23 de fevereiro de 2018 - Professor Marco Aurélio Cruz€¦ · Da Era Antiga, podemos destacar de...

Uma Gentil Introdução à Cosmologia Relativ́ıstica

Prof. Dr. Marco Aurélio dos Santos Cruz

Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia - ICET/UFAM

23 de fevereiro de 2018

IntroduçãoCosmologia NewtonianaCosmologia Relativ́ıstica

Parâmetros ObservacionaisReferências

O que é Cosmologia?Um pouco de HistóriaPrinćıpio Cosmológico

O que é Cosmologia?

Nesta aula vamos nos dedicar ao tópico da Cosmologia Relativ́ıstica, ousimplesmente Cosmologia. Basicamente, nosso objetivo de estudo é oUniverso como um todo: Sua história, evolução, composição, e dinâmica.

De fato, este é um assunto que intrigou o ser humano desde o seu ińıcio:Saber o que eram exatamente aqueles pontos de luz que apareciam no céuà noite, seu movimento, e como isto o poderia ajudar aqui na Terra. Tantoé que, no ińıcio, este estudo acabou sendo de caráter ḿıstico/religioso, ecada civilização deu a sua interpretação para a gênese do cosmos, suaevolução, e explicações do que eram exatamente os objetos no céu.

Prof. Dr. Marco Aurélio dos Santos Cruz Uma Gentil Introdução à Cosmologia Relativ́ıstica




O que é Cosmologia?

Nesta aula vamos nos dedicar ao tópico da Cosmologia Relativ́ıstica, ousimplesmente Cosmologia. Basicamente, nosso objetivo de estudo é oUniverso como um todo: Sua história, evolução, composição, e dinâmica.De fato, este é um assunto que intrigou o ser humano desde o seu ińıcio:Saber o que eram exatamente aqueles pontos de luz que apareciam no céuà noite, seu movimento, e como isto o poderia ajudar aqui na Terra. Tantoé que, no ińıcio, este estudo acabou sendo de caráter ḿıstico/religioso, ecada civilização deu a sua interpretação para a gênese do cosmos, suaevolução, e explicações do que eram exatamente os objetos no céu.





Cosmologia Hindu





Cosmologia Nórdica





Cosmologia Judaico-Cristã (antiga)





Cosmologia Moderna





Um pouco de História

– Na Era antiga, tivemos em sua maioria propostas geocêntricas, ondea Terra estava no centro, circundada pela Lua, Sol, e demais objetos.Da Era Antiga, podemos destacar de pensadores Aristarco de Samos,Aristóteles, e Ptolomeu de Alexandria.

– A mudança veio com Copérnico, Galileu, Giordano Bruno e Kepler,propondo um modelo heliocêntrico, onde agora o Sol que possui um postode destaque, com a Terra orbitando em volta. Kepler até mesmo propõeleis matemáticas que regem este movimento.– Isaac Newton, com o seu famoso Principia Mathematica, em 1687,lança luz ao problema, propondo o que conhecemos hoje como Lei da Gra-vitação Universal, e dando embasamento f́ısico às leis de Kepler. Tambémpropõe o chamado prinćıpio de Copérnico, no qual as leis de movimentopara objetos na Terra são as mesmas para corpos celestes, e a sua Mecânicacontém o chamado “tempo absoluto”, base de sua Cosmologia.






– Na Era antiga, tivemos em sua maioria propostas geocêntricas, ondea Terra estava no centro, circundada pela Lua, Sol, e demais objetos.Da Era Antiga, podemos destacar de pensadores Aristarco de Samos,Aristóteles, e Ptolomeu de Alexandria.– A mudança veio com Copérnico, Galileu, Giordano Bruno e Kepler,propondo um modelo heliocêntrico, onde agora o Sol que possui um postode destaque, com a Terra orbitando em volta. Kepler até mesmo propõeleis matemáticas que regem este movimento.

– Isaac Newton, com o seu famoso Principia Mathematica, em 1687,lança luz ao problema, propondo o que conhecemos hoje como Lei da Gra-vitação Universal, e dando embasamento f́ısico às leis de Kepler. Tambémpropõe o chamado prinćıpio de Copérnico, no qual as leis de movimentopara objetos na Terra são as mesmas para corpos celestes, e a sua Mecânicacontém o chamado “tempo absoluto”, base de sua Cosmologia.






– Na Era antiga, tivemos em sua maioria propostas geocêntricas, ondea Terra estava no centro, circundada pela Lua, Sol, e demais objetos.Da Era Antiga, podemos destacar de pensadores Aristarco de Samos,Aristóteles, e Ptolomeu de Alexandria.– A mudança veio com Copérnico, Galileu, Giordano Bruno e Kepler,propondo um modelo heliocêntrico, onde agora o Sol que possui um postode destaque, com a Terra orbitando em volta. Kepler até mesmo propõeleis matemáticas que regem este movimento.– Isaac Newton, com o seu famoso Principia Mathematica, em 1687,lança luz ao problema, propondo o que conhecemos hoje como Lei da Gra-vitação Universal, e dando embasamento f́ısico às leis de Kepler. Tambémpropõe o chamado prinćıpio de Copérnico, no qual as leis de movimentopara objetos na Terra são as mesmas para corpos celestes, e a sua Mecânicacontém o chamado “tempo absoluto”, base de sua Cosmologia.






– William Herschell, que em 1781 com suas medições de luminosidade deestrelas propôs que de fato estamos imersos em um aglomerado de estrelas,a Via Láctea.






– Harlow Shapley, que no começo dos anos de 1900 refina a idéia deHerschell, fazendo estimativas bem mais precisas do tamanho da Via Lac-tea, e medindo a nossa posição dentro dela, com o uso das estrelas daConstelação de Libra.– Albert Einstein, que em 1917 publica o Cosmological Considerations ofthe General Theory of Relativity, no qual ele usa a Teoria da RelatividadeGeral para descrever a evolução do universo. Este trabalho gera a dis-cussão e outros trabalhos, como os de Alexander Friedmann, GeorgesLemâıtre, Arthur Eddington, dentre outros.– Edwin Hubble, que em 1929 mostra a Lei de Hubble, na qual as galáxiasestão se afastando, com a velocidade de afastamento proporcional à suadistância:

v = Hd .






– Arno Penzias e Robert Woodrow Wilson, que em 1964 descobrirama Radiação Cósmica de Fundo, um sinal fraqúıssimo de microondas que éum fóssil da formação do universo.





Cenário Atual





Um dos pilares da Cosmologia Moderna é o chamado Prinćıpio Cosmológico,que nos diz o seguinte:– O Universo é homogêneo, isto é, sua distribuição material é a mesma,em todos seus pontos. Outra forma de falar disso é enfatizar que ele éigual em cada um de seus pontos.

– O Universo é isotrópico, isto é, ele é é igual em todas as direções. Damesma maneira que o anterior, a idéia aqui é que não temos direçõespreferenciais.





Um dos pilares da Cosmologia Moderna é o chamado Prinćıpio Cosmológico,que nos diz o seguinte:– O Universo é homogêneo, isto é, sua distribuição material é a mesma,em todos seus pontos. Outra forma de falar disso é enfatizar que ele éigual em cada um de seus pontos.– O Universo é isotrópico, isto é, ele é é igual em todas as direções. Damesma maneira que o anterior, a idéia aqui é que não temos direçõespreferenciais.




Equação de FriedmannSignificado da expansão, e velocidades superluminais.Equação de EstadoEquação de Aceleração

Cosmologia Newtoniana

Apesar do estudo da Cosmologia ter se dado com o advento da RelatividadeGeral, com a solução de Friedman em 1917, podemos extrair alguns resul-tados fazendo considerações sobre a Gravitação Newtoniana, e a MecânicaClássica que conhecemos. Então, sabemos que a força exercida por umcorpo de massa m em um corpo de massa M é dada pela famosa Lei deGravitação Universal de Newton,

F =GmM

r2, (1)

onde r é a distância entre os objetos e G é a constante gravitacional deNewton. Esta força, como conhecemos, é originária da energia potencial

V = −GmMr

. (2)





Vamos agora fazer algumas considerações: Vamos supor que a fonte destainteração gravitacional está distribúıda homogeneamente em uma porçãoespacial de volume S . A energia potencial é então

V = −GmMr

= −Gmr.4πρr3

3= −4πGmr

2

3ρ. (3)

A energia cinética é simplesmente

T =mv2

2, (4)

e assim a energia mecânica total é

U = T + V =mṙ2

2− 4πGmr

2

3ρ. (5)





Faremos agora uma suposição compat́ıvel com o que estamos propondoaté agora: que esta equação vale para um par qualquer de part́ıculas, jáque estamos supondo que o universo é homogêneo. Com isto, podemosmudar para um sistema diferente de coordenadas, chamado de coordenadascomóveis, que são “carregadas” durante a expansão. Como o universo ésuposto homogêneo, então a relação entre a distância real ~r e a coordenadacomóvel ~x pode ser escrita da forma

~r = a(t)~x , (6)

onde a(t), que é apenas função do tempo, é chamada de fator de escalado Universo. Ela é quem mede a taxa com que o universo expande, já queas coordenadas comóveis ~x são fixas, e as distâncias são medidas pelascoordenadas f́ısicas ~r .





Vamos agora escrever a nossa equação da energia mecânica em termos dofator de expansão:

U =m(ȧx)2

2− 4πGmρ(ax)

2

3, (7)

que, multiplicando por 2/m(ax)2, temos a chamada Equação de Fied-mann, (

ȧ

a

)2=

8πG

3ρ− kc

2

a2, (8)

onde kc2 = −2U/mx2.

k deve ser independente de x , já que todosos outros termos da equação são independentes, e temos o requisito dahomogeneidade. Nessa mesma direção, temos que U, embora constantepara cada uma das part́ıculas, tenha uma variação na separação comóvelx , ou seja, U ∝ x2.Além disso, k é independente de t, já que U e x o são. Ou seja, k é umaconstante, e que possui unidades de [Comprimento]−2.





Vamos agora escrever a nossa equação da energia mecânica em termos dofator de expansão:

U =m(ȧx)2

2− 4πGmρ(ax)

2

3, (7)

que, multiplicando por 2/m(ax)2, temos a chamada Equação de Fied-mann, (

ȧ

a

)2=

8πG

3ρ− kc

2

a2, (8)

onde kc2 = −2U/mx2. k deve ser independente de x , já que todosos outros termos da equação são independentes, e temos o requisito dahomogeneidade. Nessa mesma direção, temos que U, embora constantepara cada uma das part́ıculas, tenha uma variação na separação comóvelx , ou seja, U ∝ x2.Além disso, k é independente de t, já que U e x o são. Ou seja, k é umaconstante, e que possui unidades de [Comprimento]−2.





Significado da Expansão

Bem, falamos de expansão, mas o que queremos exatamente dizer comisto? Esta expansão se dá exatamente na escala na qual estamos apli-cando o prinćıpio Cosmológico, isto é, onde o estamos considerando comohomogêneo e isotrópico. Isto é mais ou menos na escala dos Megaparsecs,então estamos falando de aglomerados de galáxias.

Outra questão que surge é a da velocidade de recessão das galáxias. Deacordo com a lei de Hubble, vemos que a velocidade de recessão é pro-porcional à distância f́ısica das galáxias, então com distâncias grandes osuficiente, teŕıamos velocidades superiores à velocidade da luz. Não es-taŕıamos então violando a Teoria da Relatividade Especial?O que acontece é que “parece” que os objetos se afastam com velocidadessuperiores a da luz, mas o que acontece é que é o próprio espaço que estáse expandindo. Isto faz com que a relação de causalidade não seja vio-lada, e também a própria teoria da relatividade especial fala de velocidadesrelativas de objetos que se cruzam, e não pode ser usada para compararvelocidades de objetos se distanciando.






Bem, falamos de expansão, mas o que queremos exatamente dizer comisto? Esta expansão se dá exatamente na escala na qual estamos apli-cando o prinćıpio Cosmológico, isto é, onde o estamos considerando comohomogêneo e isotrópico. Isto é mais ou menos na escala dos Megaparsecs,então estamos falando de aglomerados de galáxias.Outra questão que surge é a da velocidade de recessão das galáxias. Deacordo com a lei de Hubble, vemos que a velocidade de recessão é pro-porcional à distância f́ısica das galáxias, então com distâncias grandes osuficiente, teŕıamos velocidades superiores à velocidade da luz. Não es-taŕıamos então violando a Teoria da Relatividade Especial?

O que acontece é que “parece” que os objetos se afastam com velocidadessuperiores a da luz, mas o que acontece é que é o próprio espaço que estáse expandindo. Isto faz com que a relação de causalidade não seja vio-lada, e também a própria teoria da relatividade especial fala de velocidadesrelativas de objetos que se cruzam, e não pode ser usada para compararvelocidades de objetos se distanciando.






Bem, falamos de expansão, mas o que queremos exatamente dizer comisto? Esta expansão se dá exatamente na escala na qual estamos apli-cando o prinćıpio Cosmológico, isto é, onde o estamos considerando comohomogêneo e isotrópico. Isto é mais ou menos na escala dos Megaparsecs,então estamos falando de aglomerados de galáxias.Outra questão que surge é a da velocidade de recessão das galáxias. Deacordo com a lei de Hubble, vemos que a velocidade de recessão é pro-porcional à distância f́ısica das galáxias, então com distâncias grandes osuficiente, teŕıamos velocidades superiores à velocidade da luz. Não es-taŕıamos então violando a Teoria da Relatividade Especial?O que acontece é que “parece” que os objetos se afastam com velocidadessuperiores a da luz, mas o que acontece é que é o próprio espaço que estáse expandindo. Isto faz com que a relação de causalidade não seja vio-lada, e também a própria teoria da relatividade especial fala de velocidadesrelativas de objetos que se cruzam, e não pode ser usada para compararvelocidades de objetos se distanciando.





Agora que temos a equação de Friedmann, para poder resolvê-la, precisa-mos descrever como o conteúdo de matéria ρ evolui com o tempo. Istoenvolve também o uso da pressão p, e a nossa resposta vem da Termo-dinâmica. Considerando a Primeira Lei da Termodinâmica,

TdS = dE + pdV , (9)

onde estamos com um sistema de volume comóvel V . Podemos notar queisto é o mesmo que tratarmos um gás ideal em um recipiente fechado;assim, o volume possui raio f́ısico a(t), e então a energia E = Mc2 é dadapor

E = Mc2 =4π

3ρa3c2, (10)

e sua diferencial é

dE =4πc3

3(a3dρ+ 3ρa2da). (11)





Analogamente, a diferencial do volume V é

dV = 4πa2da, (12)

e combinando estes dois resultados, e considerando que a transformaçãodo sistema é uma expansão adiabática (dS = 0), chegamos a

ρ̇+ 3ȧ

a

(ρ+

p

c2

)= 0. (13)

O primeiro termo vem da diluição de ρ à medida que o volume aumenta, eo segundo corresponde à perda de energia pela pressão que o material fazpara alimentar a expansão. Obviamente, esta energia não é perdida, poistemos a conservação da energia atuando; assim, temos que esta energiaperdida está sendo convertida em energia potencial gravitacional. Temosque deixar claro também que, pelo fato do universo ser homogêneo eisotrópico, não temos forças de pressão atuando no Universo, já que paraisto precisamos de um gradiente de pressão.





Ainda assim, não podemos resolver completamente as equações, pois agoratemos que saber quanto vale p; de outra forma, podemos saber com quematerial o universo é preenchido quando especificamos p. Na Cosmologiasuporemos que p ≡ p(ρ). Esta relação é chamada de equação de es-tado, e veremos mais adiante alguns exemplos que descrevem conteúdosmateriais.Uma vez que p é especificado, podemos resolver as equações de fluidoe de Friedmann e precisamos apenas delas para descrever a evolução douniverso. Antes de resolver explicitamente, vamos estudar um pouco maisestas equações, e tirar alguns resultados qualitativos.





Podemos usar as equações de Friedmann e de fluido para obter uma terceira(que não é independente das duas), que descreve a aceleração do fator deescala. Derivando a equação de Friedmann com relação ao tempo, temosque (

ȧ

a

)2=

8πG

3ρ− kc

2

a2, (14)

2ȧ

a

äa− (ȧ)2

a2=

8πG

3ρ̇+ 2

kc2

a2ȧ

a. (15)

Substituindo o valor de ρ̇ da equação de fluido,

2ȧ

a

äa− (ȧ)2

a2=

8πG

3

(−3 ȧ

a

(ρ+

p

c2

))+ 2

kc2

a2ȧ

a, (16)

ä

a−(ȧ

a

)2=− 4πG

(ρ+

p

c2

)+

kc2

a2, (17)





e usando novamente a equação de Friedmann,

ä

a−(

8πG

3ρ− kc

2

a2

)= −4πG

(ρ+

p

c2

)+

kc2

a2, (18)

onde, após um pouco de manipulação algébrica, chegamos à equação deaceleração

ä

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

). (19)

Podemos comentar aqui que se o material tiver qualquer valor de pressão,isto aumenta a intensidade da força gravitacional, e assim desacelera aexpansão. Só para relembrar, não temos forças associadas à pressão emum universo isotrópico, assim como gradientes de pressão. Outra coisadigna de nota é que não temos fatores proporcionais a k na equação deaceleração, pois eles foram cancelados quando manipulamos as equações.




Métrica de Friedmann-Robertson-WalkerLei de Hubble, e Soluções das Equações de Friedmann

Métrica de Friedmann-Robertson-Walker

Temos então que resolver as equações de Einstein para poder encontraruma métrica gij que descreva o comportamento do Universo como umtodo. Mas antes de resolver “na tora” as equações, vamos usar o PrinćıpioCosmológico para já fazer algumas simplificações. De mareira geral, amétrica possui a forma

ds2 = gijdxidx j = g11(dx

1)2 + 2g1idx1dx i + hαβdx

αdxβ (20)

onde cada um dos gij é uma função das coordenadas xk = (x1 = ct, x2, x3, x4).

Como o Universo deve ser homogêneo e isotrópico, podemos usar as nossascoordenadas comóveis para nos ajudar a descrever a expansão. Assim,

1 g11 = −1, já que, no nosso esquema de coordenadas comóveis, t éjustamente o tempo próprio de cada um dos pontos na expansão;

2 g1i = 0 devido ao fato de estarmos folheando o espaço com estashipersuperf́ıcies t = cte;

3 hαβdxαdxβ pode ser reescrito da forma (a(t))2dl2, onde dl2 é a

métrica de um espaço tridimensional de curvatura constante.





E então que a métrica é dada por

ds2 = −dt2 + (a(t))2(

dr2

1− kr2+ r2dΩ

)(21)

onde k = −1, 0, 1 é a curvatura de cada uma das hipersuperf́ıcies, e dΩ éo elemento de ângulo sólido.





Já temos parte da informação que queremos. Agora falta inserir as in-formações sobre a matéria. Vamos considerar, como fizemos no começo,a hipótese de que posśıveis constrituintes do universo são dados atravésde fluidos perfeitos; assim, o tensor energia-momento possui a forma maissimples posśıvel:

Tij = (ρ+ p)uiuj − pgab (22)

Resta agora só rodar o maquinário. Inserindo as informações, e compu-tando, a primeira equação que obtemos é(

ȧ

a

)2+

kc2

a2=

8πG

3ρ, (23)

a nossa querida Equação de Friedmann. E a segunda equação nos dá

2ä

a+

(ȧ

a

)2+

kc2

a2= −8πG p

c2(24)

que é exatamente a nossa Equação de Aceleração.





E o que falta? Bem, falta a equação de fluido, que obtivemos com o usoda Termodinânica. Aqui, o conteúdo material está codificado no tensorenergia-momento. Como estamos partindo da hipótese de que a expansão étal que não há troca de conteúdo material, ou o aparecimento espontâneo,deve valer então o prinćıpio de conservação de matéria. Isto então nos dáa equação

∇iT i j = 0, (25)

onde ∇i é a derivada covariante. Inserindo T i j , e calculando, temos que

ρ̇+ 3ȧ

a

(ρ+

p

c2

)= 0. (26)





Um pouco de Topologia





Lei de Hubble

Vamos agora obter alguns resultados do que dispomos até agora. O pri-meiro resultado, mais evidente, é que agora podemos dar um embasamentomatemático à Lei de Hubble. A distância entre dois pontos é dada por

d = aφ, (27)

onde a é o nosso fator de escala, e φ a coordenada comóvel. Derivandoem relação ao tempo, temos que

v = ḋ = ȧ.φ =

(ȧ

a

)d ⇒ v = H(t)d . (28)

Ou seja, o fator de escala a serve para medir a constante de Hubble. Defato, a razão H(t) nos dá o valor da constante para cada valor de t, entãopodemos chamar a função H(t) de parâmetro de Hubble; nos dias atuais,temos que

H(t0) = H0 =ȧ(t0)

a(t0)= 100(0.72± 0.08) km

s.Mpc. (29)





Desvio espectral

O segundo é que podemos calcular o quanto exatamente de deslocamentoespectral (redshift) a luz sofre, quando emitida por um ponto distante. Aluz é tal que ds = 0; então temos que

cdt

a(t)=

dr√1− kr2

(30)

então, se o emissor está posicionado em r = 0, e nós em r = r0, temosque o tempo total pode ser dado por∫ tr

te

cdt

a(t)=

∫ r00

dr√1− kr2

. (31)

Supondo que ele emite um sinal um instante ∆te depois (na mesmaposição), o tempo total é dado novamente por∫ tr+∆r

te+∆te

cdt

a(t)=

∫ r00

dr√1− kr2

. (32)





Comparando os lados direitos das duas integrais,∫ tr+∆rte+∆te

cdt

a(t)=

∫ trte

cdt

a(t). (33)

ou, após um pouco de conta,∫ te+∆tete

cdt

a(t)=

∫ tr+∆trtr

cdt

a(t). (34)

O que nos permite escrever

∆tra(tr )

=∆tea(te)

, (35)

assim, podemos perceber que, em um universo que expande, a(tr ) > a(te),então temos que ∆tr > ∆te .





Agora, se ao invés de dois pulsos de luz, podemos identificar isto comcristas sucessivas de uma onda. Então, como o comprimento de onda éproporcional ao tempo entre as cristas, λ ∝ ∆t ∝ a(t), e temos que

λra(tr )

=λe

a(te), (36)

ou em termos do desvio z ,

1 + z =λrλe

=a(tr )

a(te). (37)





Solução das equações

Vamos agora tentar resolver as equações, e para isto, precisamos especificaruma equação de estado. Temos então o seguinte:– Matéria: Aqui, estamos usando o termo para se referir à matéria não-relativ́ıstica, ou seja, falar de matéria que está a baixas velocidades, pouco(ou nada) interagente entre si, e que já está resfriada. Neste caso, a nossaequação de estado é p = 0, e então a equação de fluido nos dá

d

dt(ρ(a3)) = 0, (38)

ou seja, ρ(a3) é uma constante. Podemos então escrever

ρ(t) =ρ0

(a(t))3. (39)

Agora temos que resolver a equação de Friedmann. Vamos supor k = 0,e temos então que

ȧ2 =8πGρ0

3a. (40)





Podemos integrar diretamente, o que nos daria um pouco de trabalho comas constantes. Ou podemos notar que a nossa equação diz que a ∝ t2/3,então temos, como solução,

a(t) =

(t

t0

)2/3, ρ(t) =

ρ0a3

=ρ0t

20

t2(41)

e então

H(t) =ȧ

a=

2

3t. (42)

O que temos é que o Universo expande para sempre, mas a taxa de ex-pansão vai diminuindo com o tempo. O importante aqui é notar que, ape-sar da gravidade ser atrativa, a matéria presente não colapsa novamente,expandindo para sempre.





– Radiação: Aqui, estamos falando de part́ıculas (muito) leves, cuja ve-locidade já é a da luz. Agora a pressão não é nula, pois temos a força dapressão de radiação que, usando tanto a teoria de radiação, nos dá o valorp = ρc2/3. Assim, seguindo o mesmo processo do anterior, temos que asolução é dada por

a(t) =

(t

t0

)1/2, ρ(t) =

ρ0a4

=ρ0t

20

t2, H(t) =

1

2t. (43)

Novamente, temos um universo que continua expandindo indefinidamente,mas agora mais lentamente que a versão com matéria.





– Misturas: Bem, consideramos cada um material em separado, mas defato temos um (observável) só Universo, então o que temos de fato é umamistura. temos que a densidade material é da forma

ρ = ρmat + ρrad (44)

e podemos resolver a equação de fluido para cada componente em separado(se não houver “conversão” de um tipo em outro), obtendo os resultadosjá obtidos anteriormente,

ρmat ∝1

a3, ρrad ∝

1

a4, (45)

mas resolver a equação de Friedmann se torna um pouco mais complicada,já que temos apenas uma. Mas vamos olhar o comportamento de formamais qualitativa. A equação de Friedmann é (k = 0)(

ȧ

a

)2=

8πG

3(ρmat + ρrad). (46)





Então, se temos o regime no qual a radiação seja dominante, temos que

a(t) ∝ t1/2, ρrad ∝1

t2ρmat ∝

1

a3∝ 1

t3/2, (47)

e se a matéria é dominante,

a(t) ∝ t2/3, ρmat ∝1

t2ρrad ∝

1

a4∝ 1

t8/3. (48)





– Curvatura: Analisamos as soluções da equação de Friedmann para k =0, mas e para os valores diferentes de zero? Seguindo esta ideia acima,podemos analisar como seria a equação de Friedmann onde o termo coma curvatura seja dominante, isto é,(

ȧ

a

)2=

8πG

3ρ− kc

2

a2. (49)




Parâmetros Observacionais

Bem, agora que temos o modelo, podemos ver que valores que precisamser observados, e de que maneira, justamente para poder validar as nossaspredições:– Taxa de expansão: Este já introduzimos, e é nada mais que a constantede Hubble H0,

H0 = 100(0.72± 0.08)km

s.Mpc. (50)




– Parâmetro de densidade: Olhemos novamente a equação de Fried-mann,

H2 =8πG

3ρ− kc

2

a2. (51)

Dado H, existe um valor de ρ que deixa a geometria do Universo plana(k = 0); este valor é chamado de densidade cŕıtica, e é dado por

ρc(t) =3H2

8πG. (52)

Com o valor do parâmetro hoje, temos que a densidade cŕıtica é

ρc(t0) = 1, 88.h2.10−26kg/m3. (53)




A vantagem deste valor é que ele nos dá uma escala para a densidadedo Universo, uma vez que ele dá exatamente o limiar para o Universo seraberto ou fechado. E assim, podemos construir a quantidade adimensional

Ω(t) =ρ(t)

ρc(t)(54)

dita parâmetro de densidade e reescrever a equação de Friedmann da forma

H2 =8πG

3ρ− kc

2

a2(55)

H2 =8πG

3ρcΩ−

kc2

a2(56)

H2 =H2Ω− kc2

a2(57)

(58)




Ω− 1 = kc2

a2H2(59)




Referências

– An Introduction to Modern Cosmology, Andrew Liddle;– A First Course in General Relativity, Bernard Schutz;– General Relativity, Robert Wald;– Cosmological models (Cargèse lectures 1998), George Ellis & Henk vanElst;– Cosmos, tanto a série original de Carl Sagan, quanto a nova versão comNeil deGrasse Tyson.


IntroduçãoO que é Cosmologia?Um pouco de HistóriaPrincípio Cosmológico

Cosmologia NewtonianaEquação de FriedmannSignificado da expansão, e velocidades superluminais.Equação de EstadoEquação de Aceleração

Cosmologia RelativísticaMétrica de Friedmann-Robertson-WalkerLei de Hubble, e Soluções das Equações de Friedmann

Parâmetros ObservacionaisReferências

23 de fevereiro de 2018 - Professor Marco Aurélio Cruz€¦ · Da Era Antiga, podemos destacar de...

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