4 Flexão Pura
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1
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS CAPITULO
Notas de Aula:
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
4 Flexão Pura
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão Pura
1 - 2
Flexão Pura: quando em uma barra prismática só atuam momentos fletores,
dizemos que esta barra está submetida a flexão pura.
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Outros Tipos de Carregamento
1 - 3
• Principío da Superposição: a tensão
normal devido à flexão pura pode ser
combinada com a tensão normal devido
à carga axial e com a tensão de
cisalhamento devida à força cortante,
para encontrar o estado real de tensão
em um ponto.
• Carregamento Excêntrico: Carga axial
que não passa através do centróide da
seção, produz forças internas,
equivalentes a uma força axial e um
momento
• Carregamento Transversal: cargas
concentradas ou distribuídas atuando
transversalmente à barra, produzem
forças internas, equivalentes a uma força
cortante e um momento fletor.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Barra Prismática em Flexão Pura
1 - 4
MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx
0
0
• Estas exigências podem ser aplicadas para o
elento interno da barra.
• Se as forças internas em qualquer seção é
equivalente a um momento, o momento interno
resistente é igual ao momento externo, que é
chamado de momento fletor.
• A soma das componetes das forças em qualquer
direção deve ser zero
• O momento em relação a qualquer eixo
perpendicular a seu plano, é sempre o mesmo;
o momento em relação a qualquer eixo contido
no seu plano, é nulo.
3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação Devida à Flexão
1 - 5
Vigas com um plano de simetria sob flexão pura:
• A viga permanece simetrica.
• Flete uniformemente formando um arco circular.
• Os planos que contêm as seções transversais
passam pelo centro do arco e permanecem planos
• Para a viga da figura, o comprimento das fibras do
topo diminuem e o comprimento das fibras da base
aumentam.
• Existe um conjunto de fibras, formando uma
superfície, onde não há variação no comprimento
das fibras, chamada superfície neutra.
• As tensões e deformações são negativas
(compressão) acima da superficie neutra e positivas
(tração) acima desta, para o caso em estudo.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformação Devida à Flexão
1 - 6
Considere uma viga de comprimento L.
Após a deformação, o comprimento da
superfície neutra permanece igual L.
Para uma outra superfíce, distante de y da
superfície neutra,
y máx x
c e e
máx máx
c ρ
c
e r e ou
( )
( )
x y y
L
y y L L
y L
r rq
q d e
q rq q r d
q r
A deformação máxima ocorre na
superfície da viga:
4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensão Devida à Flexão
1 - 7
• Para o material elástico,
y
(a tensão varia linearmente) máx
máx x x
c
y
E c
E
e e
• Para o equilíbrio estático,
dAyc
dAc
ydAF
máx
máxxx
0
0
O momento estático da seção em
relação a linha neutra é nulo. Isto
significa que a linha neutra passa
pelo centróide da seção.
• Para o equilíbrio estático,
c
I dA y
c M
dA c
y y dA y M
máx máx
máx x
2
I
My x
c
y máx x Substituindo: =>
W
M
I
Mc máx
A tensão normal máxima ocorre na
superfície da viga e é dada por:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Propriedades da Seção da Viga
1 - 8
M Mc
Módulo de resistência
Momento de inércia da seção
c
I W
I
W I máx
• Tensão normal máxima devido à flexão:
Quanto maior o módulo de resistência, menor será a
tensão na viga, para um determinado momento fletor
Ah bh h
bh
c
I W
6 1 2
6 1
3
12 1
2
• Considere uma viga de seção retangular,
Entre duas vigas com a mesma área da seção
transversal, a viga com maior momento de
inércia será a mais efetiva em resistir a flexão.
• Perfis altos, com uma relação h/b muito
elevada, estão sujeitos a instabilidade lateral
(flambagem).
5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.1
mKNmNM
c
IM
I
Mc
mmmbh
I
máxmáx
.3.3000102501030
10360
103601036012
6020
12
6
3
9
494333
1 - 9
20mm
60mm
A barra de aço da figura, está submetida a
dois conjugados iguais e de sentido
contrários, que agem em um plano vertical
de simetria. Determinar o valor do
momento M que provoca escoamento no
material da barra. Adotar σY=250MPa
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.2
mmyrcmmr
y 91,609,53
124
3
4 __
)(3,1422,19391,6
09,5
:
)(2,1931076,21070
:
1076,22500
91,6
_
39
3
traçãoMPac
y
serátraçãodetensãoae
compressãoMPaE
HookedeleiaAplicando
c
máx
máxmáx
máx
e
re
1 - 10
Uma barra de alumínio tem seção transversal em forma
de semi-círculo, com raio r=12mm. A barra é flexionada
até se deformar em um arco de circunferência de raio
médio ρ=2,5m. Sabendo-se que a face da curva da barra
fica voltada para o centro de curvatura do arco,
determinar a máxima tensão de tração e de compressão
na barra. Adotar E=200GPa.
SOLUÇÃO: Encontramos inicialmente a ordenada do centróide C:
Como:
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações em Uma Seção Transversal
1 - 11
• A deformação devido ao momento fletor é
quantificada pela curvatura da superfície neutra,
EI
M
I
Mc
EcEcc
máxmáx
11 e
r
• Embora os planos da seção transversal
permaneçam planos quando submetidos a um
momento fletor, no plano, as deformações não são
nulas,
r
ee
r
ee
yyxzxy
• Expansão acima da Superfície Neutra e contração
abaixo, causam uma curvatura no plano.
curvatura anticlástica 1
r
r
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 4.2
1 - 12
Uma peça de máquina de ferro
fundido é submetida a um
momento fletor M=3KN.m.
Sabendo que E=165GPa e
desprezando a concentração de
tensões, determine:
(a) a tensão normal máxima de
tração e de compressão,
(b) O raio de curvatura da peça
fletida.
7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 4.2
1 - 13
SOLUÇÃO:
Baseado na geometria da seção, calcule a
localização do centróide da seção e o seu
momento de inércia.
mm 383000
10114 3
A
AyY
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )( ) ( )
49-3
23
12123
121
23
1212
m10868 mm10868
18120040301218002090
I
dAbhdAIIx
( )
2dAIIA
AyY x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema Resolvido 4.2
1 - 14
• Aplique a equação para tensão normal devido
à flexão e calcule as tensões:
49
49
mm10868
m038.0mkN 3
mm10868
m022.0mkN 3
I
cM
I
cM
I
Mc
BB
AA
m
MPa 0.76A
MPa 3.131B
• Calcule a curvatura:
( )( )49- m10868GPa 165
mkN 3
1
EI
M
r
m 7,47
m1095,201 1-3
r
r
8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão de Barras Constituídas Por Vários Materiais
1 - 15
• Considere uma viga composta de dois
materiais com E1 e E2.
• A tensão normal varia linearmente.
re
yx
• Logo, a tensão normal em cada material:
re
re
yEE
yEE xx
222
111
• A linha neutra não passa através do
centróide da seção composta.
• As forças elementares na seção são:
dAyE
dAdFdAyE
dAdFr
r
222
111
( )( )
1
2112
E
EndAn
yEdA
ynEdF
rr
• A seção transformada é definida por:
xx
x
n
I
My
21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.3
1 - 16
Uma barra constituída de aço (Ea = 200GPa) e latão (El =
100GPa) tem a seção indicada na figura. Determine a tensão
normal máxima no aço e no latão, quando a barra fica sujeita
à flexão pura com um momento de 2KN.m.
10mm
5mm
Aço
Latão
5mm
40mm
Latão
40mm
30mm
5mm 5mm
20mm
20mm
SOLUÇÃO:
• Transforme a barra em uma seção equivalente, feita
inteiramente de bronze. 2
100
200
l
a
E
En
A barra transformada terá uma largura, bT=2x10+5+5=30mm
• Calcule o I da seção tranformada:
( )( ) 49123
1213
121 1016010]4030[ mhbI T
• Calcule as tensões máximas:
( )( )MPa
I
Mcm 250
10160
10201029
33
( )
( ) MPan
MPa
ma
ml
5002502
250
max
max
( )
( ) MPa
MPa
máxs
máxl
005
250
9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Vigas de Cocreto Armado
1 - 17
• O concreto suporta bem o esforço de compressão,
mas não o de tração. Por isto, se constroem vigas de
concreto, reforçadas com barras de aço, que serão
responsáveis por suportar os esforços de tração.
• Na seção transformada, a área do aço, Aa , é
substituída pela área equivalente nAa onde:
n = Ea/Ec.
• Para determinação da linha neutra, temos que Q=0
( ) ( )
0
022
21
dAnxAnxb
xdAnx
bx
aa
a
• A tensão normal no aço e no concreto é dada por:
xaxc
x
n
I
My
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Concentração de Tensões
1 - 18
Concentrações de tensão ocorrem:
• Nas proximidades dos pontos de
variação brusca de seção. I
McKmáx
• Nas barras com entalhes. K=fator de concentração de tensões
10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas
1 - 19
• Para qualquer peça submetida a flexão pura, temos:
máxxc
yee a deformação varia linearmente através da seção.
• Se a peça é feita de um material linearmente elástico,
a linha neutra passa através do centróide da seção
I
Myx e
• Para materiais com a curva tensão-deformação não
linear, a localização do eixo neutro é encontrado,
satisfazendo as equações:
dAyMdAF xxx 0
• Para um elemento com simetria vertical e horizontal
e mesma relação de tensão de tração e de
compressão, o eixo neutro passa pelo centróide da
seção e a relação tensão-deformação pode ser usada
para a distribuição das deformações a partir da
distribuição das tensões.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas
1 - 20
• Quando a tensão atinge o valor da Tensão Última
do material, ocorre a falha, e o correspondente
momento fletor MU é chamado de momento fletor
último.
• Na prática, a tensão última, σU, é determinado
experimentalmente, encontrando-se MU e
adotando-se uma distribuição de tensão linear
fictícia.
I
cMUU
• σU é chamado de módulo de ruptura na flexão
e pode ser usado para na determinação do MU
de uma barra do mesmo material do corpo de
provas. A figura ao lado mostra a distribuição
fictícia e a distribuição real de tensões em uma
barra retangular.
11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Barras de Material Elastoplástico
1 - 21
c
• Barra retangular de material elastoplástico
máximo momento elástico
Y Y Y m
m Y x
I M
I
Mc
• Se o momento é aumentado acima do máximo
momento elástico, surgem zonas plásticas.
altura elástica, acima da L.N. 1 2
2
3 1
2 3
Y
Y Y y
c
y M M
• Se o momento continua a aumentar, a altura elástica se
torna zero e toda a seção entra na zona plástica.
fator de forma
Momento plástico 2 3
Y
p
Y p
M
M k
M M
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Deformações Plásticas de Membros Com Um Plano de Simetria
1 - 22
• Deformação plástica total de vigas com um único
plano de simetria vertical.
• As resultantes R1 e R2 das forças de compressão e
de tração formam um momento.
YY AA
RR
21
21
A linha neutra divide a seção em áreas iguais.
• O momento plástico total para o membro é:
( )dAM Yp 21
• O eixo neutro não pode ser assumido passar pelo
centróide da seção.
12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Residuais
1 - 23
• Zonas plásticas são desenvolvidas em um
membro de um material elastoplástico se o
momento for grande o suficiente para tal.
• No descarregamento, existe uma relação linear
entre a tensão e a deformação, assumindo que
nesta fase o membro é totalmente elástico.
• As tensões residuais são obtidas pela
superposição do efeito da tensão durante o
carregamento (deformação elastoplástica) e a
tensão durante o descarregamento (deformação
elástica).
• A tensão final em um ponto, após o
desgarregamento, em geral não é nula.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.05, 4.06
1 - 24
• Um membro de seção retangular uniforme é
submetido a um momento M = 36.8 kN-m. O
material de sua construção é considerado
elastoplástico, com tensão de escoamento de 240
MPa e módulo de elasticidade de 200
GPa.Determine:
(a) a altura da zona elástica,
(b) o raio de curvatura da superfície neutra.
Após o carregamento ser reduzido a zero,
determine:
(c) A distribuição das tensões residuais,
(d) o raio de curvatura.
13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.5, 4.6
1 - 25
( )( )
( )( )
mkN 8.28
MPa240m10120
m10120
10601050
36
36
233
322
32
YYc
IM
mmbcc
I
• Máximo momento elástico :
• a) Altura da zona elástica:
( )
666.0mm60
1mkN28.8mkN8.36
1
2
2
31
23
2
2
31
23
YY
Y
YY
y
c
y
c
y
c
yMM
mm802 Yy
• b) Raio de curvatura:
3
3
3
9
6
102.1
m1040
102.1
Pa10200
Pa10240
Y
Y
YY
YY
y
y
E
er
re
e
m3.33r
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.5, 4.6
1 - 26
• M = 36.8 kN-m
MPa240
mm40
Y
Yy
• M = -36.8 kN-m
Y
36
2MPa7.306
m10120
mkN8.36
I
Mcm
• d) M = 0
m225r
6
3
6
9
6
10 5 . 177
m 10 40
10 5 . 177
Pa 10 200
Pa 10 5 . 35
x
Y
x x
y
E
e r
e
c)
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Carregamento Excêntrico
1 - 27
• A tensão devido ao carregamento excêntrico é
encontrada pela superposição da tensão causada
pela carga P com a tensão causada pelo momento
fletor M:
( ) ( )
I
My
A
P
x x x
flexão centrada
• Carregamento excêntrico
PdM
PF
• A equação acima é válida para tensões abaixo
do limite de proporcionalidade.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.7
1 - 28
Um elo aberto de corrente é obtido pelo dobramento de uma
barra de aço de baixo teor de carbono, conforme mostrado
na figura ao lado. Para uma carga de 800N, determine:
(a) A tensão normal máxima de tração e de compressão,
(b) A distância entre o centróide da seção e o eixo neutro.
• Carregamento equivalente: P=800N e M=P.d=12N.m SOLUÇÃO:
• Tensão normal devido à carga centrada:
( ) 0,006 2
2 m 113,1x10-6 2 c A
7,07 MPa 113,1x10-6
800 0
A
P
• Tensão normal devido ao momento fletor
70,7 MPa I
Mc m
m 10 1,018 4 9
( ) 0,006 4
4 1 4
4 1 c I
15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.7
1 - 29
• Tensão normal máxima de tração e
de compressão:
70,7 7,1
70,7 7,1
0
0
m c
m t
t 77,8 MPa
63,6 MPa c
mmy 60,012
10018,107,7
9
0
• Localização do eixo neutro:
0 M
I
A
P y
My 0 0
I A
P x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.8
1 - 30
A tensão máxima admissível para a
peça de ferro fundido da figura é de 30
MPa para tração e 120 MPa para
compressão. Determine a maior carga
P que pode ser aplicada na peça.
Propriedades da seção:
49
23
m10868
m038,0
m103
I
Y
A
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.8
1 - 31
• Determine a carga e o momento equivalentes.
momento fletor 028 . 0,
carga centrada
m 028 . 0, 010 , 0 038 . 0,
P Pd M
P
d
• Iguale as tensões encontradas em função de
P com as tensões admissíveis:
B kN 0 , 77 MPa 120 1226
kN 6 , 79 MPa 30 377
P P
P P A
kN 0,77P• A carga máxima é o menor dos
valores encontrados:
• Calcule as tensões por superposição de efeitos:
( )( )
( )( )P
PP
I
Mc
A
P
PPP
I
Mc
A
P
AB
AA
122610868
038,0028,0
103
37710868
022,0028,0
103
93
93
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão Fora do Plano de Simetria
1 - 32
• Até agora, nos limitamos a análise de
membros submetidos a momentos atuando
em um plano de simetria.
• Iremos agora, considerar situações em que
o momento não atua em um plano de
simetria.
• Não podemos assumir que o membro irá
fletir no plano de atuação dos momentos.
• Estes membros permanecem simétricos em
relação ao plano de atuação dos momentos,
e se flexionam nesse plano, conforme
mostrado na figura ao lado.
17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão Fora do Plano de Simetria
1 - 33
Desejamos determinar sob que
condições a L.N. da seção transversal,
de uma área qualquer, coincide com o
eixo dos momentos, conforme figura ao
lado.
•
o vetor de momento precisa estar
direcionado ao longo de um eixo
principal centroidal.
produto de inércia I dA yz
dA c
y z dA z M
yz
m x y
0 ou
0 • A resultante das forças e
momentos na seção precisam
satisfazer:
momento aplicado M M M F z y x 0
•
a linha neutra passa através do
centróide.
dAy
dAc
ydAF mxx
0or
0
•
define a distribuição de tensões
momento de inércia I I c
I σ
dA c
y y M M
z m
m z
M ou
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão Fora do Plano de Simetria
1 - 34
A superposição é aplicada para determinar as
tensões, em casos de momentos assimétricos.
• Decompondo o vetor de momento sobre os eixos
principais centroidais.
qq sincos MMMM yz
• Superpondo as componentes de tensões:
y
y
z
zx
I
yM
I
yM
• Ao longo da L.N., temos:
( ) ( )
q
tantan
sincos0
y
z
yzy
y
z
zx
I
I
z
y
I
yM
I
yM
I
yM
I
yM
18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.08
1 - 35
463
463
1048,012
)040,0(090,0
1043,212
)090,0(040,0
mI
mI
y
z
mNsenM
mNM
y
z
.10030200
.2,17330cos200
0
0
Um momento de 200 N.m é aplicado em uma viga de
madeira, em um plano que forma 30º com a vertical.
Determine:
(a) a tensão normal máxima de tração na viga,
(b) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal.
• Decomponha o momento em suas componentes e calcule os
momentos de inércia:
SOLUÇÃO:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.8
1 - 36
• A tensão normal máx.de tração, devido a superposição
de efeitos, ocorre em A.
MPa38,717,421,321max MPa38,7max
A tensão de tração máxima devido a Mz ocorre ao longo
da aresta AD e vale:
• Determine o ângulo da linha neutra com a horizontal:.
92,230tan1048,0
1043,3tantan 0
6
6
qy
z
I
Io1,71
MPaI
yM
z
z 21,31043,2
045,02,17361
A tensão de tração máxima devido a My ocorre ao longo
da aresta AD e vale:
MPaI
zM
y
y17,4
1048,0
020,010062
19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico
1 - 37
• Considere uma barra submetida a duas forças
iguais e opostas, porém excêntricas.
• Este carregamento é equivalente ao mostrado
na figura inferior.
Pb M Pa M
P
z y
carga centrada
• Pelo princípio da superposição, a tensão
combinada é:
y
y
z
zx
I
zM
I
yM
A
P
• A L. N. pode ser encontrada aplicando a
equação abaixo:
0 zI
My
I
M
A
P
y
y
z
z
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.9
1 - 38
Um bloco de seção retangular, recebe uma carga de
4,80KN, aplicada excentricamente. Pede-se:
a)Determinar as tensões nos pontos A, B, C e D.
b)Determinar a posição da L.N. na seção transversal.
SOLUÇÃO: O carregamento dado é equivalente ao da fig. abaixo:
4 6 3
4 6 3
2 3
3 3
3 3
10 52 , 11 ) 120 , 0 )( 80 , 0 ( 12
1
10 12 , 5 ) 80 , 0 )( 120 , 0 ( 12
1
10 60 , 9 120 , 0 80 , 0
: Pr
. 120 10 25 10 80 , 4
. 192 10 40 10 80 , 4
m I
m I
m A
seção da opriedades
m N M
m N M
z
x
z
x
20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.9
MPaI
xM
MPaI
zM
MPaA
P
z
máxz
x
máxx
625,01052,11
)1060(120
5,11012,5
)1040(192
5,01060,9
80,4
6
3
2
6
3
1
30
1 - 39
Tensão devido à carga P:
Tensão devido ao momento Mx:
Tensão devido ao momento Mz:
MPa
MPa
MPa
MPa
D
C
B
A
375,0625,05,15,0
625,1625,05,15,0
375,1625,05,15,0
625,2625,05,15,0
a) Tensão em cada ponto:
b) Posição da L.N.:
mmHAHA
mmBGBG
70375,0625,2
625,2
80
7,36375,1625,1
375,1
80
Distribuição das tensões:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão de Barras Curvas
qd
qqq
qqd
qqd
y
Fazendo
yRyR
Logo
yRreyRr
figdaTemos
rr
RR
'
''
''
''
''
:
)()(
:
.
r
rRE
yR
yEE
Logo
yR
y
r
y
r
xx
x
q
q
q
qe
q
q
q
q
q
de
..
:
1 - 40
Considere a barra curva de seção transversal uniforme indicada na figura. Sua
seção transversal é simétrica em relação ao eixo “y”.
Tomando o arco JK, distante
de y acima da Sup. Neutra:
A tensão não varia linearmente com a
distância y da fibra estudada à S.N.
21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão de Barras Curvas
1 - 41
rdAA
r
r
dA
AR
1_
00
00
dAr
dARdA
r
rR
dAr
rREdAx
q
q
A relação abaixo deve ser satisfeita:
Distância do centro de
curvatura C até a S.N.
O eixo neutro não passa pelo
centróide da seção da barra curva
Outra relação que devemos satisfazer é:
Ae
M
RrA
ME
MArRARAE
MrdARAr
dAR
E
MdAr
rRE
MydAr
rREMdAy z
)(
)2(
2
)(
(
_
_
2
2
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Encontramos, então:
reA
RrM
yReA
yMx
..
).(
)(.
.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Flexão de Barras Curvas
ReAE
M
RR
eAE
M
RRR
Como
RR
...
11
..1
11
11
:
11
'
'
'
'
'
q
q
qqq
q
q
1 - 42
Distância R do centro de curvatura C até a S.N. para seções usuais:
Mudança na curvatura da S.N. causada pelo momento fletor M:
22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.10
mmRre
mmR
mmh
rr
mmh
rr
r
r
h
r
dr
h
r
drb
hb
r
dA
AR
r
r
r
r
r
r
523,0477,99100
477,99
5,87
5,112ln
25
5,1125,121002
5,875,121002
ln.
.
_
_
2
_
1
1
22
1
2
1
2
1
1 - 43
Uma barra retangular de eixo curvo tem raio mmr 100_
e uma seção tranversal de largura b=50mm e altura
h=25mm. Determinar a distância “e” entre o centróide
e o eixo neutro da seção.
SOLUÇÃO: Inicialmente determinamos
o raio R da S.N.:
99,477mm 100mm
0,523mm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 4.11
MPareA
RrM
MPareA
RrM
mmhbA
mNM
máx
5,104)105,87)(10523,0)(101250(
10)48,995,87(500
..
)(
5,88)105,112)(10523,0)(101250(
10)48,995,112(500
..
)(
12502550.
.500
336
3
1
1min
336
3
2
2
2
MPaI
cMmáx 0,96
10])25()50[(12
1
105,12500.
123
3
min,
1 - 44
Determinar para a barra do Ex. 4.10, os valores máximos das tensões de tração e
compressão, sabendo-se que o momento fletor na barra é M=500 N.m
SOLUÇÃO:
Se usássemos a expressão da tensão para uma barra reta, teríamos:
O que diverge dos valores reais obtidos.