4lista_aneis_2012
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Lista 4 - Teoria de An´ eis - 2012 Professor: Marcelo M.S. Alves Data: 13/02/2013 1. Encontre as fatora¸c˜ oes de f (x)= x 4 - 4 em Q[x], R[x]e C[x]. 2. Seja p(x)= x 2 + 1 em Z 7 [x], e seja K = Z 7 [x]/hp(x)i. (a) Verifique que (a + b[x])(c + d[x]) = (ac - bd)+(ad + bc)[x] para todos a, b, c, d ∈ Z 7 . (b) Prove que K = Z 7 [x]/hp(x)i ´ e um corpo. (c) Mostre que K tem 49 elementos. 3. Mostre que existe um isomorfismo de Q[x]/hx 2 - 2i com Q( √ 2) = {a + b √ 2; a, b ∈ Q}. Para isso, (a) Explique porque a aplica¸c˜ao de Q[x] em Q[ √ 2] dada por f (x) 7→ f ( √ 2) ´ e um homomorfismo de an´ eis (procure resultados na teoria; n˜ ao ´ e preciso provar que ´ e homomorfismo direto da defini¸ c˜ao). (b) Mostre que seu n´ ucleo ´ e o ideal gerado por x 2 - 2. (c) Use o teorema dos homomorfismos para provar que a aplica¸ c˜ao ϕ : Q[x]/hx 2 - 2i → Q[ √ 2] [f (x)] 7→ f ( √ 2) ´ e um isomorfismo de an´ eis. 4. Seja α ∈ C uma raiz de p(x) ∈ Q[x] de grau n. Considere o homomorfismo ϕ : Q[x] → C dado por f (x) 7→ f (α). (a) Seja Q(α) a imagem de ϕ. Mostre que todo elemento n˜ ao-nulo de Q(α) se escreve como r(α) para um polinˆ omio r(x) ∈ Q[x] com ∂ (r(x)) ≤ n - 1. (b) Suponha que p(x)´ e irredut´ ıvel em Q[x]; explique porque a aplica¸c˜ ao Q[x]/hp(x)i → Q(α) [f (x)] 7→ f (α) ´ e um isomorfismo de an´ eis (na verdade, de corpos). 5. Considere o polinˆomio f (x)= x 3 - 2 ∈ Q[x]. (a) Encontre suas ra´ ızes. Verifique que h´a duas conjugadas e uma raiz real, que n˜ao ´ e racional. (b) Prove que f (x)´ e irredut´ ıvel sobre Q. (use o item anterior . . . ) (c) Mostre que Q(α)e Q(β ) s˜ ao an´ eis isomorfos para quaisquer ra´ ızes α e β de f (x)– mesmo que um esteja contido em R e o outro n˜ ao. (sugest˜ ao: n˜ ao ´ e preciso fazer conta alguma. Use o exercicio (4)).
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Teoria de Aneis
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Lista 4 - Teoria de Aneis - 2012
Professor: Marcelo M.S. AlvesData: 13/02/2013
1. Encontre as fatoracoes de f(x) = x4 4 em Q[x], R[x] e C[x].2. Seja p(x) = x2 + 1 em Z7[x], e seja K = Z7[x]/p(x).
(a) Verifique que (a+ b[x])(c+ d[x]) = (ac bd) + (ad+ bc)[x] para todos a, b, c, d Z7.(b) Prove que K = Z7[x]/p(x) e um corpo.(c) Mostre que K tem 49 elementos.
3. Mostre que existe um isomorfismo de Q[x]/x2 2 com Q(2) = {a + b2; a, b Q}.Para isso,
(a) Explique porque a aplicacao de Q[x] em Q[
2] dada por f(x) 7 f(2) e umhomomorfismo de aneis (procure resultados na teoria; nao e preciso provar que ehomomorfismo direto da definicao).
(b) Mostre que seu nucleo e o ideal gerado por x2 2.(c) Use o teorema dos homomorfismos para provar que a aplicacao
: Q[x]/x2 2 Q[
2]
[f(x)] 7 f(
2)
e um isomorfismo de aneis.
4. Seja C uma raiz de p(x) Q[x] de grau n. Considere o homomorfismo : Q[x] Cdado por f(x) 7 f().(a) Seja Q() a imagem de . Mostre que todo elemento nao-nulo de Q() se escreve
como r() para um polinomio r(x) Q[x] com (r(x)) n 1.(b) Suponha que p(x) e irredutvel em Q[x]; explique porque a aplicacao
Q[x]/p(x) Q()[f(x)] 7 f()
e um isomorfismo de aneis (na verdade, de corpos).
5. Considere o polinomio f(x) = x3 2 Q[x].(a) Encontre suas razes. Verifique que ha duas conjugadas e uma raiz real, que nao e
racional.
(b) Prove que f(x) e irredutvel sobre Q. (use o item anterior . . . )(c) Mostre que Q() e Q() sao aneis isomorfos para quaisquer razes e de f(x)
mesmo que um esteja contido em R e o outro nao. (sugestao: nao e preciso fazerconta alguma. Use o exercicio (4)).
