Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra

Licenciatura em Matematica

Algebra Linear e Geometria Analtica II

Ano lectivo 2012/2013 Folha 4

60. Seja (K,+, ) um corpo. Demonstre, a partir da definicao, as propriedades seguintes.

(a) Leis do corte. Para quaisquer a, b, c K tais que a + b = a + c resulta que b = c. Sea 6= 0 e a b = a c entao b = c.

(b) Propriedade absorvente do zero. Para qualquer a K tem-se que 0 a = a 0 = 0.(c) Inexistencia de divisores de zero. Dados a, b K tais que a b = 0 tem-se que ou a = 0

ou b = 0.

(d) Para quaisquer a, b K, (a) b = a (b) = a b.(e) Para quaisquer a, b K tais que a, b 6= 0, tem-se que (a b)1 = a1 b1.(f) Distributividade da multiplicacao relativamente a` subtraccao. Para quaisquer

a, b, c K tem-se que a (b c) = a b a c.

61. Recorde que, para cada inteiro n 2, denota-se por Zn ={

0, . . . , n 1} o conjunto das classesde equivalencia da relacao de congruencia modulo n.

(a) Calcule as tabelas de adicao e de multiplicacao de Z2.

(b) Calcule as tabelas de adicao e de multiplicacao de Z3.

(c) Calcule as tabelas de adicao e de multiplicacao de Z4. Mostre que Z4 nao e corpo.

(d) Mostre que Zn e um corpo se e so se n for um numero primo.

62. Calcule os produtos das matrizes seguintes com elementos no corpo Z7:

(a)

[1 0

0 6

][3 4

6 6

]; (b)

[2 0

3 1

][3 0

3 0

]; (c)

[0 2

1 0

][1 0 1

0 1 3

].

63. Calcule a decomposicao LU das seguintes matrizes com elementos no corpo Z5. No final volte aobter a matriz original efectuando a multiplicacao LU :

(a)

[1 2

3 4

]; (b)

[2 2

3 4

]; (c)

[2 23 4

].

64. Aplique o metodo de eliminacao de Gauss a cada um dos seguintes sistemas sobre o corpo indicado,

e determine a solucao dos que forem possveis determinados:

(a) K = Z11,

2x1 x2 + 3x3 = 83x1 + 2x2 + x3 = 72x1 + x2 + 2x3 = 3

(b) K = Z3,

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + 2x2 = 03x1 + 5x2 + x3 = 1

(c) K = C,

ix1 + (2 + i)x2 = 1

2x1 + x2 +3ix3 = 0

(2 + 2i)x1 +(5 + 2i)x2 +3ix3 = 3

(d) K = C,

3ix1 + 4x2 5x3 = 02ix1 3x2 + 3x3 = 04ix1 +11x2 13x3 = 0

65. Seja (K,+, ) um corpo. Para cada inteiro positivo n o elemento n1 e, por definicao, 1 + + 1 n

.

(a) Suponha que K = Z5. Calcule n1 para todos os n N.Se para qualquer inteiro n 1 se tem que n1 6= 0 diz-se que K tem caracterstica zero.(b) Mostre que Q, R e C sao corpos de caracterstica zero.

Caso contrario K diz-se de caracterstica finita e esta e por definicao o menor inteiro n 1 talque n1 = 0.

(c) Usando as propriedades do corpo, mostre que a caracterstica de um corpo de caracterstica

finita e um numero primo.

(Sugestao: comece por mostrar que (1 + + 1 r

)(1 + + 1 s

) = 1 + + 1 rs

.)

66. Prove que C nao e um corpo ordenado, isto e, mostre que nao existe nenhuma maneira dedefinir uma relacao de ordem < em C que seja compatvel com as operacoes do corpo, ou sejasatisfazendo as seguintes propriedades:

(a) para todo o a C, a = 0 a < 0 0 < a;(b) a < b b < c = a < c;(c) a < b = a+ c < b+ c para todo o c;(d) a < b = ac < bc para todo o c > 0.(Sugestao: suponha que tal relacao de ordem existe e considere o numero complexo i : sera > 0

ou < 0?)

67. Determine quais dos seguintes conjuntos V , munidos das operacoes indicadas, sao espacos vecto-

riais sobre o corpo K.

(a) V = L um corpo qualquer tal que K e um subcorpo de L. Adicao e multiplicacao por umescalar induzidas pelas operacoes de L.

(b) V = R+, K = R. Para todos os x, y V e K, x4y = xy e x = x.(c) V = KA, o conjunto das funcoes de A em K, onde A e um conjunto nao vazio qualquer e K

e um corpo arbitrario. Dados K e f, g V , f + g : A K e f : A K sao tais que,para qualquer x A, (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f)(x) = f(x).

68. Sejam V1, V2, . . . , Vn espacos vectoriais sobre o mesmo corpo K. Prove que o produto cartesianoV1 V2 Vn e um espaco vectorial sobre K para as operacoes de adicao e multiplicacao porum escalar definidas por

(v1, v2, . . . , vn) + (w1, w2, . . . , wn) = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn)

(v1, v2, . . . , vn) = (v1, v2, . . . , vn)

69. Prove que todo o espaco vectorial complexo e tambem um espaco vectorial real.

70. Verifique que Cn e um espaco vectorial sobre o corpo dos numeros reais mas Rn nao e um espacovectorial sobre o corpo dos numeros complexos.