7 Metodologia e Resultados - dbd.puc-rio.br · O polinômio de Legendre de grau zero é o maior...

Metodologia e Resultados 84

7 Metodologia e Resultados

O cálculo do valor em risco para ativos de renda-fixa difere em importantes

pontos do cálculo para ativos de renda variável. Ao contrário dos ativos de renda

variável, onde a observação dos preços pode ser diretamente utilizada no

levantamento do VaR, o preço de cada ativo de renda-fixa é um misto de vários

atributos específicos, adicionalmente ao fator fundamental, a estrutura a termo.

Isto impede que se use diretamente os preços no cálculo do VaR, caso se queira

mensurar o risco que envolve a taxa de interesse a que o objeto está submetido.

Para facilitar os cálculos, pode-se aproximar a estrutura a termo de taxa de

juros por polinômios, o que pode evitar excessivos esforços computacionais.

Segundo Almeida (2000), polinômios de Legendre são poderosas aproximações

para estruturas de taxas de juros. Deve-se frisar que estes não são a única escolha

possível; outras bases de funções ortogonais podem ser utilizadas com mesma

eficácia.

7.1. Polinômios de Legendre

O polinômio de Legendre de grau n está definido no intervalo [-1,1] de

acordo com a eq.(53):

( ) K,2,1,0 ,1!2

1)( 2 =∀

−

∂

∂= nx

xnxL

n

n

n

nn (53)

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0412251/CA


Aplicando diretamente a eq.(53), pode-se obter os polinômios de Legendre para n

graus. Os quatro primeiros polinômios são:

( ) 11!02

1)(

0200 =

−= xxL

( ) ( ) xxxx

xL ==

−

∂

∂

×= 2

2

11

!12

1)(

1211

( ) ( ) ( )[ ] ( )xxx

xxx

xx

xL −∂

∂=−

∂

∂=

−

∂

∂

×= 3222

2

2

22 2

1122

8

11

!22

1)(

( )132

1)( 2

2 −= xxL

( ) ( ) ( ) ( )xxxx

xxx

xx

xL +−∂

∂=

−

∂

∂=

−

∂

∂

×= 35

2

2222

2323

3

33 28

1132

48

11

!32

1)(

( ) ( ) ( )xxxxxxx

xL 352

11220

8

1165

8

1)( 3324

3 −=−=+−∂

∂=

Resumindo:

1)(0 =xL

xxL =)(1

(54)

( )132

1)( 2

2 −= xxL

( )xxxL 352

1)( 3

3 −=

DBD



Os respectivos gráficos correspondentes a estes polinômios podem ser

observados na figura 9. Um detalhe relevante é que os polinômios )(0 xL , )(1 xL ,

)(2 xL , )(3 xL apresentam interpretação econômica importante: o primeiro

polinômio de Legendre relaciona-se a desvios paralelos da curva; o segundo

polinômio de Legendre relaciona-se a mudanças na inclinação; o terceiro

polinômio de Legendre relaciona-se a mudanças na curvatura; e o quarto

polinômio de Legendre relaciona-se a mudanças de dupla curvatura.

Figura 9 - Os quatro primeiros polinômios de Legendre.

Para melhor ilustrar essa interpretação econômica, a figura 10 mostra

alterações individuais nos coeficientes de cada um dos quatro primeiros

polinômios de Legendre que compõe uma curva de juros no formato

)()()()()( 33221100 tLctLctLctLctC +++= . Como observa-se nos gráficos, cada

coeficiente nc captura um aspecto diferente da curva de juros. Nesse sentido,

pode-se dizer que a representação polinomial decompõe os movimentos da

estrutura a termo nos fatores: movimento paralelo, inclinação, curvatura e dupla

curvatura.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-1 -0,5 0 0,5 1

L0(x) L1(x) L2(x) L3(x)

x

L(x)

DBD



Figura 10 - Mudanças nos coeficientes de Legendre correspondentes a movimentos paralelos, inclinação, curvatura e dupla curvatura. Note que o eixo y do gráfico corresponde a taxa de juros percentual anual e o eixo x corresponde ao prazo em dias corridos.

Apesar dos polinômios de Legendre estarem associados ao intervalo [ ]1 ,1− ,

pode-se estender sua definição ao intervalo [ ]u,0 quase que instantaneamente.

Para tal, basta utilizar a transformação 12

−=u

tx para [ ]ut ,0∈ . Tem-se então:

[ ]utu

t

xntL

n

n

n

nn ,0 , 112

!2

1)(

2

∈∀

−

−

∂

∂= (55)

14

16

18

20

22

0 270 540 810 1080 1350 1620

Sem mudança Mudança em L0(x)

12

14

16

18

20

0 270 540 810 1080 1350 1620


14

16

18

20

0 270 540 810 1080 1350 1620


14

16

18

20

0 270 540 810 1080 1350 1620


Taxa

Taxa Taxa

Taxa

Prazo

Prazo Prazo

Prazo

DBD



Os quatro primeiros polinômios de Legendre ficam:

1)(0 =tL

12

)(1 −=u

ttL

(56)

−

−= 11

23

2

1)(

2

2u

ttL

−−

−= 1

231

25

2

1)(

3

3u

t

u

ttL

Uma característica importante desta classe de funções é que esta forma uma

base de funções ortogonais para o espaço de funções contínuas definidas no

intervalo [-1,1] e com produto interno ∫−>=<1

1)()(, dtxgxfgf . Isto quer dizer

que, para dois números naturais n e m distintos, tem-se:

0)()(1

1=∫− dttLtL nm

Portanto qualquer polinômio de grau n pode ser reproduzido de forma exata

por uma combinação linear dos n primeiros polinômios de Legendre. Isto significa

que o uso de um grande número de polinômios de Legendre permite ao usuário

aproximar um grande número de funções contínuas.

Um forte argumento para a utilização dos polinômios de Legendre em

detrimento a outros tipos de polinômios, como um polinômio com formato

n

ntatataatC ++++= K2

210)( , que é matematicamente mais intuitivo, está na

ortogonalidade das funções de Legendre, que eliminam problemas de

DBD



multicolinearidade11. No cálculo do VaR não se chega a recair nessa necessidade,

o que tornaria a utilização de outros tipos de polinômios absolutamente plausível,

além de se atingirem exatamente os mesmos resultados. Porém, quando deseja-se

analisar os movimentos da curva isoladamente (movimento paralelo, rotação,

curvatura e dupla curvatura), o problema da multicolinearidade impossibilita a

utilização do polinômio n

ntatataatC ++++= K2

210)( .

Portanto, a estrutura a termo de taxa de juros será aproximada por um

somatório de polinômios de Legendre:

[ ]uttLctC

m

n

nnn ,0 , )()(

0

∈∀=∑=

(57)

Para o estudo em questão, apenas os três primeiros polinômios de Legendre

são necessários, pois os principais movimentos relacionados a curvas de juros são

os movimentos paralelos, o de rotação e a concavidade. O polinômio de Legendre

de grau 3 será utilizado com o intuito de melhorar a estimativa da curva.

Finalmente, do ponto de vista computacional, a estimação da curva de juros

utilizando a eq.(57) é bastante eficiente. Por exemplo, se somente os quatro

primeiros polinômios de Legendre são usados, apenas quatro parâmetros (c0, c1, c2

e c3) precisam ser estimados de forma a especificar completamente a curva a

termo.

11 Multicolinearidade significa que as variáveis de uma função são correlacionadas entre si, não

sendo possível analisar-se a contribuição de cada uma delas isoladamente.

DBD



7.1.1. Estimativa dos Parâmetros dos Polinômios de Legendre

De posse das estruturas a termo de taxa de juros montadas a partir do DI

futuro e do Swap Pré x DI, pode-se estimar os parâmetros c0, c1, c2 e c3 da

equação formada pelos quatro primeiros polinômios de Legendre. Para tal, será

utilizado o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários é uma técnica estatística que

usa dados de uma amostra para estimar a verdadeira relação entre duas variáveis.

A metodologia MQO produz uma curva que minimiza a soma vertical do

quadrado das distâncias da curva produzida até os pontos da amostra.

Será parametrizada cada uma das 1980 curvas utilizando o MQO. Para cada

uma dessas curvas, o polinômio estimado usando-se Legendre fica:

[ ]1080,0 , )()()()()( ,33,22,11,00 ∈∀++++= ttLctLctLctLctC nnnnnn ε (58)

onde: nε é o erro na estimativa do polinômio )(tCn ;

o índice n indica a localização do dado na amostra.

Colocando a eq.(58) no formato matricial, tem-se:

εLcC += (59)

onde:

=

)(

)(

)(

2

1

tC

tC

tC

N

MC ;

=

3

2

1

0

c

c

c

c

c ;

=

Nε

ε

ε

M

2

1

ε ;

=

)()()()(

)()()()(

)()()()(

,3,2,1,0

2,32,22,12,0

1,31,21,11,0

tLtLtLtL

tLtLtLtL

tLtLtLtL

NNNN

MMMML

DBD



N é o número de vértices da amostra, que neste caso vale 37.

De posse disto, minimizam-se os quadrados dos erros, chegando-se ao

resultado abaixo:

( ) CL'LL'c 1−= (60)

Aplicando-se a eq.(60), pode-se obter os parâmetros c0, c1, c2 e c3 da

equação formada pelos quatro primeiros polinômios de Legendre. Uma

abordagem mais completa sobre o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários

pode ser encontrada no Apêndice D.

A seguir (figura 11), tem-se um gráfico onde a estrutura a termo de taxa de

juros levantada empiricamente (com base no DI futuro, Swaps Pré x DI e

utilizando interpolação log-linear) é plotada em conjunto com a curva de juros

ajustada pelos quatro primeiros polinômios de Legendre. Fica muito claro que os

polinômios de Legendre fornecem um bom ajuste para a curva de juros.

Figura 11 - Contraste entre a curva a termo de juros levantada empiricamente (com base no DI futuro e Swaps Pré x DI) e a curva ajustada usando os quatro primeiros termos do polinômio de Legendre. Note que o eixo y representa a taxa de juros percentual anual e o eixo x o prazo em dias corridos.

15,5

16

16,5

17

17,5

18

18,5

0 180 360 540 720 900 1080

Empírica Legendre

Prazo

Taxa

DBD



7.1.2. Análise dos Parâmetros dos Polinômios de Legendre

Antes de realizar os cálculos do VaR de ativos de renda-fixa, uma análise

prévia da influência que cada polinômio de Legendre exerce individualmente nos

movimentos da estrutura a termo da taxa de juros pode ser útil para guiar este

estudo mais adiante.

Foi realizada uma análise das séries de valores dos parâmetros c0, c1, c2 e c3

(Tabela 5) com o objetivo de avaliar as contribuições individuais de cada

polinômio de Legendre no valor da taxa de juros. Para tal, foi feito um

levantamento diário das contribuições percentuais de cada polinômio e,

posteriormente, calculou-se uma média dos valores encontrados.

O polinômio de Legendre de grau zero é o maior responsável pelo valor da

taxa de juros. Em média, sua contribuição é de quase 90%. Os demais parâmetros

apresentaram menor poder de influência.

)(0 tL )(1 tL )(2 tL )(3 tL

89,83% 4,81% 2,51% 2,85% Tabela 5 - Contribuição média de cada polinômio de Legendre na estrutura a termo de taxa de juros brasileira.

A seguir foram traçados gráficos Hillplot para a cauda superior (com o

objetivo de captar movimentos de subida dos juros) da distribuição de retornos

dos quatro parâmetros dos polinômios de Legendre (figura 12), com o intuito de

aproximar suas caudas a uma distribuição de valor extremo. O polinômio )(0 tL ,

que como havia sido mostrado, é o maior responsável pelo valor da taxa,

apresenta um coeficiente de forma de cauda com valor em torno de -2 estável

quando a estatística de ordem vale 140. Para os demais parâmetros não se pôde

tirar conclusão alguma, já que a metodologia aplicada é válida apenas quando a

distribuição estimada tende para uma distribuição do tipo Fréchet (k < 0). Como

as contribuições de )(0 tL são mais significativas que as demais, a princípio, os

retornos relativos a curva de juros devem apresentar caudas pesadas, sendo

melhor representados por uma da distribuição do tipo Fréchet.

DBD



Figura 12 - Hillplot para os coeficientes c0, c1, c2 e c3.

Para confirmar o que foi dito anteriormente, foram plotados gráficos que

confrontavam as caudas inferiores das distribuições acumuladas empírica e

normal dos retornos relativos aos coeficientes dos polinômios de Legendre (figura

13). Fica muito claro que a distribuição dos retornos de c0 possuem cauda mais

pesada que a normal, enquanto as demais possuem caudas extremamente leves.

Esta análise sugere que os polinômios de grau 1, 2 e 3 devem possuir distribuições

próximas a Gumbel. Ratificando o que foi dito observando-se a figura 12, a

princípio, os retornos relativos a curva de juros apresentarão uma distribuição do

tipo Fréchet (caudas pesadas).

Figura 13 - Gráfico das caudas da distribuição empírica acumulada dos retornos dos coeficientes dos polinômios de Legendre confrontadas com as respectivas distribuições acumuladas normais.

L0

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 50 100 150 200 250

q

K

L1

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0 20 40 60 80 100 120

q

K

L2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 20 40 60 80 100 120

q

K

L3

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 20 40 60 80 100 120

q

K

0

0,005

0,01

0,015

0,02

-0,15 -0,12 -0,09 -0,06 -0,03

L(0) NORMAL

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0

L(1) NORMAL

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0

L(2) NORMAL

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

-15 -12 -9 -6 -3 0

L(3) NORMAL

CDF CDF

CDF CDF

retornos retornos

retornos retornos

DBD



7.2. Ajuste das Distribuições

Para facilitar o estudo do valor em risco de ativos de renda-fixa, foram

montadas carteiras que continham papéis indexados a curva de juros brasileira.

Foram criadas três carteiras hipotéticas contendo ativos de renda-fixa pré-fixados,

com o objetivo de captar perdas relacionadas a alta de juros no Brasil. Cada

carteira contém três ativos com prazos de vencimentos diferentes, compondo

carteiras de curto, médio e longo prazos. A tabela 6 resume estas carteiras. Nela

pode-se observar o valor em Reais de cada ativo dentro de seu respectivo

portfólio, bem como os seus prazos de vencimento em dias.

Tabela 6 - Tabela mostrando três carteiras hipotéticas de investimento em ativos pré-fixados. Nela encontram-se os prazos e os valores de cada ativo dentro da carteira.

Quando se analisa a distribuição dos retornos das carteiras (figura 14),

percebe-se que carteiras de ativos pré-fixados com mais longos prazos de

vencimento possuem distribuições com caudas mais pesadas. Isto ocorre

principalmente porque investimentos de longo prazo estão sujeitos a um maior

grau de incerteza, fazendo com que a expectativa futura da taxa de juros sofra

maior oscilação para prazos maiores.

Figura 14 - Distribuição acumulada dos retornos das carteiras formadas apenas por ativos de renda-fixa pré-fixados.

Prazos 30 60 90 510 540 570 1020 1050 1080Valores 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000

Carteira 1 Carteira 2 Carteira 3

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

-0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0

Longo Prazo Médio Prazo Curto Prazo

retornos

CDF

DBD



Após essas primeiras análises, realizou-se o ajuste da curva de distribuição

de retornos usando a TVE, através da metodologia de estimação de Hill. Os dados

utilizados possuem freqüência diária.

Como dito anteriormente, tal metodologia não requer a divisão da amostra

em sub-amostras, o que torna a distribuição ajustada insensível ao tamanho das

sub-amostras, vantagem que não ocorria nos outros métodos que utilizam a TVE.

Essa divisão pode acarretar em perda de informações contidas em observações

consideradas extremas, mas que não são mínimas em suas sub-amostras.

Foram traçados os Hillplots para as três carteiras. Observando a figura 15,

nota-se que os gráficos das carteiras 1, 2 e 3 ficam estáveis para as estatísticas de

ordens 90, 95 e 130, respectivamente; com parâmetros de cauda -1,120; -1,455 e

-1,528. O resultado dos parâmetros de forma de cauda, onde o k com menor valor

(maior valor absoluto) foi o da carteira 3, ratifica uma observação exposta

anteriormente, quando afirmou-se que quanto maior o prazo da carteira, mais

pesada era a cauda inferior de sua distribuição de retornos. Vale lembrar que,

como o próprio nome sugere, o parâmetro de forma de cauda tem influência direta

no formato da cauda das distribuições estimadas usando TVE.

DBD



Figura 15 - Hillplot para os carteiras 1 (curto-prazo), 2 (médio-prazo) e 3 (longo-prazo).

Depois de calculados os parâmetros de forma de cauda, pode-se montar a

função acumulada dos retornos ajustados usando-se a Teoria dos Valores

Extremos. As figuras 16, 17 e 18 mostram gráficos que confrontam as

distribuições acumuladas empírica (histórica), normal e estimada por TVE para as

carteira de curto, médio e longo-prazos. Nos gráficos fica muito evidente que a

distribuição normal não se ajusta bem à distribuição empírica dos retornos,

enquanto a distribuição Fréchet apresentou um ajuste muito superior. Isto só vem

a confirmar que, para distribuições com caudas pesadas, a distribuição normal,

muito adotada, não é um bom ajuste, enquanto a aplicação da Teoria dos Valores

Parâmetro de cauda de Hill (médio prazo)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 50 100 150 200 250q

K

Parametro de cauda de Hill (longo-prazo)

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 50 100 150 200 250

q

K

Parâmetro de cauda de Hill (curto-prazo)

-3

-2

-1

0

0 50 100 150 200 250

q

K

^

-

DBD



Extremos é uma ótima saída. Note que a distribuição normal subestima o valor em

risco para percentis de 1% ou menores.

Figura 16 - Distribuição acumulada dos retornos da carteira 1. A curva ajustada por TVE é do tipo Fréchet com k = -1,120.


0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

-0,03 -0,025 -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0

Empírica Normal TVE

retornos

CDF

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0


CDF

retornos

DBD




7.3. Resultados do Backtesting

Foi realizado o Backtesting para três metodologias diferentes de cálculo de

valor em risco. As duas primeiras, Simulação Histórica e metodologia

RiskMetrics com volatilidade calculada por EWMA, são muito conhecidas e

utilizadas pelas instituições financeiras para analisarem suas posições. A terceira,

TVE12, é uma tentativa de aperfeiçoamento do cálculo de Value at Risk. No caso

do alisamento exponencial, foi utilizado o valor de 0,85 como fator de

decaimento, que é o valor recomendado pelo Banco Central do Brasil para o

cálculo de volatilidade de taxas de juros em seu modelo de VaR. A cada 100

observações, o modelo baseado na Teoria dos Valores Extremos teve seu

parâmetro de forma da cauda k reavaliado.

Antes de partir para a avaliação das metodologias propostas, vale a pena

lembrar que uma das questões mais problemáticas na implementação de sistemas

de estimação de VaR diz respeito ao tamanho do conjunto de dados utilizado para

estimação do modelo (insample), ou ainda, qual o tamanho da amostra destinada a

validação (out-ofsample).

12 Os polinômios de Legendre só foram utilizados no cálculo do VaR baseado em TVE. Nos outros

dois casos utilizou-se a interpolação log-linear dos vértices da curva de juros.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0


CDF

retornos

DBD



Não é nada simples responder a tais perguntas. Na verdade, não existe um

acordo sobre o tamanho ótimo de uma janela de estimação. Uma janela de

tamanho fixo faz com que a estimação fique sensível a outliers (a cada dia ocorre

a entrada e a saída de uma observação), enquanto uma janela com tamanho

variável (crescente com o tempo) pode atrelar ao modelo o efeito de observações

antigas que já não possuem relação com o presente. Além disso, o VaR é estimado

com uma quantidade de observações cada vez maior, fazendo com que as

previsões deste não sejam comparáveis (estão sendo realizadas com tamanhos de

janelas diferentes a cada dia), dificultando a validação do modelo.

Sendo assim, o tamanho da janela utilizada deve depender do modelo

aplicado e da probabilidade do VaR que se pretende estimar. O interesse recai

sobre probabilidades mais baixas, ou seja, nas perdas que ocorrem com pouca

freqüência, o que sugere uma janela de estimação que incorpore a quantidade

máxima de dados possível. O problema é que tal janela fornece um período

pequeno para validação, não permitindo que a comparação entre as metodologias

concorrentes seja confiável, principalmente quando o VaR a ser estimado é de

baixa probabilidade.

Como se sabe, o horizonte de dados foi coletado durante aproximadamente

8 anos, consistindo em um total de 1980 amostras. O Backtesting será realizado

utilizando-se uma janela móvel de tamanho 750 dias. Este tamanho permite

avaliar os últimos 5 anos da amostra, totalizando 1230 dias. Este horizonte é

razoável para análise das diferentes metodologias de Value at Risk.

O teste consiste em calcular o VaR utilizando como base as amostras do dia

1 ao 750 e comparar com o valor da carteira do dia 751; calcular o VaR com uma

amostra do dia 2 ao 751 e comparar com o 752o dia; e assim por diante.

Para melhor visualização, as figuras 19, 20 e 21 mostram o resultado do

Backtesting com grau de confiança de 97,5% para as carteiras 1, 2 e 3. Nela

conclui-se que, para os últimos 2 anos de análise (aproximadamente 500 dias), as

três metodologias aplicadas praticamente não tiveram seus limites violados para

este nível de confiança.

DBD



As séries de retornos dos últimos anos apresentaram um regime de

volatilidade extremamente baixo. Isto influenciou diretamente o Backtesting, pois

em metade do período de análise (últimos dois anos) praticamente não ocorreram

eventos extremos.

Figura 19 - Resultado do Backtesting da carteira de curto-prazo com uma confiança de 97,5%.

Figura 20 - Resultado do Backtesting da carteira de médio-prazo com uma confiança de 97,5%.

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

dez-00 ago-02 abr-04 nov-05

Retornos Sim. Histórica TVE(Hill) EWMA

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04



DBD



Figura 21 - Resultado do Backtesting da carteira de longo-prazo com uma confiança de 97,5%.

A baixa volatilidade dos ativos de renda-fixa locais nos últimos anos

acompanhou a queda gradativa do risco soberano, fruto da abundância de liquidez

internacional para mercados emergentes, da ortodoxia econômica do governo e da

melhora de vários fundamentos que poderiam contaminar potencialmente o nível

de risco da curva (como a composição da dívida pública).

Além disso, afastada temporariamente qualquer necessidade de choque de

juros – expediente recorrente em mercados emergentes – o Banco Central seguiu

uma cartilha de diálogo com o mercado e transparência na consecução de suas

metas, evitando surpresas desagradáveis em relação às expectativas formadas. O

gradualismo do Banco Central permitiu uma redução significativa dos prêmios

embutidos na curva, o que se refletiu em sua volatilidade.

A tabela 7 mostra o resultado do Backtesting utilizando o teste de Kupiec.

Pode-se notar claramente que a metodologia EWMA é a menos sensível a

mudanças na confiabilidade do cálculo do valor em risco, com o número de

violações efetivas variando muito pouco entre os graus de confiança. No geral, a

EWMA foi a metodologia com maior número de rejeições.

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1



DBD



A Simulação Histórica e o método de Hill apresentaram resultados muito

semelhantes. Os resultados não foram bons para as confianças de 95% e 97,5%.

Para confianças maiores, 99% e 99,5%; os resultados foram um pouco melhores.

Tabela 7 - Resultado do Backtesting. Os resultados com a letra “R” significam que o modelo foi rejeitado pelo teste, enquanto que a letra “A” quer dizer que o modelo não foi rejeitado.

No geral, a carteira de curto prazo foi a qual os modelos tiveram pior

desempenho. Como explicado anteriormente, as características do mercado

brasileiro fazem com que os movimentos das taxas de juros de curto prazo sejam

os de menor intensidade, o que dificulta o aparecimento de valores extremos.

Para usar uma janela representativa que permita comparar os modelos de

cálculo de valor em risco analisados nesse estudo, eliminou-se as 630 últimas

observações, onde as carteiras não apresentam grandes oscilações. É importante

notar que essa janela não representa o regime de volatilidade corrente, ela faz

parte de um outro contexto de mercado, em que a TVE pode se mostrar uma

ferramenta bastante útil na mensuração do risco. Os resultados da simulação

histórica e principalmente da metodologia baseada na Teoria dos Valores

Extremos melhoraram sensivelmente. A tabela 8 apresenta tais valores.

VaR 95% 97,5% 99% 99,5% 95% 97,5% 99% 99,5% 95% 97,5% 99% 99,5%Violações Esperadas 61,5 30,75 12,3 6,15 61,5 30,75 12,3 6,15 61,5 30,75 12,3 6,15Simulação HistóricaViolações Efetivas 22 9 4 3 35 24 9 6 35 18 10 7Freqüência Efetiva 1,79% 0,73% 0,33% 0,24% 2,85% 1,95% 0,73% 0,49% 2,85% 1,46% 0,81% 0,57%Teste Estatítico 35,09 21,78 7,67 2,00 14,14 1,64 0,99 0,00 14,14 6,36 0,46 0,11Resultado R R R A R A A A R R A ATVEViolações Efetivas 32 12 6 4 41 25 8 3 31 20 10 3Freqüência Efetiva 2,60% 0,98% 0,49% 0,33% 3,33% 2,03% 0,65% 0,24% 2,52% 1,63% 0,81% 0,24%Teste Estatítico 17,93 15,21 4,02 0,86 8,11 1,18 1,73 2,00 19,32 4,39 0,46 2,00Resultado R R R A R A A A R R A AEWMAViolações Efetivas 10 5 5 5 32 24 17 15 30 22 17 17Freqüência Efetiva 0,81% 0,41% 0,41% 0,41% 2,60% 1,95% 1,38% 1,22% 2,44% 1,79% 1,38% 1,38%Teste Estatítico 68,91 33,88 5,64 0,23 17,93 1,64 1,62 9,11 20,77 2,83 1,62 12,97Resultado R R R A R A A R R A A R

CURTO-PRAZO MÉDIO-PRAZO LONGO-PRAZO

DBD



Tabela 8 - Resultado do Backtesting excluindo-se as últimas 630 observações (o equivalente a 2 anos e meio).

A Simulação Histórica apresentou bons resultados para as três carteiras, em

especial quando o grau de confiança do VaR era menor. A Teoria dos Valores

Extremos obteve resultados muito bons em todos os graus de confiança. Para as

confianças de 99% e 99,5%, a TVE apresentou violações muitíssimo próximas das

esperadas. O método de Hill não foi rejeitado nenhuma vez.

Mais uma vez, a EWMA apresentou baixa sensibilidade a mudanças no

nível de confiança do VaR, tendo boas respostas apenas para confianças de 95% e

97,5% nas carteiras de médio e longo prazos.

VaR 95% 97,5% 99% 99,5% 95% 97,5% 99% 99,5% 95% 97,5% 99% 99,5%Violações Esperadas 30 15 6 3 30 15 6 3 30 15 6 3Simulação HistóricaViolações Efetivas 22 9 4 3 33 22 9 6 33 17 10 7Freqüência Efetiva 3,67% 1,50% 0,67% 0,50% 5,50% 3,67% 1,50% 1,00% 5,50% 2,83% 1,67% 1,17%Teste Estatítico 2,46 2,87 0,76 0,00 0,31 2,94 1,31 2,33 0,31 0,26 2,24 3,89Resultado A A A A A A A A A A A RTVEViolações Efetivas 31 12 6 4 37 23 8 3 29 19 10 3Freqüência Efetiva 5,17% 2,00% 1,00% 0,67% 6,17% 3,83% 1,33% 0,50% 4,83% 3,17% 1,67% 0,50%Teste Estatítico 0,03 0,66 0,00 0,30 1,61 3,77 0,61 0,00 0,04 1,01 2,24 0,00Resultado A A A A A A A A A A A AEWMAViolações Efetivas 10 5 5 5 29 22 15 14 28 21 16 16Freqüência Efetiva 1,67% 0,83% 0,83% 0,83% 4,83% 3,67% 2,50% 2,33% 4,67% 3,50% 2,67% 2,67%Teste Estatítico 18,72 9,18 0,18 1,11 0,04 2,94 9,63 21,34 0,14 2,19 11,56 27,85Resultado R R A A A A R R A A R R

CURTO-PRAZO MÉDIO-PRAZO LONGO-PRAZO

DBD


7 Metodologia e Resultados - dbd.puc-rio.br · O polinômio de Legendre de grau zero é o maior...

Documents

Transcript of 7 Metodologia e Resultados - dbd.puc-rio.br · O polinômio de Legendre de grau zero é o maior...