3 Algoritmo das Medidas Corretivas

3.1 Introdução

Conforme apresentado no Capítulo 2, o algoritmo das Medidas Corretivas compõe o

conjunto das etapas responsáveis pela análise de desempenho do sistema de potência.

Basicamente, durante a análise de um estado do sistema, após a etapa da pós-solução

pode-se caracterizar o estado selecionado como de “sucesso” ou “falha”.

Um estado é classificado como de sucesso se, após a solução do fluxo de potência, todas as

cargas são atendidas sem nenhuma violação de limites de tensão nas barras do sistema ou

de carregamento de seus componentes. Neste caso as medidas corretivas não são

necessárias. Em contrapartida, a classificação de um estado como de falha ocorre se, após

a solução do fluxo de potência, alguma barra do sistema apresenta desvio de tensão

indesejável à operação normal do sistema, violação nos fluxos de potência ativa nos

circuitos, na geração de potência reativa nas barras de geração e de potência ativa na barra

de referência.

O algoritmo das Medidas Corretivas é formado por um conjunto de ações de controle que

permite ao sistema voltar a um ponto de operação adequado, i.e., sem restrições violadas.

Em outras palavras, as medidas corretivas determinam mudança no ponto de operação

capazes de conduzir um estado inicialmente de falha a um estado de sucesso.

As primeiras ações adotadas compreendem: atuação de controles sobre as potências e

tensões de saída dos geradores e taps de transformadores. Se o objetivo não for atendido

com estas ações, medidas como corte de carga ou injeção de potência reativa serão

acionadas tentando evitar maiores problemas para a operação do sistema sob condições de

contingências.

A determinação das medidas corretivas pode ser formulada como um problema de

otimização de grande porte, que corresponde ao fluxo de potência ótimo - FPO - em

sistemas de potência.

22

3.2 Fluxo de Potência Ótimo – FPO

Inicialmente será feita uma recapitulação da teoria básica de Fluxo de Potência.

3.2.1 Fluxo de Potência

O cálculo do fluxo de potência de uma rede de energia elétrica consiste na determinação do

estado da rede e na distribuição dos fluxos [Monticelli, 1983].

Num sistema de energia elétrica podem ser classificados dois tipos de componentes,

internos e externos. Os componentes internos são aqueles ligados entre dois nós da rede

como linhas de transmissão, transformadores, etc. Os componentes externos são aqueles

que injetam potência nos nós da rede, ligados entre um nó qualquer e a terra, como os

geradores, cargas, capacitores, etc.

A conservação das potências ativa e reativa em cada nó da rede, formulada com base na

primeira lei de Kirchhoff, define o conjunto de equações básicas de fluxo de potência. Estas

equações estabelecem que a potência líquida injetada em cada nó deve ser igual à soma

das potências que fluem pelos componentes internos que têm este nó como um de seus

terminais.

Cada barra do sistema de energia elétrica pode ser representada por quatro variáveis

básicas, definidas abaixo:

θi - ângulo da tensão na barra i

Vi - módulo da tensão na barra i

Pi - potência ativa líquida injetada na barra i

Qi - potência reativa líquida na barra i

Na resolução do problema de fluxo de potência definem-se três tipos de barras de acordo

com as variáveis que são definidas e as que são calculadas, isto é, as que entram como

dados e como incógnitas, respectivamente. Os tipos de barra são descritos a seguir:

23

• Barra PQ – são dados Pi e Qi e calculados Vi e θi, conhecidas também como barra de

carga;

• Barra PV – são dados Pi e Vi e calculados Qi e θi, conhecidas também como barra de

geração;

• Barra Vθ – são dados Vi e θi e calculados Pi e Qi, conhecida também como barra de

referência. Esta barra fecha as equações de balanço do sistema, levando em conta

as perdas de transmissão desconhecidas a priori.

A modelagem do sistema é estática, ou seja, a rede é representada por um conjunto de

equações e inequações algébricas, formulando o problema geral de fluxo de potência da

seguinte forma:

g(x,y) = 0 (3.1)

h(x,y) ≤ 0 (3.2)

onde:

x – variáveis de estado (incógnitas)

y – variáveis de controle (valores especificados)

As restrições de igualdade (3.1) são compostas de duas equações para cada barra:

LiGij

ij PPP −=∑Ω∈

(3.3)

∑Ω∈

+=j

LiGiij QQQ (3.4)

onde:

Ωi - conjunto das barras ligadas à barra i

Pij - fluxo de potência ativo no circuito i-j

Qij - fluxo de potência reativo no circuito i-j

PGi - potência ativa gerada na barra i

24

QGi - potência reativa gerada na barra i

PLi - carga ativa na barra i

QLi - carga reativa na barra i

As equações gerais dos fluxos de potência ativa e reativa são:

( ) ( )[ ]ijijijijijijjiijij2i

2ijij senbcosgVVagVaP ϕ+θ+ϕ+θ−= (3.5)

( ) ( )[ ]ijijijijijijjiijij2jji senbcosgVVagVP ϕ+θ−ϕ+θ−= (3.6)

( ) ( ) ( )[ ]ijijijijijijjiijshijij2i

2ijij cosbsengVVabbVaQ ϕ+θ−ϕ+θ−+−= (3.7)

( ) ( ) ( )[ ]ijijijijijijjiijshijij2jji cosbsengVVabbVQ ϕ+θ+ϕ+θ++−= (3.8)

onde :

θij - diferença angular θi - θj

aij - tap do transformador i-j

ϕij - ângulo de defasamento no circuito i-j

gij - condutância série no circuito i-j

bij - susceptância série no circuito i-j

bshij - metade da susceptância shunt no circuito i-j

No caso de linhas de transmissão aij = 1 e ϕij = 0, para os transformadores em fase bshij = 0 e

ϕij = 0, para os defasadores puros bshij = 0 e aij = 1 e para os defasadores bshij = 0.

As inequações de restrições de desigualdade associadas a (3.2) são as restrições

operacionais relativas às magnitudes das tensões nas barras PQ, às potências ativas e

reativas nas barras PV, tap de transformadores e de fluxos de circuitos.

maxii

mini VVV ≤≤ (3.9)

maxGiGi

miniG PPP ≤≤ (3.10)

maxGiGi

minGi QQQ ≤≤ (3.11)

maxijij

minij PPP ≤≤ (3.12)

25

maxijij

minij QQQ ≤≤ (3.13)

maxijij

minij aaa ≤≤ (3.14)

Os algoritmos de resolução do problema de fluxo de potência podem ser divididos em duas

partes. A primeira corresponde a um processo iterativo que resolve o sistema de equações

pelo método de Newton-Raphson [Tinney,1967], por exemplo. A segunda, considera a

atuação dos dispositivos de controle e a representação dos limites de operação do sistema.

As duas partes são resolvidas intercalando a solução das equações básicas com a

representação dos controles operativos.

3.2.2 Fluxo de Potência Ótimo – Modelagem do Problema

O problema geral de fluxo de potência ótimo pode ser definido como sendo a determinação

de um ponto de operação de um sistema de potência que otimiza uma função objetivo e

satisfaz um conjunto de restrições físicas e de operação [CEPEL,1998].

Caracterizado como um problema de programação não-linear com várias restrições, pode-se

formular matematicamente o problema de fluxo de potência ótimo da seguinte forma:

Min f(x) (3.15)

s.a.

h(x) = 0

g(x) ≤ 0

l ≤ x ≤ u

onde:

x - vetor das variáveis do sistema

h(x) - restrições de igualdade

g(x) - restrições de desigualdade

l, u - limites inferior e superior sobre os controles

26

As restrições de igualdade correspondem à modelagem estática da rede (equações de

balanço de fluxo de potência ativa e reativa na barras do sistema), e as restrições de

desigualdade aos limites para as variáveis do problema (limitações físicas dos equipamentos

e critérios de operação e segurança).

3.2.2.1 Funções Objetivo

As funções objetivo do problema de fluxo de potência podem ser lineares ou não-lineares,

dependendo do tipo de aplicação. São apresentadas, a seguir, as funções objetivo mais

comuns e seus modelos matemáticos.

• Mínima perda

∑Ω∈

+=cj,i

jiij )PP(f

onde:

ΩC - conjunto de circuitos do sistema

Pij, Pji - fluxo ativo nos circuitos i-j, j-i

As expressões dos fluxos Pij e Pji são relativas às formulas (3.5) e (3.6), respectivamente.

Note que Pij + Pji é igual a perda no circuito i-j.

• Mínimo Corte de Carga

∑Ω∈

−=ci

LiiFCi P).FC1.(Cf

onde:

ΩC - conjunto de barras de carga

CFCi - custo de corte de carga na barra i

FCi - fração de carga efetiva na barra i (em pu)

PLi - carga original da barra i

27

Para:

CFCi = 1, calcula-se o mínimo corte de carga

CFCi ≠ 1, calcula-se o mínimo custo de corte de carga

• Mínimo Custo de Geração Ativa

∑Ω∈

=Gi

Gii P.CPf

onde:

ΩG - conjunto de geradores controláveis de potência ativa

CPi - custo de geração ativa do gerador i

PGi - geração ativa do gerador i

• Mínimo Custo de Alocação de Potência Reativa

∑ ∑Ω∈ Ω∈

+=Qc Qii i

IiIiCiCi Q.CQQ.CQf

onde:

ΩQc - conjunto de barras de alocação capacitiva de potência reativa

CQCi - custo de alocação de potência reativa capacitiva na barra i

QCi - potência reativa capacitiva alocada na barra i

ΩQi - conjunto de barras de alocação de potência reativa indutiva

CQIi - custo de alocação de potência reativa indutiva na barra i

QIi - potência reativa indutiva alocada na barra i

• Mínimo Custo de Alocação de Potência Ativa

∑Ω∈

=pi

Aii P.CPf

onde:

Ωp - conjunto de barras de alocação de potência

CPi - custo de alocação de potência ativa da barra i

PAi - potência ativa alocada na barra i

28

• Mínimo Desvio de Potência Ativa Gerada

( )2i

GiGiG

PP..21f ∑

Ω∈−ρ=

onde:

ΩG - conjunto de geradores controláveis de potência ativa

ρ - peso associado ao desvio de potência ativa

PGi - geração ativa no gerador i

GiP - geração ativa inicial no gerador i

• Mínimo Desvio de Ângulo de Defasamento

( )2j,i

ijij21f ∑

ϕΩ∈ϕ−ϕρ=

onde:

Ωϕ - conjunto de circuitos com controle de ângulo de defasamento

ρ - peso associado ao desvio de ângulo de defasamento

ϕij - ângulo de defasamento no circuito i-j

ijϕ - ângulo de defasamento inicial no circuito i-j

• Mínimo Desvio de Tensão

( )2Ii

ii VV21f ∑

∈−ρ=

onde:

Ω - conjunto de barras do sistema

ρ - peso associado ao desvio de tensão

Vi - tensão da barra i

iV - tensão inicial da barra i

29

• Mínimo Desvio de Tap

( )2j,i

ijijT

aa21f ∑

Ω∈−ρ=

onde:

ΩT - conjunto de transformadores controláveis

ρ - peso associado ao desvio de tap

aij - tap do transformador i-j

ija - tap inicial do transformador i-j

• Mínimo Desvio de Intercâmbio

( )2i

iiI

ITIT21f ∑

Ω∈−ρ=

onde:

ΩI - conjunto de áreas de intercâmbio

ρ - peso associado ao intercâmbio entre áreas

ITi - intercâmbio da área i

iIT - intercâmbio inicial da barra i

• Mínimo Desvio de Ponto de Operação

Esta função objetivo é uma combinação das funções objetivo de desvio apresentadas

anteriormente.

3.2.2.2 Restrições de Igualdade

As equações de restrições de igualdade básicas do FPO correspondentes à (3.3) e (3.4) do

fluxo de potência são as equações de balanço de potência ativa e reativa:

30

∑Ω∈

+−=ij

AiLiiGiij PP.FCPP (3.16)

∑Ω∈

−+−+=ij

Liishi2iIiCiGiij Q.FCb.VQQQQ (3.17)

onde:

Ωi - conjunto de barras ligadas à barra i

Pij - fluxo ativo no circuito i-j

Qij - fluxo reativo no circuito i-j

PGi - potência ativa gerada na barra i

QGi - potência reativa gerada na barra i

PLi - carga ativa na barra i

PAi - alocação de potência ativa na barrai

QLi - carga reativa na barra i

QCi - alocação de potência reativa capacitiva na barra i

QIi - alocação de potência reativa indutiva na barra i

Vi - módulo de tensão na barra i

bshi - susceptância shunt na barra i

FCi - fator de carga (em pu) na barra i

Nas equações apresentadas, os fatores de variação das cargas em relação à tensão são

considerados nulos em cada barra da rede. As equações dos fluxos ativos Pij e Pji

correspondem à (3.5) e (3.6), assim como os fluxos reativos Qij e Qji à (3.7) e (3.8),

respectivamente.

3.2.2.3 Restrições de Desigualdade

As inequações de restrições de desigualdade do FPO correspondem às restrições de

canalização e limites operativos.

• Módulo de Tensão: maxii

mini VVV ≤≤

31

• Potência Ativa Gerada: maxGiGi

minGi PPP ≤≤

• Potência Reativa Gerada: maxGiGi

minGi QQQ ≤≤

• Potência Reativa Capacitiva Alocada: maxCiCi QQ0 ≤≤

• Potência Reativa Indutiva Alocada: maxLiLi QQ0 ≤≤

• Potência Ativa Alocada: maxAiAi PP0 ≤≤

• Tap do Transformador: maxijij

minij aaa ≤≤

• Ângulo de Defasamento: maxijij

minij ϕ≤ϕ≤ϕ

• Rejeição de Carga: 1FC0 i ≤≤

• Intercâmbio entre Áreas: maxkk

mink ITITIT ≤≤

• Máximo Carregamento nos Circuitos: 2max

ij2ij

2ij SQP ≤+ ou max

ijijmaxij SPS ≤≤−

3.3 Mínimo Corte de Carga

A medida corretiva de mínimo corte de carga é um problema de otimização para estabelecer

o montante de corte de carga capaz de reconduzir o sistema a um estado operativo aceitável

tanto no caso base como em contingência.

32

3.3.1 Formulação Básica do Problema [CEPEL, 1998]

O problema de FPO cuja função objetivo é a minimização do corte de carga, pode ser

formulado do seguinte modo:

Min PT .ω (3.18)

s.a.

∑Ω∈

−=ij

LiiGiij P.FCPP , i = 1,...,n (3.19)

∑Ω∈

−+=ij

Liishi2iGiij Q.FCb.VQQ , i = 1,...,n (3.20)

1FC0 i ≤≤ , FC = (1-ω) (3.21)

maxii

mini VVV ≤≤

maxGiGi

miniG PPP ≤≤

maxGiGi

minGi QQQ ≤≤

onde:

P - vetor de cargas ativas;

ω - vetor que representa a fração de carga cortada em cada barra;

Ωi - conjunto de barras ligadas à barra i;

Pij - fluxo ativo no circuito i-j;

Qij - fluxo reativo no circuito i-j;

PGi - potência ativa gerada na barra i;

QGi - potência reativa gerada na barra i;

PLi - carga ativa na barra i;

QLi - carga reativa na barra i;

Vi - módulo de tensão na barra i;

bshi - susceptância shunt na barra i;

FCi - fator de carga ( em pu) na barra i;

No problema apresentado, as restrições de igualdade (3.19) e (3.20) correspondem à

modelagem estática da rede (equações de balanço de fluxo de potência ativa e reativa na

33

barra i), e as restrições de desigualdade (3.21) aos limites para as variáveis do problema

(limitações físicas dos equipamentos e critérios de operação e segurança).

É interessante observar que cada componente do vetor “ω” deve ser maior ou igual a zero e

menor ou igual a 1. Na solução ótima do problema ωi = 0 para i = 1, ...N, pois neste caso

nenhuma carga é cortada.

Todas as variáveis de controle podem ser inibidas na otimização, porém se a otimização de

controles é permitida as variáveis correspondentes deverão estar dentro de limites.

3.4 Mínima Injeção de Potência Reativa [CEPEL, 2000]

A medida corretiva de mínima injeção de potência reativa é um problema de otimização para

a localização e dimensionamento de novos equipamentos de compensação reativa, que

permite ao sistema operar em um ponto viável tanto no caso base como em contingência.

O problema de mínima injeção de potência reativa é decomposto em dois subproblemas:

• investimentos e operação de caso base

• operação das contingências.

Os dois subproblemas são resolvidos através de uma implementação customizada de um

algoritmo de pontos interiores primal-dual [Granville,1993]. Durante todo o processo

considera-se que o despacho de potência ativa fornecido é mantido inalterado (exceto na

barra de referência), pois considera-se que o sistema opera próximo do ponto de operação

econômico.

A solução do problema é feita de forma interativa. Inicialmente, uma proposta de alocação de

novos equipamentos é enviada pelo subproblema integrado de investimento e operação de

caso base para ser analisada pelo subproblema de operação de contingências. Após a

análise, se não for constatada nenhuma violação operativa na operação de contingências o

processo é finalizado. Caso contrário, informações sobre as violações são enviadas ao

subproblema integrado de investimento e operação de caso base para serem resolvidas

34

novamente. O processo termina quando um plano de expansão ótimo é atingido, ou seja, um

plano com custo mínimo e ponto de operação de caso base que não cause nenhuma

violação operativa nas contingências.

3.4.1 Formulação Matemática do Problema

O objetivo é determinar a melhor maneira de se alocar novos equipamentos de

compensação reativa em uma rede sujeita a um conjunto de restrições operacionais.

Consideram-se duas configurações de rede, caso base e contingência. O equipamento a ser

instalado é do tipo derivação fixo e todos os controles podem ser otimizados do caso base

para as contingências.

O problema de injeção de potência reativa pode ser formulado como:

∑∑Ω∈Ω∈

×+×iI

LiIici

iCi QCQQCCQMin (3.22)

s.a.

∑Ω∈

−=ij

LiGiij PPP (3.29)

∑Ω∈

−+−=ij

IiCiLiGiij QQQQQ (3.30)

maxii

mini VVV ≤≤ (3.31)

maxGiGi

minGi QQQ ≤≤

maxCiCi QQ0 ≤≤

maxIiIi QQ0 ≤≤

maxijij

minij aaa ≤≤

onde:

ΩC - o conjunto de barras candidatas à alocação de potência reativa capacitiva;

ΩI - o conjunto de barras candidatas à alocação de potência reativa indutiva;

35

Ωi – o conjunto de barras ligadas à barra i;

QCi, QIi - capacidades adicionais de fontes de potência reativa capacitiva / indutiva,

respectivamente, a serem instaladas na barra i;

CQCi, CQIi - custos de investimentos na adição de fontes de potência reativa capacitiva /

indutiva, respectivamente, na barra i;

Pij – fluxo ativo no circuito i-j;

PGi - potência ativa gerada na barra i;

PLi - carga ativa na barra i;

Qij – fluxo reativo no circuito i-j;

QGi - potência reativa gerada na barra i;

QLi - carga reativa na barra i;

Vi – magnitude da tensão na barra i;

Vimin, Vi

max – valores mínimo e máximo da magnitude da tensão permitido na barra i;

QGimin, QGi

max – capacidades mínima e máxima para a geração de potência reativa na

barra i;

QCimax, QIi

max – capacidades máximas adicionais de fontes de potência reativa

capacitiva/ indutiva, respectivamente, a serem instaladas na barra i;

aij – tap do transformador do circuito i-j;

aijmin, aij

max – valores mínimo e máximo para o tap do transformador do circuito i-j.

No problema apresentado (3.22), as equações de balanço de fluxo de potência ativa e

reativa nas barras i são representadas por (3.23) e (3.24). As restrições de desigualdade

(3.25) representam os limites para as variáveis de controle: geração de potência reativa,

tensão de geradores, taps dos LTCs e as variáveis de alocação de potência reativa

capacitiva e indutiva.

3.5 Resolução do Problema de FPO utilizando Método de Pontos Interiores

Inicialmente formulado por J. Carpentier [Carpentier,1962], o fluxo de potência ótimo tem

sido solucionado por vários métodos, destacando-se: método do gradiente reduzido de

Dommel e Tynney [Dommel,1968], método das Injeções Diferenciais [Carpentier,1973],

36

método de Newton [Sun,1984], método de Programação Linear Sucessiva [Alsaç,1990], e o

método de Pontos Interiores [Granville,1993] e [Latorre,1995].

A aplicação do Método de Pontos Interiores pode ser feita de duas maneiras. A primeira

estratégia é utilizar o método no problema de programação linear obtido na linearização das

equações de fluxo de potência na solução do algoritmo de fluxo de potência. A segunda, que

é a utilizada, consiste em aplicar o método de pontos interiores ao problema de programação

não-linear original (FPO), é conhecido como Método dos Pontos Interiores Direto.

A utilização do Método de Pontos Interiores Direto para a resolução do FPO se deve as

seguintes características:

• número reduzido de iterações para alcançar a solução ótima;

• não depende da convergência do algoritmo de fluxo de potência, pois no esquema

iterativo as equações de fluxo de potência só devem ser atendidas na solução ótima;

• eficiência na resolução de sistemas mal condicionados e com problemas de tensão.

O problema de FPO apresentado em (3.15), sem perda de generalidade, pode ser formulado

como:

Min f(x) (3.26)

s.a.

h(x) = 0

l ≤ x ≤ u

onde:

h(x) - equações de balanço e restrições funcionais

l, u - limites das variáveis de controle, variáveis de estado e folgas associadas

Incluindo as variáveis de folga nas restrições de desigualdade tem-se:

37

Min f(x) (3.27)

s.a.

h(x) = 0

x – s1 = l

x + s2 = u

s1 , s2 ≥ 0

O método primal-dual associa as funções barreira logarítmica à função objetivo e o

problema original é transformado em uma sequência de problemas parametrizados pelo

parâmetro barreira µ (µ > 0). Tem-se então:

Min ∑ ∑= =

µ−µ−n,1i n,1i

i2i1 slogslog)x(f (3.28)

s.a.

h(x) = 0

x - s1 = l

x + s2 = u

Para cada valor do parâmetro barreira, (3.28) fornece um ponto sobre a trajetória central no

interior da região viável com relação às restrições de canalização.

Condições de Otimalidade

Pelas condições de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)

[Bazaraa,1979], tem-se a seguinte função Lagrangeana associada a (3.28):

∑ ∑= =

−+γ−−−γ−λ−µ−µ−=γγλn,1i n,1i

2T21

T1

Ti2i12121 )usx()lsx()x(hslogslog)x(f)s,s,,,,x(L

(3.29)

A equação (3.35) tem em (x, λ, γ1, γ2, s1, s2) um ponto estacionário que satisfaz:

(∇Lx) ∇f(x) - λT∇h(x) - γ1 - γ2 = 0 (3.30)

(∇Lλ) h(x) = 0 (3.31)

38

(∇Lγ1) x - s1 - l = 0 (3.32)

(∇Lγ2) x - s2 - u = 0 (3.33)

(∇Ls1) µe - S1 γ1 = 0 (3.34)

(∇Ls2) µe + S2 γ2 = 0 (3.35)

onde:

∇f - gradiente da função objetivo em x;

∇h - gradiente das restrições de igualdade em x;

λ - multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade;

γ1 - multiplicadores de Lagrange associados ao limite superior;

γ2 - multiplicadores associados ao limite inferior;

e - vetor de componentes unitários;

S1 - matriz diagonal de componentes (xi - li);

S2 - matriz diagonal de componentes (ui - xi);

λ, γ1, γ2 - são chamados também de variáveis duais.

Resolução do Sistema de Equações

Aplicando o método de Newton-Raphson ao sistema (3.30) – (3.35) obtém-se o seguinte

sistema de equações de segunda ordem:

(∇2f(x) - λT∇2h(x)) ∆x - ∇h(x) ∆λ - ∆γ1 - ∆γ2 = - t (3.36)

∇Th(x) ∆x = - h(x) (3.37)

∆x - ∆s1 = - (x - s1 - l) (3.38)

∆x + ∆s2 = - (x + s2 - u) (3.39)

-Γ1∆s1 - S1∆γ1 = - (µe - S1 γ1) (3.40)

Γ2∆s2 + S2∆γ2 = - (µe + S2 γ2) (3.41)

com :

t = ∇f(x) - λT∇h(x) - γ1 - γ2

Γ1 – matriz diagonal de componentes γ1i

Γ2 – matriz diagonal de componentes γ2i

39

Considerando em (3.38) e (3.39) que os pontos são viáveis com relação às restrições de

canalização, tem-se:

∆s1 = ∆x (3.42)

∆s2 = - ∆x (3.43)

Substituindo estas em (3.40) e (3.41) e rearranjando-as, obtém-se:

∆γ1 = S1-1 (µe - S1 γ1 - Γ1∆x ) (3.44)

∆γ2 = - S2-1 (µe + S2 γ2 - Γ2∆x ) (3.45)

Com isso as incógnitas do sistema são ∆x e ∆λ. Substituindo ∆γ1 e ∆γ2 em (3.36), resulta em:

(∇2f(x) - λT∇2h(x) + S1-1Γ1 - S2

-1Γ2) ∆x - ∇h(x) ∆λ = z (3.46)

-∇Th(x) ∆x = h(x) (3.47)

com:

z = - (∇f(x) - λT∇h(x)) + µ (S1-1e – S2

-1e)

Escrevendo o sistema (3.46)-(3.47) na forma matricial:

=

λ∆

∆

−

−)x(h

zxJ

JHT (3.48)

onde:

H = ∇2f(x) - λT∇2h(x) + S1-1Γ1 - S2

-1Γ2

J = ∇h(x)

Com a resolução de (3.48) obtém-se ∇x, ∇λ , e a partir de (3.44)-(3.45) calcula-se ∆γ1, ∆γ2.

40

Note que H e z representam a Hessiana e o Jacobiano da função Lagrangeana associada ao

problema só com restrições h(x) = 0, mais um termo relacionado ao parâmetro barreira,

sendo µ(S1-1e - S2

-1e) em z e (S1-1Γ1 - S2

-1Γ2) em H.

Passo Primal-Dual

As variáveis do problema apresentado em (3.27) contém as variáveis primais (x, s1, s2) e

variáveis duais (λ,γ1, γ2). Na implementação do algoritmo de pontos interiores para o FPO os

passos primal e dual são considerados separadamente, resultando o maior incremento até a

barreira logarítmica em:

∆∆=α

>∆<∆1,

ssmin,

ssminmin

i2

i20si1

i10sP

i2i1 (3.49)

γ∆γ−

γ∆γ

=α>γ∆<γ∆

1,min,minmini2

i20i1

i10D

i2i1 (3.50)

Sendo αP e αD determinados, as variáveis primais e duais são atualizadas, considerando-se

σ = 0,9995 de forma a evitar as singularidades da barreira logarítmica, da seguinte forma:

x = x + σ αP ∆x

s1 = s1 + σ αP ∆s1

s2 = s2 + σ αP ∆s2

λ = λ + σ αD ∆λ

γ1 = γ1 + σ αD ∆γ1

γ2 = γ2 + σ αD ∆γ2

Atualização do Parâmetro Barreira

A atualização do parâmetro barreira é feita em cada iteração utilizando-se:

41

n2ss 2

T21

T1 γ−γ

β=µ (3.51)

onde:

β = 0,1

n é o número de variáveis primais do problema

A Figura 3.1 mostra as etapas básicas do Algoritmo de Pontos Interiores.

Figura 3.1– Algoritmo de Pontos Interiores

Início

Inicialize as variáveis Primais e Duais

Convergiu? Pare

Calcule e resolva o sistema de equações lineares

Calcule máximo passo para variáveis primais e duais

Atualize variáveis primais e duais

Sim

Não

Atualize parâmetro de barreira

42

3.6 Interpretação dos Multiplicadores de Lagrange

3.6.1 Análise Matemática – Otimização com Restrições de Igualdade [Baídya,1999]

Seja z = f(x,y) a função definida como a função objetivo do problema. Seja h(x,y) a função

restrição do problema. O problema proposto é buscar os extremos (máximo ou mínimo) da

função z = f(x,y) sujeito à condição da função restrição.

Considera-se, por exemplo, o seguinte problema de otimização:

Min f(x,y) (3.52)

s.a.

h(x,y) = 0

Na aplicação da técnica do Multiplicador de Lagrange, a idéia básica é transformar um

problema de otimização com restrições de igualdade em um problema de otimização sem

restrição. Para isto, a exigência contida na função restrição é englobada em uma nova

função definida como L(x,y,λ):

( ) ( ) ( )y,xhy,xf,y,xL λ+=λ (3.53)

onde:

L(x,y,λ) - função de Lagrange ou Lagrangeano

λ - multiplicador de Lagrange

Os gradientes de h(x,y) são ortogonais à superfície que define a região viável de h(x,y)=0.

Na solução ótima (x0,y0), o gradiente da função objetivo f(x,y) é colinear com o gradiente da

restrição h(x,y). Algebricamente tem-se:

( ) ( )0000 y,xhy,xf ∇λ=∇ (3.54)

43

Estendendo para um problema de otimização com m restrições e n variáveis:

Min f(z) (3.55)

s.a.

h1(z) = 0

h2(z) = 0

.

hm(z) = 0

onde:

z = (z1, z2, ..., zn)

Na Figura 3.2 é mostrada, de forma geométrica, a superfície que define a região viável de

h(z)=0 e o gradiente da função objetivo ∇f(z).

Figura 3.2– Representação Gráfica da Otimização

44

Na solução ótima z0, existe λ0 = (λ01, λ02, ..., λ0m), vetor de multiplicadores de Lagrange tal

que:

)z(h...)z(h)z(h)z(f 0mm0020201010 ∇λ++∇λ+∇λ=∇ (3.56)

e

h1(z0) = 0

.

.

hm(z0) = 0

Concluindo, cada multiplicador de Lagrange fornece a sensibilidade do valor ótimo da função

objetivo com relação à restrição correspondente (custo marginal).

3.6.2 Multiplicadores de Lagrange no FPO

Os multiplicadores de Lagrange estão presentes na função Lagrangeana (3.29) identificados

por λ, γ1 e γ2.

O multiplicador escalar “λ” aparece associado às equações de balanço de potência do

sistema e restrições funcionais. Com base no exposto no item anterior pode-se dizer que,

este multiplicador representa a sensibilidade da função objetivo para uma variação na

demanda do sistema.

Os multiplicadores “γ1” e “γ2” aparecem associados às restrições de desigualdade, limites

mínimos e máximos do gerador, respectivamente. Eles representam a sensibilidade da

função objetivo para os limites. Se os limites de geração não são violados, os multiplicadores

valem zero.

No caso deste trabalho, os problemas de otimização envolvidos são o mínimo corte de

carga, formulado em (3.18) e a mínima injeção de potência reativa, formulado em (3.22). Em

ambos casos as restrições de igualdade estão relacionadas às equações de balanço de

potência ativa e de potência reativa.

45

Aplicando (3.52) aos problemas (3.18) e (3.22), pode-se definir:

)z(h)z(f

11 ∂

∂=λ (3.61)

)z(h)z(f

22 ∂

∂=λ (3.62)

onde:

f(z) – função objetivo (mínimo corte de carga ou mínima injeção de potência reativa)

h1(z) – equação de balanço de potência ativa

h2(z) – equação de balanço de potência reativa

λ1 – multiplicador de Lagrange associado às restrições de potência ativa

λ2 – multiplicador de Lagrange associado às restrições de potência reativa

Concluindo, o multiplicador de Lagrange representa a variação na função objetivo para uma

variação de 1 MW ou 1 MVAr na demanda do sistema.