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59 Geometria Descritiva MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa – Disciplina CD020 Geometria Descritiva Curso Engenharia de Produção – 2016 – Apostila de Geometria Descritiva – Parte 2

III – REPRESENTAÇÃO DO PLANO

1. Representação do plano Um plano pode ser determinado por: a) três pontos não colineares

b) um ponto e uma reta que não se pertencem

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60 Geometria Descritiva c) duas retas concorrentes

d) duas retas paralelas

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61 Geometria Descritiva 2. Pertinência de ponto e reta a um plano

2.1. Pertinência de reta a plano

α ba, onde b,r // a, Xr

α ba, onde ,distintos) pontos (em b Xr a, Xr αr 2.2. Pertinência de ponto a plano

P P r e r

3. Representação do plano pelos seus traços No espaço:

Em épura:

Propriedade: ou π’ intercepta π’’ num ponto que pertence a Linha de Terra, ou os traços π’ e π’’ são paralelos à Linha de Terra.

Os traços de são: π’ – 1º traço ou traço horizontal π’’ – 2º traço ou traço vertical π’’’ – 3º traço ou traço lateral

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62 Geometria Descritiva Exercícios: 1. Dado um plano (r,s) representar uma reta t do mesmo do qual se conhece apenas uma das projeções. a)

b)

2. Dado um plano (r,s) representar um ponto P do mesmo do qual se conhece apenas uma das projeções.

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63 Geometria Descritiva

3. Verificar se a reta dada t pertence ao plano dado (r,s).

4. Verificar se o ponto dado P pertence ao plano dado (r,s).

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64 Geometria Descritiva

5. Dado o plano representá-lo por meio de seus traços (1º e 2º). a) (r,s)

b) (A,B,C) A(20; -10;40) B(60;20;10) C(90;10;40)

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65 Geometria Descritiva 4. Posições do plano em relação aos PFR

Um plano pode ocupar posições distintas em relação aos 3 PFR, podendo ser: - paralelo a um dos PFR:

Horizontal Frontal de Perfil - perpendicular a um dos PFR e oblíquo em relação a outro:

Vertical de Topo Rampa - oblíquo em relação aos PFR:

Qualquer

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66 Geometria Descritiva 4.1. Plano horizontal a) Característica espacial: _____________ b) Épura: _____________ _____________

c) Traços: ______________ d) É plano projetante? _______________ ______________ - P α horizontal ________________ ______________ - r α horizontal _________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

i) Traço de reta no plano: j) Reta perpendicular ao plano:

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67 Geometria Descritiva Exercícios 1) Representar um quadrado ABCD contido num plano horizontal α sendo dados A(10,10,20) e B(40,20,?). 2) Representar um hexágono regular ABCDEF contido num plano horizontal α sendo dados o centro O(30,30,20) da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio r=20, sabendo que um de seus lados é fronto-horizontal.

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68 Geometria Descritiva 3) Representar um hexágono regular ABCDEF contido num plano horizontal α sendo dados o centro O(40,30,10) da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio r=20, sabendo que um de seus lados forma ângulo de 15º com π’’. 4) Representar uma pirâmide reta de base quadrada ABCD contida num plano α horizontal, de altura h=40, sendo dados A(10,20,10) e B(40,10,?).

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69 Geometria Descritiva 5) Representar uma pirâmide reta de base pentagonal ABCDE contida num plano horizontal α, de altura h=30, sendo dados A(20,10,10) e B(40,20,?). 6) Representar um prisma reto de base triangular ABC contida num plano horizontal α, de altura h=35, sendo dados A(10,10,20) e B(50,20,?).

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70 Geometria Descritiva 7) Representar um tetraedro regular ABCD, com a face ABC contida num plano horizontal, sendo dados o vértice A(50,40,10), a medida m=40 da aresta, e o ângulo θ=45º que a reta suporte da aresta AB forma com π’’. 8) Representar um octaedro regular ABCDEF, com seção equatorial ABCD contida num plano horizontal, sendo dados o vértice A(50,40,30), a medida m=30 da aresta, e o ângulo θ=60º que a reta suporte da aresta AB forma com π’’.

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71 Geometria Descritiva 9) Representar um anti-prisma arquimediano com uma base ABCDEF hexagonal e contida num plano horizontal, sendo dados os vértices A(20,10,20) e B(50,0,20). Visibilidade de um sólido convexo O contorno aparente é obtido pelas projetantes razantes ao sólido (aquelas que estão projetando os pontos mais afastados do objeto). Este contorno aparente divide o sólido em duas partes, uma visível e outra não visível. Critérios de visibilidade: 1º) O contorno aparente é sempre visível. 2º) Uma face que contém um ponto visível, não pertencente ao contorno, é visível. 3º) Uma aresta que contém um ponto visível, não pertencente ao contorno, é visível. 4º) Duas faces que tem uma aresta comum pertencente ao contorno aparente são uma visível e outra não visível. 5º) Duas arestas que tem um vértice comum não pertencente ao contorno aparente são ambas visíveis ou invisíveis, depende se o vértice é ou não visível. 6º) Dois pontos que têm a mesma projeção são um visível e outro invisível.

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72 Geometria Descritiva 4.2. Plano frontal a) Característica espacial: _____________ b) Épura: _____________ _____________

c) Traços: ______________ d) É plano projetante? _______________ ______________ - P α frontal __________________ ______________ - r α frontal ___________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

i) Traço de reta no plano: j) Reta perpendicular ao plano:

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73 Geometria Descritiva Exercícios 1) Representar um pentágono regular ABCDE contido num plano frontal α sendo dados o centro O(40,20,30) da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio r=20, sabendo que um de seus lados forma ângulo de 30º com π’. 2) Representar um prisma arquimediano de base hexagonal ABCDEF contida num plano frontal, sendo dados 2 vértices consecutivos A(20,30,20) e B(20,?,0).

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74 Geometria Descritiva 3) Representar um tetraedro regular ABCD com a base ABC contida num plano frontal, sendo dados A(40,20,30) e B(20,?,10). 4) Representar um octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que a seção equatorial ABCD está contida num plano frontal. São dados o vértice A(50,30,40), a medida a=30 da aresta e o ângulo =60º que a reta AB faz com .

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75 Geometria Descritiva 4.3. Plano de perfil a) Característica espacial: _____________ b) Épura: _____________ _____________

c) Traços: ______________ d) É plano projetante? _______________ ______________ - P α de perfil _________________ ______________ - r α de perfil __________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

i) Traço de reta no plano: j) Reta perpendicular ao plano:

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76 Geometria Descritiva Exercícios 1) Representar um triângulo equilátero ABC contido num plano α de perfil sendo dados A(30,20,20) e B(?,40,40). 2) Representar um quadrado ABCD contido num plano α de perfil, sabendo-se que o lado AB faz ângulo =15º com , sendo dados A(30,20,20) e que o lado mede 20mm.

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77 Geometria Descritiva 3) Representar um prisma reto de base hexagonal ABCDEF contida num plano de perfil α e altura h=30, sendo dados A(30,0,30) e B(?,30,10). 4) Representar uma pirâmide regular de base quadrada ABCD contida num plano de perfil α e altura h=30, sendo dados A(30,10,30) e B(?,30,10).

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78 Geometria Descritiva 5) Representar um tetraedro regular ABCD de aresta a=30, com a base ABC contida num plano α de perfil, sendo dados A(40,20,30) e o ângulo θ=15º que a reta AB forma com π’. 6) Representar um octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que a seção equatorial ABCD está contida num plano de perfil. São dados o vértice A(30,10,40), a medida a=30 da aresta e o ângulo =60º que a reta AB faz com .

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79 Geometria Descritiva 4.4. Plano de topo a) Característica espacial: _____________ b) Épura: _____________ _____________

c) Traços: ______________ d) É plano projetante? _______________ ______________ - P α de topo __________________ ______________ - r α de topo __________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

i) Traço de reta no plano: j) Reta perpendicular ao plano:

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80 Geometria Descritiva k) Processo do rebatimento Rebatimento sobre :

Rebatimento sobre um plano horizontal: basta considerar um plano horizontal e usar () como eixo do rebatimento, ou seja, utilizar ()’ como se fosse . Rebatimento sobre :

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81 Geometria Descritiva Exercícios 1. Representar o plano de topo pertencente ao ponto dado A(50,30,40) e que forme ângulo de 30º com . 2. Representar um quadrado ABCD contido num plano de topo, sendo dados A(40,40,10) e B(20,20,30).

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82 Geometria Descritiva

3. Representar um triângulo ABC eqüilátero contido num plano de topo, sendo dados A(40,30,30) e B(20,20,50). 4. Representar um pentágono regular ABCDE contido num plano de topo, sendo dados A(20,40,10) e B(40,20,30).

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83 Geometria Descritiva 5. Representar um hexágono regular ABCDEF contido num plano de topo α sendo dados o centro O(40,40,30) da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio r=20, sabendo que um de seus lados é frontal. O plano de topo forma ângulo de 60º com π . 6. Representar um prisma reto de altura h=30, cuja base seja um pentágono regular ABCDE contido num plano de topo, sendo dados os vértices A(70,50,35) e B(55,60,25).

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84 Geometria Descritiva 7. Representar um prisma arquimediano, de bases hexagonais, sendo que a base ABCDEF está contida num plano de topo. São dados A(35,20,10) e B(20,10,25). 8. Representar um tetraedro regular ABCD com a face ABC contida num plano de topo, sendo dados A(50,20,30) e B(20,30,10).

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85 Geometria Descritiva 4.5. Plano vertical a) Característica espacial: _____________ b) Épura: _____________ _____________

c) Traços: ______________ d) É plano projetante? _______________ ______________ - P α vertical __________________ ______________ - r α vertical ___________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

i) Traço de reta no plano: j) Reta perpendicular ao plano:

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86 Geometria Descritiva k) Processo do rebatimento Rebatimento sobre π

Rebatimento sobre um plano frontal: basta considerar um plano frontal e usar ()

como eixo do rebatimento, ou seja, utilizar ()’’ como se fosse . Rebatimento sobre :

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87 Geometria Descritiva Exercícios 1. Representar o plano vertical pertencente ao ponto dado A(50,30,40) e que forme ângulo de 60º com π . 2. Representar um triângulo equilátero ABC contido num plano vertical, sendo dados A(50,40,10) e B(30,20,30).

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88 Geometria Descritiva

3. Representar um quadrado ABCD contido num plano vertical, sendo dados A(30,20,10) e B(50,50,20). 4. Representar um hexágono regular ABCDEF contido num plano vertical, sendo dados A(50,20,30) e B(40,30,10).

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89 Geometria Descritiva 5. Representar um pentágono regular ABCDE contido num plano vertical α sendo dados o centro O(40,30,25) da circunferência circunscrita ao polígono e o seu raio r=20, sabendo que um de seus lados é horizontal. O plano vertical forma ângulo de 60º com π . 6. Representar uma pirâmide reta de altura h=40, cuja base seja um quadrado ABCD contido num plano vertical, sendo dados os vértices A(50,30,50) e B(70,50,30).

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90 Geometria Descritiva

7. Representar um tetraedro regular ABCD, sendo que a base ABC está contida num plano vertical. São dados A(50,30,40) e B(20,10,50). 8. Representar um octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que a seção equatorial ABCD está contida num plano vertical , sendo dados A(40,50,10) e B(20,20,20).

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91 Geometria Descritiva 4.6. Plano paralelo à linha de terra a) Característica espacial: __________________ b) Épura:

c) Traços: ______________ ______________ ______________ d) É plano projetante? __________________________________________________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

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92 Geometria Descritiva i) Traço de reta no plano:

j) Reta perpendicular ao plano:

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93 Geometria Descritiva k) Processo do rebatimento Rebatimento sobre (usando o triângulo do rebatimento):

Obs.: α é perpendicular a A’A0A1 Rebatimento da reta AB:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6

Rebatimento sobre um plano horizontal: basta considerar um plano horizontal e usar () como eixo do rebatimento, ou seja, utilizar ()’ como se fosse .

A’2

A’2

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94 Geometria Descritiva Exercícios 1) Representar o 1º, 2º e 3º traços do plano paralelo à linha de terra, definido pelos pontos A(40,10,30) e B(80,40,10). 2) Representar o traço da reta r(P,Q) sobre o plano (A,B) paralelo à linha de terra. São dados: A(40,40,30), B(10,10,20), P(30,30,60) e Q(60,20,10). 3) Representar a reta s que contém o ponto dado P e seja perpendicular ao plano (r) paralelo à linha de terra. São dados: P(10,50,50), r(A,B), A(40,10,30), B(70,30,10). 4) Representar um quadrado ABCD contido num plano paralelo à linha de terra, sendo dados A(10,10,40) e B(20,20,20). 5) Representar um triângulo equilátero ABC contido num plano paralelo à linha de terra, sendo dados A(50,10,40) e B(20,30,20). 6) Representar um prisma reto de base hexagonal ABCDEF contida num plano paralelo à linha de terra e altura h=30. São dados A(10,40,20) e B(20,60,10). 7) Representar um tetraedro regular ABCD, sabendo-se que a base ABC está contida num plano paralelo à linha de terra. São dados A(60,20,30) e B(20,50,10).

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95 Geometria Descritiva 4.7. Plano qualquer a) Característica espacial: __________________ b) Épura:

c) Traços: ______________ ______________ ______________ d) É plano projetante? __________________________________________________________ e) Tem alguma projeção em VG? _________________________________________________ f) Retas contidas no plano: ______________________________________________________ g) Quantidade de pontos necessários para representá-lo: ______________________________ h) Ângulos:

com ________________ com π ________________ com π ________________

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96 Geometria Descritiva i) Traço de reta no plano:

j) Reta perpendicular ao plano:

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97 Geometria Descritiva k) Rebatimento sobre :

α é perpendicular a A’A0. Épura:

Rebatimento da reta AB:

Rebatimento sobre um plano horizontal: basta considerar um plano horizontal e usar () como eixo do rebatimento, ou seja, utilizar ()’ como se fosse .

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98 Geometria Descritiva Exercícios 1) Representar o 1º e 2º traços do plano qualquer, definido pelos pontos A(20,-10,40), B(60,20,10) e C(90,10,40). 2) Representar um quadrado ABCD contido num plano (A,B,P) qualquer, sendo dados A(20,20,30), B(50,10,50) e P(100,60,20). 3) Representar um triângulo eqüilátero ABC contido num plano (A,B,P) qualquer, sendo dados A(20,50,30), B(50,10,50) e P(100,30,20). 4) Representar um pirâmide reta de base quadrada ABCD contida num plano (A,B,P) qualquer e altura h=40. São dados A(40,10,50), B(60,30,40) e P(10,40,10). 5) Representar um hexaedro regular ABCDEFGH (cubo), sabendo-se que a face ABCD está contida num plano (A,B,P) qualquer. São dados A(30,20,20), B(50,10,30) e P(70,60,10).

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99 Geometria Descritiva 5. Seções Planas e Desenvolvimento de Sólidos Para determinar a seção de um poliedro por um plano, pode-se utilizar, conforme o caso, duas formas principais. Procura-se o ponto em que cada aresta do poliedro atravessa o plano, e unem-se dois a dois os pontos consecutivos; ou determina-se a seção de cada face do poliedro pelo plano dado. Às vezes, é melhor utilizar simultaneamente os dois métodos. Desenvolver (ou planificar) um poliedro consiste em construir suas faces, justapostas duas a duas, de tal modo que todas se situem em um mesmo plano. A escolha das arestas de abertura do poliedro para planificá-lo é arbitrária. Deste modo, o polígono desenvolvido pode apresentar seu contorno de diferentes formas. A partir do desenvolvimento podemos reconstruir o poliedro. Exercícios 1. Representar a pirâmide regular de base quadrada ABCD contida num plano horizontal e altura h=100mm. São dados A(80,20,0) e B(20,40,?). Construir a planificação do sólido. Representar o plano de topo que contém o ponto P e forma 30º com , de modo que intercepte o sólido. Representar a seção plana de sobre a pirâmide regular ABCD, bem como a sua verdadeira grandeza. Construir a planificação do sólido seccionado. a) P(140,0,0) b) P(90,0,0) 2. Representar a pirâmide oblíqua ABCD de base ABC contida num plano horizontal e vértice D. São dados A(0,20,20), B(30,50,20), C(50,10,20), D(70,30,80). Construir a planificação do sólido. Representar o plano de topo que contém o ponto P e forma 45º com , de modo que intercepte o sólido. Representar a seção plana de sobre a pirâmide ABCD, bem como a sua verdadeira grandeza. Construir a planificação do sólido seccionado. a) P(80,0,0) b) P(60,0,0) 3. Representar um prisma reto de bases pentagonais, com a base ABCDE contida num plano horizontal. São dados A(30,30,10), B(70,10,10) e h=70mm. Construir a planificação do sólido. Representar o plano de topo que contém o ponto P e forma 30º com , de modo que intercepte o sólido. Representar a seção plana de sobre o prisma, bem como a sua verdadeira grandeza. Construir a planificação do sólido seccionado. a) P(150,0,0) b) P(110,0,0)

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100 Geometria Descritiva 6. Representação dos Poliedros Regulares Poliedro de Platão Um poliedro é chamado poliedro de Platão, se e somente se, satisfaz as seguintes condições: a) todas as faces tem o mesmo número (n) de arestas; b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas; c) vale a relação de Euler (V-A+F=2). Propriedade: Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão Poliedro Regular Um poliedro convexo é regular quando: a) suas faces são polígonos regulares e congruentes; b) seus ângulos poliédricos são congruentes. Propriedade: Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares. São eles: Tetraedro regular, Hexaedro regular, Octaedro regular, Dodecaedro regular e Icosaedro regular. Observação: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. Exercícios: 1. Representar um tetraedro regular ABCD de aresta dada m=40, sendo duas arestas ortogonais horizontais, sabe-se que uma delas pertence ao ponto dado A(50,40,20) e forma ângulo =30º com . 2. Representar um hexaedro regular ABCDEFGH de aresta dada m=40, com a diagonal AG vertical, sendo dado o vértice A(50,40,10) e o afastamento y=60 do vértice B. 3. Representar um octaedro regular ABCDEF, com a face ABC horizontal, sabe-se que a aresta AB forma ângulo θ=75° com π e mede m=40, é dado o vértice A(50,60,20). 4. Representar um dodecaedro regular cuja face ABCDE é horizontal e está inscrita numa circunferência de raio 30 e centro O(70,60,10), e sabe-se que a aresta AB é fronto-horizontal. 5. Representar um icosaedro regular, sabendo-se que uma de suas diagonais maiores é vertical (AL) e uma aresta é fronto-horizontal, é dado o tamanho da aresta m=40 e o vértice A(50,50,10).

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101 Geometria Descritiva 7. Representação de retas que contêm um ponto dado A e fazem ângulo dado com um

dos PFR

Por um ponto somente é possível conduzir uma reta perpendicular a um plano, isto é, é

possível conduzir apenas uma reta que faz ângulo reto com um plano. Entretanto, quando se trata de conduzir retas que formem um ângulo θ diferente de um

reto com um plano, a solução é indeterminada, e é satisfeita por todas as geratrizes de um cone de revolução de vértice A, cujo eixo é perpendicular ao plano da base. Essas geratrizes cortam o plano da base segundo uma circunferência, cujo centro é o ponto O que é o traço da perpendicular ao plano, conduzida pelo ponto A, e cujo raio é um dos catetos do triângulo retângulo AOB, do qual se conhece o ângulo θ e o cateto OA. Assim, para se representar as retas que contêm um ponto dado A e que fazem ângulo θ dado com um plano dado , basta representar um cone de revolução de vértice A, assentado sobre o plano dado , cujas geratrizes formam ângulo de (90º-θ) com o seu eixo. Exercícios: 1. Representar as retas que passam pelo ponto dado A e formam ângulo dado θ com: a) π b) π c) 2. Representar uma reta qualquer r, contida num plano de topo dado, sabendo-se que a mesma pertence a um ponto dado A desse plano e forma ângulo dado θ com: a) π b) π c) 3. Representar um hexágono regular ABCDEF inscrito numa circunferência de centro O e raio m dados, contido num plano de topo, sabendo-se que um dos seus lados faz ângulo θ dado com π (ou π ou ). 4. Representar um triângulo eqüilátero ABC inscrito numa circunferência de centro O e raio m dados, contido num plano vertical, sabendo-se que um dos seus lados faz ângulo θ dado com π (ou π ou ). 5. Representar um pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência de centro O e raio m dados, contido num plano qualquer, sabendo-se que um dos seus lados faz ângulo θ dado com π (ou π ou ).

90º-θ

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102 Geometria Descritiva

A'

A A''1A''

A''A"1

''1

IV – MÉTODOS DESCRITIVOS

1. Método da Mudança de Planos (MP) O grau de dificuldade de um problema depende da posição dos elementos objetivos dados em relação aos planos fundamentais de projeção (PFP). Em geral, a épura se simplifica, quando pelo menos uma reta ou um plano ocupam uma posição particular em relação aos PFP. É interessante mudar a posição de um objeto. Estas transformações são chamadas de Métodos Descritivos, e são: mudança de planos, rotação e rebatimento. 1.1. Mudança de Plano Vertical (MPV)

Épura:

Observação: a posição da nova linha de terra (NLT) depende da simplificação que se deseja.

Propriedades da MPV: - A’ é o mesmo para os dois sistemas; - A’A”1 é perpendicular à NLT; - a cota é mantida no novo sistema.

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103 Geometria Descritiva Exercícios 1. Efetuar uma mudança de plano vertical para o ponto A.

2. Efetuar uma mudança de plano vertical para a reta r(A,B) de modo que se torne paralela ao novo plano de projeção.

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104 Geometria Descritiva 3. Obter a VG do segmento AB bem como o ângulo que a reta r(AB) forma com .

4. Mediante MPV representar a reta s que passe pelo ponto dado P e seja perpendicular a uma reta dada r(A,B). Representar a distância do ponto P à reta r, bem como a sua VG.

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105 Geometria Descritiva

5. Mediante MPV tornar o plano vertical (A,B) em frontal.

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106 Geometria Descritiva 1.2. Mudança de Plano Horizontal (MPH)

A'

AA''

A'1

A '1

'1

Épura:

Propriedades da MPH: - A” é o mesmo para os dois sistemas; - A”A’1 é perpendicular à NLT; - o afastamento é mantido no novo sistema.

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107 Geometria Descritiva Exercícios 1. Efetuar uma mudança de plano horizontal para o ponto A.

2. Efetuar uma mudança de plano horizontal para a reta r(A,B) de modo que fique paralela ao novo plano de projeção.

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108 Geometria Descritiva 3. Obter a VG do segmento AB bem como o ângulo que a reta r(AB) forma com π .

4. Mediante MPH representar a distância do ponto dado P à reta r dada, bem como a sua VG.

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109 Geometria Descritiva

5. Mediante MPH tornar o plano de topo (r) em horizontal.

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110 Geometria Descritiva Exercícios propostos 1. Efetuar uma mudança de plano para a reta r de modo que se torne de topo:

O

r'

r''

2. Efetuar uma mudança de plano para a reta r de modo que se torne vertical:

O

r'

r''

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111 Geometria Descritiva

3. Efetuar uma mudança de planos para o plano dado (a,b) de modo que se torne de topo.

Observação: Para realizar uma MP sem LT para o plano: basta considerar um plano horizontal e usar ()’ como se fosse (para MPV) ou um plano frontal e usar ( )” como se fosse π (para MPH).

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112 Geometria Descritiva

4. Efetuar uma mudança de planos para o plano dado (a,b) de modo que se torne vertical.

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113 Geometria Descritiva

5. Representar a interseção da reta dada r com o plano dado .

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114 Geometria Descritiva

6. Representar a reta pertencente a um ponto dado Q e perpendicular ao plano dado (a,b).

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115 Geometria Descritiva 1.3. Dupla Mudança de Planos Para se efetuar uma dupla mudança de planos deve-se primeiro realizar uma MPV (ou MPH), obtendo-se um segundo sistema de representação, e a seguir, efetuar a partir deste segundo sistema uma MPH (ou MPV), chegando-se a um terceiro sistema de representação. Exercícios 1. Efetuar uma dupla mudança de plano para o ponto A. a) Efetuar MPV e a seguir MPH

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116 Geometria Descritiva b) Efetuar MPH e a seguir MPV

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117 Geometria Descritiva 2. Tornar a reta r(A,B) vertical.

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118 Geometria Descritiva 3. Tornar a reta r(A,B) de topo.

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119 Geometria Descritiva

4. Mediante Dupla Mudança de Planos tornar (a,b) horizontal.

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120 Geometria Descritiva

5. Mediante Dupla Mudança de Planos tornar (a,b) frontal.

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121 Geometria Descritiva Exercícios propostos 1. Representar um ponto B distante m de um ponto dado A, sabendo-se que A e B pertencem a uma reta dada r. a) m=10

b) m=10

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122 Geometria Descritiva 2. Representar a perpendicular comum a duas retas não coplanares r e s dadas, ou seja, obter a distância entre duas retas dadas não coplanares. a) r é vertical e s é qualquer

s"

s'

r'

r''

b) r é de topo e s é qualquer

s"

s'

r''

r'

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123 Geometria Descritiva c) r é horizontal e s é qualquer

s"

s'

r''

r'O

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124 Geometria Descritiva d) r é frontal e s é qualquer

s'

s''

r'

r''

O

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125 Geometria Descritiva e) r e s são quaisquer

s'

s''

r'

r'

O

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126 Geometria Descritiva

O

3. Representar um quadrado ABCD contido num plano (A,B,P) qualquer, sendo dados A(20,20,30), B(50,10,50) e P(100,60,20).

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127 Geometria Descritiva

O

4. Representar um triângulo eqüilátero ABC contido num plano (A,B,P) qualquer, sendo dados A(20,50,30), B(50,10,50) e P(100,30,20).

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128 Geometria Descritiva

O

5. Representar um pirâmide reta de base quadrada ABCD contida num plano (A,B,P) qualquer e altura h=40. São dados A(40,10,50), B(60,30,40) e P(10,40,10).

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129 Geometria Descritiva

O

6. Representar um hexaedro regular ABCDEFGH (cubo), sabendo-se que a face ABCD está contida num plano (A,B,P) qualquer. São dados A(30,20,20), B(50,10,30) e P(70,60,10).

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130 Geometria Descritiva 2. Método da Rotação

No método da Mudança de Planos o observador é operante, ou seja, ele muda de lugar. No método da Rotação o objeto é que se move em torno de um eixo.

Somente podemos efetuar uma rotação quando o eixo é vertical ou de topo. Quando não

for deste tipo é necessário fazer uma Mudança de Plano (se o eixo for horizontal, frontal ou fronto-horizontal) ou uma Dupla Mudança de Plano (quando o eixo for qualquer ou de perfil). 2.1. Rotação do ponto em torno de um eixo vertical de uma amplitude dada.

x

Beta

u'=C'

C''

C

u

A

A''

Ao

A''o

u''

A' A'o

2.2. Rotação do ponto em torno de um eixo de topo de uma amplitude dada. Exercícios 1. Obter a verdadeira grandeza do segmento dado AB, bem como o ângulo que a reta AB forma com π . 2. Obter a verdadeira grandeza do segmento dado AB, bem como o ângulo que a reta AB forma com π .