Capítulo 5 Características dinâmicas do sistema de medição · Capítulo 5 Características...

29/03/2016

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(parte I)Instrumentação eletrônica para sistemas de medição

Capítulo 5Características dinâmicas do sistema

de medição

Prof. Lélio R. Soares Júnior – ENE – FT – UnB

Características dinâmicas do sistema de medição

Conceito

i-ésimo elemento do

sistema de mediçãot t

Ex: Termopar

t t25oC

100oC

T V

1mV

4mV

t0t0

Sistema de

mediçãoI O

t t

Ocorrem erros dinâmicos de medição → a correção pode ser feita por compensadores

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Funções de transferência típicas para elemementos

a) Elementos de primeira ordem

Ex: Sensor de temperatura (termopar, por ex.)

τ é uma constante de tempo

� m → massa do sensor� c → calor específico do material do sensor� C=mc→ capacidade térmica do sensor� RT → resistência térmica, depende da

condutividade térmica e da geometria do

material separando os dois corpos (junção bimetálica-fluído)

� τ=RTC → constante de tempo térmica do sensor



Ex: Sensor de temperatura (termopar, por ex.)

Q q Q

T(t))(T

TT

F

F

&=⇒

↑↑⇒

= −−

calor de ncia transferêde taxa conduçãopor )(calor de ciaTransferên

0 Se

)0()0( Com

( )TTR

q F

T

−=1

( ))T-T(mcQ -0 mas = ( ))T-T(dt

dmcQq -0 então == &

)(-TT∆T)T-T(∆T -FFF- 0 e 0 Definindo == ( ) )(1

Tdt

dmcTT

RF

T

∆=∆−∆⇒

FT TTTdt

dmcR ∆=∆+∆ )( :EDO à leva que O

)(sT∆No domínio de Laplace, com L(∆T) = e L(∆TF) = )(sT∆

τ=RTC → constante de tempo térmica

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Relaciona a variação na temperatura do sensor em relação à variação de temperatura no fluído.

Relaciona a variação na saída(tensão) do sensor em relação à variação de temperatura no fluído.∆O/∆T é a sensibilidade do sensor em regime permante, idealmente Kda linha reta ideal.

De forma geral, para um elemento não linear, ∆O/∆I =dO/dI, avaliada no valor em regime permante (I0) em torno do qual as variações ocorrem.

( ) ( )OI

MMI dI

dNIKKI

OO

++=∂∂ Para variações de I em torno do

valor em regime permanente IO.



Exemplos (analogias):

PIN P

Volume: AFh

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Exemplos (analogias):


Funções de transferência típicas para elementos

Parâmetros de interesse: τ e K→ Determinação experimental

Identificação dos parâmetros

1

1

)(

)()(

+==

sK

sI

sOsF

τ

Entrada Senóidal: (em regime permanente senoidal)

i(t) = A.sen(ωt) → o(t) = B.sen(ωt+φ) , onde B=A|K|/√(ω2τ2+1) e φ=-atan(ωτ) mas quando ω = ω0 = 1/τ → o(t) = (A|K|/√2)sen(ω0t – π/4) para A constante

Entrada Degrau: 1(t) → degrau unitário

i(t) = A.1(t) → o(t) = KA(1-e-t/τ), para t ≥ 0 e A constante. Quanto t=τo(τ)=0,63.K.A

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b) Elementos de segunda ordem

Ex: Sensor elástico (converte força em deslocamento)

1/k → sensibilidade estática K

Frequência natural não amortecida

Coeficiente de amortecimento



=

=

−

−

0)0(

0)0( ) t(0em repouso -

x

x

&&

&

)0()0( equilíbrio em −− = kxf

Se a força F = f cresce repentinamente → transitório

fkxxxm

xmxkxf

=++

=−−

&&&

&&&

λλ

Sendo os desvios em relação aos estados iniciais:

=∆

=∆−=∆−=∆ −−

xx

xxxxxfff

&&&&

&&)0(e )0(

)0()0()0( −+∆=−+∆=−+∆+∆+∆ kxfffkxxkxxm &&& λ

fxkxxm ∆=∆+∆+∆ &&& λ

No domínio s:

m

ks

ms

m

k

kfLaplace

xLaplacesG

++=

∆

∆=∆

λ2

1

}{

}{)(

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m

ks

ms

m

k

kfLaplace

xLaplacesG

++=

∆∆

=∆

λ2

1

}{

}{)(

Na forma padrão de representação de sistemas de segunda ordem:

22

2

2

1)(

nn

n

ssksG

ωξωω

++=

=

=

km

mk

n

2λξ

ω freq. natural não amortecida

coeficiente de amortecimento

sensibilidade estática

Dinâmicas:

• 0 < ξ < 1 → dinâmica subamortecida• ξ = 1 → dinâmica criticamente amortecida• ξ > 1 → dinâmica superamortecida (sobreamortecida)



Exemplo (analogia):

Analogias:

q ↔ xV ↔ FL ↔ mR ↔ λ

1/C ↔ k

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Identificação dos parâmetros: K, ξ e ωn

22

2

2)(

)()(

n

n

ssK

sI

sOsF

n ωξωω

++==

Resposta ao degrau – através de tempo de pico (tp), sobrepasso (%sp) e tempo de acomodação (ts).

Resposta à senoide – através das respostas de magnitude e fase.

%100

4

%

1

21

2

×

=

=

−=

−−

ns

n

p

t

esp

t

ξω

ξωπ

ξξπ


Erros dinâmicos em sistemas de medição

Assuma que o sistema tenha erro estático de medição nulo: K1K2...Ki...Kn = 1

Variação da saída no tempo:

Erro dinâmico de medição:

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Exemplo (sistema de medição de temperatura):

Temos: K1K2K3 = 1

Por expansão em frações parciais:

Para um degrau de temperatura de +20oC, ∆TT(t) = 20.1(t) e ∆TT(s)=20. 1/s.

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Por transformação inversa de Laplace e t ≥ 0:

Termo mais lento (decai mais lentamente)

O termopar domina a dinâmica

do sistema.

Obs. u(t) = 1(t)

Erro dinâmico:

+

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No domínio da frequência, trabalha-se com a função de transferência senoidal G(jω):

)()()( ωωω jIjGjO =)()()(

)()()(

ωωωωωω

jIjGjO

jIjGjO

∠+∠=∠

=

Se I(t) for periódica pode ser decomposta em uma série de Fourier

Como o sistema é linear, a saída será periódica e pode ser representada por uma série de Fourier.


Compensação dinâmica

Para o sistema de medição

{ } )()1)()()()()( ωωωωωω jIjGjIjIjGjE −=−=

O erro será nulo para todas as frequências (ω) se

0)(1)( =∠= ωω jGejG

o que é impossível na prática

Pode-se estabelecer para uma certa faixa de frequências, por ex:

MAXparajG ωωω <<<< 002,1)(98,0

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Também pode-se especificar a largura de banda ωB

21)(/

21)( )3( =<> − BB jGsendopjG dB ωωωω

→ Especificação pouco precisa



Se o erro de medição não possui comportamento adequado (especificado), pode-se usar um dos procedimentos a seguir:

1) Determinar qual o elemento dominante e alterá-lo convenientemente

(torná-lo mais rápido). Ex: sensor de força de 2ª ordem: ωn = √(k/m) ,

pode-se aumentar k e diminuir m, mas K=1/k (menor sensibilidade

estática)

2) Fazer a compensação dinâmica em malha aberta

Ex:

(pouco robusto)

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3) Incorporar o elemento a ser compensado em uma malha fechada de alto ganho e

realimentação negativa

Ex: acelerômetro em malha fechada



Diagrama de blocos:

+++

=

FDAFDAnnFDA

F

OUT

KKK

ks

KKK

ks

KKK

kK

mR

sA

sV

121

1

)(

)(

2

2 ωξ

ω

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se KA for alto, tal que KAKDKF/k >> 1, então

++=

22

2

2)(

)(

ss

s

nns

n

sOUT

ssK

sA

sV

ωωξ

ω

=

=

=

FDA

s

FDAnn

F

s

KKK

k

k

KKK

K

mRK

s

ξξ

ωω

a) ωns >> ωn → maior velocidade de resposta (maior largura de banda)

b) ξs << ξ→ ajustado a um sobrepasso adequado (menos amortecimento)

c) A sensibilidade estática depende apenas de m, R e KF

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