2787-8391-1-PB

Acta Scientiarum Maring, v. 23, n. 6, p. 1481-1494, 2001

Projeto de um controlador adaptativo para robs manipuladores no espao de juntas

Nardnio Almeida Martins

Departamento de Informtica, Universidade Estadual de Maring, Av. Colombo, 5790, 87020-900, Maring, Paran, Brasil. e-mail: [email protected]

RESUMO. Este artigo apresenta o projeto de um controlador adaptativo de robs manipuladores no espao de juntas. Uma nova lei de controle adaptativa composta, que usa o erro de predio e os erros de seguimento para direcionar a estimao de parmetros, baseada na passividade e no mtodo direto de Lyapunov. A convergncia e a estabilidade global so mostradas para o algoritmo de controle adaptativo. O algoritmo tem as vantagens de no necessitar da medio de acelerao nas juntas e de no necessitar que a inversa da matriz de inrcia estimada seja limitada. Exemplos de simulao so fornecidos para demonstrar o desempenho do algoritmo proposto. Palavras-chave: controle adaptativo, espao de juntas, rob manipulador.

ABSTRACT. Adaptive control design for robot manipulators in joint space. Adaptive control design for robot manipulators in joint space coordinates is analyzed. A new composite adaptive control law, which uses prediction and tracking error to drive parameter estimation, is developed, based on passivity and direct Lyapunov method. Global stability and convergence may be achieved for adaptive control algorithm which has the advantage that measurement of joint acceleration and bounded inverse of estimated inertia matrix are not required. Simulation examples are provided to demonstrate the performance of the proposed algorithm. Key words: adaptive control, joint space, robot manipulator.

Para a execuo de qualquer tarefa utilizando um rob manipulador, necessrio posicion-lo com preciso num lugar do espao e num determinado instante de tempo, para que se possa, a partir deste estado inicial, se ter o controle de sua posio com o decorrer do tempo. Se a tarefa a ser desenvolvida exigir o deslocamento contnuo do rob manipulador por uma determinada trajetria, faz-lo se deslocar nesta trajetria desejada um outro problema bsico no controle de robs manipuladores.

Pelo fato de os robs manipuladores serem sistemas dinmicos passivos, os parmetros de inrcia da carga no rob manipulador no podem ser medidos previamente e, portanto, seus efeitos no podem ser compensados (Ortega e Spong, 1989). Conseqentemente, a utilizao de controladores PD descentralizados, com ganhos fixos, resultam em erros de regime e no seguimento de trajetrias (Tomei, 1991). Com o emprego do torque calculado, tcnica na qual se exige o conhecimento preciso dos parmetros de inrcia do rob manipulador, possvel diminuir, mas no eliminar

os erros (Lewis et al., 1993). Estes erros so to maiores quanto maiores so as cargas e as velocidades no rob manipulador.

A eliminao dos erros de regime e a minimizao dos erros de seguimento podem ser conseguidas utilizando algoritmos adaptativos (Slotine e Li, 1987, 1988; Lewis et al., 1993; Sciavicco e Siciliano, 1996).

Neste trabalho, proposto um novo algoritmo de controle adaptativo no espao de juntas, o qual utiliza o erro de predio e o erro de seguimento para realizar a estimativa de parmetros, considerando-se dois elos do rob manipulador PUMA 560.

O algoritmo proposto no necessita da inverso da matriz de inrcia estimada, nem da medio das aceleraes nas juntas para sua implementao.

Como o mtodo de controle realizado no espao de juntas, impe-se que o movimento desejado correspondente neste espao seja calculado atravs da cinemtica inversa, aps o planejamento da tarefa (e do movimento desejado) no espao de tarefa. O uso da cinemtica inversa introduz as

1482 Martins


dificuldades intrnsecas inverso de um mapeamento no-linear como, por exemplo, a necessidade de tratar do problema de redundncia do rob manipulador em relao tarefa e as singularidades da matriz jacobiana (Canudas de Wit et al., 1996). O movimento desejado no espao de juntas , ento, a referncia para o algoritmo de controle. Esta estratgia de controle denominada controle cinemtico (Figura 1).

Figura 1. Mtodo de controle direto no espao de juntas usando cinemticas inversa e direta - Controle Cinemtico

Este artigo organizado como segue. Na seo 2, apresentada a dinmica dos robs manipuladores no espao de juntas. O modelo dinmico para os elos 2 e 3 do rob manipulador PUMA 560 desenvolvido na seo 3. A seo 4 mostra o algoritmo de controle no espao de juntas proposto, sendo realizada a anlise de estabilidade e convergncia atravs do mtodo direto de Lyapunov. Para avaliar o desempenho do algoritmo de controle proposto, na seo 5, so apresentados os resultados a partir das simulaes numricas realizadas.

Dinmica dos robs manipuladores no espao de juntas

A dinmica de um rob manipulador (Craig, 1988; Spong e Vidyasagar, 1989) com n juntas pode ser descrita por:

)q(Gq)q,q(Cq)q(H ++= &&&& (1)

onde q o vetor dos deslocamentos nas juntas, o vetor dos torques (ou foras) de entrada aplicados nas juntas, )q(H a matriz de inrcia do rob,

)q,q(C & o vetor de torques de Coriolis e Centrfugos e )q(G o vetor de torques gravitacionais.

Independentemente do nvel de complexidade do rob manipulador, as equaes que modelam o seu movimento, (eq. 2.1), so equaes no-lineares complexas. Estas equaes possuem propriedades fundamentais que podem ser exploradas para facilitar o projeto do sistema de controle. Algumas destas propriedades, necessrias ao desenvolvimento do projeto do controlador, so declaradas como segue (Ortega e Spong, 1989; Spong e Vidyasagar,

1989; Lewis et al., 1993; Canudas de Wit et al., 1996; Spong, 1996):

1. A matriz de inrcia )q(H simtrica, positiva definida e, )q(H e 1)q(H so uniformemente limitadas (limites superior e inferior) como uma funo de q .

2. A matriz )q,q(C2)q(H)q,q(S &&& = anti-simtrica para uma escolha particular de

)q,q(C & (que sempre possvel). 3. Existe uma entrada de controle

independente para cada grau de liberdade. 4. A equao de Euler-Langrange para o rob

linear nos parmetros desconhecidos. Todos os parmetros so constantes (por exemplo, as massas dos elos, comprimentos dos elos, os momentos de inrcia, etc.) e aparecem como coeficientes de funes conhecidas das coordenadas generalizadas. Definindo cada coeficiente ou uma combinao linear destes coeficientes como um parmetro separado, a equao dinmica, (eq. 2.1) pode ser expressa como uma relao linear (Lewis et al., 1993) da forma:

)q,q,q( &&&= (2)

onde )q,q,q( &&& a matriz de funes conhecidas do rob manipulador (denominada regressor) cujos elementos so algumas funes no-lineares em q , q& e q&& ; e um vetor de parmetros dinmicos (constantes) que depende das caractersticas fsicas do rob manipulador e da carga. Deve ser ressaltado que a escolha dos parmetros na representao acima no nica e que esta escolha particular determina a dimenso de no espao mR , onde m o nmero de parmetros escolhidos. Tambm, deve ser levado em considerao que nem todos parmetros no sistema podem ser desconhecidos e/ou podem ser desejados de modo a ter que estimar somente um subconjunto destes parmetros. Neste caso, pode-se escrever a eq. 2.2 como:

))(q,q,q( += &&& (3)

onde contm somente parmetros conhecidos e/ou desejados e contm aqueles parmetros a serem estimados.

Modelo dinmico para simulao

O modelo dinmico de um rob manipulador obtido utilizando as equaes de Euler-Lagrange. A dinmica do rob manipulador parametrizada para

Projeto de um controlador para robs manipuladores 1483


ser descrita pela sua matriz regressora e por um vetor de parmetros escolhido de forma a possibilitar a simulao de uma carga na extremidade do efetuador final do rob manipulador.

Para a realizao das simulaes, utilizado o rob manipulador PUMA 560. Este rob manipulador desloca-se no plano vertical e sofre influncia dos efeitos gravitacionais.

Assim, para os elos 2 e 3 do rob manipulador PUMA 560 (ver Figura 2), considera-se como uma massa concentrada no final do elo 3 o punho (o qual corresponde aos elos 4, 5 e 6) deste rob manipulador, cujo valor acrescido da massa da carga acoplada no efetuador final )m( c 3m .

Figura 2. Elos 2 e 3 do rob manipulador PUMA 560

A partir destas consideraes, para este rob manipulador de dois elos, o modelo dinmico no espao de juntas, (eq. 2.1), ento especificado pelas seguintes matrizes:

- Matriz de Inrcia:

=2221

1211HHHH

)q(H

onde:

9o22o1o22o1o11 a)cp2p(ca2aH +++=9o22o3o22o3o2112 a)cpp(caaHH +++==

9o3o7o22 apaH += - Matriz de Torques de Coriolis e Centrfugos:

=2221

1211CCCC

)q,q(C &

onde:

29o2o2o211 q)apa(sC &+=

)qq)(apa(sC 219o2o2o212 && ++= 19o2o2o221 q)apa(s C &+=

0 C22 =

- Vetor de Torques Gravitacionais:

=21

11GG

)q(G

onde:

9o125o14o126o15o11 a)cpcp(cacaG +++=

9o125o126o21 a)cp(caG += Nas expresses acima, utilizou-se a seguinte

notao )qsen(s 11 = , )qsen(s 22 = , )qqsen(s 2112 += , )qcos(c 11 = , )qcos(c 22 = , )qqcos(c 2112 += . Os valores

dos termos aio e iop so determinados a partir dos

dados de Erlic e Lu (Erlic e Lu, 1993). Os quais, para este estudo, so 33.6a

1o = , 14.0a 2o = , 11.0a 3o = , 6.27a

4o = , 9.31a 5o = , 30.3a 6o = , 94.0a 7o = , 54.4a 8o = , 25.1a

9o = , 37.0p 1o = , 18.0p 2o = , 18.0p 3o = , 23.4p 4o = , 15.4p

5o = . Como o atrito nas juntas no foi considerado, para efeito de simulao os valores dos termos

4oa e 8oa foram tomados como nulos.

A partir destes parmetros do modelo dinmico do rob manipulador PUMA 560 de dois elos, desenvolve-se a parametrizao linear correspondente. Assim, determina-se o vetor de parmetros como:

[ ]T9o8o7o6o5o4o3o2o1o aaa aaa aaa= (1)

tal que os termos ioa so independentes de 3m , e

39o ma = . Desta forma, determina-se a matriz regressora )q,q,q( &&& correspondente parametrizao como:

=29

19

2827

1817

2625

1615

2423

1413

2221

1211YY

YYYY

YYYY

)q,q,q(

&&& (2)

com

111 q&&=

]q)qq(qq[s)qq2(c 22112221212 &&&&&&&&& +++= 213 q&&= 114 q&= 115 c= 1216 c=

017 = 018 =

Junta 1

Junta 2

Junta 3

Junta 4 Junta 5

Junta 6

Elo 1 Elo 2

Elo 3

Elo 4

Elo 5 Elo 6

Elo 0 xo yo

zo

x z

y

1484 Martins


125o14o

2211222o222o122o1o19

cpcp ]q)qq(qq[spq)c1(pq)cp2p(

+++++++= &&&&&&&&&

021 = 1121222 qqsqc &&&& +=

123 q&&= 024 = 025 =

1226 c= 227 q&&= 228 q&=

125o1122122o29 cp]qqsqq)c1[(p ++++= &&&&&&

Algoritmo de controle proposto

Nesta seo, analisa-se a aplicao do mtodo de controle proposto no espao de juntas, o qual baseado na estrutura passiva e no no cancelamento das no-linearidades da dinmica do rob manipulador.

O mtodo de controle proposto apresentado para o caso dos parmetros conhecidos, para o caso dos parmetros com incertezas e para o caso adaptativo. Caso dos parmetros conhecidos

Considere a dinmica do rob manipulador no espao de juntas, (eq. 2.1), e seja a seguinte lei de controle:

0 += (1)

com

q~Kr)q~KK()q(Gq)q,q(Cq)q(H p

2av0r0r00 +++= &&&& (2)

)q(Gq)q,q(Cq)q(H rr ++= &&&& (3)

sendo as matrizes vK , aK e pK simtricas,

diagonais, positivas definidas ( 0KK Tvv >= , 0KK Taa >= e 0KK Tpp >= ) e o termo

2q~ definido como:

=

= n1i

2i

2 q~q~ (4)

onde n corresponde ao grau de liberdade ou nmero de juntas de um rob manipulador.

Os sinais rq&& , rq& , r e q~ so definidos, respectivamente, como a seguir.

- Acelerao de referncia:

q~qq dr&&&&& = (5)

onde dq&& a acelerao desejada no espao de juntas; a matriz simtrica, diagonal e positiva definida ( 0T >= ) e; q~& o erro de seguimento de velocidade definido por:

dqqq~ &&& = (6)

- Velocidade de referncia:

q~qq dr = && (7)

- Varivel de seguimento:

q~q~qqr r +== &&& (8)

sendo a derivada de r igual a:

q~q~qqr r&&&&&&&& +== (9)

- Erro de seguimento de posio:

dqqq

~ = (10) Fazendo a parametrizao linear das eq. 4.2 e 4.3,

o controlador proposto, (eq. 4.1), fica:

q~Kr)q~KK(])[q,q,q,q( p2

av0rr ++= &&&& (11)

com 0 , sendo o vetor de parmetros fixos estimados a priori e o vetor de parmetros estimados on-line ou variantes no tempo.

Como os parmetros nominais so verdadeiramente conhecidos ( ), pode-se concluir que na eq. 4.3 0 = e que na eq. 4.2 )q(H)q(H0 = ,

)q,q(C)q,q(C0 && = e )q(G)q(G0 = , ou seja, =0 . A partir destas concluses, igualando a lei de controle proposta (eq. 4.1, 4.2 e 4.3) com a dinmica do rob manipulador, (eq. 2.1), obtm-se a equao da dinmica de erro do sistema em malha fechada:

0q~Kr)q~KK(]qq)[q,q(C]qq)[q(H p

2avrr =++++ &&&&&&& (12)

A partir da definio de r (eq. 4.8) e r& , (eq. 4.9),

a dinmica de erro (eq. 4.12) resulta em:

0q~Kr]q~KK)q,q(C[r)q(H p2

av =++++ && (13) A anlise de estabilidade realizada pela escolha

da funo de Lyapunov:



q~Kq~21r)q(Hr

21)t(V p

TT += (14)

onde a matriz pK simtrica, diagonal e positiva

definida ( 0KK Tpp >= ). Diferenciando esta funo ao longo das

trajetrias da dinmica de erro do sistema em malha fechada, (eq. 4.13) tem-se:

0q~Kq~r)q~KK(r)t(V p

T2av

T += & (15) Usando o teorema de Rayleigh-Ritz (Lewis et al.,

1993), pode-se escrever a eq. 4.15 como:

2pmin

22amin

2vmin q

~}K{rq~}K{r)K{)t(V & (16) Observando que 0V > (eq. 4.14) e 0V & (eq. 4.15

e 4.16) isto implica que r (eq. 4.8) uma funo n2L limitada (funo quadrtica integrvel limitada), a qual deve convergir para 0 quando t . Desta definio de r segue que q~ e q~& so limitados e, de fato, 0q~ quando t . Da dinmica de erro do sistema em malha fechada (eq. 4.13) r& ento limitada, permitindo assim que r e V& sejam uniformemente contnuos. Portanto, r converge a 0, implicando que q~& convirja a 0.

Caso dos parmetros desconhecidos

O conhecimento exato da dinmica do rob manipulador no possvel na prtica, quer seja pelas dificuldades de avaliar as grandezas geomtricas e de inrcia, quer seja pela impossibilidade de conhecer a carga acoplada ao efetuador final. Assim, o sistema dinmico (eq. 2.1) constitudo de incertezas.

Neste caso, a lei de controle representada pelas eq. 4.1, 4.2 e 4.3. A parametrizao linear deste controlador resulta na eq. 4.11, onde 0 o vetor de parmetros onde nem todos os parmetros do sistema so desconhecidos ou so desejados de modo a ter que estimar somente um subconjunto destes parmetros e o vetor de parmetros fixos estimados a priori.

A dinmica de erro do sistema em malha fechada obtida da substituio da lei de controle (eq. 4.1, 4.2 e 4.3) na dinmica do rob manipulador (eq. 2.1). Das eq. 4.8 e 4.9, pode-se definir que rqrq && += e

rqrq &&&&& += , de modo que a dinmica de erro fica:

q~Kr)q~KK()q(G~

q)q,q(C~

q)q(H~

r)q,q(Cr)q(H p2

avrr ++++=+ &&&&&& (17)

onde )q(H)q(H)q(H~ 0 = , )q,q(C)q,q(C)q,q(C~ 0 &&& = e )q(G)q(G)q(G

~0 = .

Realizando as seguintes parametrizaes lineares,

)q(G~

q)q,q(C~

q)q(H~

)q,q,q,q( rrrr ++= &&&&&&&& com = 0 e (18)

)q,q,q,q()q(Gq)q,q(Cq)q(H rrrr &&&&&&&& =++= ,

a dinmica de erro resulta em:

q~Kr)q~KK(])[q,q,q,q(r)q,q(Cr)q(H p

2avrr ++=+ &&&&&& (19)

Fazendo 0 = , a equao final para

representar a dinmica de erro como segue:

~)q,q,q,q(q~Kr]q~KK)q,q(C[r)q(H rrp2av &&&&&& =++++ (20)

onde = ~ o vetor de erro nos parmetros. A anlise de estabilidade estabelecida pela

funo candidata de Lyapunov (eq. 4.14). Diferenciando esta funo ao longo de trajetrias da dinmica de erro do sistema em malha fechada, (eq. 4.20), tem-se:

~)q,q,q,q(rq~Kq~r]q~KK[r)t(V rrTpT2avT &&&&& ++= (21)

Aplicando o teorema de Rayleigh-Ritz (Lewis et al.,

1993), pode-se escrever a eq. (4.21) como:

r(.)~

q~}K{rq~}K{r)K{)t(V TT2pmin22

amin2

vmin +& (22)

com )q,q,q,q((.) rr &&&& = . Da eq. 4.22, pode ser obtida uma condio

suficiente para que V& seja negativa ( 0V (23)

com 2aminvmin q~}K{}K{ += . Se a eq. 4.23 satisfeita, V& negativa e V

decrescer. Se V decresce, ento pela definio da funo de Lyapunov (eq. 4.14), r decresce. Isto ocorre at que

2

q~}K{4(.)~

(.)~

r

2pmin

2TTTT (24)

1486 Martins


de modo que V& torna-se positiva definida ( 0V >& ). Portanto, r permanece limitada.

Da definio de r , (eq. 4.8), conclui-se que os erros de seguimento q~ e q~& permanecem limitados. Assim, a existncia de incertezas na estimao de parmetros faz com que existam erros de seguimento quando t .

Uma forma de eliminar estes erros de seguimento q~ e q~& mediante o emprego de controladores adaptativos.

Caso dos parmetros adaptativos

Uma maneira de estabelecer a estabilidade

assinttica dos erros de seguimento q~ e q~& , quando todos ou alguns parmetros so desconhecidos, substituindo a dinmica com os parmetros fixos estimados a priori ( ) por uma dinmica com os parmetros variantes no tempo, baseada numa lei de adaptao de parmetros.

Logo, o controlador para este caso igual lei de controle proposta (eq. 4.1, 4.2 e 4.3), com a incluso de uma lei de adaptao de parmetros para ajustar a estimao de parmetros. Esta estimao, depois de calculada, utilizada nesta lei de controle (eq. 4.1, 4.2 e 4.3) para clculo dos torques de controle necessrios.

A dinmica de erro do sistema em malha fechada a mesma definida pela eq. 4.20.

A estabilidade mostrada a partir da seguinte funo candidata de Lyapunov:

~~21q~Kq~

21r)q(Hr

21)t(V 1Tp

TT ++= (25)

onde a matriz simtrica, diagonal e positiva definida ( 0T >= ). Esta matriz corresponde aos ganhos de adaptao e sua magnitude no afeta a estabilidade global do sistema, mas afeta diretamente a velocidade de adaptao e, portanto, o desempenho do sistema (Slotine e Li, 1988, 1991), ou seja, quanto maiores so os ganhos de adaptao mais rpida a adaptao dos parmetros e com isso mais rapidamente os erros de seguimento convergem a zero.

Diferenciando esta funo )t(V ao longo das trajetrias da dinmica de erro do sistema em malha fechada (eq. 4.20), tem-se:

&& ~~~(.)rq~Kq~r]q~KK[r)t(V 1TpT2avT +++= (26)

Escolhendo a lei de adaptao de parmetros

como:

](.)r(.)[ TT +=& (27)

com a matriz sendo simtrica, diagonal, positiva definida ( 0T >= ) e sendo o erro de predio dos torques de controle definido da seguinte forma:

~(.))(.)[(.)](.)[ 00 =+=+== (28)

Como && ~ = se pode usar a lei de adaptao de

parmetros (eq. 4.27), de modo que:

0q~Kq~r]q~KK[r)t(V TpT2

avT += & (29)

Sabe-se que V& (eq. 4.29) negativa semi-

definida ( 0V & ). Assim, conclui-se que V (eq. 4.25) superiormente limitada j que V positiva definida ( 0V > ). Usando esta concluso e a propriedade 1, segundo a qual a matriz )q(H simtrica, positiva definida e a sua inversa existe e limitada, afirma-se que r , e ~ so limitados. Da definio de r (eq. 4.8), afirma-se tambm que q~ e

q~& (e, portanto, q e q& ) so limitados. Visto que q~ ,

q~& , r e so limitados, pode-se usar a equao da dinmica de erro do sistema em malha fechada (eq. 4.20), para mostrar que r& (e, portanto, V&& obtida por diferenciao de V& ) limitado. Como a matriz )q(H inferiormente limitada, pode-se dizer que V inferiormente limitada e, lembrando que V& negativa semi-definida e V&& limitada, pode-se aplicar o lema de Barbalat (Lewis et al., 1993), de modo que

0Vlim

t=

& (30)

o que significa, pelo teorema de Rayleigh-Ritz, que:

0r}K{lim 2vmin

t=

ou 0rlim

t=

0rq~}K{lim 22amin

t=

ou 0rlim

t=

e 0q~lim

t=

(31)

0q~}K{lim 2pmin

t=

ou 0q~lim

t=

Observando que a eq. 4.8 resulta numa equao

diferencial de 1. ordem estvel direcionada pela entrada r , portanto, da eq. 4.31, pode-se escrever que:

0q~lim

t=

e 0q~lim

t=

& (32)



Este resultado nos informa que 0r quando t , implicando que ambos 0q~ e 0q~ & quando t . Nada se pode concluir em relao

convergncia do vetor de erro nos parmetros ~ e do erro de predio a zero. Entretanto, estes permanecem limitados, pois os parmetros estimados no convergem para os parmetros verdadeiros. Porm, os parmetros convergem assintoticamente para os valores verdadeiros, se a trajetria for persistentemente excitante (Slotine e Li, 1988, 1991). Logo, a anlise de estabilidade est comprovada.

Resultados das simulaes

O objetivo destas simulaes avaliar e validar o algoritmo de controle proposto quanto ao desempenho do sistema em malha fechada. Para tanto, realizaram-se simulaes para cada um dos seguintes casos:

- em que os parmetros so considerados verdadeiramente conhecidos;

- no-adaptativo ou em que todos ou alguns dos parmetros nominais do rob manipulador so desconhecidos;

- adaptativo, em que todos ou alguns dos parmetros nominais desconhecidos do rob manipulador so utilizados como condies iniciais.

Nas simulaes de cada caso, foi verificado o comportamento dos erros de seguimento (de posio e de velocidade), dos torques de controle e das trajetrias desejadas em relao s trajetrias realizadas pelo rob manipulador. No caso adaptativo, tambm foi verificado o comportamento dos parmetros estimados.

As simulaes foram realizadas considerando que o rob manipulador deve rastrear as seguintes trajetrias:

- A trajetria 01: descrita em termos das posies no espao da tarefa. Esta trajetria realizada por dois polinmios de 3. ordem para a velocidade, sendo a posio e a acelerao especificadas pela integrao e diferenciao destes polinmios, respectivamente. A trajetria 01 uma trajetria retilnea, onde os valores iniciais e finais das posies desejadas no espao da tarefa so, respectivamente:

.m 5.0 )3(y )3(x.m 2.0 (0)y (0)x

dd

dd==

==

sendo que as velocidades e aceleraes desejadas no espao da tarefa, iniciais e finais, so iguais a zero. A posio final atingida em 3 segundos, a partir do que o rob manipulador deve permanecer em regulao.

- A trajetria 02: descrita em termos das

posies no espao da tarefa. Esta trajetria uma trajetria circular, onde os valores de raio e de centro do crculo so, respectivamente:

.m 35.0centro.m 15.0raio

==

Para o caso dos parmetros desconhecidos e para

o caso dos parmetros adaptativos, nas simulaes, considerou-se que a incerteza na inrcia foi ocasionada apenas pela massa do punho e pela massa da carga acopladas ao final do elo 3 do rob manipulador PUMA 560. Da parametrizao linear (eq. 4.11), pode-se verificar que esta incerteza na inrcia considera os termos 8,...,1i ,a io = conhecidos e o termo

9oa desconhecido.

O valor atribudo ao termo 9oa foi tomado como

um valor nulo. Com isto, o vetor de parmetros nominais foi definido como na eq. 3.1, onde os termos 8 ,...,1i ,a

io = so fornecidos como anteriormente no modelo dinmico para simulao da seo 3 e o termo 0=a

9o (0% de 1.25).

As matrizes de ganhos foram obtidas mediante simulaes, nas quais se buscou encontrar valores de erros de seguimento aceitveis. Assim, os valores de ganhos so: 17Kv = , 25.4= , 50K p = , 20Ka = , 7.0= ,

30099 = (para a trajetria 01) e 3099 = (para a trajetria 02).

Observando as Figuras (3.a, 3.b, 5.a, 5.b, 6.a, 6.b, 8.a e 8.b), pode-se verificar que os comportamentos dos erros de seguimento (de posio e de velocidade) tendem a convergir para zero ou convergem assintoticamente a zero, tanto para o seguimento da trajetria 01 como para o seguimento da trajetria 02. Para o caso dos parmetros desconhecidos, estes erros de seguimento (de posio e de velocidade) permanecem limitados (ver Figuras 4.a, 4.b, 7.a e 7.b), no havendo convergncia a zero devido aos efeitos dos torques gravitacionais e incerteza na inrcia no terem sido compensados.

1488 Martins


a b

c d

e

Figura 3. Caso dos parmetros conhecidos - trajetria 01



a b

c d

e

Figura 4. Caso dos parmetros desconhecidos - trajetria 01

1490 Martins


a b

c d

e

Figura 5. Caso dos parmetros adaptativos - trajetria 01



a b

c d

e

Figura 6. Caso dos parmetros conhecidos - trajetria 02

1492 Martins


a b

c d

e

Figura 7. Caso dos parmetros desconhecidos - trajetria 02



a b

c d

e

Figura 8. Caso dos parmetros adaptativos - trajetria 02

Em relao aos torques de entrada gerados pelo seguimento das trajetrias 01 e 02 (ver Figuras 3.c, 4.c, 5.c, 6.c, 7.c e 8.c), pode-se observar que estes torques apresentam comportamentos suaves e de magnitudes parecidas.

Quanto ao seguimento das trajetrias desejadas, pode-se verificar que os erros de seguimento (de posio e de velocidade) convergem a zero. Ento, atravs das Figuras (3.d, 5.d, 6.d e 8.d), observa-se que as trajetrias 01 e 02 so seguidas pelo efetuador final do rob manipulador, o que no ocorre para o

1494 Martins


caso dos parmetros desconhecidos (ver Figuras 4.d e 7.d).

Em relao estimao de parmetros, via lei de adaptao, para a realizao do seguimento das trajetrias 01 e 02 (ver Figuras 5.e e 8.e), estes parmetros estimados convergiram para os seus valores verdadeiros (ou nominais), mesmo sabendo que as trajetrias no so persistentemente excitadas.

Concluiu-se que o algoritmo de controle proposto apresenta-se como uma alternativa para o problema de seguimento de trajetria (ou controle de seguimento), onde um alto grau de desempenho e preciso so exigidos.

Concluso

Com os resultados das simulaes realizadas, pode-se concluir, tambm, que o algoritmo de controle proposto aplicvel a robs manipuladores. Esta justificativa reforada e constatada com a avaliao e validao do algoritmo de controle proposto quanto ao desempenho do sistema em malha fechada para os casos dos parmetros conhecidos, dos parmetros desconhecidos e dos parmetros adaptativos. Estes resultados das simulaes tambm comprovam o estudo de anlise de convergncia e estabilidade realizada para cada um dos casos abordados.

Referncias

CANUDAS DE WIT, C. et al. Theory of robot control. New York: Springer-Verlag, 1996.

CRAIG, J. J. Adaptive control of mechanical manipulators. USA: Addison-Wesley Reading, 1988. ERLIC, M.; LU, W.-S. A reduced-order adaptive velocity observer for manipulator. Control. Proc. IEEE Conf. Robot. Autom., New York, v. 2, p. 328-332, 1993. LEWIS, F. L. et al. Control of robot manipulators. New York: Macmillan, 1993. ORTEGA, R.; SPONG, M. W. Adaptive motion control of rigid robots: a tutorial. Automatica, Kidilington, v. 25, n. 6, p. 877-888, 1989. SCIAVICCO, L.; SICILIANO, B. Modeling and control of robot manipulators. Chicago: The McGraw-Hill Companies, Inc., 1996. SLOTINE, J. J.; LI, W. On the adaptive control of robot manipulators. Int. J. Robotics Res., v. 6, n. 3, p. 147-157, 1987. SLOTINE, J. J.; LI, W. Adaptive manipulator control: a case study. IEEE Trans. Automatic Control, New York, v. 33, n. 11, p. 995-1003, 1988. SLOTINE, J. J.; LI, W. Applied nonlinear control. Englewood Cliffs: Prentice Hall International, Inc., 1991. SPONG, M. W.; VIDYASAGAR, M. Robot dynamics and control. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1989. SPONG, M. W. The control handbook. New York: CRC Press, Inc., 1996. TOMEI, P. Adaptive PD Controller for robot manipulators. IEEE Trans. Robotics Autom., New York, v. 7, n. 4, p. 565-570, 1991.

Received on August 20, 2001. Accepted on November 22, 2001.

2787-8391-1-PB

Documents

Transcript of 2787-8391-1-PB