522_Rumo ao ITA - Termodinâmica

7/31/2019 522_Rumo ao ITA - Termodinmica

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Projeto Rumo ao ITA Pgina 1

Este material visa apresentar todo o assunto sobre termodinmica da prova doITA. Recomendamos que o leitor tenha uma noo sobre a teoria de gases, cujomaterial tambm se encontra no site do Rumo ao ITA, pois esse material ir partirde alguns conhecimentos bsicos de transformaes gasosas. Bom estudo!

A energia interna de um gs a soma de todas as suas energias cinticas

com as energias potenciais de uma amostra. Essa energia potencial em grandeparte devido energia potencial eltrica das ligaes qumicas entre as molculas etambm a energia dos ncleos atmicos, alm de existir tambm a energia advindada frmula de Einstein, . Aqui, vale ressaltar que essa amostra pode serslida, lquida, gasosa ou uma mistura de fases! Porm, daremos nfase emsistemas gasosos. Como essa energia tambm medida atravs de um referencial(pois o potencial eltrico, por exemplo, depende do referencial), no trabalhamoscom o valor absoluto dela e sim com suas variaes.

Para o modelo de gs ideal, sabe-se que a interao entre molculas nula,portanto, nesse tipo de gs, a energia interna devido soma da energia cinticade cada molcula. Essa energia cintica no somente a energia cintica detranslao, sendo tambm constituda de energia de rotao e vibrao dasmolculas.

Tomemos como o exemplo um gs monoatmico, como o hlio, He. Sesupormos a idealidade desse gs, a energia interna desse gs to somente a somadas energias cinticas de translao, pois a rotao do gs monoatmico dotadade bem pouca energia, pois, segundo a frmula do momento de inrcia:

Rotao Vibrao

Termodinmica Gabriel Jos Guimares Barbosa


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O I (momento de inrcia) bem pequeno para um tomo que gira em tornode um eixo que passa pelo seu centro. Analogamente, no h tambm ummovimento de vibrao, pois ele ocorre em ligaes qumicas, ou seja, emmolculas (que possuem mais de um tomo).Agora considere um tomo diatmico, como o oxignio, O2. Essa molcula,alm de apresentar o movimento de translao, ela apresenta tambm omovimento de rotao da molcula em torno de um eixo que passa pelo seu demassa. Fora isso, h o movimento vibracional devido ligao qumica existenteentre os tomos dessa molcula, o que aumenta ainda mais a energia interna damolcula de oxignio.

A energia interna um conceito importante no desenvolver deste material,como veremos no prximo tpico, que falar sobre a 1 Lei da Termodinmica.Para fins de smbolo, a energia interna ser representada pela letra U.

A 1 Lei da Termodinmica nada mais do que a aplicao do princpio daconservao da energia. Basicamente, ela diz que o calor envolvido numatransformao qualquer de um sistema ser igual variao da energia interna dedo sistema e o trabalho envolvido nesse sistema. Matematicamente, escrevemos:

Aqui, o sistema pode ser qualquer um, desde que possamos definir o queest contido no sistema e o que est fora do sistema, no qual este tambm

chamamos de ambiente. Vamos adotar a seguinte conveno de sinais:

iste iste Esse trabalho pode vir das mais variadas formas: pode ser um trabalho

devido a um potencial eltrico, magntico ou mecnico. Como dito anteriormente,nosso foco ser os gases, em que o trabalho mais comum o trabalho mecnico, do

tipo de expanso/compresso do sistema gasoso.

Neste tpico, vamos discutir qualitativa e quantitativamente o trabalho deexpanso ou compresso de um sistema gasoso. Considere a figura abaixo, onde apresso somente a atmosfrica.


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Observe que o mbolo ir subir uma altura . Sabemos que:

Assim:

P( h) Mas (variao do volume). Assim:

Observe que se: , o sistema ir realizar trabalho sobre o ambiente, ou seja, ir se

expandir, portanto, o sistema ir sofrer trabalho do meio ambiente, ou seja, ir se

comprimir, portanto, .Graficamente, em um grfico de presso versus volume, o trabalho obtido

pela rea sob o grfico! A explicao disso vem do seguinte. Imagine que variamosuma pequena quantidade de volume, que chamamos de . O trabalho realizado presso P(aqui essa presso no necessariamente constante!) dessa variao devolume dada por:

Se fizermos o tender a zero, teremos um trabalho para uma variao

infinitesimal de volume, ou seja, uma variao pequena de volume, cujarepresentao a seguinte:

i Onde (tambm chamado de infinitesimal) o trabalho correspondente

dessa pequena variao de volume. Se somarmos essas pequenas de variaes devolume at termos a variao total de volume, obteremos o trabalho total. Logo:


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i Interpretando essa frmula graficamente, ela a soma da rea sob o grfico.

O trabalho numericamente igual rea sob o grfico

: 1) A frmula da acima com o somatrio , na verdade uma integral,representada da seguinte forma:

A interpretao a mesma. O trabalho total a rea sob o grfico.2) Vale ressaltar que se o gs est indo de um volume Vi maior que o volume Vf ogs sofrendo trabalho do meio, ou seja, o trabalho ser

(ITA -2006) Um moI de um gs ideal ocupa um volume inicial Vo temperatura To e presso Po, sofrendo a seguir uma expanso reversvel para um

volume V1. Indique a relao entre o trabalho que realizado por:(i) W(i), num processo em que a presso constante.(ii) W(ii), num processo em que a temperatura constante.(iii) W(iii), num processo adiabtico.


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Do exposto na teoria acima, vimos que o trabalho maior quantomaior for rea sob o grfico de presso por temperatura. Observe que a alternativaD), a relao vlida, pois a rea sob o grfico de (i) > rea sob o grfico de (ii) >rea sob o grfico de ( iii) W(i) >W(ii) > W(iii).Na alternativa C, todos os trabalhos so negativos, pois se tratam decompresso. A relao indicada vlida para o dos trabalhos e no para otrabalho em si, pois W(i) o mais negativo, portanto o menor.

Nesta seo, vamos abordar um conceito importante na termodinmica, ode funo de estado. Imagine um gs monoatmico a uma temperatura T. Comofora deduzido no material de gases, a energia cintica desse gs :

Observa-se que o gs monoatmico s possui o movimento de translao

(para o nosso uso) e como estamos tratando de um gs ideal, ento a energiainterna desse gs dada somente por essa energia cintica. Logo, obtemos assim:


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Observe que a energia interna da temperatura para esse

gs. Logo, se apenas soubermos a temperatura em que um gs se encontra, entoser possvel determinar sua energia interna.Observao: A energia interna que descrevemos acima pode ser escrita de

outra forma, em funo da presso e do volume. Seja um gs monoatmico, cujaenergia interna dada por:

Da equao de Clapeyron, tiramos que PV = nRT. Da:

Em geral, funes que descrevem o estado em que se encontra o gs sodenominadas funes de estado. A temperatura, a presso e volume so funes deestado, pois atravs delas sabemos como est o sistema. Essas funesindependem do modo como o estado foi alcanado, e, consequentemente, obtemosuma propriedade importante das funes de estado.

A variao de uma funo de estado depende apenas do seu estado final e do seu estado inicial

Observe a energia interna do gs monoatmico acima funo de estado.Ela s depende da temperatura (que uma funo de estado) e independe de comose chegou essa temperatura. Se fizermos qualquer transformao do sistema evoltarmos temperatura T, como a dita acima, percebe-se que a variao daenergia interna nula.

(ITA - 2003) A figura mostra um recipiente, com mbolo, contendo umvolume inicial Vi de gs ideal, inicialmente sob uma presso Pi igual pressoatmosfrica, Pat . Uma mola no deformada fixada no mbolo e num anteparo fixo.Em seguida, de algum modo fornecida ao gs uma certa quantidade de calor Q.Sabendo que a energia interna do gs U = (3/2)PV, a constante da mola k e area da seo transversal do recipiente A, determine a variao do comprimentoda mola em funo dos parmetros intervenientes. Despreze os atritos e considereo mbolo sem massa, bem como sendo adiabticas as paredes que confinam o gs.


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Primeiramente, vemos que a presso inicial dada por Pat . Apsreceber um calor Q, suponha que o sistema tenha deslocado x para cima. Ento avariao de volume dada por . A presso que estar sobre o mbolo dada por:

( ) De posse dessas informaes, calculemos a variao da energia interna,utilizando a frmula obtida na seo acima:

( ) () (

O trabalho realizado soma do trabalho da mola mais o trabalho daatmosfera:

( De posse de (ii) e (iii), vamos utilizar a 1Lei da Termodinmica:


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Observe que temos uma equao do segundo grau em x, com duas razes.Queremos apenas a positiva, pois x ir deslocar para cima, ento dever ser

positivo. Logo:

Esse valor positivo pois o delta positivo e maior que o valor , porqu?

Nesta seo, vamos apenas utilizar o resultado do teorema de equipartioda energia para podermos calcular a energia de gases poliatmicos. Vamosenunci-lo abaixo:

Cada grau de liberdade de um sistema contribui para energia total de um sistema com k B T/2 , onde k B a constante de Botzmann.

Entenda grau de liberdade como sendo uma varivel necessria paradescrever o sistema, sendo independe um grau de liberdade do outro. Para nossointeresse, esses graus so devido translao, rotao e vibrao.

Vamos explic-lo por meio de um exemplo. Considere o gs monoatmico,cuja energia interna j calculamos. Fixando um eixo xyz, observe que o gs podertransladar livremente nas trs direes, sem dependncia dessas direes. Logo, ogs possui 3 graus de liberdade pela translao. A rotao pequena (em termosde energia) em tomos monoatmicos, pois ele possui um baixo momento deinrcia, logo ela pode ser desprezada como grau de liberdade. Logo, temos que aenergia dessa molcula, pelo princpio de equipartio de energia :

Mas o gs possui N molculas, ou seja, temos nNo molculas, onde No onmero de Avogadro e n o nmero de mols de gases do sistema. Assim, a energiatotal (interna) dada por:


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( )() ( ) Vale lembrar que a constante de Boltzmann R/No, como foi usada acima.

Observe que esse resultado coerente com o que foi desenvolvido nassees anteriores. Vamos utilizar esse princpio para calcular a energia interna degases diatmicos tambm.

Observe a figura abaixo:

Graus de liberdade de uma molcula diatmica

Primeiramente, contemos o nmero de graus de liberdade. Observe queainda temos 3 graus na translao (veja a figura em a). A novidade em relao aosgases monoatmicos a rotao e a vibrao. Pela figura b), observa-se os trspossveis tipos de rotao da molcula, no eixo x, no eixo y ou no eixo z. Repare queem relao ao eixo y, essa rotao bem pequena em termos de energia, secomparada com as outras do eixo x e do eixo z. Assim, ela pode ser desprezada.Portanto, temos 2 graus de liberdade na rotao. Para a vibrao, observe a figurac). O molcula diatmica possui esse movimento de vibrao em grande


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intensidade apenas em altas temperaturas, porm, em baixas temperaturas (comoa do ambiente), ela desprezvel. Assim, podemos concluir que o tomo diatmicopossui 5 graus de liberdade, logo, cada molcula possui energia de:

Assim, sua energia interna dada por:

Para efeitos dos problemas a serem resolvidos, em geral consideramos atemperatura prxima ambiente ou no muito alta, de tal forma que possamosdesprezar a vibrao de gases diatmicos, como o H2, O2 e N2.

Um raciocnio anlogo pode ser feito para uma molcula triatmica.Observa-se 3 graus de liberdade para translao, 3 graus para rotao (agora, oeixo y no mais desprezvel). Quanto vibrao precisa-se de uma anlise maiscriteriosa, mas a molcula triatmica tem, no mnimo, 6 graus de liberdade.

(ITA - 2010) Uma parte de um cilindro est preenchida com um mol deum gs ideal monoatmico a uma presso Po e temperatura To. Um mbolo demassa desprezvel separa o gs da outra seo do cilindro, na qual h vcuo e umamola em seu comprimento natural presa ao mbolo e parede oposta do cilindro,

como mostra a figura (a). O sistema est termicamente isolado e o mbolo,inicialmente fixo, ento solto, deslocando-se vagarosamente at passar pelaposio de equilbrio, em que a sua acelerao nula e o volume ocupado pelo gs o dobro do original, conforme mostra a figura (b). Desprezando os atritos,determine a temperatura do gs na posio de equilbrio em funo da suatemperatura inicial.

Como o enunciado disse, o gs monoatmico, portanto, a sua energiainterna dada por:


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Interpretando o problema, vemos que a variao da energia interna do gs responsvel pela energia que foi armazenada na mola, aplicando o princpio deconservao da energia. Escrevendo a conservao da energia, temos que:

( ) Seja A a rea do mbolo e suponha que a mola tenha se deslocado x. Logo, a

variao de volume dada por:

( )

Pela equao de Clapeyron no equilbrio, quando o volume do gs 2Vo,temos que:

() Porm, o volume dobrou, assim temos que ( ).Substituindo (iii) e (ii) em (iv), eliminamos Vo:

( ) E pela relao de fora e rea, obtemos: ( ) Aplicando a equao (vi) em (v), obtemos

() Aplicando a frmula da energia interna e (vii) em (i):


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Nesta seo, semelhante calorimetria, vamos definir o que vem a sercapacidade calorfica molar de um gs. A capacidade calorfica molar de um gs definida como sendo a quantidade de calor necessria para variar em 1 K atemperatura de um mol de gs, ou seja, em smbolos:

Onde n o nmero de mols do gs.Observe que, para um gs, dependendo da transformao, essa capacidade

calorfica molar pode ter valores bem diferentes! Como exemplo, considere odiagrama abaixo de um gs monoatmico. Observe que temos uma transformao

isobrica e outra isovolumtrica. Porm, como a energia interna uma funo deestado e depende apenas da temperatura, ento para ambas as transformaes, aenergia interna a mesma. Vamos calcular a capacidade calorfica de ambas astransformaes. Para a isovolumtrica, pela primeira lei da termodinmica, temosque:

= 0, pois no h variao de volume do sistema. Conforme visto na seo

anterior, vimos que a energia interna de gases monoatmicos dada por:

Duas transformao de mesma variao de energia interna

Substituindo na frmula da capacidade calorfica molar (Chamaremos essacapacidade calorfica ser representada por CV, capacidade calorfica volumeconstante).


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Agora consideremos a transformao isobrica. O trabalho realizado pelogs dado por:

Utilizando a equao de Clapeyron, PV = nRT, temos que, para essa

transformao, uma vez que a presso constante:

() ( )

Agora, aplicando a 1 Lei da Termodinmica, obtemos que:

Assim, obtemos que a capacidade calorfica molar (aqui, essa capacidade

ser chamada de Cp, capacidade calorfica molar presso constante) :

Percebe-se que para esquentar um gs presso constate mais difcil, poisa capacidade calorfica molar presso constante maior, necessitando de umaquantidade maior de calor.

Na prxima seo, vamos demonstrar uma relao entre o Cv e Cp.

Considere a figura que representa o grfico de uma transformao isobricae outra transformao isovolumtrica com uma mesma energia interna. Aplicandoa 1 Lei da Termodinmica s duas, obtemos:

Onde j escrevemos o calor absorvido em funo das respectivas

capacidades calorficas molares. Subtraindo ambas as equaes e usando que, como visto na seo anterior, temos que:


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Uma forma alternativa :

Para gases monoatmicos, ela vale:

E para os diatmicos (em temperaturas no to altas):

Como a capacidade calorfica volume constante menor que no gsmonoatmicos, observando a forma alternativa, conclumos que o maiorcoeficiente de Poisson no gs monoatmico. Esse coeficiente tem umaimportncia muito grande no estudo da transformao adiabtica, que ser vistanuma seo posterior.

Nas sees anteriores, estvamos discutindo os principais conceitos para sedefinir um sistema termodinamicamente. Agora vamos partir a algumas aplicaesnas principais transformaes gasosas.

Nessa transformao, no h variao de volume, e, consequentemente, noh realizao de trabalho. Aplicando a 1 Lei da Termodinmica, obtemos:

Como vimos na seo de capacidade calorfica, a capacidade calorfica dessatransformao Cv. Logo, temos que:

Nessa transformao, que ocorre presso constante, podemos calcular otrabalho, que :


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Sabemos que a energia interna dada por:

( )

Aplicando o que foi visto na seo de capacidade calorfica molar, o calor dado por:

( ) Observe que aplicando a 1 Lei da Termodinmica, utilizando (i), (ii) e (iii),

camos na relao de Mayer!

Essa transformao realizada mantendo a temperatura constante. Como aenergia interna uma funo exclusiva da temperatura, a sua variao nula nessatransformao. Aplicando a 1 Lei da Termodinmica:

Ou seja, se calcularmos o trabalho, teremos o calor trocado. Porm, o

trabalho a rea sob um hiprbole. Para calcul-la, precisamos de conhecer dasferramentas do Clculo. Veja no Apndice 1 para ver como se chega no resultadoabaixo.

O trabalho realizado numa transformao isotrmica de volume inicial Vo efinal Vf :

Logo o calor dado por (utilizando (i)):

Essa transformao ainda no chegou a ser comentada ainda. Ela s foi sercomentada depois de estudarmos termodinmica para termos mais caractersticasdessa transformao para se discutir, como veremos agora.

A transformao realizada sem que haja troca de calor, ou seja:


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Aplicando a 1 Lei da Termodinmica, obtemos que:

Na prtica, essa transformao quase nunca ocorre, pois sempre possvelter troca de calor, por mais que se tenha um sistema bem isoladotermodinamicamente. Porm, h transformaes que pode ser aproximadas poruma transformao adiabtica.

A transformao adiabtica tem uma propriedade, que a seguinte:

Onde o coeficiente de Poisson do gs em questo. Utilizando a equaode Clapeyron (PV = nRT), podemos obter relaes equivalentes. Substituindo P daequao por nRT/V:

Substituindo o volume na equao inicial por nRT/P:

() Montando um grfico de presso por volume, percebe-se que a curva da

transformao adiabtica mais inclinada que a da transformao isotrmica.Observe a figura abaixo para confirmar isso:

Comparao entre isotrmica e adiabtica

O trabalho de uma transformao adiabtica que vai de um ponto depresso Po e volume Vo e vai para um ponto de presso Pf e volume Vf :


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Utilizando Clapeyron nos pontos iniciais e finais, obtemos:

( ) E, observe que:

( )

( )Aplicando (i) e (ii) na frmula do trabalho, obtemos:

A energia interna de uma transformao adiabtica agora pode sercalculada facilmente. Observe que das duas equaes, obtemos:

Observe que a segunda frmula da energia interna est consiste com o que

vimos na seo 8, mostrando que a termodinmica uma teoria bem consistente!

Alguns resultados aqui no foram demonstrados, pois precisam de usarclculo, que no o objetivo deste material. O foco apenas assuntos relevantespara o vestibular do ITA, e clculo um assunto fora do edital do concurso! OApndice 2 ir demonstrar as partes omitidas, mas no perca muito tempo lendoele.

(ITA - 2008) Certa quantidade de oxignio (considerado aqui como gsideal) ocupa um volume vi a uma temperatura Ti e presso pi

. A seguir, toda essaquantidade comprimida, por meio de um processo adiabtico e quase esttico,tendo reduzido o seu volume para vf = v i / 2. Indique o valor do trabalho realizadosobre esse gs.


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a) ( )( )b) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) Esse exerccio uma aplicao dos assuntos discutidos na

transformao adiabtica. Observe que o oxignio um gs diatmico, logo o seucoeficiente de Poisson dada por . Para acharmos a presso final,utilizemos a propriedade da transformao adiabtica:

Aplicando a frmula do trabalho, obtemos que:

( ) ( )( ) Observe que esse trabalho o que o gs sofreu, portanto, o trabalho

realizado o de sinal trocado. Logo, a resposta a letra c)

Essa uma transformao tambm que no foi vista no material de gases,

por motivos semelhantes aos da transformao adiabtica.A transformao cclica ocorre quando partimos de um ponto e retornamos

ao mesmo estado inicial. Porm, sabemos que a energia interna funo de estado,logo a variao da energia interna em processos cclicos nula! Aplicando a 1 Leida Termodinmica no processo, temos que:

Ou seja, todo o calor convertido em trabalho. Como veremos em seesposteriores, isso impossvel em mquinas trmicas. como se fosse possvelconstruir mquinas ideais.

O grfico abaixo um exemplo de uma transformao cclica.


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Transformao cclica e o trabalho dessa transformao

O trabalho obtido pela rea contida no ciclo fechado. A figura acimamostra claramente por qual motivo o trabalho a parte interna da figura:primeiramente, somamos o trabalho de expanso total, que positivo. Isso estrepresentada pela figura ao meio. Depois, somamos o trabalho de compresso, que negativo ( representado pela ltima figura, esquerda). Depois, somamos osdois trabalho e obtemos o trabalho total. Observe que se um ciclo est no sentidohorrio, o trabalho total ser positivo (dispositivo chamado de mquina trmica) e,caso contrrio, ele ter trabalho total negativo (dispositivo chamado derefrigerador trmico, como a geladeira).

Vale ressaltar que o trabalho ir depender de como a transformao cclicair ocorrer, em outras palavras, o trabalho depende do caminho em que conduzido o processo cclico.

(ITA - 2009) Trs processos compem o ciclo termodinmico ABCAmostrado no diagrama P V da figura. O processo AB ocorre a temperaturaconstante. O processo BC ocorre a volume constante com decrscimo de 40 J deenergia interna e, no processo CA, adiabtico, um trabalho de 40 J efetuado sobre

o sistema. Sabendo-se tambm que em um ciclo completo o trabalho totalrealizado pelo sistema de 30 J, calcule a quantidade de calor trocado durante oprocesso AB.

Como o prprio enunciado disse e a figura indica, o processo emquesto cclico. Logo, a soma das variaes da energia interna nula:


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Vamos dar um dos enunciados da 2 Lei, pois admite vrios enunciadosdiferentes, porm equivalentes. Esses outros enunciados no sero vistos por fugirdo nosso foco de estudo.

impossvel a construo de qualquer dispositivo que, operando ciclicamente, tenha como nico efeito retirar calor de um sistema e convert-lo integralmente em energia mecnica (trabalho).

A seguir, vamos definir o que uma mquina trmica e logo aps vamosdescrever um ciclo muito importante, o Ciclo de Carnot, que nos servir como basepara discutir o rendimento das mquinas trmicas.

Mquina trmica qualquer dispositivo que transforma o calor em que

recebe em trabalho. Ela tambm realiza transformaes cclicas que ocorrem entreduas temperaturas bem determinadas e que se mantm constantes. A temperaturamais alta chamamos de fonte quente e a outra temperatura chamamos de fontefria. Um esquema que facilita bastante a nossa interpretao da mquina trmica o que est representado na figura abaixo:

Mquina trmica

Vamos descrever o que significa a figura. Imagine uma fonte quente de

temperatura T1. A mquina ir receber uma quantidade de calor Q1 dessa fonte.Como vimos na 2 Lei da Termodinmica, essa mquina nunca ser capaz deconverter integralmente esse calor em trabalho. Na verdade, essa mquina irperder um pouco desse calor para a fonte fria, que est a uma temperatura T2.Logo, podemos escrever esse calor liberado para a fonte fria, que representadopor Q2 do seguinte modo:

Perceba que se a mquina trmica forreversvel , podemos invert-la, ou

seja, podemos dizer que ela retira calor da fonte fria, realizando um trabalho para


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que isso acontea e entregando calor fonte quente. Os dispositivos que retiramcalor da fonte fria por meio de um trabalho denominado refrigerador trmico oubomba de calor.

Vale ressaltar que a mquina trmica ou o refrigerador podem ou no serreversveis!

O ciclo de Carnot foi elaborado com intuito de prever algumas restriesquanto ao rendimento de uma mquina trmica. Esse ciclo consiste em 4transformaes e tambm um .

Mas antes, veremos o que o rendimento de uma mquina trmica. Orendimento de uma mquina trmica definido como sendo:

Considerando um refrigerador trmico, definimos sua eficincia como

sendo a seguinte relao:

Onde o trabalho realizado no ciclo e Q1 o calor advindo da fonte quente.

e

(ITA - 82)Certo gs obrigado a percorrer o ciclo da figura onde

P representa a presso e V o volume. Sabe-se que, ao percorr-lo, o gs absorveuma quantidade de calor Q1. Podemos afirmar que o rendimento (razo entre otrabalho fornecido e a energia absorvida) do ciclo dada por:


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Comea-se a partir do ponto 1. As transformaes que ocorrem nesse cicloso:

Vamos fazer uma anlise criteriosa dessas transformao e procuremoscalcular o seu rendimento:

1) Para as isotrmicas:

( )( )

2) Para as adiabticas:

( )( ) 3) Multiplicando os lados esquerdos de (i), (ii), (iii), (iv) e os direitos:

( ) ( )

( ) 4) Vamos agora calcular o rendimento dessa mquina. Em transformaes

gasosas em mquinas trmicas, o calor advindo da fonte quente so equivalentess transformaes em que calor adicionado calor ao sistema. No nosso caso, issoocorre somente na primeira isotrmica ( ). O calor nessa isotrmica dadapor:

( ) Analogamente, o calor vindo da fonte fria devido tambm a uma outra

isotrmica, logo:

( )


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Acoplamento de duas mquinas. O trabalho aqui representado por W e a maior temperatura representada por T 1 (da fonte quente)

Suponha, por absurdo, que a mquina B realize um trabalho maior que Aentre essas fontes, que o mesmo que supor que o rendimento de B maior que ode A. A mquina B recebe da fonte T1 um calor Q1 e realiza um trabalho W', assimsendo, essa fonte ir passar uma quantidade de calor Q1 - W' para a fonte T2, que a fonte fria. Como nossa hiptese foi a de que W' > W, ento podemos pegar umaparte do trabalho de B, de mesma magnitude que o trabalho de A. Esse trabalhoser usada para fazer com que A funcione no seu sentido inverso. Isso possvel,pois a mquina A uma mquina reversvel!! Ao inverter a mquina A, vemos queela absorve uma quantidade de calor Q1 - W da fonte T2 e retorna uma quantidadede calor Q1 fonte T1. Observe que temos uma quantidade W'-W de trabalho tilque sobrou e que pode ser usada como trabalho til desse sistema de mquinas.

Observe que a mquina A no sentido original recebe Q1 da fonte T1 edevolve Q1 - W fonte T2. Logo, no seu sentido inverso, ela deve receber Q1 - W dafonte fria e receber um trabalho W, devolvendo o calor Q1 fonte quente!

Ao fazermos com que uma mquina funcione a partir de uma energia cedidapor outra temos o acoplamento. Vamos analisar o que esse acoplamento acima fez.Observe que a fonte quente T1 teve o seu calor devolvido pela mquina A.Enquanto isso, realizamos um trabalho til W'-W, que justamente o calorretirado da fonte T2.Observe que esse calor o retirado, pois:

( )

Mas, de acordo com a 2 Lei da Termodinmica, no se pode converterintegralmente o calor em trabalho, logo no possvel que o trabalho W' > W.Portanto, o trabalho de qualquer mquina sempre menor do que o de umamquina reversvel e como a mesma quantidade de calor cedida as duasmquinas, obtemos que:

Todas as mquinas reversveis possuem o mesmo rendimento


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Essa parte feita de modo anlogo ao anterior, basta considerar B comouma mquina reversvel. Procedendo igual ao modo anterior, obteremos:

Agora invertendo a mquina B ao invs da mquina A, obteremos:

Das duas desigualdades, tiramos que:

1) Observe que essas demonstraes no falam a respeito do que feito a

mquina, ou seja, basta que ela seja reversvel! O "combustvel" da mquinapoderia ser gua, gasolina, gs, qualquer um!

2) Como sabemos que as mquinas reversveis so as que mais rendem e elaspossuem o mesmo rendimento, ento basta calcular o rendimento de uma mquinareversvel e teremos o rendimento de todas as outras. Mas na seo do Ciclo deCarnot vimos que esse ciclo reversvel e sabemos o seu rendimento. Logo orendimento de qualquer mquina reversvel que trabalha nas fontes :

Em termodinmica, a temperatura usada sempre o !

(ITA - 2002) Uma mquina trmica reversvel opera entre doisreservatrios trmicos de temperaturas 100 C e 127C, respectivamente, gerandogases aquecidos para acionar uma turbina. A eficincia dessa mquina melhorrepresentada pora) 68% b) 6,8 % c) 0,68%d) 21% e) 2,1 %

Como vimos acima, o rendimento de qualquer mquina reversvel omesmo e, portanto, basta usar o rendimento do ciclo de Carnot para as fontesacima:


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Kelvin props uma escala de temperatura que foi baseada na mquina deCarnot. Segundo o resultado (II) na seo do ciclo de Carnot, temos que:

O ponto triplo da gua foi tomado como sendo uma das fontes, cujatemperatura . Assim, para calcularmos a que temperatura que umafonte se encontra, basta encontrar os calores Q e QT e a temperatura ser:

Essa escala no depende de nenhuma propriedade das substnciatermomtrica, pois ela baseada na troca de calor entre duas fontes qualquer, noimportando o tipo de substncia que cada fonte utiliza (por exemplo, a escala emgraus Celsius depende do ponto de ebulio da gua).

Pelo que foi exposto no teorema de Carnot, obteve-se a seguinte relao:

Observe que para um ciclo reversvel, a quantidade que o sistemarecebe a mesma quantidade que o sistema devolve para o ambiente. O nome quedamos a essa relao a de entropia. Representamos sua variao por:

Que nos diz que a variao de entropia em um sistema que se encontra auma temperatura T(constante!) e recebe uma quantidade de calor Q de formareversvel dada como acima. Por exemplo, na mudana de fase de umasubstncia, a entropia dada tambm pela frmula acima, onde Q o calorrecebido para a mudana se realizar e T a temperatura dessa mudana. Essafrmula s em sistemas em que a temperatura se mantm constante ou emtransformaes que a quantidade de calor nula, no caso, transformaesadiabticas.


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(ITA - 2010) Uma mquina trmica opera segundo o ciclo JKLMJ

mostrado no diagrama T-S da figura.

Pode-se afirmar que

a) o processo JK corresponde a uma compresso isotrmica.b) o trabalho realizado pela mquina em um ciclo ( )( ) c) o rendimento da mquina dado por .d) durante o processo LM uma quantidade de calor

( ) absorvida

pelo sistema.e) outra mquina trmica que opere entre T2 e T1 poderia eventualmente possuirum rendimento maior que a desta.

Conforme visto em teoria, o grfico de um ciclo de Carnot.a) Como visto em teoria, JK uma expanso isotrmica, pois, numa expansoisotrmica, a entropia aumenta, pois . Logo falsa.b) Correta, pois est de acordo com o que foi descrito na teoria.c) Errada! Pois o rendimento ia ser negativo! O certo seria

d) O sistema na verdade perde essa quantidade de calor para a vizinhana, logo errada!e) Como a figura de um ciclo de Carnot, ento nenhuma outra mquina poderiater rendimento maior que esta entre essas temperaturas!

A entropia pode ser entendida como uma medida de desordem do sistema.Quando a sua variao positiva, isso indica que o sistema est aumentando a suadesordem. Caso sua variao seja negativa, ela est diminuindo a desordem dosistema.

Vamos estabelecer um ponto de referncia para a entropia. Para isso, segueo enunciado da 3 Lei da Termodinmica:


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A entropia de um cristal perfeito a zero kelvin zero.

Com isso, agora podemos definir a entropia como sendo a diferena emrelao entropia de valor zero.

Variao Entropia de uma transformao isotrmica reversvel em gases:

Como a temperatura constante e o trabalho de uma isotrmica, como pdeser visto anteriormente, dado por:

Alm disso, o calor numa isotrmica igual ao trabalho, de tal forma que:

Variao de Entropia de uma transformao isomtrica em gases:

Atravs da ferramenta de clculo e utilizando (verifique!)

Variao de Entropia de uma transformao isobrica em gases:

Atravs da ferramenta de clculo e utilizando (verifique!) e que

Considere um ciclo como o da figura abaixo:


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Onde a transformao BC isotrmica. Se o ciclo for reversvel, entoteremos a variao de entropia de acordo com os itens anteriores (onde BA isomtrica e AC isobrica. Vamos somar as variaes de entropia de um ciclo.Observe que para a transformao isobrica, vale a seguinte relao:

Onde TA a temperatura no ponto A e T a temperatura da isotrmica BC.Procedendo com a soma das entropias, teremos que:

Como fora dito anteriormente, que a entropia uma funo de estado emum ciclo reversvel, da a variao nulo num ciclo completo!

Um dos mais importantes resultados o que vamos discutir agora. Num

processo qualquer, a entropia do universo sempre aumenta em um ciclo outransformao qualquer. A entropia do universo a soma da entropia do sistema


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(que j calculamos sempre) mais a entropia do meio externo, que geralmente(para nosso caso, sempre ser) um meio que possui uma temperatura constante,em smbolos:

Conforme o que foi dito:

H aqui dois casos relevantes: Transformao (ou ciclo) reversvel:

Transformao (ou ciclo) irreversvel:

Vamos dar alguns exemplos:

Quando trabalhos com questes de equilbrios, isso acontece quando aentropia total do universo nula, ou seja, um processo reversvel.

Um mol de gs perfeito expande-se reversivelmente e isotermicamente temperatura T = 300 K do volume inicial at o volume final . Calcule avariao de entropia do universo.

Primeiramente, segundo a teoria, a variao de entropia para ser nula.Para o gs (sistema), a variao de entropia dada por:

()

Para a fonte de calor (meio externo), que doa uma quantidade de calor (), pois uma expanso isotrmica e se mantm temperaturaconstante, sua variao de entropia :

Assim:

, como previmos.


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Vamos agora a um exemplo com uma transformao irreversvel e bemimportante, a Expanso de Joule.

A expanso de Joule ou expanso livre de Joule uma transformaona qual um gs se expande contra o vcuo. Como no tem nada que "segure" o gs,ele ir se expandir sem realizao de trabalho! Alm disso, o gs no troca calorcom o meio, ento o calor trocado tambm nulo. Utilizando a primeira lei datermodinmica, obtemos que:

Logo, como a energia interna funo da temperatura, ento a temperaturado gs se manteve constante nessa transformao.

Observe que essa transformao irreversvel, pois no h como o gsvoltar para o seu estado inicial por uma sucesso de estados de equilbrio. Vamos

ento por meio de um exemplo numrico calcular a variao de entropia.Considere a expanso do problema anterior, no qual um gs vai de umvolume at um volume , por meio da expanso de Joule. PelaObs.7 , nosegundo item, vimos que precisamos achar um caminho reversvel para calcular avariao de entropia do sistema. Ento vamos pegar uma isotrmica idntica doproblema anterior, que j sabemos a sua variao de entropia, uma vez que aentropia uma funo de estado nos processos reversveis. Assim:

Como no h calor trocado com o meio externo, pois o vcuo no ir trocarnada com o gs, ento:

Assim:


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Como discutimos anteriormente, preferiu-se deixar como se chegar frmula do trabalho de uma transformao isotrmica que vai de um volume Vo atum volume V. O trabalho infinitesimal de uma fora F, ao fazer um deslocamentoinfitesimal dx dada pela frmula:

Mas, para o gs, temos que essa fora dada por:

Onde P a presso do exercida pelo gs e A a rea da superfcie em questo.

Substituindo essa frmula do trabalho, temos que:

() ( ) Onde Adx = dV, ou seja, uma variao infinitesimal do volume. Pensando naequao de Clapeyron, temos que a presso pode ser escrita em funo do volume:

Disso, obtemos:

() O que isso significa? Isso indica que para um movimento muito pequeno do

mbolo, o trabalho devido a esse pequeno movimento dado pela frmula acima.A fim de se obter o trabalho total, deve-se somar todos os trabalhos do movimentodo mbolo. A essa soma d-se o nome de integral. Ento, o trabalho representadoda seguinte forma:

() Como nRT so constantes (transformao isotrmica), eles podem ser

tirados da integral, e assim fica:


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Considere uma transformao adiabtica que tem como estado inicial umapresso Po, volume Vo e temperatura To. Sabe-se que aplicando a primeira Lei daTermodinmica para a transformao em questo, obtemos:

() Porm, sabemos que a energia interna pode ser expressa em termos da

capacidade calorfica molar na forma diferencial:

Mas

. Portanto:

Ainda, pela relao de Clapeyron:

() Portanto:

() Finalmente, variao da energia interna obtida integrando essa expresso:

()

( )

De (i), obtemos:


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1) (ITA - 2004) Um recipiente cilndrico vertical fechado por meio de um pisto,com 8,00 kg de massa e 60,0 cm2 de rea, que se move sem atrito. Um gs ideal,contido no cilindro, aquecido de 30 C a 100 C, fazendo o pisto subir 20,0 cm.Nesta posio, o pisto fixado, enquanto o gs resfriado at sua temperaturainicial. Considere que o pisto e o cilindro encontram-se expostos pressoatmosfrica. Sendo Q1 o calor adicionado ao gs durante o processo deaquecimento e Q2 , o calor retirado durante o resfriamento, assinale a opo

que indica a diferena Q1 Q2.a) 136 J b) 120 J c) 100 Jd) 16 J e) 0 J

2) (ITA-2004) Uma mquina trmica opera com um mol de um gs monoatmicoideal. O gs realiza o ciclo , representado no plano , conforme mostra afigura. Considerando que a transformao adiabtica, calcule:

a) a eficincia da mquina;b) a variao da entropia na transformao .

3) (ITA-2003) Considerando um buraco negro como um sistema termodinmico,sua energia interna U varia com a sua massa M de acordo com a famosa relao deEinstein: . Stephen Hawking props que a entropia S de um buraconegro depende apenas de sua massa e de algumas constantes fundamentais danatureza. Desta forma, sabe-se que uma variao de massa acarreta uma variaode entropia dada por . Supondo que no hajarealizao de trabalho com a variao de massa, assinale a alternativa que melhorrepresenta a temperatura absoluta T do buraco negro.

a)

.

b) c)


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d) e) 4) (ITA-2003) Uma certa massa de gs ideal realiza o ciclo ABCD detransformaes, como mostrado no diagrama presso x volume da figura. Ascurvas AB e CD so isotermas. Pode-se afirmar que

a) o ciclo ABCD corresponde a um ciclo de Carnot.b) o gs converte trabalho em calor ao realizar o ciclo.c) nas transformaes AB e CD o gs recebe calor.d) nas transformaes AB e BC a variao da energia interna do gs negativa.e) na transformao DA o gs recebe calor, cujo valor igual variao da energiainterna.

5) (ITA-1994) Aquecendo-se lentamente 2 mols de um gs perfeito ele passa doestado ao estado Se o grfico da presso versus volume uma reta, adependncia da temperatura com o volume e o trabalho realizado pelo gs nesseprocesso sero respectivamente:a) d)

b) e)

c)

6) (IME -2006) O ciclo Diesel, representado na figura abaixo, corresponde ao queocorre num motor Diesel de quatro tempos: o trecho AB representa a compressoadiabtica da mistura de ar e vapor de leo Diesel; BC representa o aquecimento presso constante, permitindo que o combustvel injetado se inflame semnecessidade de uma centelha de ignio; CD a expanso adiabtica dos gasesaquecidos movendo o pisto e DA simboliza a queda de presso associada exausto dos gases da combusto.A mistura tratada como um gs ideal de coeficiente adiabtico. Considerandoque TA, TB, TC, TD, representam as temperaturas, respectivamente, nos pontos A, B,C, D mostre que o rendimento do ciclo Diesel dado por:


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9) No plano pV as isotermas T, T +T T T e s dS f r u quMostre que todas essas reas so iguais.

Sugesto: No tente usar clculo! Lembre-se sobre o que vimos sobre os ciclos deCarnot representados num grfico de Temperatura x Entropia, o que vaisimplificar bastante o problema!

10) Turbina a gs (ciclo de Joule-Brayton) . O funcionamento simplificado de umaturbina a gs pode ser descrito da seguinte maneira:


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ar presso atmosfrica P1 e temperatura ambiente T1 penetra na turbina(ponto 1 na figura); este ar comprimido em condies praticamenteadiabticas por um compressor (movido pela prpria turbina). O ar sai daturbina presso maior P2 e temperatura T2.

ao sair da turbina (ponto 2) o ar comprimido passa por uma cmara decombusto onde recebe, presso constante P2, a energia trmicaproduzida pela queima do leo combustvel. O ar sai da cmara (ponto 3) mesma presso P2 mas temperatura maior T3.

a mistura de gases quentes que provm da cmara penetra na turbina(ponto 3) onde se expande em condies quase adiabticas, voltando presso atmosfrica P1. nessa expanso que o gs produz a energiamecnica que ser utilizada num alternador (por exemplo), e para girar ocompressor. Numa turbina bem desenhada, a energia cintica dos gases nasada (ponto 4) deve ser muito pequena, e ser desprezada aqui.

os gases, agora na atmosfera, esfriam-se presso constante P1, at atemperatura ambiente T1.

Representando no plano pV:

c press di queci e t pre e p s di esfri e t pres

Considere apenas um mol de gs na realizao desse ciclo. Seja coeficiente de Poisson desse gs. Calcule o rendimento do ciclo (em funo de T1,T2, T3, T4 e tambm em funo de P1, P2 e ). Discuta tambm se esse ciclo umciclo de Carnot.11) Sejam XM e XD as fraes molares correspondentes quantidade de um gsideal monoatmico e diatmico, respectivamente, que compem uma misturagasosa no reagente. Sabendo que a presso e volume inicial da mistura so,

respectivamente, Po e Vo, determine a presso P em funo do volume V damistura quando esta submetida a uma expanso adiabtica reversvel. Obs.: A


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1. A2. a) 0,7 b) 03. D4. E5. B6.7. No, rendimento de 25,5%.8. Custo 1,75 reais mais caro que o do enunciado.9. Veja a sugesto!

10. . No um ciclo de Carnot, pois possui mais de

uma fonte de temperatura

11.

12. a) Suponha que a gua fique a uma temperatura T = To + em equilbrio,onde diferente de zero. Sabe-se que pela 2 Lei da Termodinmica, a entropiado universo sempre aumenta! Suponha que a vizinhana tenha cedido/absorvidouma quantidade de calor Q = mc para o sistema (lembre-se que a vizinhanapossui temperatura constante!). Ento teremos a variao de entropia do universoigual a:

Aplicando a desigualdade ln (1+x) < x. Observe que o sinal da entropia da

vizinhana negativo, pois ela cedeu/absorveu calor, tendo sinal contrrio davariao de entropia do sistema! Ora, ento chegamos a um absurdo, pois aentropia do universo deve sempre aumentar!

b) Ento temos que supor uma troca de calor entre os componentes do sistema.Procedendo da mesma maneira que a anterior. Suponha que o corpo 1 fique a umatemperatura T1 = To + x e o corpo 2 fique a uma temperatura T2 = To + y. Pelaconservao da energia (calorimetria):

( ) ( ) () usando a igualdade da calorimetria:

como , teremos ento:


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independente do valor de y. Ou seja, outro absurdo!

522_Rumo ao ITA - Termodinâmica

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