3, - gieducacional.com.br · Imersão Matemática – Geometria Espacial Página 1 de 19 1....

Imersão Matemática – Geometria Espacial

Página 1 de 19

1. (Fuvest) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais,

forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem

cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O

número de cubos menores que tiveram pelo menos

duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 2. (Mackenzie) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que

a) a altura é igual a 3 3 m.

b) a altura é igual a 3 6 m.

c) a altura é igual a 4,5 m.

d) o volume é igual a 327 3m .

2

e) o volume é igual a 318 2m .

3. (Unicamp) Considere um cilindro circular reto. Se o

raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%. 4. (Unesp) Um paciente recebe por via intravenosa

um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O

frasco do medicamento é formado por uma parte

cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são

dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a

medicação.

Após 4h de administração contínua, a medicação foi

interrompida. Dado que 1 cm3 = 1 ml, e usando a

aproximação 3 , o volume, em ml, do

medicamento restante no frasco após a interrupção da

medicação é, aproximadamente,

a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. 5. (Unesp) Prato da culinária japonesa, o temaki é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado externamente com nori, uma espécie de folha feita a partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e cebolinha.

Um temaki típico pode ser representado matematicamente por um cone circular reto em que o diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm. Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que a densidade do salmão é de 0,35 g/cm3, e

tomando 3,π a quantidade aproximada de salmão,

em gramas, nesse temaki, é de a) 46. b) 58. c) 54. d) 50. e) 62. 6. (Fuvest) Um cone circular reto está inscrito em um

paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada,

como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões

do paralelepípedo é 3

2 e o volume do cone é ð.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é

a) 5

b) 6

c) 7

d) 10

e) 11


Página 2 de 19

7. (Mackenzie) Para construir um funil a partir de um

disco de alumínio de centro O e raio R 16 cm,

retira-se do disco um setor circular de ângulo central

225 .θ

Em seguida, remove-se um outro setor circular, de

raio r 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC

e BD. O processo de construção do funil está representado nas figuras abaixo.

A medida da altura do funil é

a) 2 39 cm

b) 15 39

cm8

c) 55

cm8

d) 2 55 cm

e) 15 55

cm8

8. (Fuvest) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta

de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1.

Sendo G o ponto médio da altura EF e á a medida do

ângulo AGB, então cosá vale

a) 1

2

b) 1

3

c) 1

4

d) 1

5

e) 1

6

9. (Unesp) O trato respiratório de uma pessoa é

composto de várias partes, dentre elas os alvéolos

pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a

troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que

cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o

diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente,

0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto

é igual a 1 618 cm3, o número aproximado de alvéolos

dessa pessoa, considerando ð = 3, é:

a) 1 618 × 103. b) 1 618 × 104. c) 5 393 × 102. d) 4 045 × 104. e) 4 045 × 105. 10. (Unesp) A imagem mostra uma taça e um copo. A

forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura

e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios

das bases medindo R e r. A forma do copo é,

aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e raios

das bases medindo R e 2r.

Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e

raios das bases B e b é 2 21h (B B b b )

3π e dado que

65 8, determine o raio aproximado da base do copo, em

funçăo de R, para que a capacidade da taça seja 2

3 da

capacidade do copo. 11. (Unicamp) Considere a pirâmide reta de base

quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da base b = 6 m e altura a.

a) Encontre o valor de a de modo que a área de uma

face triangular seja igual a 15 m2. b) Para a = 2 m, determine o raio da esfera

circunscrita à pirâmide.


Página 3 de 19

12. (Unesp) Considere o sólido da figura (em cinza), construído a partir de um prisma retangular reto.

Se AB = 2 cm, AD = 10 cm, FG = 8 cm e BC = EF = x

cm, o volume do sólido, em cm3, é:

a) 4x (2x + 5). b) 4x (5x + 2). c) 4 (5 + 2x). d) 4x2 (2 + 5x). e) 4x2 (2x + 5). 13. (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e

vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é

o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da

aresta EC, então o volume da pirâmide de base

AMCD e vértice V é:

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 14. (Mackenzie)

Se no cubo da figura, FI 4 6, então a razão entre o

volume e a área total desse cubo é a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 15. (Unifesp) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro

regular de lado 6cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que: — P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD

e EFGH;

— Q pertence à aresta EH;

— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à

diagonal EG da face EFGH;

— RF é um arco de circunferência de centro E.

a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros.

b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm3.

16. (Fuvest) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos

de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são

moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de

lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas,

conforme ilustrado a seguir.

Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e

B, respectivamente, tem-se:

a) VA = 2VB b) VB = 2VA c) VA = VB d) VA = 4VB e) VB = 4VA 17. (Fuvest) No paralelepípedo reto retângulo

ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2, AD 3 e

AE 4.

a) Qual é a área do triângulo ABD?


Página 4 de 19

b) Qual é o volume do tetraedro ABDE? c) Qual é a área do triângulo BDE? d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do

ponto A, quanto vale AQ? 18. (Unesp) Considere um pedaço de cartolina

retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm.

Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um

quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha

pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma

pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume,

em cm3, desta caixa é

a) 4x3 - 60x2 + 200x. b) 4x2 - 60x + 200. c) 4x3 - 60x2 + 200. d) x3 - 30x2 + 200x. e) x3 - 15x2 + 50x. 19. (Unesp) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras.

Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm3 e

admitindo 3,π a massa aproximada do porta-joias,

em gramas, é a) 636. b) 634.

c) 630. d) 632. e) 638. 20. (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície

lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O

lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As

telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes

que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes

de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o

número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 21. (Fuvest) Os vértices de um tetraedro regular são

também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

a) 2 3 b) 4

c) 3 2

d) 3 3 e) 6 22. (Unesp) Um tanque subterrâneo, que tem a forma

de um cilindro circular reto na posição vertical, está

completamente cheio com 30 m3 de água e 42 m3 de

petróleo.

Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em

metros, da camada de petróleo é

a) 2ð. b) 7.

c) 7

3

π.

d) 8.

e) 8

3

π.

23. (Mackenzie)


Página 5 de 19

O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é a) 64 b) 90 c) 48 d) 125 e) 100 24. (Fuvest) O sólido da figura é formado pela

pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto

ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta

determinada por A e E e que AE 2cm, AD 4cm

e AB 5cm.

A medida do segmento SA que faz com que o volume

do sólido seja igual a 4

3 do volume da pirâmide

SEFGH é

a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

25. (Fuvest)

Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a

hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra. Sendo μ

e ,ρ respectivamente, a latitude e a longitude do local,

medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a

Nota: Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa por esse ponto e pelo centro da Terra. a) ρ

b) μ c) 90 ρ

d) 90 μ e) 180 ρ

26. (Fuvest) Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é

a) 1

8

b) 1

6

c) 2

9

d) 1

4

e) 1

3

27. (Fuvest) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a

a) a 3

b) a 2

c) a 3

2

d) a 2

2

e) a 2

4

28. (Fuvest) A esfera , de centro O e raio r > 0, é

tangente ao plano . O plano é paralelo a e

contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de com e, como vértice, um ponto em

, é igual a

a) 33r

4

b) 35 3r

16

c) 33 3r

8

d) 37 3r

16

e) 33r

2


Página 6 de 19

29. (Fuvest) Uma pirâmide tem como base um

quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais

é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado,

que tem como vértices os baricentros de cada uma

das faces laterais, é igual a

a) 5

9

b) 4

9

c) 1

3

d) 2

9

e) 1

9

30. (Fuvest) O ângulo θ formado por dois planos α e

β é tal que 5

tg .5

θ O ponto P pertence a α e a

distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à

reta intersecção de α e β é igual a:

a) 3

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8 31. (Fuvest) Um fabricante de cristais produz três

tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo

no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no

formato de um cone reto de base circular de raio 2r e

altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de

base circular de raio x e altura h.

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando

completamente cheias, comportam a mesma

quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h

é igual a:

a) 3

6

b) 3

3

c) 2 3

3

d) 3

e) 4 3

3

32. (Fuvest) O paralelepípedo reto-retângulo

ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos

lados AB 4, BC 2 e BF 2.

O seno do ângulo HAF é igual a

a) 1

2 5

b) 1

5

c) 2

10

d) 2

5

e) 3

10

33. (Unicamp) Um paralelepípedo retângulo tem faces

de áreas 22 cm , 23 cm e 24 cm . O volume desse

paralelepípedo é igual a

a) 32 3 cm .

b) 32 6 cm .

c) 324 cm .

d) 312 cm .

34. (Fuvest) Considere um tetraedro regular ABCD

cujas arestas medem 6 cm. Os pontos E, F, G, H e I

são os pontos médios das arestas AB, BC, AC, BD e

CD, respectivamente.

a) Determine a área do triângulo EFH.

b) Calcule a área do quadrilátero EGIH.

c) Determine o volume da pirâmide de vértices

E, G, I, H e F, cuja base é o quadrilátero EGIH.


Página 7 de 19

35. (Mackenzie) A altura, em cm, de um tetraedro

regular cuja área total mede 248 3 cm é

a) 2 2

b) 4 2

c) 2 3

d) 4 3 e) 6 36. (Unesp) Um cone circular reto, de vértice V e raio

da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma

superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O

cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V,

deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura.

O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado

pela fórmula 2r h

,3

π o volume do cone da figura, em

3cm , é igual a

a) 72 3π

b) 48 3π

c) 36 3π

d) 18 3π

e) 12 3π 37. (Fuvest) Um reservatório de água tem o formato

de um cone circular reto. O diâmetro de sua base (que

está apoiada sobre o chão horizontal) é igual a 8 m.

Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em

que o reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a uma vazão constante de

500 litros por minuto.

O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do reservatório é de, aproximadamente, Dados:

- π é aproximadamente 3,14.

- O volume V do cone circular reto de altura h e raio

da base r é 21V r h.

3π

a) 4 horas e 50 minutos. b) 5 horas e 20 minutos. c) 5 horas e 50 minutos. d) 6 horas e 20 minutos.

e) 6 horas e 50 minutos. 38. (Unesp) Um cone circular reto de geratriz

medindo 12 cm e raio da base medindo 4 cm foi

seccionado por um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de cone, como mostra a figura 1. A

figura 2 mostra a planificação da superfície lateral S

desse tronco de cone, obtido após a secção.

Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule

o volume do tronco de cone indicado na figura 1. 39. (Unicamp) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, um cubo e dois paralelepípedos

retângulos, em que os comprimentos das arestas, a e

b, são tais que a b 0.

a) Determine a razão r a b para a qual o volume de

1S é igual à soma dos volumes de 2S e 3S .

b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas

as arestas dos três sólidos é igual a 60 cm,

determine a soma das áreas de superfície dos três sólidos.

40. (Unesp) Um paralelepípedo reto-retângulo foi dividido em dois prismas por um plano que contém as diagonais de duas faces opostas, como indica a figura.

Comparando-se o total de tinta necessária para pintar as faces externas do paralelepípedo antes da divisão com o total necessário para pintar as faces externas dos dois prismas obtidos após a divisão, houve um aumento aproximado de a) 42%. b) 36%.


Página 8 de 19

c) 32%. d) 26%. e) 28%. 41. (Fuvest) Cada aresta do tetraedro regular ABCD

mede 10. Por um ponto P na aresta AC, passa o

plano α paralelo às arestas AB e CD. Dado que

AP 3, o quadrilátero determinado pelas interseções

de α com as arestas do tetraedro tem área igual a a) 21

b) 21 2

2

c) 30

d) 30

2

e) 30 3

2

42. (Mackenzie) Em um triângulo retângulo, a medida

do menor cateto é 6 cm. Rotacionando esse triângulo

ao redor desse cateto, obtém-se um sólido de

revolução, cujo volume é 3128 cm .π Nessas

condições, a área total da superfície do sólido obtido

na revolução, em 2cm , é

a) 144π b) 120π c) 80π d) 72π e) 64π 43. (Fuvest) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O

primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião

terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta.

b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica.

Note e adote:

cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos 16 0,96; sen 16 0,28

Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W

Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E

Raio da Terra: 6.400 km

44. (Unicamp) Um cilindro circular reto, cuja altura é

igual ao diâmetro da base, está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a

a) 4 2

.3

b) 4

.3

c) 3 2

.4

d) 2. 45. (Unesp) Um cubo com aresta de medida igual a x

centímetros foi seccionado, dando origem ao prisma indicado na figura 1. A figura 2 indica a vista superior

desse prisma, sendo que AEB é um triângulo equilátero.

Sabendo-se que o volume do prisma da figura 1 é

igual a 32(4 3)cm , x é igual a

a) 2

b) 7

2

c) 3

d) 5

2

e) 3

2

46. (Unesp) Uma chapa retangular de alumínio, de

espessura desprezível, possui 12 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura 2).


Página 9 de 19

Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da

canaleta fabricada é igual a 218 m , então, a altura

dessa canaleta, em metros, é igual a a) 3,25. b) 2,75. c) 3,50. d) 2,50. e) 3,00.

47. (Fuvest) No cubo ABCDEFGH, representado na

figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um

ponto na semirreta de origem A que passa por E.

Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do

segmento AM.

a) Exprima cos θ em função de x.

b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso?

c) Mostre que, se x 4, então θ mede menos do que

45 .

48. (Unesp) Quando os meteorologistas dizem que a

precipitação da chuva foi de 1mm, significa que houve

uma precipitação suficiente para que a coluna de água contida em um recipiente que não se afunila como, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse

1mm. Essa precipitação, se ocorrida sobre uma área

de 21m , corresponde a 1 litro de água.

O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai perpendicularmente à superfície retangular plana e horizontal da laje de uma

casa, com medidas 8 m por 10 m. Nesse sistema, o

tanque usado para armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de paralelepípedo reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura.

Estando o tanque de armazenamento inicialmente

vazio, uma precipitação de 10 mm no local onde se

encontra a laje da casa preencherá a) 40% da capacidade total do tanque. b) 60% da capacidade total do tanque. c) 20% da capacidade total do tanque. d) 10% da capacidade total do tanque. e) 80% da capacidade total do tanque. 49. (Unesp) Um bloco maciço com a forma de

paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões 8 m,

12 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por

A e B na figura, foram marcados retângulos, de 2 m

por 3 m, centralizados com as faces do bloco e com

lados paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar

totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco.

Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco. 50. (Fuvest) A grafite de um lápis tem quinze

centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é Nota: 1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto,

feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro.

2) Adote os valores aproximados de:

32,2g / cm para a densidade da grafita;

12g / mol para a massa molar do carbono;

23 16,0 10 mol para a constante de Avogadro

a) 235 10

b) 231 10

c) 225 10

d) 221 10

e) 215 10


Página 10 de 19

51. (Unicamp) Um cilindro circular reto, com raio da

base e altura iguais a R, tem a mesma área de

superfície total que uma esfera de raio a) 2R.

b) 3R.

c) 2R. d) R. 52. (Fuvest) Diz-se que dois pontos da superfície

terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une passa pelo centro da Terra. Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo, em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da América do Sul estão no leste da Ásia.

Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y

graus leste, então seu antípoda tem latitude e longitude, respectivamente, a) x graus sul e y graus oeste.

b) x graus sul e (180 y) graus oeste.

c) (90 x) graus sul e y graus oeste.

d) (90 x) graus sul e (180 y) graus oeste.

e) (90 x) graus sul e (90 y) graus oeste.


Página 11 de 19

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[A] Resposta da questão 2:

[E]

A altura do tetraedro regular é igual a 6 6

2 6 m,3

e

seu volume é 3

36 218 2 m .

12

Resposta da questão 3: [A]

Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da

base e a altura do cilindro. Logo, como 2V r h,π

segue-se que a variação percentual pedida é dada por

22

2

r2h r h

2100% 50%,

r h

π π

π

isto é, houve uma redução de 50% no volume do

cilindro. Resposta da questão 4:


[D] O volume do cone (recheio) será dado por:

Tomando 3,π o volume do cone será dado por:

2 31v 4 10 160cm

3π

Considerando que o peixe representa 90% do volume

do recheio, temos: 30,9 160 144cm (volume do

salmão).

Portanto, a massa do salmão será dada por

0,35 144 50,4g. Logo, a alternativa correta é a [D].

Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [E] Tem-se que

3AOB 360 360 225 135 rad.

4

πθ

Logo,

3AB AOB AO 16 12 cm

4

ππ

e

3 3CD AOB OC 1 cm.

4 4

π π

Daí, se R é o raio maior do funil e r é o raio menor do funil, então

2 R 12 R 6cmπ π

e

3 32 r r cm.

4 8

ππ

Portanto, sendo h a altura do funil e

AC OA OC 15cm a sua geratriz, pelo Teorema

de Pitágoras, vem

22 2 23 2025

h 15 6 h 2258 64

22375h

64

15 55h cm.

8

Resposta da questão 8: [B] Resposta da questão 9: [E] Resposta da questão 10: Utilizando a fórmula dada temos: Capacidade da Taça:

3 2 2

T4 R R r R r

V3

π π π

Capacidade do copo: 3 2 2cV R 2 R r 4 R rπ π π

Fazendo VT = 2/3(VC), temos:


Página 12 de 19

2 2 37R r 3 R R 2 R 0

Resolvendo a equação na incógnita r, temos:

2 43 R 65 R 5 Rr

14 R 14

ou

2 43 R 65 R 11 Rr (não convém)

14 R 14

Portanto, o raio do copo será: 2 5 R 5 R

.14 7


a) Considere a figura, em que V é o vértice da

pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto

médio da aresta PQ.

Se a área da face VPQ é igual a 215 m , então

VM PQ15 VM 6 15 2

2

VM 5 m.

Portanto, como OM 3 m, segue-se que

a VO 4 m.

b) Seja R o raio da esfera.

A área do triângulo VSQ é dada por

2

SQ VO(VSQ)

2

6 2 2

2

6 2 m .

Sabendo que QS

OQ 3 2,2

pelo Teorema de

Pitágoras aplicado ao triângulo VOQ, obtemos

2 2 2 2 2 2

2 2

VQ VO OQ VQ 2 (3 2)

VQ 22 m .

Portanto, como os pontos V, S e Q pertencem a

um círculo máximo da esfera e VS VQ, tem-se

VS VQ QS 22 6 2(VSQ) 6 2

4R 4R

11R m.

2



[B] Resposta da questão 14:

[E]

Considerando a a medida da aresta do cubo, temos:

AH a 3

AF a 2

O triângulo AHF é retângulo em F, e em todo triângulo retângulo o produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos, então:

a 3 4 6 a 2 a a 0 (não convém) ou a 12.

A razão entre o volume e a área total será dada por:

3

2

122.

6 12


a) Como PQRE é tetraedro regular, segue que

EQR é um triângulo equilátero. Logo, QER rad3

π

e, portanto, REF rad,6

π pois EFGH é retângulo.

Por conseguinte, dado que ER 6cm, segue que o

comprimento do arco RF é 6 cm.6

ππ

b) Sabendo que a altura de um tetraedro regular de

aresta é dada por 6

,3

e que a altura do

tetraedro PQRE é igual à altura do paralelepípedo

ABCDEFGH, obtemos


Página 13 de 19

6 6

AE 2 6 cm.3

Se RF é um arco de circunferência de centro E,

então EF ER 6cm. Além disso, do triângulo

retângulo EFG, vem

FG FGtgFEG tg60

6EF

FG 6 3 cm.

Portanto, o volume do paralelepípedo é dado por

3

EF FG AE 6 6 3 2 6

216 2 cm .



Logo, a área do triângulo BDE será dada por:

1 2 615 61.

2 5

a) A 3 2 /2 3.

b) V 1/3 3 4 4.

c) 1 12 12 61

61 AQ 4 AQ .3 61 61



[D] V = Volume do porta-joias Vc = Volume do cubo Ve = Volume da esfera. V = Vc - Ve

3 34V 10 4

3π

V = 1000 – 256 V = 744 cm3 Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.

m0,85 m 632,4 g 632 g

744

Resposta da questão 20: [A] Resposta da questão 21: [A] Considere a figura.

Como qualquer uma das faces do tetraedro VABC é

um triângulo equilátero de lado 2 2, segue que a

área pedida é dada por

2(2 2) 32 3 u.a.

4


[B] Resposta da questão 23:

[B] A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo

da figura é dada por mdc(8, 36, 20) 4. Portanto, o

resultado pedido é dado por

8 36 202 9 5 90.

4 4 4

Resposta da questão 24: [E]

Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto,

temos EF AB e EH AD. Portanto, segue que o resultado pedido é dado por


Página 14 de 19

4 1 4 1[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)

3 3 3 3

3 SA 9 2 4 (2 SA)

SA 10cm.

Resposta da questão 25: [B]

Considere a figura, em que O é o centro da Terra,

BOC μ é a latitude do ponto C e CD é a linha

inclinada do relógio solar.

Como AOB ACO 90 , segue-se que

AOC 90 μ e, portanto, OAC .μ Agora, sabendo

que CD OA, tem-se ACD ,μ que é o resultado

pedido. Resposta da questão 26: [B] Seja a medida da aresta do cubo. Logo, seu volume

é igual a 3. Por outro lado, o volume do tetraedro

descrito é dado por 31

.3 2 6

Portanto, a razão

pedida é igual a 1

.6

Resposta da questão 27: [D]

22 2 2 22 2a a 3 3a a 2.a a 2

d d d d2 2 4 4 4 2


[E]

V = b

1A .h

3

V = 31 6.r 3

. .r3 4

V=3r 3

2


[D] O baricentro divide a mediana na razão 2 para 1

Secção transversal = quadrado (maior) destacado

9

2

2

1 pedida Área

9

4

9

4

13

2

sec

secsec

2sec

A

AA

k

k

A

A

base


[C] Resposta da questão 31:

[E] Resposta da questão 32:

[E]


Página 15 de 19

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

22 2 2 2

ABF y 4 2 y 20 y 2 5

EHF z 4 2 z 20 z 2 5

EHA x 2 2 x 8 x 2 2

Lei dos Cossenos :

z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa

18 10 cosa 8 cosa

10

1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a10 1010 10

Resposta da questão 33: [B]

22 2 2

3

V a b c

ab 2

bc 3

ac 4

ab bc ac a b c 2 3 4 a b c 24

V 24 2 6 cm


Tem-se que HE, HI, GI e EG são, respectivamente,

as bases médias dos triângulos ABD, BCD, ACD e

ABC. Logo, temos HE HI GI EG 3cm.

Ademais, como DIFH e AEFG são losangos

congruentes, vem HF FI EF FG 3cm.

Portanto, sendo AD e BC ortogonais, podemos

concluir que as faces laterais da pirâmide FEHIG são

triângulos equiláteros e sua base é um quadrado. a) É imediato que

223 3 9 3

(EIH) cm .4 4

b) Conforme mostramos acima, EGIH é um quadrado

e, portanto, vem 2 2(EGIH) 3 9cm .

c) Se O é a projeção ortogonal de F sobre o plano

que contém a base EGIH, tem-se que o o raio do

círculo circunscrito é 3 2

OE cm.2

Daí, pelo

Teorema de Pitágoras, segue que

2 2 2 2 2 3 2FO OE FE FO 3

2

3 2FO cm.

2

A resposta é

2 31 3 2 9 23 cm .

3 2 2

Resposta da questão 35: [B] Sendo x a medida de uma das arestas do tetraedro regular, temos:

2

2

14 x x sen60 48 3

2

32x 48 3

2

x 48

Como x 0, x 4 3 cm.

Observe o tetraedro regular abaixo:

No triângulo EBF,

ytg30

BF

Mas, BF 2 3, logo,

3y 2 3

3

y 2

No triângulo AFD,

zsen60

AD

Mas, AD 4 3, logo,

3z 4 3

2

z 6


Página 16 de 19

No triângulo AFE,

2 2 2

2 2 2

2

z y h

6 2 h

h 32

Como h 0,

h 4 2 cm


[A]

Se g é a geratriz do cone, então

2 g 2 2 6 g 12cm.π π

Logo, sendo h a altura do cone, vem 2 2 2h 12 6 h 6 3 cm.

A resposta é dada por

236 6 3

72 3 cm .3

ππ


[C] De acordo com o enunciado:

Considerando:

V volume total do cone

v ' volume cheio (tronco)

v '' volume vazio (topo)

H 12 altura total

h 6 altura topo / altura tronco

Pode-se calcular:

3 3

2 2

3

3

V H 12 VV 8v ''

v '' h 6 v ''

V 7v ' v '' V v ' V v ' V

8 8

1 1V R H 3,14 4 12 V 200,96

3 3

7 7v ' V 200,96 v ' 175,85 m

8 8

Tempo : 500 L / min 0,5 m / min

1min

π

30,5 m

t 3175,85 m

t 351,7 min 5h e 50 min


O perímetro da superfície S é

2 22 6 6 12 12 ( 1)cm.

3 3

π ππ

A área da superfície S é igual a

2 2 2120 (12 6 ) 36 cm .360

ππ

A altura, h, do cone de raio 4cm e geratriz 12cm é

dada por 2 2 2h 12 4 h 8 2cm.

Logo, o volume, V, desse cone é

2 31 128 2V 4 8 2 cm .

3 3

ππ

Por outro lado, sendo 6 1

k12 2

a razão de

semelhança entre os dois cones e v o volume do cone menor, temos

3v 1 V

v .V 2 8

Portanto, o volume do tronco de cone, tV , é

t

3

V V v

7V

8

7 128 2

8 3

112 2cm .

3

π

π

Resposta da questão 39: a) Com os dados do enunciado pode-se escrever:

3 2 21 2 3S S S a a b a b

Desenvolvendo esta equação, tem-se:


Página 17 de 19

3 2 2 2 2 2 2

22 22

2 2 2

a a b ab 0 a a ab b 0 a ab b 0

a ab b a a0 1 0 r r 1 0

b bb b b

1 5r (não convém, r 0)

21 4 1 ( 1) 5

1 5r

2

b) Sendo a soma das medidas de todas as arestas

dos três sólidos igual a 60, pode-se escrever:

12a 8a 4b 8b 4a 60 24a 12b 60 2a b 5

A soma das áreas dos três sólidos pode ser escrita como:

22 2 2 2 2 2 2

T TA 6a 2a 4ab 2b 4ab 8a 8ab 2b 2 4a 4ab b A 2 2a b

Mas 2a b 5, logo:

2 2

T TA 2 5 A 50 cm


[D] A área total do paralelepípedo é dada por

22 (4 3 4 1 3 1) 38 m .

Após a divisão, foram acrescentadas duas faces

retangulares de dimensões 5 m e 1m. Logo, o

acréscimo na área externa foi de 22 5 1 10 m e,

portanto, a resposta é

10100% 26%.

38

Resposta da questão 41: [A] Considere a figura.

Sejam Q, R e S, respectivamente, as interseções de

α com as arestas BC, BD e AD. Desde que α é

paralelo à aresta AB, temos SR e PQ paralelos a

AB. Analogamente, concluímos que PS e QR são

paralelos a CD. Ademais, sabendo que arestas

opostas de um tetraedro regular são ortogonais, tem-

se que o quadrilátero PQRS é um retângulo.

Sendo ABCD regular, os triângulos APS e CQP são

equiláteros, e, portanto, a área pedida é igual a 23 7 21m .


[A]

Calculando o volume do cone, temos:

2 21R 6 128 R 64 R 8

3π π

Determinando a geratriz do cone, temos:

2 2 2g 6 8 g 10

Logo, sua área total será dada por:

2 2 2TA R g R 8 10 8 144 cmπ π π π π


a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar

a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da

Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto

M a localização de Moscou:

Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se

que os arcos BA e CM são iguais e delimitados

pelo raio R da terra e um ângulo de

72 (56 16 ). Assim, pode-se calcular a distância

vertical percorrida por ambos os aviões:

72 R 2 RBA CM

180 5

π π


Página 18 de 19

Para calcular a distância horizontal BC basta

considerar um arco de circunferência delimitado

pela distância de B até o eixo da terra e por um

ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:

B Eixo B EixoB Eixo

dist distcos16 0,96 dist 0,96R

R R

85 0,96R 16,32 RBC BC

180 36

π π

Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado

pela distância de A até o eixo da terra e por um

ângulo de 85 (48 37 ). Assim, pode-se escrever:

A Eixo A EixoA Eixo

dist distcos56 0,56 dist 0,56R

R R

85 0,56R 9,52 RAM AM

180 36

π π

Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões:

2 R 9,52 R 119,6 RAvião 1 BA AM

5 36 180

16,32 R 2 R 153,6 RAvião 2 BC CM

36 5 180

π π π

π π π

Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância.

b) A diferença das distâncias percorridas será igual a:

153,6 R 119,6 R 34 R 34 6400Avião 2 Avião 1 1208,9 km

180 180 180 180

π π π ππ

Resposta da questão 44: [A]

Sejam r e R, respectivamente, o raio da esfera e o

raio do cilindro. Sabendo que a relação entre o raio da esfera circunscrita ao cilindro equilátero e o raio do cilindro é

r R 2, temos

33

3

3

4r

2 r 2 4 23 ( 2) .3 R 3 32 R

π

π

Resposta da questão 45: [A] Com os dados do enunciado, pode-se calcular:

22

prisma

3 33

prisma

x 3V 2 4 3 x x

4

x xV 2 4 3 4 3 2 x 8 x 2

4 4


[E]

Sabendo que 2(12 2x) x 18 m , vem

2 2x 6x 9 0 (x 3) 0 x 3 m.


a) EM x 1

2

2 2 2

No MAB: BM x 1

No EMH: HM x 1 1 x 2x 2

HB 3 (diagonal do cubo)

Δ

Δ

Aplicando agora, o teorema dos cossenos no

MHO,Δ temos: 2 22 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

3 x 2x 2 x 1 2 x 2x 2 x 1 cos

3 x 2x 2 x 1 2 x 2x 2 x 1 cos

x xcos

x 2x 2 x 1

θ

θ

θ

b) Como 2

x 2x 2 e 2x 1 são positivos para

todo x real, concluímos que θ será obtuso se, e

somente se: 2x x 0 0 x 1.

Portanto, x / 0 x 1 .

c) 12 144

x 4 cos170 170

θ

2 1 85 85cos45

2 2 85 170

Como cos cos45 45 .θ θ

Resposta da questão 48: [C] O volume de água captado corresponde a

8 10 10 800 litros. Portanto, como a capacidade do

tanque de armazenamento é igual a


Página 19 de 19

32 2 1 4 m 4000 litros, segue-se que o resultado

é 800

100 20%.4000


O volume V do sólido restante será dado pelo volume

do sólido inicial (i)V e o sólido retirado (r)V .

(i) (

3

r)V V V

V 8 10 12 2 3 4 2 3 12 2

V 960 24 72 24

V 960 120

3

4

4

V 8 0 m

Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas: Área das faces externas paralelas à face A:

21A 2 (8 10 2 3) 148m

Área das faces internas paralelas à face A: 2

2A 4 (4 3) 48m

Área das faces externas paralelas à face B: 2

3A 2 (12 8 2 3) 180m

Área das faces internas paralelas à face B: 2

4A 4 3 5 60m

Área das faces externas paralelas à face C: 2

5A 2 12 10 240m

Área das faces internas paralelas à face C: 2

6A 2 (2 10 2 2 5) 80m

Portanto, a área total será dada por:

21 2 3 4 5 6A A A A A A A 148 48 180 60 240 80 756 m

Resposta da questão 50: [C] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] Cálculo do volume da grafita:

3 1

1

cilindro

2cilindro

1 2cilindro

3cilindro

3grafita

3

diâmetro 2 mm de espessura 2 10 m 2 10 cm

raio 1mm de espessura 10 m

altura 15 cm

V (Área da base) (altura)

V r h

V (10 ) 15

V 0,471 cm

d 2,2 g / cm

1 cm

π

π

3

2,2 g

0,471 cm grafita

grafita

m

m 1,0362 g

12 g de grafita

236,0 10 átomos de carbono

1,0362 g de grafita

22

x

x 5,18 10 átomos de carbono

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

Tem-se que o volume de grafite é dado por

2 2

3

d 0,2h 3,14 15

2 2

0,47cm .

π

Daí, sabendo que a densidade da grafita é 32,2 g cm ,

vem que a massa de grafite é igual a

m 2,2 0,47 1,03 g.

Portanto, sendo n o número de átomos de carbono presentes nessa grafite, temos

22

23

12n 1,03 n 5 10 .

6 10

Resposta da questão 51: [D] Seja r o raio da esfera. Tem-se que

24 r 2 R (R R) r R.π π


[B] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática]

O antípoda do ponto dado tem latitude x graus sul e

longitude (180 y) graus oeste.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Geografia]

Como a latitude é definida pela distancia à Linha do Equador, o antípoda do ponto com latitude x graus norte será de x graus sul. Já a longitude é definida pela distancia ao Meridiano de Greenwich num

intervalo entre 180 leste e 180 oeste e, portanto, se

a longitude do ponto é de y graus leste, sua antípoda

será 180 y a oeste.

3, - gieducacional.com.br · Imersão Matemática – Geometria Espacial Página 1 de 19 1....

Documents

Transcript of 3, - gieducacional.com.br · Imersão Matemática – Geometria Espacial Página 1 de 19 1....