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Um estudo de Caso para o Modelo qGM:Interferometro de Mach-Zehnder∗

Rafael Burlamaqui Amaral†, Renata Reiser, Antonio Carlos da Rocha Costa

1Universidade Catolica de Pelotas (UCPEL)Programa de Pos-Graduacao em Informatica (PPGINF)

Mestrado em Ciencia da ComputacaoRua Felix da Cunha, 412 – Pelotas – RS – Brazil

{rafaelbba,reiser,rocha}@ucpel.tche.br

Abstract. This paper discusses an interpretation of Mach-Zehnder interferom-eter based on the qGM model. The ordered structure of the qGM model showncapable of represent the processes construction and quantum states based onthe conception of partial objects, considering the inclusion relation as the orderof information. For the partial representation of unit transformation and asso-ciated states with systems of one q-bit, was obtained an interpretation to thedifferent ways on the interferometer according with the results expected by theinterference phenomenon. However, this interpretation cannot be obtained outof the conceptual scheme of Domain Theory, and it requires an extension of thedescription of circuit language.

Resumo. Este artigo aborda uma interpretacao do Interferometro de Mach-Zehnder baseada no modelo qGM. A estrutura ordenada do modelo qGMmostra-se capaz de representar a construcao dos processos e dos estadosquanticos baseado na concepcao de objetos parciais, considerando a relacaode inclusao como a ordem de informacao. Pela representacao parcial das trans-formacoes unitarias e estados associados a sistemas de um q-bit, obteve-se umainterpretacao para os distintos caminhos no interferometro que esta de acordocom os resultados esperados pelo fenomeno da interferencia. Entretanto, estainterpretacao nao pode ser obtida fora do esquema conceitual da Teoria dosDomınios, exigindo uma extensao da linguagem de descricao de circuitos.

1. IntroducaoO modelo de Maquina Geometrica (qGM) [Reiser et al. 2007b, Reiser et al. 2007a] estafundamentado na teoria dos domınios [Abramsky and Duncan 2004]. Na versao quanticadesse modelo, os objetos do domınio de estados S∞ e do domınio de processos D∞ saoconjuntos coerentes que interpretam os estados e processos quanticos, ambos rotula-dos por pontos de um espaco geometrico, constituindo o espaco coerente de posicoesde memoria Q e caracterizando a base computacional para o espaco de Hilbert. Aconstrucao do domınio de estados e de processos e obtida em nıveis ou subdomınios,modelando as possıveis dimensoes do sistema quantico. O processo de completacaogarante interpretacao para estados e processos possivelmente infinitos. Pela aplicacao

∗Projeto Parcialmente Financiado CNPq/Universal (Processo 476933/20072)†Bolsista CAPES

Anais do VII Simpósio de Informática da Região Centro do RS - SIRC/RS 2008 - ISBN 978-85-88667-89-1Santa Maria - RS, junho de 2008.

de funcoes estaveis, obtem-se, em cada nıvel, a interpretacao para o paralelismo quantico.A computacao e concebida como uma transicao de estados associada a uma localizacaoespacial, e as transformacoes unitarias sao obtidas a partir da sincronizacao de processoselementares classicos, satisfazendo as condicoes de normalizacao e ortogonalidade.

Uma das principais contribuicoes do modelo qGM e a possibilidade de mode-lagem da informacao a partir da representacao parcial associada aos estados e proces-sos, apresentando uma interpretacao semantica uniforme para fenomenos inerentes acomputacao quantica, como a descricao da interferencia quantica. Assim, o objetivodeste trabalho e apresentar a evolucao de estados e portas quanticas, referentes a versaoquantica do Interferometro de Mach-Zehnder (IMZ), desde a construcao da estrutura or-denada que constroi a informacao referente aos estados deste sistema, passando pelaconstrucao dos conjuntos coerentes que correspondem a transicao dos estados associados.Mostram-se que as interpretacoes associadas aos objetos parciais sao capazes de descr-ever as transformacoes que ocorrem quando da evolucao dos estados em cada um doscaminhos individuais do interferometro, e de forma independente. Esta descricao aux-ilia a compreensao e aplicacao da interferencia, e nao pode ser obtida fora do esquemaconceitual da Teoria dos Domınios, modelando as construcoes computacionais parciais.

A descricao da porta optica IMZ e considerado na Secao 2. Posteriormente,apresenta-se sua interpretacao no modelo qGM, incluindo uma breve analise compara-tiva com o modelo de circuitos. Na conclusao, os resultados alcancados sao resumidos.

2. Fenomeno da InterferenciaO fenomeno de interferencia e de fundamental importancia na discussao dos conceitosbasicos da Fısica Quantica envolvendo superposicao e medidas. Segue-se, por con-sequencia, sua importancia como instrumento para compreensao e desenvolvimento dealgoritmos quanticos, gerando superposicao quando da entrada de dados classicos e in-duzindo a ocorrencia de interferencia construtivas nas saıdas (medidas) relevantes.

Este trabalho considera o Interferometro de Mach-Zehnder (IMZ), por tratar-se deinstrumento analogo ao experimento de dupla fenda [Lula. 2004, Imre and Balazs 2005,Nielsen and Chuang 2000], que apresenta uma forma simplificada e atual do fenomenode interferencia, facilitando sua compreensao, incluindo acesso as ferramentas parasimulacao desse experimento, como o Interferometro Virtual de Mach-Zehnder[Ricci T. F. 2007]. Os principais conceitos na definicao de um interferometro, e consid-erados quando de sua interpretacao na qGM, sao a introducao de uma mudanca de faseentre diferentes caminhos opticos e a superposicao das ondas assim defasadas.

A versao quantica da porta optica IMZ esta baseada na diminuicao da intensidadedo feixe, induzindo a emissao intermitente de fotons. Neste caso, tornam-se necessariosdetectores suficientemente sensıveis, localizados ao final doaparato, capazes de detectar apresenca de fotons unicos denominados feixes monofotonicos [Junior 2003].A estruturae o funcionamento da porta optica pode ser graficamente representado como na Figura 1.Tem-se uma entrada para os possıveis caminhos, representados por |0〉 e |1〉 na notacao deDirac [Knill and Laflamme 1998]. Verifica-se que o aparato possui dois espelhos semi-refletores (ES1, ES2) e dois refletores (E1,E2). Um espelho semi-refletor e um dispositivoque reflete metade da onda de luz incidente, transmitindo a outra metade sem ser afe-tada, introduzindo desta forma, diferentes atrasos na propagacao ao longo dos caminhos.


Quando nao ocorre reflexao de parte da luz, os espelhos nao causam perdas.

Tem-se tambem a presenca de defasadores θ0 e θ1 que podem representar, por ex-emplo, uma mudanca no tamanho do percurso nos caminhos opticos do interferometro,caracterizando uma mudanca de fase dos feixes de onda. Na sequencia, os feixes deondas passam novamente por um espelho semi-prateado, para finalmente alcancarem osdispositivos D0 e D1 (detectores da intensidade da onda nas respectivas saıdas do in-terferometro). Como cada componente da onda incidente se desloca por um caminhodistinto, poderıamos esperar que cada detector D0 e D1 medisse 50% do feixe mono-fotonico. Mas o experimento mostra que 100% do feixe original incide no detectorD1 (superposicao construtiva de onda em D1) e, portanto, em D0 nao ocorre registro(superposicao destrutiva de onda em D0 [Lima and Junior 2007]. Portanto, o uso do in-terferometro viabiliza a verificacao do comportamento ondulatorio do feixe de luz.

De relevancia para a Fısica Quantica, salienta-se que esse comportamento da luzno aparato e mantido mesmo quando o feixe de entrada e constituıdo por um unico fotonincidente em cada instante, o que marca o estranhamento tıpico dos processos quanticos,dado que a interferencia so seria possıvel nesse caso se o foton pudesse percorrer os doiscaminhos ao mesmo tempo para, no final, interferir consigo mesmo [Deutsch et al. 2001].

Figura 1. Porta Optica do IMZ.

Figura 2. Circuito Quantico do IMZ.

2.1. Interferometro em Circuitos

Aplica-se a linguagem de circuitos na descricao do IMZ. Na Figura 3, introduzidaem [Imre and Balazs 2005, Lula. 2004], faz-se uso de portas quanticas sobre estados de1 q-bit, sendo que o estado inicial e indicado por |φ0〉. Cada espelho semi-prateado estarepresentado por uma porta Hadamard (H), e os defasadores θ0 e θ1 sao representados pelaporta unitaria Phase (P). A evolucao do sistema pode ser observada pela transformacaodos estados a partir de |ϕ0〉, resultando em novos estados |ϕ1〉, |ϕ2〉 e |ϕ3〉.

Aplicando-se uma abordagem baseada na Algebra Linear e restringindo-se ao es-tudo do espaco de Hilbert bi-dimensional l2(H2), considera-se na base computacional{|0〉, |1〉}, um vetor (α, β), com α, β numeros complexos satisfazendo a condicao de nor-malidade α2 + β2 = 1, representa o q-bit |Ψ〉 = α|0〉 + β|1〉 ∈ H2. As portas quanticasbasicas sao transformacoes lineares U (no caso H e P) definidas por matrizes unitariasde ordem 2, tais que U†U = UU† = I, onde U† indica a transposta conjugada da matriz


U. A evolucao temporal no circuito, associado a Figura 3, tem as seguintes etapas dedesenvolvimento, aplicando a notacao de Dirac e a notacao matricial:

|ϕ1〉 = H|ϕ0〉 ou ainda 1√

21√

2

=1√

2

(1 11 −1

) (10

)(1)

|ϕ2〉 = P|ϕ1〉1√

2ou ainda

(eiθ0

eiθ1

)=

(eiθ0 00 eiθ1

) 1√

21√

2

(2)

|ϕ3〉 = H|ϕ2〉 ou ainda12

(eiθ0 + eiθ1

eiθ0 − eiθ1

)=

1√2

1√2

1√2− 1√

2

eiθ01√2

eiθ11√2

(3)

A fatoracao da Eq. (3), resulta em:

|ϕ3〉 =12

ei2 (θ0+θ1)

((e

i2 (θ0−θ1) − e

−i2 (θ0−θ1)

(ei2 (θ0−θ1) + e

−i2 (θ0−θ1))

)(4)

Substituindo-se as exponenciais pelas funcoes trigonometricas, reduz-se a Eq. (4) a forma

|ϕ3〉 = ei2 (θ0+θ1)(isin(

θ0 − θ1

2)|0〉 + cos(

θ0 − θ1

2)|1〉) (5)

Omitindo-se a expressao ei2 (θ0+θ1) e sendo 4θ2 = θ0−θ1

2 , a Eq. (5) reduz-se a expressao:

|ϕ3〉 = isin(4θ

2)|0〉 + cos(

4θ

2)|1〉. (6)

Pela observacao da Eq. (6), verifica-se que se P0 = sin2(4θ2 ), e 4θ = 0 entao P0 = 0; casocontrario, se P1 = cos2(4θ2 ), e 4θ = 0 entao P1 = 1. Ou seja, a aplicacao de um feixemonofotonico no interferometro mostra que este ira interagir consigo mesmo, produzindointerferencia construtiva num dos detectores, e interferencia destrutiva no outro detector.

2.2. Interferometro no modelo qGM

Consideram-se agora os resultados obtidos em [Reiser et al. 2007b, Reiser et al. 2007a],para obter a interpretacao no modelo qGM dos estados |ϕi〉0≤i≤3 e portas quanticas U(H, P) relativos ao interferometro de Mach-Zehder, apresentado na Secao 2. Estainterpretacao estende-se ao conjunto de estados e de processos, incluindo uma analisecomparativa com o modelo de circuitos quanticos.

2.2.1. Interpretacao de estados

Cada estado |ϕi〉0≤i≤3 descrito na Secao 2 esta associado, no modelo qGM, a uma funcaoestavel ϕi0≤i≤3, definida do domınio de posicoes Qω para para o domınio de valores dememoria C (conjuntos coerentes de numeros complexos normalizados).


Seja SI o subespaco coerente de estados quanticos associado a porta IMZ. Paracada conjunto coerente x ∈ SI , tem-se o correspondente traco = tr(x) ∈ SI , ou seja, xpode ser descrito pelo conjunto de pares ordenados αn ≡ (ρ, θ)n ∈ x. Assim, tr(x) possuino maximo duas posicoes (0.0 e 1.0) associadas a valores de memoria normalizados nao-nulos 1, ou ainda, tr(ϕ) ≡ {α0.0, β0.1}{|α|2+|β|2≤1}.

Nesta interpretacao, os subconjuntos coerentes maximais para a condicaode normalizacao sao objetos totais em SI , dados pela expressao tr(ϕi)0≤i≤3 =

{α0.0i , β0.1

i }{|αi |2+|βi |2=1}. Os estados |ϕi〉 indicados na Figura 3 sao modelados em SI pelosconjuntos coerentes:

• tr(ϕ0) = {(1, 0)0.0, (0, 0)1.0}; • tr(ϕ1) = {( 1√

2, 0)0.0, ( 1

√2, 0)1.0};

• tr(ϕ2) = {( 1√

2eiθ0 , 0)0.0, ( 1

√2eiθ1 , 0)1.0}; • tr(ϕ3) = {(sin(4θ2 ), π2 )0.0, (cos(4θ2 ), 0)1.0}.

Salienta-se que os subconjuntos coerentes nao-vazios {( 1√

2, 0)0.0} e {( 1

√2, 0)1.0} em SI inter-

pretam estados parciais (aproximacoes nao maximais para a condicao de normalizacao)do estado tr(ϕ1) = {( 1

√2, 0)0.0, ( 1

√2, 0)1.0}. Tem-se que:

• {( 1√

2, 0)0.0} corresponde ao traco da funcao que ainda esta indefinida na posicao

1.0, ou seja, tem-se que primeira componente da superposicao |ϕ1〉 recebe o valor( 1√

2, 0) e todas as demais posicoes tem valor (0, 0), exceto a posicao |1〉 que esta

indefinida (recebe ⊥, indicando o conjunto vazio). Logo o conjunto coerente{( 1√

2, 0)0.0} interpreta o estado parcial 1

√2|0〉+⊥|1〉 (veja representacao na Figura 3.)

• {( 1√

2, 0)1.0} ⊆ {( 1

√2, 0)0.0, ( 1

√2, 0)1.0} corresponde ao traco da funcao que ainda esta

indefinida na posicao 0.0. Neste caso, o conjunto coerente {( 1√

2, 0)1.0} interpreta o

estado parcial ⊥|1〉 + 1√

2|1〉.

De forma analoga, obtem-se os demais os estados parciais apresentados nos distintoscaminhos do interferometro da Figura 3:

• {( 1√

2eiθ0 , 0)0.0} para 1

√2eiθ0 |0〉 + ⊥|1〉; • {( 1

√2eiθ1 , 0)1.0} para ⊥|0〉 + 1

√2eiθ0 |1〉;

• {(sin(4θ2 ), π2 )0.0} para i(sin(4θ2 )|0〉+⊥|1〉; • {(cos(4θ2 ), 0)1.0} para⊥|0〉+(cos(4θ2 )|1〉.

Esta analise estende-se aos demais conjuntos coerentes que interpretam os estados|ϕi〉0≤i≤3, de tal forma a se obter uma interpretacao para os distintos caminhos no inter-ferometro, de forma independente.

2.2.2. Interpretacao de Processos

Define-se, nesta secao o procedimento de construcao dos espacos coerentes relaciona-dos com as portas unitarias Hadamard e Phase, bem como sua correspondencia com omodelo de circuitos[Knill and Nielsen 2002, Lula. 2004, Junior 2003]. O conceito maisfundamental, na interpretacao proposta em [Reiser et al. 2007a, ?], e o de um processoelementar, o qual pode ser descrito como uma transicao entre estados classicos executadaem uma unidade de tempo computacional (1utc). Uma transformacao unitaria e definidapela sincronizacao de processos elementares classicos.

1Pares com valores de memoria nulos serao omitidos na representacao, quando nao relevantes no con-texto em estudo.


Figura 3. Circuitos opticos parciais do interferometro.

Seja pri. j a notacao para funcao projecao na posicao de memoria i. j ∈ Qω. Parainterpretacao das portas H e P no interferometro, considera-se a Prop. 1 apresentadaem [?], referente as seguintes operacoes classicas:

•h(0.0)(s)(k) =

{s(1.0) := pr(1.0)(s) = s(1.0),s(0.0) := { 1

√2

s(0.0) + 1√

2s(1.0)}, •h

(1.0)(s)(k) =

{s(0.0) := pr(0.0)(s) = s(0.0),s(1.0) := { 1

√2

s(0.0) − 1√

2s(1.0)}.

•p(0.0)(s)(k) =

{s(1.0) := pr(1.0)(s) = s(1.0),s(0.0) := eiθ0 s(0.0),

•p(1.0)(s)(k) =

{s(0.0) := pr(0.0)(s) = s(0.0),s(1.0) := eiθ1 s(0.0).

Aplicando-se a Def. 4.2 em [?], tem-se que H0 = {h(0.0), h(1.0)} ∈ D1 e o subconjuntocoerente interpretando a porta Hadamard, quando aplicada na posicao 0 (q-bit 0) nomodelo qGM. Os correspondentes objetos parciais sao:

• {h(0.0)} ∈ D1 interpretando( 1√

21√

2⊥ ⊥

)• {h(1.0)} ∈ D1 interpretando

(⊥ ⊥1√

21√

2

)• {p(0.0)} ∈ D1 interpretando

(eiθ0 0⊥ ⊥

)• {p(1.0)} ∈ D1 interpretando

(⊥ ⊥

0 eiθ1

)Alem disso, tem-se uma interpretacao para a evolucao (em etapas) dos estados,

mostrando-se separadamente o que ocorre em cada um dos caminhos do interferometro.No caso do percurso |0〉, observam-se os seguintes resultados parciais:

• Primeira etapa do percurso |0〉: 1√2|0〉 + ⊥|1〉 ⇒

1√2⊥

=

1√2

1√2

⊥ ⊥

( 10

)• Segunda etapa do percurso |0〉: 1√

2eiθ0 |0〉 + ⊥|1〉 ⇒

eiθ0√

2⊥

=

(eiθ0 0⊥ ⊥

) 1√2⊥

A evolucao dos estados pelo outro caminho, |1〉 pode ser construıda de forma analoga:

• Primeira etapa do percurso |1〉: ⊥|0〉 + 1√2|1〉 ⇒

⊥1√2

=

⊥ ⊥1√2

−1√2

( 10

)• Segunda etapa do percurso |1〉: ⊥|0〉 + 1√

2eiθ1 |1〉 ⇒

⊥eiθ1√

2

=

(⊥ ⊥

0 eiθ1

) ⊥1√2


Por fim, tem-se que, pela a uniao das aproximacoes parciais referentes a segunda etapa,nos diferentes caminhos do IMZ, {( 1

√2eiθ0 , 0)0.0} ∪ {( 1

√2eiθ1 , 0)1.0} obtem-se o estado de

superposicao eiθ0√

2|0〉 + eiθ1

√2|1〉. Aplicando-se as portas parciais da transformacao H, tem-se:

• Estado parcial incidindo no detectorD0: isen4θ2 |0〉 +⊥|1〉 ⇒ 1√

21√2

⊥ ⊥

1√2eiθ0

1√2eiθ1

• Estado parcial incidindo no detectorD1: ⊥|0〉+cos4θ2 |1〉 ⇒

⊥ ⊥1√2− 1√

2

1√2eiθ0

1√2eiθ1

Portanto, o estado final |ϕ3〉 = isen4θ2 |0〉 + cos4θ2 |1〉 e obtido pela uniao dos subcon-juntos coerentes {(sin(4θ2 ), π2 )0.0} e {(cos(4θ2 ), 0)1.0} correspondendo aos estados parciaisisen4θ2 |0〉 + ⊥|1〉 e ⊥|0〉 + cos4θ2 |1〉, respectivamente.

3. Resultados AlcancadosO modelo qGM introduz uma nova interpretacao baseada na parcialidade dos objetosque constroem o domınio de interpretacoes para computacao quantica. As abstracoes domodelo qGM podem ser aplicadas na interpretacao dos algoritmos descritos na linguagemuniversal de circuitos, com uma adicional abordagem, capaz de mostrar que a evolucao desistemas quanticos, referente as construcoes sıncronas como estados e processos, tambempode ser interpretada a partir da analise dos objetos parciais. Esta construcao indutiva euniforme da informacao generaliza as interpretacoes ja obtidas em sistemas classicos.

A Tabela 1 apresenta um resumo, restrito a compreensao obtida neste trabalho,das correspondencias entre os modelos para computacao quantica estudados. No caso, anocao de aproximacao entre objetos parciais e definida pela relacao de inclusao e mod-ela as computacoes na qGM, as quais interpretam a evolucao dos estados de sistemasquanticos graficamente representados por circuitos. Os conjuntos coerentes de operacoesortogonais (ou valores de memoria) indexados por pontos de um espaco geometrico mod-elam os processos (ou estados) quanticos que correspondem a matrizes unitarias (ou ve-tores) do espaco de Hilbert que fundamenta a mecanica quantica.

O estudo de caso apresenta as interpretacoes obtidas para o IMZ, detalhando quea composicao das portas quanticas, como Hadamard e Phase, pode ser definida pelas cor-respondentes representacoes parciais, e tal parcialidade permite descricao explicitamentede todas as partes crıticas para compreensao do fenomeno da interferencia quantica. Ouseja, a computacao que ocorre em cada caminho independente, pode ser sincronizada,modelando a computacao que ocorre quando da superposicao dos caminhos no IMZ.

Tabela 1. Comparativo entre Modelos ComputacionaisTeoria dos Domınios Modelo Semantico Modelo Fısico

Domınios Qualitativos Modelo qGM Circuitos Quanticosrelacao de inclusao ⇔ computacoes ⇔ nocao de evolucao

(nocao de aproximacao) (objetos parciais) (construcao temporal)conjuntos coerentes ⇔ estado de memoria ⇔ vetores de Hilbert

funcoes estaveis ⇔ transformacoes de estados ⇔ matrizes unitarias e projecoes


4. Consideracoes FinaisNa computacao quantica, o processamento da informacao pode ser modelado pelouso do q-bit como abstracao para codificacao da informacao. Intuitivamente, pelofenomeno da interferencia, verifica-se que o q-bit pode existir nos estados classicos ou emsuperposicao, neste caso acrescido do coeficiente numerico indicando a probabilidade deestar em cada um dos estados classicos. Este comportamento, ora corpuscular ora ondu-latorio, gera propriedades especiais (superposicao) dos q-bits. O uso destas propriedadepode ser analisado quando de sua evolucao no Interferometro de Mach-Zehnder, e fazcom que a computacao quantica introduza novas fronteiras com relacao a velocidade ecomplexidade de computacoes, se comparadas ao caso classico. O trabalho apresenta umestudo de caso para a construcao da estrutura ordenada que interpreta o IMZ no modeloqGM, incluindo uma comparacao com o modelo de circuitos quanticos. Atraves de obje-tos parciais, obteve-se uma interpretacao para os distintos caminhos no interferometro queesta de acordo com os resultados esperados pelo fenomeno da interferencia. Os trabalhosfuturos investigam a interpretacao na qGM do algoritmo de Deutsch e de Grover.

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