4. Variáveis aleatóriasprofessor.ufabc.edu.br/.../courses/classes/4.VA.pdf · 2019. 8. 21. · 4....

4. Variáveis aleatórias

Num jogo de tabuleiro, um jogador lança dois dados na tentativa de tomar um território do adversário.O adversário, por sua vez, lança dois dados para defender seu território. No caso em que a somados dados do jogador de ataque é maior do que a soma dos dados de seu adversário, ele toma oterritório para si. Caso contrário, o jogador de ataque perde as suas tropas e seu território passa aficar vulnerável a ataques de outros jogadores.Se a soma dos dados do jogador de ataque dá 7, podemos nos perguntar qual é a probabilidade deque o adversário tenha como soma de seus dados um número maior ou igual a 7. Neste caso, nãoestamos exatamente interessados em saber o valor individual de cada face dos dados, massim na função soma das faces dos dois dados.

DEFINIÇÃO:Dado um experimento e seu espaço amostral S, uma variável aleatória é uma função Xque a cada elemento E ∈ S um número real X(E).

Três observações se fazem importantes:1. Ao contrário do conceito de probabilidade, X não necessariamente assume um número

entre zero e um. Porém, calcularemos probabilidades de variáveis aleatórias e essas proba-bilidades continuarão tendo valor entre 0 e 1..

2. É muito importante compreender que uma variável aleatória é uma função e, assim sendo,cada s ∈ S corresponde a um único número X(s). Todavia, não é importante que ela sejainjetora e/ou sobrejetora.

Exemplo 4.1. Suponha que nosso experimento consista em jogar duas moedas. Seja X a variávelaleatória que leva um elemento do espaço amostral S associado ao experimento ao número decaras obtidas. Como

S = {(H,H),(H,T ),(T,H),(T,T ),},

entãoX((H,H)) = 2, X((H,T )) = X((T,H)) = 1, X((T,T )) = 0

42 Capítulo 4. Variáveis aleatórias

e X é uma variável aleatória que assume valores 0,1,2. Observe que quando escrevemos, porexemplo, X((H,H)) = 2, estamos dizendo que o número de caras obtidas é 2. Como X já representaa variável aleatória que nos dá o número de caras no lançamento de duas moedas, podemossimplesmente escrever X = 2 para dizer que o número de caras obtidas é 2. De forma análoga,escrevemos X = 1 para denotar que apenas uma cara foi obtida e X = 0 quando duas coroas foremobtidas.Podemos nos perguntar como calcular probabilidades da variável aleatória X. Para isso, observe-mos que X = 0,X = 1 e X = 2 denotam, repectivamente, os eventos em que nenhuma moeda deucara, uma moeda deu cara e as duas moedas deram cara, de forma a termos

X = 0 : {(T,T )}, X = 1 : {(H,T ),(T,H)}, X = 2 : {(H,H)}.

Assim, como S tem quatro elementos, temos

P(X = 0) =14, P(X = 1) =

24=

12, P(X = 2) =

14.

Exemplo 4.2. Três bolas são selecionadas, sem reposição, de uma urna contendo 20 bolasnumeradas de 1 a 20. Qual a probabilidade de que pelo menos uma delas tenha um número maiorou igual a 17?Seja X a variável aleatória com o maior número entre as três bolas selecionadas. Por exemplo, seas três bolas selecionadas forem E = (4,7,8), então X(E) = 8.Se S denota o espaço amostral com todas as seleções de três bolas possíveis, como a ordem deseleção não importa, S tem (

203

)grupos de três bolas. Além disso, se E ∈ S, então X(E) deverá necessariamente ser um númeroentre 3 e 20.Depois da seleção de três bolas quaisquer, seja i o maior número das bolas sorteadas. Então

X = i : evento em que a maior bola sorteada é i.

Podemos supor que a primeira bola sorteada tem número i (podemos fazer isso porque a ordem deseleção não importa). No evento X = i, as duas últimas bolas serão números menores do que i, ouseja, sobraram i−1 bolas com números entre 1 e i−1 de tal forma que devam ser selecionadaspara os dois lugares restantes. Como novamente a ordem de seleção não é importante, o eventoX = i tem (

i−12

)elementos. Daí,

P(X = i) =

(i−12

)(203

) .Observe que dados i, j ∈ {3,4, . . . ,20}, os eventos X = i e X = j são mutuamente excludentes sei 6= j. Então, como queremos P(X ≥ 17), temos

P(X ≥ 17) = P((X = 17)∪ (X = 18)∪ (X = 19)∪ (X = 20))

= P(X = 17)+P(X = 18)+P(X = 19)+P(X = 20).

Temos então

P(X = 17) =

(17−12

)(203

) =219≈ 0,105,

43

P(X = 18) =

(18−12

)(203

) =34285≈ 0,119,

P(X = 19) =

(19−12

)(203

) =51380≈ 0,134,

P(X = 20) =

(20−12

)(203

) =320≈ 0,150,

de forma queP(X ≥ 17)≈ 0,105+0,119+0,134+0,150 = 0,508.

Os exemplos anteriores mostram uma característica peculiar das variáveis aleatórias: a análiseda variável aleatória em questão se dá depois que os aspectos aleatórios do experimento tenhamterminado.Basicamente existem dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as contínuas. Os conceitosde cada uma dessas variáveis aleatórias estão relacionados ao conceitos de conjuntos discretos econtínuos.Um conjunto X é dito ser discreto se conseguimos contar os elementos, ou seja, conseguimosordenar seus elementos independentemente de ele ser finito ou não. De maneira mais formal, X édito ser discreto se ele é finito ou enumerável1.Em particular N é um conjunto discreto, em contrapartida que R não o é2. Em particular, qualquerintervalo da reta real não é discreto.O conjunto X é dito ser contínuo se não conseguimos colocar ordem em seus elementos. Porexemplo, sabemos que no conjunto dos números reais entre 0 e 1 o zero é o primeiro elemento, masnão sabemos qual é o segundo. Neste caso, [0,1] é um conjunto contínuo.Neste contexto podemos definir variáveis aleatórias contínuas e discretas:

DEFINIÇÃO:Uma variável aleatória X é dita ser uma variável aleatória discreta se o conjunto de valoresque X pode assumir é discreto.

Por exemplo, se X denota a face de um dado de 6 lados, então X é uma variável aleatória discreta.O dado fornece um valor inteiro em todos os lançamentos, de modo que não existe a possibilidadede ele fornecer um valor fracionário como 2,5555.

Exemplo 4.3. Considere o lançamento de dez moedas e considere X como a função que conta onúmero de caras após os lançamentos. Podemos ter

X = 0,X = 1,X = 2, . . . ,X = 10

e, desta forma, X é uma variável aleatória discreta.Analogamente, no lançamento de dois dados, se Y denota a fsoma das faces, temos

Y = 2,Y = 3, . . . ,Y = 12

e Y também é uma variável aleatória discreta. A variável aleatória X do Exemplo 4.2 também éuma variável aleatória discreta.

1Um conjunto X é dito ser enumerável se existe uma função bijetora f : N→ X2De fato, pode-se mostrar que [0,1] é não-enumerável e, desta forma, R possui um subconjunto não-enumerável, o

que faz de R não-enumerável.


DEFINIÇÃO:Uma variável aleatória X é dita ser uma variável aleatória contínua se o conjunto devalores que X pode assumir é contínuo.

Por exemplo, se X denota o resultado do lançamento de um martelo nas Olímpiadas, então X é umavariável aleatória contínua. Isso se dá porque sabe-se que os valores do lançamento atingem umadistância máxima de 60 metros. Desta forma, X poderá assumir uma infinidade de possibilidadesdentro no intervalo entre 0 metros e 60 metros, pois sempre existirá uma fração para medir a menordiferença possível entre os lançamentos.Como veremos nas próximas seções, a abordagem necessária para tratar variáveis aleatóriasdiscretas é diferente das contínuas. Matematicamente falando, isso se dá porque em conjuntosdiscretos geralmente somamos elementos, enquanto em conjuntos contínuos integramos. Osconceitos por trás das variáveis aleatórias não mudam, mas a maneira de lidar com eles é alteradadrasticamente.

4.1 Variáveis aleatórias discretasNesta seção discutiremos as variáveis aleatórias discretas e apresentaremos três das mais impor-tantes: variável aleatória binomial, de Poisson e geométrica. A variável aleatória binomial secaracteriza pela contagem de sucessos de um experimento, enquanto a geométrica nos dá a probabi-lidade de que um sucesso aconteça. A variável aleatória de Poisson aparece como uma aproximaçãoda variável aleatória binomial quando seus parâmetros são muito grandes.Mas antes de seguir com as variáveis aleatórias, precisamos definir alguns conceitos e saber comoeles se relacionam com as variáveis aleatórias.

FUNÇÃO DE PROBABILIDADE:Dada uma variável aleatória discreta X que assume valores discretos x1,x2,x3, . . . , a funçãode probabilidade de X é dada por

p(xi) = P(X = xi) i = 1,2,3, . . . .

Em outras palavras, p(xi) é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma valor xi.Observe que se

X = x1,X = x2, . . . ,xn,

entãop(xn+1) = P(X = xn+1) = 0.

Daí, se X é uma variável aleatória que assume valores finitos x1, . . . ,xn, então{p(xi)≥ 0, i = 1,2,3, . . . ,n,p(x) = 0, x /∈ {x1, . . . ,xn}.

Além disso, como o experimento aconteceu, X deve necessariamente tomar algum de seus resultados.Então

∞

∑i=1

p(xi) =n

∑i=1

p(xi) = p(x1)+ p(x2)+ . . . p(xn) = 1.

Exemplo 4.4. Suponha que lancemos duas moedas honestas e que X denote o número de carasobtidas. No Exemplo 4.1 obtivemos

p(0) = P(X = 0) =14, p(1) = P(X = 1) =

12, p(2) = P(X = 2) =

14.

4.1 Variáveis aleatórias discretas 45

Podemos representar a função de probabilidade p no seguinte gráfico:

a

p(a)

A

B

C1/4

0

1/2

1 2

Exemplo 4.5. Considere uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade

p(i) =cλ i

i!,

no qual c é uma constante a ser determinada e λ > 0 é dado, i = 1,2,3, . . . .a. Encontre P(X = 0);b. Encontre P(X > 2).

Antes de resolver o item a., precisamos determinar a constante c. Como

∞

∑i=0

p(i) = 1,

temos

1 = c∞

∑i=1

λ i

i!︸︷︷︸eλ

= ceλ ,

ou seja, c = e−λ e teremos

p(i) =e−λ λ i

i!.

Para calcularmos o item a., observe que P(X = 0) = p(0). Como temos a função de probabilidadep, encontramos

p(0) =e−λ λ 0

0!= e−λ .

Se X > 2 denota o evento em que o resultado da variável aleatória X é maior do que 2, temos(X > 2)c = (X = 0)∪ (X = 1)∪ (X = 2). Como esses eventos são mutuamente excludentes, temos

P((X > 2)c) = P((X = 0)∪ (X = 1)∪ (X = 2)) = P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2),

de onde segue que P(X > 2) = 1−P(X = 0)−P(X = 1). Como

p(0) = e−λ , p(1) = λe−λ , p(2) =λ 2e−λ

2,

concluímos que

P(X > 2) = 1− e−λ −λe−λ − λ 2e−λ

2.


DEFINIÇÃO:Dada uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade p, definimos a funçãodistribuição cumulativa como

F(a) = ∑x≤a

p(x).

Por exemplo, se X é uma variável aleatória discreta que assume valores X = 1,X = 2,X = 3,X = 4e

p(1) =14, p(2) =

12, p(3) =

18, p(4) =

18,

temos

F(3) = ∑x≤3

p(x) = p(1)+ p(2)+ p(3) =14+

12+

18=

78.

Um dos conceitos mais importantes na teoria de probabilidade é a definição de valor esperado (ouesperança). Ele é central no estudo de variáveis discretas pois representa uma medida esperadapara o acontecimento dos experimentos.

DEFINIÇÃO:Dada uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade p, a esperança (ou ovalor esperado) é o valor E[X ] definido por

E[X ] = ∑x

xp(x).

Em outras palavras, E[X ] é uma média ponderada dos possíveis valores de X .

Exemplo 4.6. Se p(0) = 1/2 = p(1) e X é uma variável aleatória discreta que assume valores 0 e1, então

E[X ] = ∑xxp(x) = 0p(0)+1p(1) =12.

X pode corresponder à variável aleatória discreta que nos dá o número de caras no lançamento deuma moeda.

Exemplo 4.7. Determine E[X ], no qual X é a variável aleatória discreta que representa o resultadoquando jogamos um dado.Temos X = 1,X = 2,X = 3,X = 4,X = 5,X = 6. Além disso, sabemos que P(X = 1) = P(X =2),P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = P(X = 6) = 1/6. A esperança E[X ] será dada por

E[X ] = ∑x

xp(x) = 1p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) =1+2+3+4+5+6

6=

72.

Observe que neste caso somamos todos os valores possíveis para um dado e dividimos pelo númerode faces do mesmo. Como vímos no Capítulo 1, isso constitui a média de um conjunto com os dados{1,2,3,4,5,6}. Essa propriedade da esperança pode ser observada em alguns casos específicos ejustifica o nome média que também pode receber.

De maneira geral, se X é uma variável aleatória que pode assumir os valores x1,x2, . . . ,xN e sep(x1) = p(x2) = · · ·= p(xN), então sabemos que

p(xi) =1N, i = 1,2, . . . ,N.


Daí,

E[X ] =N

∑i=1

xi p(xi) =N

∑i=1

xi

N= µ,

e, como havíamos percebido no exemplo anterior, a esperança é igual à média. No caso em que asprobabilidades não são iguais, a esperança passa a expressar a média ponderada, como veremos noexemplo a seguir.

Exemplo 4.8. Uma turma com 120 estudantes é levada em 3 ônibus para a apresentação de umaorquestra sinfônica. Há 36 estudantes em um dos ônibus, 40 no outro e 44 no terceiro. Quando osônibus chegam, um dos 120 estudantes é escolhido aleatoriamente. Se X determina o número deestudantes que vieram no mesmo ônibus, determine E[X ].Temos X = 36,X = 40 e X = 44. As probabilidades P(X = i) de que seja selecionado um estudantedos ônibus 1, 2 e 3 são respectivamente dadas por

P(X = 36) =36120

, P(X = 40) =40120

, P(X = 44) =44

120.

Logo, a esperança será dada por

E[X ] = ∑x

xp(x) = 3636120

+4040120

+4444120

=60415≈ 40,27.

No exemplo anterior, observe que há, na média, 40 estudantes em cada ônibus e que, todavia,E[X ] > 40. Isso se dá porque quanto mais estudantes houverem em um mesmo ônibus, maisprovável é a escolha de um estudante que esteja nesse ônibus. Como resultado, o ônibus com maisestudantes recebe um peso maior e a esperança relata a média ponderada.

Exemplo 4.9. O conceito de esperança na probabilidade é análogo ao conceito de centro de gravi-dade na física. De fato, considere uma variável aleatória discreta X com função de probabilidadep(xi), i≥ 1. Se agora imaginarmos uma haste sem peso na qual pesos com massas p(xi) estejamlocalizadas em xi, então o ponto no qual as hastes estariam em equilíbrio é conhecido como centrode gravidade.

Como E[X ] =∞

∑i=1

xi p(xi), temos

∞

∑i=1

(xi−E[X ])p(xi) = E[X ]−∞

∑i=1

E[X ]p(xi) = 0,

Daí, a soma dos torques tendendo a fazer a haste girar é zero e este ponto é exatamente dado pelaesperança E[X ].

O resultado a seguir será de essencial necessidade devido ao conceito de variância que seráapresentado em breve.

PROPOSIÇÃO:Se X é uma variável aleatória discreta que pode receber os valores xi, i≥ 1, com respectivasprobabilidades p(xi), então para qualquer função real g : R→ R,

E[g(X)] =∞

∑i=1

g(xi)p(xi).


Demonstração. Sejam y j = g(xi), i≥ 1, os diferentes valores que g assume. Temos

∞

∑i=1

g(xi)p(xi) =∞

∑j=1

∑i:g(xi)=y j

g(xi)p(xi) =∞

∑j=1

∑i:g(xi)=y j

y j p(xi)

=∞

∑j=1

y j ∑i:g(xi)=y j

p(xi) =∞

∑j=1

y jP(g(X) = y j)

=E[g(X)].

�

Como consequência imediata da proposição acima, temos o seguinte resultado que nos auxiliará nofuturo com a esperança de variáveis aleatórias discretas específicas.

COROLÁRIO:Se a e b são constantes reais e X uma variável aleatória discreta, então

E[aX +b = aE[X ]+b.

Demonstração. Seja g(x) = ax+b. Pela Proposição anterior, temos

E[g(X)] =∞

∑i=1

g(xi)p(xi) =∞

∑i=1

(axi +b)p(xi)

=aE[X ]+b.

�

O valor esperado de uma variável aleatória X também é conhecida como primeiro momento deX . A grandeza E[Xk], k ≥ 1, é chamada de n-ésimo momento de X . Pela Proposição anterior,concluímos que

E[Xn] = ∑x

xn p(x).

Definição:Se X é uma variável aleatória com média µ , então a variância de X , representada porVar(X), é dada por

Var(X) = [(X−µ)2].

Alternativamente, podemos escrever

Var(X) =E[(X−µ)2] = ∑x(x−µ)2 p(x) = ∑

x(x2 +2µx+µ

2)p(x)

=E[X2]−2µ ∑x

xp(x)+µ2∑x

p(x)

=E[X2]−2µ2 +µ

2 = E[X2]−µ2

=E[X2]− (E[X ])2.

A fórmula

Var(X) = E[X2]− (E[X ])2 (4.1.1)

será a expressão mais utilizada durante os cálculos das próximas subseções e será consideradacomo a definição de variância.


Exemplo 4.10. Calcule a variância da variável aleatória X que representa o resultado de um dadohonesto.No Exemplo 4.7, vimos que E[X ] = 7/2. Além disso,

E[X2] = ∑x

x2 p(x) = 12 p(1)+22 p(2)+32 p(3)+42 p(4)+52 p(5)+62 p(6) =916.

Daí, concluímos que

Var(X) = E[X2]− (E[X ])2 =916−(

72

)2

=916− 49

4=

3512

.

Exemplo 4.11. Assim como a esperança é análoga ao centro de gravidade, a variância é o análogodo momento de inércia na física.

IDENTIDADE ÚTIL:Var(aX +b) = a2Var(X).

Demonstração. Temos

Var(aX +b) =E[(aX +b)2]− (E[aX +b])2

=∑x(ax+b)2 p(x)− (aE[X ]+b)2

=∑x(a2x2 +2abx+b2)p(x)−a2(E[X ])2−2abE[X ]+b2

=a2E[X2]−a2(E[X ])2 +b−b+2abE[X ]−2abE[X ]

=a2E[X2]−a2(E[X ])2

=a2Var(X).

�

4.1.1 Variável aleatória binomialSuponha que um experimento que possa ser realizado como sucesso ou fracasso seja realizado.Se X = 1 representa o sucesso e X = 0 representa fracasso, então a função de probabilidade davariável aleatória discreta X é dada por

p(1) = P(X = 1) = p,

p(0) = P(X = 0) = 1− p,

com 0≤ p≤ 1.

DEFINIÇÃO: Uma variável aleatória discreta X é chamada de variável aleatória de Ber-noulli se sua função de probabilidade for dada por

p(1) = P(X = 1) = p,

p(0) = P(X = 0) = 1− p,

para algum p ∈ (0,1).


Observe que, para que uma variável aleatória seja de Bernoulli, apenas uma tentativa do experimentodeve ocorrer.Suponha agora que n tentativas independentes sejam feitas, cada uma com probabilidade p desucesso. Se X representa o número de sucessos que ocorrem nas n tentativas, então dizemos que Xé variável aleatória binomial com parâmetros (n, p).Como as tentativas são independentes, se em n tentativas tivermos um total de i sucessos e n− ifalhas, podemos construir eventos Ek,k = 1, . . . , i, representando o sucesso na tentativa k, e eventosEn−k,k = 1, . . . , i, representando o fracasso. Assim, como os ventos serão independentes, o eventoE em que temos i sucessos é tal que

P(E) = P(E1)P(E2) . . .P(Ei)P(En−i) . . .P(En−1) = pi(1− p)n−i.

Além disso, como temos (ni

)diferentes escolhas de n resultados levando a i resultados com sucesso e cada uma dessas escolhastem probabilidade pi(1− p)n−i de vencer, temos

p(i) =(

ni

)pi(1− p)n−i.

DEFINIÇÃO:A função de probabilidade de uma variável aleatória binomial é dada por

p(i) =(

ni

)pi(1− p)n−i.

Exemplo 4.12. Considere uma variável aleatória binomial com parâmetros (1, p). De acordo coma sua função de probabilidade, temos

p(1) =(

11

)p(1− p)1−1 = p,

p(0) =(

10

)p0(1− p)1−0 = 1− p.

Com isso, concluímos que toda variável aleatória de Bernoulli é uma variável aleatória binomialcom parâmetros (1, p).

Observe agora que, pelo Teorema Binomial,

∞

∑i=0

(ni

)p(1− p)n−i = (p+(1− p))n = 1n = 1.

Exemplo 4.13. Cinco dados honestos são jogador. Se os resultados são, por hipótese, independen-tes, determine a função de probabilidade do número de caras obtidas e a probabilidade para cadaum dos casos.Seja X a variável aleatória discreta que determina o número de caras obtidas no lançamento decinco moedas. Observe que, como cinco moedas são lançadas, temos n = 5 experimentos. Alémdisso, se o sucesso do experimento consiste em obter uma cara no lançamento individual de cada


uma das moedas, então a probabilidade de sucesso (dar cara) é p = 1/2. Logo, X é uma variávelaleatória binomial e temos

p(i) =(

ni

)pi(1− p)n−i =

(5i

)12

i 12

5−i=

(5i

)1

32.

Daí, como X pode assumir os valores 1,2,3,4 e 5, temos:

P(X = 0) = p(0) =(

50

)132

=1

32,

P(X = 1) = p(1) =(

51

)132

=5

32,

P(X = 2) = p(2) =(

52

)132

=1032

,

P(X = 3) = p(3) =(

53

)132

=1032

,

P(X = 4) = p(4) =(

54

)132

=5

32,

P(X = 5) = p(5) =(

55

)132

=1

32.

Exemplo 4.14. Sabe-se que os parafusos produzidos por certa empresa tem probabilidade de 0,01de apresentarem defeitos, independentemente uns dos outros. A empresa vende os pacotes com10 e oferece uma garantia de devolução do pacote se mais de 1 em 10 apresentares defeitos. Queproporção de pacotes vendidos a empresa deve trocar?Seja X o número de parafusos defeituosos em um pacote. Como cada pacote tem 10 parafusos, aoretiramos 1 por vez, temos n = 10 tentativas de verificar se os parafusos são defeituosos. Alémdisso, cada parafuso tem probabilidade p = 0,01 de chance de ser defeituoso. Se sucesso significaretirar um parafuso defeituoso, então X é uma variável aleatória binomial.A probabilidade de que um pacote seja devolvido é igual à probabilidade de o pacote ter 2 ou 3 ou4 ou... ou 10 parafusos defeituosos. Como

P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)+ · · ·+P(X = 8)+P(X = 9)+P(X = 10) = 1,

temosP(X > 1) = 1−P(X = 0)−P(X = 1) = 1− p(0)− p(1).

Como X é variável aleatória binomial com parâmetros (10,0,01), sua função de probabilidade édada por

p(i) =(

10i

)(0,01)i(0,99)10−i.

Daí,

p(0) =(

100

)(0,99)10 = (0,99)10, p(1) =

(101

)(0,01)(0,99)9 = 0,1(0,99)9,

de onde segue queP(X > 1) = 1− p(0)− p(1)≈ 0,004 = 0,4%.

Portanto, apenas 0,4% dos pacotes devem ser devolvidos.


Exemplo 4.15. TEORIA DA HERANÇA DE MENDEL

Suponha que a cor dos olhos de uma pessoa seja classificada com base em um par de genes esuponha também que d represente um gene dominante e r um gene recessivo. Assuma também queuma pessoa com dois genes dominantes dd seja puramente dominante, uma pessoa com dois genesrecessivos rr seja puramente recessiva e uma pessoa com um gene dominante e um recessivo, rdou dr, seja híbrida. Os indivíduos puramente dominantes e híbridos têm a mesma cor de olhos ecada pai fornece exatamente um gene. Se dois pais híbridos possuem 4 filhos, qual a probabilidadede que 3 dos 4 filhos tenham a aparência do gene dominante?Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de filhos com aparência de gene dominante.Então X assume valores X = 1,X = 2,X = 3 ou X = 4 e, portanto, é uma variável aleatória discreta.No nascimento de cada filho, ou ele tem aparência de gene dominante (sucesso) ou recessivo(fracasso). Como o casal tem 4 filhos, para o nascimento de filhos com aparência dominante temosn = 4 tentativas. Além disso, no nascimento individual de cada filho, os pais serem híbros nos dãoas seguintes possibilidades de genes para a cor dos olhos:

S = {dd,dr,rd,rr}.

Assim, individualmente, cada filho tem probabilidade p = 3/4 de nascer com aparência de genesdominantes. Logo, X é uma variável aleatória binomial com parâmetros (4,3/4). A função deprobabilidade é dada por

p(i) =(

4i

)34

i 14

4−i.

Como queremos a probabilidade de que três dos filhos tenham nascido com aparência de genedominante, queremos a probabilidade de X = 3. Logo,

P(X = 3) = p(3) =(

43

)34

3 14=

2764

.

No que se tornará rotina para as variáveis aleatórias (discretas e contínuas) específicas que citaremosneste capítulo, a seguir calcularemos a esperança e a variância da variável aleatória X .Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros (n, p) que assume valores 0,1,2,3,4, . . . .

1. Dado k ∈ N, temos

E[Xk] =∞

∑i=1

ik p(i) =∞

∑i=0

ik(

ni

)pi(1− p)n−i =

∞

∑i=1

ik(

ni

)pi(1− p)n−i.

Como

i(

ni

)= i

n!(n− i)!i!

= n(

n−1i−1

),

o lado direito da segunda igualdade acima pode ser reescrito como

E[Xk] = np∞

∑i=1

ik−1(

n−1i−1

)pi−1(1− p)n−i.

Faça a mudança de índices j = i−1. Então temos

E[Xk] = np∞

∑j=0

( j+1)k−1(

n−1j

)p j(1− p)n− j−1.

Seja Y uma variável aleatória binomial com parâmetros (n−1, p). Temos

E[(Y +1)k−1] =∞

∑j=0

( j+1)k−1(

n−1j

)p j(1− p)n− j−1,


de forma a concluirmos que

E[Xk] = npE[(Y +1)k−1].

Nos casos particulares em que k = 1 e k = 2 temos

E[X ] = np,

E[X2] = npE[Y +1] = np(E[Y ]+1) = np[(n−1)p+1].

2. Como consequência do item 1., temos

Var(X) = E[X2]− (E[X ])2 = n(n−1)p2 +np−n2 p2 = np(1− p).

PROPOSIÇÃO:Dada uma variável aleatória binomial X assumindo valores 0,1,2,3, . . . ,n, à medida quek varia de 0 a n P(X = k) é crescente até seu ponto de máximo e decrescente depois. Seumaior valor é atingido quando k é o maior inteiro menor ou igual a (n+1)p.

Demonstração. Considere p(k) e p(k−1. Temos

p(k) =(

nk

)pk(1− p)n−k =

n!(n− k)!k!

pk(1− p)n−k,

p(k−1) =(

nk−1

)pk−1(1− p)n−k+1 =

n!(n− k+1)!(k−1)!

pk−1(1− p)n−k+1.

Daí, podemos reescrever p(k) como

p(k) =n!

(n− k)!k!pk(1− p)n−k =

n!(n− k+1)k(n− k+1)(k−1)!

p(1− p)−1 pk−1(1− p)n−k+1

=p(n− k+1)

k(1− p)p(k−1).

Ou seja, p(k)≥ p(k−1) se p(n− k+1)≥ k(1− p), de onde segue que k ≤ (n+1)p e o resultadoestá demonstrado. �

Exemplo 4.16. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 5 e p = 1/2. Temos então

p(0) =(

50

)12

0 12

5=

132

,

p(1) =(

51

)12

1 12

4=

532

,

p(2) =(

52

)12

2 12

3=

1032

,

p(3) =(

53

)12

3 12

2=

1032

,

p(4) =(

54

)12

4 12

1=

532

,


p(5) =(

55

)12

5 12

0=

132

.

Pela proposição anterior, o maior valor de X é atingido quando k é o maior inteiro menor ou iguala

(n+1)p = (5+1)12= 3,

ou seja, o maior valor de X é 3, como podemos checar no seguinte gráfico:

a

p(a)

1/32

0

5/32

1

10/32

2 3 4 5

4.1.2 Variável aleatória de Poisson

DEFINIÇÃO:Uma variável aleatória que pode assumir qualquer um dos valores 0,1,2, . . . , é chamada devariável aleatória de Poisson com parâmetro λ > 0 se sua função de probabilidade é dadapor

p(i) = e−λ λ i

i!, i = 0,1,2, . . . .

Observemos inicialmente que a função acima define, de fato, uma função de probabilidade. DoExemplo 4.5, sabemos que

∞

∑i=0

λ i

i!= eλ .

Daí segue que∞

∑i=0

p(i) =∞

∑i=0

e−λ λ i

i!= e−λ

∞

∑i=0

λ i

i!= e−λ eλ = 1.

A variável aleatória de Poisson é bastante considerada e utilizada pois serve como aproximaçãoda variável aleatória binomial quando n é muito grande e p muito pequeno. A prova deste fatoconstitui em utilizar a definição do número e como

e = limx→∞

(1+

1x

)x

e mandar n para infinito.De fato, considere uma variável aleatória binomial X com parâmetros(n, p). Se o número n de tentativas for muito grande e p muito pequeno, temos que a probabilidade

P(X = i) = p(i) =(

ni

)pi(1− p)n−i

se torna de díficil cálculo, pois o coeficiente binomial é extremamente grande e pi muito pequeno.


Tome agora λ = np. Abrindo a função de probabilidade da variável aleatória binomial X , encontra-mos

p(i) =(

ni

)pi(1− p)n−i =

n!(n− i)!i!

pi(1− p)n−i =n!

(n− i)!i!

(npn

)i(1− np

n

)n−i

=n!

(n− i)!i!

(λ

n

)i(1− λ

n

)n−i

=n(n−1)(n−2) . . .(n− i−1)(n− i)!

(n− i)!i!λ i

ni

(1− λ

n

)n(1− λ

n

)−i

=n(n−1)(n−2) . . .(n− i−1)

niλ i

i!

(1− λ

n

)n

(1− λ

n

)−i .

Quando n→ ∞ e p→ 0, obtemos

n(n−1)(n−2) . . .(n− i−1)ni =

(nn

)(n−1n

). . .

(n− i+

n

)→ 1.

Para o termo (1− λ

n

)n

,

defina x =−n/λ . Daí, fazendo x→ ∞ temos(1− λ

n

)n

=

(1− 1

x

)−λx

=[(

1− xx

)x]−λ

→ e−λ

.Além disso, temos

limn→∞

(1− λ

n

)i

= 1,

e, portanto, temos

P(X = i) = limn→∞

n(n−1)(n−2) . . .(n− i−1)ni

λ i

i!

(1− λ

n

)n

(1− λ

n

)−i = e−λ λ i

i!,

concluindo a afirmação de que a variável aleatória binomial X pode ser aproximada pela de Poisson.Desta forma, se n tentativas independentes são realizadas, cada uma com probabilidade de sucessop, então quando n é muito grande e p muito pequeno, o número de sucessos que ocorrem éaproximadamente uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = np.

Exemplo 4.17. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livrotenha uma distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,5. Calcule a probabilidade de que existapelo menos um erro nesta página.Solução: Se X representa o número de erros na página, então X pode assumir os valores X =0,1,2, . . . e X é uma variável aleatória de Poisson. Como queremos que exista, no mínimo, umerro na página, queremos P(X ≥ 1) = 1−P(X = 0). Como P(X = 0) = p(0), temos

p(0) = e−λ λ 0

0!= e−0,5.

Daí, concluímos que

P(X ≥ 1) = 1−P(X = 0) = 1− p(0) = 1− e−0,5 ≈ 0,393.


Exemplo 4.18. Suponha que a probabilidade de que um item defeituoso seja produzido por umadeterminada máquina seja de 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de 10 itenscontenha no máximo 1 item defeituoso.Solução: Se X denota o número de itens defeituosos na amosta, queremos determinar

P(X ≤ 1) = P(X = 0)+P(X = 1).

Como cada amostra tem 10 itens, temos n = 10. Para cada item selecionado, a probabilidade deque ele apresente defeito é p = 0,1. Logo, X é uma variável aleatória binomial. Utilizemos Xcomo binomial e, posteriormente, como Poisson a fim de compararmos os resultados.Se X é binomial, então

P(X ≤ 1) =(

1010

)p0(1− p)10+

(101

)p1(1− p)9 = (0,9)10+(0,9)9 ≈ 0,7361.

Suponha agora que X seja de Poisson com parâmetro λ = np = 1. Então

P(X ≤ 1) = P(X = 0)+P(X = 1) = e−1 10

0!+ e−1 11

1!= 2e−1 ≈ 0,7358.

Com isso concluímos que utilizando X como binomial ou Poisson nos dá resultados similares, comerro apenas na terceira casa decimal.

Exemplo 4.19. Considere um experimento que consiste em contar o número de partículas α perdi-das em um intervalo de 1 segundo por grama de material radioativo analisado. De experiênciasanteriores sabemos que, em média, 3,2 partículas como essa são perdidas. Qual é uma boaaproximação para a probabilidade de que não mais que 2 particulas α sejam perdidas?Solução: Sabemos que cada grama do material radiotivo estudado possui um número n muitogrande de partículas. Além disso, como em média 3,2 partículas são perdidas, temos

p =3,2n

,

de onde segue que podemos considerar a variável aleatória X que representa o número de partículasα perdidas como variável aleatória de Poisson com parâmetro λ = np = 3,2. Segue então que

P(X ≤ 2)=P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)= e−3,2 (3,2)0

0!+e−3,2 (3,2)

1

1!+e−3,2 (3,2)

2

2!≈ 0,3799.

Passemos para a investigação da esperança e da variância de uma variável aleatória de Poisson Xcom parâmetro λ > 0.

1. Calculemos a esperança:

E[X ] =∞

∑i=0

ip(i) =∞

∑i=0

ue−λ λ i

i!= λe−λ

∞

∑i=1

λ i−1

(i−1)!.

Faça a mudança de índice j = i−1. Temos

E[X ] = λe−λ∞

∑j=0

λ j

j!= λe−λ eλ = λ ,

ou seja,E[X ] = λ .

Observe que, para uma variável aleatória binomial X também havíamos encontrado E[X ] =np = λ . Desta forma, o resultado para a esperança de uma variável aleatória de Poisson écompatível com seu significado de aproximação da binomial.


2. Para realizar o cálculo da variância, primeiramente precisamos determinar E[X2]:

E[X2] =∞

∑i=0

i2 p(i) =∞

∑i=0

i2e−λ λ i

i!= λe−λ

∞

∑i=1

iλ i−1

(i−1)!.

Fazendo a mudança de índice j = i−1, reescrevemos E[X2] como

E[X2] = λe−λ∞

∑j=0

( j+1)λ j

j!= λe−λ

(∞

∑j=0

jλ j

j!+

∞

∑j=0

λ j

j!

)

= λ

∞

∑i=0

je−λ λ j

j!+λe−λ eλ = λE[X ]+λ = λ (np+1) = λ (λ +1).

Portanto,Var(X) = E[X2]− (E[X ])2 = λ (λ +1)−λ

2 = λ .

Exemplo 4.20. Para uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ > 0, mostre que P(X =

i+1) =λ

i+1P(X = i).

Solução: Como

P(X = i+1) = e−λ λ i+1

(i+1)!,

P(X = i) = e−λ λ i

i!,

temos

P(X = i+1) = e−λ λ i+1

(i+1)!= e−λ λ

i+1λ i

i!=

λ

i+1P(X = i).

4.1.3 Variável aleatória geométricaSuponha agora que tentativas independentes, cada uma delas com probabilidade p de sucesso, com0 < p < 1, sejam realizadas até que atinja um sucesso. Seja X o número de tentativas necessárias.Então, se queremos sucesso apenas na tentativa n, como todas as n−1 tentativas anteriores foramfracassos temos

P(X = n) = (1− p)n−1 p.

Observe agora que

∞

∑n=1

P(X = n) = p∞

∑n=1

(1− p)n−1 =p

1− (1− p)= 1,

de onde concluímos que um sucesso deve obrigatoriamente acontecer.

DEFINIÇÃO:Uma variável aleatória discreta X cuja função de probabilidade é dada por

p(n) = P(X = n) = (1− p)n−1 p

é chamada de variável aleatória geométrica com parâmetro p.

Exemplo 4.21. Uma urna contém N bolas brancas e M bolas pretas. As bolas são selecionadasuma de cade vez de maneira aleatória até que saia uma bola preta. Se supormos que cada bolaselecionada seja recolocada antes de que a próxima bola seja retirada, qual a probabilidade deque


a. sejam necessárias exatamente n retiradas?b. sejam necessárias pelo menos k retiradas?

Solução: Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas necessárias para umsucesso. Aqui, sucesso significa dizer que uma bola preta é selecionada. Em cada retirada, aprobabilidade p de selecionarmos uma bola preta é

p =M

N +M.

Segue que X é uma variável aleatória geométrica ea. o cálculo de P(X = n) é dado da seguinte maneira:

P(X = n) = p(n) = (1− p)n−1 p =

(1− M

N +M

)n−1 MN +M

=Nn−1M(N +M)n .

b. Como sabemos que em algum momento o experimento será realizado, se queremos P(X ≥ k),buscamos o fracasso nas k−1 tentativas anteriores. Como os eventos são independentes,

P(X ≥ 10) = P((X ≥ 10)c) = (1− p)k−1.

Calculemos agora a esperança e a variância de uma variável aleatória geométrica X com parâmetrop.

1. A aplicando a fórmula da esperança para X , temos

E[X ] =∞

∑n=1

np(n) =∞

∑n=1

n(1− p)n−1 p =∞

∑n=1

(n+1−1)(1− p)n−1 p

=∞

∑n=1

(n−1)(1− p)n−1 p+∞

∑n=1

(1− p)n−1 p.

Fazendo a mudança de índice j = n−1, reescrevemos a esperança acima como

E[X ] =∞

∑n=1

(1− p)n−1 p =∞

∑j=0

( j)(1− p) j p+∞

∑j=0

(1− p) j p =∞

∑j=0

( j)(1− p) j p+1

= (1− p)∞

∑j=0

( j)(1− p) j−1 p+1 = (1− p)E[X ]+1,

ou seja,E[X ] = (1− p)E[X ]+1,

de onde segue que

E[X ] =1p.

Isso significa que se tentativas independentes com mesma probabilidade p de sucesso sãorealizadas até que o primeiro sucesso ocorra, então o número esperado de tentativas até osucesso é 1/p.

2. Para determinar a variância de X , precisamos inicialmente encontrar E[X2]:

E[X2] =∞

∑n=1

n2 p(n) =∞

∑n=1

n2(1− p)n−1 p =∞

∑n=1

(n+1−1)2(1− p)n−1 p

=∞

∑n=1

(n−1)2(1− p)n−1 p+∞

∑n=1

(1− p)n−1 p+∞

∑n=1

2(n−1)(1− p)n−1 p.

4.2 Variáveis aleatórias contínuas 59

Fazendo a mudança de índice j = n−1, obtemos

E[X2] =∞

∑j=0

j2(1− p) j p+1+2∞

∑j=0

j(1− p) j p

= (1− p)∞

∑j=0

j2(1− p) j−1 p+1+2(1− p)∞

∑j=0

j(1− p) j−1 p

= (1− p)E[X2]+1+2(1− p)E[X ] = E[X2]− pE[X2]+1+2(1− p)

p.

Segue que

E[X2] = E[X2]− pE[X2]+1+2(1− p)

p,

e, portanto,

E[X2] =

(1+2

(1− p)p

)1p=

2− pp2 .

Considerando a variância Var(X) = E[X2]− (E[X ])2, temos

Var(X) =2− p

p2 −1p2 =

1− pp2 .

Exemplo 4.22. Considere um dado honesto. Queremos que, ao lançarmos o dado, a face obtidaseja 1. Como p(1) = P(X = 1) = 1/6, é esperado que sejam necessárias

1p=

116

= 6

jogadas até que o número 1 saia.Neste caso, a variância será dada por

1− pp2 =

1− 16

136

=56

361

= 30.

4.2 Variáveis aleatórias contínuas

Antes de iniciar o estudo de variáveis aleatórias contínuas, uma observação se faz necessária: osalunos do Bacharelado em Ciência e Humanidadades que não cursaram Funções de Uma Va-riável devem obrigatoriamente, após o próximo parágrafo, seguir para variáveis aleatóriasuniforme (Subseção 4.2.1), exponencial (Subseção 4.2.2) e normal (Subseção 4.2.3). O quese segue aqui será dado em termos das definições formais de variáveis aleatórias contínuaspor meio de cálculo diferencial e integral. Os alunos do Bacharelado em Ciência e Tecnolo-gia podem, eventualmente, continuar a leitura de maneira natural. Certamente o conteúdoacrescentará no aprendizado.Nesta seção faremos o estudo de variáveis aleatórias contínuas. Como vimos no início do capí-tulo, uma variável aleatória contínua é uma variável aleatória que somente pode assumir valorescontínuos.Existe, todavia, uma formulação formal de variáveis aleatórias contínuas em termos de teoria deintegração. É ela que se segue.


DEFINIÇÃO:Uma variável aleatória X é uma variável aleatória contíinua se existe uma função f : R→R que tenha a propriedade de que, para todo conjunto B⊂ R,

P(X ∈ B) =∫

Bf (x)dx.

Neste caso, A função f é chamada função de função densidade de probabilidade davariável aleatória X .

Suponha que B = [a,b], para a < b. Então a expressão para a probabilidade P(X ∈ B) é a mesmacoisa que

P(X ∈ B) = P(X ∈ [a,b]) = P(a≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx.

No caso em que a = b, temos B = [a,a] = {a} e, desta forma,

P(X = a) = P(X ∈ {a}) = P(X ∈ B) =∫ a

af (x)dx = 0.

Colocando em palavras, essa equação diz que a proababilidade de que uma variável aleatóriacontínua assuma qualquer valor específico é zero. Portanto,

P(X < a) = P(X ≤ a) = P(X ∈ (−∞,a]) =∫ a

−∞

f (x)dx.

Além disso, como X deve assumir algum valor ao final do experimento, devemos ter

P(X ∈ (−∞,∞)) =∫

∞

−∞

f (x)dx = 1.

Exemplo 4.23. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua cuja função densidade deprobabilidade é dada por

f (x) =

{C(4x−2x2), 0 < x < 2,0, caso contrário.

a. Determine o valor de C.b. Determine P(X > 1).

Para resolver o item a., observe que se f é densidade de probabilidade, então devemos ter∫∞

−∞

f (x)dx = 1

. Assim, como a função é nula para x /∈ (0,2), temos

1 =∫

∞

−∞

f (x)dx =∫ 0

−∞

f (x)dx+∫ 2

0f (x)dx+

∫∞

2f (x)dx =

∫ 2

0C(4x−2x2)

=C(

4x2

2− 2x3

3

)∣∣∣∣∣2

0

=

(8− 16

3

)C =

83

C,

de onde segue que

C =38.


Uma vez que encontramos o valor de C, podemos reescrever a função densidade de probabilidadecomo

f (x) =

{38(4x−2x2), 0 < x < 2,0, caso contrário.

Assim,

P(X > 1) =∫

∞

1f (x)dx =

∫ 2

1

38(4x−2x2)dx+

∫2

∞0dx =38

(4x2

2− 2x3

3

)∣∣∣∣∣2

1

=38

(6− 14

3

)=

12.

Exemplo 4.24. A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é umavariável aleatória contínua com função densidade de probabilidade

f (x) =

{λe−x/100, x≥ 0,0, x < 0.

Qual a probabilidade de quea. o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?b. ele funcione menos de 100 horas?

Solução:a. Como ∫

∞

−∞

f (x)dx = 1

e ∫∞

−∞

f (x)dx =∫ 0

−∞

0dx+∫

∞

0λe−x/100 =

∫∞

0λe−x/100dx,

fazendo a substituição u =−x/100, encontramos dx =−100du, de onde segue que

∫∞

0λe−x/100dx =−100λ

∫ −∞

0eudu = 100λ

∫ 0

−∞

eudu = 100λeu

∣∣∣∣∣0

−∞

,

o que significa que ∫∞

0λe−x/100dx = 100λ

(e0− lim

u→−∞eu)= 100λ .

Segue que 1 = 100λ e λ = 1/100. Daí, a função densidade de probabilidade é dada por

f (x) =

{1

100 e−x/100, x≥ 0,0, x < 0.

O que queremos neste item é P(50 < X < 150):

P(50 < X < 150) =∫ 150

50f (x)dx =

∫ 150

50

1100

e−x/100.

Fazendo u =−x/100 novamente e usando a mesma estratégia da integração anterior, temos

P(50 < X < 150) =∫ 150

50f (x)dx =

∫ −1/2

−3/2eudu = (eu)

∣∣∣∣∣−1/2

−3/2

= e−1/2− e−3/2 ≈ 0,384.


b. Fazendo novamente u =−x/100, temos

P(X < 100) =∫ 100

−∞

f (x)dx =∫ 100

0e−x/100 =

∫ 0

−1eudu = (eu)

∣∣∣∣∣0

−1

= 1− e−1 ≈ 0,633.

Analogamente ao caso de uma variável aleatória discreta, se X é variável aleatória contínua comfunção densidade f , definimos a função distribuição cumulativa F de X como

F(a) = P(X ≤ a) =∫ a

−∞

f (x)dx.

Derivando F , pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos F ′(a) = f (a), ou seja, a funçãodensidade de X é a derivada da função distribuição cumulativa.Analogamente ao caso de variáveis aleatórias discretas, temos o conceito de esperança de umavariável aleatória contínua. Neste caso, a definição apenas substituirá a somatória por uma integral.

DEFINIÇÃO:Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f (x). Definimos aesperança de X como

E[X ] =∫

∞

−∞

x f (x)dx.

A esperança de uma variável aleatória contínua, assim como anteriormente discutido, também éconhecida como média.A próxima proposição tem como motivação a definição de variância, que seguirá a mesma linhapreviamente apresentada.

PROPOSIÇÃO:Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f (x), entãopara qualquer função real g : R→ R,

E[g(X)] =∫

∞

−∞

g(x) f (x)dx.

Como consequência da Proposição, temos que

E[X2] =∫

∞

−∞

x2 f (x)dx.

Com isso, podemos definir a variância em função das esperanças E[X ] e E[X2].

DEFINIÇÃO:A variância de uma variável aleatória contínua X é dada por

Var(X) = E[X2]− (E[X ])2.

Exemplo 4.25. Determine E[X ] e Var(X) quando a função densidade de probabilidade de X édada por

f (x) =

{2x, 0≤ x≤ 10,caso contrário.


Solução: Determinemos a esperança da variável aleatória X:

E[X ] =∫

∞

−∞

x f (x)dx =∫ 0

−∞

x ·0dx+∫ 1

0x(2x)dx+

∫∞

1x ·0dx = 2

∫ 1

0x2dx =

23

x3

∣∣∣∣∣1

0

=23.

Para calcularmos a variância, precisamos determinar E[X2]. Daí,

E[X2] =∫

∞

−∞

x2 f (x) =∫ 0

−∞

x2 ·0dx+∫ 1

0x2(2x)dx+

∫∞

1x2 ·0dx = 2

∫ 1

0x3dx =

12

x4

∣∣∣∣∣1

0

=12.

Segue que

Var(X) = E[X2]− (E[X ])2 =12−(

23

)2

=1

18.

4.2.1 Variável aleatória uniforme (simplificada)Dizemos que uma variável aleatória contínua é distribuiída uniformemente ao longo do intervalo(α,β ), ou simplesmente dizemos ser uniforme ao longo de (α,β ) se sua função densidade deprobabilidade é dada por

f (x) =

{1

β−α, α < x < β ,

0, caso contrário.

De maneira geral, se X é uma variável aleatória uniforme, podemos escrever suas probabilidadesda seguinte maneira:

1. Dado a ∈ R tal que α < a < β , temos

P(X ≤ a) = P(X < a) =a−α

β −α.

2. Dado b ∈ R tal que α < b < β , temos

P(X ≥ b) = P(X > a) =β −bβ −α

.

3. Dados a,b ∈ R tais que α < a < b < β , temos

P(a≥ X ≥ b) = P(a < X < b) =b−aβ −α

.

Além disso, dada uma variável aleatória uniforme X ao longo de (α,β ), temos

E[X ] =β +α

2,

Var(X) =(β −α)2

12.

Exemplo 4.26. Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída ao longo de (0,10), calculea probabilidade de que

a. X < 3;b. X > 6;c. 3 < X < 8.

Solução: Observe que a variável aleatória X é uniforme com parâmetros α = 0 e β = 10. Logo,


a. P(X < 3) =3−α

β −α=

3−010−0

=310

.

b. P(X > 6) =β −6β −α

=10−610−0

=410

.

c. P(3 < X < 8) =8−3β −α

=510

=12.

Exemplo 4.27. Ônibus chegam em determinada parada em invervalos de 15 minutos começando às7 : 00. Se um passageiro chega na parada num instante de tempo que é uniformemente distribuídoentre 7 : 00 e 7 : 30, determine a probabilidade de que ele espere

a. menos de 5 minutos;b. mais de 10 minutos;c. mais de 5 minutos.

Solução: Seja X a variável aleatória que determina o instante de tempo entre 7 : 00 e 7 : 30 noqual o passageiro chega. Então X é uma variável aleatória uniforme com α = 0 (0 minutos) eβ = 30 (30 minutos, o tempo máximo).

a. Um passageiro esperará menos de 5 minutos se ele chegar entre 7 : 10 e 7 : 15 ou entre7 : 25 e 7 : 30. Desta forma, queremos a probabilidade de que 10 < X < 15 ou 25 < X < 30.Assim, temos

P(10 < X < 15)+P(25 < X < 30) =15−10β −α

+30−25β −α

=530

+530

=13.

b. De maneira análoga, o passageiro esperará mais de 5 minutos se ele chegar entre 7 : 00 e7 : 05 ou entre 7 : 15 e 7 : 20. Aqui também queremos a probabilidade de que 0 < X < 5 ou15 < X < 20. Logo,

P(0 < X < 5)+P(15 < X < 20) =5−0β −α

+20−15β −α

=5

30+

530

=13.

c. Para resolver esse item, observe que o tempo máximo de espera do passageiro é 15 minutos.Mais ainda, ou ele espera mais de 5 minutos ou espera menos de 5 minutos. Assim, pelo itema. encontramos

P(X > 5) = 1−P(X < 5) = 1− 13=

23.

4.2.2 Variável aleatória exponencial (simplificada)Dizemos que uma variável aleatória contínua é distribuiída exponencialmente, ou simplesmentedizemos ser exponencial, se sua função densidade de probabilidade é dada por

f (x) =

{λe−λx, x≥ 0,0, x < 0,

para algum λ > 0.De maneira geral, probabilidades relacionadas a uma variável aleatória exponencial com parâmetroλ > 0 são dadas por

1. Dado a ∈ R positivo, temos

P(X ≤ a) = P(X < a) = 1− e−λa.

2. Dado b ∈ R positivo, temos

P(X ≥ b) = P(X > a) = e−λa.


3. Dados a,b ∈ R positivos com a < b, temos

P(a≥ X ≥ b) = P(a < X < b) = e−λb− e−λa.

Além disso, dada uma variável aleatória exponencial X com parâmetro λ > 0, temos

E[X ] =1λ,

Var(X) =1

λ 2 .

Exemplo 4.28. Suponha que a duração de um telefonema, em minutos, seja uma variável aleatóriaexponencial com parâmetro λ = 1/10. Se alguém chega logo na sua frente em uma cabinetelefônica, determine a probabilidade de que você tenha que esperar

a. mais de 10 minutos;b. entre 10 e 20 minutos.c. Além disso, qual será tempo médio de espera?

Solução: Seja X a variável aleatória que determina a duração do telefonema feito na cabine.Sabemos que X é exponencial com parâmetro λ = 1/10. Temos

a. P(X > 10) = e−110 10 = e−1 ≈ 0,368.

b. P(10 < X < 20) = e−1

10 20− e−110 10 = e−2− e−1 ≈ 0,233.

c. O tempo médio de espera será dado pela esperança da variável aleatória X. Como X éexponencial e E[X ] = 1/λ , encontramos E[X ] = 10.

4.2.3 Variável aleatória normal (simplificada)Dizemos que X é uma uma variável aleatória normal com parâmetros µ e σ2 se a função densidadede probabilidade de X é dada por

f (x) =1

σ√

2πe−

12(x−µ)2

σ2 , x ∈ (−∞,∞).

Observemos que se X é uma variável aleatória normal com parâmetros µ e σ2, então dados a,b∈R,Y = aX +b é variável aleatória normal com parâmetros aµ +b e a2σ2.Tome a = 1/σ e b =−µ/σ . Temos então que

Z = aX +b =1σ

X− µ

σ=

X−µ

σ

é normal com parâmetrosσ̄ = aσ = 1, µ̄ = aµ +b = 0.

DEFINIÇÃO:Dada uma variável aleatória normal X com parâmetros µ e σ2, a nova variável aleatórianormal

Z =X−µ

σ

de parâmetros σ̄ = 1 e µ = 0 é chamada variável aleatória normal padrão (ou unitária)e sua função densidade de probabilidade é dada por

fZ(x) =1√2π

e−x22 .


Uma vez que tanto a função f quanto fZ precisam de limites de integração muito específicos paraque seja possível determinar a solução exata da integral (a saber, os valores são −∞ e ∞, e daparidade da função conseguimos concluir resultados exatos para 0 e ∞ ou −∞ e 0), geralmente otrabalho com uma variável aleatória normal se dá computacionalmente e são representados emtabelas que estudaremos mais a frente. Nesse sentido, utilizaremos a variável aleatória normalpadrão e deduziremos propriedades a partir dela.Para uma variável aleatória normal padrão Z, temos

E[Z] = 0, Var(Z) = 1.

A partir dela, dada uma variável aleatória normal X com parâmetros µ e σ2, podemos deduzir asseguintes relações para a esperança e variância de X :

E[X ] = µ, Var(X) = σ2.

Em vista dessas expressões para E[X ] e Var(X), é comum apresentar os parâmetros µ e σ2 ,respectivamente, como média e variância. Mais ainda, é possível apresentar X com média edesvio padrão σ , de tal forma que a variância será dada por Var(X) = σ2.Denote a função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal padrão Z como

Φ(x) = F(x) = P(Z ≤ x) =∫ x

−∞

f (t)dt =1√2π

∫ x

−∞

e−t2/2dt.

Como dito anteriormente, de maneira geral a integral é calculada apenas numericamente, de formaque fazemos uso da seguinte tabela, para x≥ 0, para determinarmos o valor de Φ(x), que significanada mais do que a área debaixo da cuva Φ(x) entre −∞ e x:A tabela acima deve ser interpretada da seguinte maneira: se queremos Φ(x) para x≥ 0, o númerox pode ser escrito com suas duas primeiras casas decimais. Nas linhas da tabela buscamos o valoraté primeira casa decimal, enquanto nas colunas olhamos apenas para a segunda casa decimal. Porexemplo, suponha que queiramos determinar Φ(1). Podemos escrever 1 = 1,00, de forma que naslinhas procuraremos por 1,0 enquanto na coluna buscaremos 0,00 (observe que 1,00 = 1,0+0,00).Assim,

Φ(1) = Φ(1,00) = 0,8413.

Similarmente, suponha que queiramos determinar Φ(2,13). Devemos, então, buscar a linha 2,1 e acoluna 0,03, pois 2,13 = 2,1+0,03. Desta forma, encontramos

Φ(2,13) = 0,9834.

Uma observação se faz necessária: como o ponto Z = 0 divide a curva fZ exatamente ao meio,temos Φ(0) = 0, como se pode notar na tabela com Z = 0,00.Além disso, como a tabela nos dá apenas valores para Z ≥ 0, precisamos estabelecer uma maneirade calcularmos Φ para valores negativos. Temos as seguintes propriedades:

1. Dado x≥ 0, temosΦ(−x) = 1−Φ(x).

2. Dado a≥ 0, temosP(Z ≥ a) = 1−Φ(a).

3. Dado a≥ 0, temosΦ(−a) = P(Z ≤−a) = P(Z > a).

4. Dados −∞ < a < b < ∞, temos

P(a < Z < b) = Φ(b)−Φ(a).


Figura 4.2.1: Tabela de valores para uma distribuição normal padrão Z.

Com isso, sabemos como calcular probabilidades para uma variável aleatória normal padrão. Dadauma variável aleatória normal qualquer X com parâmetros µ e σ2, a estratégia será transformar Xem uma padrão Z. Nesse sentido, a função distribuição cumulativa de X pode ser transformada daseguinte maneira:

FX(a) =P(X ≤ a) =P(X−µ ≤ a−µ) =P(

X−µ

σ≤ a−µ

σ

)=P

(Z ≤ a−µ

σ

)=Φ

(a−µ

σ

).

Exemplo 4.29. Seja X uma variável aleatória normal com parâmetros µ = 3 e σ2 = 9. Encontra:a. P(2 < X < 5);b. P(X > 0);c. P(|X−3|> 6).

Solução: Como X é normal, a estratégia é transformá-la em uma variável aleatória normal padrãoZ = (X−µ)/σ . Como µ = 3 e σ =

√σ2 = 3 , temos

Z =X−µ

σ=

X−33

.

a. Como queremos P(2 < X < 5), consideremos a variação para X:

2<X < 5⇒ 2−3<X−3< 5−3⇒−1<X−3< 2⇒−13<

X−33

<23⇒−1

3< Z <

23.

Assim,

P(2 < X < 5) = P(−1

3< Z <

23

)= Φ

(23

)−Φ

(−1

3

).


Como −1/3 é negativo, da propriedade 1. acima temos que

Φ

(−1

3

)= 1−Φ

(13

)≈ 1−Φ(0,33).

Após checagem do número 0,33 na Figura 4.2.1, referente à quarta linha (0,3) e quartacoluna (0,03), concluímos que

Φ

(−1

3

)= 1−Φ(0,33) = 1−0,6293 = 0,3707.

Analogamente, como 2/3≈ 0,67, checando a sétima linha (0,6) e a oitava coluna (0,07),encontramos

Φ

(23

)≈Φ(0,67) = 0,7486,

de forma que concluímos

P(2 < X < 5) = P(−1

3< Z <

23

)= Φ

(23

)−Φ

(−1

3

)≈ 0,7486−0,3707 = 0,3779.

b. Como queremos P(X > 0), reescrevamos a condição em termos da variável aleatória normalpadrão Z:

X > 0⇒ X−3 >−3⇒ X−33

>−33⇒ Z >−1.

Segue das propriedades 2. e 1., respectivamente, que

P(X > 0) = P(Z >−1) = 1−Φ(−1) = 1− (1−Φ(1)) = Φ(1) = 0,8413.

c. Para resolvermos esse item observe que a inequação modular |X−3|> 6 somente faz sentidoquando X−3 > 6 ou X−3 <−6. Logo, a probabilidade desejada é

P(|X−3|> 6) = P((X−3 > 6)∪ (X−3 <−6)) = P(X−3 > 6)+P(X−3 <−6).

Precisamos então reescrever cada uma das probabilidades em termos da variável aleatórianormal padrão Z. Como Z = (X − 3)/3 e dentro das probabilidades já temos os termosX−3, basta dividir ambos os termos por 3, de forma a encontrarmos

Z =X−3

3>

63= 2, Z =

X−33

<−63

=−2.

Segue queP(X−3 > 6) = P(Z > 2), P(X−3 <−6) = P(Z <−2).

Temos entãoP(Z > 2) = 1−Φ(2) = 1−0,9772 = 0,0228,

P(Z <−2) = P(Z > 2) = 1−Φ(2) = 1−0,9772 = 0,0228,

de onde segue que

P(|X−3|> 6) = P(Z > 2)+P(Z <−2) = 0,0228+0,228 = 0,0456.

4.3 Teorema de DeMoivre-Laplace 69

4.3 Teorema de DeMoivre-LaplaceDada uma variável aleatória binomial X com parâmetros (n, p), vimos que se p é muito pequenoe n muito grande, podemos aproximar X por uma variável aleatória de Poisson com parâmetroλ = np. Neste capítulo, lidaremos com um resultado que diz que podemos aproximar X de umavariável aleatória normal padrão Z.Para isso, observe que no caso em que X é binomial e seus parâmetros são dados por n e p, sabemosque a esperança de X é dada por

E[X ] = np

e a variância porVar(X) = np(1− p).

Para relacionarmos com uma variável aleatória normal padrão, escreva µ = E[X ] e σ2 =Var(X) edefina

Z =X−µ

σ.

O resultado a seguir, conhecido como Teorema de DeMoivre-Laplace, é um caso particular doque conhecemos como Teorema do Limite Central, que será formal e exaustivamente abordadono próximo capítulo. Aqui, consideraremos apenas X binomial, sendo que é possível, sob certascondições, estender para outras variáveis aleatórias.

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL (DEMOIVRE-LAPLACE):Se X representa o número de sucessos que opcorrem quando n tentativas independentes,cada uma com probabilidade p de sucesso, são realizadas, então a nova variável aleatória

Z =X−np√np(1− p)

é aproximadamente uma variável aleatória normal padrão à medida que n→ ∞.

Uma observação se faz extremamente necessária. Como X é binomial e, portanto, discreta, Xadmite apenas valores inteiros. Como uma variável aleatória normal padrão Z é contínua e, portanto,está definida num intervalo, ao aproximar X por Z precisamos reescrever as condições de X emtermos de intervalos.Por exemplo, se queremos determinar P(X = a), para algum a, podemos reescrever a condiçãoX = a como

X = a⇒ a− 12< X < a+

12, (4.3.1)

de forma que o único valor inteiro que X assume no intervalo [a−1/2,a+1/2] é a. Explicitamente,suponha a = 1. Então

X = 1⇒ 1− 12< X < 1+

12⇒ 1

2< X <

32.

Desta forma, o único valor inteiro entre 1/2 = 0,5 e 3/2 = 1,5 é 1, exatamente o que queríamoscom X = a = 1.Analogamente, se queremos determinar P(X > a), reescrevemos X > a como

X > a+12

(4.3.2)

e o raciocínio para compreensão é analógo ao anterior.As condições (4.3.1) e (4.3.2) são conhecidas como correções de continuidade e sempre deverãoser aplicadas no Teorema do Limite Central.


Exemplo 4.30. Seja X o número de vezes nas quais uma moeda honesta que é jogada 40 vezes dácara.

a. Determine a probabilidade de que X = 20.b. Use a aproximação normal e então compare o resultado.

Solução: Se X é o número de caras obtidas em 40 lançamentos de uma moeda honesta, X évariável aleatória discreta e a moeda dar cara representa o sucesso do experimento. Como sãofeitos 40 lançamentos, temos n = 40 tentativas. Além disso, em cada lançamento individual demoeda, a probabilidade de sucesso (isto é, a probabilidade de dar cara) é p = 1/2. Desta forma,X é variável aleatória binomial com parâmetros n = 40, p = 1/2.

a. Como X é binomial, temos

P(X = 20) = p(20) =(

4020

)12

20(

1− 12

)40−20

=

(4020

)12

40≈ 0,1254.

b. Queremos usar o Teorema do Limite Central, então devemos utilizar a correção de continui-dade adequada. Como buscamos P(X = 20), a correção de continuidade é

20−0,5 < X < 20+0,5→ 19,5 < X < 20,5,

de forma que escrevemos

P(X = 20) = P(19,5 < X < 20).

A variável aleatória que será aproximada por uma normal padrão é

X−np√np(1− p

=X−20√

10= Z.

Daí, 19,5 < X < 20,5 é reescrita como

−0,16≈ 19,5−20√10

<X−20√

10<

20,5−20√10

≈ 0,16.

Portanto, pelo Teorema do Limite Central

P(X = 20) = P(19,5 < X < 20) = P(−0,16 < Z < 0,16)≈Φ(0,16)−Φ(−0,16).

Como Φ(0,16) = 0,5636 e Φ(−0,16) = 1−Φ(0,16) = 0,4364, concluímos que

P(X = 20)≈Φ(0,16)−Φ(−0,16) = 0,5636−0,4364 = 0,1272.

Exemplo 4.31. O tamanho ideal de uma turma de ingressantes em uma faculdade é de 150 alunos.A faculdade, sabendo de experiências anteriores que, em média, apenas 30% dos alunos aceitosvão de fato seguir no curso, usa a prática de aprovar os pedidos de matrícula de 450 estudantes.Determine a probabilidade de que mais de 150 estudantes de primeiro ano frequentem as aulasnesta faculdade. Solução: Sej a X o número de estudantes da mesma turma que seguem nocurso. Então X pode assumir valores de 0 a 450 e, portanto, constitui uma variável aleatóriadiscreta. Se queremos verificar quantos alunos frequentam as aulas (sucesso), temos n = 450tentativas. Além disso, selecionado um estudante qualquer dentre os 450, a faculdade sabe quea probabilidade que ele permaneça no curso (ou seja, a probabilidade de sucesso) é de p = 0,3.Com isso, determinamos que X é uma variável aleatória binomial.Como queremos P(X > 150), a correção de continuidade é

X ≥ 150+12= 150,5.

4.3 Teorema de DeMoivre-Laplace 71

Pelo Teorema do Limite Central,

Z =X−np√np(1− p)

=X− (450)(0,3)√

450(0,3)(0,7)

é aproximadamente uma variável aleatória normal padrão. Daí, reescrevemos a condição X >150,5 como

X− (450)(0,3)√450(0,3)(0,7)

>150,5− (450)(0,3)√

450(0,3)(0,7),

de tal forma que

P(X > 150)=P(X ≥ 150,5)=P

(X− (450)(0,3)√

450(0,3)(0,7)≥ 150,5− (450)(0,3)√

450(0,3)(0,7)

)=P

(Z ≥ 15,5√

94,5

).

Como 15,5/√

94,5≈ 1,59, temos

P(X > 150)≈ P(Z ≥ 1,59)≈ 1−Φ(1,59) = 1−0,9441 = 0,0559.

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