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2. Deformao - conceitos bsicos e guia de estudo (verso 08/03/2013) Recomenda-se estudar o Turcotte & Schubert: partes 2.7 (principalmente) e 2.8 (se tiver tempo). Bom entendimento do conceito fsico e matemtico de deformao essencial no apenas em propagao de ondas (uma vez que a onda ssmica provoca deformaes ao se propagar) mas tambm em tectnica e geodinmica (para se entender as foras que movem as placas), etc. Um exemplo pode ser visto na Fig. 2.1 que mostra as velocidades de vrios pontos do Chile antes do terremoto de Maule de 2010, M=8.8 (Ruegg et al., 2009). Estas velocidades foram medidas por GPS, entre 1996 e 2002, e so relativas ao interior estvel da Placa Sul-Americana. Pode-se ver que as localidades da costa vinham se movimentando a uma taxa de 35 a 40 mm/ano ao passo que pontos na Cordilheira, mais afastados da costa, tinham velocidades bem menores. Isto significa que a crosta nesta regio estava diminuindo de tamanho, i.e., estava sendo apertada ou deformada. Ou seja, pode-se perceber que a deformao est relacionada variao espacial dos deslocamentos.

Fig. 2.1. Velocidades na parte central e sul do Chile com relao parte estvel da placa Sul-Americana. Pontos pretos so as posies das estaes de GPS. Nmeros ao lado das setas so as velocidades (mm/ano). Fonte: Ruegg et al.(2009).

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2.1 Deformao Linear a medida do esticamento ou encurtamento (stretching/shortening). Um paraleleppedo de comprimento inicial lo (sem deformao) aumentando de l ter uma deformao linear definida por:

Fig. 2.2 Por exemplo, durante a passagem de uma onda P as partculas do meio tm deslocamentos (u) que variam conforme a posio (x) da partcula. Ou seja, u = f (x).

Fig. 2.3. Partculas A, B, C, etc., com deslocamentos devido a uma onda P. No exemplo acima, temos u(1 km) = 5 mm (i.e., a partcula que est na posio x=1 km tem um deslocamento de 5 mm. Da mesma forma u(2) = 10mm; u(3) = 5mm; u(4) = 0; u(5) = -5mm. A deformao linear entre os pontos A e B ser, pela definio da eq. (2.1):

=ll0

=u(B) u(A)x(B) x(A) =

5 103 2

(mm)(km) = 5.10

6 (deformao adimensional, por definio!) Exerccio 2.1. a) Qual a deformao linear entre os pontos E e F da Fig. 2.3 ? b) entre os pontos C e G? Na Fig. 2.1, qual a deformao linear anual entre os pontos CLM (na costa) e CT8 (na cordilheira)? Nos exemplos acima, definimos a deformao entre dois pontos. Mas podemos definir a deformao num ponto fazendo o limite B -> A

= limBAux =

ux Note que nesta definio de deformao linear, > 0 significa alongamento e < 0 encurtamento! Esta definio dos sinais importante! Outro ponto importante da definio acima, que se usa derivada parcial, ou seja, a deformao linear na direo x deve ser medida sem mudar a posio nas outras direes.

=ll0

[eq. 2.1]

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No caso geral de deslocamentos com componentes nas trs direes, define-se uma deformao linear para cada direo. Chamamos de (x,y,z) a posio de uma partcula qualquer e d o seu deslocamento (Fig. 2.4). Cada partcula tem um deslocamento diferente e portanto d = f(x,y,z). O deslocamento de cada partcula ter componentes d = (u,v,w) nas direes x, y, e z, respectivamente. As deformaes lineares nas trs direes so definidas como

Fig. 2.4

xx =ux

yy =vy

zz =wx [eq. 2.2] Para deformaes bem pequenas (infinitesimais), a variao volumtrica, , tambm chamada de dilatao, pode ser expressa por

=VV o

= xx + yy + zz =ux +

vy +

wz = div.

d = . d [eq. 2.3]

Quando vrios pontos se deslocam no espao, d = f(x,y,z), o divergente mede a variao relativa de volume, em torno de um certo ponto. Isto , quando os pontos se afastam um dos outros (divergem), h uma dilatao e o volume aumenta, > 0. As deformaes lineares ento medem variaes de comprimentos (nas direes x, y, z), variaes de reas e de volumes.

Exerccio 2.2. A Fig. 2.5 abaixo mostra cinco instantes de uma onda P harmnica propagando-se da esquerda para a direita. Determine o perodo (T), a velocidade de propagao (Vp) e o comprimento de onda () da onda P. Numa onda harmnica o deslocamento das partculas pode ser expresso por u(x) = A cos (kx - t), onde k = 2/ e = 2/T , e x a direo de propagao. Mostre que Vp=/k. Sabendo-se que a deformao linear mxima max= 2 .10-6, qual o deslocamento mximo (A) das partculas? Qual a velocidade mxima das partculas?? Neste caso de onda P plana (deslocamentos apenas na direo x), qual a dilatao ?

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Fig. 2.5. Esq) bloco sem ondas e sem deformaes. Centro) onda P harmnica. Direita) onda S. As setas indicam a propagao de uma fase (uma compresso no caso da onda P e um deslocamento mximo no caso da S). 2.2 Deformao de Cisalhamento (Shear Strain) Um corpo pode se deformar (i.e., mudar a sua forma, como na Fig. 2.6) sem variar seu volume. A Fig. 2.6 mostra um corpo com uma deformao dita de cisalhamento simples, onde no h variao de volume, apenas dos ngulos. A deformao de cisalhamento mede a variao dos ngulo retos. No caso da Fig. 2.6, chamamos de ngulo de cisalhamento = = diminuio do ngulo reto ABC para ABC.

Fig. 2.6. Cisalhamento simples

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Como exemplo, podemos ver que na passagem de um onda S propagando-se na direo x com deslocamentos (v) na direo y, ocorrem deformaes de cisalhamento (Figs. 2.5 e 2.7). Os deslocamentos v variam com a posio, v = f(x). Na Fig. 2.7, v(x=0 km)= 7mm; v(x=1) = 10; v(2) = 7mm; v(3) = 0, etc.

Fig. 2.7 O ngulo reto ABC diminuiu para ABC. A diferena (ngulo de cisalhamento) pode ser dada por

tan = C'C B'BCB =v(C) v(B)x(C) x(B) =

10 71 0

(mm)(km) = 3.10

6 O ngulo de cisalhamento num ponto poderia ser definido tomando-se o limite x -> 0.

= limx 0vx =

vx Esta definio acima, porm, s vale para o caso de cisalhamento simples da Fig. 2.6.

Fig. 2.8 (a) Rotao (b) Rotao () junto com deformao Um corpo pode ter deslocamentos v(x) que variam com a posio x sem que haja deformao, como no caso de uma rotao mostrada na Fig. 2.8a. Para distinguir entre rotao e deformao real (Fig. 2.8b), preciso definir as deformaes de cisalhamento como: deformao de cisalhamento rotao = rot (d) = x d

xy =12 (vx +

uy )

xz =12 (wx +

uz )

yz =12 (wy +

vz )

[eq. 2.4]

z =12 (vx

uy )

y =12 (wx

uz )

x =12 (wy

vz )

[eq. 2.5]

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Por definio, a deformao xy mede a diminuio do ngulo reto x-y (mais exatamente, a metade da diminuio). Se o ngulo reto x-y diminui, xy>0; se o ngulo aumenta, xy