objetivos17AULAPr-requisito Meta da aula Separao da equao de Schrdinger em coordenadas cartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalEstudar uma partcula quntica livre e presa em uma caixa em trs dimenses. identifcar as difculdades para resolver a equao de Schrdinger em trs dimenses; reconhecer que, para alguns potenciais, chamados separveis, a equao de Schrdinger em trs dimenses pode ser escrita na forma de trs equaes de Schrdinger em uma dimenso; aplicar esse estudo ao caso da partcula livre em trs dimenses e de uma partcula em uma caixa.Para melhor compreenso desta aula, preciso que voc reveja as Aulas 4 e 7 desta disciplina.84CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 85AULA 17 MDULO 1EQUAO DE SCHRDINGER EM TRS DIMENSESVimos, na Aula 4 desta disciplina, que uma partcula microscpica (por exemplo, um eltron) tem o seu estado, em um instante de tempo t, completamente defnido por uma funo complexa chamada funo de onda, indicada pelo smbolo (x, y, z, t), em que (x, y, z) so as coordenadas espaciais cartesianas. Supondo que a partcula tenha massa m e se mova sob a infuncia de uma energia potencial V(x, y, z, t), vimos que essa funo de onda satisfaz a equao de Schrdinger dependente do tempo: (17.1) Inicialmente, vamos generalizar esse resultado para o problema maisgeraldeduaspartculas,demassasmAemB,nasposies (xA , yA , zA) e (xB , yB , zB), respectivamente, que interagem por meio de um potencial V(x, y, z, t) que depende apenas das coordenadas relativas, x = xA xB , y = yA yB , z = zA zB. Sabemos, do curso de Mecnica, que esseproblemaseresolvepormeiodeumamudanadecoordenadas para as coordenadas relativas e do centro de massa. O movimento da coordenada do centro de massa estar sujeito ao de foras externas. Vamosdeix-lodeladonomomento,poisnossofocooestudodo movimento da coordenada relativa. Na coordenada relativa, o problema equivalente ao estudo de uma nica partcula de massa (a chamada massa reduzida),quesemovimentanopotencialV(x,y,z,t).Nestecaso, a Equao de Schrdinger tem a forma:

(17.2) Note que o caso particular de uma nica partcula de massa m, estudado pela Equao (17.1), pode tambm ser estudado pela Equao (17.2). Para isso, basta fazer mA = m, mB = ; e, considerando que esta ltima partcula est na origem de coordenadas, xB = yB = zB = 0. No caso em que o potencial V no dependa explicitamente do tempo, V =V(x, y, z), podemos separar a funo de onda (x, y, z, t) no produto de uma funo das coordenadas (x, y, z) e outra do tempo, da forma: .(17.3)it m x y zV x z t hh + + ,,]]] + 2 2222222( , , , ) . y+ ( ) m m m mA B A Bit x y zV x y z t hh + + ,,]]] + 2 2222222( , , , ) .( , , , ) ( , , )/x y z t x y ziEt

eh84CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 85AULA 17 MDULO 1ATIVIDADE Onde,analogamenteaocasounidimensional,Erepresentaaenergia totaldosistema.SubstituindoaEquao(17.3)naEquao(17.2), obtemosaequaodeSchrdingerindependentedotemponocaso tridimensional:.(17.4)A Equao (17.4) pode tambm ser escrita na forma ,em que 2 o operador laplaciano.1. Verifque que a funo de onda (x, y, z, t), dada pela Equao (17.3),soluodaequaodeSchrdingerdependentedo tempo, Equao (17.2), se (x, y, z) for soluo da equao de Schrdinger independente do tempo, Equao (17.4)._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________RESPOSTA COMENTADAVamos substituir a funo de onda (x, y, z, t), defnida pela Equao (17.3), na Equao (17.2): it x y zVxyzt hh = + + + 2 2222222( , , , )itxyzx y zeiEthhh = + + ( , , )/e2 2222222iiEt iEtiEtVxyzt xyz eE xyz e/ //( , , , ) ( , , )( , , )h hhh+= 2 22 xx y ze Vxyzt xyz eEiEt iEt22222+ + + / /( , , , ) ( , , )h h(( , , ) ( , , , ) ( , , xyx y zVxyzt xyz z = + + +h2 2222222 )),queprecisamenteaEquao(17.4),comoqueramos demonstrar. + =h222 Vxyz xyz E xyz ( , , ) ( , , ) ( , , )+ + +h2 2222222 x y zVxyz xyz E xyz ( , , ) , , , , ( )= ( )86CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 87AULA 17 MDULO 1ObservamosqueaequaodeSchrdingerindependentedo tempo, neste caso tridimensional, uma equao em derivadas parciais de segunda ordem, diferentemente da equao de Schrdinger independente do tempo no caso unidimensional, que estudamos em detalhes no Mdulo 2, e que era uma equao diferencial ordinria, tambm de segunda ordem. Comoconseqnciadisso,asoluodaEquao(17.4)somentepode serobtidaemformaexplcitaemalgunscasossimples.Emparticular,a soluo vai ser possvel quando a forma do potencial permitir a utilizao doprocedimentodeseparaodevariveis.Nessecaso,aequaode Schrdinger tridimensional pode ser reduzida a equaes mais simples em uma dimenso. Vamos estudar, primeiramente, o caso em que a equao de Schrdinger separvel em coordenadas cartesianas. Futuramente, veremos casos em que essa equao separvel em coordenadas esfricas.SEPARAO DA EQUAO DE SCHRDINGER EM COORDENADAS CARTESIANASVamos considerar, inicialmente, o caso em que o potencial V(x, y ,z) pode ser escrito na seguinte forma:

.(17.5)Nestecaso,aequaodeSchrdinger(17.4)podeserescrita na forma:(17.6) .A forma dessa equao sugere que procuremos solues que sejam produtos de trs funes de uma varivel, . (17.7)Substituindo a Equao (17.7) na Equao (17.6) e dividindo os dois lados por (x, y, z), obtemos:V x y z V x V y V z ( , , ) ( ) ( ) ( )+ +1 2 3+,,]]] + +,,]]] + +h h h2 22 12 22 22 222 2 2 xV xyV yzV ( ) ( )33( ) , , , , z x y z E x y z,,]]] ( ) = ( )+,,]]] + +,,]]] + +h h h2 22 12 22 22 222 2 2 xV xyV yzV ( ) ( )33( ) , , , , z x y z E x y z,,]]] ( ) = ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z 1 2 386CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 87AULA 17 MDULO 1 +,,]]] + +,,]]] + h h h2 22 12 22 22121 1122ddxV xddyV y ( ) ( )22 22 321 33=ddzV z E +,,]]]( ) (17.8)Cada uma das expresses nos colchetes funo de apenas uma dasvariveisx,yez.Portanto,paraqueasomadessasexpresses seja igual constante E, cada uma delas deve ser uma constante, que denominamos E1, E2, E3, respectivamente. Obtemos, ento, o sistema de trs equaes diferenciais ordinrias: , (17.9.a)

, (17.9.b)

,(17.9.c)com a condio adicional. (17.9.d)Cadaumadasequaes(17.9.a.b.c)temaformadaequao de Schrdinger unidimensional, que estudamos no Mdulo 2. Vemos, portanto, que no caso do potencial ser separvel (na forma indicada pela Equao (17.5)), a soluo da equao de Schrdinger tridimensional pode ser expressa em termos dos resultados conhecidos para as solues da equao de Schrdinger unidimensional. A seguir, vamos considerar os seguintes exemplos: o estudo da partcula livre em trs dimenses, de uma partcula em uma caixa de potencial em trs dimenses e, fnalmente, doosciladorharmnicotridimensional.Nestaaula,consideraremos apenas os dois primeiros desses sistemas, deixando o estudo do oscilador harmnico para ser feito na prxima aula. +,,]]] + +,,]]] + h h h2 22 12 22 22121 1122ddxV xddyV y ( ) ( )22 22 321 33=ddzV z E +,,]]]( ) +h2 22 1 12 ddxV x E x11 1(x)= ( ) ( ) +h2 22 2 22 ddyV y y E y22 2( )= ( ) ( ) +h2 22 3 32 ddzV z z E z33 3( )= ( ) ( )E E E E1 2 3+ + . 88CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 89AULA 17 MDULO 1 A PARTCULA LIVRE EM TRS DIMENSESComo primeiro exemplo, vamos considerar o movimento de uma partculalivredemassa.Nestecaso,opotencialnuloemtodoo espao, e a equao de Schrdinger (17.4) fca na forma: .. (17.10)Essa equao facilmente separvel em coordenadas cartesianas, considerando V1(x) = V2(y) = V3(z) = 0. Por exemplo, a Equao (17.9.a) vai ser escrita na forma:

,(17.11)que exatamente a mesma forma da Equao (7.1) da Aula 7, para o caso da partcula livre em uma dimenso. Lembrando o que foi discutido naquela aula, a Equao (17.11) tem soluo para todo valor de E1 > 0, e essa soluo tem a forma: , (17.12.a)ondee A1 e B1 so constantes arbitrrias. Procedendo da mesma forma com as Equaes (17.9.b) e (17.9.c), obtemos:, (17.12.b). (17.12.c)Portanto, a soluo da equao de Schrdinger (x, y, z) = 1(x) 2(y) 3(z) pode ser escrita como uma combinao linear de estados na forma (17.13)em que defnimos o vetor de onda= (k1, k2, k3), e o vetor posio da partcula= (x, y, z). Finalmente, da Equao (17.9.d) obtemos:

, (17.14)onde p o mdulo do vetor momento.+ + ,,]]]h2 2222222 x y zE x y z = ( ) , , h2 22 12ddxE x11= ( )1( ) x A e B eik x ik x +1 11 1k E1 12 / h2( ) y A e B eik y ik y +2 22 23( ) z A e B eik z ik z +3 33 3( , , ) ,( ) .x y z Ce Cei k x k y k z i k r + +1 2 3rrp kurhr

krrrE E E E k k kk p + ++ +( )

1 2 321222322 2 22 2 2h h 88CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 89AULA 17 MDULO 1ATIVIDADE Operador momento linear, que em uma dimensoera, passa a ser, em trs dimenses,, onde

o operador gradiente.p ix= hrhrp i = r =++ x xy yz z 2. Mostre que a funo de onda (17.13) autofuno do operador momento com autovalor.RESPOSTA COMENTADAVamosaplicarooperadormomentofunodeonda (17.13): como queramos demonstrar.hrkrhrhp xyz i CeixCei kx ky kzi kx ky kx y zx y z( , , ) ,,]]] + +( )+ + zz i kx ky kz i kx ky kzxyCe yzCex y z x y z ( )+ +( )+ + ,,]]]+,,]]]+ (( )+ +( )+,,]]] +zi ik Ce x ik Cexi kx ky kzyi kx kx y z xhyy z x y zy kzzi kx ky kzx y zy ik Ce zkx k y k z xy+( )+ +( )+ + +( ) ( , h ,, ) ( , , ) , z k xyzhrEmrelaocondiodenormalizaodafunodeondada partcula livre descrita pela Equao (17.13), temos, de maneira similar vista na Aula 7, que ela pode ser escrita na forma:(17.15)( , , ) . xyz dxdydz C dxdydz2 21 1 = = !,90CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 91AULA 17 MDULO 1Novamentetemosumproblema,poisaintegraltem valor infnito, de modo que teramos de ter C = 0. Lembramos que essa difculdadesurgiuporqueasituaodeumapartculalivreemuma regio de extenso infnita no-fsica, j que os experimentos so sempre realizados em locais com extenso fnita. Em sistemas tridimensionais comooqueestamosconsiderando,istopodeserconseguido,por exemplo,impondoqueafunodeondasejanormalizadaemuma caixa cbica de lado L. A condio de normalizao torna-se, ento Chegamos,dessamaneira,aovalordeCquenormalizaafunode onda da partcula livre em trs dimenses. Observamos que a escolha da forma e do tamanho da caixa foram arbitrrios, mas, como no caso unidimensional, as propriedades da funo de onda no dependem do valor da constante C. Podemos, portanto, considerar que a funo de ondanormalizadaparaapartculalivremovimentando-seemtrs dimenses com momento dada por: (17.17)A PARTCULA EM UMA CAIXA EM TRS DIMENSESComo segundo exemplo, vamos considerar uma partcula de massa que se movimenta dentro de uma caixa com forma de paraleleppedo de lados L1, L2, L3 e de paredes impenetrveis. No interior da caixa, o potencial V constante, e consideramos que o valor do mesmo zero, enquantonasparedesVinfnito.Esseproblema,portanto,uma extensoparatrsdimensesdoestudodopooquadradoinfnito estudado na Aula 14. A equao de Schrdinger a ser resolvida no interior da caixa similar ao caso da partcula livre, , (17.18)dxdydz ( , , ) x y z dxdydz C dxdydzLLLLLLLLLL2222222222221 1 ( )LLCL2231( , , ) x y z dxdydz C dxdydzLLLLLLLLLL2222222222221 1 ( )LLCL2231p kurhr

( , , ) ./ .x y z L ei k r

3 2rr+ + ,,]]]h2 2222222 xE x y zy z= ( ) , ,.(17.16)90CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 91AULA 17 MDULO 1masagoratemosdeacrescentaracondiodequeafunodeonda (x,y,z)devesernulanasparedes(etambmnoespaoexterior caixa). Considerando a origem de coordenadas em uma das quinas da caixa e, lembrando que, temos que, para 0 x L1, a funo de onda 1(x) satisfaz a equao (17.19)com as condies 1(0) = 1(L1) = 0. A partir dos resultados obtidos na Aula 14, os valores possveis para E1 so: .(17.20)As autofunes correspondentes, j normalizadas, vo ter a forma:. (17.21)Efetuando o mesmo procedimento para as funes de onda 2(y) e 3(z), obtemos que as funes de onda normalizadas para a partcula na caixa tridimensional so dadas pela expresso: . (17.22)Os valores da energia associados a esta funo de onda so: .(17.23)Vemos que, para valores diferentes dos lados L1, L2, L3 da caixa, temos,emgeral,quecadaconjuntodevaloresdosnmerosqunticos n1, n2, n3tem associado um nico valor da energia. Mais precisa-mente,issoacontecequandoasrelaesentreosladosdacaixaso nmerosincomensurveis,ouseja,nosonmerosracionais.Neste caso, em que ao nvel de energiacorresponde um nico estado do ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z 1 2 3EnLnn12 21212 121 2 3h , , , ,...E E E EnLnLnLn n n n n n1 2 3 1 2 32 21212222232322 + ++ +j(,\,(h.En n n1 2 3En n n1 2 3 h2 22 12ddxE x11= ( )nxLnLx n121 2 311 2111( ) , , , ,.../

j(,\,(j(,\,( sen n n nx y zL L LnLxnLy1 2 381 2 31 21122( , , )/

j(,\,(j(,\,(j(,sen sen\\,(j(,\,(sennLz3392CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 93AULA 17 MDULO 1sistema, caracterizado pela funo de onda, temos um nvel de energia no-degenerado.Vamosver,naprximaaula,quesedoisoumais ladosdacaixaforemiguais,podemostermaisdeumestadocomo mesmo valor da energia, ou seja, nveis degenerados. Como observao fnal,mencionamosqueosnveisdeenergiadapartculalivreso infnitamente degenerados. De fato, vimos que a energia da partcula dadapore,portanto,todasasfunesdeonda, associadas a vetores = (k1, k2, k3) com o mesmo mdulo, tm o mesmo valor da energia.E k = h2 22 /krATIVIDADE 3.Considereumapartculademassaemumacaixaemtrs dimenses em que L1 = L2 = L e L3 = L/2. Calcule as energias e as degenerescncias dos dois nveis de energia mais baixa.RESPOSTA COMENTADAPartimos da expresso (17.23) para as energias permitidas: Vamos agora inspecionar os valores (inteiros e positivos) de n1 , n2e n3 que fornecem as energias mais baixas. Certamente, a energia mais baixa (estado fundamental) ocorre com n1 = n2 = n3 = 1. Apenas essa combinao de nmeros qunticos fornece a energia mais baixa, que igual a. J, para o primeiro estado excitado, um dos nmeros qunticos ser igual a 2 e os demais permanecem sendo iguais a 1. Vemos que tanto (n1 , n2 , n3) = (2,1,1) como (n1 , n2 , n3) = (1, 2, 1) fornecem amesma energia, que, portanto, tem degenerescncia igual a 2.EnLnLnL Ln nnnn1 2 32 21212222232322 22 12222 24 = + + = + +h hnn32( )EL L1112 222 2221 1 43= + + ( ) =h hE EL L211 1212 222 2224 1 492= = + + ( ) =h h( , , )( ) .xyz Ce Ceikx ky kz i k r= =+ +1 2 3rr92CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 93AULA 17 MDULO 1RESPOSTA COMENTADAA defnio da densidade de corrente de probabilidade foi obtida, na Aula 6, calculando-se a derivada temporal da densidade de probabilidade,. Executamos, agora, os mesmos passos, s que em trs dimenses: . Usando a equao de Schrdinger e sua complexa conjugada:,podemos escrever ,onde,noltimopasso,usamosaidentidade(lembre-se: signifca o divergente do vetor).Note que essa equao pode ser escrita da seguinte forma:, que uma equao de continuidade em trs dimenses. A densidade de corrente de probabilidade agora um vetor, dado por:

ATIVIDADES FINAIS1. Obtenha a expresso para a densidade de corrente de probabilidade em trs dimenses, seguindo os mesmos passos que foram tomados em uma dimenso na Aula 6 (Equaes (6.16) a (6.20)).( , ) x tt2

,]] + ( , )( , ) ( , )* **rr rr tt tr t r tt t2r r 2+ ( , )rr rr ttj20r r h rrr rrrj r timr t r t r t r t ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .* * ,]]2 r r ,]] ,]] ( , )* * * *rh hr r rr ttimim22 22 2r r it mVit mVhhhh + + 222222** *94CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 95AULA 17 MDULO 12. Calcule a densidade de corrente de probabilidade para uma partcula livre em trs dimenses descrita pela funo de onda (17.13).RESPOSTA COMENTADAPartimosdafunodeonda(17.13):. Para calcularmos a densidade de corrente de probabilidade, precisamos tomar o gradiente de e de sua complexa conjugada. Como vimos na Atividade 2 desta aula, isso equivalente a aplicar o operador momento, e o resultado :.Substituindo esse resultado na expresso para a densidade de probabilidade encontrada na atividade anterior, obtemos: .Compare essa expresso com a que foi obtida na Atividade 3 da Aula 7, para ocasounidimensional.Ageneralizaoimediata.Aquitambmpodemos fazer analogia com o caso de um fuido de densidade , movendo-se com a velocidade de grupo da onda.rrrr ik ik ,* *r r hrr r hrj rkmr rkmC ( ) ( ) ( )* ,]] 222 C2rhrg km( , , )( ) .x y z Ce Cei k x k y k z i k r + +1 2 3rr94CE DE R JIntroduo Mecnica Quntica | Separao da equao de Schrdinger em coordenadascartesianas 1. Partcula livre e caixa de potencial tridimensionalCE DE R J 95AULA 17 MDULO 1INFORMAES SOBRE A PRXIMA AULANaprximaaula,vamosestudarocasoparticulardacaixatridimensionalem que os lados so iguais (caixa cbica), estudando o grau de degenerescncia dos nveisdeenergia,etambmconsideraraaplicaodomtododeseparao daequaodeSchrdingeremcoordenadascartesianasaocasodooscilador harmnico tridimensional.R E S UMOEmboraaresoluodaequaodeSchrdingernocasotridimensionalseja muitomaisdifcildoquenounidimensional(porsetratardeumaequao emderivadasparciais),elapodeserdesenvolvidafacilmentenocasoemque opotencialsejaseparvel.Nocasodeumapartculalivreemtrsdimenses, soobtidosresultadossemelhantesaodounidimensional,sendoosestados qunticosdapartculacaracterizadospelovetorpropagao=(k1,k2,k3), edadosexplicitamentepelasfunesdeonda,com energias.Seumapartculasemovimentanointeriordeuma caixa tridimensional, as funes de onda e os nveis de energia lembram os do poo de potencial infnito, mas, neste caso, as funes de onda e os nveis de energia so caracterizados pelos trs ndices (nmeros qunticos) n1 , n2 , n3 = 1, 2, 3,... . Para uma escolha qualquer das dimenses laterais da caixa, esses nveis so, em geral, no-degenerados, enquanto, no caso da partcula livre com energia , eles so infnitamente degenerados. ( , , )( )x y z Cei k x k y k z

+ +1 2 3krE kh2 22 / E kh2 22 /