7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2
-
Upload
gabriel-reis -
Category
Documents
-
view
41 -
download
22
description
Transcript of 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2
![Page 1: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/1.jpg)
Fluxo bidimensional
Profa. M.Sc. Maria Valéria Mello Vieira Toniazzo
![Page 2: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/2.jpg)
Fluxo Permanente Bidimensional
Por que estudar percolação de água?
Importante para o dimensionamento de barragens
Obtenção da Rede de Fluxo:
• Gradientes hidráulicos (potencial de piping)
• Poropressão
• Vazão
![Page 3: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/3.jpg)
Fluxo Permanente Bidimensional
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma
direção, como no caso dos permeâmetros diz-se que o
fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a
direção do fluxo e o gradiente são constantes em
qualquer ponto.
Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para
calcular a vazão de percolação através de um solo
aplica-se diretamente a lei de Darcy:
Q = v ×A = k × i × A
![Page 4: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/4.jpg)
Fluxo Permanente Bidimensional
Quando as partículas de água se deslocam segundo
qualquer direção, o fluxo é tridimensional. A migração
de água para um poço é um exemplo de fluxo
tridimensional de interesse para a engenharia.
Quando as partículas de água seguem caminhos
curvos, mas paralelos, o fluxo é bidimensional (caso
da percolação pelas fundações de uma barragem).
![Page 5: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/7.jpg)
Fluxo Permanente Bidimensional
Equação de Laplace
Onde: kx, ky, kz = Coeficiente de permeabilidade nas respectivas
direções;
ht = carga total no ponto considerado;
x,y,z = direção de fluxo;
e = índice de vazios;
S = grau de saturação;
t = tempo.
t
eS
t
Se
ez
hk
y
hk
x
hk t
zt
yt
x1
122
2
22
2
22
2
![Page 8: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/8.jpg)
Equação de Laplace
A equação da Laplace é muito conhecida no meio
matemático e conseqüentemente na engenharia. A
solução da equação de Laplace são dois grupos de
curvas ortogonais entre si.
No caso de Fluxo:
Curvas – Linhas de fluxo;
Curvas – Linhas equipotenciais.
O conjunto das linhas de fluxo e equipotenciais é
denominado de rede de fluxo.
![Page 9: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/9.jpg)
Rede de Fluxo
A rede de fluxo é a solução gráfica da
equação de Laplace, composta de dois
grupos de curvas perpendiculares entre si,
formando quadrados curvilíneos.
![Page 10: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/10.jpg)
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Determinação da vazão total em uma região de fluxo.
lf
lf
lf
lf
lf
l.e. l.e. l.e. l.e. l.e. l.e.
Canal de Fluxo
q
q
q
q
Q
Dh Dh Dh Dh Dh
h
Linhas equipotencias
Linhas de fluxo
![Page 11: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/11.jpg)
Dados extraídos da Rede de Fluxo Q = q . Nf
Onde:
Q = vazão total
q = Vazão em cada um canal de fluxo;
Nf = número de canais de fluxo.
q = Q / Nf
h = Dh . Nd
Onde:
h = Diferença de carga total;
Dh = diferença de carga entre equipotenciais;
Nd = número de regiões entre equipotenciais.
![Page 12: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/12.jpg)
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Pela lei de Darcy a vazão em um canal é
q = k (Dh/l)A
q = k.(Dh/l)b.l
Substituindo
Q/Nf = k (h / Nd l).b.l (para l = b temos)
Q = k (h) Nf/Nd
b
l
Diferença de carga
entre equipotenciais
![Page 13: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/13.jpg)
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Determinação da carga total em um ponto
qualquer.
ht = ht início do fluxo – Dh * número de regiões
entre equipotenciais até o ponto.
![Page 14: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/14.jpg)
Rede de fluxo • É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço de solo.
Linhas de Fluxo = trajetória do fluxo
Equipotenciais = pontos com igual carga total
Linhas de Fluxo Limites = AEC/FG
Linhas Equipotenciais Limites = BA/CD
![Page 15: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/15.jpg)
Traçado da rede de fluxo – Método Gráfico A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas e a vazão
entre duas linhas de fluxo consecutivas devem ser constantes.
Lei de Darcy no elemento i:
Conceito de rede:
Rede composta por regiões formando “quadrados”: (kv = kh = isotropia)
![Page 16: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemplos de rede de fluxo
![Page 17: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/17.jpg)
Exemplos de rede de fluxo
![Page 18: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemplos de rede de fluxo
![Page 19: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/19.jpg)
Exercício 1
• Calcular a vazão no sistema. Considerar o NR na superfífcie do
terreno e h = 9 m. Determinar a carga total nas equipotenciais limite.
(k= 10-4 m/s)
![Page 20: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/20.jpg)
Exercício 2
a)Determinar a vazão que passa no sistema, por unidade de
comprimento, aplicando a Lei de Darcy. Cotas em cm.
40
0
90
30
0
100
k = 0,001 cm/seg
Linha equipotencial ht cte
![Page 21: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/21.jpg)
1x30.100
40)-(90 0,001 .A
L
htf)(htikQ
extensãode/cm/
3cm015,0Q s
![Page 22: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/22.jpg)
Exercício 2
b) Para a rede de fluxo traçada, determinar a vazão que passa no
sistema, por unidade de comprimento.
40
0
90
30
0
100
k = 0,001 cm/seg
Dividir como quero mas
sempre em quadrados.
90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40
ht é uma linha
![Page 23: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/23.jpg)
s/3
cm015,010
3.40-90 0,001
Nd
NfhkQ
Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
Valida as duas equações!!!
nf = número de canais de fluxo;
nd = número de regiões entre equipotenciais.
![Page 24: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/24.jpg)
Exercício 3: Determinar a vazão semanal por unidade de
comprimento para coeficiente de permeabilidade de 10-4 m/s.
Linhas equipotenciais com
mesma carga
4 canais de fluxo e 12
regiões de perda de
potencial
Linhas de fluxo (da água)
![Page 25: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo:
Rede de fluxo na fundação da barragem de concreto
Vazão é determinada
pela fórmula:
DN
hkQfN
![Page 26: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplo:
No exemplo considerado, existem 4 canais de fluxo e 12
faixas de perda de potencial. Para um k =10-4 m/s, por
exemplo, Q = 10-4 x 6 x 4/12 = 2 x 10-4 m3/s (cerca de
0,72m3/hora) por metro de comprimento de barragem.
![Page 27: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/27.jpg)
GRADIENTES:
a diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo
número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de
uma equipotencial para a seguinte.
No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais
consecutivas é de 6/12 = 0,5 m, Esta perda de carga dividida entre as
equipotenciais é o gradiente.
![Page 28: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/28.jpg)
3,70m
9,00m
1,0m
K=1x10-4 m/s
gsat = 20 kN/m3
Exercício 4: Para o sistema de fluxo abaixo calcular a vazão diária que
passa pela fundação, considerando o NR na profundidade da camada
impermeável.
![Page 29: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/29.jpg)
Exercício 5: Determinar: a) a vazão através da fundação, por unidade de comprimento longitudinal da barragem, com coeficiente de permeabilidade igual a 10-3 cm/s. b) o valor do gradiente hidráulico no quadrado X; c) o FS para areia movediça sendo gsat = 18 kN/m3
![Page 30: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/30.jpg)
Exercício 5: Determinar: d) a poropressão nos pontos A, B e C; e) a subpressão total na base da barragem, considerando que sua base
tem 50 m de comprimento.
![Page 31: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/31.jpg)
Exercício 6:
A seção transversal de uma barragem está mostrada na Figura abaixo. Determinar
a vazão sob a barragem sabendo-se que o coeficiente de permeabilidade do solo
da fundação é 2,5x10-5m/s.
![Page 32: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/32.jpg)
Exercício 6:
Plotar a distribuição da subpressão na base da barragem.
![Page 33: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/33.jpg)
Condições de Contorno
Essas condições estão diretamente ligadas à geometria do problema. A determinação das fronteiras dos problemas de fluxo é fator preponderante para a definição da rede de fluxo. Os problemas de fluxo podem ser classificados (em relação às fronteiras) em problemas de fluxo confinado e problemas de fluxo não-confinado.
![Page 34: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/34.jpg)
Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, as fronteiras estão bem definidas. Sabe-se que o fluxo se dará na região ABCDEFG, estando assim as condições de contorno pré-fixadas.
![Page 35: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/35.jpg)
Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, uma parte das fronteiras necessita ser pré-determinada de modo a
se resolver o problema.
A linha BCD não é conhecida a priori, devendo assim ser determinada antes da
resolução do problema.
![Page 36: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/36.jpg)
Uma vez definidos os 2 tipos de problema (fluxo confinado e fluxo não-confinado), tem-se 4 tipos de condições de contorno geralmente encontrados: superfície impermeável superfície em contato com o líquido superfície livre de fluxo linha freática
Condições de Contorno
![Page 37: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/37.jpg)
Assim, as linhas equipotenciais são perpendiculares à superfície impermeável. As superfícies normalmente encontradas são aquelas que delimitam os contatos solo-rocha, solo-concreto e solo-metal, além dos contatos entre solos com coeficientes de permeabilidade bastante distintos.
Superfície impermeável
![Page 38: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/38.jpg)
As linhas ABC e DEF definem superfícies em contato com o líquido. Se para qualquer ponto a carga total é a mesma, então ABC é uma equipotencial. O mesmo se aplica para a superfície DEF. Logo, as superfícies em contato com o líquido constituem equipotenciais.
Superfície em contato com o líquido
![Page 39: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/39.jpg)
CD define uma superfície livre de fluxo. Dessa forma, a carga total varia linearmente com a altura, portanto CD não é uma equipotencial. Como as linhas de fluxo encontram CD, então CD também não é uma linha de fluxo.
Superfície livre de fluxo
![Page 40: 7 - Fluxo_bidimensional - 2015-V.2](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022020102/563dbb37550346aa9aab41f1/html5/thumbnails/40.jpg)
A linha freática é a fronteira superior da região por onde se processa o fluxo. É a linha de fluxo superior do meio, ao longo da qual a carga piezométrica é nula (só existe carga de elevação).
Linha freática