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Propagao de Ondas Ssmicas, AGG 0305, coefs_RT.doc

5. Coeficientes de Reflexo e Transmisso Incidncia normal 5.1 Introduo

Quando uma onda ssmica (com amplitude Ao) incide numa interface, parte da energia transmitida para o outro lado (onda refratada ou transmitida) e parte refletida de volta para o meio de onde a onda veio (onda refletida). Vamos estudar agora a relao entre as amplitudes das ondas refletidas e transmitidas.

Fig. 1. Uma interface separa dois meios com densidades e velocidades diferentes. Setas brancas grandes representam direo de propagao, e setas pequenas pretas representam o deslocamento das partculas (a vibrao da onda P). Uma onda P de amplitude Ao propagando-se no meio 1, no sentido +x, incide na interface com o meio 2. A interface est na posio x=0. As densidades e velocidades de propagao so e V, respectivamente.

Vamos considerar o caso particular de ondas senoidais, ou seja, a vibrao das

partculas varia no tempo e espao de acordo com ui(x,t) = Ao cos (k1 x - t) = Ao cos [k1(x - V1 t)] ur(x,t) = -A1 cos (-k1 x - t) = -A1 cos [-k1(x + V1 t)] ut(x,t) = A2 cos (k2 x - t) = A2 cos [k2(x - V2 t)]

onde ui o oscilao (deslocamento) da onda incidente com amplitude mxima Ao, frequncia angular , velocidade de propagao V1, e nmero de onda k1 = / V1 = 2/1, sendo 1 o comprimento de onda das ondas no meio 1 (incidente e refletida). Os ndices r e t referem-se s ondas refletidas e transmitidas. Para a onda refletida ur, o sinal negativo "-k1" indica propagao no sentido negativo do eixo x. O sinal negativo da amplitude "-A1" ser explicado adiante. Uma partcula qualquer no meio 1 ter seu deslocamento (u1) dado pela superposio da onda incidente com a refletida: u1(x

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Sinal das amplitudes Deve-se lembrar que as vibraes das ondas ssmicas ("deslocamento das partculas") so grandezas vetorias. O deslocamento de qualquer partcula, u(x,t), ser positivo se a partcula tiver se deslocado para cima (sentido positivo do eixo x), e negativo se o deslocamento tiver sido para baixo. O sinal das amplitudes mximas Ao, A1 e A2 (positivo ou negativo), no entanto, dependem de uma conveno. H duas convenes comuns para o sinal da amplitude de uma onda P: a) a amplitude positiva se o deslocamento for no mesmo sentido do eixo x do sistema de coordenadas de referncia. Nesta conveno, os deslocamentos na Fig. 1 seriam Ao e A2 > 0, e A1 < 0. b) a amplitude da onda P positiva se o deslocamento for no mesmo sentido da propagao da onda. Neste caso, Ao, A2, e A1 > 0. A conveno a a mais usada em Sismologia, principalmente quando h ondas S ou no caso de duas dimenses (incidncia inclinada). A conveno b usada frequentemente em ssmica aplicada nos casos onde as ondas tm incidncia aproximadamente normal e h apenas ondas P. Neste texto adotaremos a conveno b, isto , se os deslocamentos forem nos sentidos indicados na Fig. 1, as amplitudes sero positivas. 5.2 Clculo dos coeficientes de reflexo e transmisso Para calcular a relao entre as amplitudes Ao, A1 e A2, so necessrias duas condies de contorno. I) Continuidade dos deslocamentos. Dois pontos "juntos" devem se deslocar com as mesmas amplitudes. A amplitude de uma partcula do meio 1, junto interface, deve ser igual amplitude de outra partcula do meio 2 que tambm esteja encostada interface (caso contrrio os dois meios estariam se abrindo ou se sobrepondo). Isto : em x = 0 u1(0-,t) = u2(0+,t) = ut(0+,t)

ou seja, A0 A1 = A2 (I) II) Conservao de energia. O fluxo de energia incidente na interface igual soma dos fluxos de energia transmitida e refletida. Uma onda harmnica com amplitude mxima de deslocamento A, frequncia , e velocidade de propagao V, ter

fluxo de energia = (A)2 V [Veja o quadro abaixo sobre fluxo de energia] fluxo de energia da onda incidente = (Ao)2 V1

Chamando o produto V = Z = "impedncia acstica", teremos: fluxo incidente 2 Z1 Ao2

fluxo refletido 2 Z1 A12 fluxo transmitido 2 Z2 A22

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O que "fluxo de energia"? a quantidade de energia que atravessa uma

superfcie, por unidade de rea e por unidade de tempo. Vamos ver como se expressa esta energia. A Figura 2 mostra um elemento de volume em uma onda que se propaga na direo x.

velocidade mxima de vibrao da partcula (u/t) = A densidade de energia ssmica = energia /volume = (A)2

A energia cintica da onda, contida no volume x.y.z, vai demorar um tempo t para atravessar a superfcie y.z. fluxo de energia = [energia]/(rea . t) = [ ( . x.y.z).(A)2] /(y.z . t) como x/t = velocidade de propagao da onda = V fluxo = (A)2 V = (velocidade da partcula)2 .(Velocidade de propagao) Observao: Nesta deduo, dissemos que a densidade de energia cintica (A)2. Numa onda harmnica, porm, a velocidade da partcula varia no tempo e esta expresso seria a energia mxima. Alm da energia cintica, a onda ssmica tem energia potencial devido deformao elstica das rochas. Pode-se demonstrar que, na mdia, a energia cintica igual energia potencial, de maneira que a densidade de energia total da onda mesmo equivalente a (A)2.

Exerccio 1, aplicao do conceito de fluxo de energia: Tsunamis so ondas que se propagam pelo oceano geradas por um deslocamento vertical sbito do fundo ocenico na regio epicentral de um terremoto grande. (O movimento de partcula destas ondas parecido com o da onda superficial Rayleigh, embora os tsunamis no sejam ondas "elsticas", mas ondas "de gravidade"). A velocidade de propagao de um tsunami depende da profundidade do mar: V = (g h)1/2; g = acelerao da gravidade, e h = espessura da camada de gua. a) calcule a velocidade de propagao do tsunami em alto mar onde a profundidade ha=5km, e prximo da costa onde hc=50m. Expresse as velocidades em km/h. b) Um terremoto na costa do Chile gerou um tsunami cuja amplitude em alto mar, na regio do Hava, de Aa = 30cm. Use o conceito de fluxo de energia e densidade de energia ssmica para estimar a amplitude do tsunami perto da costa onde o mar tem profundidade de hc=50m.

Este elemento de volume bem pequeno, x.y.z, ao vibrar durante a passagem de uma onda ssmica ter energia cintica = ( . x.y.z).(velocidade da partcula)2

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Conservao de energia: fluxo incidente = fluxo refletido + fluxo transmitido Cancelando o termo 2, teremos:

conservao de energia: Z1A02 = Z1A12 + Z2A22 (II) As equaes (I) e (II) fornecem:

= r e = t (III)

Podemos definir coeficientes de reflexo e de transmisso, em termos de amplitude dos deslocamentos ou em termos de fluxo de energia Energia

Coef. de reflexo R = fluxo refletido/fluxo incidente =

Coef. de transmisso T = fluxo transmitido/fluxo incidente =

Note que R + T = 1 (conservao de energia, eq II ) e que R e T independem de qual meio (1 ou 2) vem a onda incidente. Amplitude: Denominando r = A1/A0 e t = A2/A0 (Aqui t no tempo!) Teremos tambm :

r + t = 1 (continuidade do deslocamento, eq. I) R e T so ambos positivos e 1. Porm t pode ser > 1 e r pode ser negativo. Os valores r e t dependem se a onda incidente est no meio 1 ou no meio 2. Ou seja, nas frmulas III, Z1 a impedncia do meio de onde a onda est vindo, e Z2 a do meio para onde a onda vai ! Note que os coeficientes r, t, R e T no dependem da frequncia . Isto significa que qualquer forma de onda (superposio de ondas com vrias frequncias diferentes) ter os mesmos coeficientes de reflexo e de transmisso. Ou seja, as frmulas III valem tanto para ondas harmnicas como para qualquer pulso de onda ssmica!

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5.3 Continuidade das tenses Alm das condies de contorno de continuidade dodeslocamento e conservao de energia, h tambm continuidade das tenses na interface. Para a propagao mostrada na Fig. 1, podemos expressar as trs ondas harmnicas como:

uo(x,t) = Ao exp [i(k x - t)] = Ao exp [ik1(x - V1 t)] u1(x,t) = -A1 exp[i (k x - t)] = -A1 exp [-ik1(x + V1 t)] u2(x,t) = A2 exp [i(k x - t)] = A2 exp [ik2(x - V2 t)]

O uso da exponencial imaginria facilita a manipulao matemtica, mas deve-se

entender que as grandezas fsicas (amplitudes de deslocamento, por exemplo) so dadas pela parte real das funes. A parte imaginria d informao da fase! No caso da onda P com incidncia normal, a tenso pxx deve ser contnua entre os dois meios. Ou seja, supondo que a interface esteja posicionada na posio x=0, teremos no meio 1 deve ser igual tenso no meio 2 quando x=0 :

pxx (x=0-) = pxx(x=0+) Exerccio 2. Expresse as deformaes e as tenses correspondentes s ondas planas uo, u1 e u2 (use as definies das deformaes e a lei de Hooke). Expresse as constantes elsticas em termos de velocidade da onda P (V1, etc.) e densidades, e deduza a terceira condio de contorno referente continuidade da tenso, mostrando que:

Z1A0 + Z1A1 = Z2A2 (III)

Use a condio de contorno (continuidasde do deslocamento, eq. I) junto com a eq. III e deduza novamente os coeficientes de reflexo r = A1/Ao e transmisso t = A2/Ao. Exerccio 3. Embora tenhamos apenas duas incgnitas (relaes A1/Ao e A2/Ao), temos trs equaes das condies de contorno: continuidade do deslocamento, continuidade das tenses, e conservao de energia. Porque temos mais equaes do que incgnitas? Dica: escreva as trs equaes, uma abaixo da outra, e relacione as leis fsicas que cada uma representa.

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Exerccio 4. Um sismo de magnitude 6,8 ocorrido na fronteira Peru-Brasil foi registrado por uma estao nos Estados Unidos a 66o de distncia angular . O sismo teve uma profundidade de 150km. A estao registrou a reflexo da superficie (pP) e uma outra fase, um pouco antes da pP, interpretada como sendo uma reflexo da descontinuidade de Moho (interface crosta/manto), chamada de mP. O manto abaixo da crosta tem Vp= 8,0 km/s e densidade 3,3 g/cm3. A velocidade P mdia da crosta de ~6,5 km/s e a densidade 3.0 g/cm3. a) Suponha incidncia vertical das reflexes e estime a espessura da crosta (H) perto do sismo. b) Para confirmar a interpretao acima, preciso estimar a razo de amplitude mP/pP. Use os dados de velocidade e densidades acima para estimar qual seria a razo esperada entre as amplitudes das ondas mP/pP (suponha percurso vertical). Mea a razo das amplitudes mP e pP, e compare com o valor esperado. Como deveriam ser a velocidade e a densidade da crosta (maior ou menor que os valores acima) para que a razo de amplitudes terica seja igual observada?

Exerccio 5. Suponha uma onda S harmnica incidindo verticalmente numa superfcie livre. Use o fato de que na superfcie livre as tenses so nulas e deduza o coeficiente de reflexo da onda S. Cuidado com a definio dos sinais das amplitudes em relao aos eixos de coordenadas!