UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones MÓDULO 4 – Máquinas térmicas, entropia e a segunda lei da termodinâmica

4.3 – A máquina de Carnot

Central nuclear de Angra dos Reis

Vamos nos concentrar em uma máquina térmica ideal, onde todos os processos são reversíveis e não ocorrem desperdícios nas transferências de energia em virtude de e.g. atrito e turbulência.

Em 1824, um engenheiro francês chamado Sadi Carnot descreveu uma máquina térmica ideal, hoje denominada máquina de Carnot, de grande importância prática e teórica.

Ele demonstrou que a máquina de Carnot é a melhor (em princípio) no uso de energia na forma de calor para realizar trabalho útil.

Teorema de Carnot: Nenhuma máquina térmica real operando entre dois reservatórios de energia pode ser mais eficiente que uma máquina de Carnot operando entre os mesmos dois reservatórios.

Máquina de Carnot

Para descrever o ciclo de Carnot ocorrendo entre as temperaturas e , vamos supor que a substância de trabalho seja um gás ideal contido em um cilindro ajustado com um pistão móvel em uma extremidade.

As paredes do cilindro e o pistão são isolantes térmicos. O cilindro pode ser colocado à sua escolha sobre dois reservatórios térmicos, (um frio e outro quente) ou sobre uma placa isolante.

Tf Tq

198 Física para cientistas e engenheiros

Então, a eficiência térmica de uma máquina de Carnot é:

Eficiência da máquina de Carnot C 1 f

q

Te

T= - (8.8)

Esse resultado indica que todas as máquinas de Carnot operando entre duas temperaturas iguais têm a mesma eficiência.5

A Equação 8.8 pode ser aplicada a qualquer substância de trabalho operando em um ciclo de Carnot entre dois reser-vatórios de energia. De acordo com essa equação, a eficiência é zero se Tf = Tq, como seria esperado. A eficiência aumenta conforme Tf é diminuída e Tq é elevada. A eficiência pode ser unidade (100%), no entanto, somente se Tf = 0 K. Tais reservatórios não estão disponíveis; então, a eficiência máxima é sempre menos que 100%. Na maioria dos casos práti-cos, Tf está próxima da temperatura ambiente, que é aproximadamente 300 K. Portanto, tentamos aumentar a eficiência elevando Tq.

5 Para que os processos no ciclo de Carnot sejam reversíveis, eles devem ser conduzidos infinitesimalmente devagar. Então, embora a máquina de Carnot seja a mais eficiente possível, ela tem potência de saída zero, porque demora um intervalo de tempo infinito para completar um ciclo! Para uma máquina real, o intervalo de tempo curto para cada ciclo faz que a substância de trabalho atinja uma alta temperatura, mais baixa que aquela do reservatório quente, e uma baixa temperatura, mais alta que aquela do reservatório frio. Uma máquina passando pelo ciclo de Carnot entre essa variação mais restrita de temperatura foi ana-lisada por F. L. Curzon e B. Ahlborn (“Efficiency of a Carnot engine at maximum power output”, Am. J. Phys. 43(1), 22, 1975), que descobriram que a eficiência com saída de potência máxima depende somente das temperaturas do reservatório Tf e Tq e é dada por eC-A = 1 – (Tf /Tq)

1/2. A eficiência de Curzon-Ahlborn eC-A fornece uma aproximação melhor das eficiências de máquinas reais que da eficiência de Carnot.

Figura 8.11 Diagrama PV para o ciclo de Carnot. O trabalho total realizado Wmáq é igual à energia total transferida para a máquina de Carnot em um ciclo, ½Qq½ – ½Q f½.

V

P

Wmaq

D

BQq

Tq

TfQ f

C

A

O trabalho realizado durante o ciclo é igual à área incluída no trajeto no diagrama PV.

a

c

bd

CicloQ = 0 Q = 0

Reservatório de energia a Tq

Q q

Reservatório de energia a Tf

Q f

A→ BO gás passa por uma expansão isotérmica.

C→DO gás sofre uma

compressão isotérmica.

B→ CO gás passa por uma expansão

adiabática.

D→ AO gás sofre uma

compressão adiabática.

Isolamento térmicoIsolamento térmico

Figura 8.10 O ciclo de Carnot. As letras A, B, C e D indicam os estados do gás mostrados na Figura 8.11. As setas no pistão indicam a direção de seu movimento durante cada processo.

Processo : expansão isotérmica reversível à temperatura . O sistema absorve calor, .

Processo : expansão adiabática reversível ( ). A temperatura cai de para

.

Processo : Compressão isotérmica reversível à temperatura . O sistema perde calor, .

Processo : Compressão adiabática reversível ( ). A temperatura aumenta de para .

A → B

TqQq > 0

B → CQ = 0Tq

Tf

C → D

TfQf < 0

D → A

Q = 0Tf

Tq

198 Física para cientistas e engenheiros

Então, a eficiência térmica de uma máquina de Carnot é:

Eficiência da máquina de Carnot C 1 f

q

Te

T= - (8.8)

Esse resultado indica que todas as máquinas de Carnot operando entre duas temperaturas iguais têm a mesma eficiência.5

A Equação 8.8 pode ser aplicada a qualquer substância de trabalho operando em um ciclo de Carnot entre dois reser-vatórios de energia. De acordo com essa equação, a eficiência é zero se Tf = Tq, como seria esperado. A eficiência aumenta conforme Tf é diminuída e Tq é elevada. A eficiência pode ser unidade (100%), no entanto, somente se Tf = 0 K. Tais reservatórios não estão disponíveis; então, a eficiência máxima é sempre menos que 100%. Na maioria dos casos práti-cos, Tf está próxima da temperatura ambiente, que é aproximadamente 300 K. Portanto, tentamos aumentar a eficiência elevando Tq.

5 Para que os processos no ciclo de Carnot sejam reversíveis, eles devem ser conduzidos infinitesimalmente devagar. Então, embora a máquina de Carnot seja a mais eficiente possível, ela tem potência de saída zero, porque demora um intervalo de tempo infinito para completar um ciclo! Para uma máquina real, o intervalo de tempo curto para cada ciclo faz que a substância de trabalho atinja uma alta temperatura, mais baixa que aquela do reservatório quente, e uma baixa temperatura, mais alta que aquela do reservatório frio. Uma máquina passando pelo ciclo de Carnot entre essa variação mais restrita de temperatura foi ana-lisada por F. L. Curzon e B. Ahlborn (“Efficiency of a Carnot engine at maximum power output”, Am. J. Phys. 43(1), 22, 1975), que descobriram que a eficiência com saída de potência máxima depende somente das temperaturas do reservatório Tf e Tq e é dada por eC-A = 1 – (Tf /Tq)

1/2. A eficiência de Curzon-Ahlborn eC-A fornece uma aproximação melhor das eficiências de máquinas reais que da eficiência de Carnot.

Figura 8.11 Diagrama PV para o ciclo de Carnot. O trabalho total realizado Wmáq é igual à energia total transferida para a máquina de Carnot em um ciclo, ½Qq½ – ½Q f½.

V

P

Wmaq

D

BQq

Tq

TfQ f

C

A

O trabalho realizado durante o ciclo é igual à área incluída no trajeto no diagrama PV.

a

c

bd

CicloQ = 0 Q = 0

Reservatório de energia a Tq

Q q

Reservatório de energia a Tf

Q f

A→ BO gás passa por uma expansão isotérmica.

C→DO gás sofre uma

compressão isotérmica.

B→ CO gás passa por uma expansão

adiabática.

D→ AO gás sofre uma

compressão adiabática.

Isolamento térmicoIsolamento térmico

Figura 8.10 O ciclo de Carnot. As letras A, B, C e D indicam os estados do gás mostrados na Figura 8.11. As setas no pistão indicam a direção de seu movimento durante cada processo.

O ciclo de Carnot da Figura é percorrido no sentido horário.

• Durante os processos AB e BC a substância de trabalho se expande, realizando trabalho positivo (área sob a curva ABC) enquanto eleva o pistão.

• Durante os processos CD e DA, a substância de trabalho é comprimida a vizinhança realiza trabalho sobre ela enquanto o pistão desce (área sob a curva CDA).

⟹

• O trabalho líquido por ciclo é a diferença entre estas duas áreas e é uma grandeza positiva igual à área limitada pelo ciclo ABCDA. Este trabalho W é realizado sobre um objeto externo tal como uma carga a ser levantada.

Ciclo de Carnot no diagrama P-V

Para obter a eficiência da máquina de Carnot usamos a definição dada anteriormente:

.

Para um ciclo de Carnot é possível mostrar que se verifica a relação (ver Apêndice):

.

Substituindo na equação acima, obtemos a eficiência de uma máquina de Carnot:

e ≡Wmaq

|Qq |=

|Qq | − |Qf ||Qq |

= 1 −|Qf ||Qq |

|Qf ||Qq |

=Tf

Tq

eC = 1 −Tf

Tq

Eficiência de uma Maquina de Carnot

1. Na relação as temperaturas e estão em kelvins.

2. Como a máquina de Carnot necessariamente possui (ou seja, menor do que 100%).

3. Para obter 100% de eficiência ( ) deveríamos ter ou , requisitos impossíveis de serem satisfeitos.

4. A eficiência térmica dada por aplica-se apenas às máquinas de Carnot. Para outras máquinas térmicas deve ser usada a relação

.

5. EXEMPLO: Se o seu carro fosse movido por uma máquina de Carnot, a eficiência seria de cerca de 55%; sua eficiência real é provavelmente cerca de 20-25 %.

eC = 1 − Tf /Tq Tf Tq

Tf < Tq eC < 1

eC = 1 Tf = 0 Tq = ∞

eC = 1 − Tf /Tq

e = 1 − Qf /Qq

Comentários e Exemplos

6. EXEMPLO: Uma usina nuclear, considerada como um todo, é uma máquina térmica. Ela extrai energia na forma de calor do núcleo de um reator, realiza trabalho por meio de uma turbina e descarrega energia na forma de calor para um rio nas proximidades. Se a usina operasse como uma máquina de Carnot, sua eficiência seria de cerca de 40%; sua eficiência real é cerca de 30%.

7. No desenvolvimento de projetos de máquinas de qualquer tipo, simplesmente não existe maneira de ultrapassar o limite de eficiência imposto por .eC = 1 − Tf /Tq

Demonstraremos que em um ciclo de Carnot vale a seguinte relação:

As grandezas envolvidas estão indicadas na figura:

|Qf ||Qq |

=Tf

Tq

Apêndice

198 Física para cientistas e engenheiros

Então, a eficiência térmica de uma máquina de Carnot é:

Eficiência da máquina de Carnot C 1 f

q

Te

T= - (8.8)

Esse resultado indica que todas as máquinas de Carnot operando entre duas temperaturas iguais têm a mesma eficiência.5

A Equação 8.8 pode ser aplicada a qualquer substância de trabalho operando em um ciclo de Carnot entre dois reser-vatórios de energia. De acordo com essa equação, a eficiência é zero se Tf = Tq, como seria esperado. A eficiência aumenta conforme Tf é diminuída e Tq é elevada. A eficiência pode ser unidade (100%), no entanto, somente se Tf = 0 K. Tais reservatórios não estão disponíveis; então, a eficiência máxima é sempre menos que 100%. Na maioria dos casos práti-cos, Tf está próxima da temperatura ambiente, que é aproximadamente 300 K. Portanto, tentamos aumentar a eficiência elevando Tq.

5 Para que os processos no ciclo de Carnot sejam reversíveis, eles devem ser conduzidos infinitesimalmente devagar. Então, embora a máquina de Carnot seja a mais eficiente possível, ela tem potência de saída zero, porque demora um intervalo de tempo infinito para completar um ciclo! Para uma máquina real, o intervalo de tempo curto para cada ciclo faz que a substância de trabalho atinja uma alta temperatura, mais baixa que aquela do reservatório quente, e uma baixa temperatura, mais alta que aquela do reservatório frio. Uma máquina passando pelo ciclo de Carnot entre essa variação mais restrita de temperatura foi ana-lisada por F. L. Curzon e B. Ahlborn (“Efficiency of a Carnot engine at maximum power output”, Am. J. Phys. 43(1), 22, 1975), que descobriram que a eficiência com saída de potência máxima depende somente das temperaturas do reservatório Tf e Tq e é dada por eC-A = 1 – (Tf /Tq)

1/2. A eficiência de Curzon-Ahlborn eC-A fornece uma aproximação melhor das eficiências de máquinas reais que da eficiência de Carnot.

Figura 8.11 Diagrama PV para o ciclo de Carnot. O trabalho total realizado Wmáq é igual à energia total transferida para a máquina de Carnot em um ciclo, ½Qq½ – ½Q f½.

V

P

Wmaq

D

BQq

Tq

TfQ f

C

A

O trabalho realizado durante o ciclo é igual à área incluída no trajeto no diagrama PV.

a

c

bd

CicloQ = 0 Q = 0

Reservatório de energia a Tq

Q q

Reservatório de energia a Tf

Q f

A→ BO gás passa por uma expansão isotérmica.

C→DO gás sofre uma

compressão isotérmica.

B→ CO gás passa por uma expansão

adiabática.

D→ AO gás sofre uma

compressão adiabática.

Isolamento térmicoIsolamento térmico

Figura 8.10 O ciclo de Carnot. As letras A, B, C e D indicam os estados do gás mostrados na Figura 8.11. As setas no pistão indicam a direção de seu movimento durante cada processo.

Demonstração:

Para a expansão isotérmica (processo na Figura) a transferência de energia por calor do reservatório quente é:

.

Da mesma maneira, durante a compressão isotérmica temos:

.

Dividimos a segunda expressão pela primeira:

(1)

A → B

|Qq | = ΔEint − WAB = 0 − WAB = nRTq ln VB

VA

C → D

|Qf | = ΔEint − WCD = 0 − WCD = nRTf ln VC

VD

|Qf ||Qq |

=Tf

Tq

ln (VC /VD)ln (VB /VA)

Para os processos adiabáticos são válidas as relações:

Dividindo a primeira equação pela segunda temos:

(2)

Substituindo a Equação (2) na Equação (1) obtemos:

,

como queríamos demonstrar.

B → C е D → A

TqV γ−1B = TfV γ−1

C

TqV γ−1A = TfV γ−1

D

( VB

VA )γ−1

= ( VC

VD )γ−1

⟹ VB

VA= VC

VD

|Qf ||Qq |

=Tf

Tq

ln (VC /VD)ln (VB /VA)

=Tf

Tq

ln (VC /VD)ln (VC /VD)

=Tf

Tq

!

Exemplo!01:

Um!motor!transfere!2,00 ×103 J!de!calor!de!um!reservatório!quente!

durante!um!ciclo!e!transfere!1,50×103 J!de!calor!um!reservatório!frio.a)!Qual!o!rendimento!do!motor?b)!Quanto!trabalho!esse!motor!realiza!em!um!ciclo?

a)!e = 1−Qc

Qh→ e = 1− 1,50 ×10

3

2,00 ×103→ e = 0,25!ou!25%

b)!Wmaq = Qh − Qc → Wmaq = 2,00 ×103 −1,50 ×103 → Wmaq = 500J

!

Exemplo!02:!Uma!máquina!a!vapor!tem!uma!caldeira!que!opera!a!500!K.!O

calor!resultante!da!queima!de!combustível!transforma!água!em!vapor!e!este!então!aciona!um!pistão.!A!temperatura!de!descarga!é!a!do!ar!exterior,300K.!Qual!é!o!maior!rendimento!térmico!possível!para!essa!máquina?

ec = 1−TcTh

→ ec = 1−300500

→ ec = 0,40!ou!40%

Exemplo!03:!Determine!o!trabalho!máximo!que!a!máquina!pode!executar!

em!cada!ciclo!de!operação!se!absorver!200!J!de!Calor!do!reservatório!quente!durante!cada!ciclo.

e =Wmaq

Qh⇒ Wmaq = eQh → Wmaq = 0,4 × 200 → Wmaq = 80!J

Exemplo!04:

Uma!máquina!térmica!opera!entre!dois!reservatórios!a!20,0°C!e!300°C.!Qual!é!o!maior!rendimento!possível!para!essa!máquina?

emax = ec = 1−TcTh

→ ec = 1−293573

→ ec = 48,9%