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UMA TAREFA COM CUBOS COLORIDOS PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS: GEOMETRIA ESPACIAL + MEDIDAS DE VOLUME
Autora: Lauriane dos Santos Lima1
Orientadora: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino2
RESUMO
O presente artigo é um relato de experiência a partir da implementação de uma produção didática (unidade didática), a qual faz parte de um caderno pedagógico com abordagem na Resolução de Problemas, dentro do tema Tendências em Educação Matemática. Apresenta a utilização de conteúdos básicos do ensino fundamental (8°ano) para a formalização de conceitos de geometria e medidas de volume, considerando a composição e elaboração do conhecimento do aluno no desenvolvimento do projeto. Os encaminhamentos metodológicos estão fundamentados na proposta para ensinar Matemática através da Resolução de Problemas apresentada em Onuchic (1999) e Allevato e Onuchic (2009). O trabalho realizado teve como objetivo propiciar a articulação de alguns conteúdos do ensino fundamental, como também oportunizar a outros professores a implementação de uma tarefa desenvolvida com esta estratégia metodológica. A Resolução de Problemas apresenta-se como alternativa metodológica para prática escolar. Além de auxiliar na construção do conhecimento do aluno nos processos de ensino e aprendizagem, propicia sua colaboração, cooperação em grupo.
PALAVRAS CHAVE: Resolução de Problemas; geometria; potência; volume; cubo.
1 Especialista em Matemática, Licenciada em Matemática, professora do ensino fundamental e médio e integrante do Programa de Desenvolvimento da Educação do Governo do Paraná. 2 Doutora em Educação pela USP. Professora do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL).
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1 INTRODUÇÃO
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de
Matemática do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser abordados
por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam
a prática docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Já os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) de Matemática do terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental,
apresentam como um de seus princípios norteadores a respeito da atividade
matemática escolar, que “não é olhar para as coisas prontas e definitivas, mas a
construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele
para compreender e transformar sua realidade” (BRASIL, 1998, p.56).
Nesse sentido, a Resolução de Problemas apresenta-se como uma
alternativa metodológica para prática escolar. Além de auxiliar na construção do
conhecimento do aluno nos processos de ensino e aprendizagem, propicia sua
colaboração, cooperação em grupo. De acordo com os PCN “o professor deve levar
em conta que os alunos adolescentes/ jovens atuam mais em grupo do que
individualmente [...]” (BRASIL, 1998, p.39).
A utilização dessa metodologia se opõe à mera reprodução de técnicas
rápidas de cálculos, repetidos problemas que podem ser resolvidos aplicando como
um “carimbo” de rápidas respostas. Como exposto nos PCN (1998, p.39) “em
contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações,
educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida
para a atividade matemática.”
Diante do exposto, foi elaborada uma produção didático-pedagógica
“Uma tarefa com cubos coloridos para Resolução de Problemas: Geometria
Espacial + Medidas de Volume”, decorrente de um estudo a respeito da Resolução
de Problemas enquanto estratégia metodológica para o ensino e a aprendizagem da
Matemática. A produção integra um caderno pedagógico, correlacionado com esse
tema, composto por unidades didáticas elaboradas individualmente por nove
professores do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, Governo do
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Paraná, turma 2010 a 2012, orientados pela Professora Doutora Márcia Cristina de
Costa Trindade Cyrino, da Universidade Estadual de Londrina.
No presente artigo, é apresentado o relato da experiência vivenciada na
implementação da produção didático-pedagógica anteriormente mencionada, em
que foram abordados conteúdos matemáticos por meio da Resolução de Problemas,
mais especificamente os elementos de um cubo para a formalização do cálculo de
seu volume.
2 APONTAMENTOS TEÓRICOS
Problemas e suas soluções ocuparam lugar de destaque no transcorrer
da História da Matemática (ONUCHIC; ALLEVATO, 2005). Exemplos que ilustram
essa afirmação estão nos estudos da Grécia Antiga, e seus sábios como Aristarco
de Samos, século III, a.C., da escola de Alexandria, comparando as distâncias da
Terra à Lua e da Terra ao Sol; Eratóstenes (276-196 a.C.) que apresentou o valor
aproximado do raio da Terra; e Ptolomeu (aproximadamente 150 d.C), astrônomo e
autor da obra “Almagesto” e de um método para o cálculo da distância da Terra à
Lua (ÁVILA, 2004).
Outros exemplos que podem ser citados são os problemas que os
números negativos começaram a impor no dia a dia do homem e sua formalização
inicial com os indianos (século VII d.C.), destacando Brahmagupta (598-670),
descrevendo em sua obra as regras para quantidades com negativos (CYRINO;
PASQUINI, 2010). No campo da Geometria, as interpretações sobre operações com
segmentos dadas por René Descartes (1596-1650), em 1637, ao publicar La
géométrie e as construções geométricas com segmentos também consideradas pelo
matemático David Hilbert (1862-1943) (CYRINO; PASQUINI, 2010).
Os problemas impulsionaram muitas formalizações necessárias ao
desenvolvimento da sociedade e do conhecimento matemático desde os tempos
antigos. Mas a discussão em torno do ensino de Matemática por meio da resolução
de problemas, não é tão antiga assim.
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Conforme Onuchic e Allevato (2005, p. 215), foi na década de 1970, que
“tiveram início investigações sistemáticas sobre Resoluções de Problemas e suas
implicações curriculares.” No entanto, apenas no fim da década de 1980 ela “passa
a ser pensada como uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um
meio de se ensinar matemática” (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 5).
Allevato e Onuchic (2009), baseadas no estudo de Schroeder e Lester
(1989), apresentam caminhos diferentes de abordar resolução de problemas que
expressam diferentes concepções, a saber: teorizar sobre resolução de problemas;
ensinar a resolver problemas; ensinar Matemática através da resolução de
problemas. Teorizar sobre resolução de problemas ressalta o modelo de resolução
de George Polya que tratou do assunto no livro A Arte de Resolver Problemas. Para
ensinar a resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a
Matemática “é ensinada e o que dela pode ser aplicada na resolução de problemas
rotineiros e não rotineiros” (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 5). Uma proposta para
ensinar Matemática através da Resolução de Problemas é apresentada em Onuchic
(1999) e Allevato e Onuchic (2009).
Trata-se de um trabalho onde um problema é ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do conhecimento far-se-á através de sua resolução. Professor e alunos, juntos, desenvolvem esse trabalho e a aprendizagem se realiza de modo colaborativo em sala de aula [...] (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 7).
Ainda de acordo com essas autoras, não há “formas rígidas para colocar
em prática essa metodologia” (ibidem). Uma proposta, sugerida por elas, de
organização das tarefas em etapas a serem desenvolvidas pelo professor e pelos
alunos, é a seguinte:
1) Preparação do problema – Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha sido ainda trabalhado em sala de aula. 2) Leitura individual – Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.
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3) Leitura em conjunto – Formar grupos e solicitar nova leitura, agora nos grupos. Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema. Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário. 4) Resolução do problema – De posse do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, num trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-construtores da “matemática nova” que se quer abordar, o problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula. 5) Observar e incentivar – Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. [...]. 6) Registro das resoluções na lousa – Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam. 7) Plenária – Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem. 8) Busca do consenso – Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. 9) Formalização do conteúdo – Neste momento, denominado “formalização”, o professor registra na lousa uma apresentação “formal”- organizada e estruturada em linguagem matemática- padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p.7-8, grifo nosso).
A implementação do trabalho “Uma tarefa com cubos coloridos para
Resolução de Problemas: Geometria Espacial + Medidas de Volume”, relata a
seguir, uma dinâmica de organização das tarefas com base nessas etapas
apresentadas pelas autoras.
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3 RELATO DA EXPERIÊNCIA
A produção didático-pedagógica foi implementada com 27 alunos, em
uma turma de oitavo ano, do ensino fundamental, na disciplina de matemática, de
um Colégio da rede Estadual, da área rural de Londrina, Paraná.
O problema envolveu a exploração de pequenos cubos, subdividido em
4 questões, com o objetivo de trabalhar com os conceitos de geometria e medida de
volume por meio da metodologia Resolução de Problemas. Foram utilizadas 27
cópias do problema, pequenos cubos coloridos para o trabalho em grupos, de 4 e 5
alunos, folhas para anotações de cada grupo, dicionários da língua portuguesa,
livros didáticos de Matemática, folha de anotação do professor para relatório de
avaliação de cada grupo e 27 cópias da formalização da primeira etapa do
problema. Para cada grupo foi entregue um conjunto de 80 cubos coloridos, de 1 cm
de aresta, sendo 8 cubos de cada uma das seguintes cores: amarelo, vermelho,
azul, verde, branco, preto, lilás, laranja, marrom, salmão.
Figura 1: Exemplos de pequenos cubos coloridos Fonte: Lauriane S Lima.
Figura 2: Distribuição dos pequenos cubos coloridos Fonte: Lauriane S Lima.
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O desenvolvimento foi proposto com a finalidade de formalizar o
conteúdo volume do poliedro cubo, além da investigação da regularidade das cores
do problema apresentado a seguir:
3.1 PROBLEMA
Considere um pequeno cubo de dimensão 1 cm x 1 cm x 1 cm.
1) Com o auxílio de um dicionário e de livros investigue o que é um cubo.
2) Quais são os elementos que compõe um cubo? Um cubo tem quantas
dimensões?
3) A partir de uma coleção de pequenos cubos, onde cada cubo tem uma única
cor, investigue qual o menor número possível de cores, que podem ser
utilizadas para montar um cubo com:
Montagem A – 8 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno, com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não seja da mesma cor;
Montagem B – 27 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno, com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não seja da mesma cor;
Montagem C – 64 pequenos cubos de modo que qualquer cubo pequeno, com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não seja da mesma cor.
(Fonte: adaptado do Canguru Matemático de Portugal/ Canguru Brasil, 2010).
4) Preencha o quadro a seguir:
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Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem, levando em conta a aresta do
cubo maior.
Pequeno Cubo
Cubo maior da montagem A
Cubo maior da montagem B
Cubo maior da montagem C
Quadro 1: Organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima 06/11.
Questões 1 e 2 - Investigação a respeito do cubo, seus elementos e quantidade
de dimensões, utilizando livros e dicionários.
Esta etapa, contemplou uma investigação a respeito do cubo pelos
grupos de alunos. A resolução dessas questões resultou em uma movimentação
positiva na sala de aula, alguns exemplos de comentários nos grupos como “o cubo
não é um corpo redondo”; “o tijolo seria um cubo?”; “o dado é um exemplo de cubo”;
“o quadrado é um cubo?”. Quanto aos questionamentos, com a verificação da
disposição dos conteúdos de Geometria nos livros didáticos e até mesmo
brincadeiras de montagens diversas com os cubos coloridos, contribuiu para
esclarecimentos feitos pelos próprios alunos. O efeito de organizar conceitos pela
investigação foi um bom começo para a discussão e participação dos alunos na
resolução do problema.
Na plenária dos grupos, com a iniciativa dos alunos, foram eleitos
representantes de cada grupo. Os grupos apresentaram entre 2 a 5 definições
sobre o cubo. A principal discussão gerada pela variação de definições foi para
sistematizar os conceitos com base nos significados apresentados para eles no
dicionário, relacionados à Geometria, bem como nos significados apresentados em
livros didáticos. Tendo como exemplo os cubos coloridos, um grupo, denominado
Grupo 5 e último a apresentar sua investigação, chegou a um consenso com a
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turma a respeito do conceito de dimensão de um cubo e o reconhecimento das três
dimensões, comprimento, largura e altura ou profundidade. Além disso, também
obteve o consenso na resposta dos elementos do cubo (arestas, vértices e faces),
embora alguns alunos ainda estivessem um pouco confusos na localização destes
elementos no cubo.
O trabalho da professora para organizar o início das tarefas em aula e a
atenção na investigação que estava sendo realizada pelos alunos, foi retribuído na
formalização dos conceitos, pelo envolvimento de todos os grupos. Nesta etapa foi
possível abordar o conceito de Geometria Espacial, dentro do conteúdo
estruturante Geometrias; o cubo como um poliedro; um exemplo de poliedro
convexo e do poliedro não-convexo.
Alguns alunos adiantaram a conclusão de que o cubo seria um poliedro
convexo. Com base em um livro didático, um grupo acrescentou à denominação
hexaedro regular, e a professora então aproveitou para acrescentar que o cubo
além de ser um poliedro convexo, também é um poliedro regular porque as faces
são polígonos regulares e congruentes entre si, e que de cada vértice do poliedro
parte o mesmo número de arestas, e que a classificação dos poliedros regulares é
de acordo com o números de faces que possui, daí a denominação hexaedro regular
apresentada pelo grupo, pois o cubo possui 6 faces quadradas.
Complementando a formalização, com o auxílio dos alunos, foi possível
localizar os elementos do cubo, bem como realizar a contagem das 6 faces
quadradas, 12 arestas e 8 vértices desse sólido geométrico, de modo a esclarecer
as dúvidas que ainda haviam por parte de alguns alunos quanto a localização destes
elementos no cubo.
Após a formalização, a professora entregou uma folha com o resumo dos
conceitos aos alunos.
Questão 3 – Investigação a respeito do menor número possível de cores que
pode ser utilizada para montar um cubo com 8, 27 e 64 pequenos cubos
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coloridos, apresentando como critério que qualquer cubo pequeno, com
vértice, aresta ou face encostados nas peças vizinhas, não seja da mesma cor.
Para esta questão foi necessário mais tempo considerando a realização
de tarefas como montagem, plenária, busca de consenso, com os três itens da
questão, distribuídos e montados separadamente.
Para a montagem com 8 pequenos cubos coloridos, foi utilizado menos
tempo. Uma das dificuldades apresentada por alguns grupos, foi em relação à forma
do cubo, um grupo montou um paralelepípedo, Figura 3a, e outro um “cercado
quadrado” conforme denominação deste grupo, apresentado na Figura 3b, o que
constituiu uma oportunidade para revisar o conceito do cubo com esses grupos e
reafirmar dentro da Resolução de Problemas “que o conhecimento matemático
ganha significado quando os alunos tem situações desafiadoras para resolver e
trabalham para desenvolver estratégias de resolução.” (BRASIL,1998, p.39-40).
Figura 3a – Paralelepípedo e Figura 3b – “cercado quadrado”. Fonte: Lauriane S Lima
Quanto ao consenso das cores, um grupo questionou a situação de peças
vizinhas do seguinte modo:
“– Professora, vizinho é o que mora do meu lado e na minha frente, assim as
peças de cima pode repetir a cor, porque o céu não é meu vizinho”.
Situações como essa são comuns em sala de aula, a professora então
questionou:
“– E quem mora em apartamento, morador de um prédio, onde há vários
andares, onde estão os vizinhos?”
Um aluno do grupo respondeu:
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“– Nunca pensei nisso, mas tem vizinho no andar debaixo e em cima.”
Pode-se considerar o questionamento compatível à realidade desses
adolescentes que, em sua maioria, vivem em chácaras.
Na plenária da primeira montagem todos os grupos apresentaram 8 cores
para a solução, embora alguns alunos, durante a montagem, ainda tivessem
dificuldade quanto a localização de vértices, arestas e faces. Para esclarecer estas
dúvidas, o próprio trabalho em grupo contribuiu, considerando que a organização
das cores exigia do grupo a compreensão destes conceitos.
Na segunda montagem, a plenária foi a exposição na própria mesa de
cada grupo, sem diferença na quantidade de cores apresentadas na resolução, e
todos chegaram novamente a 8 cores. Todavia, a organização dos 27 pequenos
cubos não foi uma solução imediata, nesta etapa precisaria de atenção para iniciar a
percepção de como o volume do cubo é definido. Assim na Figura 4, são mostrados
os 27 pequenos cubos dispostos, inicialmente, em uma camada (as camadas foram
justapostas posteriormente para a montagem do cubo maior), por um grupo
denominado grupo 1. Já na Figura 5, mostra as 8 cores seguindo os critérios da
questão 3, por um grupo 5, preparadas para montagem do cubo maior e
apresentação na plenária:
Figura 4: Montagem com 27 pequenos cubos disposto em uma dimensão.
Fonte: Lauriane S Lima.
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Figura 5: Pré montagem com 27 pequenos cubos com as 8 cores seguindo o critério da questão 3,
preparadas para a montagem em 3 dimensões do cubo maior. Fonte: Lauriane S Lima.
Durante terceira montagem, com 64 pequenos cubos coloridos, os grupos
perceberam o resultado 8 cores de acordo com os critérios da questão. Nesta etapa
restou o trabalho de ajustar os cubos da montagem, utilizando diferentes estratégias
como mostra a Figura 6 e o grupo 1, organizando as cores e as dimensões ao
mesmo tempo. O grupo 1 conseguiu resolver a questão, embora tenha utilizado
mais tempo para organizar as cores e atender aos critérios:
Figura 6: Montagem com 64 pequenos cubos com as 8 cores sendo organizadas nas 3 dimensões,
ainda não atendendo os critérios da questão 3. Fonte: Lauriane S Lima.
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Já o grupo 3, organizou as cores inicialmente no esboço em folha a parte,
seguiu para a organização, conforme a figura 6, terminando com a montagem do
cubo maior. O grupo 3 utilizou esta estratégia para as 3 montagens.
Figura 7: Pré montagem com 64 pequenos cubos com as 8 cores seguindo o critério da questão 3,
Utilizando esboço em folha a parte. Fonte: Lauriane S Lima.
Os grupos restantes, denominados grupos 2, 4, 5 e 6, apresentaram
estratégias similares com a pré montagem mostrada nas Figuras 8, 9 e 10:
Figura 8: Pré montagem com 64 pequenos cubos com as 8 cores seguindo o critério da questão 3,
preparadas para a montagem em 3 dimensões do cubo maior. Fonte: Lauriane S Lima.
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Figura 9: Pré montagem com 64 pequenos cubos com 8 cores, conforme critério da questão 3,
preparadas para a montagem em 3 dimensões do cubo maior. Fonte: Lauriane S Lima.
Figura 10: Finalizando montagem com 64 pequenos cubos com 8 cores, conforme critério da questão 3,
preparadas para a montagem em 3 dimensões do cubo maior. Fonte: Lauriane S Lima.
Embora visível o resultado, nos grupos nenhum aluno expôs algum
argumento sobre a regularidade envolvendo as cores. Então, a professora pediu aos
grupos para refazerem a montagem com 8 cubos e investigar o resultado 8 cores. A
investigação se estendeu para a aula seguinte e com a colaboração de um grupo
chegou-se ao seguinte:
“– Um cubo encosta em 7 cores diferentes”.
A partir dessa afirmação, e não havendo mais progresso quanto a isso na
plenária, a professora acrescentou a discussão que a montagem envolvendo os 7
pequenos cubos satisfaz o critério “cores diferentes a um pequeno cubo de
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referência”, perfazendo o total e a regularidade 8 cores. Exemplificando com a
Figura 11, apresentada na “Tvpendrive”, televisão e recurso disponível na sala de
aula, a professora expôs que um vértice do pequeno cubo preto pode ter contato
com no máximo 7 outros pequenos cubos: lilás, vermelho, marrom, azul, amarelo,
verde e salmão.
Figura 11: Um vértice do pequeno cubo preto e 7 outros pequenos cubos
em 7 cores diferentes. Fonte: Lauriane S Lima.
Outro exemplo também apresentado pela professora, foi na Figura 12,
em que um vértice do pequeno cubo azul pode ter contato com no máximo 7
coloridos, amarelo, verde e salmão, lilás e preto, vermelho e marrom.
Figura 12: Um vértice de um pequeno cubo, exemplo azul, pode ter contato com
7 coloridos pequenos cubos. Organizamos as 8 cores. Fonte: Lauriane S Lima.
No exemplo da Figura 13, também apresentado pela professora, as 7
cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para outro vértice de um
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pequeno cubo, como o lilás, para o qual as cores azul e amarela se repetem, como
também as cores verde e salmão, mas para vértices diferentes. A partir das Figuras
13 e 14, foi possível organizar a regularidade onde cada vértice de um pequeno
cubo pode encostar em até 7 cores como os apresentados nas plenárias com 8, 27,
64 pequenos cubos.
Figura 13: As 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir para outro vértice de um pequeno cubo, por exemplo, as cores azul e amarela repetem, como também as cores verde e salmão. Fonte : Lauriane S Lima.
Complementando a Figura 13, foi apresentada a Figura 14, onde as 7
cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para outros vértices dos
pequenos cubos preto e lilás, perfazendo uma organização de 8 cores na pré
montagem de cubos maiores.
Figura 14: Estas 7 cores dos pequenos cubos podem se repetir apenas para outros vértices dos pequenos cubos preto e lilás,
perfazendo uma organização de 8 cores na pré montagem de cubos maiores. Fonte: Lauriane S Lima.
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A última etapa, a Questão 4, compreendeu o preenchimento do quadro 1 e apresentação em plenária, conforme Figuras 15 e 16:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem de cubo maior, levando em conta a aresta
do cubo maior.
Pequeno Cubo
1 1 1³ = 1
Cubo maior da montagem A
2 8 2³ = 8
Cubo maior da montagem B
3 27 3³ = 27
Cubo maior da montagem C
4 64 4³ = 64
Quadro 1 preenchido: organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima.
Na discussão dos valores do quadro 1, houve divergência no pequeno
cubo:
Questões
Assumindo o cubo de aresta 1
cm como unidade de medida, determine a
medida da aresta dos cubos:
Assumindo o cubo de aresta 1 cm como unidade de medida,
determine a quantidade de cubos necessárias para as
montagens dos cubos:
Reescreva, utilizando a notação de potência
(baseexpoente
= potência), a quantidade de cubos
necessária para a montagem de cubo maior, levando em conta a aresta
do cubo maior.
Pequeno Cubo
1 1 11 = 1 e 11 = 1 . 1 = 1
Quadro 1 parcial: organização das informações das montagens com pequenos cubos. Fonte: Lauriane S Lima.
Foi necessário discutir a escrita apresentada por mais de um grupo,
Figuras 15 e 16 (11=1x1=1), após a argumentação de um dos grupos:
“– Não pensamos no 3, porque o 1 já dava o resultado 1. Nos outros foi
preciso o 3 para conseguirmos o resultado. Só agora percebemos que 1 servia, mas
não está certo”.
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Figura 15: Organização da plenária da questão 4. Fonte: Lauriane S Lima.
Figura 16: Parte da organização da plenária da questão 4. Fonte: Lauriane S Lima.
Embora, alguns grupos percebessem que a quantidade de dimensões
(comprimento, altura e largura) 3, não variasse nesta e em outras montagens de
cubos, não utilizaram essa informação para reescrever a informação referente ao
pequeno cubo em forma de potência. Talvez pelo fato de ser a primeira informação a
ser reescrita no quadro, e ainda no momento em que a preencheram não haviam
percebido essa regularidade, ou mesmo porque se elevassem o número 1 a
qualquer outro expoente, o resultado continuaria sendo 1, e como só havia número 1
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na linha do quadro, escolheram então o 1. Os alunos perceberam também que a
medida da aresta do cubo maior, possuía uma variação à medida que se alterava o
total de cubos pequenos.
Após discutir a respeito disso com os alunos e eles chegarem a um
consenso, quanto ao preenchimento correto do quadro, a professora, a partir da
notação de potência, sistematizou com os alunos, a fórmula para o cálculo do
volume do cubo. Também apresentou-lhes a unidade de medida de volume utilizada
neste problema, o centímetro cúbico, enfatizando o metro cúbico como unidade
padrão do Sistema Internacional de Unidades para medir o volume, originário do
cubo com um metro de medida da aresta.
A pergunta “Qual a relação entre o volume dos pequenos cubos e o
volume dos cubos maiores montados?”, foi abordada pela professora para
contribuir na discussão do conceito de Volume onde quantificamos o espaço
ocupado por um corpo, neste problema, utilizamos o cubo 1cm x 1cm x 1cm, onde
seu comprimento de aresta é 1cm e o volume 1cm3.
Na formalização dos conteúdos matemáticos foi possível expressar o
cálculo do volume do poliedro cubo. Neste cálculo, a professora acrescentou que
para o volume do cubo, podemos adotar a letra “V”; e para a medida da aresta do
cubo, podemos adotar a letra “a”; e, 3 o expoente constante que representa o
número de dimensões do cubo (comprimento, largura e altura). Sistematizando:
volume do cubo corresponde à medida da aresta do cubo elevada a quantidade de
dimensões do cubo, V = a3. Estabelecendo a relação com a fórmula matemática
para o cálculo do volume do cubo.
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4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com a estratégia metodológica Resolução de Problemas foi possível
abordar por meio desse problema conceitos de geometria e medida de volume.
Ao propor as montagens com os pequenos cubos, foi possível constatar
diferentes estratégias entre os grupos de alunos, além das estimativas. Como
exemplo, na primeira montagem, 8 pequenos cubos, onde logo após uma sequência
de investigações, plenárias e formalização sobre o cubo, a professora deparou-se
com o primeiro procedimento de montagem em dois grupos, um “ cercado
quadrado”, denominação dos alunos, e um paralelepípedo. Este conceito, não
estava, conforme Brasil (1998) “pronto, construído, apropriado” pelo grupo, pois a
proposta exigia outro procedimento a ser organizado coletivamente com base na
apropriação dos conceitos sobre o cubo. Ainda citando Brasil (1998), foi preciso
atuar “mais em grupo do que individualmente” para esclarecer dúvidas e reconhecer
erros e acertos no decorrer da tarefa.
Uma consideração na última etapa, Questão 4, quanto à divergência dos
grupos no preenchimento para o pequeno cubo na notação científica (baseexpoente
=
potência), na tentativa de amenizar o erro de escrita apresentada por mais de um
grupo em 11=1, é a reestruturação do quadro. Como sugestão de aprimoramento,
apresentar o quadro partindo da montagem com 64 pequenos cubos e decrescendo
esta quantidade para 27, 8 e 1. Desta maneira, as 3 dimensões ficam evidenciadas
na potência para o pequeno cubo.
Na investigação sobre a regularidade das cores dos pequenos cubos na
sequência das montagens os grupos apresentaram mais dificuldade. Para esta
etapa foi preciso intervenções constantes da professora para condução de um
consenso e, pode-se afirmar um momento de atenção, pois a formalização desta
etapa precisou de esclarecimentos tanto nos grupos quanto para a turma inteira.
Quanto à avaliação do trabalho realizado, considero que apresentou
resultados satisfatórios durante esta implementação, o que pode ser constatado nas
montagens, nas plenárias, nas participações dos alunos e na formalização do
conteúdo.
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5 REFERÊNCIAS
ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula
através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.
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