Zg(k)ei(!tkr)d3k (104)

desde que satisfeita a relao

E2

c2 p2 = m2c2 (105)

paraE = ~! e p = ~k; (106)

g(k) uma funo arbitrria denida pela condio inicial (r; t = 0) = (r).A equao (105) admite energias positivas ou negativas,

E = pp2c2 +m2c4, (107)

e a teoria quntica dos campos, que implica na chamada segunda quantizao(quantizao dos campos), associa as solues de energia positiva a partculase as solues de energia negativa a anti-partculas.

133

Partculas de spin 0 so representados por campos escalares. Partculas despin 1, como os ftons, so representados por campos vetoriais que, alm desatisfazerem, componente a componente, a equao de onda Klein-Gordon,devem satisfzer a equaes especcas dos campos vetoriais, as equaes deMaxwell no caso dos ftons. Partculas fundamentais como eltrons e quarksso frmions (spin 1/2) e so representados por campos espinoriais satis-fazendo a equao de Dirac,

(i~@ mc) = 0; (108)

onde so matrizes (de Dirac) obedecendo relao de anti-comutao

( + ) = f; g = 2g ; (109)

condio necessria para que os campos espinoriais, componente a compo-nente, tambm satisfaam a equao de Klein-Gordon.Partculas espinoriais de massa no nula so representados por espinores

de Dirac a quatro componentes, dois graus de liberdade associados s duasorientaes possveis de spin e os outros dois graus de liberdade associados apartculas e anti-partculas.Partculas eletricamente carregadas devem ser representadas por cam-

pos complexos cuja invariana de fase est associada conservao da cargaeltrica e, consequentemente, interao eletromagntica atravs da invari-ana de gauge.

9.4 Invariana de gauge

A independncia dos campos eltrico e magntico pelas transformaes degauge, aliada invariana de fase da mecnica quntica, teve um impactomuito grande na evoluo da Fsica, com as teorias de gauge que foramcapazes de fornecer as teorias para as interaes nucleares fortes e fracas. Asteorias de gauge tem como modelo a eletrodinmica e a sua invariana pelastransformaes conjuntas de gauge do campo eletromagntico e de fase, naforma local, da mecnica quntica.Como a mecnica quntica se baseia no formalismo hamiltoniano, vamos

identicar a funo hamiltoniana da equao de Schrdinger

i~@ (x; t)

@t= H (x; t) (110)

descrevendo uma partcula interagindo com um campo eletromangtico ex-terno.

134

Considere a equao de movimento da eletrodinmica clssica,

d(mv)

dt= e(E+

1

cv B) ; (111)

onde mv o momento mecnico de uma partcula carregada com cargaeltrica e e massa relativstica m = m0. Esta equao pode ser obtidade uma hamiltoniana a partir das equaes de Hamilton-Jacobi,

:xi =

@H

@pi;

:pi = @H

@xi;

a hamiltoniana H satisfazendo relao

(H e)2 =p e

cA2

+m20c4 :

Namecnica quntica no relativstica, pode-se considerar a hamiltonianano relativstica

H =1

2m

p e

cA2

+ e : (112)

Da primeira das equaes de Hamilton-Jacobi resulta

vi =@H

@pi=

1

m

pi e

cAi

;

relacionando o momento cannico e o momento mecnico

p = mv +e

cA :

As derivadas em relao ao tempo das suas componentes cam

dpi

dt=

d

dt(mvi) +

e

c

dAi

dt=

d

dt(mvi) +

e

c@jA

ivj + e@0Ai = @H

@xi:

Por outro lado,

@H

@xi=

@

@xi

1

2m

p e

cA2

+ e

= e

cvj@iA

j + e@i ;

resultando

d

dt(mvi) =

e

c(vj@iA

j vj@jAi) e(@i+ @0Ai ) :

135

Considerando que

(v B)i = ijkvjBk = ijkvjklm@lAm= ijkklmvj@lA

m

= (iljm imjl)vj@lAm= vj@iA

j vj@jAi

e(@i+ @0Ai ) =Ei ;

entod

dt(mvi) = eEi +

e

c(v B)i ;

que a equao (111), em componentes.Com a hamiltoniana (112), a equao de Schrdinger, na presena de um

campo eletromagntico externo, ca

i~@ (x; t)

@t=

"1

2m

~ir e

cA

2+ e

# (x; t) : (113)

As transformaes de gauge

A ! A0 = A+ gradf ! 0 = 1

c

@f

@t

alteram apenas o lado direito da equao de Schrdinger,

i~@ (x; t)

@t=

"1

2m

~ir e

cA e

crf2

+ e ec

@f

@t

# (x; t) :

Para tornar a equao (113) covariante, introduz-se a transformao defase na forma local

(x; t)! 0(x; t) = eif(x;t) (x; t) ;tal que o lado esquerdo ca

i~@ 0(x; t)

@t= i~eif(x;t)

@

@t+ i

@f

@t

(x; t)

e, para = e=(~c),

i~@ 0(x; t)

@t= eif(x;t)

i~@

@t ec

@f

@t

(x; t):

136

No lado direito da equao (113),~ir e

cA e

crfeif(x;t) (x; t) = eif(x;t)

~i

r i e

~cA (x; t)

e~ir e

cA e

crf2

eif(x;t) (x; t) = ~2eif(x;t)r i e

~cA2 (x; t) :

Estes resultados mostram que as transformaes conjuntas de gauge docampo eletromagntico e de fase local da funo de onda,

A ! A0 = A+ gradf ! 0 = 1

c

@f

@t(114)

! 0 = eif(x;t) mantm a equao de Schrdinger invariante. Rearranjada na forma

i~@

@t+ i

e

~

(x; t) = ~

2

2m

r i e

~cA2 (x; t) ; (115)

pode-se denir a derivada covariante

D =@ + i

e

~cA

= (@ + iA) ; (116)

quadri-vetor de Minkowski, que se transforma da mesma forma que o campo,

D (x; t)! D0 0(x; t) = eif(x;t)D (x; t) : (117)Esta a base das chamadas teorias de gauge, que parte de uma transfor-

mao de simetria global do sistema livre. Postula-se, ento, que a simetriaseja local, o que leva introduo dos campos de gauge e a substituio dasderivadas usuais pelas derivadas covariantes. Os campos de gauge so osmediadores das interaes entre as partculas do sistema original.As transformaes de fase podem ser generalizadas atravs de operadores

a no comutativos, que na forma global ca

(x; t)! 0(x; t) = eiafa (x; t) (118)para f constante, de modo que as derivadas mantm a mesma forma dastransformaes do campo,

@ (x; t)! @ 0(x; t) = eiafa@ (x; t) :

137

Tornar a transformao global para local signica fazer a substituio f !f(x; t);

(x; t)! 0(x; t) = eiafa(x;t) (x; t) ; (119)de modo que as derivadas transformam-se como

@ ! @ 0 = eiafa@ + ia (@fa) eiafa :A derivada covariante, denida como

D =@ + iaB

a

(120)

transforma-se como

D (x; t)! D0 0 =eiaf

a

@ + ia (@fa) eiaf

a

+ iaBa0 e

iafa

que ca covariante, isto ,

D0 0 = eiaf

a

D ; (121)

sec (@f

c) eiafa

+ cBc0 e

iafa = eiafa

cBc

ou sejaB0 = UBU

1 c@f c (122)para

B = cBc (123)

eU = eiaf

a

(124)

onde c so os geradores do grupo de simetria com propriedades de comutao

[a; b] = ab ba = Cabcc : (125)Uma outra forma de escrever as transformaes dos campos de gauge

(122) B0a = B

a @fa + Ccbaf cBb : (126)

O formalismo de gauge a base do Modelo Padro das interaes fun-damentais englobando a interao forte, baseada na simetria SU(3), atravsdo modelo a quarks, e a interao eletro-fraca das interaes fraca e eletro-magntica baseada no grupo U(1)SU(2). Na nomenclatura dos grupos desimetria, U(1) nomeia o grupo das transformaes de fase e SU(n) o grupoespecial das transformaes unitrias de ordem n (nmero de componentesda representao fundamental do grupo). Especial signica geradores (ma-trizes) de trao nulo.

138

9.5 Interaes fundamentais

So conhecidas quatro interaes fundamentais: gravitacional, eletromag-ntica e as interaes nucleares fraca e forte. As interaoes gravitacionale eletromagntica so as mais conhecidas por estar presente no cotidiano,manifestando-se de forma mensurvel em estruturas macroscpicas.A teoria da interao gravitacional ps-newtoniana foi desenvolvida por

Einstein junto a Relatividade Geral, tendo como postulado o Princpio daEquivalncia na verso forte (equivalncia local entre os efeitos da gravitaoe da acelerao do referencial). A interao eletromagntica descrita pelasequaes de Maxwell, sendo uma teoria relativstica por excelncia.A invariana de fase da Mecnica Quntica na forma local combinada com

a invariana de gauge do campo eletromagntico fornece as diretrizes para asteorias de gauge que fundamentam as teorias das interaes nucleares fortee fraca, em estruturas de simetrias internas baseadas em modelos a quarks,atualmente conhecidas como Modelo Padro das Interaes Fundamentais.Os constituintes fundamentais do Modelo Padro so os lptons (eltrons,

mons e lptons com os respectivos neutrinos), os hdrons (quarks u, d,s, c, b, t) e as partculas mediadoras das interaes (o fton da interaoeletromagntica, as partculas W, W0, Z0 da interao fraca e os glons dainterao forte).Somente os quarks participam da interao forte, cujas fontes so as car-

gas de cores (red, yellow, blue) que triplicam o nmero de quarks numaestrutura de simetria SU(3);

(qa) =

0@ qRqYqB

1A : (127)Os quarks so frmions (spin s = 1=2) com nmero barinico B = 1=3.

Os outros nmeros qunticos so especcos: isospin I e a sua componenteI3, estranheza S, hypercarga Y = B + S, charme C, top T e carga eltricaQ=e (em unidades de carga eletrnica) relacionadas por

Q

e= I3 +

Y

2+C

2+T

2, (128)

cujos valores podem ser observados na tabela 1. Os anti-quarks tem osnmeros qunticos inversos (com excesso do isospin).

Tabela 1: Os quarks com os respectivos nmeros qunticos.

139

n B I I3 S Y C T Q=eu 1

312

12

0 13

0 0 23

d 13

1212

0 13

0 0 13

s 13

0 0 1 23

0 0 13

c 13

0 0 0 13

1 0 23

b 13

0 0 0 13

0 0 13

t 13

0 0 0 23

0 1 23

Os brions (nmero barinico B = 1) so considerados sistemas tri-quarks, tendo como exemplo os nucleons,

p =1p2u (ud du)

n =1p2d (ud du) ; (129)

prtons e nutrons, respectivamente. Sistemas quark-antiquark constituemos msons (nmero barinico B = 0)

+ = ud

= du (130)

0 =1p2

dd uu

Foram as estruturas de dupletos e tripletos de isospin dos ncleons epons, posteriormente aumentados para octetos com a adio das partculasestranhas,

K+ = us

K0 = ds

K0

= sd (131)

K = su

=1p6

uu+ dd 2ss

que motivaram a reconstruo destas partculas como estados de sistemas dequarks e anti-quarks. Esta estrutura admite ainda um singleto

0 =1p3

uu+ dd+ ss

: (132)

140

Todos os estados fsicos dos sistemas de quarks e anti-quarks devem ser neu-tros nas cargas de cor, no existindo quarks livres. A interao nuclear quegarante a coeso nuclear contrapondo-se repulso eletrosttica entre osprtons a interao forte residual, supostamente por troca de partculascomo os pons. Anlogos s molculas que, apesar dos tomos constituintesserem eletricamente neutros, ligam-se por troca de eltrons devido interaoeletromagntica residual.As partculas de spin 1/2 (frmions), como os eltrons, so representados

por espinores de Dirac, com estrutura de matriz coluna a quatro componentescomplexos,

=

0BB@ 1 2 3 4

1CCA : (133)Se a massa for nula, um espinor de Dirac pode ser decomposto nas chamadascomponentes chirais R e L (mo direita e mo esquerda),

=

R L

; (134)

cada qual com duas componentes complexas,

R =

1 2

e L =

'1'2

: (135)

O modelo da interao fraca baseada na simetria U(1)SU(2) para ascomponentes de mo esquerda, organizando as partculas fundamentais emfamlias com trs geraes,

ee

L

,

L

,

L

(136)

para a famlia dos lptons (que inclui ainda os singletos de mo direita) eud0

L

,

cs0

L

,

tb0

L

para a famlia dos hdrons (quarks). A estrutura SU(2) dos quarks porta-dores das cargas da interao fraca so denidos por dupletos cujas com-ponentes inferiores (d0; s0; b0) so combinaes lineares (misturas) dos quarks(d; s; b) portadores das cargas da interao fraca,0@ d0s0

b0

1A =0@ Uud Uus UubUcd Ucs Ucb

Utd Uts Utb

1A 0@ dsb

1A (137)141

a matriz 3 3 conhecida como matriz de Kobayashi-Maskawa. Esta mistura particularmente sensvel no chamado setor (d0; s0) cuja mistura denidapela rotao de Cabibbo

d0

s0

=

cos C sin C sin C cos C

ds

(138)

(C conhecido como ngulo de Cabibbo).Alm das famlias ferminicas, o modelo recorre aos bson de Higgs para

introduzir estados de energia mnima degenerados devido simetria do sis-tema. Ao escolher um dos mnimos de energia como o estado fundamental, asimetria inicial quebrada. Conhecida como quebra espontnea de simetria,serve tambm para introduzir termos de massa para as partculas fsicas,lembrando que a simetria inicial SU(2) vlida para componentes chiraisde partculas sem massa. Neste processo de quebra de simetria, a simetriade fase U(1) da interao eletromagntica preservada e, exceto o fton,as partculas de gauge adquirem massa assim como carga eltrica. Estaspartculas intermedirias da interao fraca so conhecidas como W, W0,Z0.

Exerccios

1. Nas transformaes de Lorentz innitesimais

x0 = x = ( + !

)x

mostre que a condio de invariana

x0x0 = xx

leva antissimetrizao! = !:

2. Mostre que para um campo escalar (r; t) satisfazendo a equao deKlein-Gordon

@2

c2@t2r2 + m

2c2

~2

(r; t) = 0;

as funes

=i

2m

@

c@t @

c@t

142

ej =

1

2im(r (r))

satisfazem a equao de continuidade

@

@t+r j = 0:

3. Utilize a derivada covariante

D =@ + i

e

~cA

para introduzir a interao eletromagntica na equao de Klein-Gordondo exerccio acima.

4. Aplique o operador(i~@ mc)

esquerda da equao de Dirac

(i~@ mc) = 0para mostrar que o campo (x) satisfaz tam bm a equao de Klein-Gordon desde que

f; g = 2g :

Bibliograa1. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill (1965).

2. James D. Bjorken e Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics,McGraw-Hill (1965).

3. Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer (second edition),Addison-Wesley (1990).

4. C. Itzykson and J. B. Zuber: Quantum Field Theory, McGraw-Hill(1980).

5. John J. Brehm e William J. Mullin, Introduction to the Structure ofMatter - A course in Modern Physics, John Wiley & Sons (1989).

6. David Gri ths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley &Sons, N.Y. (1987).

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