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7 Principais Variáveis Aleatórias UnidimensionaJs--\

o a(A d5tribuição do tempo de acesso~ T~ a uma base de dados é normalmente dis-tribuiída com uma média de 5 msec e desvio padrão de 1 msec.

"ta) Qual é a probabilidade de que este tempo ultrapasse 8 msec? NO

/ (b) (Qual é o tempo t tal que com uma probabilidade de 0.95~ o tempo de acessoseja menor que t? b I65 mh.:u;.

. 5. Supo.m.haque a duraçâo de vida~T~ de um dispositivo eletrônicoJ medida em horas~seja tUma variável aleatória contínua com função densidade de probabHidade

r '

J(t) ;;;;; O.Ole-G.OI\t> O.

10 de:s..<3esdispooitivoo são instalados independentemente em um sistema.

(a) Qual é a probabilidade de que um deles escolhido aleatoriamente dure menosde 50 horas? O.3Q3

(b) Qual é a probabiHdade de que ao menos um doo 10 dispooitivos dure menos de5W horas? O.qq3

o 18. Dois processos de Poisson emergem em um disco. Cada um deles tem~ respectiva-meniTe~parâmetros Àr e Àtf' Determine o seguinte:

(a)l\.fédia de x + 1/. ~. >«...'>."

(b) Variância de x + y. ~K + >-,

(c) If\.fédiadex - y. ).~- )..1(d) Variância de x - y. ).)<-\-)y(e) Th.fédiade 3x - 41/. 3}.).- 4 '>-1(f) Coeficiente de variação de 3x - 4y.

o W.A distribuição do tempo de acesso~ T~ a uma base de dados é normalmente dis-tribmída com uma média de 5 msec e desvio padrão de 1 msec.

~a) Qu~ é a probabilidade de que este tempo ultrapasse 8 msec? IV O(b) Qual é a probabaidade de que este tempo seja inferior a 6 msec? O.S4\3

(c) Qual é o h-?mpo t tal que com uma probabilidade d~.95~ o tempo de aces oseja menor que t? b.~5 0\5'

o 21. O pessoal de umanrma de engenharia usa um terminal on-line para fazer seuscálculoo. Sabe-st~ que o tempo de uso de um dado engenheiro segue uma distribuiçãoeXpOi11encialcom média 20 minutos. Qual é a probabilidade de que um engenheiroescolhido ao acaso

(a) fasse menos de 30 minutos no terminal? O. -:}'l-~

(b) ultrapasse a média da distribuição? O. 36~

o 25. O tempo médio de CPU por sessão em sistemas time-sharing tem uma distribuiçâoN( 4.4: 11,56). As sessôcs são classificadas como trivial sEssion se tomam menosque 1 segundo de CP1)~Editi:n.gsEssion se tomam entre 1 e 5 segundos de CPU..en-um.~f.r~crtmchingsesswn em quaisquer outros casos.

(a) Calcule a probabilidade de cada tipo de sessão, (0.158"+ 10 .<b02.11O.03QZ)(b) Se 6 dessas sessões forem consideradas~ qual é a probabilidade de que um igual

1, número delas caia em cada uma das classificações acima? IVO

'--.

Q

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l' ~tr~-b):=?()Ci~j.)X~==@ . ~ \-?{!<tL\\~ \-\'(!f0~

-~:=1-..9- .o 27. ('W) Determine a distribuição de proI-..abilidadedo intervalo de tempo entre chegadassuces8ivas~ T~ num processo de Passon de parâmetro f3t. Sugestão: {T < t} {:}{Xt > O}.

(b) Considere um sistema computacional onde o fluxo de chegadas de um es-pecififico programa por hora~ Xt:- segue um processo de Poisson com taxa médiade 60 jobs. Determine a probabilidade de que o intervalo de tempo entre jobssucessivos seja menor que 8 minmtos. O. \25

-429. Suponha que o número de mensagems no bulft1' em um sistema on-linE tenha umadistribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Calcule a probabilidadede que o número de mensagens (a)~o exceda 120~(b) esteja entre 80 e 120 e (c)exceda 120. o.'n~1. I O.Q64't I 0.022<6

o30. Num processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peçassão acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.

(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas numa caixa? O.OOfS'J.

(b) Qual a probabilidade de haver dUasou mais peças defeituosas numa caixa? O.O'iH'tb

635. O comprimento de uma determinada conexão: medida em centímetros: tem umadistribuição normal. A proporção de .conexões com comprimento abaixo de 25 cm é82%;a proporção de conexões com cmnprimento acima de 20 cm é 70%. Determinea proporção de peças que medem mais de 23 cm: sabendo-se que foram escolhidasentre aquelas que medem mais de 21 em. 0.621 "\

o 38. O tempo necessário para um estudante completar uma tarefa escolar tem dis-tribuição normal com média 90 minUltos e desvio padrão 15 minutos.

(a) Que proporção de estudantes tenn1na a tarefa em 2 horas ou menos? O.c\1-~Z(b) Qual o tempo necessário para permitir que 90% dos estudantes terminem o

teste? \OQ~5 rrWv

(c) Em uma turma de 80 alunos: quantos se espera que terminem a tarefa em menosde 1 hora e 40 minutos: dentre os que a terminaram em 1 hora e 10 minutos? i

o 42. A duração de um certo tipo de pneu: em quilômetros rodados: é uma variável.aleatória normal com duração média 60oo0km e desvio padrão de 10000km. Quala probabilidade de que um pneu escolhido ao acaso dure

(a) mais de 70000km? O.OfP~ .J-

(b) entre 63000 e 70000km? 0.2234-(c) O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem: de tal forma que: se

a duração do pneu for inferior à garantia: o pneu seja trocado. De quanto deveser essa garantia para que a probabilidade de que o pneu seja trocado seja de1% ? Li':}2Q?

o 43. Suponha que o tempo T entre chamadas em um dado sistema on-line: tenha umadistribuição exponencial com um valor médio de 10 segundos.

(a) Encontre a variânda de T. 100

(b) Qual é a probabilidade de que T não exceda 60 segundos? O.QQ1-5

(c) Exceda 90 segundos? tVO

o

45. Quando um computador está operando~ falhas ocorrem aleatoriamente. O tempo.~ T até o aparecemento da primeira falha tem uma distribuição exponencial com

parâmetl'O IJ. Quando uma falh<hocorre: é necessário corrigí-la dentl'O de um tempoto~ depois do qual o computador começa a operar outra vez.

(a) Encontre a densidade e a função de distribuição do intervalo de tempo entresucessivas falhas.

(b) Encontre a pl'ObabiHdade de que este intervalo de tempo seja maior do que 2to.

046. Suponha que o tempo T entre mamadas em um dado sistema on-linE tenha umadistribuição exponencial com U1lIlvalor médio de 10 segundos. Seja t um pontoarbitrário no tempo e X o temp9 decorrido até a quinta chamada chegar (depois dotempo t). Encontre o valor espeJrado e a variância de X. Qual é a pl'Obabilidade de

que T não exceda 60 segundai? Ex;ed~~ segundos? f(x) = 50 -t VQ<)=~tz.047. Prove que a distribuição dos interval~ de tempo entre sucessivos event~s num pro-

cesso de Poisson com intensidade .>.~é uma exponencial com parâmetro À. -o49. Se X tem distribuição normal com média IJ e variância (T2:encontre b tal que

7

P(-b < (X - p)f(T < b) =0.90. 3.65

o 50. Seja X N(p:(T2) e tal que P(X < 89) = 0.90 e a P(X < 94) ;;: 0.95. Encontre p

e (T2. N( ! I 10 ooJ) N Ao) (~l ,IS621/i/)Q 51. Se X N(75: 25): encontre a probabilidade de que X seja maior do que 80 relativa

à hipótese de que X seja maior do que 77. O.Sqq

G53. O tempo de vida de lâmpadas produzidas por uma certa fábrica segue uma dis-tribuição exponencial com vida JIlédia de 200 horas.

-t~) Qual a probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar entre 200 e 300horas? O. 145

(b) A fábrica deseja fixar uma gprantia~ de tal forma que se a duração da lâmpadafor menor que a garantia: ela seja trocada. Qual deve ser a garantia do fabricantepara repor apenas 5% da produção? 10,""

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c) P(1j<t) = 0.0\ ~p(D)<t-6.\d~) =P(D'< -2133)104

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