Apostila de Mecnica dos Fluidos 2o semestre de 2010 Definio de Fluido: Fluido toda substncia que a uma determinada temperatura apresenta a caracterstica de escoar, ou seja, no possui formato constante, adaptando-se gradativamente ao formato do recipiente que o contm. importante lembrar que essa anlise feita a temperatura constante uma vez que a matria pode sofrer alterao de seu estado fsico, como o caso da gua, que pode se transformar em gelo (slido), lquido ou evaporar (gs), assim conclumos que a gua um fluido somente no estado lquido ou gasoso. Para diferenciar gases de lquidos, basta verificar que os lquidos possuem volume constante, independente do recipiente que ocupam, j os gases sempre ocuparo todo o recipiente, pois podem se expandir e comprimir, logo os gases no possuem volume constante. Propriedades dos fluidos: Grandezas fsicas utilizadas para anlise volume massa Grandeza massa peso rea gravi- presso dade especfica m G A g P V Smbolo kg N m2 m/s2 N/m2= Pa m3 kg/m3 Unidade (SI) Descrio: Massa: quantidade de matria Peso: a fora gravitacional sofrida por um corpo nos arredores de um planeta. O peso uma grandeza vetorial. Portanto, apresenta intensidade, direo e sentido. A direo a linha que passa pelo objeto e pelo centro da Terra. O sentido o que aponta para o centro da Terra. Matematicamente, pode ser descrito como o produto entre massa e a acelerao da gravidade Gravidade: acelerao da gravidade, no caso do planeta Terra o valor de 9,8 m/s2. Massa especfica: Corresponde a quantidade de matria contida por unidade de volume. Calculado pela frmula:

peso especfico N/m3

densidade d -

Peso especfico: o peso de uma unidade de volume de um fluido, calculado pelas frmulas:

Densidade: a relao entre a massa especfica de uma substncia e a massa especfica da gua (fluido de referncia), pode-se utilizar tambm o peso especfico das substncias para o calculo, conforme as frmulas a seguir:

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Constantes sempre que precisar utilize: H2O= 1000 kg/m3 Exerccios: 1) Qual deve ser o volume de um recipiente para que se coloque 3 kg de um fluido cuja massa especfica seja 750 kg/m3? (Resposta: V = 4 x 10-3 m3 ou V = 0,004 m3) 2) Qual a massa especfica e o peso especfico de um fluido cuja densidade 0,81? (Resposta: = 810 kg/m3, = 7.938 N/m3) 3) Um recipiente cilndrico com 2,8 m de altura e 80 cm de dimetro, contm um determinado fluido cuja massa especfica 1130 kg/m3, determine a massa de fluido contida no recipiente. (Resposta: m = 1593 kg) 4) Um recipiente retangular metlico com massa de 83 kg, possui dimenses de 1,2 m x 90 cm de base e altura de 45 cm, quando esta cheio com determinado fluido, possui massa total de 520 kg. Determine a massa especfica do fluido contida no recipiente.(Resposta: 899 kg/m3) 5) Num processo industrial foram misturados dois fluidos, colocou-se 30 kg do primeiro (=850 kg/m3) e a seguir adicionou-se 45 kg do segundo (=1280 kg/m3). Determine a massa especfica e o peso especfico da mistura formada.(R.: =1071,4 kg/m3 e =10499,7 N/m3) Hidrosttica Presso Presso a relao entre fora e rea. Ao se aplicar uma fora perpendicularmente em uma rea teremos uma presso sobre a mesma, que pode ser definida pela frmula: H2O= 9800 N/m3 g = 9,8 m/s2

A unidade de presso no SI, o Pa (Pascal), que obtido pela diviso da fora (Newton) pela rea (metros quadrados). Exerccios: 6) Calcule a presso na base de um recipiente retangular que contm gua, em cada um dos casos: a) Recipiente retangular (base 40 cm x 30 cm) e altura 20 cm; b) Mesmo recipiente do item a, porm altura de 30 cm; c) Mesmo recipiente do item a, porm altura de 40 cm; d) Recipiente retangular (base 50 cm x 35 cm) e altura 20 cm; e) Mesmo recipiente do item d, porm altura de 30 cm; f) Mesmo recipiente do item d, porm altura de 40 cm. Respostas: a) 1960 Pa b) 2940 Pa c) 3920 Pa d) 1960 Pa e) 2940 Pa f) 3920 Pa

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Teorema de Stevin Ao fazer o exerccio anterior voc deve ter percebido que a presso varia somente conforme a altura, ou seja, quanto maior for a coluna de fluido sobre a base, maior ser a presso, outra caracterstica a ser notada que ao variar o fluido a presso tambm varia. Podemos concluir que a presso definida pelo fluido e pela altura da coluna de fluido. Esta concluso o teorema de Stevin, utilizado para o clculo de presso, pelas frmulas: P = .g.h onde: h = altura em metros O enunciado completo do Teorema de Stevin, o seguinte: A presso em um ponto do fluido diretamente proporcional profundidade deste ponto e ao peso especfico do fluido. Com base neste teorema, temos duas consideraes importantes a fazer : - O fluido deve estar em repouso. Se o fluido estiver em movimento o teorema no vlido; - Devemos notar que a presso em um ponto de um fluido em repouso depende a apenas da profundidade do ponto e independe do formato do recipiente, conforme mostra a figura abaixo.

Pelo teorema de Stevin, podemos concluir que a presso a mesma em qualquer ponto situado em um mesmo nvel em um fluido em equilbrio. Para o caso de dois lquidos imissveis, como leo e gua em um tubo U de seo uniforme, consideremos a presso sobre as reas S1 e S2, situadas no plano AB, que passa pela interface entre os fluidos. Se o fluido est em equilbrio, temos que F1 = F2. Como S1 = S2, temos que :

Presso atmosfrica O planeta Terra est envolto por uma atmosfera gasosa que composta por nitrognio (78%), oxignio (21%), argnio (0,9%) e gs carbnico (0,04%), alm de outras substncias em menor quantidade inclusive vapor dgua. Tais gases se mantm presos a superfcie do planeta devido a ao do campo gravitacional, ao considerarmos a ao desses gases sobre o planeta podemos dizer que estamos imersos em um fluido gasoso que exerce presso sobre a superfcie do planeta e tudo que ela contiver.

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Esta presso chamada de presso atmosfrica, ela praticamente constante ao nvel do mar (referncia universal), e varia conforme a altitude. A presso ao nvel do mar vale 100 kPa, porm utilizada a unidade atm para indic-la, a tabela a seguir mostra as principais converses entre unidades de fora, comprimento e presso com seus significados: 1 libra = 4,44 N 1 kgf = 9,8 N 1 polegada = 25,4 mm 1 atm = 1 bar = 100 kPa = 14,5 psi Escalas de Presso: Se a presso medida em relao ao vcuo ou zero absoluto, chamada presso absoluta; quando medida adotando-se a presso atmosfrica como referncia, chamada presso efetiva. A escala de presses efetivas muito importante, pois praticamente todos os aparelhos de medida de presso (manmetros) registram zero quando abertos atmosfera, medindo, portanto, a diferena entre a presso do fluido e a do meio em que se encontram. A figura a seguir ilustra a relao entre a presso absoluta e efetiva:

A partir dessa anlise podemos concluir que: Pabs = Patm + Pef Para simplificar a nomenclatura, o ndice ef ser sempre omitido, e tambm sempre que mencionado um valor de presso, ser admitido que o mesmo presso efetiva (pois o mais usado), a menos que seja informado o contrrio. Aparelhos medidores de presso: a) Piezmetro PA = . h Desvantagens: - No serve para depresses; - No serve para gases; - No serve para presses elevadas.4

b) Manmetro com tubo em U PA = 2. h2 - 1. h1 Se o fluido 1 for gs : PA = 2. h2

c) Manmetro Metlico ( Tubo de Bourdon ) Pm = Pi - Pe Pi : presso interna Pe : presso atmosfrica Pm : presso do manmetro Geralmente : Pe = 0 ( escala efetiva ), ento: Pm = Pi

Exerccios: 7) A figura mostra um tanque que contm gasolina e gua, se a densidade da gasolina 0,68, determine a presso no fundo do tanque. (Resposta: 43.120 Pa)

8) Inicialmente, colocou-se gua em tubo de vidro com formato de U. Em seguida adicionouse um pouco de leo em um dos lados. Aps o equilbrio, foram obtidas as medidas indicadas na figura. Calcule a densidade do leo. (Resposta: 0,7)

Interao de fluidos lquidos e gasosos No caso de se analisar mistura de fluidos em diferentes fases (lquido + gs), trabalharemos sempre com a hiptese de que ambos se tocam, porm no se misturam ou reagem. Ao analisar instalaes de pequeno porte, tambm desprezaremos a diferena de presso entre dois pontos que

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estejam sob a presso de um gs, tal hiptese pode ser aceita, uma vez que os gases possuem peso especfico muito pequeno, e a diferena devido cota de altura no significativa.

Exerccios 9) Um tanque fechado contm ar comprimido e um leo que apresenta densidade 0,9. O fluido utilizado no manmetro em U conectado ao tanque mercrio ( densidade 13,6 ). Se h1 = 914 mm, h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manmetro localizado no topo do tanque. (Resposta: 21.119 Pa)

10) No piezmetro inclinado da figura, temos 1 = 8000 N/m3 e 2 = 17000 N/m3, L1 = 20 cm e L2 = 15 cm , = 30. Qual a presso em P1? (Resposta: 2.075 Pa)

11) Dois tanques de combustvel pressurizados esto interconectados por uma tubulao conforme mostra a figura abaixo. Dado que o manmetro metlico M1 indica uma presso de 40 kPa e que o peso especfico do combustvel 7000 N/m3, determine: a) a presso indicada pelo manmetro M2; b) a presso indicada pelo manmetro M3. Respostas: a) 68 kPa b) 110 kPa

12) O sistema da figura est em equilbrio e a massa m sobre o pisto de 10 kg. Sabendo que a altura h de 100 cm, determine a presso do gs 2. (Resposta: 12.250 Pa)

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13) No manmetro da figura, o fluido A gua, e o fluido B mercrio. Qual o valor da presso p1? Considere HG = 133.280 N/m3. (Resposta: 13,08 kPa)

Princpio de Arquimedes estudo da interao entre slidos e fluidos. Quando mergulhamos um corpo num lquido, seu peso aparentemente diminui, chegando s vezes a ser aparentemente anulado (quando o corpo flutua). Este fato mostra que o lquido aplica no corpo uma fora vertical, dirigida para cima. Essa fora se chama empuxo. O empuxo surge sempre que mergulhamos um corpo num fluido em equilbrio, sob a ao da gravidade. Para entender a existncia do empuxo, lembre-se de que a presso aumenta com a profundidade. Assim, a presso aplicada pelo fluido na parte de baixo de um corpo mergulhado nele maior que a presso na parte de cima. Por isso, a soma de todas as foras aplicadas no corpo pelo fluido no nula, mas aponta para cima. Em um corpo mergulhado num fluido agem duas foras verticais: uma aplicada pelo fluido, que o empuxo (E) e est orientada para cima, e outra que o peso do corpo (G) e est orientada para baixo.

Arquimedes relacionou o empuxo com o fato de o corpo deslocar uma certa poro de fluido de sua posio original. Veja, nesta figura, a gua deslocada quando mergulhamos nela uma pedra. O valor do empuxo dado pelo princpio de Arquimedes: Um corpo mergulhado num fluido recebe um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido deslocado por ele.

Partindo desse princpio, podemos obter uma expresso matemtica para o empuxo. Sendo E o empuxo, Vf o volume de fluido deslocado, a massa especfica do fluido e g a acelerao da gravidade local, o valor do empuxo pode ser calculado conforme segue:

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E = . Vf . g Quando o corpo est totalmente submerso, o volume Vf o prprio volume do corpo. No entanto, quando o corpo est parcialmente submerso, deve-se levar em conta somente o volume da parte submersa. Exerccios 14) Um bloco de madeira com dimenses de 50 cm x 50 cm x 4 m, foi totalmente mergulhado em gua e abandonado. Sabendo que a massa especfica da madeira 1200 kg/m3, determine o peso do corpo e o empuxo exercido sobre ele. Verifique tambm se o mesmo ir afundar ou flutuar. 15) Um bloco de metal flutua em mercrio ( = 13.600 kg/m3), com 40% de seu volume submerso. Calcule a densidade do metal. (Resposta: 5,44) 16) Um slido de base retangular (2m x 3m) e altura de 40 cm flutua no leo ( = 600 kg/m3), com 10 cm de sua altura acima do nvel do fluido. Determine a massa especfica do slido. (Resposta: 450 kg/m3) 17) Um determinado recipiente contm leo de massa especfica = 800 kg/m3. Um bloco de alumnio ( = 2700 kg/m3) de 1 litro de volume est imerso no leo, suspenso por um fio como mostra a figura. Calcule a trao no fio. (Resposta: 18,62 N)

18) Um bloco de madeira flutua na gua com um tero de seu volume emerso, calcule a densidade da madeira. (Resposta: 0,667) 19) Um navio de 200 toneladas de massa e 140 toneladas de carga, flutua no mar. Determine o volume de gua deslocada por ele. (Resposta: 340 m3) 20) Em um recipiente de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, foi colocado 600 litros de gua. Em seguida, colocou-se um slido dentro do recipiente, e o mesmo ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o slido dentro do recipiente, a altura do nvel da gua passou a ser 80 cm, determine o volume do slido. 21) Uma esfera macia de massa especfica e volume V est imersa entre dois lquidos, cujas massas especficas valem 1 e 2, respectivamente, estando suspensa por uma corda conforme mostra a figura. No equilbrio 70% do volume da esfera est no lquido 1 e 30% est no lquido 2. Sendo g a acelerao da gravidade, determine a fora de trao (T) no cabo. Resposta: T = V.g( 0,7. 1 0,3. 2)

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22) Pelo Princpio de Arquimedes explica-se a expresso popular isto apenas a ponta do iceberg, frequentemente usada quando surgem os primeiros sinais de um grande problema. Com este objetivo realizou-se um experimento em temperatura constante de 0 C, ao nvel do mar, no qual um cone de gelo (G = 920 kg/m3) de gua doce flutua em uma soluo de gua do mar (A = 1025 kg/m3). Que frao do volume do cone de gelo fica submersa na gua do mar? O valor dessa frao seria alterado se o cone fosse invertido? 23) Dois slidos de mesmo volume (1m3) foram unidos por um cabo e imersos em gua, sabendo-se que as massas especficas dos slidos valem 800 kg/m3 e 1400 kg/m3, determine o valor da fora de trao no fio que une os cabos.

Cinemtica dos fluidos Esta a rea que estuda o movimento de partculas fluidas sem se preocupar com suas causas (foras). Neste momento analisa-se velocidade (v), vazo mssica (Qm) e vazo volumtrica (Q). As equaes utilizadas para tal anlise sero:

Trabalharemos com a hiptese de que o fluido incompressvel e o escoamento ocorre em regime permanente (velocidade constante). 24) Calcule o tempo necessrio para encher um tanque cilndrico cujo dimetro mede 1,6 m e a altura mede 2,3 m, sabendo-se que a vazo de 0,08 m3/s. (R.: 57,8 s) 25) Um tanque cbico (2m x 6m x 8m), dever ser completado com gua utilizando duas tubulaes com vazo de 2 kg/s e 0,8 kg/s. Determine o tempo necessrio para encher o tanque. (R.: 34.286 s)

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26) Determine a vazo volumtrica e em massa para encher um tanque com leo ( = 800 kg/m3) num tempo de 40 s, sabendo-se que seu volume de 2,1 m3. (R.: Q = 0,0525 m3/s e Qm = 42 kg/s) 27) Um tanque misturador recebe dois fluidos para produzir uma mistura homognea. Primeiramente recebe o fluido A ( = 800 kg/m3) com vazo de 0,1 m3/s durante 15 s, em seguida recebe fluido B ( = 1400 kg/m3) com vazo de 0,14 m3/s durante 8 s. Determine a massa especfica da mistura formada. (R.: = 1056 kg/m3) 28) gua flui atravs de uma tubulao que possui sees de tamanhos diferentes. Na primeira seo, o dimetro do tubo 10 cm e a velocidade do escoamento 3 m/s. A seguir h a reduo do dimetro da tubulao para 2 cm. Calcule a vazo mssica e a velocidade na seo de menor dimetro. (Resposta: v= 75 m/s) 29) Na tubulao convergente da figura, calcule a vazo em volume e a velocidade na seo 2 sabendo que o fluido incompressvel. (Resposta: v2 = 10 m/s)

30) Ar escoa em regime permanente num tubo convergente. A rea da maior seo do tubo 20 cm2 e a da menor seo 10 cm2. A massa especfica do ar na seo (1) 1,2 kg/m3 enquanto que na seo (2) 0,9 kg/m3. Sendo a velocidade na seo (1) 10 m/s, determine: a) a velocidade na seo (2); (Resposta: 26,7 m/s) b) a vazo em massa de ar nas sees (1) e (2); c) a vazo em volume de ar nas sees (1) e (2). Respostas: a) Qm1 = Qm2 = 0,024 kg/s b) Q1 = 20 . 10-3 m3/s e Q2 = 26,6 . 10-3 m3/s 31) Um secador de cabelo basicamente um tubo de dimetro constante no qual so colocadas resistncias eltricas. Um pequeno ventilador puxa o ar para dentro do tubo, forando-o contra as resistncias eltricas que o aquecem. Se a massa especfica do ar 1,20 kg/m 3 na entrada e 1,05 kg/m3 na sada, determine o aumento percentual na velocidade do ar como consequncia do escoamento atravs do secador. (R.: A velocidade de sada 14% maior) 32) Um duto de 102 mm por 102 mm descarrega gasolina num tubo de 76,2 mm de dimetro, e ambos esto completamente cheios. Calcule a razo entre as velocidades nos dois tubos. (Resposta: v2 = 2,28 v1) 33) Um tanque rgido de 1 m3, inicialmente, contm ar cuja massa especfica 1,18 kg/m3. O tanque conectado a uma linha de ar de alta presso atravs de uma vlvula. A vlvula aberta e ar entra no tanque at que a massa especfica no tanque suba para 7,20 kg/m3. Determine a massa do ar que entra no tanque. Resposta: 6,02 kg.

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34) No tanque misturador da figura 20 l/s de gua ( = 1000 kg/m3) so misturados com 10 l/s e um leo ( = 800 kg/m3 ) formando uma emulso. Determinar a massa especfica e a velocidade da emulso formada (sada). (Resposta: = 933 kg/m3 e v = 10 m/s)

Bernoulli Neste momento inicia-se o estudo do movimento de partculas fluidas tomando-se com base as seguintes variaes de energia: energia potencial (decorrente da variao de altura), energia cintica (decorrente da variao de velocidade) e energia de presso (decorrente da variao de presso). Para isso utiliza-se a equao de Bernoulli:

35) Uma caixa dagua localizada no topo de um prdio de 30 m est aberta para atmosfera, calcule a velocidade de descarga de uma torneira localizada no piso trreo do edifcio. (Resposta: 24,25 m/s) 36) Por um orifcio, no fundo de uma caixa d'gua aberta, situado a 4 m da superfcie, h um escoamento de 50 L/min. Estime a rea do orifcio. Resposta: 94,1 mm2. 37) Por uma tubulao horizontal de seo varivel circula gua em regime permanente. Num ponto onde a presso 20,0 bar, a velocidade 2 m/s. Determine a presso num ponto do lquido em que sua velocidade seja 4 m/s. Desconsidere as perdas viscosas. Resposta: 19,94 bar. 38) Uma tubulao convergente, como mostra a figura, transporta gua e possui velocidade de 8 m/s na seo 1 e 12 m/s na seo 2. A rea da seo 1 0,12 m2 e o manmetro M1 indica presso de 100 kPa. Determine o valor da rea 2 e a leitura do manmetro M2. (Resposta: A2 = 0,08 m2 e M2 = 59,87 kPa)

39) Uma tubulao divergente como mostra a figura, possui dimetros de 4 e 6 polegadas, a velocidade do fluido (gasolina, d = 0,7) na seo 1 8 m/s e o manmetro M1 indica 140 kPa. Determine a velocidade na seo 2 e a leitura do manmetro M2. (Resposta: P 2 = 158 kPa)

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40) A velocidade de entrada (seo 1) do fluido (gua) em uma tubulao 12 m/s, as presses nas sees 1 e 2 valem 182 kPa e 150 kPa, respectivamente. Supondo que as sees estejam alinhadas no mesmo nvel, determine a velocidade na seo 2 e diga se a tubulao convergente ou divergente. (Resposta: v2 = 14,4 m/s) 41) A tubulao da figura, possui um desnvel de 15 m para transporte de gua. So conhecidas as presses M1 (120 kPa), M2 (130 kPa) e a velocidade na seo 1 (5 m/s). Determine a velocidade na seo 2.

42) A tubulao apresentada na figura, possui um desnvel de 30 m e transporta gua. A caixa de grandes dimenses e est aberta para a atmosfera, a presso na seo 2 de 120 kPa e na seo 3 135 kPa. Determine as velocidades nas sees 2 e 3. (Resposta: v2 = 23,4 m/s e v3 = 17,8 m/s)

43) A tubulao da figura abaixo, recebe gua nas sees 1 e 2 com vazo de 2 l/s e 3,5 l/s, determine a velocidade do fluido na seo de sada (3) supondo que seu dimetro seja de 2 polegadas. Dado: 1 polegada = 25,4 mm (Resposta: 2,72 m/s)

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44) Na tubulao abaixo representada, ar entra com velocidade de 0,8 m/s e massa especfica de 1,2 kg/m3. Determine a velocidade de sada do ar, supondo que sua massa especfica aumentou 10 % e a rea da seo de sada equivale a metade da rea de entrada. (Resposta: 1,45 m/s)

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