1 BCC 101 – Matemática Discreta I Recursão / Indução BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP.
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8/17/2019 2aV-discreta-espelho
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UFPA/ICEN
FACULDADE DE COMPUTAÇÃO
MATEMÁTICA DISCRETA – CBCC – 2013 – 4
2ª. Avaliação –
3ª. feira, 03 de dezembro de 2103 –
16:50 –
18:20
Orientações. Este exame é com consulta de material produzido livremente pelo aluno em uma
folha de papel A4. Cada aluno somente pode consultar sua própria folha, sendo vedada a
consulta aos colegas e/ou às suas demais anotações. Esta orientação faz parte do código de
ética da disciplina. Responda todas as 3 questões nas próprias folhas da prova. A prova vale
100 pontos. O aluno pode fazer comentários adicionais nos finais de página para esclarecer ou justificar suas respostas. Não esquecer de assinar o nome e informar o número da matrícula.
Eu reconheço e aceito o código de honra._____________(Escreva sim ou não)
Nome/Matricula:_______________________________________________________________
Valor das questões
________________________________
1 | /50 |
2 | /30 |
3 | /20 !
Total /100 |
_________________________________
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Problema 1:
a. Imagine que no dia 1 =você recebeu 1 centavo e, para i >1, no dia i você recebeu duas
vezes mais centavos do que você recebeu no dia i-1. Quantos centavos você terá no
dia 20. Quanto terá no dia n. Use o principio da adição ou do produto para justificar
sua resposta. (20 pontos)
Resposta: você terá 1 + 2 + 4 + ...+ 219 = 220-1 = 1.048.575 centavos. Pode usar os dois
princípios para explicar o resultado; usando somente o da soma: o conjunto de todos
os centavos é a união do conjunto de centavos do dia 1 com aqueles do dia 2, assim
por diante; usando os dois princípios: o conjunto de centavos que você recebeu no dia
i é a união de dois conjuntos cada um do tamanho daquele que você recebeu no dia i-
1.
Obviamente que estamos falando de um progressão geométrica (P.G.) de razão r igual
a 2, primeiro termo igual a 1 (a1) e numero de termos n igual a 20; a expressão da
soma dos termos de uma pg é igual a (rn – 1)/(r-1); entretanto, não era necessário
relembrar esta formula, pois o aluno poderia experimentar valores para menos dias e
intuir o valor da soma para 20 dias. Exemplo: em dois dias o numero de centavos seria
1 + 2 = 3 = 22-1; em três dias o numero de centavos seria 1 + 2 + 4 = 7 = 2 3 – 1; em
quatro dias: 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 2 4-1; em 20 dias: 1 + 2 + 4 + ... + 2 19 = 220 – 1.
b. Falso ou verdadeiro: C(n,k) = C(n-2,k-2) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k)? Se for verdadeiro, dê
uma prova. Se for falso, dê valores de n e k que mostrem qua a afirmação é falsa e
ache uma afirmação que seja verdadeira para C(n,k) e prove-a. (20 pontos)
Resposta: a expressão é falsa, pois C(4,2) é 6, mas C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4. Para
consertar a situação observamos que pela regra de Pascal C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-
1,k); aplicando a regra para cada um dos termos do segundo membro: C(n-1,k-1) = C(n-
2,k-2) + C(n-2,k-1) e C(n-1,k) = C(n-2,k-1) + C(n-2,k); somando os termos, ficamos com:
C(n,k) = C(n-2,k-2) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k-1) + C(n-2,k) = C(n-2,k-2) + 2C(n-2,k-1) + C(n-
2,k), que é a expressão correta, pois C(4,2) = 6; e C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 6, o que
confirma a equivalência das expressões.
c.
Quantas soluções existem para a equação x1+x2+...+xn = k com cada xi inteiro e não
negativo. Prove sua resposta com um exemplo. (10 pontos)
Resposta: existem C(n+k-1,k) soluções. Fazendo exemplos com números para chegar à
expressão C(n+k-1,k). Exemplo1: x1+x2 = 2 (n=2 e k = 2) tem 3 soluções que representadas
pelos pares ordenados {(0,2),(2,0) e (1,1)}; neste caso o numero de soluções é C(3,2)= 3;
x1+x2+x3=3 (n=3 e k = 3) tem 10 soluções representadas pelos pares ordenados {(1,1,1),
(0,0,3),(0,3,0), (3,0,0),(1,2,0),(1,0,2), (2,0,1),(2,1,0),(0,1,2),(0,2,1)}; nesse caso o número de
soluções é igual C(5,3)=10; então no caso geral o numero de soluções é C(n+k-1,k).
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Problema 2:
a. Dado o conjunto A = {0,1,2,3,4} e uma partição de A = {{0,3,4}, {1},{2}}. Esta partição de
A é formada por classes de equivalência definidas por uma relação R em A. Qual é a
relação de equivalência R induzida por esta partição? (10 pontos).
Resposta: A relação R é {(0,0), (0,3), (0,4), (3,0), (3,3), (3,4), (4,0), (4,3), (4,4), (1,1),
(2,2)}, ou seja, a relação é constituída pelos pares ordenados do produto cartesiano de
cada bloco da partição por ele mesmo; assim sendo se reescrevermos a partição da
seguinte forma {A,B,C}, onde A = {0,3,4}; B = {1} e C = {2}, então os pares ordenados da
relação de equivalência são aqueles originados pelos seguintes produtos cartesianos A
x A, B x B e C x C.
b.
Mostre que a relação R encontrada acima é reflexiva, simétrica e transitiva. (10pontos)
Resposta: Toda relação de equivalência é reflexiva, simétrica e transitiva. No caso em
tela {(0,0), (0,3), (0,4), (3,0), (3,3), (3,4), (4,0), (4,3), (4,4), (1,1), (2,2)} é reflexiva pois
estão presentes os pares (0,0), (1,1),(2,2) e (3,3); é simétrica pois estão presentes os
pares (0,3) e (3,0), (0,4) e (4,0), (3,4) e (4,3); ela é transitiva pois estão presentes os
pares (0,3), (3,0) e (0,0), que vale também para (0,4),(4,0) e (0,0), também (3,4),(4,3) e
(3,3); e também para (4,3), (3,4) e (4,4).
c.
Seja R uma relação no conjunto A = {0,1,2} definida por {(0,0), (0,1), (0,2), (1,1), (1,2)}.
R é simétrica ou anti-simétrica? Justifique sua resposta (10 pontos)
Resposta: R não é simétrica, pois os pares (1,0), (2,0) e (2,1) não pertencem a relação,
o ou seja o consequente da relação é falso; é anti-simétrica pela falsidade do
antecedente da implicação da definição da propriedade de anti-simetria.
Problema 3:
a. Sejam A = {x|xR e x2 – 4x + 3 < 0} e B = {x|xR e 0 < x < 6}. Prove que A B. (10
pontos)
Resposta: os elementos de A satisfazem a inequação (x-1)(x-3) 0; ou b)
(x-1) > 0 e (x-3) < 0; no caso a) a solução seria x < 1 e x > 3, o que não resolve a
inequação, pois se escolhermos x = 0 (que é menor que 1), ficaríamos com (0-1)(0-
3)1 e x
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b. Prove que (A) (B) (A B), onde A e B são conjuntos arbitrários (10
pontos).
Resposta: sem perda de generalidade, sejam A = {1,2} e B = {a,b}; A B = {1,2,a,b};(A) = {, {1},{2},{1,2}};(B) = {, {a},{b},{a,b}};
(A) (B) = {, {1},{2},{1,2},{a},{b},{a,b}};
(A B) = {, {1}, {2}, {a}, {b}, {1,2}, {1,a}, {1,b},
{2,a},{2,b},{a,b},{1,2,a},{1,2,b},{2,a,b},{1,a,b};{1,2,a,b}}; como se vê todos os elementos
de(A) (B) pertencem a(A B), o que prova que (A) (B) (A B).