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3a SRIE ENSINO MDIOCaderno do AlunoVolume 1

MATEMTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRCULO DO ESTADO DE SO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMTICAENSINO MDIO

3a SRIEVOLUME 1

Nova edio

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAO

So Paulo

Governo do Estado de So Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Af Domingos

Secretrio da Educao

Herman Voorwald

Secretrio-Adjunto

Joo Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretria de Articulao Regional

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Coordenadora da Escola de Formao e Aperfeioamento dos Professores EFAP

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Coordenadora de Gesto da Educao Bsica

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Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informao, Monitoramento e Avaliao

Educacional

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Coordenadora de Infraestrutura e Servios Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Oramento e Finanas

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundao para o Desenvolvimento da Educao FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relao a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-manidade construiu ao longo do tempo um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decises... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se so algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar voc a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situaes de Aprendizagem deste Caderno apresentar conhecimentos matemti-cos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construda como parte de sua vida cotidi-ana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas no devem ser consideradas simplesmente exerccios ou problemas a serem resolvidos com tcnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrrio, muitas dessas situaes podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noo ou propriedade matemtica.

Aprender exige esforo e dedicao, mas tambm envolve curiosidade e criatividade, que estimu-lam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que voc participe das aulas, observe as explicaes do professor, faa anotaes, exponha suas dvidas; alm disso, importante que voc no se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que tambm d sua opinio.

Voc estudar neste Caderno os seguintes assuntos: a geometria e o mtodo das coordenadas, a reta (inclinao constante e proporcionalidade), problemas lineares (mximo e mnimo), circunfern-cias e cnicas (significados, equaes e aplicaes), equaes algbricas de 2o e 3o graus, polinmios e nmeros complexos.

Se precisar, pea ajuda ao professor, pois ele pode orient-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informaes sobre um assunto. Reserve todos os dias um horrio para fazer as tarefas e rever os contedos, porque assim voc evita que eles se acumulem. Ajude e pea ajuda aos colegas, pois partilhar ideias fundamental para construo do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que voc vai descobrir isso.

Equipe Curricular de MatemticaCoordenadoria de Gesto da Educao Bsica CGEB

Secretaria da Educao do Estado de So Paulo

Matemtica 3a srie Volume 1

5

VOC APRENDEU?

1. Na Geometria Analtica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (x; y) e fazemos clculos relativos a figuras geomtricas por meio de operaes algbricas sobre os pares de coordenadas. Partindo dessa ideia, considere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule:

a) A distncia entre esses dois pontos.

b) A inclinao do segmento AB.

2. Como voc escreveria a equao da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)?

SITUAO DE APRENDIZAGEM 1A GEOMETRIA E O MTODO DAS COORDENADAS


6

3. Qual a equao da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (2; 0)?

4. Compare se o que voc fez nas trs primeiras atividades corresponde ao apresentado a seguir:

y

0

yB

xA xB x

yA

B

A

dAB

y

0

yB

xA xB x

yA

B

A

1

mAB

y

0

y = h (h > 0)

y = h (h < 0)

x

h

h

y

0

(h < 0)

x = h

(h > 0)

x

x = h

A, B, C no alinhados: mAB mBCBC paralelo a DE: mBC = mDE

dAB = distncia entre A e B mAB = inclinao de AB

my yx xAB

B A

B A

y

0 x

A D

E

B

C


7

Registre as semelhanas e as diferenas entre as solues que voc props e as figuras apresentadas.

5. Observe os grficos a seguir e busque uma equao que represente a reta r, em cada item:

b) r

y

x0

321

54

67

21 3 54

y

0

34

5

x

r

67

2

1

21 3 54

a)

6. De forma geral, para as retas inclinadas em relao aos eixos, lembrando dos grficos das fun-es de 1o grau, temos as equaes indicadas a seguir:

0

y = mx + h (m > 0)

m

h

1

x

y

0

y = mx + h (m < 0)

m

h

1

x

y

b) a)

b) a)


8

Compare-as com as equaes encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores de m e h.

7. Comparando as inclinaes das retas, podemos identificar as que so paralelas e as que so concorrentes e, particularmente, a relao entre as inclinaes de retas perpendiculares:

r1: y = m1x + h1

r2: y = m2x + h2

m1 m2 r1 e r2 concorrentes

x

y

r2: y = m2x + h2

r1: y = m1x + h1

m1 = m2 r1 e r2 paralelas

x

y

Considerando isso, responda s questes seguintes:

a) Qual a posio relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = 4x + 1?

b) Qual a posio relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x 2?


9

Localize nesse sistema o ponto (2; 15) e determine a distncia desse ponto a cada uma das retas indicadas anteriormente.

No sistema cartesiano a seguir foram representadas retas de equaes:

Desafio!

Para calcular a distncia de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhana de tringulos indicada na figura a seguir:

yPy P

yr

h

xP x

(yr = mxP + h)

r: y = mx + h

yP yr

dPr

1

m1

2

m dy y mP r

Pr

=

+

11 2

dy y

mP r

Pr

=+1 2

dy m x h

mP p

Pr

=

+1 2

_

_

y ts

x

16

14

12

10

8

4

2

0 2 64 82468

r

r : y = 3

s : x = 4

t : y = 3x + 1


10

8. O hexgono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada lado tem 10 unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e XYM, determine:

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e M;

b) a inclinao dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB;

c) as coordenadas do ponto mdio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD.

y

F

D

B

E

A

x

M C

Y

X


11

9. Observe o hexgono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora com o vrtice F coincidente com um ponto do eixo das ordenadas, e com o lado AB apoiado sobre o eixo das abscissas.

Determine:

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F;

b) as coordenadas do ponto M, centro do hexgono;

c) a inclinao dos segmentos AD e BE;

d) as coordenadas do ponto mdio dos segmentos: AE e BD;

e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexgono.

Y

F

O B

DE

A X

M C


12

10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os pontos: A (1; 2), B (3; 8), C (2; 8) e D ( 4; 2).

x

y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1234

a) Mostre que os pontos A, B, C e D so os vrtices de um paralelogramo.

b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.


13

c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD.

d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela letra M o ponto em que as diagonais se cruzam. Determine as coordenadas do ponto M.

e) Calcule a rea do tringulo AMD.


14

LIO DE CASA

11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C ( 2; 13) em um sistema de coordenadas, sendo M o ponto mdio de AC e N o ponto mdio de BC.

a) Determine as coordenadas de M e N.


15

b) Calcule as inclinaes dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos so paralelos.

c) Calcule as distncias dAB e dMN, verificando que dAB = 2dMN.

VOC APRENDEU?

12. Para que trs pontos A, B e C estejam alinhados, necessrio e suficiente que as inclinaes dos segmentos AB, BC (e, consequentemente, AC) sejam iguais, isto , que os trs pontos constituam uma nica rampa ABC.

0 x

y

yB

yC

yA

xA xB xC

A

B

C

mAB 5 mBC 5 mAC

0 x

y

yC

yB

yA

xA xB xC

A

B

C

mAB mBC


16

Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):

a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.

b) Determine o valor de k para que a rea do tringulo ABC seja igual a zero.

c) Sendo k = 3, desenhe o tringulo ABC e calcule sua rea.


17

13. No sistema de coordenadas a seguir, represente quatro pontos de modo a formar um quadril-tero ABCD. Escolha as coordenadas vontade.

y

x

6

4

14 3 2 1 1 32 4 5

234

2

5

3

1

0

Analisando o quadriltero formado:

a) calcule os pontos mdios dos lados AB, BC, CD e DA;

b) mostre que os quatro pontos mdios obtidos formam um paralelogramo.


18

14. Com base na figura, calcule a distncia do ponto P de coordenadas (2; 15) reta r nos casos indicados a seguir:

a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1

Vamos fazer uma figura para orientar a soluo:

N

3

MQ

P

y

A

x

Bd

15

7

3

1

0 2 9

15 7 = 8

y2 = 3 u 2 + 1 = 7

y = 3

x = 9

y = 3x + 1

1

W10


19

VOC APRENDEU?

1. Na equao y = 473,5x + 12,879, se x variar uma unidade, passando, por exemplo, de 2 008 para 2 009, de quanto ser o aumento de y? Tente responder a essa questo sem efetuar clculos.

2. Represente no plano cartesiano as retas r1 a r9 de equaes do tipo y = mx + h, correspondentes aos valores de h e m registrados na tabela a seguir.

r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9

h 0 3 3 1 3 5 0,5 0,8

m 5 2 2 5 7 6,4 0 7

SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 A RETA, A INCLINAO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADE

y

6

7

1 4 62 3 51

3

5

2

4

6

7

4

2

5

3

1

0

13 24

x


20

3. Determine a equao da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinao m = 3.

4. Escreva a equao da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16).

5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o tringulo equiltero EFG cujo lado mede 10 unidades, representados no sistema cartesiano:

y

BA

D 5x

C

y

xF

M

G

10

E

O

a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equaes das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.

b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equaes das retas EF, FG, GE e OM, onde M o ponto mdio do lado EF e O o ponto mdio do lado GF.


21

6. Se duas retas inclinadas em relao aos eixos coordenados r1 e r2 so perpendiculares, ento suas inclinaes m1 e m2 tm sinais opostos e so inversas, isto , m1 . m2 = 1, como possvel perceber pela anlise da figura a seguir:

y

0x

1

h2

h1

y = m2 x + h2

y = m1 x + h1

m1

m2

Os ngulos assinalados nos dois tringulos retngulos so congruentes. Isso nos permite afirmar

que m1

=1

m1

2

(note que, como m2 < 0, o segmento que corresponde ao lado do tringulo

tem compri mento igual a m2). Sendo assim, conclumos que m1 u m2 = 1.

Considerando esse resultado, determine a equao da reta t que passa pelo ponto A e perpen-dicular reta r, nos seguintes casos:

A (0; 0) (0; 4) (0; 3) (0; 7) (1; 2)

r y = 4 3x y = 2x 5 y = 0,2x + 7 y = 3x + 2 y = 3x + 7


22

7. Como observado anteriormente, a equao y = mx + h representa os pontos de uma reta incli-nada em relao aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que se situa acima da reta, os pontos so tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.

y

x0

y > mx + h

y < mx + h

y = mx + h y

x0

y mx + hy mx + h

y = mx + h

Partindo dessa ideia, associe cada uma das regies coloridas A, B, C, D, E e F a uma inequao ou a um sistema de inequaes do tipo y > mx + h, ou, ento, y < mx + h, considerando-se a conti nuidade ou no da regio solicitada.

Ay = 3x + 5

x

y

0

C

y = 5 + 2x

x

y

0

D

y = 7 0,5x

y = 4 0,9xx

y

y = 3 + 2x

B

y = 5 0,5x

y

x0

0


23

E

7 x

y

0

F

5 x

y

0

8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mnimo, 75 g de protenas por dia, servindo-se apenas de certo alimento A.

a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de protena, quantos gramas de A devero ser ingeridos por dia, no mnimo?

b) Represente algebricamente a relao entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de protenas correspondente.

c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a prescrio da dieta atendida.

y = 2x

y =

x

y

0

y = 4 + x

y = 4


24

d) Represente no plano cartesiano a regio em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porm com alimentos mais ricos em protenas do que o alimento A.

LIO DE CASA

9. Um fazendeiro dispe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a rea a ser plan-tada de milho, e y a rea a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar nenhuma das culturas, responda s questes a seguir:

a) Represente a relao algbrica que deve existir entre os valores x e y.

x

y

0


25

b) Represente a regio A do plano cartesiano que corresponde relao entre x e y anterior-mente referida.

c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho, qual a regio B do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condies formuladas?

x

y

0

x

y

0


26

d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mnimo, 5 alqueires de milho e, no mnimo, 3 alqueires de alfafa, qual a regio C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfa-zem as condies formuladas?

x

y

0


27

VOC APRENDEU?

1. Em uma fbrica que produz um s tipo de produto, o custo C da produo de x unidades a soma de um custo fixo C0 com um custo varivel C1, que proporcional a x. Se o processo de produo for tal que cada unidade produzida a mais tenha sempre o mesmo custo, independen-temente do valor de x, ento C1 = kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto. Em uma fbrica como a descrita acima, tem-se: C = 3 000 + 150x (x o nmero de artigos; C o custo da produo em reais).

a) Esboce o grfico de C em funo de x.

SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES MXIMOS E MNIMOS

b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo varivel?

c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da produo?

x

y

0


28

2. Uma fbrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente de A igual a x, e a quantidade diria de B igual a y. O processo de produo tal que cada uni-dade produzida de A custa sempre 5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sendo, portanto, o custo da produo conjunta de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).

a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2 400,00, determine dois pares de valores possveis para x e y.

b) Sendo o mximo valor admissvel para C igual a R$ 3 200,00, qual o valor mximo possvel para x? E qual o valor mximo possvel para y? (Observao: x 0, y 0.)

c) Represente em um sistema de coordenadas no plano os pares (x; y) para os quais se tem C 3 200.

x

y

0


29

3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que fornea pelo menos 6 mg de vitamina B2, alimentando-se exclusivamente dos alimentos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g. Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de B2, e cada pacote do alimento II fornece 0,15 mg de B2. Sendo x o nmero de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e y o nmero de pacotes do alimento II:

a) Escreva a relao que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita.

b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relao. (Lembre-se de que devemos ter, naturalmente, x 0, y 0.)

4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do alimento I custa 5 reais e cada pacote de II custa 2 reais.

a) Expresse o custo C da alimentao, se forem utilizados x pacotes de I e y pacotes de II.

x

y

0


30

b) Represente graficamente no plano cartesiano os pares (x; y) que correspondem ao custo C1 = 40 reais, notando que eles correspondem a uma reta r1.

c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C3 = 80 reais, notando que eles correspondem s retas r2 e r3, paralelas reta r1 do item anterior.

x

y

0

x

y

0


31

d) Mostre que, quanto menor o custo, menor a ordenada do ponto em que a reta que o repre-senta intercepta o eixo y.

e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentao o menor possvel?

LIO DE CASA

5. Um pequeno fazendeiro dispe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir quanto plantar de milho e quanto de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total seja o maior possvel. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento lquido de R$ 20 mil e cada alqueire de cana dever render R$ 15 mil. No entanto, cada al-queire de milho requer 20 000 L de gua para irrigao e cada alqueire de cana requer somen-te 10 000 L de gua, sendo que, no perodo correspondente, a quantidade de gua disponvel para tal fim 120 000 L.

Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.

a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produo?

b) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de alqueires plantados no pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relao.

x

y

0


32

c) Qual a relao entre x e y que traduz a exigncia de que o total de gua a ser utilizado no pode superar os 120 000 L? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relao.

e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 mil e os que correspondem ao rendimento R2 = 120 mil.

x

y

0

x

y

0

x

y

0

d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as duas exigncias expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x 0, y 0).


33

f ) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY.

g) Determine o ponto da regio do item d que corresponde ao rendimento total mximo.

Desafio!

Uma fbrica utiliza dois tipos de mquinas, M1 e M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2. Cada unidade de P1 exige 2 horas de trabalho de M1 e 2 horas de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora de M1 e 4 horas de M2. Sabe-se que as mquinas M1 e M2 po-dem traba lhar, no mximo, 10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o lucro unitrio, na venda de P1, igual a 40 reais, enquanto na venda de P2, o lucro unitrio de 60 reais. Representando por x a quantidade diria a ser produzida de P1 e y a quanti-dade a ser produzida de P2, responda s questes seguintes.

x

y

0


34

a) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M1 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

b) Qual a relao entre x e y de modo que o tempo de utilizao da mquina M2 no ultrapasse as horas dirias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.

c) Represente a regio do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente s duas restries dos itens a e b.

x

y

0

x

y

0

x

y

0


35

d) Qual a expresso do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2?

e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais.

f ) Qual o ponto da regio do item c que corresponde ao lucro total mximo?

x

y

0


36

As circunferncias e as cnicas (elipses, hiprboles e parbolas) so curvas que tambm podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pon-tos pode ser descrita por meio de uma equao de duas variveis.

A circunferncia e a elipse podem ser vistas a partir de sees de um cilindro circular; a elipse no passa de uma circunferncia alongada em uma das duas direes.

SITUAO DE APRENDIZAGEM 4CIRCUNFERNCIAS E CNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAES, APLICAES

circunferncia elipseelipse

Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como sees de uma superfcie cnica.

Tambm possvel observar superfcies cnicas colocando-se gua em recipientes ciln-dricos ou cortando-se adequadamente uma pea de salame.

circunferncia

Leitura e anlise de texto

C

onex

o E

dito

rial


37

VOC APRENDEU?

1. Sabendo que uma circunferncia de centro C (x0; y0) e raio r tem equao (x x0)2 + (y y0)

2 = r2, considere a circunferncia de centro (4; 4) e de raio 4.

a) Represente-a no plano cartesiano a seguir e determine sua equao.

b) Determine a equao da reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferncia.

c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P2, de interseo da reta s com a circunferncia dada.

x

y

0


38

d) Calcule a distncia entre P1 e P2.

Elipse

As curvas chamadas cnicas a elipse, a hiprbole e a parbola ocorrem com mui-ta frequncia na natureza e no dia a dia. Vamos conhecer suas principais caractersticas, comeando pela elipse.

Quando inclinamos um recipiente cilndrico aberto, de seo circular, contendo gua em repouso, o contorno da superfcie da gua uma elipse. Tambm uma elipse a sombra projetada de uma circunferncia situada em um plano vertical, quando a luz do Sol, ou outra luz, incide obliquamente.

Foi Johannes Kepler (15711630), em seus estudos de Astronomia, quem associou s trajetrias dos planetas ao redor do Sol no mais circunferncias, mas sim elipses, ou seja, circunferncias achatadas.


C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial


39

Nessas elipses, Kepler destacou a existncia de dois pontos simetricamente opostos em relao ao centro, chamados focos, em um dos quais o Sol se situava.

A partir desses dois pontos, uma propriedade funda-mental pode ser utilizada para caracterizar uma elipse: qual-quer ponto da elipse tal que a soma das distncias at esses dois pontos fixados, que so os focos, constante. Jardin-eiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir canteiros elpticos: fincando-se duas estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de comprimento L (maior do que a distncia entre os focos) esticado, obtm-se uma elipse.

Um coador de caf de plstico pode ilustrar o fato de que as elipses podem ser considera-das curvas intermedirias entre a circunferncia e o segmento de reta:

0 x

y

Semieixos

aa

b

b

Uma elipse apresenta dois eixos de simetria: o semieixo maior costuma ser represen-tado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos so 2a e 2b.

F1 F2

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial

C

onex

o E

dito

rial


40

y

0 x

x2 +(y')2 = a2

(x; y')

(x; y)

Elipse

Circunferncia

a

a

l

a

b

a

b

x2a2 b2+ = 1

y2

VOC APRENDEU?

2. Usando o fato de que a elipse uma circunferncia achatada, ou seja, a curva obtida quando re-duzimos (ou ampliamos) na mesma proporo todas as cordas perpendiculares a um dimetro dado,

mostre que a equao da elipse de centro na origem e com os semieixos a e b xa

yb

2

2

2

2+ = 1 .

3. Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; b) distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que esto a uma distncia a de (0; b) e (0; b) tm coordenadas (c; 0) e (c; 0). Eles so particularmente importantes, sendo chamados focos da elipse. O valor c chamado dis-tncia focal da elipse. Por construo, a soma das distncias dos pontos (0; b) e (0; b) at os focos igual a 2a. poss-vel mostrar que para todo ponto P (x; y)

do plano, se xa

yb

2

2

2

2+ = 1, ento, a soma

das distncias de P at os focos (c; 0) e

(c; 0) igual a 2a. A razo ca

chamada

excentricidade da elipse, sendo represen-tada pela letra e.

0a a

b

b

c c

a a

y

x


41

a) Mostre que, entre a, b e c vale a relao a2 = b2 + c2.

b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de 1 e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais prximo de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero e a elipse se aproxima de uma circunferncia.

4. Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5.y

xF2F1

5

1313

c

Determine:

a) a equao da elipse;

b) a excentricidade da elipse;


42

c) os focos da elipse;

d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertena elipse;

e) a soma das distncias de P aos focos da elipse.

Hiprbole

Quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas que so inversamente pro-porcionais, isto , cujo produto x u y constante e no nulo, a curva obtida uma hiprbole.

x1 . y1 = x2 . y2 = x3 . y3 = constante = k 0

eixos perpendiculares/ sistema ortogonal eixos oblquos


x

y

0

y2

y1

x3x2

x u y = k

x1y3

0

y1

y2

x u y = k

x1 x2x3x

y

y3


43

Como j vimos anteriormente, a hiprbole surge, ainda, quando seccionamos um cone circular reto com um plano que forma com o plano da base um ngulo maior do que aquele formado por uma geratriz do cone com a base.

Quando um avio se desloca a certa altura com velocidade maior do que a do som, um problema importante consiste em deter-minar a regio da superfcie da Terra de onde se pode escutar o barulho de seus motores. Essa regio chamada zona de audibilidade e se desloca com o avio. possvel mostrar que, em cada instante, seu contorno uma hiprbole.

Uma propriedade caracterstica da hiprbole a seguinte: existem dois pontos fixados F1 e F2 tais que a diferena entre as distncias de qualquer ponto da curva at esses dois pontos constante. A partir dessa propriedade, possvel traar hiprboles da forma in-dicada na figura a seguir:

hiprbole d(P, F2) d(P, F1) = constante

Para escrever a equao da hiprbole, podemos partir da representao de grandezas inversamente proporcionais. No caso de um sistema XOY em que os eixos cartesianos so ortogonais, a hiprbole chamada equiltera e os dois ramos da curva aproximam-se in-definidamente dos eixos coordenados, nunca os tangenciando. A origem um centro de simetria e os eixos coordenados so chamados, nesse caso, assntotas da hiprbole.

Por exemplo, as curvas formadas pelos pontos cujas coordenadas satisfazem as relaes a seguir so hiprboles tendo como assntotas os eixos coordenados (ver figuras).

x

y

x y = 7

0 x

y

x y = 5

0

F1 F2

P

C

onex

o E

dito

rial

7 5

2,5

21

7

11


44

VOC APRENDEU?

5. A equao 4x2 9y2 = 36 pode ser vista como uma hiprbole. Fatore o primeiro membro e obtenha X e Y tal que X u Y = 36. Em seguida, determine as assntotas e faa uma representao grfica da hiprbole, obtendo (2x 3y) u (2x + 3y) = 36, ou seja, X u Y = 36.

6. A equao de uma hiprbole representada no plano cartesiano, com centro na origem, do tipo xa

yb

2

2

2

2 = 1, em que a a abscissa do vrtice da hiprbole, nas condies representadas na

figura seguinte:

a a

y

b

x

b

y xba

=

by xa

=

x2

a2 y

2

b2= 1


45

a) Sabendo isso, determine a equao da hiprbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como

assntotas as retas y = 43 x e y = 43 x.

b) Faa a representao grfica da hiprbole e de suas assntotas.


46

7. Obtenha a equao da hiprbole com centro na origem, representada na figura, sabendo que ela passa pelo ponto (a; 0) e que tem como assntotas

as retas =

y = e yba

x ba

x .

8. Sendo y = e y = ba xba x, com a e b positivos, as assntotas de uma hiprbole que passa por

(a; 0), os pontos F1 (c; 0) e F2 (c; 0), tais que c2 = a2 + b2, so chamados focos da hiprbole.

Na figura a seguir, so apresentados os focos da hiprbole. possvel mostrar que a diferena entre as distncias de um ponto qualquer da hiprbole at F1 e at F2 constante e igual a 2a.

x

b

y

c

ca0

a cF2(c; 0) (c; 0)F1

y = ba x

y = ba x

X

Y

a a0

y

x

y = xba

y = xba


47

Para cada uma das hiprboles a seguir, determine os focos e calcule o valor constante da dife-rena das distncias entre um ponto qualquer da hiprbole e os focos. Confira o valor obtido fazendo os clculos diretamente para um ponto da hiprbole arbitrariamente escolhido.

a)

x

y

4

3

0

b)

0 x

y

5

12

c)

x

y

5

5

0


48

Parbola

Em geral, quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas tais que y diretamente proporcional ao quadrado de x (y = kx2, k constante e k 0), a curva correspondente no plano cartesiano uma parbola.

o que ocorre, por exemplo, quando uma pedra abandonada e registramos a relao entre a distncia percorrida verticalmente e o tempo de queda livre. Tambm uma parbola a trajetria de todos os projteis lanados obliquamente em relao superfcie da Terra, descon-siderados os efeitos do ar.

Alm disso, quando, de um ponto fixado no solo, lanamos projteis sempre com a mesma velocidade inicial v0, em todas as direes possveis, em um plano vertical dado, o contorno da regio determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projteis tambm uma parbola, chamada parbola de segurana.

0

y

0

y = kx2

x


C

onex

o E

dito

rial


49

A parbola tem certas propriedades caractersticas que podem ser utilizadas para defini-la. Uma delas a existncia de um ponto F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a distncia de cada ponto P da parbola at F igual distncia de P at r. F o foco da parbola e r sua diretriz.

F

Quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um ngulo exatamente igual ao que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos tambm uma parbola.

Uma propriedade interessante das parbolas a seguinte: sendo P um ponto qualquer da parbola, a reta que passa pelo foco F e por P forma com a tangente parbola em P um ngulo igual ao formado pela tangente com a reta paralela ao eixo da parbola passando por P (veja a figura).

PIId(P, F) = d(P,r)d(P', F) = d(P',r)d(PII, F) = d(PII,r)P'

P

F


50

Isso explica a razo de os faris dos automveis serem envolvidos por uma superfcie cuja seo um paraboloide, ou seja, a superfcie gerada por uma parbola que d uma volta completa em torno de seu eixo. Se a lmpada situar-se exatamente no foco, os raios de luz formaro um feixe paralelo ao eixo, como desejvel.

VOC APRENDEU?

9. Determine o foco e a diretriz das parbolas que podem ser representadas no plano cartesiano por equaes do tipo:

a) y = kx2 b) x = ky2 c) y = kx2 + h

PESQUISA INDIVIDUAL

Verifique, por meio da construo de uma superfcie parablica com uma lmina de alumnio, fixada em uma tbua, com uma pequena lanterna no foco da parbola, a proprie-dade citada das parbolas nas superfcies cromadas dos faris dos automveis.

C

onex

o E

dito

rial

51


SITUAO DE APRENDIZAGEM 5A EQUAO DE 3o GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NMEROS COMPLEXOS

"

VOC APRENDEU?

1. J sabemos resolver todos os tipos de equaes de 2o grau, obtendo as solues por meio da frmula de Bhaskara. Resolveremos, agora, a equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) se-guindo um processo diferente. Esse processo poder tambm nos ajudar a resolver equaes de 3o grau.

a) Divida os dois membros da equao ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo:

a __ a x2 + b __ a x +

c __ a = 0

b) Substitua b __ a por B, c __ a por C e escreva x

2 + Bx + C = 0.

c) Substitua x por y B __ 2 , faa os clculos (o denominador 2 corresponde ao grau da equao)

e verifique que a equao se transforma em y2 B2 ___

4 + C = 0.

52


d) Mostre que, em consequncia, y = _______

B2 4C _________ 2 .

e) Substitua, agora, os valores de y, de B e de C em x = y B __ 2 , obtendo os valores de x. (Voc identifica, nos clculos, a frmula de Bhaskara?)

f ) Resolva a equao 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores.

2. J sabemos que, se uma equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) tiver duas razes distintas, x1 e x2, ento ela pode ser escrita na forma x

2 Sx + P = 0, onde:

S = x1 + x2 = b ___ a e P = x1 . x2 =

c __ a

53


a) Verifique que, nesse caso, as razes x1 e x2 podem ser obtidas por x = S

______ S2 4P ___________ 2 .

Em seguida, mostre que no existem dois nmeros reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. Ou seja, mostre que a equao x2 10x + 40 = 0 no tem razes reais.

Para isso, voc pode utilizar a frmula x = S ______

S2 4P ___________ 2 .

b) Mostre que no existem dois nmeros reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o qudruplo do produto dos dois nmeros.

54


3. Responda s questes a seguir:

a) Considere a equao x3 + 15x2 + 11x + 7 = 0. Substitua x por y 5, ou seja, x = y 5, e mostre que a nova equao em y no apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao

grau da equao).

b) Mostre que, na equao x3 + Bx2 + Cx + D = 0, substituindo x por y ,B3

a nova equao em y no apresenta o termo em y 2.

55



A frmula de Tartaglia e Cardano para resolver uma equao de 3o grau

Dois matemticos do sculo XVI, Tartaglia e Cardano, elaboraram uma sequncia de passos para resolver a equao incompleta de grau 3 resultante da eliminao do termo de 2o grau, isto , uma equao do tipo y3 + My + N = 0. Vamos seguir essa sequncia de passos para resolver a equao y3 + 3y + 6 = 0. Acompanhe:

Se voc nunca desenvolveu o binmio (p + q)3, poder faz-lo agora e obter:

(p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3

Podemos rearranjar a igualdade anterior escrevendo:

(p + q)3 p3 3p2q 3pq2 q3 = 0

Colocando em evidncia 3pq, temos:

(p + q)3 3pq(p + q) (p3 + q3) = 0

Faremos, agora, uma comparao entre a equao anterior e a equao que nos propo-mos resolver: y3 + 3y + 6 = 0.

(p + q)3 3pq(p + q) (p3 + q3) = 0 y3 + 3y + 6 = 0

Dessa comparao, conclumos:

3pq = 3 ou pq = 1, ou, ainda, p3 . q3 = 1(p3 + q3) = 6 ou p3 + q3 = 6

Vamos considerar, agora, que determinada equao de 2o grau tenha uma raiz igual a p 3 e outra raiz igual a q 3. Se assim for, teremos a seguinte soma S e o seguinte produto P das razes dessa equao:

S = p3 + q3

P = p3. q3

Conclumos, h pouco, que p3 + q3 = 6 e que p3. q3 = 1. Assim, para a equao de 2o grau imaginada, com razes p3 e q3, temos S = 6 e P = 1. Lembrando que uma equao de 2o grau pode ser escrita na forma x2 Sx + P = 0, temos:

x2 + 6x 1 = 0

56


VOC APRENDEU?

4. Responda s seguintes questes:

a) Aplique a frmula de Bhaskara para resolver a equao x2 + 6x 1 = 0, determinando as razes x1 e x2.

b) Lembrando que as razes da equao anterior so p3 e q3, determine os valores de p e de q.

c) Se voc acompanhou todos os passos da explicao, repetindo os mesmos procedimentos, obtm-se a frmula de Cardano-Tartaglia, que possibilita encontrar as razes da equao de 3o grau do tipo y3 + My + N = 0. essa a frmula:

y = 3 ________________

N ___ 2 + ________

N2 ___

4 + M

3 ___ 27 +

3 ________________

N ___ 2 ________

N2 ___

4 + M

3 ___ 27

57


5. Encontre uma raiz da equao y3 3y 2 = 0.

58


6. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paraleleppedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m3 maior que o do paraleleppedo.

a) Escreva a equao que traduz a exigncia a ser satisfeita pelo valor de x.

b) Use a frmula de Cardano-Tartaglia para determinar as razes da equao do item a. A que concluso voc chega?

c) Verifique diretamente na equao apresentada que x = 4 uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume de 64 m3 e o paraleleppedo com volume de 60 m3.

Como podemos interpretar o resultado do item b? Ser que a frmula de Cardano-Tartaglia no funciona sempre? Voc ver, na situao seguinte, um modo de prosseguir nos clculos e en-contrar o resultado x = 4.

Observao!

59


7. Sabemos que o quadrado de qualquer nmero real no nulo, positivo ou negativo, sempre positivo. At aqui, em nosso percurso escolar, sempre que nos deparamos com a extrao da raiz quadrada de um nmero negativo, dizemos que ela no existe. Na atividade 5 desta seo, tal deciso nos impediu de chegar a uma das razes da equao, uma vez que teramos de extrair a raiz quadrada de 121. Faremos, agora, uma atividade de imaginao: suponha que existam nmeros estranhos (certamente, no seriam nmeros da reta real) cujo quadrado seja negativo.

a) Podemos verificar que, na verdade, bastaria existir um nmero estranho desses, como a raiz quadrada de 1, para que dele decorressem todas as outras razes de negativos. De fato, como 121 = 121.(1), bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de 1. Como 1 no tem raiz real, vamos considerar que sua raiz um nmero imaginrio e o representaremos por i. Assim, i um nmero tal que i2 = 1.

b) Retorne ao item b da atividade 6 desta seo. Considere 121 121 1 11 1= =. . Denominando 1 i, escreva 11i no lugar de 121 e indique a soluo da equao x3 15x 4 = 0.

c) Usando o fato de que a raiz cbica de um nmero outro nmero que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i uma raiz cbica de 2 + 11i. Ou seja, mostre que (2 + i)3 = 2 + 11i . Para isso, lembre-se de que i = 1.

60


d) Retorne atividade 6 desta seo. Mostre que a soluo x = 4 pode ser obtida a partir da frmula para as razes cbicas da equao x3 15x 4 = 0.

LIO DE CASA

8. Resolva a equao 2x2 10x + 12 = 0.

9. Determine uma raiz das seguintes equaes de 3o grau:

a) x3 x 6 = 0

61


b) x3 2x2 x + 2 = 0

VOC APRENDEU?

10. Supondo que so vlidas as propriedades das operaes com nmeros reais para os nmeros formados por uma parte real x e uma parte imaginria yi, sendo i 1, efetue as operaes indicadas, apresentando o resultado mais simples possvel:

a) (3 4i) + (5 + 3i) b) (11i + 7) (5 8i)

c) (2i 13) . (7 5i) d) (13 i) . (13 + i)

e) i3 + i5 + i7 f ) i13

62



Uma equao de 1o grau com uma raiz igual a p pode ser assim escrita:

x p = 0

Uma equao de 2o grau com uma raiz igual a p e outra raiz igual a m pode ser assim escrita:

(x p).(x m) = 0

Escrita dessa maneira, dizemos que a equao est em sua forma fatorada. Aplicando a propriedade distributiva nessa expresso, obtemos algo que j conhecemos na Situao de Aprendizagem anterior, ou seja:

x2 (p + m)x + pm = 0

Soma das razes

Produto das razes

VOC APRENDEU?

1. Nesta Situao de Aprendizagem, voc obter expresses semelhantes s do quadro anterior, de soma e produto das razes, para equaes de graus maiores do que 2. Comearemos com equaes de 3o grau.

a) Escreva na forma fatorada uma equao de 3o grau com razes m, p e k.

SITUAO DE APRENDIZAGEM 6DAS FRMULAS ANLISE QUALITATIVA: RELAES ENTRE COEFICIENTES E RAZES

63


b) Escreva a forma fatorada de uma equao de 3o grau com razes 2, 3 e 4.

c) Desenvolva a equao do item anterior, aplicando a propriedade distributiva, e identifique a soma e o produto das razes na equao final.

d) Uma equao de 3o grau pode ser assim escrita: ax3 + bx2 + cx + d = 0.

Ou tambm dividindo toda a equao por a: x3 + b __ a x2 + c __ a x +

d __ a = 0.

Retome a equao do item c e responda quanto , nessa equao:

t b __ a ?

t c __ a ?

t d __ a ?

64


2. J vimos que uma equao de 3o grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser escrita na forma:

x3 + b __ a x2 + c __ a x +

d __ a = 0

e tambm que, se essa equao tiver como razes r1, r2 e r3, ela pode ser fatorada e escrita na forma:

(x r1).(x r2).(x r3) = 0

Efetuando as multiplicaes indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente:

S1 S2 P

x3 (r1 + r2 + r3)x2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x r1r2r3 = 0

onde S1 = r1 + r2 + r3 a soma das razes, S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 a soma dos produtos das razes tomadas duas a duas e P = r1 . r2 . r3 a soma dos produtos das razes tomadas trs a trs, ou seja, o produto das razes.

a) Se uma equao de 3o grau tem razes 2, 3 e 4, calcule S1, S2 e P.

b) Escreva a equao na forma fatorada.

c) Se voc aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parnteses na equao do item anterior, qual ser a forma final da equao obtida?

65


3. Uma equao de 3o grau tem razes 2, 3 e 5. Escreva essa equao na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0.

LIO DE CASA

4. Escreva na forma x3 S1x2 + S2x P = 0 uma equao algbrica de grau 3 cujas razes so:

a) 3, 5 e 1

b) 2, 7 e 3

66


c) 2, 3 e 4

5. Escreva na forma fatorada uma equao algbrica de grau 4 cujas razes so:

a) 2, 3, 4 e 5

b) 2, 3, 4, 5

c) 1, 0, 3, 7

67


VOC APRENDEU?

6. Escreva todas as equaes da atividade 5 da seo Lio de casa, na forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + + e = 0. Para isso, faa as multiplicaes que foram indicadas.

7. Dada a equao x3 8x2 + kx 24 = 0, responda:

a) Quais so as possveis razes inteiras da equao?

b) Se a equao tiver duas razes simtricas, qual ser a terceira raiz?

68


c) Se uma das razes for o inverso da outra, qual ser a terceira raiz?

d) possvel que a equao tenha uma raiz nula?

8. Considere a equao 3x4 12x3 + kx2 6x + 3 = 0.

a) Quais as possveis razes inteiras da equao?

b) Quais os valores de k que fazem com que a equao proposta anteriormente tenha razes inteiras?

69


9. Sabendo que 1 raiz da equao x3 + 7x2 + kx 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas razes.

70


VOC APRENDEU?

1. Considere os polinmios A(x) = x2 3x + 2 e B(x) = x3 2x2 3x + 2.

a) Calcule A(1) e B(1).

b) Calcule x para que A(x) = 0.

c) Se a, b e c forem as razes de B(x), quanto o produto de a . b . c?

SITUAO DE APRENDIZAGEM 7EQUAES E POLINMIOS: DIVISO POR x k E REDUO DO GRAU DA EQUAO

71


d) possvel termos A(x) = B(x)?

e) possvel termos A(x) B(x)?

2. Considere os polinmios A(x) = x3 3x + 2 e B(x) = x3 2x2 3x + 10.

a) possvel termos A(x) = B(x)?

72


b) possvel termos A(x) B(x)?

LIO DE CASA

3. Considere os polinmios:

P1(x) = ax5 11x4 2x3 + 7x2 + bx + d e P2(x) = bx

5 + cx4 2x3 + 7x2 __

3 x + d

a) Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinmios sejam idnticos.

b) Calcule o valor de d sabendo que 1 raiz da equao P1(x) = 0.

73


4. Considere o polinmio P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x + 12.

a) Mostre que x = 1 raiz da equao P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da diviso de P(x) pelo binmio x 1.

74


VOC APRENDEU?

5. Considere o polinmio P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x 46.

a) Mostre que x = 2 raiz da equao P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da diviso de P(x) pelo binmio x 2.

75



Algoritmo de Briot-Ruffini

Retome o enunciado da atividade 5 da seo Voc aprendeu?. Existe uma maneira prtica para obter o quociente de P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x 46 pelo binmio x 2.

Observando os clculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e:

tPDPFDJFOUFa igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3;

tPDPFDJFOUFb obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = 2 + 2a;

tPDPFDJFOUFc obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b;

tPDPFDJFOUFd obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por c: d = 11 + 2c;

tPDPFDJFOUFe obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = 7 + 2d.

Esses clculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algo-ritmo de Briot-Ruffini, para a diviso de um polinmio por um binmio da forma x k:

coeficientes de P(x)

coeficientes de Q(x)

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23

resto da diviso

raiz 2

3 2 5 11 46

3 . 2

3

4 . 2

4 13 15 23 0

13 . 2 15 . 2 23 . 2

7

76


VOC APRENDEU?

6. Responda s questes a seguir:

a) Para verificar o entendimento do apresentado no texto, construa o algoritmo Briot-Ruffini para determinar o quociente de P(x) = x5 2x4 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x 3.

b) Dado o polinmio P(x) = a0xn + a1x

n1 + a2xn2 + a3x

n3 +...+ an1x + an, mostre que o resto da diviso de P(x) por x k P(k).

c) Calcule o resto da diviso de P(x) = 3x5 + x4 + 3x3 7x + pelo binmio x + 3.

77


7. Responda s seguintes questes:

a) Mostre que a equao 2x4 9x3 + 6x2 + 11x 6 = 0 apresenta razes inteiras.

b) Resolva a equao do item anterior.

78



Complexos, para qu?

muito frequente ouvir falar mal dos nmeros complexos aqueles nmeros estra-nhos, formados por uma parte real x e uma parte imaginria yi, em que i um nmero tal que seu quadrado igual a 1, ou seja, i2 = 1. Os nmeros complexos so, efetivamente, estranhos ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados de modo significativo, bem como as operaes que realizamos sobre eles, e, ao sermos apresentados a tais temas, ampliamos nossa capacidade de expresso, de compreenso de fenmenos que a realidade nos apresenta. Querer limitar o estudo da Matemtica ao de contedos de aplicao ime-diata, sem levar em considerao seu valor expressivo, como querer limitar o ensino da lngua ao da redao de cartas, de memorandos, de relatrios, desprezando, por exemplo, a apreciao de um poema; afinal, Para que serve um poema?. A aprendizagem da lngua, no entanto, no pode prescindir de recursos expressivos que deem fora ao texto, da construo de imagens metafricas etc. No se trata apenas de ensinar regras de reda-o, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expresso, e a literatura, de modo geral, fundamental para isso.

Tambm no estudo de Matemtica existem assuntos para os quais no vislumbramos aplicaes prticas diretas, mas que se compem com os outros, contribuindo para a construo de uma forma consistente de expresso, de compreenso dos fenmenos que observamos. s vezes, um tema de Matemtica serve apenas de apoio a outro tema, este, sim, com uma ligao direta com a prtica; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Como ser visto a seguir, os nmeros complexos e as operaes sobre eles podem ser associados realizao de movimentos de translao, de rotao, de ampliao etc. Para que isso seja possvel, ser preciso conhecer um novo sistema de repre-sentao de nmeros: o plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.

Plano complexo significado dos complexos e das operaes sobre eles

Representa-se um nmero real em uma reta numrica, como voc j deve ter feito inmeras vezes em sua vida escolar.

3 2

2,333...

1 0 1 2 3

SITUAO DE APRENDIZAGEM 8NMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAES (TRANSLAES, ROTAES, AMPLIAES)

214

32

79


Um nmero imaginrio como i no pode ter as mesmas propriedades de um nmero real porque no um nmero real, ou seja, no se encontra na reta real ou entre os reais representados na reta. A reta real IR encontra-se inteiramente preenchida com os nmeros racionais e os irracionais. Como representar, ento, tal nmero i e seus derivados, como toda a famlia de imaginrios yi, onde y um nmero real, bem como os nmeros mistos ou complexos, resultantes da soma dos reais x com os imaginrios yi? Como representar os nmeros complexos de modo a dar significado s operaes realizadas com eles?

A ideia de representar os nmeros na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703), durante muitas dcadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situaes concretas, mas somente quando foi apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutorado, tal representao ganhou fora e foi divulgada de modo amplo. Em resumo, a inspirao fundamental a seguinte:

NN.(1)

0

N

N.i

0

Ni

NNi.i = N.(1) = N

0

tRVBOEP TFNVMUJQMJDB VN ONFSP SFBM QPS o TVB JNBHFN OB SFUB SFBM EFTMPDBEB TFHVOEPum arco de 180o, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(1) = N (resultado: rotao de 180o);

tRVBOEPTFNVMUJQMJDBVNONFSPSFBMQPSi2, ou seja, por 1, como se tivssemos multiplicado o nmero real por i e multiplicssemos o resultado novamente por i: N.(1) = N.i.i = N;

tTFPSFTVMUBEPEBTEVBTNVMUJQMJDBFTJEOUJDBTFTVDFTTJWBTGPJVNBSPUBPEFo, seria natural considerar o resultado de cada uma das multiplicaes parciais por i como resultado de uma rota-o de 90o: N.i = Ni (rotao de 90o);

80


tBTTJNNVMUJQMJDBSVNONFSPSFBMQPS i corresponderia a representar tal nmero em um eixo perpendicular ao eixo real.

Essa pode ter sido a inspirao para a representao do nmero imaginrio i no eixo perpendicular ao eixo real, o que conduziu representao de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginria i. O plano em que os complexos so representados constitui uma extenso da reta real e conhecido como plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.

yz = x + yi

x eixo Real

eixo Imaginrio

N

0 1

Ni

N

i

VOC APRENDEU?

1. Dados os nmeros complexos z1 = 3 + 4i; z2 = 7; z3 = 7i e z4 = 3 4i, calcule o nmero complexo a + bi resultado de:

a) z1 + z2 b) z1 + z3 c) z1 + z4

81


d) z1 z4 e) z1 . z2 f ) z1. z3

g) z3. z4 h) (z1.z4)2 i) (z1 + z4)

3

j) (z1 z4)3 k) (z3 z1 + z4)

3 l) ( z2 + z1 + z4)15

82


2. Dados os complexos a seguir, represente-os no plano complexo, determinando o mdulo e o argumento de cada um deles:

a) z1 = 3 + 3i b) z2 = 3 + 3i c) z3 = 3 3i d) z4 = 3 3i

a) b)

c) d)

Re

Im

Im

Re

Im

Re

Im

Re

83


3. Observe os nmeros complexos a + bi representados no plano de Argand-Gauss e determine, para cada um, a medida do ngulo e do segmento que une o ponto (a; b) origem do sistema.

a)

Im

Re10

1

b)

Im

Re3 0

3

84


c)

3

Im

Re1 1 22

3

2

1

1

d)

Im

Re3 0

3

85



| z | = x y2 2

Forma trigonomtrica de um nmero complexo

Um nmero complexo z = x + yi tambm pode ser escrito de outra forma, destacando-se seu mdulo | z | e seu argumento . Sendo | z | = x + y2 2 , basta observarmos na representao plana

dos complexos que x = | z |cosy = | z |sen . Substituindo-se na forma algbrica tais expresses,

obtemos z = | z |(cos + isen ), que chamada forma trigonomtrica dos nmeros complexos.

forma trigonomtrica

x = | z |cos

y = | z |sen

z = | z |(cos + isen )

eixo Imaginrio

eixo Real

forma algbrica

x

y

z = x + yi

z = x + yi

i

1

| z |

VOC APRENDEU?

4. Retorne ao enunciado da atividade 2. Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na forma trigo-nomtrica: z = | z | (cos + isen ).

86


5. Retome o enunciado da atividade 3 da seo anterior e escreva na forma trigonomtrica cada um dos complexos l representados.

6. Represente no plano complexo os nmeros a seguir e, em seguida, escreva-os na forma tri gonomtrica.

a) z1 = 0 + 3i

Im

Re

87


b) z2 = 3 + 0i

Im

Re

c) z3 = 2 + 0i

Im

Re

88


d) z4 = 2i

Im

Re

LIO DE CASA

7. Represente no plano complexo os nmeros a seguir e, em seguida, escreva-os na forma trigonomtrica.

a) z i1 1 3= + b) z i2 1 3= +

Im

Re

Im

Re

89


c) z i3 3= +

Im

Re

d) z i4 3

Im

Re

90


8. Observe o mdulo | z | e o argumento das imagens dos nmeros complexos representados no plano de Argand-Gauss. Determine, em cada caso, a parte real (a) e a parte imaginria (b) de cada nmero complexo z = a + bi, apresentando tambm a sua forma trigonomtrica.

a)

Im

Re

| z |

= 45o| z | = 8

b)

Im

Re

= 120o| z | = 4

| z |

91


c)

= 150o| z | = 6

| z |

Im

Re

d)

= 240o| z | = 2

| z |

Im

Re

92


VOC APRENDEU?

9. Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss. Represente no plano complexo as imagens dos seguintes nmeros:

a) z + 9

| z |

02

24681012141618

Im

Re2 2 4 6 8 10 12 14 16 1846

b) z + 6i

| z |

02

24681012141618

Im

Re2 2 4 6 8 10 12 14 16 1846

93


c) z 9

| z |

02

24681012141618

Im

Re2 2 4 6 8 10 12 14 16 1846

d) z 6i

02

24681012141618

Im

Re2 2 4 6 8 10 12 14 16 1846

| z |

94


e) z + 9 6i

| z |

02

24681012141618

Im

Re2 2 4 6 8 10 12 14 16 1846

10. Escolha uma escala adequada para representar no plano de Argand-Gauss a imagem do nmero complexo z = 5 + 12i e, no mesmo plano, a imagem do complexo:

a) 2z

95


b) z2

11. Considere a regio do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da regio a imagem de um complexo e ser objeto de uma transformao, indicada nos itens de a a e. Represente no plano complexo a regio resultante aps a transformao descrita em cada um desses itens.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

96


a) A cada ponto da regio ser somado o nmero real 5.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

b) A cada ponto da regio ser somado o nmero imaginrio 3i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

97


c) A cada ponto da regio ser somado o nmero complexo 3 + 4i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

d) Cada ponto da regio ser multiplicado pelo nmero real 2.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

98


e) Cada ponto da regio ser multiplicado pelo nmero real 12

.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

12. Considere a regio do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da regio a ima-gem de um complexo e ser objeto de uma transformao. Represente no plano complexo a regio resultante aps a multiplicao de cada ponto da regio pelo imaginrio i.

6

6

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

99


13. Considere a regio do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da regio a imagem de um complexo e ser objeto de uma transformao, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a regio resultante, nas seguintes situaes:

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

5

100


a) for somado ao nmero real 9;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

5

b) for somado ao nmero imaginrio 9i;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

5

101


c) for somado ao nmero complexo 9 + 9i;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

5

d) for multiplicado pelo nmero real 2;

8

8

2

2 eixo Real

eixo Imaginrio

5

102


e) for multiplicado pelo nmero imaginrio 2i.

eixo Real

8

8

2

2

eixo Imaginrio

5

CONCEPO E COORDENAO GERALNOVA EDIO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTO DA EDUCAO BSICA CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gesto da Educao Bsica Joo Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao Prossional CEFAF Valria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa So Paulo faz escolaValria Tarantello de Georgel

Coordenao Tcnica Roberto Canossa Roberto Liberato Smelq Cristina de 9lbmimerime :oee

EQUIPES CURRICULARES

rea de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Ktia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educao Fsica: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosngela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Lngua Estrangeira Moderna (Ingls e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Slvia Cristina Gomes Nogueira.

Lngua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Id Moraes dos Santos, Joo Mrio Santana, Ktia Regina Pessoa, Mara Lcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

rea de Matemtica Matemtica: Carlos Tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

rea de Cincias da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Cincias: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graa de Jesus Mendes.

Fsica: Carolina dos Santos Batista, Fbio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Qumica: Ana Joaquina Simes S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, Joo Batista Santos Junior e Natalina de Ftima Mateus.

rea de Cincias Humanas Filosoa: Emerson Costa, Tnia Gonalves e Tenia de Abreu Ferreira.

Geograa: Andria Cristina Barroso Cardoso, Dbora Regina Aversan e Srgio Luiz Damiati.

Histria: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corra, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NCLEO PEDAGGICO

rea de Linguagens Educao Fsica: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mnica Antonia Cucatto da Silva, Patrcia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Lngua Estrangeira Moderna (Ingls): Clia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Edna Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldo, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Ktia Vitorian Gellers, Ldia Maria Batista Bomm, Lindomar Alves de Oliveira, Lcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tpias, Patrcia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato Jos de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Lngua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letcia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Mrcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria Jos de Miranda Nascimento, Maria Mrcia Zamprnio Pedroso, Patrcia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Slvia Regina Peres.

rea de Matemtica Matemtica: Carlos Alexandre Emdio, Clvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glria, Everaldo Jos Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Ins Chiarelli Dias, Ivan Castilho, Jos Maria Sales Jnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mrio Jos Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro,

Rosngela Teodoro Gonalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Igns Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

rea de Cincias da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvrio, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Cincias: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Lus Prati.

Fsica: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, Andr Henrique Ghel Runo, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simes e Rui Buosi.

Qumica: Armenak Bolean, Ctia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antnio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Slvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

rea de Cincias Humanas Filosoa: lex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e Jos Aparecido Vidal.

Geograa: Ana Helena Veneziani Vitor, Clio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Mrcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mnica Estevan, Regina Clia Batista, Rita de Cssia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Librio, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

Histria: Aparecida de Ftima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin SantAna Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Loureno, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonalves, Celso Francisco do , Lucila Conceio Pereira e Tnia Fetchir.

Apoio:Fundao para o Desenvolvimento da Educao - FDE

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A Secretaria da Educao do Estado de So Paulo autoriza a reproduo do contedo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educao do pas, desde que mantida a integri-dade da obra e dos crditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*devero ser diretamente negociados com seus prprios titulares, sob pena de infrao aos artigos da Lei no 9.610/98.

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* Nos Cadernos do Programa So Paulo faz escola so indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos contedos apresentados e como referncias bibliogrcas. Todos esses endereos eletrnicos foram checados. No entanto, como a internet um meio dinmico e sujeito a mudanas, a Secretaria da Educao do Estado de So Paulo no garante que os sites indicados permaneam acessveis ou inalterados.* Os mapas reproduzidos no material so de autoria de terceiros e mantm as caractersticas dos originais, no que diz respeito graa adotada e incluso e composio dos elementos cartogrcos (escala, legenda e rosa dos ventos).

Cincias Humanas Coordenador de rea: Paulo Miceli. Filosoa: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Lus Martins e Ren Jos Trentin Silveira.

Geograa: Angela Corra da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimares, Regina Araujo e Srgio Adas.

Histria: Paulo Miceli, Diego Lpez Silva, Glaydson Jos da Silva, Mnica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Cincias da Natureza Coordenador de rea: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabola Bovo Mendona, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Cincias: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, Joo Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Czar Foschini Lisba, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Mara Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogrio Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordo, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Fsica: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Iv Gurgel, Lus Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurcio Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puricao Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Qumica: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valena de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidio.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTO DO PROCESSO DE PRODUO EDITORIAL 2014-2017

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Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTO DE TECNOLOGIAS APLICADAS EDUCAO

Direo da rea Guilherme Ary Plonski

Coordenao Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gesto Editorial Denise Blanes

Equipe de Produo

Editorial: Amarilis L. Maciel, Anglica dos Santos Angelo, Bris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cntia Leito, Eloiza Lopes, rika Domingues do Nascimento, Flvia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Cmara, Leslie Sandes, Main Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natlia S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpo Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

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CONCEPO DO PROGRAMA E ELABORAO DOS CONTEDOS ORIGINAIS

COORDENAO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEDOS PROGRAMTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Ins Fini coordenadora! e Ruy Berger em memria!.

AUTORES

Linguagens Coordenador de rea: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educao Fsica: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Srgio Roberto Silveira.

LEM Ingls: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lvia de Arajo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM Espanhol: Ana Maria Lpez Ramrez, Isabel Gretel Mara Eres Fernndez, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia Gonzlez.

Lngua Portuguesa: Alice Vieira, Dbora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, Jos Lus Marques Lpez Landeira e Joo Henrique Nogueira Mateos.

Matemtica Coordenador de rea: Nlson Jos Machado. Matemtica: Nlson Jos Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, Jos Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moiss, Rogrio Ferreira da Fonseca, Ruy Csar Pietropaolo e Walter Spinelli.

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