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Mecânica Vibratória 2010/2

Engenharia Mecânica - UPF - Prof. Nilson L. Maziero 26

3. Vibrações livres sem amortecimento Assim, pode-se observar a partir da figura, como funciona uma vibração livre, onde está representado o sistema massa/mola. Considerando que a mola (constante k) está presa a um suporte superior e a sua extremidade inferior atinge a posição L. Após é colocada a massa na extremidade da mola. Como esta massa possui um peso devido a ação da gravidade e este exerce uma força sobre a mola, esta é alongada de uma distância y0. Esta é a posição de equilíbrio do sistema massa/mola.

Logo, conhecendo-se a constante de mola k, e a força exercida pelo peso, que será a força exercida sobre a mola (Fm), pode-se calcular o deslocamento inicial y0.

0ykFm = k

Fy

m=0

y0L kk

m

Figura 1 – Sistema massa/mola. Considerando agora o sistema em equilíbrio, a partir de uma perturbação na direção vertical, e considerando que deslocamentos laterais não ocorrem no sistema, pode-se observar uma vibração livre sem amortecimento. Assim, estando a massa m em repouso, dando um impulso para baixo na massa, esta desloca-se de uma distância –y, no momento da máxima elongação da mola. Após inicia o movimento contrário, passando pelo ponto de equilíbrio e realizando um deslocamento contrário y.



y

-y

kkk

m

m

m

Figura – Sistema massa/mola em perturbação.

O ciclo é o movimento que a massa móvel completa, saindo de um ponto de referência e retornando a este ponto após percorrer uma trajetória.

m

k

Figura – Ciclo.

A freqüência (f) é o número de ciclos executados na unidade de tempo.

tempociclosnúmerofreqüência=

tnf = HzHertz

s==

1

O período (T) é o tempo gasto para realizar um ciclo.

fn

tT

1== [ ]s logo, T

f1=

A amplitude [Y] é a máxima distância que o móvel em movimento vibratório alcança, em relação a posição inicial de equilíbrio.



-YY

m

m

m

k

Figura – Amplitude (Y).

Elongação é a distância de um ponto qualquer da trajetória, no qual o móvel

se encontra, em relação a posição de equilíbrio. A freqüência natural (fn) é a freqüência própria do sistema, ou seja, quando

o sistema vibra livre de forças de excitação. É a freqüência de uma vibração livre.

Quando a um corpo ou um sistema de corpos interligados é imposto um deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio e em seguida ele é abandonado, ele vibrará com uma freqüência conhecida como freqüência natural.

Freqüência natural amortecida (fna) é a freqüência própria do sistema, com a presença de atrito.

Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante, ocorre o fenômeno conhecido como ressonância que resulta em grandes deformações e falhas mecânicas. 3.1 Vibrações livres não amortecidas longitudinais (vlna) Este tipo de vibração considera que o sistema sofre apenas uma perturbação inicial, possui deslocamento longitudinal, neste caso na direção vertical e não possui atrito no sistema que resulta no amortecimento da vibração. Equações do movimento e da freqüência natural O sistema considerado possui uma massa m, presa a uma mola suspensa de constante k.



Fst

Fst = k y

k

P = m g

m

k kL

yst

m

k

-y

Em equilíbrio estático tem-se:

∑ =0F 0=− PFst PFst= k

Pyst=

Em condições dinâmicas:

∑ = amF amF =− amFFstP =−− amFPP =−−

amyk =− 0=+ ykam 0=+ ym

ka 0=+ y

m

ky&&

02

2

=+ ym

k

dt

yd 0=+ y

m

ky&&

A solução geral desta equação diferencial é:

+

= t

m

kCt

m

ksenCy cos21

+= 4cos3 Ct

m

kCy

Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias que dependem das

condições iniciais do movimento. Esta solução é considerada geral porque representa todas as possíveis soluções que se particularizarão pelos valores assumidos pelas constantes arbitrárias.



3.2 Soluções particulares para equação diferencial das Vibrações Livres não Amortecidas Longitudinais (VLNAL) Com deslocamento inicial Condições iniciais: A massa é liberada de uma posição afastada do ponto de equilíbrio (y = y0), com velocidade inicial nula ( 0=y&& ), no instante inicial com t

= 0.

Y

Ponto de partitda t=0

wt

y

ππ/2 3π/2 2π0

y

Yy0m

k

y

+

= t

m

kCt

m

ksenCy cos21

+= 43 Ct

m

ksenCy



3.3 Freqüência natural e velocidade angular natural na VLNAL Wn é a freqüência circular natural do sistema vibrante (ou a velocidade angular de um ponto em MCU cuja projeção executa um movimento idêntico ao do sistema vibrante).

Para uma vibração onde t = tn e θ = 2π

nn

TW

π2= n

nW

Tπ2=

m

kWn=

m

k

Tf

nn

π2

11 ==

3.4 Método prático para a determinação da freqüência natural Considerando a deformação estática da mola com a colocação da massa de peso P, tem-se:

k

mg

k

Fy

stst == onde

g

y

k

m st= como 2nW

k

m =

stn

y

gW = e

sty

gfn

π2

1=

EXERCÍCIOS. Exercício 1: Um ponto material está em movimento harmônico simples com uma amplitude de 0,1 m e um período de 0,6 s. Encontre a velocidade máxima e a aceleração máxima. Exercício 2: A análise do movimento de um ponto material mostra uma aceleração máxima de 30 m/s2 e uma freqüência de 120 ciclos por minuto. Supondo que o movimento é harmônico simples, determine: a) a amplitude; b) a velocidade máxima. Exercício 3: O colar A está preso à mola ilustrada e pode deslizar sem atrito na barra horizontal. Se o colar for afastado 75 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o período, a velocidade máxima e a aceleração máxima do movimento resultante.



Exercício 4: Um colar de 5 kg está preso a uma mola de constante k = 800 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 50 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o movimento que se segue: a) o período; b) a velocidade máxima do colar; c) a aceleração máxima do colar.

Exercício 5: Com os dados do problema 19.6, determinar a posição, velocidade e aceleração do colar 0,20 s após ter sido liberado. Exercício 6: Um colar de 40 N está preso a uma mola de constante k = 1000 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 0,05 m para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado da sua posição de equilíbrio, determine: a) o tempo necessário para o colar mover-se 0,075 m para cima; b) velocidade e aceleração correspondentes do colar.



COM VELOCIDADE INICIAL Situação inicial: a massa m é impulsionada com uma velocidade inicial 0y&

a partir da posição de equilíbrio (y = 0) no momento em que se inicia a contagem dos tempos.

y

k

m

Y

y

0 2π3π/2π/2 π

y

wt

Ponto de partitda t=0

Y

00 0 === yyyt &&

+

= t

m

kCt

m

ksenCy cos21

+= 4cos3 Ct

m

kCy



COM DESLOCAMENTO E VELOCIDADE INICIAIS Situação inicial: A massa m será impulsionada com uma velocidade inicial

0y& a partir de uma posição afastada do equilíbrio de um vetor y0.

y0θ

Yyn/Wn

w2Y

ππ/2 3π/2 2π0

wt

sen wt y0 wt

yo cos wt

wt

ynWn Y

y0 Situação inicial: 000 yyyyt && ===

+

= t

m

kCt

m

ksenCy cos21



+= 4cos3 Ct

m

kCy

A equação demonstra que a elongação y, é o resultado da soma das projeções de dois fasores de módulos wy /0& e y0 defasados de θ0= 2π, ou ainda

graficamente pode ser obtida, pela projeção do fasor resultante y.

)cos( 0θ−= tWYy n

20

20 )/( yWyY n += & e

0

00

yW

ytg

n

&=θ

Obs.: a máxima elongação ocorre quando (Wn - θ0) = 0

nn

Wt

0θ=

Observa-se ainda, que as equações deste caso, servem também para os dois

primeiros, bastando para isso considerar igual a zero a velocidade inicial no primeiro caso, e no segundo caso, o deslocamento inicial. EXERCÍCIOS Exercício 1: Um bloco de 50 kg de massa move-se entre guias verticais. O bloco é puxado de 40 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado. Para cada combinação de molas determinar o período de vibração, a velocidade máxima e a aceleração máxima do bloco.



Exercício 2: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm.

Exercício 3: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm.



Exercício 4: O período de vibração do sistema ilustrado é de 0,8 s. Se o bloco A é removido, o período é de 0,7 s. Determine: a) o peso do bloco C; b) o período de vibração quando ambos os blocos A e B tiverem sido removidos.

‘

Exercício 5: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.

Exercício 6: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.



VIBRAÇÕES LIVRES DE CORPOS RÍGIDOS Método da equação diferencial Deve-se estabelecer a equação diferencial do movimento. A freqüência circular natural wn, será a raiz quadrada do coeficiente da variável dependente. Assim, se C for este coeficiente, a equação diferencial será:

02

2

=+ yCdt

yd onde: Cwn= logo,

ππ 22

Cwf

nn ==

A equação diferencial pode ser obtida a partir de vários modos. A PARTIR DA SEGUNDA LEI DE NEWTON

A análise de vibrações de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de liberdade é análoga à das vibrações de um ponto material.

Uma variável apropriada tal como uma distância x ou um ângulo θ, é escolhida para descrever a posição de um corpo ou de um sistema de corpos.

O objetivo final é obter uma equação do tipo:

0=+ ym

ky&& ou 0=+ ϕϕ

yI

Kt&&

sendo possível deduzir a freqüência circular natural. A partir da segunda lei de Newton é possível escrever:



∑ = ymFy && que deve resultar numa equação da forma 02 =+ ywy n&&

∑ = ϕ&&yIM que deve resultar numa equação da forma 02 =+ ϕϕ nw&&

Para determinar o período de pequenas vibrações de uma placa plana que oscila em torno de um ponto, tem-se:

Pθ

CGCG

bb

2b



Exercício 1: Um cilindro de peso P e raio r está suspenso por um laço de corda. Uma extremidade da corda está presa diretamente a um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola de constante k. Determine o período e a freqüência de vibração do cilindro.

Exercício 2: A barra uniforme ilustrada pesa 40 N e está presa a uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Se a extremidade A da barra é abaixada 0,05 m e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade da extremidade A.

Exercício 3: Uma correia é colocada na borda de um disco de 15 kg de massa, e em seguida presa a um cilindro de 5 kg e a uma mola de constante k = 600 N/m. SE o cilindro é deslocado 50 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) período de vibração; b) a máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é suficiente para impedir a correia de deslizar sobre a borda da polia.



Exercício 4: Uma placa quadrada uniforme de massa m é mantida num plano horizontal por um pino B e está presa em A a uma mola de constante k. Se ao canto A é dado um pequeno deslocamento e liberado, determine o período do movimento resultante.

Exercício 5: Um orifício de 75 mm de raio é aberto num disco uniforme de 200 mm de raio, que está preso a um pino sem atrito em seu centro geométrico O. Determine o período de pequenas oscilações do disco.

Exercício 6: Uma biela é suportada por m gume no ponto A; o pe´riodo das pequenas oscilações, observado, é de 0,945 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações observado é de 0,850 s. Sabendo que ra + rb = 0,2875 m, determine a localização do centro de massa.



Exercício 7: Um volante de 3 kN tem um diâmetro de 1,2 m e um raio de giração de 0,5 m. Uma correia é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada uma com constante k = 15 kN/m. A tensão inicial na correia é suficiente para impedir o escorregamento. Se a extremidade C da correia é puxada 0,025 m para baixo e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade angular do volante.

Vibrações torcionais

Estando um disco rigidamente preso a um eixo, se este disco for girado de um ângulo ϕ através de um momento torçor Mt e Kt a constante elástica.

ϕ

ϕKtMt −= ∑ = ϕ&&yIMt sendo Iy o momento de inércia.

ϕϕ &&yIKt =− que se transforma em: 0=+ ϕϕ KtIy &&

0=+ ϕϕyI

Kt&& 0

2

2

=+ ϕϕyI

Kt

dt

d ou ainda 02 =+ ϕϕ nw&&

onde y

nI

Ktw =

Kt = Momento por um ângulo de torção θ



Kt

I

WT

y

nn ππ

22 ==

y

nn

I

KtWf

ππ 2

1

2==

Exercício 1: Um disco circular, pesando 100 N e de raio 0,20 m, está suspenso por um arame. O disco é girado e em seguida liberado; o período de vibração de torção observado é de 1,13 s. Uma engrenagem é então suspensa do mesmo arame e o período de vibração observado é de 1,93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é proporcional ao ângulo de torção, determine: a) a constante de torção do arame; b) o momento de inércia baricêntrico da engrenagem; c) a velocidade angular máxima alcançada pela engrenagem quando é girada de 90 ° e liberada.

Exercício 2: Um disco uniforme de 200 mm de raio e 4 kg de massa está preso a um eixo vertical que é rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3° quando um momento estático de 4 Nm é aplicado. Se o disco é girado de 6° e em seguida liberado, determine: a) o período de vibração resultante; b) a velocidade máxima de um ponto na borda do disco.

Como é necessário determinar o momento de inércia do corpo sujeito a rotação, tem-se a seguinte tabela para fornecer as informações.



Figura – Momento de inércia de massa.



A PARTIR DO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA

Neste Caso, a equação diferencial obtida é levando-se em consideração que

a energia mecânica do sistema (Em) permanece constante. Ou seja, somando-se a energia potencial elástica (Epe), energia cinética de translação (Ect) e a energia cinética de rotação (Ecr), o resultado é uma constante no tempo.

Devido a esta constância, a derivada da Em em relação ao tempo resultará nula. Assim:

EcrEctEpeEm ++= e ( )EcrEctEpedt

d

dt

dEm ++==0

Após a substituição de cada um dos tipos de energia pelas respectivas

equações e algumas operações, obtém-se a equação diferencial do movimento na forma:

02

2

=+ yCdt

yd

assim, o procedimento é semelhante ao caso anterior.

Cwn= ππ 22

Cwf

nn ==

Assim, para resolver o problema, devem-se considerar duas posições

particulares do sistema. 1 – O deslocamento do sistema é máximo: Ec1 = 0 e Ep1 é expressa em

função da amplitude; 2 – O sistema passa por uma posição de equilíbrio: Ep2 = 0 e Ec2 é expressa

em função da velocidade.



Em seguida o sistema é expresso como: 2211 EcEpEcEp +=+

θ

2b

bb

CGCG

θP



EXERCÍCIOS Exercício 1: Determinar o período de pequenas oscilações de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.

Exercício 2: O movimento da barra uniforma AB é guiado pela corda BC e pelo pequeno rolete A. Determine a freqüência de oscilação quando a extremidade B da barra recebe um pequeno deslocamento horizontal e, em seguida, é liberada.

Exercício 3: A barra AB de 8 kg de massa está aparafusada no disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar, determine o período de pequenas oscilações do sistema.

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