OSG.: 36015/10

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO

TC MATEMÁTICA

TURNO DATA

ALUNO(A)

TURMA

Nº

SÉRIE

PROFESSOR(A) JUDSON SANTOS

ITA-IME

SEDE

___/___/___

Fatorial

Definição

Chama-se fatorial de n e indica-se por n! o número natural definido por:

( ) ( )

>⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅

===

1 se 123...21

1ou 0 se 1 !

nnnn

nnn

A.A.A.A. Exercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios Resolvidos

1. 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120.

2. Calcule n, sabendo-se que ( )

7!

!1=

+

n

n.

Solução: Temos que ( ) ( ) ( ) ( ) !1123...11!1 nnnnnn ⋅+=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+=+

Logo, ( )

6717!

1!=⇒=+⇒=

+⋅nn

n

nn.

03. Simplifique: ( ) ( )( ) ( )!1 ! 2

!1 ! 2

+−+

+++

nn

nn

Solução: Temos que ( ) ( ) ( )!12!2 +⋅+=+ nnn . Assim,

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) .

1

3

12 ! 1

12 ! 1

! 1 ! 12

! 1 ! 12

!1 ! 2

!1 ! 2

+

+=

−+⋅+

++⋅+=

+−+⋅+

+++⋅+=

+−+

+++

n

n

nn

nn

nnn

nnn

nn

nn

04. Simplifique: ( )

! 2

! 2

n

nn ⋅

.

Solução:

( ) ( ) ( )

=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅ ! 2

2...64212531

! 2

212...321

! 2

! 2

n

nn

n

nn

n

nnnn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

=⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

! 2

2...32221212531

n

nnn

( ) ( )=

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

! 2

...321212531

n

nnn

n ( )=

⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅

! 2

! 212531

n

nnn

n

( ).12...531 −⋅⋅⋅⋅ n 05. Expresse cada um dos produtos abaixo como quociente de dois fatoriais: A) 9 ⋅ 8 ⋅ 7. B) ( ) ( ) ( )543 −⋅−⋅− nnn . Solução:

A) ! 6

! 9

123456

123456789

123456

123456789789 =

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅

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B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−=−⋅−⋅−

123...6

123...6543543

n

nnnnnnn

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )! 6

! 3

123...6

123...6543

−

−=

⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅−

n

n

n

nnnn

06. Por quantos zeros termina o resultado de 1000!? Solução: Suponhamos que 1000! termina por p zeros, isto é: 1000! =N ⋅ 10p. Como 10p = 2p ⋅ 5p pode parecer, à primeira vista, que o número de zeros é igual ao número de fatores iguais a 2 ou de fatores

iguais a 5, que ocorrem na decomposição de 1000!. Entretanto, isto não é verdade, pois o fator primo 2, ocorre um maior número de vezes que o fator primo 5, na decomposição de 1000!. Assim, para se calcular o expoente p, é suficiente contar o número de fatores primos iguais a 5 que ocorrem na decomposição de 1000!.

Daí, tem-se: 1000! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ (5) ⋅ 6 ⋅...⋅9⋅ (5 ⋅ 2) ⋅ 11⋅...⋅ 999 ⋅ (5.200) =

( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2005...35255999...119...64321

���� ����� ��

A

( ) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 200...543215200A

( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 405199...11259...543215200A

( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

405...35255199...11987643215200

���� ����� ��

B

A ( ) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 40...543215240BA

( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8539...11259...543215240BA

( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

85...3525539...11987643215240

���� ����� ��

C

BA ( ) =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 876543215248CBA

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

587643215248

�� ��� ��

D

CBA2495⋅⋅⋅⋅ DCBA .

Daí, sendo p = 249, conclui-se que 1000! termina por 249 zeros. 07. Sendo n ≥ 2, qual dos números (n!)2 ou (n2)! é o maior? Solução:

( ) ( ) 222222...321...321! nnn ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

( ) ( ) =⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 222222 1...387652321! nnn ( ) ( )[ ]=−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1...876532...321 22222 nn

( ) ( )[ ]1...876532! 22 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ nn .

Porém, para n ≥ 2, tem-se que ( ) 11...876532 2 >−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n . Logo, (n2)! > (n!)2. 08. Sendo n ≥ 3, qual dos números (n!)2 ou nn é o maior? Solução:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]123...2112...321! 2 ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= nnnnnnn

[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] [ ]1.2132...23121 nnnnnn ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= Cada produto entre colchetes é da forma: (i + 1) ⋅ (n – i) , com 1 ..., ,3 ,2 ,1 ,0 −= ni . Para i = 0 ou i = n –1 tem-se trivialmente: (i + 1) ⋅ (n – i) = n. Para i ≠ 0 e i ≠ n –1 tem-se: ( ) ( ) iiniin >−⋅⇒>− 1 , e ( ) ( ) ( ) niniininiini =−+>−+−⋅=−⋅+ 1 . Assim: Para i = 0: 1 ⋅ n = n. Para i = 1: 2 ⋅ (n – 1) > n. Para i = 2: 3 ⋅ ( n – 2) > n. Para i = 3: 4 ⋅ (n – 3) > n. ................................................................................................ Para i = n – 2: (n – 1) ⋅ 2 > n. Para i = n – 1: n ⋅ 1 = n. Multiplicando-se as n relações acima, vem: (n!)2 > nn.

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1. (UFC) Se n é um número inteiro positivo, então o valor

de n que satisfaz:

2

49!.....3!2!1!

2 nnnnnnn

+=++++++++ é:

A) 24 B) 4 C) 6 D) 3 E) 12 2. (Fuvest-SP) O valor de m na expressão: 9 ⋅ (2m)! = 2m ⋅ m! ⋅ 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7......(2m + 1) é igual a: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. (Escola Naval) Se ]!)!1[(

!)!1(2 nnn

nnan +−

−+= .

Então a1997 é:

A) 1996

1997

B) 1998

1

C) 1998! D) 1997 E) 1 4. (EUA) Defina na! para n e a positivos da forma: na! = n(n – a).(n – 2a).(n – 3a)......(n – ka), para todo k inteiro

e positivo e n > ka. Então, o quociente !18

!72

2

8 é igual a:

A) 45 B) 46 C) 48 D) 49 E) 412

5. (UNB) Seja u o último algarismo da soma 1! + 2! + 3!

+......+ 99!. Se p(x) = x5 – 3x3 – 6x2 – 12x + 1, então p(u) é igual a:

A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74

6. (UNB) Seja 100! = n.10p, onde n é inteiro não divisível por 10. Então, o valor de p é igual a:

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 7. (Escola Naval) O valor da soma:

!

1......

!4

3

!3

2

!2

1

k

kS

−++++= é igual a:

A) !

11

k−

B) !

11

k+

C) 1! −k D) 1! +k E) 1 8. (Canadá) O valor da expressão 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3!

+............ + m.m! é igual a: A) (m + 1)! B) (m + 1)! -1 C) (2m)! – m! D) (m – 1)! E) m! + 1 9. (Uespi) Se n1 e n2 são números inteiros positivos que

satisfazem a equação:

0)!6(!6

1

)!4(!4

1

)!5(!5

2=

−−

−−

− nnn,

então n1 + n1 ⋅ n2 + n2 é igual a: A) 119 B) 129 C) 139 D) 149 E) 159 10. (O.C.M - Adaptada) Sabendo que o valor da expressão

abaixo: !1!9

1

!3!7

1

!5!5

1

!7!3

1

!9!1

1++++ é da forma

!

2

b

a

onde a e b são números primos entre si. Então o valor de a + b é igual a:

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

11. (UFC) O maior inteiro x tal que x7

!60 seja um número

natural é: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

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12. (EUA) Seja f1, f2, f3, ............, funções reais definidas no conjunto dos números reais positivos, dados por:

ai

i af2log

1)( = , onde a > 0 e a ≠ 1 e i = 1, 2, 3, ..........,

p. Se S = f1(a) + f2(a) + f3(a) + ..... + fp(a), então:

A) ps ap!2 =

B) paps !2 =

C) ps pa 2!=

D) sp as =!

E) !

!logpa

ps =

13. (EUA) Seja a2, a3, a4, a5, a6, a7 valores inteiros que

satisfaça a equação

!7!6!5!4!3!27

5 765432aaaaaa

+++++= . Sabendo que 0 ≤

ai < i para i = 2, 3, 4, ...., 7. Então, o valor da expressão a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 é igual a:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 14. (Biolorússia/2001) Determine o resto da divisão de 1!.5

+ 2!.11 + ..... + k!.(k2 + 3k + 1) + .................. + 2000!.40601 por 2004.

15. (Torneio internacional das cidades – 96) Demonstrar a

desigualdade:

3!100

9998......

!

2........

!4

14

!3

7

!2

2 2

<++−

++++k

k

16. (Canadá - 94) Calcule o valor da soma :

( )∑=

++−

1994

1

2

!

11 .

n

n

n

nn.

17. (OBM/ 95) O número 26! = 1.2.3.4....25.26 termina por

uma fileira de zeros. Seja N o inteiro que se obtém ao removermos todos os zeros do final de 26!. O maior inteiro k para o qual 12k é um divisor de N é:

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 18. (Argentina/97) Determinar o último dígito antes do

conjunto de zeros na representação do número: 19! + 20! + 21! + .... + 96! + 97! 19. (Bélgica – 94) Defini-se n! = 1.2.3.....(n-1).n. Seja k o

menor número natural diferente de 0 tal que k! é divisível por 1000. A soma dos dígitos de k é:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20. (EUA/2001) Sabendo que:

. vale!2001

1

!2001!2000!1999

2001...

...!5!4!3

5

!4!3!2

4

!3!2!1

3

k+++

+

+++

+++

+++

Então o valor de 2008 ⋅ k é igual a: A) 2008 B) 1004 C) 502 D) 2009 E) 251 21. (EUA/2005) Definimos n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) .... 3 ⋅ 2 ⋅

1.Se o mínimo múltiplo comum de (10!) ⋅ (18!) e (12!) ⋅

(17!) possui a forma ( )( )

( )!!.!

c

ba. Então o valor de a + b + c é

igual a: A) 33 B) 32 C) 31 D) 30 E) 29 22. (EUA/2008) Definimos n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) .... 3 ⋅ 2 ⋅ 1.

(Isto é, o produto dos números naturais desde 1 até n). Para

cada natural n, seja ( )( )!1

!9

−

+=

n

nan . Se k é o menor natural

para o qual o último algarismo não nulo da direita de ak é ímpar, então o último algarismo da direita e diferente de zero de ak é igual a:

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 23. (O.B.M./2004) Para n inteiro positivo, definimos n! (lê

- se “n fatorial”) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 6! = 1.2.3.4.5.6. Se n! = 215.36.53.72.11.13, então n é igual a:

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

24. (Unifesp/2004) O valor de

!

2.......6.4.2

2log n

n

é: A) n2 B) 2 ⋅ n C) n

D) n2log.2

E) n2log

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25. (Peru/2005) Seja:

∑=

−

+=

+=

+=

=

100

2100

4

3

2

1

!

1valorO

....................

24

1

3

8

6

1

2

5

2

12

2

n na

a

a

a

a

A) 5 B) 7 C) 2 D) 8 E) 10 26. (Escola Naval/2008) Sejam n ∈ N tal que 24 + 25 + 26+...+ 2n

= 8176 e m o menor m ∈ N tal que ( ) 406log.26

1

2....6.4.2

!<

m

m

seja verdadeira. Então o produto m ⋅ n vale: A) 120 B) 124 C) 130 D) 132 E) 136 27. (EUA) Se An = 1 + 3 + 5 + .............. + (2n – 1), para n

positivo e Bn = log A1 + log A2 + logA3 + ............ + logAn, então o valor de x sabendo-se que B6 + B7 = Bx é igual a:

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 28. (EUA/2007) Se m e n são números inteiros positivos

tais que !12

11.....

!5

4

!4

3

!3

2++++ é da forma

!

1

!

1

mn−

com n ≥ 2 e m ≥ 12. Então o valor de m + n é igual a: A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 15 29. (AFA/2008 - Adaptada) O valor da expressão

( )14......321!12

1!14.14......!3.3!2.2!1.1

++++

+++++ é igual a:

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26

30. (EUA) O fatorial de 35, isto é, o produto dos números 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ...... ⋅33 ⋅ 34 ⋅ 35, é um número com 42 algarismos:

35!= 10333147966386144929K666511337523200000000.

No lugar do algarismo central está uma letra K , que algarismo teve seu lugar ocupado pelo K?

31. (Omgo/2002) Represente os seguintes produtos através

de fatoriais: I. 2 x 4 x 6 x ..... x (2n); II. 1 x 3 x 5 x 7 x .......... x (2n – 1). 32. Prove que a raiz positiva da equação: x(x + 1) ⋅ (x + 2) ⋅ (x + 3).......(x + 1999) = 1 é menor do

que !1999

1.

33. (OMSPABC/2005) Simplificando a expressão

,50.........6.4.2

49.......5.3.1obtemos:

A) 250 )!25.(2

!50

B) !49

!50

C) !50

!49

D) 2)!2(225

!50

E) 48! 34. (EUA/2002) O produto dos fatores inteiros positivos

ímpares menores que 10000 é igual a:

A) 2)!5000(

!10000

B) 50002

!10000

C) 50002

!9999

D) !5000.2

!100005000

E) 50002

!5000

35. (EUA) Sabendo que o valor da soma

!10!.9

1...

!16!.3

1

!17!.2

1+++ é representada da seguinte

forma !

2

c

ba − onde c! é o fatorial de c. Calcule o valor

de a + b + c.

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36. (Peru) Sabendo que a expressão:

( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 432 ........ xxxx tem infinitos termos e pode

ser representada da seguinte forma xn. Então o valor de n é igual a:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 37. (EUA) Resolve-se 100 vezes a equação 1! + 2! + 3!

+....+n! = y2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 para n. As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo:

A) [–8, 0] B) [–4, 1] C) [–2, 6] D) [–3, 5] E) [–5, –1]

38. (EUA) 410 = a1 ⋅ 1! + a2 ⋅ 2! + a3 ⋅ 3!+......+ an ⋅ n! onde ak é um número natural menor ou igual a k. O valor de a4 é:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

39. (ITA) Resolver a equação: ( ) 1log . =xSµ , onde:

( ) ( )!2

1e

!1.2....

!4.2

3

!3.2

2

!2.2

1

+=

+++++=

nn

nS µ

40. (ITA) Sejam a1, a2, ..., an números reais. A expressão (a1 +

a2 +... + an)2 é igual a:

A) ∑ ∑= =

⋅+n

i

n

jji aa

1 1

2 4

B) ∑ ∑ ∑= = =

+

n

i

n

j

n

jjii aaa

1 1 1

2

C) ∑ ∑= =

⋅

+

n

i

n

jji a

na

1 1

2

2

D) ∑ ∑= =

n

i

n

jji aa

1 1

E) n. r. a.

Propriedades dos Números Binomiais ou Combinações

A. 1.ª Propriedade – Relação de Stifel-Pascal

Consideremos n objetos distintos e suponhamos formado o quadro de todas as combinações de taxa p, desses n objetos.

Separadamente as pnC combinações desse quadro em duas partes:

A) uma formada por todas as combinações de taxa p que contêm um certo objeto, cujo número é .

1

1

−

−

p

nC

B) outra formada por todas as combinações de taxa p que não contêm o objeto considerado, cujo número é

pnC 1− .

Portanto: I.

pn

pn

pn CCC =+ −

−− 1

11

Esta igualdade denomina-se Relação de Stifel-Pascal.

BBBB.... Exercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios Resolvidos

01. Calcule a soma: ( )∑=

−p

k

kn

kC

0

1

Solução: ( )

( ) ( ) pn

ppn

p

nnn

p

k

kn

k

CC

CCCCC

11...

...1

11

32104

0

−−−+

+−+−=−

−−=∑

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) p

npp

npp

np

pn

ppn

ppn

p

nnn

nnn

nnn

pn

pn

pn

pn

pn

pn

nnn

nnn

nnn

nn

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CCC

CC

111

11

121

111

31

21

3

21

11

2

11

01

1

111

11

21

1

31

21

3

21

11

2

11

01

1

01

0

11 1

111

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

−−

−

−−

−−−

−−−

−−

−−

−−

−−

−

−−

−−

−

−−

−−

−−

−

−+−=−

−+−=−

−−=−+=

−−=−

+=

+=

+=

+=

+=

=

⇒

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7 OSG.: 36015/10

Somando-se membro a membro as (p + 1) igualdade da

direita, vem:

( ) ( ) pn

ppn

pnnn CCCCCC 13210

4 11... −−=−++−+−

Observação: Quando p = n, tem-se:

( ) ( ) 011... 13210

4 =−=−++−+− −nn

nnn

nnnn CCCCCC

02. Mostre que:

( )( )( )( ) ( ) n

nnnnnn

nnn

nn

nnnnnn

CCCCCn

nCC

CCCCCC

13211

322110

...!

1

...

−− +=+

+++

Solução:

11

1

131

32

121

21

11

10

1

.

.

.

3

1

2

1

1

1

nnn

nn

nn

nnnn

nnnnn

nnnnn

Cn

nCCC

Cn

CCC

Cn

CCC

Cn

CCC

+==+

+==+

+==+

+==+

+−

+

−+

+

Multiplicando-se essas n igualdades, obtemos:

( )( )( )

( ) ( ) n

n

n

nnnn

n

n

n

n

nnnnnn

CCCCCn

nCC

CCCCCC

n13211

322110

... !

1

...

−− +=+

+++

obtemos:

( )( )( )

( ) ( ) n

n

n

nnnn

n

n

n

n

n

nnnnnn

CCCCCn

nCC

CCCCCC

13211

322110

... !

1

...

−− +=+

+++

C. 2.ª Propriedade

1121 ... +

+++ =++++ pn

pn

pp

pp

pp CCCC C

Fazendo na relação de Stifel-Pascal:

11

1 ++

+ =+ pm

pm

pm CCC , onde (m = p, p + 1, p + 2, ..., n),

obtemos:

11

1 ++

+ =+ pp

pp

pp CCC

12

111

++

+++ =+ p

ppp

pp CCC

13

122

++

+++ =+ p

ppp

pp CCC

...............................

11

1 ++

+ =+ pn

pn

pn CCC .

Somando essas igualdades, simplificando e tendo em

vista que 01 =+ppC , temos :

II.

1121 ... +

+++ =++++ pn

pn

pp

pp

pp CCCCC

D. 3.ª Propriedade

k

kpk

kpppp CCCCC 12

21

10 ... +++++ =++++

Pela relação pn

npn CC −= , podemos escrever:

ppp CC =0

ppp CC 1

11 ++ =

ppp CC 2

22 ++ =

..................

pkp

kkp CC ++ = .

Somando essas igualdades, vem:

=++++ +++k

kpppp CCCC ...22

11

0

=++++ +++p

kppp

pp

pp CCCC ...21

Como 1121 ... +

+++++ =++++ pkp

pkp

pp

pp

pp CCCCC

(2.ª propriedade) e kkp

pkp CC 1+++ = , temos:

III.

kkp

kkpppp CCCCC 1

22

11

0 ... +++++ =++++

TC – MATEMÁTICA

8 OSG.: 36015/10

EEEE.... Exercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios ResolvidosExercícios Resolvidos 1. Calcule a soma:

kmn

kn

kn

kn CCCCS +++ ++++= ...21 .

Solução:

S pode ser escrita como segue:

( )( )k

nkk

kk

kmn

kn

kn

kn

kn

kk

kk

CCCC

CCCCCCS

11

2111

......

......

−++

++−+

+++−+

+++++++=

Pela 2.ª propriedade, temos:

111

++++ −= k

nk

mn CCS .

2. Calcule a soma: 5055

27

16

05 ... CCCCS ++++= .

Solução:

Pela 3.ª propriedade, temos:

656

5056 CCS == .

3. Calcule a soma: ( )∑=

+⋅=n

i

iiS1

1 .

Solução:

( ) ( )1...43322111

+⋅++⋅+⋅+⋅=+⋅=∑=

nniiSn

i

Dividindo ambos os membros da igualdade acima por

2!, temos:

( ) ( )⇒

⋅+++⋅+⋅+⋅=+⋅⋅∑= ! 2

1...

! 2

34

! 2

23

! 2

121

2

1

1

nnii

n

i

( ) 21

24

23

22

1

...12

1+

=

++++=+⋅⋅∑ n

n

i

CCCCii .

Pela 2.ª propriedade, podemos escrever:

( ) ( ) ( )⇒

⋅+⋅+==+⋅⋅ +=∑ !3

121

2

1 32

1

nnnCii n

n

i

( ) ( ) ( )3

121

1

nnnii

n

i

⋅+⋅+=+⋅∑=

4. Calcule a soma: ( ) ( )211

+⋅+⋅∑=

iiin

i

.

Solução:

( ) ( )

( ) ( )21...

...543432321211

+⋅+⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+⋅+⋅∑=

nnn

iiin

i

Dividindo ambos os membros da igualdade acima por

3!, temos:

( ) ( )

( ) ( )⇒

⋅+⋅++

+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=+⋅+⋅⋅∑=

! 3

12...

...! 3

345

! 3

234

! 3

12321

! 3

1

1

nnn

iiin

i

( ) ( ) 32

35

34

33

1

...216

1+

=

++++=+⋅+⋅⋅∑ n

n

i

CCCCiii

.

Pela 2.ª propriedade, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

12321

! 4

12321

6

1

1

43

1

nnnniii

nnnniii

n

i

n

n

i

C

⋅+⋅+⋅+=+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅+==+⋅+⋅⋅

∑

∑

=

+=

⇒

5. Calcule a soma dos n primeiros números inteiros

positivos.

Solução:

=++++=∑=

nin

i

...3211

( )2

1... 2

111

312

11

1

nnCCCCCi nn

n

i

⋅+==++++= −=∑

( )

2

1

1

nni

n

i

⋅+=∑=

.

TC – MATEMÁTICA

9 OSG.: 36015/10

6. Calcule a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos.

Solução:

Devemos calcular: ∑=

=++++n

i

in1

22222 ...321 .

Aplicando somatório à igualdade: i ⋅ (i + 1) = i2 + i, vem:

( ) ( )∑∑==

+=+⋅n

i

n

i

iiii1

2

1

1

⇒ ( ) ∑∑∑===

+=+⋅n

i

n

i

n

i

iiii11

2

1

1

Pelos exercícios, podemos escrever:

( ) ( ) ( )

2

1

3

21

1

2 +⋅+=+⋅+⋅∑

=

nni

nnn n

i

( ) ( ) ( )

( ) ( )6

121

2

1

3

21

1

2

+⋅+⋅

=+⋅−+⋅+⋅=∑=

nnn

nnnnni

n

i

Logo, ( ) ( )

6

121

1

2 +⋅+⋅=∑=

nnni

n

i

.

André 14/09/10 Rev.: GA