FAT – Faculdade de Tecnologia de ResendeDepartamento de Energia e MecânicaEletricidade Teórica e Experimental Prática 6

Título: FIGURAS DE LISSAJOUS E MEDIDAS DE DEFASAGEM

1. Objetivos:

- Observar, experimentalmente, as figuras de Lissajous. - Medir a defasagem entre dois sinais, utilizando o osciloscópio.

2. Introdução Teórica:

A composição gráfica de dois movimentos ondulatórios, um na horizontal e outro na vertical, resulta na chamada Figura de Lissajous. Para exemplificar, consideremos a figura 1, onde temos composição de um sinal na vertical de determinada freqüência, e um outro na horizontal com o dobro de freqüência.

Figura 1: Figura de Lissajous, resultante da composição de 2 sinais

Da figura de Lissajous obtida, podemos estabelecer uma relação entre as freqüências dos dois sinais, conforme o número de vezes que a figura toca na linha de tangência horizontal e na vertical. Para o exemplo, temos que, a figura tangência na horizontal uma vez e na vertical duas vezes, portanto a relação entre as freqüências será:

FH = 2 FV FV / FH = 1 / 2 Para um caso genérico, podemos escrever a relação: FV / FH = NH / NV

onde: FV = freqüência do sinal vertical FH = freqüência do sinal horizontalNH = no de tangências na horizontalNV = no de tangências na vertical

Podemos utilizar as figuras de Lissajous para medidas de freqüência e de defasagem com o osciloscópio.

Para medirmos freqüências, basta aplicar o sinal a ser medido em uma das entradas do osciloscópio, e um outro com freqüência conhecida na outra entrada. Da Lissajous obtida na tela, determina-se NV, NH e aplicando-se a relação, calcula-se a freqüência desconhecida. A figura 2, mostra o esquema de ligação para se determinar a freqüência de um sinal desconhecido.

Figura 2: Ligações do osciloscópio para a medida de freqüência, utilizando Lissajous

Na entrada vertical, o gerador foi ajustado para a freqüência de 300 Hz e aplicando-se o sinal de freqüência desconhecida na entrada horizontal, obteve-se na tela, uma figura de Lissajous com 3 pontos de tangência na horizontal e 1 na vertical. Aplicando-se a relação, obteremos:

3 FH = 1 FV FH = FV / 3 = 300 / 3 = 100 Hz

Quando aplicamos às duas entradas do osciloscópio, sinais de uma mesma freqüência, teremos na tela, uma figura de Lissajous onde é possível determinar-se o valor da defasagem entre eles.

Chamamos de defasagem, a diferença de fase entre dois sinais de mesma freqüência. Para exemplificar, temos na figura 3 o sinal v1(t) e o sinal v2(t), plotados nos mesmos eixos:

Figura 3: Sinais v1(t) e v2(t)

onde: v1(t) = v1máx sen ( ωt + 0o) v2(t) = v2máx sen ( ωt + π / 2)

A defasagem entre v1(t) e v2(t) é Δθ = π / 2 rad ou 90o. Para 2 sinais quaisquer de mesma freqüência e defasados, teremos na tela do

osciloscópio uma elipse como figura de Lissajous. Na figura 4, temos a composição de 2 sinais defasados e a elipse resultante.

Figura 4: Elipse resultante da composição de 2 sinais defasados

O sinal VV obedece à função: VV(t) = VVmáx sen ( ωt + Δθ)onde: VVmáx = be VV(t) = a, para t = 0substituindo, temos que:

a = b sen (ω0 + Δθ) a = b sen Δθsen Δθ = a / b Δθ = arc sen (a / b)

Para determinarmos a defasagem através da elipse obtida, basta obtermos os valores de a e b, onde a representa a distância entre o centro da elipse e o ponto onde esta corta o eixo y e b representa a distância entre o centro da elipse e o ponto máximo da figura. Para facilitar a leitura, podemos determinar os valores de 2a, 2b e calcular a defasagem, utilizando a relação:

Δθ = arc sen (2a / 2b)

Como exemplo, vamos determinar a defasagem entre dois sinais aplicados às entradas do osciloscópio, cuja figura de Lissajous é mostrada na figura 5.

Figura 5: Elipse

Temos que: 2a = 3 e 2b = 6 Δθ = arc sen (3 / 6)Δθ = π / 6 rad ou 30o

3. Material Experimental:

- Osciloscópio - Gerador de sinais - Transformador: 110 V / 12 V ou 220 V / 12 V(conforme a rede) - Capacitor: 0,1 μF- Resistores: 4,7 KΩ, 47 KΩ, 150 KΩ, 470 KΩ e 1 MΩ

4. Simbologia:

5. Prática:

1 – Ligue à entrada vertical do osciloscópio, o gerador de sinais ajustado para onda senoidal a amplitude máxima, e à entrada horizontal o transformador, conforme a figura 6.

Figura 6

2 – Varie a freqüência do gerador de sinais, conforme o quadro 1. Anote a figura de Lissajous e determine a relação de freqüências.

FH (Hz) FV (Hz) Figura NH NV NH / NV

60

15202430406090120150180240

Quadro 1

3 – Monte o circuito da figura 7 com o gerador ajustado em 60 Hz, amplitude máxima e onda senoidal.

Figura 7

4 – Meça e anote os valores de 2a e 2b de acordo com o capacitor e resistores, indicados no quadro 2.

C (μF) R 2a 2b 2a / 2b Δθ

0,1

4,7 KΩ47 KΩ150 KΩ470 KΩ1 MΩ

Quadro 2

6. Questões:

1 – Comprove a relação FV / FH = NH / NV com os valores dados no quadro 1.

2 – Calcule a defasagem, utilizando os valores obtidos no quadro 2, para cada valor de resistor. Anote os resultados no próprio quadro.

3 – Calcule o valor da freqüência desconhecida através das Lissajous, vistas na tela do osciloscópio, conforme mostra a figura 8.

Figura 8

4 – Calcule a defasagem através das Lissajous, vistas na tela do osciloscópio, conforme a figura 9.

Figura 9