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FÍSICA CAPÍTULO 4

VOL. 4 – APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON

E-books PCNA

2 FISICA CAPITULO 4

Sumario

4 APLICACOES DAS LEIS DE NEW-TON 44.1 Objetivos de aprendizagem: . . . . . . . . . . . . 44.2 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Aplicacoes da primeira lei de newton: partıculas

em equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Aplicacoes da segunda lei de newton: dinamica

das partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5 Forcas de contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.5.1 Forca normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.5.2 Forcas de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5.2.1 Atrito estatico . . . . . . . . . . . 114.5.2.2 Atrito cinetico . . . . . . . . . . . 13

4.5.3 Forcas de tracao . . . . . . . . . . . . . . . 154.6 Massa e peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.7 Dinamica do movimento circular . . . . . . . . . 18Principais pontos do capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . 22EXERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23GABARITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . 42

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Apresentacao

Ao chegar a UFPA, voce tem a possibilidade de cursar gra-tuitamente cursos de nivelamento em Ciencias Basicas (Fısica,Quımica e Matematica). Assistindo as aulas no proprio ambi-ente em que cursara sua graduacao, isso auxiliara voce a adqui-rir o conhecimento necessario para enfrentar melhor o programacurricular do seu curso. Entao seja Bem-vindo ao Curso de Ni-velamento em Fısica Elementar do PCNA. Este e o quarto deuma serie de cinco E-books que vao lhe acompanhar durante ocurso, o professor utilizara este material como apoio as suas au-las e e fundamental que voce o leia e acompanhe as atividadespropostas.

A serie “E-books PCNA-Fısica” foi desenvolvida com o pro-posito de apresentar o conteudo do curso de Fısica Elementar,fornecendo tambem ferramentas para facilitar o ensino e a apren-dizagem da disciplina Fısica Fundamental I que voce ira encon-trar em breve na sua graduacao.

Neste fascıculo voce ira encontrar o conteudo de Aplicacoesdas Leis de Newton. E bom lembrar que nao se pode aprenderFısica Fundamental I sem alguns pre-requisitos, que muitas dasvezes nao valorizamos por acharmos simples e descomplicados,todavia, atencao e compreensao se fazem necessaria.

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4 FISICA CAPITULO 4

CAPITULO 4

4 APLICACOES DAS LEIS DE NEWTON

4.1 Objetivos de aprendizagem:

• Utilizar a primeira lei de Newton para resolver problemasreferentes as forcas que atuam sobre um corpo em equilıbrio.

• Utilizar a segunda lei de Newton para resolver problemasreferentes as forcas que atuam sobre um corpo em ace-leracao.

• Aprender a formula empırica para forcas de atrito estaticoe de atrito cinetico e como resolver problemas que envolvemessas forcas.

• Solucionar problemas referentes as forcas que atuam sobreum corpo que se move ao longo de uma trajetoria circularcom velocidade escalar uniforme.

4.2 Introducao

Vimos no Capitulo 3 que as tres leis de Newton do movi-mento, o fundamento da mecanica classica, podem ser formuladasde modo simples. Porem, as aplicacoes dessas leis em situacoestais como um rebocador rebocando um navio mais pesado doque ele ou um aviao fazendo uma curva acentuada requerem ha-bilidades analıticas e tecnicas para solucao de problemas. Nestecapıtulo aprofundaremos as habilidades para a solucao de pro-blemas que voce comecou a aprender no capıtulo anterior.

Comecamos com problemas envolvendo o equilıbrio, nosquais o corpo esta ou em repouso ou movendo-se com velocidadevetorialmente constante. A seguir, generalizamos nossas tecnicaspara a solucao de problemas que envolvem corpos que nao estaoem equilıbrio, para os quais precisamos considerar com exatidao

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as relacoes entre as forcas e o movimento. Vamos ensinar comodescrever e analisar as forcas de contato entre corpos em repousoou quando um corpo desliza sobre uma superfıcie. Finalmente,estudaremos o caso importante do movimento circular uniforme,no qual o corpo de desloca ao longo de uma circunferencia comvelocidade escalar constante.

4.3 Aplicacoes da primeira lei de newton: partıculasem equilıbrio

No capıtulo 3, aprendemos que um corpo esta em equilıbrioquando esta em repouso ou em movimento retilıneo uniformeem um sistema de referencia inercial. Uma lampada suspensa,uma ponte pensil, um aviao voando em linha reta e plana a umavelocidade escalar constante – sao todos exemplos de situacoesde equilıbrio. Nesta secao vamos considerar apenas o equilıbriode corpos que podem ser modelados como partıculas, ou seja,as dimensoes dos corpos nao sao relevantes para os problemasque estamos resolvendo, isto e, dizer que podemos considerartodas as forcas como sendo aplicadas em um mesmo ponto. Oprincipio fısico essencial e a primeira lei de Newton: quando umapartıcula esta em repouso ou em movimento retilıneo uniformeem um sistema de referencia inercial, a forca resultante que atuasobre ela – isto e, a soma vetorial de todas as forcas que atuamsobre ela – deve ser igual a zero:∑

~F = 0 (1)

(partıcula em equilıbrio, forma vetorial)

Normalmente usaremos essa relacao utilizando os componentes:∑Fx = 0;

∑Fy = 0;

∑Fz (2)

(partıcula em equilıbrio, forma de componentes)

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Esta secao e sobre o uso da primeira lei de Newton pararesolver problemas envolvendo corpos em equilıbrio. Alguns delespodem parecer complicados, mas o importante e lembrar quetodos esses problemas sao resolvidos do mesmo modo.

4.4 Aplicacoes da segunda lei de newton: dinamicadas partıculas

Agora estamos preparados para discutir problemas de dinamica.Nesses problemas, aplicamos a segunda lei de Newton para corpossobre os quais a forca resultante e diferente de zero e, portanto,nao estao em equilıbrio; mas sim em aceleracao. A forca resul-tante sobre o corpo e igual ao produto da massa pela aceleracaodo corpo. ∑

~F = m~a (3)

(partıcula acelerada, forma vetorial)Normalmente usaremos essa relacao na forma de componentes:∑

Fx = max;∑

Fy = may;∑

Fz = maz (4)

(segunda lei de Newton, forma de componentes)

IMPORTANTE!

Todo corpo que nao esta em equilıbrio sob aacao de uma ou mais forcas esta acelerado, e arecıproca e verdadeira. Se o corpo esta acele-rado e porque ha uma forca resultante nao nulaatuando sobre ele.

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4.5 Forcas de contato

Em muitas situacoes, um objeto esta em contato com umasuperfıcie, como, por exemplo, a superfıcie de uma mesa. Porconta do contato, ha uma forca agindo sobre o objeto. Esta secaodiscute apenas uma componente desta forca, a componente queatua perpendicularmente a superfıcie. A proxima secao discutea componente que atua na direcao paralela a superfıcie. A com-ponente perpendicular e chamada de forca normal.

4.5.1 Forca normal

Figura 1: Duas forcas atuam sobre o bloco, o seu peso ~P e aforca normal ~FN exercida pela superfıcie da mesa.

A Figura 1 mostra um bloco repousado sobre uma mesahorizontal e identifica as duas forcas que agem sobre o bloco, opeso ~P e a forca normal ~FN . Para entender como um objetoinanimado, como o tampo de uma mesa, pode exercer uma forcanormal, pense no que ocorre quando voce senta sobre um colchao.Seu peso faz com que as molas no colchao sejam comprimidas.Em consequencia disso, as molas comprimidas exercem em voceuma forca para cima (a forca normal). De maneira semelhante,o peso do bloco faz com que “molas atomicas” invisıveis na su-perfıcie da mesa sejam comprimidas, produzindo, assim, umaforca normal sobre o bloco.

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A terceira lei de Newton tem um papel importante relaci-onado com a forca normal. Na Figura 1, por exemplo, o blocoexerce uma forca sobre a mesa comprimido-a para baixo. Con-sistente com a terceira lei, a mesa exerce uma forca na mesmadirecao, dirigida no sentido oposto, de mesmo modulo sobre obloco. Esta forca de reacao e a forca normal. O modulo da forcanormal indica o grau de compressao mutua dos dois objetos.

Se um objeto estiver em repouso sobre uma superfıcie hori-zontal e nao existirem forcas atuando na vertical, com excecao dopeso do objeto e da forca normal, os modulos destas duas forcassao iguais; ou seja, | ~FN |=| ~P |. Esta e a situacao mostradana Figura 1. O peso deve ser contrabalancado pela forca normalpara que o objeto permaneca em repouso sobre a mesa. Se osmodulos destas forcas nao fossem iguais, haveria uma forca re-sultante sobre o bloco, e o bloco estaria acelerado para cima oupara baixo, de acordo com a segunda lei de Newton.

Figura 2: (a) A forca normal ~FN e maior do que o peso da caixa,pois a caixa esta sendo pressionada para baixo com uma forca de11 N. (b) A forca normal e menor do que o peso, pois ha umaforca de 11 N para cima que sustenta parcialmente a caixa.

Se houver outras forcas atuando na direcao vertical alemde ~P e ~FN , os modulos da forca normal e do peso nao sao maisiguais. Na Figura 2.a, por exemplo, uma caixa cujo peso e de15 N esta sendo empurrado para baixo contra uma mesa. Aforca de compressao possui um modulo de 11 N. Assim, a forca

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total para baixo exercida sobre a caixa e de 26 N, e deve sercontrabalancada pela forca normal orientada para cima para quea caixa permaneca em repouso. Nesta situacao, entao, a forcanormal e de 26 N, que e consideravelmente maior do que o pesoda caixa.

A Figura 2.b ilustra uma situacao diferente. Neste caso, acaixa esta sendo puxada para cima por uma forca de 11 N. A forcaresultante que age sobre a caixa devido ao seu peso e a forca paracima e de apenas 4 N. Nao e difıcil imaginar o que aconteceria se aforca aplicada para cima fosse aumentada para 15 N – exatamenteigual ao peso da caixa. Nesta situacao, a forca normal se anularia.Na verdade, a mesa poderia ser retirada, ja que o bloco estariainteiramente sustentando pela forca. As situacoes na Figura 2 saoconsistentes com a ideia de que o modulo da forca normal indicao grau de compressao mutua de dois objetos. Evidentemente, acaixa e a mesa se comprimem mais fortemente na Figura 2.a doque na Figura 2.b.

4.5.2 Forcas de atrito

O atrito e importante em muitos aspectos de nossa vida co-tidiana, ou seja, normalmente pensamos o atrito como algo in-desejavel, mas o atrito e necessario. O oleo no motor de umautomovel minimiza o atrito entre as partes moveis, porem, naofosse o atrito entre os pneus do carro e o solo, nao poderıamosdirigir um carro e nem fazer curvas. O arraste do ar – a forcade atrito exercida pelo ar sobre um corpo que nele se move – fazaumentar o consumo de combustıvel de um carro, mas possibilitao uso de paraquedas. Sem atrito, os pregos pulariam facilmente,os bulbos das lampadas se desenrolariam sem nenhum esforco eo hoquei no gelo seria impraticavel (Figura 3).

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Figura 3: A pratica do hoquei no gelo depende decisivamente do atritoentre os patins do jogador e o gelo. Quando o atrito e muito elevado,o jogador se locomove muito lentamente; quando o atrito e muito pe-queno, o jogador dificilmente evita sua queda.

O atrito e um fenomeno complexo, nao totalmente com-preendido, que surge da atracao entre as moleculas de duas su-perfıcies em contato. A natureza desta atracao e eletromagnetica– a mesma da ligacao molecular que mantem um objeto coeso.Esta forca atrativa de curto alcance se torna insignificante aposapenas alguns diametros moleculares.

Como mostrado na Figura 4, objetos comuns que parecemlisos, e que sentimos como lisos sao asperos em escala atomica(microscopica). Isto ocorre mesmo quando as superfıcies saomuito bem polidas. Quando as superfıcies entram em contato,elas se tocam apenas nas saliencias, as chamadas asperezas, mos-tradas na Figura 4. A medida que um bloco desliza sobre umpiso, ligacoes microscopicas se formam e se rompem, e o numerototal dessas ligacoes e variavel. Alisar as superfıcies em contatopode, na verdade, aumentar o atrito, visto que mais moleculasse tornam aptas a formar ligacoes; juntar duas superfıcies lisasde um mesmo metal pode produzir uma ‘solda a frio’. Os oleoslubrificantes fazem diminuir o atrito porque uma pelıcula de oleose forma entre as duas superfıcies (como no caso do pistao e dasparedes do cilindro no motor de um carro), impedido – as deentrar em contato efetivo.

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Figura 4: A area microscopica de contato entre a caixa e o piso e ape-nas uma pequena fracao da area macroscopica da superfıcie do tampoda caixa. A area microscopica e proporcional a forca normal exercidaentre as superfıcies. Se a caixa repousa sobre um de seus lados, a areamicroscopica aumenta, mas a forca por unidade diminui, de forma quearea microscopica de contato nao muda. Nao importa se a caixa estade pe ou deitada, a mesma forca horizontal F aplicada e necessaria paramante-la deslizando com rapidez constante (PAUL A. TIPLER, GENEMOSCA, 2012).

4.5.2.1 Atrito estatico

Figura 5: Atrito Estatico.

Voce aplica uma pequena forca horizontal ~F (Figura 5) so-

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bre uma grande caixa que esta em repouso sobre o piso. A caixapode nao vir a se mover perceptivelmente, porque a forca deatrito estatico fe exercida pelo piso sobre a caixa contrabalancaa forca que voce aplica. Atrito estatico e a forca de atrito queatua quando nao existe deslizamento entre as duas superfıciesem contato – e a forca que evita que a caixa escorregue. A forcade atrito estatico, em sentido contraria a forca aplicada sobre acaixa, pode variar em magnitude de zero ate um valor maximofe max, dependendo do seu empurrao. Isto e, enquanto voce em-purra a caixa, a forca oposta de atrito estatico vai aumentandopara se manter igual em magnitude a forca aplicada, ate que amagnitude da forca aplicada exceda o valor maximo da forca deatrito fe max. Dados mostram que fe max e proporcional a inten-sidade das forcas que pressionam as duas superfıcies uma contraoutra. Isto e,fe max e proporcional a magnitude da forca normalexcedida por uma superfıcie sobre a outra:

fe max = µeFN (5)

(modulo da forca de atrito estatico)

Onde a constante de proporcionalidade µe e o coeficientede atrito estatico. Este coeficiente depende dos materiais de quesao feitas as superfıcies em contato e das temperaturas das su-perfıcies. Se voce exerce uma forca horizontal com uma mag-nitude menor ou igual a fe max sobre a caixa, a forca de atritoestatico ira justo contrabalancar esta forca horizontal o mınimoque seja maior que fe max sobre a caixa, entao a caixa comecaraa deslizar. Assim, podemos escrever a Equacao 5 como:

fe max ≤ µeFN (6)

A orientacao da forca de atrito estatico e tal que ela se opoea tendencia de deslizamento da caixa.

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IMPORTANTE!

Se a forca horizontal que voce exerce sobreuma caixa aponta para esquerda, entao aforca de atrito estatico aponta para a direita.A forca de atrito estatico sempre se opoe atendencia de deslizamento.

IMPORTANTE!

A Equacao 6 e uma desigualdade porque a mag-nitude da forca de atrito estatico varia de zeroate fe max.

IMPORTANTE!

Lembre-se de que a Equacao 5 nao e umaequacao vetorial porque fe e FN sao sem-pre perpendiculares. Em vez disso, representauma relacao escalar entre os modulos das duasforcas.

4.5.2.2 Atrito cinetico

Se voce empurrar a caixa da Figura 5 com suficiente vigor,ela deslizara sobre o piso. Enquanto ela escorrega, o piso exerceuma forca de atrito cinetico fc (tambem chamado de atritodinamico, ou de deslizamento) que se opoe ao movimento. Paramanter a caixa deslizando com velocidade constante, voce deveexercer uma forca sobre a caixa igual em magnitude e oposta em

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sentido a forca de atrito cinetico exercida pelo piso. Assim comoa magnitude da forca de atrito estatico maxima, a magnitude defc da forca de atrito cinetico e proporcional a magnitude fn daforca normal exercida por uma superfıcie sobre a outra:

fc = µcFN (7)

Onde a constante de proporcionalidade µc e o coeficientede atrito cinetico. Este coeficiente depende dos materiais deque sao feitas as superfıcies em contato e das temperaturas dassuperfıcies em contato. Diferentemente do atrito estatico, a forcade atrito cinetico e independente da magnitude da forca horizon-tal aplicada. Experimentos mostram que µc e aproximadamenteconstante para uma larga faixa de valores de rapidez.

Figura 6: Grafico da forca de atrito.

IMPORTANTE!

O atrito entre o pneu e o piso e aproximada-mente o mesmo, seja o pneu largo ou estreito.O proposito da maior area de contato e diminuiro aquecimento e o desgaste.

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IMPORTANTE!

Os pneus possuem ranhuras nao para aumentaro atrito, mas para deslocar e redirecionar a aguaentre a superfıcie da rodovia e o lado externodos pneus. Muitos carros de corrida usam pneussem ranhuras, porque correm em dias secos.

A Figura 6 mostra um grafico da forca de atrito exercidasobre a caixa pelo piso em funcao da forca aplicada. A forca deatrito contrabalanca a forca aplicada ate que a caixa comeca adeslizar, o que ocorre quando a forca aplicada excede a µeFN poruma quantidade infinitesimal. Enquanto a caixa esta deslizando,a forca de atrito permanece igual a µcFN . Para quaisquer duassuperfıcies em contato, µc e menor que µe. Isto significa quevoce deve empurrar com mais vigor para fazer com que a caixacomece a deslizar, do que para mante-la deslizando com rapidezconstante.

4.5.3 Forcas de tracao

Forcas sao frequentemente aplicadas por meio de cabos oucordas usados para puxar um objeto. Por exemplo, a Figura 7.amostra uma forca ~T sendo aplicada a extremidade direita de umacorda presa a uma caixa. Cada partıcula na corda, por sua vez,aplica uma forca a sua vizinha. Consequentemente, a forca eaplicada a caixa, como mostra a Figura 7.b.

Em situacoes como a da Figura 7, dizemos que “a forca ~Te aplicada na caixa por causa da tracao na corda”, significandoque a tracao e a forca aplicada a caixa possuem o mesmo modulo.Entretanto, a palavra “tracao” e comumente usada para significara tendencia de a corda ser esticada. Para ver a relacao entre estesdois usos da palavra “tracao”, considere a extremidade esquerdada corda, que aplica a forca ~T a caixa. De acordo com a terceira

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Figura 7: (a) A forca ~T esta sendo aplicada a extremidade direitade uma corda. (b) a forca e transmitida para caixa. (c) Forcas saoaplicadas as duas extremidades da corda. Estas forcas possuemmesmos modulos e direcoes opostas (mesma direcao e sentidoscontrarios), (CUTNELL & JOHNSON, 2012).

lei de Newton, a caixa aplica uma forca de reacao a corda. Aforca de reacao possui o mesmo modulo e mesma direcao que~T , mas sentido contrario. Em outras palavras, uma forca −~Tatua na extremidade esquerda da corda. Desta forma, forcas demesmo modulo atuam em extremidades opostas da corda, comona figura 7.c, e tendem estica-la.

4.6 Massa e peso

O peso de um corpo e uma das forcas mais familiares quea Terra exerce sobre o corpo. (Quando voce estiver em outroplaneta, seu peso sera a forca gravitacional que o planeta exercesobre voce.) infelizmente, os termos massa e peso em geral saomal empregados e considerados sinonimos em nossa conversacaocotidiana. E extremamente importante que voce saiba a diferencaentre essas duas grandezas fısicas.

A massa caracteriza a propriedade da inercia de um corpo.Por causa de sua massa, a louca fica praticamente em repousosobre a mesa quando voce puxa repentinamente a toalha. Quanto

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maior a massa, maior a forca necessaria para produzir uma dadaaceleracao; isso se reflete na segunda lei de Newton,

∑ ~F = m~a.O peso de um corpo, por outro lado, e a forca de atracao

gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Massa e peso serelacionam: um corpo que possui massa grande tambem possuipeso grande. E difıcil lancar horizontalmente uma pedra grandeporque ela possui massa grande, e e difıcil levanta-la porque elapossui peso grande. Qualquer corpo proximo da superfıcie daterra que possua massa de 1 kg deve possuir um peso igual a9,8 N para que ele tenha a aceleracao que observamos quandoo corpo esta em queda livre. Generalizando, qualquer corpo demassa m deve possuir um peso com modulo P dado por:

| ~P |= m. | ~g | (8)

Logo, o modulo | ~P | do peso de um corpo e diretamenteproporcional a sua massa m. O peso de um corpo e uma forca,uma grandeza vetorial, de modo que podemos escrever a Equacao7 como uma equacao vetorial (Figura 8):

Figura 8: A relacao entre massa e peso.

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~P = m~g (9)

Lembre-se de que | ~g | e o modulo de ~g , a aceleracao dagravidade, logo, g e sempre positivo. Portanto, P , dado pelaEquacao 8, e o modulo do peso e tambem e sempre um numeropositivo.

IMPORTANTE!

Lembre-se que o peso de um corpo atua eternamente sobreo corpo, independentemente de ele estar ou nao em queda li-vre. Quando um objeto de 10 kg esta em equilıbrio, suspensopor uma corrente, sua aceleracao e igual a zero. Porem, seupeso, dado pela Equacao 9, continua puxando-o para baixo(Figura 8). Nesse caso, a corrente exerce uma forca que puxao objeto de baixo para cima. A soma vetorial das forcas eigual a zero, mas o peso ainda atua.

4.7 Dinamica do movimento circular

Movimentos circulares sao muito comuns na natureza. Aspalhetas de um ventilador, um CD e o pneu de um carro saoapenas alguns exemplos que fazem parte de nosso cotidiano. Deuma maneira geral podemos afirmar que uma partıcula esta emmovimento circular quando sua trajetoria e uma circunferencia.Em situacoes onde o valor numerico da velocidade permanececonstante, dizemos que o corpo descreve um Movimento CircularUniforme (MCU).

Quando uma partıcula se desloca ao longo de uma cir-cunferencia com velocidade escalar constante, a aceleracao dapartıcula e sempre orientada para o centro do cırculo (perpen-dicular a velocidade instantanea). O modulo arad da aceleracaoe constante, sendo dado em termos da velocidade v e do raio R

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por:

arad =v2

R(10)

O ındice inferior ‘rad’ e um lembrete de que a aceleracao dapartıcula e sempre orientada ao longo da direcao radial, para ocentro do cırculo e perpendicular a velocidade instantanea. Po-demos tambem representar a aceleracao centrıpeta, arad , emtermos do perıodo T , o tempo necessario para uma revolucao:

T =2πR

v(11)

Em termos do perıodo,arad e dada por:

arad =4π2R

T 2(12)

O movimento circular uniforme, como qualquer movimentode uma partıcula, e governado pela segunda lei de Newton. Aaceleracao da partıcula orientada para o centro deve ser produ-zida por alguma forca, ou diversas forcas, tais que a soma vetorial∑ ~F seja um vetor sempre orientado para o centro do cırculo (Fi-gura 9). O modulo da aceleracao e constante, logo o modulo daforca resultante ~Ftotal tambem e constante. Caso a forca paradentro deixe de atuar, a partıcula e expelida para fora do cırculodescrevendo uma linha reta tangente ao cırculo (Figura 10).

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Figura 9: Em um movimento circular uniforme, tanto a ace-leracao, como a forca resultante sao orientadas para o centro docirculo.

Figura 10: O que acontece quando a forca orientada para o centrodeixa de atuar sobre um movimento circular?

O modulo da aceleracao radial e dado por |arad| = |v|2R ,

logo o modulo | ~Ftotal | da forca resultante sobre uma partıculade massa m em um movimento circular uniforme e dado por:

| ~Ftotal |= m. | arad |= m.| v |2

R(13)

O movimento circular uniforme pode ser produzido por

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qualquer conjunto de forcas, desde que a forca resultante∑ ~F

seja sempre orientada para o centro do cırculo e possua moduloconstante. Note que o corpo nao precisa se mover em torno deum cırculo completo: a Equacao 13 e valida para qualquer tra-jetoria que possa ser considerada como parte de um arco circular.

IMPORTANTE!

A forca centrıpeta nao e uma forca real. Estee meramente um nome que se da para acomponente da forca resultante que apontapara o centro de curvatura da trajetoria. As-sim como a forca resultante, a forca centrıpetanao esta presente em um diagrama de corpo li-vre. Apenas forcas reais pertencem a diagramasde corpo livre.

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Principais pontos do capıtulo:

• Forma vetorial da Primeira Lei de Newton:∑~F = 0

• Forma de componentes da Primeira Lei de Newton:∑Fx = 0;

∑Fy = 0;

∑Fz

• Forma vetorial da Segunda Lei de Newton:∑~F = m~a

• Forma de componentes da Segunda Lei de Newton:∑Fx = max;

∑Fy = may;

∑Fz = maz

• Modulo da Forca de Atrito Estatico:

fe max ≤ µeFN

• Modulo da Forca de Atrito Cinetico:

fc = µcFN

• O movimento circular uniforme e estudado pela SegundaLei de Newton, sob a forma:

|~Ftotal| = m.|arad| = m.|v|2

R

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EXERCICIOS

1. (HALLIDAY & RESNICK, 8a Ed) Em um cabo-de-guerra bidimensional, Alex, Charles e Betty puxam hori-zontalmente um pneu de automovel nas orientacoes mos-tradas na vista superior da figura abaixo. Apesar dos es-forcos da trinca, o pneu permanece no mesmo lugar. Alexpuxa com a forca FA de modulo 220N, Charles puxa comuma forca FC de modulo 170N e Betty puxa com uma forcaFB. Qual e o modulo da forca FB exercida por Betty?

2. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) Um alpinista, du-rante a travessia entre dois penhascos, faz uma pausa paradescansar. Ele pesa 535N. Como mostrado no desenho, eleesta mais proximo do penhasco da esquerda do que do pe-nhasco da direita, isto faz com que a tracao no trecho aesquerda da alpinista seja diferente da tracao no trecho asua direita. Determine as tracoes na corda a esquerda e adireita da alpinista.

3. (SEARS & ZEMANSKY, 12a Ed) O motor de umautomovel com peso ‘P’ esta suspenso por uma corrente

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que esta ligada por um anel ‘o’ a duas outras correntes,uma delas amarrada ao teto e a outra presa na parede. Acheas tensoes nas tres correntes em funcao de ‘P’ e despreze opeso das correntes e do anel.

4. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) O sistema da fi-gura esta em equilıbrio. A distancia ‘d’ e de 1 m e o com-primento relaxado de cada uma das duas molas iguais e de0,5 m. A massa ‘m’ de 1 kg faz descer o ponto ‘P’ de umadistancia h=15 cm e a massa das molas e desprezıvel. Cal-cule a constante k das molas.Dados: K=Forca/Deformacao da mola

5. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) Um acrobata de60 kg se equilibra no centro de uma corda bamba de 20mde comprimento. O centro desceu de 30 cm em relacao asextremidades, presas em suportes fixos. Qual e a tracao emcada metade da corda?

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6. (SEARS & ZEMANSKY, 12a Ed) Um carro de 1130kg esta seguro por um cabo leve, sobre uma rampa muitolisa (sem atrito), como indicado na figura. O cabo formaum angulo de 31,0o sobre a superfıcie da rampa, e a rampaergue-se 25,0o acima da horizontal.a) Desenhe um diagrama do corpo livre para o carro.b) Ache a tracao no cabo.c) Com que intensidade a superfıcie da rampa empurra ocarro?

7. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) A viga ‘I’ de aco dodesenho possui um peso de 8,00 kN e esta sendo suspensacom velocidade constante. Qual a tracao em cada cabo assuas extremidades?

8. (HALLIDAY & RESNICK, 8a Ed) A figura abaixomostra um arranjo no quais quatro discos estao suspensos

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por uma corda. A corda mais comprida, do alto, passapor uma polia sem atrito e exerce uma forca de 98N sobrea parede a qual esta presa. As tensoes nas cordas maiscurtas sao T1 = 58, 8N T2 = 49N T3 = 9, 8N . Quais asmassas (a) do disco A, (b) do disco B, (c) do disco C e (d)do disco D?

9. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema repre-sentado na figura, calcule as Tensoes nas cordas A e B acompressao na viga C, desprezando as massas da viga e dascordas.

10. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) O sistema repre-sentado na figura esta em equilıbrio. Determine as tensoesnos fios 1, 2 e 3 e o valor do angulo θ

11. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Se um corpo-padraode 1 kg tem uma aceleracao de 2,00 m/s2 a 20,0o com o

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semieixo positivo, quais sao (a) a componente x e (b) acomponente y da forca resultante a que o corpo esta sub-metido e (c) qual e a forca resultante em termos dos vetoresunitarios? (trabalhando vetores no contexto de forca).

12. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Duas forcas hori-zontais agem sobre um bloco de madeira de 2 kg que podedeslizar sem atrito na bancada de uma cozinha, situada emum plano xy. Uma das forcas e ~F1 = 3ı + 4. Determinea aceleracao do bloco em termos dos vetores unitarios sea outra e: (a) F = −3ı + (−4); (b) F = −3ı + 4; (c)F = 3ı + (−4).(obs.: todas as forcas sao dadas em New-tons) (trabalhando vetores no contexto de forca)

13. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed)Na figura abaixo,tres blocos conectados sao puxados para a direita sobreuma mesa horizontal sem atrito por uma forca de moduloT3=65N. Se m1=12kg, m2=24kg e m3=31kg, calcule (a)o modulo da aceleracao do sistema, (b) a tracao e T1(c) atracao T2

14. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixomostra dois blocos ligados por uma corda (de massa des-prezıvel) que passa por uma polia sem atrito (tambem demassa desprezıvel). O conjunto e conhecido como maquinade Atwood. Um bloco de massa m1=1,3kg; o outro tem

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massa m2=2,8kg. Quais sao (a) o modulo da aceleracaodos blocos e (b) a tracao na corda?

15. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de massam1= 3,70 kg sobre um plano sem atrito inclinado, de anguloθ = 30,0o, esta preso por uma corda de massa desprezıvel,que passa por uma polia de massa e atrito desprezıveis, aum outro bloco de massa m2 = 2,30 kg. Quais sao (a) omodulo da aceleracao de cada bloco, (b) a orientacao daaceleracao do bloco que esta pendurado e (c) a tracao dacorda?

16. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixomostra uma caixa de dinheiro sujo (m1=3 kg) sobre umplano inclinado sem atrito de angulo θ1=30o . A caixa estaligada por uma corda de massa desprezıvel a uma caixa

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de dinheiro lavado (m2=2 kg) situada sobre um plano sematrito de angulo θ2=60o . A polia nao tem atrito e temmassa desprezıvel. Calcule a tracao da corda.

17. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema dafigura, m1 = 20 kg, m2= 40 kg, m3= 60 kg. Desprezandoas massas das polias e dos fios e o atrito, calcule a aceleracaodo sistema e as tensoes nos fios 1, 2, 3.

18. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) A figura abaixomostra tres blocos ligados por cordas que passam por poliassem atrito. O bloco B esta sobre uma mesa sem atrito. Asmassas sao mA= 6,00 kg, mB = 8,00 kg e mC= 10,0 kg.Quando os blocos sao liberados qual a tracao na corda dadireita?

19. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) No desenho, o pesodo bloco sobre a mesa e de 422N e o bloco pendurado tem

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peso de 185N. Ignorando todos os efeitos de atrito e su-pondo que a roldana nao possui massa, determine: (a) aaceleracao dos dois blocos e (b) a tracao no cabo.

20. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma lata de antio-xidantes (m1 = 1,0 kg) sobre um plano inclinado sem atritoesta ligado a uma lata de apresuntado (m2 = 2,0 kg). Apolia tem massa e atrito desprezıveis. Uma forca verticalpara cima de modulo F = 6,0 N atua sobre a lata de apre-suntado, que tem uma aceleracao para baixo de 5,5 m/s2.Determine (a) a tracao da corda e (b) o angulo β

21. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) No sistema dafigura, o bloco 1 tem massa 10 Kg e seu coeficiente de atritoestatico com o plano inclinado e 0,5. Entre que valores

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mınimo e maximo pode variar a massa m bloco 2 para queo sistema permaneca em equilıbrio? Desconsidere o atritoentre o bloco 2 e a parede.

22. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) O bloco B da figuraabaixo pesa 711N. O coeficiente de atrito estatico entre obloco e a mesa e de 0,25; o angulo θ e de 30o. Determineo peso maximo de A para que o sistema permaneca em re-pouso.

23. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Os tres blocos dafigura abaixo sao liberados a partir do repouso. Aceleram

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com um modulo de 0,500 m/s2. O bloco 1 tem massa M, obloco 2 tem massa 2M e o bloco tres tem massa 2M. Qualo coeficiente de atrito cinetico entre o bloco 2 e a mesa?

24. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) O bloco A da figuraabaixo Pesa 102N, e o bloco B pesa 32N. Os coeficientes deatrito entre o bloco A e a rampa sao µe=0,56 e µc=0,25. Oangulo de inclinacao da rampa com a horizontal e de 40o.Suponha que o eixo x e paralelo a rampa, com o sentidopositivo para cima. Em termos de vetores unitarios, quale a aceleracao de A se A esta inicialmente (a) em repouso,(b) subindo a rampa e (c) descendo a rampa?

25. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de 3,5kge empurrado ao longo de um piso horizontal por uma forca

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F de modulo 15N que faz um angulo de 40o com a horizontal(figura abaixo). O coeficiente de atrito cinetico entre obloco e o piso e 0,25. Calcule (a) o modulo da forca deatrito que o piso exerce sobre o bloco e (b) o modulo daaceleracao do bloco.

26. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um bloco de 4,1kg e empurrado sobre o piso pela aplicacao de uma forcahorizontal constante de modulo 40N. A figura abaixo mos-tra a velocidade do bloco v em funcao do tempo t quandoo bloco se desloca sobre o piso ao longo de um eixo x. Aescala vertical do grafico e definida por vs=5 m/s. Qual eo coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e o piso?

27. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) O desenho mostraum caixote de 25,0 kg que inicialmente esta em repouso.

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Observe que a vista mostrada e uma vista da parte de cimado caixote. Duas forcas, F1 e F2 sao aplicadas ao caixote,e ele comeca a se mover. O coeficiente de atrito cineticoentre o caixote e o piso e µc= 0,35. Determine o modulo eo sentido (em relacao ao eixo +x) da aceleracao do caixote.

28. (CUTNELL & JOHNSON, 6a Ed) Um caixote de 225kg repousa sobre uma superfıcie que esta inclinada de umangulo de 20o acima da horizontal. Uma forca horizontal(modulo = 535 N e paralela ao chao, nao ao plano inclinado)e necessaria para dar inıcio ao movimento de descida docaixote no plano inclinado. Qual o coeficiente de atritoestatico entre o caixote e o plano inclinado?

29. (PAUL A. TIPLER, GENE MOSCA, 6a Ed) Doisblocos ligados por um cordao como mostra a figura abaixo,deslizam para baixo sobre um plano inclinado de 10o. Obloco 1 tem a massa m1= 0,80 kg e o bloco 2 tem massam2= 0,25 kg. Ademais, os coeficientes de atrito cineticoentre os blocos e o plano sao 0,30, para o bloco 1 e 0,20para o bloco 2. Encontre (a) a magnitude da aceleracaodos blocos e (b) a tracao no cordao.

30. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um caixote de 68kg e arrastado sobre um piso, puxado por uma corda incli-nada 15o acima da horizontal. (a) Se o coeficiente de atrito

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estatico e 0,50, qual e o valor mınimo do modulo da forcapara que o caixote comece a se mover? (b) se µc = 0,35,qual e o modulo da aceleracao do caixote?

31. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Suponha que o co-eficiente de atrito estatico entre a estrada e os pneus deum carro e 0,60 e nao ha sustentacao negativa. Que velo-cidade deixa o carro na iminencia de derrapar quando fazuma curva nao compensada com 30,5 m de raio?

32. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Qual o menor raiode uma curva sem compensacao (plana) que permite umciclista a 29 km/h faca a curva sem derrapar se o coeficientede atrito estatico* entre os pneus e a pista e de 0,32?

33. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Durante uma cor-rida de trenos nas Olimpıadas de Inverno, a equipe jamai-cana fez uma curva de 7,6m de raio com uma velocidade de96,6 km/h. Qual foi a sua aceleracao em unidades de g?

34. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Na figura abaixo,um carro passa com velocidade constante por uma elevacaocircular e por uma depressao circular de mesmo raio. Noalto da elevacao a forca exercida sobre o motorista peloassento do carro e zero. A massa do motorista e de 70 kg.Qual e a forca normal exercida pelo motorista no bancoquando ele passa pelo fundo vale?

35. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um aviao esta vo-ando em uma circunferencia horizontal com uma veloci-dade de 480 km/h(figura abaixo). Se as asas estao inclina-

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das formando 40o com a horizontal, qual e o raio da cir-cunferencia? Suponha que a forca necessaria para manteresse aviao na trajetoria resulte inteiramente de uma “sus-tentacao aerodinamica” perpendicular a superfıcie das asas.

36. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Um disco de metalde massa m=1,5 kg descreve uma circunferencia de raio r= 20 cm sobre uma mesa sem atrito, enquanto permaneceligado a um cilindro de massa M=2,5 kg, pendurado porum fio que passa no centro da mesa (figura abaixo). Quevelocidade do disco mantem o cilindro em repouso?

37. HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) As curvas das ro-dovias costumam ser compensadas (inclinadas) para evitarque os carros derrapem. Quando a estrada esta seca a forcade atrito entre os pneus e o piso pode ser suficiente para evi-tar derrapagens. Quando a pista esta molhada o coeficientede atrito diminui e a compensacao se torna essencial. A fi-gura abaixo mostra um carro que se move com velocidadeescalar constante de 20 m/s em uma pista circular com-pensada de raio 190 m. Se a forca de atrito e desprezıvel,

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qual o menor angulo de inclinacao para o qual o carro naoderrapa?

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38. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma curva circu-lar compensada de uma rodovia foi planejada para umavelocidade de 60 km/h. O raio da curva e 200 m. Emum dia chuvoso, a velocidade dos carros diminui para 40km/h. Qual e o menor coeficiente de atrito entre os pneuse a estrada para que os carros facam a curva sem derrapa?

39. (HALLIDAY & RESNICK, 9a Ed) Uma bola de 1,34kg e ligada por meio de dois fios de massa desprezıvel, cadaum com comprimento L = 1,70 m, a uma haste verticalgiratoria. Os fios estao amarrados a haste a uma distanciad = 1,70 m um do outro e estao esticados. A tracao do fiode cima e 35 N. determine (a) a tracao do fio de baixo; (b)o modulo da forca resultante a que esta sujeita a bola; (c) avelocidade escalar da bola; (d) a direcao da forca resultante.

40. (MOYSES NUSSENZVEIG, 4a Ed) O coeficiente deatrito estatico entre as roupas de uma pessoa e a paredecilındrica de uma centrıfuga de parque de diversoes de 2 mde raio e 0,5. Qual e a velocidade mınima da centrifugapara que a pessoa permaneca colada a parede, suspensaacima do chao?

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GABARITO

1o QuestaoR: 241N2o QuestaoR: ~Te = 918, 57N e ~Td = 845, 35N3o QuestaoR: ~T1 = ~P , ~T2 = 0, 577~P e ~T2 = 1, 155~P4o QuestaoR: k = 775N/m5o QuestaoR: ~T = 9804N6o QuestaoR: ~T = 5459, 93N e ~N = 7224, 38N7o QuestaoR: ~T = 4257N8o QuestaoR: a) 4,0 kg b) 1,0 kg c) 4,0 kg d) 1,0 kg9o QuestaoR: ~Ta = 980N , ~Tb = 2677N e ~Tc = 3279N .10o QuestaoR: ~T1 = 1960N , ~T2 = 1697, 4N , ~T3 = 3394, 8N e θ = 60o

11o QuestaoR: a) 1,88 N, b) 0,684 N e c) (1, 88N )ı + (0, 684N )12o QuestaoR: a) 0m/s2 , b) (4, 0m/s2) e c) (3m/s2)ı13o QuestaoR: a) 0, 97m/s2, b) ~T1 = 11, 6N e c) ~T2 = 34, 9N14o QuestaoR: a) 3, 59m/s2; b) ~T = 17, 4N15o QuestaoR: a) 0, 735m/s2 e c) ~T = 20, 8N16o QuestaoR: ~T = 15, 8N17o QuestaoR: a) 1, 79m/s2 b) ~T1 = 134N c) ~T2 = 402N d) ~T3 = 402N

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18o QuestaoR: a) ~T = 81, 67N19o QuestaoR: a) 2, 99m/s2 e b) ~T = 129N20o QuestaoR: a) ~T = 2, 6N e β = 17, 21o

21o QuestaoR: a) 3, 54kg < m < 10, 6kg.22o QuestaoR: ~P = 102, 62N23o QuestaoR: 0,3724o QuestaoR: a) 0m/s2, b) −3, 88m/s2 e c) –1, 03m/s2

25o QuestaoR: a) 11 N; b) 0, 14m/s2

26o QuestaoR: a) 0,5427o QuestaoR: a) 1, 68m/s2

28o QuestaoR: 0,66529o QuestaoR: a) 0, 96m/s2 e b) ~T = 0, 18N30o QuestaoR: a) 304,2 N e b) 1, 29m/s2

31o QuestaoR: 13 m/s32o QuestaoR: 20,69 m33o QuestaoR: 9, 7~g34o QuestaoR: 1372 N35o Questao

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R: 2, 4x103m36o QuestaoR: 1,81 m/s37o QuestaoR: 12o

38o QuestaoR: 0,06339o QuestaoR: a) 8,74 N, b) 37,9 N e c) 6,45 m/s40o QuestaoR: 6,26 m/s

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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• DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J.; BOAS, N. V. Topicos deFısica 1: MECANICA. 18a Ed. Sao Paulo: Saraiva, 2001.

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