7289013 Fasciculo 08 Matematica - Projeto Medicina -...
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INTRODUÇÃO
Olá, querido estudante,
As aplicações das funções abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Função QuadráticaToda função f: R → R defi nida por f(x) = ax2 + bx + c,
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de função quadrática.
Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma transformação do número real x no número real ax2 + bx + c. Em símbolos:
x ax bx c� 2 + +
Raízes da função quadráticaAs raízes de uma função são os valores que a variável
x pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, as raízes de uma função representam as abscissas das coordenadas dos pontos nos quais o gráfi co da função intersecta o eixo-x. Uma função quadrática, cujo gráfi co é uma parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidos através
da fórmula de Bhaskara.
xb
a1
2= − + ∆
xb
a2
2= − − ∆
xb
a= − ± ∆
2
O valor de ∆ = b2 – 4ac determina, portanto, o número de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo, é chamado discriminante da equação.
Interpretação do discriminante
1º caso: se ∆ > 0, então haverá duas raízes reais diferentes.
2º caso: se ∆ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.
3º caso: se ∆ < 0, então não haverá raízes reais.
Resumo gráfi co
Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada “para cima”).
y
xx
1 = x
2
x2
x1
∆ < 0y
x
∆ = 0y
x
∆ > 0
Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada “para baixo”).
x
y y y
x x
x1 = x
2x
1x
2
∆ < 0 ∆ > 0∆ = 0
Para o traçado do gráfi co de funções quadráticas, é útil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são dadas por:
Vértice = − −
b
a a2 4,
∆
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
8Fascículo
ENEM EM FASCÍCULOS - 2013
A necessidade de compreender o comportamento de fenômenos, descrever regularidades, estabelecer relações de interdependência, qualifi car,
quantifi car e generalizar conduziu, gradualmente, a humanidade ao moderno conceito de função. Tal conceito é uma forma mais precisa e
de maior utilidade do que a noção comum de “fórmula matemática”.Neste fascículo, abordaremos algumas das principais funções matemáticas: função quadrática, funções exponenciais, funções logarítmicas
e as trigonométricas.
Bom estudo para você!
CARO ALUNO,
2 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Forma fatorada
Se os valores x1 e x
2 representam as raízes de uma função
quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na
forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x
2), em que a é denominado
coefi ciente dominante. Essa forma é especialmente útil para determinar a função quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para obter a função quadrática desejada.
Exemplo:
A fi gura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.
C
A M B
Tomando o ponto A como origem de um sistema cartesiano, teremos a fi gura abaixo:
y C (20, 16)
A (0, 0) M (20, 0) B (40, 0)
x
Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Assim, pode-se aplicar a forma fatorada:
y = a(x – x1) (x – x
2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x).
Como f(20) = 16, temos:
16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a = − 1
25
Logo, a função procurada é:
y x x yx x= − − ⇒ = − +1
2540
25
8
52
2
. ( )
Máximos e mínimos em função quadrática
Para a função f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos a considerar com relação ao coefi ciente a.
1º caso: a > 0
a > 0
ponto mínimo
Nesse caso, como a concavidade da parábola está voltada
para cima, seu vértice V =− −
b
a a2 4,
∆representa um ponto de
mínimo, o ponto mais baixo da parábola.Dessa forma, y
V representa o menor valor da função,
dado por:
ya
V = −∆4
2º caso: a < 0
ponto máximo
a < 0
Nesse caso, como a concavidade da parábola está
voltada para baixo, seu vértice V =− −
b
a a2 4,
∆ representa um
ponto de máximo, o ponto mais alto da parábola.Dessa forma, y
V representa o maior valor da função,
dado por:
ya
V = −∆4
Observação importante:
Interpretar corretamente o texto é essencial para responder com sucesso à questão. Assim, observe que a abscissa
do vértice da parábola, isto é, xb
aV = −
2 não representa nem
o máximo, nem o mínimo valor da função. O valor−b
a2está
relacionado à condição necessária para se atingir o extremo
da função (máximo ou mínimo). Isto é, xb
aV = −
2é a condição
(ou circunstância) para termos o máximo (ou mínimo) valor da
função. Acompanhe o quadro-resumo abaixo.
ya
v =−∆4
representa o m nimo, se a > 0representa o m ximo, s
íá ee a < 0
Representa a condi o para se atingir o m
{=−
xb
av
2çã ínnimo, se a > 0
Representa a condi o para se atingir o m xçã á iimo, se a < 0{
3Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013Por fi m, note que se o exercício cobrar o máximo
(ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
ya
V = −∆4
. Entretanto, se a questão perguntar sobre uma
condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular
xb
aV = −
2.
Em qualquer caso, a parábola que representa a função y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no ponto de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria em relação à reta vertical que
passa por seu vértice (ou seja, a reta cuja equação é xb
a= −
2).
Acompanhe a ilustração a seguir.
y
x
yv v
0
(0, c)
x1
xv x
2
eixo de simetria: x = b2a
Exemplo:
Um posto de combustível vende 10000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10200 litros. Dessa forma, considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor V, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool, pode ser obtido pela relação:
V(x) = (preço do litro de combustível, em reais) ⋅ (quantidade vendida diariamente) ⇒
⇒ = −
+ ⇒
⇒ = − + +
V xx
x
V x x x
( ) , . ( )
( )
150100
1500 100
50 150002
Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, a receita terá um valor máximo, e o desconto necessário para que a
receita seja máxima é xb
axV V= − ⇒ = −
⋅ −( ) =2
50
2 125 , isto é, se
o proprietário conceder 25 centavos de desconto por litro de combustível e, consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é
ya
V V= −∆ ⇒− − ⋅ −( ) ⋅
⋅ −( ) ⇒4
50 4 1
4 1
2
y = 15000
⇒ = y RV $ . , .15 625 00
QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
C-5H-21
• Uma empreiteira possui 10 equipes que prestam serviços de manutenção na rede relefônica de certa cidade.A empresa constatou que cada equipe consegue atender, em média, 16 chamadas diárias. Com a intenção de otimizar os atendimentos, a empresa pretende ampliar a quantidade de equipes, contudo não deseja aumentar o número de funcionários, ou seja, a empreiteira deseja formar mais equipes com o mesmo número de funcionários. Ela sabe que essa ação irá reduzir a média de atendimentos realizados por cada equipe. Após uma pesquisa, a empresa constata que para cada equipe adicional criada a média de atendimentos diários realizados por cada equipe cai em 1 chamada.
Nessas condições, a quantidade de equipes que maximizará os atendimentos diários, éa) 11 b) 12c) 13 d) 14e) 15
Comentário
Sendo n a quantidade de equipes adicionais, temos:
TaxaAten ento
quantidade deequipes
taxade a
total dedim
=
⋅ tten ento
Taxa total deAten ento
n n
dim
dim
= +( ) ⋅ −( ) = +10 16 160 66
160 6
2
2
n n
Taxa total deAten ento
n n
−
= + −dim
Uma vez que a taxa total de atendimentos é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, teremos um valor máximo, e a quantidade de equipes adicionais que gera o máximo de atendimentos é dada por x
v.
xb
axv v=
−⇒ =
−−( )
=2
6
2 13
Dessa forma, a quantidade de equipes é: 10 + 3 = 13
Resposta correta: c
4 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5 H-21
01. Para angariar fundos de formatura, os formandos do 3º ano do ensino médio de certa escola vendem camisas de malha com um emblema personalizado. Se o preço de venda de cada camisa é 20 reais, eles vendem por mês 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verifi caram que, para cada 2 reais de desconto no preço de cada camisa, são vendidas 6 camisas a mais por mês.
Dessa forma, é correto afi rmar quea) é possível fazer mais de 10 descontos de 2 reais e
permanecer com lucro.b) tanto faz vender as camisas por 12 reais cada uma ou 18
reais cada uma que o faturamento é o mesmo.c) o máximo faturamento ocorre se são vendidas menos de
40 camisas por mês.d) se o preço de venda de cada camisa é 14 reais, então o
faturamento é maior que 680 reais.e) a máxima receita é R$ 700,00.
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
02. Arquimedes, na Grécia, por volta de 287 – 212 a. C., explicou por que os corpos podem fl utuar na água. Ele formulou também as leis que regem o funcionamento da alavanca e da roldana, o que permitiu a construção de máquinas que podiam deslocar facilmente cargas pesadas. Arquimedes, pelo método da exaustão – cálculo de áreas de fi guras complexas aproximando-as por polígonos inscritos – mostrou que a área da região cujo contorno é formado
pela parábola e pelo segmento AC é igual a 4
3 da área do
triângulo ABC.
A C
B
Considere uma partícula cuja velocidade escalar varia com o tempo, segundo a função v(t) = – 0,6t2 + 6,0t (SI).O deslocamento escalar da partícula entre os instantest
1 = 0 e t
2 = 10,0 s é igual a
a) 10 mb) 30 mc) 50 md) 75 me) 100 m
DE OLHO NO ENEM
ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS
Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos são construídos tendo a parábola como referência, isto porque tal curva possui propriedades geométricas extremamente úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, a propriedade mais explorada é a refl exiva. Quando um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de uma superfície paraboloide espelhada, sua refl exão ocorre de forma a fazer convergir os raios em um único ponto. Da grande quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em latim focus, signifi ca fogo). Como os sinais recebidos (ondas de rádio ou luz) são muito fracos, é necessário captá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplifi cados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a refl exão. Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.
guia direcional
O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional.
A secção de um farol de um automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um paraboloide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refl etidos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria da parábola.
F
Sup. espelhada
Farol de um automóvel
Secção de um farol
5Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
INTRODUÇÃO
As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar de destaque em todas as áreas do conhecimento. Desde estudos relativos a taxas de crescimento, nascimento e morte de indivíduos de uma população (animais ou plantas) até a propagação de doenças em sistemas epidemiológicos, todos constituem casos típicos de situações cuja modelagem é feita através de funções logarítmicas e exponenciais.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Função Exponencial e Logarítmica
Defi nição da função exponencial
A função f: R → R dada por f(x) = bx (com b ≠ 1 e b > 0)
é denominada função exponencial de base b e defi nida para
todo x real.
Se x = 0, então y = b0 = 1, isto é, o par ordenado (0, 1)
satisfaz a lei y = bx. Isso quer dizer que o gráfi co de qualquer
função desse tipo intersecta o eixo y no ponto de ordenada 1.
Com relação à base b, há dois casos a considerar:
1º caso: se b > 1, então a função é crescente, isto é:
x > y ⇔ bx > by
Gráfi co
y
0x
1
f é crescente
2º caso: 0 < b < 1, então a função é decrescente:
x > y ⇔ bx < by
Gráfi co
y
0x
1
f é decrescente
Uma generalização são as funções com a forma
f x a bx
k( ) = ⋅ . Nessas funções, o coefi ciente a é frequentemente
associado ao valor inicial da função, pois f a b f ak0 00
( ) = ⋅ ⇒ ( ) = .
Por sua vez, para cada aumento de k unidades no valor de x, a função é multiplicada pelo fator b. Essa compreensão dos
coefi cientes das funções do tipo f x a bx
k( ) = ⋅ é de fundamental
importância para montagem rápida de modelos exponenciais.
Acompanhe o exemplo a seguir.
Exemplo:
Um agricultor está sofrendo com a infestação de determinada espécie de formiga que está destruindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um especialista, este recomenda a aplicação de certo inseticida, explicando que, após seu uso, a população dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias. A população inicial de formigas é estimada em 30000 espécimes. A partir dessas
informações, podemos escrever a população P t a bt
k( ) = ⋅de formigas em função do tempo t, medido em dias,
transcorrido após a aplicação do inseticida. Nessa função, temos
a = 30000 (população inicial), temos também b =1
2
t
k
t
5
(pois a
população dessas formigas é reduzida meà tadeb= 1
2
a cada diask
55=
� ��� ��� ).
Portanto, a população de formigas poderá ser estimada pela
lei P(t) = 30000 · 1
2
5
t
.
6 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Logaritmos
Defi nição
Dados os números reais N, a e α, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1. O expoente α que colocamos na base a para obtermos o número N é chamado logaritmo de N na base a. Em símbolos:
loga N a N= ⇔ =α α
A nomenclatura usada é a seguinte:N – logaritmando ou antilogaritmoa – base (quando a base é omitida, diremos que a base é 10)α – logaritmo
Exemplos:
1º) log2 16 = 4, pois 24 = 16
2º) log3 9 = 2, pois 32 = 9
3º) log7 1 = 0, pois 70 = 1
Decorrências da defi nição
Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reconhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de maneira imediata da defi nição.
Consideradas satisfeitas todas as condições de existência, temos:
1ª decorrência: loga 1 = 0
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0, apresenta resultado igual a 1.
2ª decorrência: loga a = 1
Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1, apresenta resultado igual a a.
3ª decorrência: loga aα = α
Pois α é justamente o expoente que devemos colocar na base a para obtermos o resultado aα.
4ª decorrência: aloga N = N Pois log
aN é, por força de defi nição, justamente o expoente
que devemos colocar na base a para obtermos o resultado N.
Propriedades
A partir da defi nição, podemos desenvolver algumas utilizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em propriedades que passaremos a estudar.
Considerando os números reais positivos a, N e M, com a ≠ 1:
P1: log log loga a aN M N M⋅( ) = ( ) + ( )P2: log log loga a a
N
MN M
= ( ) − ( )
P3: log loga aN Nα α( ) = ⋅
P4: log loga aN Nα
α( ) = ⋅1
P5: Mudança de Base
loglog
logM
a
a
NN
M= , onde a é uma base convenientemente
escolhida.
Função logarítmica
Defi nição
É toda função f: R*+ → R na forma f(x) = log
a x, em que
a > 0 e a ≠ 1.Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfi co
seguinte.
y = logax
(a > 1)
1 a x
y
1
Para 0 < a < 1, tal função é decrescente. Acompanhe o gráfi co abaixo.
y = logax
(0 < a < 1)
1a x
y
1
Logaritmo naturalO logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logaritmo
cuja base é o número irracional e, que é aproximadamente igual a 2,718281828459045...
Tal logaritmo é normalmente representado por �n x. Isto é:
�n x é equivalente a logex
7Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
C-5H-21
• O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P
0 · 2–bt,
onde t é um instante de tempo, medido em
anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de
estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0. Sabe-se que a concentração de estrôncio 90 cai pela metade
em 29 anos, isto é, a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos. Determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P
0. (Use log
2 10 ≅ 3,32.)
a) Aproximadamente 67 anos.b) Aproximadamente 70 anos.c) Aproximadamente 71 anos.d) Aproximadamente 75 anos.e) Aproximadamente 78 anos.
Comentário
Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, então P(t) = P0/2 para t = 29.
P t PP
P
b b
bt b b b( ) = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ − = − ⇒ =
− − − − −0
00
29 29 1 2922
21
22 2 2
1 291
299
Logo, b =1
29.
A concentração ser reduzida a 20% de P0 significa que P(t) = P0/5. Então:
P t PP
Pt t t
t
( )
log log
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒
⇒ ( ) =
− − −
− −
029 0
029 29
21
229
25
21
5
5 2
⇒
⇒ − = −log log2 2529
2t
Mas Log e, log log
log log , , ,
2 2 2
2 2
2 1 510
210 2 3 32 1 2 32
= =
=
= − = − = eent o:ã
− = − ⇒ − = − ⇒ =
= ⇒ = × =
log log , ,
, ,
2 2529
2 2 3229
2 32
292 32 29 67 28
t t
tt
O tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P0 é de 67,28 anos.
Resposta correta: a
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
03. Uma peça metálica foi aquecida até atingir a temperatura de 50 ºC. A partir daí, a peça resfriará de forma que, apóst minutos, sua temperatura T (em graus Celsius) será igual a T(t) = 30 + 20 e–0,2t. Determine em quantos minutos a peça atingirá a temperatura de 35 °C. (Use ln 2 ≅ 0,7.)a) 5 min b) 7 minc) 9 min d) 11 mine) 13 min
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
04. A população mundial está fi cando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfi co seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
Países desenvolvidos
Países emdesenvolvimento
461
269
Número em milhões1.592
95490
110 ESTIMATIVAS
1950 70 90 2010 30 50
35
30
25
20
15
10
5
0
Fonte: Perspectivas da População Mundial, ONU, 2009.Disponível em: www.economist.com
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que o modelo exponencial y = 363 · e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entrea) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões.c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões.e) 870 e 910 milhões.
8 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
DE OLHO NO ENEM
COMO SE REALIZA A PROVA DO CARBONO-14 PARA CONHECER A IDADE DOS RESTOS ENCONTRADOS POR
PALEONTÓLOGOS?
Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14
A técnica do carbono-14 foi descoberta nos anos quarenta por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas muito exatas dos anos decorridos desde sua morte.
Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material que conteve carbono em alguma de suas formas. Como o exame se baseia na determinação de idade através da quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o passar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.
A radioatividade do carbono-14
Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos) e comparou esta com os resultados de sua radiodatação. Os diferentes testes realizados demonstraram a viabilidade do método até cerca de 70 mil anos.
O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para converter-se de novo em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada 5730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa.
Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser protegido de qualquer contaminação que possa mascarar os resultados. Feito isso, leva-se ao laboratório onde se contará o número de radiações beta produzidas por minuto e por grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividirá por dois por cada período de 5730 anos de idade da amostra.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br
INTRODUÇÃO
Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do tempo, transformou-se numa genuína ferramenta na resolução de um considerável número de problemas relacionados com a mecânica, topografi a, navegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, esta abordagem tem como objetivo principal a aplicação de conceitos trigonométricos em situações que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar que a efi cácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos apresentar, exigirá naturalmente um razoável domínio algébrico e geométrico do leitor.
OBJETO DO CONHECIMENTO
Trigonometria e suas Aplicações
Trigonometria no triângulo retângulo
Considere um ângulo agudo α = med(CÂB). Construindo perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C
1, C
2, C
3 etc.,
os triângulos retângulos obtidos C1B
1A, C
2B
2A, C
3B
3A etc. serão
semelhantes por terem o ângulo α comum.
Aα
C1
B1
B2
BB3
C2
C3
C
Considerando que é amplamente conhecida a proporcionalidade dos lados homólogos em triângulos semelhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:
B C
AB
B C
AB
B C
ABk
AB
AC
AB
AC
AB
ACk
B
1 1
1
2 2
2
3 3
31
1
1
2
2
3
32
= = = =
= = = =
...
...
11 1
1
2 2
2
3 3
33
C
AC
B C
AC
B C
ACk= = = =...
Estas constantes k1, k
2 e k
3 dependem apenas do ângulo
α e não dos comprimentos dos lados envolvidos. É oportuno dar nomes a essas constantes que dependem de α (agudo).
9Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013Assim, considerando o triângulo retângulo ABC, e
fi xando um ângulo agudo α, podemos defi nir:
B A
C
ahipotenusa
cateto oposto
cateto adjacente
b
cα
seno:
cossecante: cossec
sencatetooposto
hipotenusa
b
aα
α
= = ⇒
⇒ = hhipotenusa
catetooposto
a
b=
cosseno:
secante:
cos
sec
α
α
= = ⇒
⇒ =
cateto adjacente
hipotenusa
c
a
hhipotenusa
catetoadjacente
a
c=
tangente:
cotangente:
tgcatetooposto
cateto adjacente
b
cα = = ⇒
⇒ ccotg =α cateto adjacente
catetooposto
c
b=
Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilitação nas resoluções de problemas aparentemente difíceis são incontestáveis.
Exemplo 1:
Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o raio r da Terra, que é um comprimento impossível de ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os gregos, é o seguinte:
Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo α que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar. Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:
Torre
Terra
r
B
r O
h
C
Linha
do
horiz
onte
α
Usando as razões trigonométricas apresentadas, encontramos:
senr
r hr sen hsen r r sen hsenα α α α α=
+→ + = → − =. ( )1
Logo, se tivermos as medidas de h e α (valores acessíveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente determinar o raio da Terra:
rhsen
sen=
−αα1
Exemplo 2:
Uma outra situação-problema, para mostrar a importância da Trigonometria na resolução de problemas relacionados com ângulos e lados de um triângulo, é a questão do topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e para tal toma como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida do ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o ponto B, mede o ângulo θ de BP com a horizontal. Fazendo um desenho ilustrativo, encontramos:
P
h
P’x
α1B A
θ
Temos que:
tgh
xx
h
tgI
tgh
xx
h
tgII
αα
θθ
= → =
=+
→ + =
( )
( )1
1
Substituindo (I) em (II), encontramos:
h
tg
h
tg
h
tg
h
tgtg tg h tg tg
α θ θ αα θ α θ+ = → = − → ⋅ = ⋅ −1 1 ( )
Portanto, a altura desejada é dada por:
htg tg
tg tg= ⋅
−α θα θ
Trigonometria num triângulo qualquerEm vista das numerosas aplicações em que se consideram
triângulos quaisquer, vamos apresentar duas leis de grande relevância na Trigonometria.
10 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013• Lei dos senos:
Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.
Demonstração:
O teorema dos senos estabelece que a
sen A( ) é constante.
a
R
O
P
A
BC
α
α
Acompanhe:I. Seja O o circuncentro do ∆ABC;II. Prolongando o segmento BO até encontrar a circunferência,
obtemos o diâmetro BP;III. Observe que o triângulo PCB é retângulo em C� , pois BP é
um diâmetro;
IV. Os ângulos inscritos A e P� são iguais (arco capaz);V. No triângulo retângulo PCB, temos:
sen A = sen P�= → =aR
Ra
sen A22 �
Portanto, podemos escrever:
a
sen A
b
sen B
c
sen CR= = = 2� � �
Exemplo:
Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, viajando em linha reta, avista um farol em F, 45º à direita; após ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção que forma 75º com sua trajetória, como mostra a fi gura.
A B
F
20 km
45º 75º
Nesse ponto, a distância do navio ao farol pode ser
calculada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo AFBˆ
é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:
BF
sen senBF km
o o45
20
60
202
23
2
16 3= → =⋅
≅ ,
• Lei dos cossenos:
Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
B
C
a
c
b
^
^
^
Lei dos cossenos:a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
Observação:
Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis na determinação dos ângulos de um triângulo, dando a conhecer as medidas dos lados.
Exemplo:
Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a fi gura a seguir.
C
200
m
50º
BN
20ºA P
300 √3 m
11Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:
• o ponto de partida fi car localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);
• o ponto de partida fi car localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.
Sendo AB m= 300 3 , BC = 200 m, BÂP = 20º eCBNˆ = 50º, a distância entre os pontos A e C pode ser facilmente calculada a partir da lei dos cossenos.
Acompanhe:
C20
0 m
50º150º
20º
NB
P
d
A
300 √3 m
Temos:
d o2 2 2300 3 200 2 300 3 200 150= + −( ) ( ) . . . cos
Simplifi cando, obtemos:
d = 700 metros.
Pitágoras e a relação fundamental da Trigonometria
A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra grego, nascido por volta de 572 a. C. na ilha egeia de Samos) a descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos, hoje universalmente conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. É sabido que esse teorema era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas.
Vejamos uma demonstração utilizando as razões trigonométricas:
θ
θα
α
b
C
A
hc
Bnm
a
H
• cos ( )α = = → =c
a
n
cc na I2
• senb
a
m
bb ma IIα = = → =2 ( )
Somando (I) e (II), obtemos:
c2 + b2 = na + ma = a · (n + m) = a · a = a2.
Logo, c2 + b2 = a2 (Pitágoras).
Por outro lado, tem-se:
• cos . cos . cos ( )α α α= → = → =c
aa c a c III2 2 2
• senb
aa sen b a sen b IVα α α= → = → =. . ( )2 2 2
Somando (III) e (IV), obtemos:
a2 · cos2 α + a2 · sen2 α = c2 + b2
a2 · (cos2 α + sen2 α) = a2
Logo, cos2 α + sen2α = 1 (R. Fundamental), ∀α agudo.
Funções trigonométricas: seno e cossenoAs seis razões trigonométricas apresentadas até o
momento variam conforme o ângulo a que se referem. São perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse intervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a que se referem e costumamos nomeá-las de funções trigonométricas. No entanto, as defi nições acima podem ser generalizadas para qualquer ângulo α da seguinte forma:
A ampliação do domínio das funções trigonométricas a toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigonométrica. Ela é defi nida por uma circunferência de raio unitário (raio = 1) centrada na origem dos eixos cartesianos.
(0,1) 90º
180º
270º
(–1,0)
(0,–1)
(1,0) x
y+
–
(arcos positivos, sentido anti-horário)
(arcos negativos, sentido horário)
P(xp,y
p)y
p
O
1
αx
p
0º = 360º
Dessa forma, podemos defi nir o seno e o cosseno do ângulo α para todos os valores de α e não somente para aqueles
entre 0º (ou 0 radianos) e 90º (ou π2
radianos).
12 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013Vejamos:
senypα =1
e cosα =xp
1
Assim, as coordenadas do ponto P são:
P(xp, y
p) = (cos α , sen α).
Consequentemente, temos:
cosπ2
0= e senπ2
1=
De modo semelhante, para o ângulo α = π radianos (meia-volta na circunferência), temos cos(π) = –1 e sen(π) = 0, pois o ponto (x
p, y
p) = (0, –1).
Quando α = 2π radianos, voltamos a ter o ponto (1, 0), o que nos dá cos(2π) = 1 e sen(2π) = 0. Prosseguindo para outros valores, verifi camos que as funções trigonométricas se repetem cada vez que adicionamos 2π radianos ao ângulo primitivo α. Da mesma forma que temos valores possíveis para o seno e o cosseno quando α > 0, também é possível atribuir valores às funções trigonométricas quando α < 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portanto, as duas funções, seno e cosseno, fi cam bem defi nidas para todos os valores de α na reta real.
Observação:
É possível defi nir a função tangente do ângulo α de modo semelhante.
• Representação geométrica das funções seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica.
eixo dos senos eixo das tangentes
eixo dos cossenos
90º
II Q
III Q
I Q
IV Q
180º
270º
O
B(0,1)
P TP’
(–1,0)
(0,–1)
A(1,0)
tg α
cos α
sen α
α 0º = 360º
Para se ter uma ideia do comportamento geral de uma função trigonométrica, é conveniente construir o seu gráfi co. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfi co, entretanto, o conjunto de pontos notáveis discutidos anteriormente permite construir uma fi gura bastante próxima do gráfi co desejado.
• Gráfi co da função seno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde y = sen x, construímos o gráfi co da função seno no intervalo de 0 a 2π.
x y = sen x
0 0
π/6 1/2
π/4 2 2/
π/3 3 2/
π/2 1
π 0
3π/2 –1
2π 0
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = {y ∈ R| – 1 ≤ y ≤ 1} = [– 1; 1].
• f é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x, ∀x ∈ R.
• f é limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2π.
Gráfi co
π6
π4
π3
π π
y1
0
--1
2
π2x
π23
• Gráfi co da função cosseno
Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde
y = cos x , construímos o gráfi co da função cosseno no intervalo
de 0 a 2π.
x y = cos x
0 1
π/6 3 2/
π/4 2 2/
π/3 1/2
π/2 0
π – 1
3π/2 0
2π 1
Propriedades
• D(f) = R.
• Im(f) = [– 1; 1].
• f é função par, pois cos(–x) = cos x, ∀x ∈ R.
• f é função limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.
• f é periódica, de período p = 2π.
13Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013Gráfi co
π6
π4
π3
ππ
y1
0
--1
2π23 π2 x
• Gráfi co da função tangente
Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde
y = tg x, com x ≠ ( )2 1
2
k + π, construímos o gráfi co da função
tangente no intervalo de 0 a 2π.
x y = tg x
0 0
π/6 3 3/
π/4 1
π/3 3
π/2 ∃
2π/3 – 3
3π/4 – 1
5π/6 – 3 3/
π 0
2π 0
Propriedades
• D(f) = x xk
k e∈ ≠ +
R z|( )
,2 1
2
π.
• Im(f) = R.
• f é função ímpar, pois tg(– x) = – tg x, ∀x ∈ D.
• f não é limitada.
• f é periódica, de período p = π.
• Gráfi co
y
xπ π2
0 π23 π2
Exemplo:
Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que este era periódico e podia ser aproximado pela expressão:
P t t( ) cos= + +
21
22
6
5
4
π π ,
em que t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.
Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos
cos .π π6
5
41t +
= Consequentemente, t k= −1215
2, com
k inteiro. Daí, podemos garantir que depois de 4,5 horas
(k = 1) ocorreu a primeira maré alta após o início da observação.
QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
C-5H-21
• No dia primeiro de janeiro de 2011, ocorreu a cerimônia de posse da nova Presidente da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida na rampa do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na fi gura.
Palácio do Planalto
Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15º em
relação à sua base e uma altura de 3 2 metros. Então a nova Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorreu uma distância aproximadamente igual a
(considere 3 173≅ , )
a) 4,92 mb) 8,38 mc) 9,38 md) 16,38 me) 21,84 m
14 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Comentário
Suponha que a fi gura a seguir representa a vista lateral da rampa.
d
C
A B15º
3 2 m
Veja que:
send
153 2
° = , onde d representa o comprimento da rampa.
Por outro lado, temos:
Subtração de arcos → sen(a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
Assim,sen15° = sen(45° – 30°) = sen 45° · cos30° – sen30° · cos45°
sen152
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4° = ⋅ − ⋅ =
−.
Substituindo o valor de sen15° na sentença inicial, vem:
send
d sen
d d
153 2
15 3 2
6 2
43 2
12 2
6 2
° = → ⋅ ° =
→ ⋅−
= → =
−
Racionalizando,
d
d metros
=⋅ +( )
=+
= +
≅
12 2 6 2
4
24 3 24
46 3 6
16 38, .
Resposta correta: d
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.C-5
H-22
05. Em determinado trecho do oceano, durante um período de vinte e quatro horas, a altura H das ondas, medida em metros, variou de acordo com a expressão
H t sent
( ) ,= +
⋅
2
3
2 12
π onde t ≥ 0 é o tempo, dado
em horas. A altura das ondas nesse trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s)
a) 0 h às 2 h e das 10 h às 24 h.
b) 1 h às 3 h e das 9 h às 23 h.
c) 2 h às 3 h e das 8 h às 20 h.
d) 3 h às 5 h e das 7 h às 20 h.
e) 4 h às 5 h e das 6 h às 20 h.
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
06. Suponha que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e raio R. Na fi gura a seguir está representado o planeta Terra e uma nave espacial no ponto N.
A
R
C
B
dθ
N
A fração visível da superfície da Terra por um astronauta no ponto N é dada pela função:
fsen
( )θθ
=−1
2
A distância d da nave à superfície da Terra, para a qual é visível da nave a quarta parte da superfície da Terra, é igual a(considere a aproximação R = 6400 km)a) 4400 km b) 5400 kmc) 6400 km d) 7400 kme) 8400 km
DE OLHO NO ENEM
Formulário Trigonométrico
Fórmulas da adição
sen(β + α) = sen β · cos α + sen α · cos β
cos(β + α) = cos α · cos β – sen β · sen α
tgtg tg
tg tg( )β α β α
β α+ = +
− ⋅
1
Arco duplo
sen(2α) = 2 · sen α · cos α
cos(2α) = cos2 α – sen2 α
tgtg
tg( )2
2
1 2α α
α= ⋅
−
Fórmulas da subtração
sen(β – α) = sen β · cos α – sen α · cos β
cos(β – α) = cos β · cos α + sen β · sen α
tgtg tg
tg tg( )β α β α
β α− = −
+ ⋅
1
15Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Arco metade
sen( / )cosα α
21
2= ± −
cos( / )cosα α
21
2= ± +
tg( / )cos
cosα α
α2
1
1= ± −
+
Fórmulas de Werner
sen + sen sen +
cos α β α β α β= ⋅
⋅ −
22 2
cos + cos cos +
cos α β α β α β= ⋅
⋅ −
22 2
tg + tg +
cos
α β α β
α β=
⋅sen( )
cos
sen sen sen cos α β α β α β− = ⋅ −
⋅ +
22 2
cos cos sen +
sen α β α β α β− = − ⋅
⋅ −
22 2
tg tgcos
α β α βα β
− = −⋅
sen( )
cos
Saiba que alguns problemas de geometria exigem a
utilização de algumas dessas fórmulas.
Constatação:
Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é
avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a
partir de um ângulo α, conforme a fi gura:
α
36 m
x
Admitindo-se que sen(α) = 3
5 e que o barco se aproximou
do farol e uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente para 2α, a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol pode ser calculada facilmente usando a fórmula do arco duplo:
tg2 =tg
1 tg
2
α αα
2 ⋅−
Ilustração
αα
36 m
x’
α
36 m
• sen I tg α α= ⇒ =3
5
3
4( )
• tgx
II (22tg
1 tg 2
α αα
) ( )=−
= 36
’
Substituindo (I) em (II), encontramos:
23
4
13
4
362
.
−
= ⇒x’
x’ = 10,5 m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
01. Uma pesquisa de mercado com o público leitor de determinada revista constatou que, para cada R$ 0,01 a menos cobrado no preço de capa, 10 novos exemplares da revista seriam vendidos. Considere que o custo de cada exemplar da revista seja R$ 10,00 e que, ao preço de capa de R$ 17,00, 3600 exemplares são fabricados e vendidos. Nessa situação, ao se reajustar o preço da revista nos moldes indicados pela pesquisa, se toda produção for vendida, então o lucro máximo que poderá ser obtido com a venda da revista será igual aa) R$ 28090,00 b) R$ 37450,00 c) R$ 106090,00 d) R$ 133450,00e) R$ 145250,00
16 Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
02. O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço padrão da passagem é 300 reais. Certo dia, a empresa resolve fazer uma promoção, a viagem será paga apenas quando o avião chegar ao seu destino, e o preço da passagem será reduzido em 75 centavos por cada passageiro. Dessa forma, se, por exemplo, 10 pessoas fi zerem a viagem, então cada passageiro deverá pagar 300 – 10 ⋅ 0,75 = 292,50. Nessas condições, a receita máxima possível nessa viagem é, em reaisa) 30000 b) 29900c) 29800 d) 29700e) 29600
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
03. Os cabos da ponte pênsil, indicada na fi gura a seguir, tomam a forma de arcos de parábola do segundo grau. As torres de suporte têm 24 m de altura e há um intervalo entre elas de 200 m. O ponto mais baixo de cada cabo fi ca a 4 m do leito da estrada. Considerando o plano horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos x e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do elemento de sustentação BA, que liga verticalmente o cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m do eixo y.
200 m
50 m
4 m
24 m
TORRETORRE
TORRE
ESTRADA ESTRADA
x
y
B O
A
TORRE
a) 9 m b) 12 mc) 15 m d) 18 me) 21 m
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
04. Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40 m de cerca e aproveitando um muro (de mais de 40 m) que já está construído. A máxima área que pode ser cercada, nessas condições, é
cerca muro
a) 150 m2 b) 200 m2
c) 220 m2 d) 280 m2
e) 300 m2
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
05. O PIB (Produto Interno Bruto) de certa cidade é estimado em função do tempo t, em anos, pela fórmula:
P(t) = 50 · log3 (t + 2), em que P(t) representa o PIB em
bilhões de reais. Considere ainda que:
• o ano 2010 corresponde a t = 0• o ano 2011 corresponde a t = 1• o ano 2012 corresponde a t = 2e assim por diante.
Dessa forma, podemos estimar o PIB dessa cidade no ano 2017 em:a) 25 bilhões de reais. b) 50 bilhões de reais.c) 75 bilhões de reais. d) 100 bilhões de reais.e) 125 bilhões de reais.
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
06. A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) °C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função T(x) = (0,01) · (2(0,05)x –1), com T(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870). Com base nessa função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 10,23 °C.a) 1980b) 2000c) 2030d) 2050e) 2070
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
07. À medida que repetições são efetuadas, o trabalhador demanda menos tempo para a execução da tarefa, seja pela familiaridade adquirida com os meios de produção, seja pela adaptação às ferramentas utilizadas ou pela descoberta de “atalhos” para realização da tarefa.”
WRIGHT, 1936; TEPLITZ, 1991; DAR-EL, 2000.
17Matemática e suas Tecnologias
Enem em fascículos 2013 Um trainee de rede de fast food, em seu primeiro dia de
trabalho, conseguiu preparar 60 sanduíches. No segundo dia, preparou 90 sanduíches e no terceiro dia preparou 105 sanduíches. O modelo utilizado para descrever essa aprendizagem é da forma: s(t) = a – b ⋅ ct. Em que s(t) representa a produção diária de sanduíches após t dias de experiência, a constante a representa o patamar máximo de desempenho a ser atingido quando a aquisição de conhecimento for integral. Com base nessas informações, o valor desse patamar máximo éa) 105 b) 110c) 115 d) 120e) 125
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos
de espaço e forma.C-5
H-22
08. Em certo lago, a massa de algas, medida em quilogramas, varia de maneira periódica conforme a função
m(t) = 2500 + 2100 sen120
⋅
πt, em que t é o tempo
em dias, a partir de 21 de dezembro de cada ano. Assinale a alternativa que apresenta a massa mínima de algas nesse lago e o período de tempo decorrido entre o registro sucessivo de duas massas mínimas.a) 1450 kg e 60 dias b) 1450 kg e 120 diasc) 1450 kg e 180 dias d) 400 kg e 60 diase) 400 kg e 240 dias
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos
de espaço e forma.C-2
H-8
09. Paris é a cidade mais visitada do mundo e o monumento mais procurado pelos turistas é a Torre Eiffel. Considere que uma pessoa está em um terreno plano contemplando o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a vê-la sob um ângulo de 60°, como ilustra a fi gura abaixo.
60°30°374 m
Considerando que a base da torre está no mesmo nível do olho do turista, a altura da torre é de aproximadamente
(Utilize: 3 17= , )
a) 187 m b) 374 mc) 318 m d) 262 me) 200 m
Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.C-5
H-21
10. Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo.
P sent
= − ⋅+( )
800 1003
6
π
Considere que t é o tempo medido em meses e que 1° de janeiro corresponde a t = 0. Então, no período de 1° de janeiro a 1° de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge um total de 750 sãoa) abril e outubro. b) maio e novembro.c) março e outubro. d) março e novembro.e) maio e setembro.
GABARITOS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01 02 03 04 05 06
b e b e a c
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01 02 03 04 05
a d a b d
06 07 08 09 10
e d e c d
ExpedienteSupervisão Gráfi ca: Andréa MenescalSupervisão Pedagógica: Marcelo PenaGerente do SFB: Fernanda DenardinCoordenação Gráfi ca: Felipe Marques e Sebastião Pereira
Projeto Gráfi co: Joel Rodrigues e Franklin BiovanniEditoração Eletrônica: Erbínio RodriguesIlustrações: Graco MenezesRevisão: Tony Sales
OSG.: 72890/13