3 MecanicaFluidosII Permanente MEC2345

1

ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE Regime permanente: são escoamentos que não apresentam variação com o tempo ⇒ ∂/∂t = 0 Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um componente de velocidade que só varia em uma direção

Escoamentos simples hidrodinamicamente desenvolvidos: não apresentam variação na direção principal do escoamento

Escoamentos externos: película de filme com espessura constante

Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação

2

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (ρ=cte, µ=cte)

3. Regime permanente ⇒ ∂ /∂ t = 0

4. 2-D (largura b >> h) ⇒ ∂ /∂ z = 0

5. L >> h ⇒ esc. desenvolvido ∂ /∂ x = 0

6. Escoamento inclinado de θ com a horizontal, gravidade vertical

7. p ≠ constante

8. laminar

g

U

θ

y x

gy

gx

h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE: (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido entre duas placas paralelas e infinita)

Continuidade:

ctev

zw

yv

xu

=⇒=∂

∂+

∂∂

+∂∂ 0

4050 )()(

00

2

=•∇⇒=•∇+∂∂

=

VVt

cte

)(

)(ρ

ρρ

0=vCondição de contorno: y=a=h/2 ; v=0

iyuV

)(=

VpgtDVD

2∇+∇−= µρρQ. M. L - direção z

Q.M.L. (Navier-Stokes):

),(

)()(

)()(

yxppzpw

zpg

tDwD

wzeroz

wzero

=⇒=∂∂

⇒∇+∂∂

−==

=

0

40

2

0

40

µρρ

Q. M. L - direção y

θρµρρ

θ

cos

)()(cos

)()(

gypv

ypg

tDvD

decontinuidavzerog

y

decontinuidavzero

−=∂∂

⇒∇+∂∂

−==−

=

0

2

0

)()(cos xfygp +−= θρ )(xfxp ′=

∂∂

logo

então

3

Q. M. L - direção x

)()(

)()(sin)()()()( 405040005030

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

gxz

u

vyu

xu

tu

xpgwvu

∂∂

∂∂

∂∂

θρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ µ

∂∂ρρ +++−=+++

−=

xp

yu g ∂

∂∂∂ θρµ += sin2

2

Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional Note agora que u só depende de y e que ∂p/∂x só pode depender de x, então para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas parcelas seja iguais a uma constante, logo

Kg xp

yu =+= ∂

∂∂∂ θρµ sin2

2

xp

y g ∂∂

∂τ∂ θρ += sinou y

u∂∂µτ =pois

4

Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade entre as duas placas

µ∂∂ K

yu =2

2

Condições de contorno:

1) y=a; u =U⇒ U=(K/µ ) a2/2 + C1 a + C2

2) y=-a ; u=0 ⇒ 0=(K/µ ) a2/2 - C1 a + C2

++

−−=

ayU

a

yaKu 12

12 2

22

µ

212

1 2CyCyKuCyK

yu ++=⇒+=⇒

µµ∂∂

As constante C1 e C2 podem ser facilmente determinadas

(I)+(II) 22

22

2 CaU +=⇒µΚ

22

22

aUCµΚ

−=⇒

(I) - (II) aCU 12=⇒ aUC

21 =⇒

• Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

5

6

• Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão cisalhante

• Vazão: ∫==TA

TTm AduAuQ ⇒ ∫=−

a

aydbuQ

baUaQ

+−=

µΚ 2

32

; baAT 2= ;

+−= Uaum 2

131 2

µΚ

• O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que ydudµτ =

aUy

2µΚτ += onde x

pseng∂∂θρΚ += )(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

7

Caso 1: θ = 0 ; U ≠ 0 ; 0==xp

∂∂Κ (1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)

+=

ayUu 1

2 ; aU2

µτ =

maxmax ;)/( uuaxpu m 32

2

2=

∂∂−=

µ

−−=

2

221

2 a

yaKuµ

yK=τ

abab

PA

Du

Ddxpf

mt

hm

h 42244

21 2===

−∂=

)(;)/(

)/(

ρ

++

−−=

ayU

a

yaKu 12

12 2

22

µ aUyK2

µτ +=

U

2a

Caso 2: θ=0 , U=0, Κ=∂p/∂x

2a

96=Ref

8

Caso 3: θ = 0 ; U ≠ 0 ; 0<=xp

∂∂Κ

++

−−=

ayU

ayau 1

21

2 2

22

µΚ

; aUy

2µΚτ +=

umax onde 00 =⇒= τydud

τ y U

u

9

Caso 4: θ = 0 ; U ≠ 0 ; 0>=xp

∂∂Κ ; 22

0aU

xp µ

∂∂

<<

y U u

Caso 5: θ = 0 ; U ≠ 0 ; 22 aU

xp µΚ =

∂∂

=

Neste caso, a tensão na parede inferior é nula

u y

U

0222 2

==+−=⇒−=+= τµµ

τµ

τ entãoa

UKseaUKaayem

aUKy

10

Caso 6: θ = 0 ; U ≠ 0 ; 22 aU

xp µΚ >

∂∂

=

O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior escoa para a esquerda.

A tensão para parede inferior é negativa, 02

<∂∂

−= axp

aU

sµτ

u y U

11

u

U

• Considerando agora θ ≠ 0, temos

Caso 7: θ ≠ 0 ; U ≠ 0 ; 0<+= θρ∂∂Κ seng

xp

θρ∂∂ seng

xp

−< αρ∂∂ seng

xp

< ( xp

∂∂

pode ser positivo)

( αθ sensen −= ) θ < 90ο

Caso 8: θ ≠ 0 ; U ≠ 0 ; 0>+= θρ∂∂Κ seng

xp

θρ∂∂ seng

xp

−< αρ∂∂

sengxp

>

θ < 90ο

xp

∂∂

pode ser zero, K > 0 θ >270ο

u

U

U

u U α u

Já vimos que com as hipóteses acima

12

Exemplo: Determine o perfil de velocidade para uma película de água escoando ao longo de uma parede inclinada, com espessura constante. Qual a vazão para obter filme com espessura h? Desprezando as perturbações na entrada e saída. Hipóteses: 1. fluido Newtoniano, propriedades constantes (ρ=cte, µ=cte): div τ = µ ∇2V 2. Largura grande: ∂/∂z≈0, w=0 3. Regime permanente: ∂/∂t=0 4. Espessura h=cte: ∂/∂x≈0 5. Laminar 6. Pressão uniforme igual a pressão atmosférica: ∂p/∂x≈0

iyuV

)(=⇒

1CKyKgg

DtDu

yzero

zyzero

xzero

xp

x

zero

xyxzxyxx +=⇒=−=⇒+++−= τθρρρ ∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂

∂∂ cos

θ

y

x

Eq. de quant. de movimento na direção x

condição de contorno: y = h ; τH2O=τar ⇒ τH2O≈ 0 ⇒ C1 = -K h

condição de contorno: y=0, u=0 ⇒ C2=0

13

22

2CyhyuhyK K

yu +−=⇒=−= )()( µ∂

∂µτ

θ

y

x

−= −

2

2

2 22

h

yhyu hK

µ

µµ 30

2

32

20

32

3

hKh

hKh

h

yh

ybdyuQ −− =

−=∫=

µθρ

3

3hbgQ cos=

θ

y

x

h

u(y)

τ(y)

vazão

14

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano



4. 2-D (largura w >> h=2b) ⇒ ∂ /∂ z = 0

5. L >> h=2b ⇒ esc. desenvolvido ∂ /∂ x = 0

6. Escoamento inclinado de θ=0 com a horizontal, gravidade vertical

7. p ≠ constante

8. laminar

g

ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCÍVEIS ENTRE DUAS PLACAS PLANAS (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido)

Continuidade:

ctev

zw

yv

xu

=⇒=∂

∂+

∂∂

+∂∂ 0

4050 )()(

00

2

=•∇⇒=•∇+∂∂

=

VVt

cte

)(

)(ρ

ρρ

Condição de contorno: y=b; vI=0 ⇒ y=-b; vII=0

iyuV

iyuV

)(

)(IIII

II

=

=

y µI b x µII b

Para ambos os fluidos: Q. M. L - direção x

)()(

)()()()()()( 4050400050302

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

zu

vyu

xu

tu

xpwvu

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ µ

∂∂ρ +++−=+++

=

xp

yu

∂∂

∂

∂µ =2

2

Integrando para cada fase

Lpp

Lp

xp

yLo −

−=−== ∆∂∂

∂τ∂ou

yu

∂∂µτ =pois

15

21

211 II

II

II

2CyCyuCy

ydudCy L

pLp

Lp ++−=⇒+−=⇒+−=

µµµτ ∆∆∆

43

233 IIII

IIII

IIII

2CyCyuCy

ydudCy L

pLp

Lp ++−=⇒+−=⇒+−=

µµµτ ∆∆∆


Subtraindo as equações: (3) - (4)

21

2

II20 CbCb

Lp ++−=⇒

µµ∆

16

43

2

IIII20 CbCb

Lp +−−=⇒

µµ∆

0I == uby ;

0II =−= uby ;

1) 2)

3) 4)

42III0 CCuuy =⇒== ;

31III0 CCy =⇒== ττ;

)( III12

2µµ

∆

+−= bC L

p

21

2

IIII20 CbCb

Lp +−−=⇒

µµ∆

Somando as equações µI (3) + µII (4)

+

−=

III

III

21µµ

µµ∆ bC Lp

IIIIII1111

2 µµµµ∆ CCbLp +=

+−−⇒

Os perfis de tensão e velocidade de cada fase são

17

+

−−−=

III

IIII

21

µµµµτ ∆

bybL

p

++

+

−+=

III

I

III

III

2II 2

2

22

µµ

µ

µµ

µµ

µ∆

by

b

ybu Lp

++

+

−+=

III

II

III

III

2IIII 2

2

22

µµ

µ

µµ

µµ

µ∆

by

b

ybu Lp

τ = −

τ = −

y

x y

18

Hipóteses: 1. Fluido Newtoniano



4. 2-D (simetria angular) ⇒ vθ = ∂ /∂ θ = 0

5. L >> D ⇒ esc. desenvolvido ∂ /∂ x = 0

6. Escoamento horizontal, gravidade vertical

7. p ≠ constante

8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE: (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido em um duto circular)

Continuidade:

⇒=•∇⇒=•∇+∂∂

=

00

2

VVt

cte

)(

)(ρ

ρρ

0=vEntão r v = constante. Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV

)(=

θθ eveveuV rx

++=

θθ θ cos; ggsenggr −=−=

gθ g

D=2 R r

x

r

θ

gr

0

54

=∂

++

)()(zerozero

xu

rv

rrvr ∂

∂θ∂

∂∂ θ

VpgtDVD

2∇+∇−= µρρQ. M. L - direção r

Q.M.L. (Navier-Stokes):

−++−

+−−=

−+++

θ∂∂

∂∂

∂∂µ

∂∂θρρ

θ∂∂

θ∂

∂

θ∂∂

θ∂∂

θ∂∂

∂∂

v

rr

vrvr

rr

rpseng

rv

uvv

rv

r

v

xv

rv

rv

tv

22

2

212

222

2

A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vθ =0, então a equação

acima se reduz para

),(1 xfsenrgpsengrp θθρθρ

∂∂

+−=⇒−=

θ∂∂

θρθ∂

∂ 11cos1 fr

gpr

+−=

logo (*)

19

Q. M. L - direção θ

Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e vθ =0, então a equação acima se reduz para

comparando esta equação com a equação (*)

+++−

+−−=

++++

θ∂∂

∂∂

∂∂µ

θ∂∂θρρ

∂

∂

θ∂

∂θθ

θ∂

∂θ∂

∂θ∂

∂∂

∂

θθ

θθθθ

vrr

vr

vrrr

rpg

rvvuvv

x

v

r

v

xv

rv

rv

tv

2221

2

2

22

2

cos

θρθ∂

∂cos1 gp

r−=

concluímos que

)(0111

1 xfffr

=⇒=θ∂

∂ )(1 xfsenrgp +−=⇒ θρ

20

θ∂∂

θρθ∂

∂ 11cos1 fr

gpr

+−=

Q. M. L - direção x

Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão

constante

Relembrando que a tensão cisalhante é ⇒

++

+−=

+++

=

)()(

)()()()(

54

5403

2

2

22

21

zeroxu

zero

ru

zeroxu

zero

ru

vzeroru

zerotu

rur

rr

xpuvv

∂∂

θ∂∂

∂∂

θ∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂µ

∂∂ρ

Κ∂∂

∂∂

∂∂µ ==

)()( '1

1

xfrg

xp

rur

rr

ru

∂∂µτ = Κ

∂τ∂

=r

rr

)(1

21

θρ senrgpp ref −=

A variaçao da pressão é só hidrostática

Integrando esta equação, podemos determinar o campo de velocidade e tensão cisalhante

Relembrando que a tensão cisalhante é

ru

∂∂µτ =

Κ∂

τ∂=

rr

r)(1

rCrCrr 1

12

22+=⇒+= ΚτΚτ

rCr

ru

µµΚ 1

2+=

∂∂

21

2

4CrCru ++= ln

µµΚ

22

2) r=R ; u =0⇒ 0=(K/µ ) R2/4 + C2 ⇒ C2 =-(K/µ ) R2/4


1) r= 0 ; u e τ finitos (simetria; ∂ / ∂r =0) ⇒ C1 =0

−−

=22

14 R

rRKuµ

23

• O perfil de velocidade é

−−=

2

221

4 RrRu

µΚ

ou

−

∂∂

−=2

221

4 RrR

xpu

µ

note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro

µ4)0(

2maxmax

Rxpuruu

∂∂

−=⇒==

−=

2

21

R

ruu max

u R r

x

u

24

• Vazão: ∫==TA

TTm AduAuQ ⇒ ∫=R

rdruQ0

2 π

2max2

42max 242

2 RuR

RRuQ ππ =

−=

2RAT π=2

maxuum =⇒µµ 328

22 DxpR

xpum

∂∂

−=

∂∂

−=⇒

• O perfil de tensão cisalhante é : 2r

xp

∂∂

=τ

Se 0<∂∂

xp

então τ < 0

τ

n

τ u R

r

x

u

25

Na parede 2)( R

xpRr

∂∂

=== ττ

tensão na parede 42)( D

xpR

xpRrs ∂

∂−=

∂∂

−=== ττ

O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu

Du

u

Dxp

fm

m

m

mρ

µ

ρ

µ

ρ

64

2132

21 222

==

∂∂

−=

onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh == /4

Re64

=f ; µ

ρ Dum=Re

Note que como 4D

xp

s ∂∂

−=τ

o fator de atrito também pode ser escrito como 2221

4

21

m

s

m uu

Dxp

fρ

τ

ρ=

∂∂

−=

26

O relação 4D

xp

s ∂∂

−=τ também poderia ter sido obtida através de um balanço de

forças no seguinte volume de controle

∑ = 0xF ⇒ 0=−

∂∂

+− dxmPsTAdxxppTAp τ

4hD

xp

mPTA

xp

s ∂∂

−=∂∂

−=τ

• Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e

turbulento

p+ dxxp

∂∂ R

r

x

p τs

dx

27

Exemplo : Escoamento para cima em um duto anular vertical Raio externo: R, raio interno; k R Comprimento: L




4. 2-D (simetria angular) ⇒ vθ = ∂ /∂ θ = 0

5. L >> D ⇒ esc. desenvolvido ∂ /∂ x = 0

6. Escoamento vertical para cima, gravidade vertical

7. p ≠ constante. Escoamento para cima, devido a um diferencial de pressão imposto ∆p = po - pL

8. laminar

Já vimos que com as hipóteses acima

27

xeruV

)(=⇒

Eq. de quant. de movimento na direção x

][][

)()()()()()( 5454032

2

22

21

zeroxu

zero

ru

zeroxu

zero

ru

vzeroru

zerotu

rur

rrg

xpuvv

∂∂

θ∂∂

∂∂

θ∂∂

θ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂µρ

∂∂

ρ ++

+−−=+++

=

g

x

28 28

( ) Kgxp

rr

r=

+= ρ

∂∂

∂τ∂1A equação pode ser rescrita como onde

Podemos definir uma pressão modificada que incorpora a pressão hidrostática

Kgxp

xPxgpP =+=⇒+= ρ

∂∂

∂∂

ρ

ru

∂∂

µτ =

A tensão e a velocidade podem ser obtidos integrando como no exemplo anterior

21

21

42Cr

CrKur

CrK++=+= ln;

µµτ


1) r=R ; u =0⇒ 0=(K/µ ) R2/4 + (C1 /µ ) lnR + C2 ⇒ C2 =-(K/µ ) R2/4 - (C1 /µ ) lnR

RrC

RrRKu ln

µµ1

221

4+

−−

=

LPP

gL

ppK LoLo −

=−−

=− ρ

2) r=k R ; u=0 ⇒ 0=(-K R2 /4µ ) [1- k2] + (C1 /µ ) ln (k) ⇒ C1 /µ =(K R2 /4µ ) [1- k2] /ln (k)

−−

−−

=Rr

kk

Rr

LRPP

u Lo lnln

)()( 222 114 µ

29 29

A velocidade máxima ocorre onde ∂ u / ∂ r = 0 (τ =0)

A vazão volumétrica Q e velocidade média são

)/ln()(*

)/ln()(*

kkRr

kkKRConde

KC

rr

CrK12

11412

02

2221

11 −=⇒

−−=−=⇒=+=τ

−−

−−

−=

)/ln()(ln

)/ln()()(

max kk

kk

LRPP

u Lo12

1112

114

222

µ

−−−

−∫ ==∫ ∫==

)/ln()()(

)(k

kkL

RPPdrruddrruAuQ LoR

kR

R

kRtm 1

118

222

442

0 µπ

πθπ

−−

−

−−=⇒−=∫ ∫=

)/ln()(

)(

)()()(

kk

k

kL

RPPukRddrrA Lo

mR

kRt 1

1

1

18

12

2

42222

0 µπθ

π

A velocidade máxima é deslocada para a parede interna, pois como a área interna é menor a derivada é maior

A força do fluido nas superfícies

tLotLoRrkRrx ALgppAPPLRLRkF ])[()( ρτπτπ −−=−=−+= == 22

A força de pressão é contrabalanceada pela força viscosa e gravitacional

30

Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [ρ=1000 Kg/(m3), µ=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão

de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?

−−−

−=

)/ln()()(

)(k

kkL

RPPQ Lo

111

8

224

4

µπ

QPuAPuFPot mtm ∆∆ ===

1224

4 1118

−

−−−=−=

)/ln()()()(k

kkR

LQPPP Loπ

µ∆

kWk

kkR

LQPot 1912501501

1

025402

24181501

1182244

21224

4

2=

−−−×

×××=

−−−=

−

)ln(/),(),(),(

,,)/ln(

)()(ππ

µ

Rin=k Rex → k=0,5

µ

ρ hDu m=Re

smkR

QAQutm /,

)(796

1 22=

−==

π)(

)()( kR

kRkR

PA

Dm

th −=

+−

== 1212144 22

ππ

laminar1790 →==µ

ρ hDu mRe

31

Exemplo : Viscosímetro de Couette - Escoamento laminar permanente entre dois cilindros

Raio externo: R, raio interno; k R Comprimento: L Torque medido: T




4. Escoamento puramente tangencial ⇒ v = uθ (r ) eθ

31

g

5. Gravidade na vertical: ⇒ g = - g ez

6. Não há variações na direção angular: ⇒ p = p (r, z )

32 32

Equação de continuidade

( ) ( ) ( ) 0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zr uz

ur

urrrt

ρρθ

ρρθ

Com as hipóteses apresentadas, todos os termos são nulos e a equação de continuidade é identicamente satisfeita Equação de quantidade de movimento linear Direção radial

⇒

−++−

+−=

−+++

θu

r

2

r

ur

ur

rr1μ

rpgρ

r

uuuuρ

θ2z

uθru

2rr

r

2θ

zu

zθru

θru

rtu

2r

2

22r

2

rrrr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

rp

r

uρ

2θ

∂∂

−=−

Direção axial

⇒

++

+−=

+++

2z

2

22z

2

zzzz

zu

θruz

zzu

zθru

θru

rtu

ru

rrr

1μ

zpgρuuuρ

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zpρg

∂∂

−−=0

33

Equação de quantidade de movimento linear Direção angular

+++−

+−=

++++

θu

r

2

r

ur

ur

rr1μ

θrpgρ

ruu

uuuρ

r2z

u

θr

u2θθ

θθr

zu

zθru

θru

rtu

2θ

2

22θ

2

θθθθ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ou

( ) ⇒

++

+−=

++++

zrr

rr

1

θrpgρ

ruuuuuρ

zθθr

θθr

zu

zθru

θru

rtu θθθθ

∂τ∂

θ∂τ∂

τ∂∂

∂∂

θθ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

122

022

=

θrrrr

1 τ∂∂

2r

C1θr =τ

21

r

Cr

ur

rr

ur

ru

ru

ru r

θr =

∂∂

⇒

∂∂

=

∂

∂+−

∂∂

= θθθθ µµθ

µτ

221

31

2C

r

Cr

u

r

Cr

ur

+−=⇒=

∂∂

µµθθ rC

rC

u 21

2+−=

µθ

A tensão em coordenadas cilindricas

34

−

−=

rRk

Rkr

k

Rku o

21

Ωθ

O torque T é 2212

1 4222 )()( kRLCLCLrr

CrLrrFrT r µππππτ θ =====

Note que o torque em qualquer posição independente do raio

Condição de contorno:

(1) r=kR, uθ = 0

(2) r=R , uθ = Ωo R

221 2 )(kRCC µ=

rCr

Cu 2

12

+−=µθ

)/( 22 1 kC o −= Ω

])([r

kRrCu2

2 −=θ

O torque T para girar o cilindro externo é

2

2

1

4

k

kRLT o

−=

)(Ωµπ

35

−

−

=Rr

rR

kkRk

u i/1

Ωθ

Para o caso de cilindro externo estacionário, enquanto o cilindro interno gira com velocidade angular Ωi, a distribuição de velocidade é

As soluções apresentadas são válidas somente para pequenas velocidades angulares. Para grandes velocidades, as forças inerciais se tornam importantes e o escoamento deixa de ser puramente tangencial, e vórtices toroidais aparecem

Vórtices de Taylor Linhas de corrente: hélices (b)

Puramente periódico periódico tangencial simples duplo Vórtices de Taylor

filme

36

O diagrama abaixo ilustra regiões correspondentes a diferentes regimes de escoamento. A validade das hipóteses iniciais devem ser sempre verificadas, freqüentemente experimentalmente.

37

Com essas hipóteses, vimos que

Exemplo : Formato da superfície do líquido em rotação Hipóteses: 1. Fluido Newtoniano






rp

r

uρ

2θ

∂∂

−=− zpρg

∂∂

−−=0

rCr

Cu

r

Cr

rr

1θrθr 2

1212

2 20 +−=⇒=⇒=

µττ

∂∂

θ

ru Ωθ =

Condição de contorno: (1) r=0, uθ e τrθ finito

(2) r=R , uθ = Ω R

→ C1 =0

→ C2 =Ω

A única solução possível de regime permanente é o movimento de corpo rígido. Note que τ = 0 independente se o fluido é Newtoniano ou não.

38

Sobre a superfície, a pressão é igual a pressão atmosférica, o que permite determinar zsup, i.e. forma da superfície,

Condição de contorno: z=zo, r=0 → p=patm

Integrando podemos obter a distribuição de pressão

gρzp

rρrp

−=

=

∂∂

Ω∂∂ 2

)( oatm zzgrρpp −−+= ρΩ

2

22

grzz o 2

22sup

Ω+=

Czgrρp +−=⇒ ρΩ

2

22

39

Com essas hipóteses, as equações de quantidade de movimento na direção radial e axial e angular não se modificam para um fluido não newtoniano e como vimos são

Exemplo : Viscosímetro de Couette com fluido Lei de Potência Hipóteses: 1. Fluido Lei de Potência:

2. Propriedades constantes (ρ=cte)





rp

r

uρ

2θ

∂∂

−=− zpρg

∂∂

−−=0 022

=

θrrrr

1 τ∂∂

g

∂∂

∂∂

=

∂∂

=−

ru

rr

ru

rrm

ru

rr

n

θrθθθητ

1

A tensão de um fluido power-law em coordenadas cilindricas é

1−= nm γη

n

θr ru

rrm

∂∂

= θτ

40

A equação de quantiddade de movimento na direção angular pode ser rescrita como 02 =

∂∂

n

ru

rrmr

drd θ

nn

nnnn

r

C

r

Crr

urr

Cr

ur

rCter

ur

rmr/)(

//

2

11

1

21

212 1

+=

=

∂∂

⇒=

∂∂

⇒=

∂∂ θθθ

integrando

+

−=

−2

11

2

2CC

nrru n

n/

/

/θ

n

n

ok

rkRru

/

/)/(

2

2

1

1

−

−

= Ωθ

Condição de contorno: 1) r=kR, uθ = 0 n

nC

nkRC /

/

/)( 1

12

2 2

−=

nC

rkRrun

nn/

)(/

//2

1122

−= −−

θ

n

nn

on

k

kRn

C/

//

/

/ 2

22

11

12 −= Ω

Torque para manter cilindro externo girando

Condição de contorno (2) r=R , uθ = Ωo R

RLRr

ur

rmLRRT

Rr

n

Rrr )()( ππτ θθ 22

=

=

∂∂

==n

nok

nLkRmT

−=

//)(2

2

1

22 Ωπ

Equação de continuidade em coordenadas esféricas é satisfeita com as hipóteses listadas:

Exemplo : Escoamento ao redor de uma esfera com baixa rotação Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano:



4. Escoamento puramente azimutal ⇒ v = uφ (r,θ ) eφ


6. Não há variações na direção azimutal: ⇒ p = p (r,θ)

θθθ θθ esinecoseeeg ggggg rrrz +−=+=−=

Vetor aceleração da gravidade:

01

11 22

=+

++

)(sin

)(sinsin

)(

φ

θ

ρφ∂

∂θ

ρθθ∂

∂θ

ρ∂∂

∂ρ∂

ur

ur

urrrt r

g

θρ cosrgpP += Pressão modificada:

41 rgrp

rP

ρ+∂∂

−=∂∂

− θρθθ

gr

pr

P+

∂∂

−=∂

∂−

Equação de quantidade de movimento linear Direção radial

+−

∂+

+

+−=

+−+++

φ∂θ∂

∂θθ∂

∂∂

∂∂

θ

φ∂φθ

∂φ∂

∂∂

∂∂

∂

φθ

φ∂θθ

∂∂

∂∂µ

∂∂

sinsin)(sin

sin

sin

sinsin

uθ

urθr

uθr

rr

22θ

ru

θru

θru

rtu

r

u

rμ

ru

rrr

1rpgρ

r

uuuuuρ

r

rrrr

22

2

221

22

21

02

≈−=−r

u

rP φρ

∂∂

Direção θ

−+−

∂+

+

+−=

−++++

φ∂∂

∂∂

θθ

∂θθ∂

∂∂

θφθ∂φθ

∂φ∂

∂∂

∂∂

∂

φθθ

θθθθ

θθ

φ∂θ

∂∂

∂∂µ

θ∂∂φ

uθu

rr

uθr

uθr

r

2r

ru

θru

θru

rtu

ru

rμ

ru

rrr

1r

pgρr

uuuuuuρ

sincot

sin

cot

sinsin)(sin

sin

2222

2

2

221

22

1

02

≈−=−r

u

rP φ

ρθ∂

∂ φ cot

42

43 43

Equação de quantidade de movimento linear Direção φ

++

∂+

+

+−=

+++++

φ∂∂

φ∂∂

θ

φ∂θ

θ∂∂∂

φφ

θφφ∂φθ

∂φ∂

∂∂

∂∂

∂

θφ

φφφφ

θφ∂θ

∂∂

∂∂µ

φ∂θ∂θ

uu

rθru

θr

rr

uθr

uθr

urt

u

ru

rμ

ru

rrr

1r

pgρr

uuuuuuuρ

cotsin

sincot

sinsin)(sin

sin

22

2

2

221

22

1

0122

=

+

θr

uθrr

ur

rr

1∂θ

θ∂∂∂φ φ

∂

∂

∂∂

sin)(sin

Distribuição de pressão: P = cte .

Condição de contorno: r→ ∞ p → po então P=po ⇒ p = po – ρ g r cos θ

Distribuição hidrostática de pressão

44


(1) r=R, uφ= R Ω sin θ

(2) r→ ∞ uφ → 0

01212

2=

+

θ

uθrr

ur

rr

1∂

θ∂∂∂φ φ

θ∂

∂

∂∂ )(sin

sin

Hipótese: uφ = f (r) g(θ )

Para satisfazer a condição de contorno:

uφ = f (r) sin(θ )

então 01 22 =

+

θd

dθd

dfrdfdr

rdd )(sin

sinsin θ

θθ

ou 022 =−

f

rdfdr

rdd

Esta é uma equação equidimensional, cuja solução é do tipo rn

2102

1

212

1122

−==⇒=−+

+=

=⇒= +−

nnnn

rnnrndrdrnr

rdfdrrf nnnn

;

)(;

Distribuição de velocidade:

45 45

então

θΩφ sin2

=rRRu

θφ sin

+=⇒+=

22

122

1r

CrCu

r

CrCf


(1) r→ ∞ uφ → 0 ⇒ C1=0 (2) r=R, uφ= R Ω sin θ ⇒ C2= Ω R3

Torque para manter a esfera girando:

Força infiniesimal na superfície da esfera:

FeT dR r ×∫=

RrrRrr pdAdAd == +−•=•= τ)I(eσeF

Os componentes não nulos de τ:

== θ∂

∂θφθθφ

φττ sinsin u

θrμ

== r

urrr rμ φ

∂∂

φφ ττ

)eee(e)eee(eτ rrr φφφθφφθθφ ττ +++=

φ∂∂

φφφ θΩµτ φ esineeτe 3−=

==•

== ru

rRrrRrr rμ

46 46

então

Componente axial do torque: Tz = d T • ez ; ez= er cos θ – eθ sin θ

∫

∫

∫−==

π

ππφθθΩµ

2

2

034

0

333 ddRdTT zz

/

sin

θφφ θΩµτ

θ

esineeeeT

e

dARdARPRd

Rr

rrzero

rr 3=×+×−=

=−

φθθθΩµθΩµ ddRRdARTd z sinsinsin 222 33 −=−=

Ωµπ 38 RTz −=

Este é o torque que o fluido exerce sobre a superfície da esfera. Para manter a esfera girando com velocidade angular Ω, é necessário fornecer ao eixo, um torque de igual valor da direção oposta.

Validade das hipóteses iniciais: A medida que Ω cresce, aparece um escoamento secundário, pois a força de inércia deixa de ser desprezível. O líquido é ”puxado” em direção aos pólos da esfera e empurrado para fora no equador.

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